Volitelné domácí úlohy a příklady na zamyšlení k předmětu M3100 Příklady k procvičení
1. Určete poloměr a obor konvergence řady
E(-!)"+1
n=2
ar n
2. Určete poloměr a obor konvergence řady
oo { \\i
El Un+l\n-) „n 1      ' (9nV
3. Určete poloměr a obor konvergence řady
Y —
4n-3
n=2
4. Určete poloměr a obor konvergence řady
^ 2n + 1X
n=2
5. Určete poloměr a obor konvergence řady
\ arcte; n
n=0 V 6
6. Určete součet řady
oo
n(n + 2)a
»1=2
7. Určete součet řady
00
n(n + 1)
00 „.n+1
£(-ir+1——
[R = l,I = (-!,!].]
[i? = 4, J = (—4,4).]
[i? = i /=[-!,!).]
[i? - f,1 - (-§, f).]
r!6a;4-23a;5+9a;6 L (1-a;)3
í!=l
[(x + l)ln(l + x) - x.]
8. Pomocí součtu řady
oo
E
n=l
sečtěte řadu
x n
^ 2n - 1 Jln
-x
n
n=l
[ln|x2-l|-J^.]
9. Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce sinx2.
fV00 (_l)^+la;^-2
í/^n=l       (2n-l)! -J
10. Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce cosh 2x. Zkuste jiný zápis funkce
j   g 2?
coshx = -
2
Eoo 4"a;2" 1 n=0  (2n)\ "J
11. Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce ^^r--
LZ^n=0     (2n+l)! -J
12. Nalezněte prvních pár členů Maclaurinovy řady funkce x2 e~x.
Eoo (-l)nxn+2 n n=0 n! -J
13. Nalezněte prvních pár členů Maclaurinovy řady funkce e^sinx.
14. Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce 3*2x.
[x + x2 + ix3 + 0x4 + (i + i - ^) +
[i ^-xn\
15. Určete přibližnou hodnotu sin 10° s přesností 10 6.
[0,17364.]
16. Sečtěte řadu
oo ^n
V —
n=2
íe2 3.1
17. Sečtěte řadu
oo
n2"
n
n=l
18. Sečtěte řadu
Y(-ir— P2"
^y    '  (2n)\ U
n=l y '
19. Určete číslo - pomocí prvních osmi členů vhodné řady.
20. Určete číslo ln r\ pomocí prvních tří členů vhodné řady.
21. Určete limitu
22. Určete limitu
23. Určete limitu
lim-
-x2 12
cos x — e ' lim--.-
x^O X4
■   n 2
srn x — x lim-;-
x^O X4
24. Vyjádřete integrál jako mocninou řadu
o 1
25. Určete prvních pár členů řešení rovnice
y' + xy2 — 2 cos x = 0,
je-li 2/(0) = 1.
[l + 2x-±-2-^3_ 1^4.
26. Určete prvních pár členů řešení rovnice
y"-exy = 0,
je-li 2/(0) = 2, 2/(0) = 1.
Příklady k zamyšlení
1. Nalezněte obor konvergence řad (a)
[2 + x + x2 + ±x3 + ix4 -
(b)
(c)
„2n
---,a> 0, 6> 0, O 0
nn  i   ř,n   i r.n
an + bn + cn
n—l
^ 2n!!
^ (2n+ 1)!!
n—1 v '
Vyšetřete krajní body.
[a) (—^g, -372) b)L = ^/niax{a, 6, c}, J = (—L, Ľ) krajní body závisí na tom, zda je L > 1
nebo ne c) (—1,1) v —1 řada konveguje relativně]
2. Rozviňte do mocninné řady funkci
ln(l + x) í+x
E„°L1(-ir1(i + i/2 + ...i/«K]
3. Nechť má řada Y^Li "n1" poloměr konvergence i?i a řada Yl^Li bnxn poloměr konvergence i?2- Jaký poloměr konvergence mají řady
(a)
(b)
J^(a„ ± bn)x
n=l
00
[a) b)
4. Nalezněte posloupnost a„ tak aby
• (C) Eľ=l an = °°-
• (C) E^Li a« = ^> Pro libovolné K e