Obsah 1 Explicitní rovnice prvního řádu 1 1.1 Separovatelné rovnice ............................... 1 1.1.1 Rovnice typu x' = f(t)........................... 1 1.1.2 Rovnice autonomní x' = g (x)....................... 1 1.1.3 Rovnice se separovanými proměnnými x' = f (t) g (x).......... 3 1.1.4 Rovnice typu x' = f(at + bx + c)..................... 3 1.1.5 Homogenní rovnice x' = f ^—^...................... 4 _ ľ f at + bx + c\ 1.1.6 Rovnice typu x = f [--- ................... 4 1.2 Exaktní rovnice................................... 4 1.2.1 Integrační faktor.............................. 6 1.3 Lineárni rovnice................................... 9 1.3.1 Lineární homogenní rovnice x' = a (t) x.................. 10 1.3.2 Lineární nehomogenní rovnice x' = a (t) x + b (t)............. 10 Duhamelův princip............................. 10 Metoda variace konstanty......................... 12 Užití integračního faktoru......................... 13 1.4 Bernoulliova rovnice x' = a (t) x + b(t)xr, r G M................. 14 1.5 Cvičení ....................................... 15 2 Implicitní rovnice prvního řádu 17 2.1 Rovnice rozřešené vzhledem k t nebo x...................... 17 2.1.1 Implicitní autonomní rovnice x = f (x') ................. 17 2.1.2 Rovnice tvaru t = f (x, x')......................... 18 2.1.3 Rovnice tvaru x = f (t, x')......................... 20 Clairautova rovnice x = t x' + g (x').................... 22 Lagrangeova rovnice x = tf(x') + g (x').................. 22 2.2 Rovnice tvaru Pn{x') =0 ............................. 23 3 Lineárni rovnice vyššího řádu a lineární systémy 25 3.1 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty ............ 25 3.1.1 Homogenní rovnice............................. 25 3.1.2 Nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou............ 31 3.2 Lineárni rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty............. 32 3.2.1 Partikulární řešení nehomogenní rovnice - variace konstant...... 33 3.2.2 Eulerova rovnice.............................. 35 i ii OBSAH 3.3 Snížení řádu lineární homogenní rovnice..................... 37 3.3.1 Nalezení druhé složky fundamentálního systému rovnice druhého řádu 38 3.4 Systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty............... 41 3.4.1 Homogenní systémy............................ 42 3.5 Cvičení ....................................... 44 4 Další explicitně řešitelné rovnice 45 4.1 Rovnice s polynomiální pravou stranou...................... 45 4.1.1 Riccatiho rovnice x' = p(t)x2 + q(t)x + r(t)............... 45 4.1.2 Ábelova rovnice prvního druhu x' = a(t)x3 + b(t)x2 + c(t)x + d[t) ... 47 4.2 Rovnice vyššího řádu, u nichž lze řád snížit................... 53 4.2.1 Autonomní rovnice druhého řádu x" = f(x).............. 53 4.2.2 Rovnice typu F(t,x^k\ x^k+1\..., jW) = 0, k G {1,..., n - 1} .... 53 4.2.3 Autonomní rovnice typu F (x, x', x",..., x^) =0 .......... 53 4.2.4 Rovnice homogenní v x, x', x",..., x^n>.................. 54 4.3 Ekvidimensionální rovnice............................. 56 5 Některé klasické elementárni úlohy 57 5.1 Traktrisa ...................................... 57 5.2 Ciolkovského rovnice................................ 58 5.3 Archimedova úloha................................. 60 5.4 Von Bertalanffyho model růstu a scholastické causae.............. 62 5.5 Romeo a Julie.................................... 64 5.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho................... 66 5.7 Ekonomický růst (Solowův-Swanův neoklasický model)............. 70 Řešení základní rovnice s Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí . . 73 Technologický pokrok v modelu ekonomického růstu.......... 75 5.8 Udržitelný rybolov................................. 77 Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času............ 77 Rybolov s konstantním úsilím....................... 82 Optimalizace udržitelného rybolovu ................... 84 5.9 Řetězovka...................................... 85 5.10 „Psí křivka"..................................... 88 5.11 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru................. 91 OBSAH m Následující text má sloužit jako pomůcka k první části cvičení z předmětu M5858 Spojité deterministické modely I. Je věnován explicitním (elementárním) metodám řešení obyčejných diferenciálních rovnic; někdy se také mluví o integraci diferenciálních rovnic nebo o řešení diferenciálních rovnic v kvadraturách. Jedná se o klasickou problematiku, která byla již mnohokrát zpracována. Při kompilaci textu jsem zejména vykrádal následující knihy a skripta. 1. E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951. Ruský překlad: Q. KaMKe: CnpaBO^HHK no oöbiKHOBemibiM /a>H(})(})epeHn,HajiL>HL>iM ypaBHeHHHM. Hayna, Moskva 1965. Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami. 2. J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství ČSAV, Praha 1952. Popis základních metod integrace obyčejných diferenciálních rovnic. 3. R. Rychnovský: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich řešení. SNTL, Praha 1963. Základní explicitní metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic doplněné jednoduchými metodami přibližnými. 4. J. Nagy: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. SNTL, Praha 1978. Metody výpočtu řešení obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu a popis metod výpočtu řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu. 5. J. Nagy: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. SNTL, Praha 1980. Metody výpočtu řešení soustavy lineárních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty. Doplněno o analýzu chování trajektorií autonomních systémů v okolí rovnovážných bodů. 6. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Skripta PřF MU, Brno 1998, 96 stran (druhé přepracované vydání). Popis základních elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních rovnic. 7. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic II. Skripta PřF UJEP v Brně, SPN Praha 1989, 61 stran. Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. 8. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. Skripta PřF MU, Brno 1995, 29 stran. Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod. Tato verze textu není zdaleka definitivní. Text bude (doufám) v průběhu semestru doplňován a upravován. Budu vděčný za všechny připomínky k němu a za upozornění na chyby, překlepy, nedůslednosti, nejasnosti ... Zdeněk Pospíšil září 2021 Kapitola 1 Explicitní rovnice prvního řádu 1.1 Separovatelné rovnice 1.1.1 Rovnice typu x' = f (t) Jedná se v podstatě o rovnost, jíž je definována primitivní funkce k dané funkci /. Obecné řešení této rovnice tedy je x(t) = í f(t)dt a partikulární řešení splňující počáteční podmínku x(0)=x0 (1.1) je dáno určitým integrálem t x(t) =x0+ í /(r)dr; to samozřejmě za předpokladu, že příslušná primitivní funkce nebo určitý integrál existují. Příklad: Řešení rovnice Vt{i + t) je dáno integrálem ľ dt ľ 2sds ľ ds - r ^ x(t) = / -p- = / —-t- = 2 1-- = 2 arctg s + C = 2 arctg Vt + C, Vt{l+t) J s(l + s2) J 1+s2 kde C je integrační konstanta; při výpočtu jsme použili substituci s = yft. ■ Příklady na užití rovnice tohoto typu je nalezení rovnice křivky traktrisa (tractrix) 5.1 nebo Ciolkovského rovnice 5.2. 1.1.2 Rovnice autonomní x' = g(x) Na pravé straně autonomní rovnice není explicitně přítomná nezávisle proměnná t. Derivaci vyjádříme jako podíl diferenciálů a rovnici přepíšeme do tvaru dx 1 2 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU který formálně upravíme na tvar dx —- = dí; g(x) na levé straně je diferenciál funkce , na pravé diferenciál nezávisle proměnné. Z rovnosti diferenciálů funkcí plyne rovnost příslušných primitivních funkcí dx dí. Touto rovností je implicitně zapsáno řešení dané diferenciální rovnice. Při hledání řešení autonomní rovnice s počáteční podmínkou (1.1) takovou, že g{xo) 7^ 0, nahradíme neurčité integrály určitými. Na levé straně integrujeme v mezích od xq do x a na pravé v mezích od íq do t; přitom musíme přeznačit integrační proměnné. Řešení počáteční úlohy je tedy imlicitně dáno rovností x t g(0 xq to dr a poněvadž integrál na pravé straně lze snadno vyjádřit, zapíšeme řešení počáteční úlohy v implicitním tvaru x g(0 t-t0. (1.2) x0 Příklad: Řešme počáteční úlohu x' = x — x3, x(0) = ^. V tomto případě je íq = 0, xq = ^, g{x) = x — x3. Na pravé straně rovnosti (1.2) je nyní t a na její levé straně je dx £-£3 i U 2(£ + l) 2(£-l) d£ i m * 2 1 1 2 2 2 |£2 - 1| „2 1 / x ., = 2 ln — + ln3 neboť x(t)2 — 1 = i — 1 < 0 pro i = 0a tedy v okolí 0 je |x(t)2 — 1| = 1 — x(t)2. Řešení úlohy je proto implicitně dáno rovností i(lnr^+ln3|=t, po uprave 2t - ln 3 = ln ■ x2 1-x2 Odtud vyjádříme--^ = 5e2*i takže řešení úlohy můžeme napsat v explicitním tvaru 1 x(t) = , 1.1. SEPAROVATELNÉ ROVNICE 3 1.1.3 Rovnice se separovanými proměnnými x' = f(t)g(x) Tuto rovnici můžeme pomocí diferenciálů zapsat ve tvaru ^ = /(*)dxdx = -C. Z ní můžeme vypočítat řešení rovnice (1.11) ve tvaru kde C je libovolná konstanta. ■ 1.3 Lineární rovnice Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je tvaru x' = a(t)x + b(t); (1.12) na její pravé straně je polynom prvního stupně v proměnné x, tedy lineární funkce. Pokud je funkce b na pravé straně rovnice (1.12) identicky nulová, b(t) = 0, nazýváme rovnici homogenní, v opačném případě nehomogenní. 10 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 1.3.1 Lineární homogenní rovnice x' = a (t)x Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení této rovnice s počáteční podmínkou (1.1) je: x ff x0 t = J a(r)dr t — Iiixq = / a(r)dr to t r x = xqexp / < *0 Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat jako t x = C exp J a(r)ďr, (1-13) to kde C je libovolná konstanta a íq Je nějaké číslo z definičního oboru funkce a. 1.3.2 Lineární nehomogenní rovnice x' = a(t)x + b(t) Uvedeme tři možné způsoby nalezení řešení lineární nehomogenní rovnice. V prvních dvou předpokládáme nějaký tvar výsledku; za takovými předpoklady jsou dvě různé možné interpretace nehomogenní rovnice. Třetí metoda je obecná. Očekávaný tvar řešení a jeho následné konkrétní vyjádření ponechává nejistotu, zda by nemohlo existovat také nějaké jiné řešení. První dvě metody tedy odpovídají na otázku po existenci řešení, třetí metoda ukazuje jednoznačnost řešení. Duhamelův princip Nejprve budeme hledat řešení nehomogenní rovnice (1.12) se speciální počáteční podmínkou x(t0) = 0. (1.14) Můžeme si představovat, že rovnice s touto počáteční podmínkou popisuje (modeluje) nějaký proces, při kterém má veličina x na počátku (v čase íq) nulovou hodnotu a v průběhu času se v ní akumulují (integrují) nějaké vnější vlivy. Budeme tedy očekávat, že řešení xp rovnice (1.12) s počáteční podmínkou (1.14) je tvaru t xp(t) = / w(t, s)ds, to kde w je zatím neurčená spojitá funkce dvou proměnných. Takto zavedená funkce xp samozřejmě splňuje počáteční podmínku (1.14). Podle věty o derivaci integrálu podle parametru platí t dw(t, s) x'P(t) = w(t,t) + / ds- to 1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 11 Aby byla splněna rovnice (1.12), musí platit t t w(t,t) + J 9WÍQi ^ds = a(ŕ) Jw(t,s)ds + b(t), to to nebo po úpravě ™(ŕ,ŕ)-&(*) = y ^(tHí,s)-^J ds. to Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když w(s,s) = b(s) (1.15) pro všechna s a ^=«(íWM) (1.16) pro všechna ígla všechna s £ (to, t). Nyní budeme proměnnou s považovat za parametr a proměnnou t za nezávisle proměnnou. Rovnici (1.16) tedy chápeme jako obyčejnou diferenciální rovnici pro neznámou funkci w nezávisle proměnné t. která také závisí na parametru s. Je to rovnice lineární homogenní, počáteční podmínka je dána rovností (1.15) - je-li počáteční čas to roven parametru s, je hodnota funkce w rovna hodnotě b(s). Řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní rovnici bylo v 1.3.1 odvozeno ve tvaru t w(t, s) = b(s) exp / a(r)ďr. Dostáváme tak řešení xp počáteční úlohy (1.12), (1.14) ve tvaru xp(t) = / b(s)es ds. to Již také víme, že řešení xjj lineární homogenní rovnice x' = a(t)x s obecnou počáteční podmínkou (1.1) je t I a(r)dr xH(t) = x0e'o Nyní snadno ověříme, že funkce / a(r)ár ľ fa(r)dr x(t) = xu(t) + xp(t) = xoe'° + / b(s)ea ds t0 je řešením úlohy (1.12), (1.1). Vskutku x'(t) = x'H(t) + x'P(t) = a(t)xH(t) + a(t)xP(t) + b(t) = = a(t)(xH(t)+xP(t)) +b(t) = a(t)x(t) +b(t), 12 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU x(t0) = x h (to) + X p (t0) = xQ + O = x0. Tento výsledek můžeme přečíst tak, že řešení nehomogenní lineární rovnice (1.12) s počáteční poámínkou (1.1) je součtem řešení homogenní rovnice s touto počáteční poámínkou a nehomogenní rovnice s nulovou počáteční poámínkou. Metoda variace konstanty Řešení hledáme ve stejném tvaru (1.13), v jakém je řešení rovnice homogenní, avšak hodnotu C nepovažujeme za konstantní, ale za proměnnou (závislou na nezávisle proměnné t). Můžeme si představovat, že nehomegenita b v rovnici nějak perturbuje (pozmění, rozkolísá, poruší...) řešení „čisté, neporušené" lineární rovnice. Z této úvahy plyne název metoáa variace konstanty. Řešení tedy očekáváme ve tvaru í í Pak x' = (C'(t) + a(t)C(t))exp J a(r)dr. Dosazením do dané rovnice dostaneme to t t t což je rovnice typu (1.1.1). Integrací v mezích od íq do t dostaneme Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je a partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.1) je 1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 13 Užití integračního faktoru Lineární rovnici (1.12) můžeme (při změně označení proměnných) přepsat v „diferenciálním tvaru" (1.11). Tuto rovnici lze vynásobit integračním faktorem P(t) = exp (- J a(t)dt a tak převést na rovnici exaktní. U lineární rovnice není třeba hledat kmenovou funkci příslušného diferenciálu, stačí rovnici integračním faktorem vynásobit a postupně upravit: x'-a(t)x = b(t) /e-/a(*)dí x,e-fa(t)dt_a(t)xe-f*(t)dt = &(í)e-/a(t)dt d 'xe-fa®dt) = b(t)e-fa®dt dt xe -fa(t)dt = J b(t)e-fa(t)dtdt x = efa(t)dt ľ b{t)e-fa(t)dtdt Tím jsme dostali obecné řešení lineární rovnice (1.12) ve tvaru neurčitých integrálů. Při hledání partikulárního řešení rovnice (1.12) s počáteční podmínkou (1.1) postupujeme analogicky: t - I a(r)dr «0 x'(t) — a(t)x = b(t) /e t t - I «(-r)dr - / a(-r)dr x'(t)e 'o - a(t)x(t)e 'o = b(t)e t I a(r)dr '0 d / -/i(t)<ít\ - ^(t)e 'o j = b(t)e t f a(r)dr t - I «(-r)dr x(t)e t0 ~x(t0) t = Ju. to — j a(r)dr )e t0 ds f a(r)dT í p — j a(r)dT x (t) = e'o \x0 + / b(s)e 'o ds I (1.19) ío Třemi různými postupy jsme dospěli k vyjádření řešení počáteční úlohy (1.12), (1.1) pro lineární rovnici. Snadno nahlédneme, že výsledky (1.17), (1.18) a (1.19) jsou stejné. Jsou-li koeficienty lineární rovnice konstantní, a(t) = A, b(t) = B, pak je její partikulární řešení s počáteční podmínkou (1.1) dáno formulí x(t) = (x0 + |) e**-*> - \ . Příklad na užití lineární rovnice je 5.6. 14 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 1.4 Bernoulliova rovnice x' = a(ť)x + b(t)xr, r G K. i i i ^ Zavedeme funkci u = u(t) = x (t) . Pak x = u1-r, x' = -u1-r u'. Dosadíme do dané 1 — r rovnice: X r 1 r _r u1-ru = a(í)u1-r + b{ť)u1-r j (1 — r)ur- 1 — r u' = (1 - r)a(í)u+ (1 - r)b(t). To je lineárni rovnice pro neznámou funkci u. Jsou-li koeficienty konstantní, a (t) = A, b(t) = B, lze použít substituci X=[y-A pak i / By^-1 . X=-—{y-A] y a tedy - — 1 A + B- » y r - 1 V Ay- B J A 1 . Ay - AB + A£ - B 1-r Ay-B A y' = (1 - r)Ay, což je lineární homogenní rovnice. Příklady na užití Bernoulliovy rovnice jsou 5.6 a 5.7. 1.5. CVIČENÍ 15 1.5 Cvičení Reste rovnice (Cauchyovy úlohy) I) 2t(2x - 3)dí + (t2 + l)dx = 0 3) texdx + ——dt = 0 x 5) t2dx + (x2 - tx)dt = 0 / . x x\ x , 7) í sm--x cos — dt + t cos — dx V t t) t 9) tdx + xdt = sin ídí II) e2xdt + 2(te2:E - x)dx = 0 13) (i + x)dt + (i + x2)dx = 0 15) (í2 + t - x)dt + tdx = 0 17) x' + 2x = i; x(0) = 2 2) dx -A—x 4) Vl +t2 dx +v/xT~ ldí = 0 0 , dí dx 8) 2— y dí í + x x — í - x = e*/2 10) (í - 1)V + 4(í - l)2x = t + 1 12) (x2 + l)dí + (2tx + l)dx = 0 14) tdx - xdt + t3dt = 0 16) (cos t + x cos t)dt + dx = 0; x(ir/2) = 0 18) (i + 2x)dt + (x + 2t)dx = 0; x(l) = 1 19) Určete konstanty a, b, c tak, aby rovnice (at2 + 6x2)dt + ctxdx vyřešte ji. 0 byla exaktní a Výsledky: _3 _C_ 1>x- 2 + {t2 + l)2 5)x = —n~—77 6) - ln(t2 + x2) + arctg — = C 7)x = t arcsin — 8)x = —t-^-e*/2 2)ex = eí+C3)ex(x-l) + ^-+ln| C4)(xVxt^T)(íVí2TT) = c 9)x = 14)x ln |ŕ| + C C — cos t t 2 10)x t t3-3t + C 3(t - l)4 ll)t x2 + C -2x Ct — 15)x 2 y Ct-t2 -tln|t| 16)x = e 1—sin i í C — x . í2 x3 12)t = - 13) — + txH-- y x2 +1 y 2 3 _ i i7)x = í + ^e-2i - -y 2 4 4 C 18) x =V3í2 + 6 - 2í 19)c = 26; -+ btx2 3 c KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU Kapitola 2 Implicitní rovnice prvního řádu Tyto rovnice nazýváme také diferenciální rovnice nerozřešené vzhledem k derivaci. Jedná se o rovnice tvaru F(t,x,x') = 0. (2.1) Obecný postup při řešení těchto rovnic spočívá v zavedení funkce p = p (t) = x'(t) a následném derivování rovnice F(t,x(t),p(t)) =0 podle proměnné t. Tímto způsobem se v některých případech podaří najít řešení dané rovnice v parametrickém tvaru t = tp(p), x = v(p); proměnnou p přitom považujeme za parametr. Uvedený postup je použitelný zejména v případech, kdy lze z rovnice (2.1) vypočítat proměnnou t nebo x, viz 2.1. Je-li funkce F polynomem v proměnné x' s koeficienty závisejícími na proměnných tax, není potřeba přepsanou rovnici F(t,x,p) =J2ai(t,x)pi = 0 i=0 derivovat podle proměnné t; postup řešení ukážeme v 2.2. 2.1 Rovnice rozřešené vzhledem k t nebo x 2.1.1 Implicitní autonomní rovnice x = f (x1) Označíme p = p (t) = x'(t), rovnici přepíšeme do tvaru x(t)=f{p(t)) a zderivujeme podle proměnné t, p(t)=f'(p(t))p'(t). 17 18 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU Pokud je /'(p(í)) 7^ 0, tj. pokud je funkce / nekonstantní, můžeme z poslední rovnice vypočítat p'(t). Dostaneme tak explicitní autonomní diferenciální rovnici pro neznámou funkci p ve tvaru / P P ~ ľ(py která má podle 1.1.2 řešení dané implicitně rovností páp 7{p)' To je parametrické vyjádření původní nezávisle proměnné t. Původní závisle proměnná x je parametricky vyjádřena danou rovností x = f(p). Povšimněme si, že integrační konstanta se objevuje pouze u nezávisle proměnné t. Tato konstanta je aditivní. To znamená, že řešení autonomní rovnice je invariantní vzhledem k posunutí v nezávisle proměnné. Pokud je nula v definičním oboru funkce /, pak je také konstantní funkce x = /(O) řešením dané rovnice. Příklad: xx' — 2(x')4 + 2 = 0 S označením p = x' tuto rovnici přepíšeme jako xp - 2p4 + 2 = 0. Vidíme, že p = 0 není kořenem této (algebraické) rovnice. Můžeme proto vypočítat x = 2--. (2.2 P Tuto rovnost derivujeme podle proměnné t a upravíme: / p 4p3p - (p4 - 1) , x = 2-k-p pL n 3p4 + 1 dp P = 2-2—17 pz dt dt = 23-?-±±dp t = 2 f (3p + dp = 2 (%- - + C p3 J \ 2 2p2 3p4 - 1 p2 + C. (2.3) Rovnostmi (2.3) a (2.2) je vyjádřeno řešení dané rovnice v parametrickém tvaru. 2.1.2 Rovnice tvaru t = f (x, x') Označíme p = x' a dostaneme rovnici t = f (x,p), 2.1. ROVNICE ROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K T NEBO X 19 kterou zderivujeme podle proměnné t, i t f ^dx , , dP 1 = tx(x, p)—--h 7» — • Jx\ ,ľJdt JP([t Poněvadž platí dt ^ dt dx dt ^dx' dx dp dp dx dp ďí=P " můžeme předchozí rovnici upravit na tvar dp dx' 1 =pfx{x,p) +pfP{x,p) tj- dx _ 1 -pfx(x,p) dp pfP(x,p) což je rovnice explicitní pro neznámou funkci x s nezávisle proměnnou p. Její řešení označíme V>(p). Rešení dané implicitní rovnice má tedy parametrické vyjádření t = f{ip{p),p), x = ij){p). Příklad: t = (x-x')x' Označíme p = x', rovnici přepíšeme, zderivujeme podle proměnné t a upravíme: t = (x — p) p t 2 . dP o dP 1 = p + x--2p— 1 dt 1 dt 2 dP 1 — p = (x — 2p) — 1 y 1 J dt 2 dP l—p = (x — 2p)—p dx 1 — p2 = (xp — 2p2) — . dx Předpokládejme nejprve, že p2 ^ 1. Pak lze rovnici dále upravit na tvar dx p 2p2 — rX dp 1 — p2 1 — p2 což je lineární rovnice pro neznámou funkci x proměnné p. Její řešení najdeme užitím inte- 20 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU gračního faktoru: dx p 2p2 j -- dp pz — 1 pz — 1 I V P2 - 1 T" + dx p 2p2 dp ^/p2 - 1 ^p2 - 1 d / O—T\ _ 2p2 (x \/p2 - lj dp V 7 v^3! p2 dp x \/p2 — 1 fp -\/p2 — 1 + ln p + |2 — ]^ v + const x = pH-- ln C (p + a/p2 — 1) • \/p2 — 1 ^ ' Vyjádření proměnné í jako funkce parametru p dostaneme dosazením tohoto výrazu do dané rovnice. Řešení dané rovnice v parametrickém tvaru tedy je t = J— incfp+vV-l), \JpA — 1 v 7 x = p H---j^=^= ln C fp + \Jp2 — l) . \Jp2 — 1 ^ ' Ještě poznamenejme, že parametr p se pohybuje v intervalu (0,1) nebo v intervalu ( — 1, 0) a integrační konstanta C je nenulová a má stejné znaménko jako parametr p. Nyní vyšetříme zatím vyloučený případ p2 = 1. Pokud p = x' = 1, pak x = t + A & dosazením do dané rovnice dostaneme t = (t + A — 1), takže A = 1. Další řešení dané rovnice je tedy dáno explicitně rovností x = t + l. Pokud p = — 1, pak x = — t + B a dosazením do dané rovnice najdeme B = — 1. Třetí řešení dané rovnice tedy je x = -t - 1. 2.1.3 Rovnice tvaru x = f (t, x') Při označení p = x' máme rovnici x = f(t,p), (2.4) nebo podrobněji x(t)=f(t,p(t)), kterou derivujeme podle proměnné t. S využitím „řetězového pravidla" pro derivaci složené funkce dvou proměnných dostaneme P(t)=ft{t,p(t))+fp{t,p(t))^. (2.5) 2.1. ROVNICE ROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K T NEBO X 21 Pokud je p ft(t,p), pak rovnici (2.5) přepíšeme do tvaru & = fP(t,p) dp v-ft{t,vY což je explicitní diferenciální rovnice pro neznámou funkci t jedné proměnné p. Najdeme její řešení t = ip(t) a dosadíme ho do dané rovnice (2.4). Dostaneme tak řešení dané rovnice v parametrickém vyjádření t = tp(p), x = f{ 0. Rovnici tedy můžeme dále upravit na tvar dí 2 1 dp p pz což je lineární rovnice, která má podle 1.3 řešení 1 C t = - + -z. p pz Toto vyjádření dosadíme do dané rovnice a dostaneme 1 C\ ( C\ - + -^p-lnp = 2H---lnP. P P J V P J Obecné řešení dané rovnice v parametrickém tvaru tedy je _ P+R x = 2^—---ln p. P V tomto případě lze parametr p eliminovat. Z první rovnice vypočítáme 1 ± y/l + 4Cí P=-2t- a dosadíme do druhé. Po úpravách dostaneme :(t) = 1 ± y/l + 4Cí - ln 1 ± y/l + 4Cŕ 2í Řešení se znaménkem „+" je definováno na intervalu (0, oo) a integrační konstanta C může být libovolná; řešení se znaménkem „—" je definováno na intervalu ( —oo, —— a konstanta 4C C musí být záporná. 22 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU Clairautova rovnice x = tx' + g (x') Rovnici x = tp + g (p) derivujeme podle proměnné t: dp . dp p = p + tYt+9{p)Tt dp Musí tedy být — = 0 nebo t = —g'(p). Z první rovnosti a dané rovnice dostaneme obecné řešení x (t) = ct + g (c), kde c G M je libovolná konstanta; z druhé rovnice dostaneme parametrické vyjádření singulárního řešení t = -g'(p) x = -pg'ip) + g(p), kde p je parametr. Lagrangeova rovnice x = tf(x') + g (x') Rovnici x = t f (p) + g (p) derivujeme podle proměnné t: p = f(p) + tnP)ft+g'(p)ft p-f (p) = (tnP)+g'(p))ft Má-li rovnice p — f (p) = 0 řešení p = c, pak x (t) = ct + c\ je singulárním řešením dané rovnice. Konstantu c\ určíme dosazením do dané rovnice: ct + ci = t f (c) + g (c) ci = t(f(c)-c)+g(c) a poněvadž f (c) = c, je c\ = g (c). Singulární řešení Lagrangeovy rovnice tedy je x (t) = ct + g (c), kde c je řešením rovnice c = f (c) (je pevným bodem funkce /). Pro p^f(p) dostaneme dí = t f (p) + g'{p) dp p- f (p) což je lineárni rovnice pro neznámou funkci t nezávisle proměnné p. Označíme-li její řešení t = t(p) = ip(p), pak t = (p(p) x = fip) 0 a t < 0, jsou tyto rovnice tvaru x ' = v^v7—t, x' = — v^v7—t, což jsou rovnice se separovanými proměnnými. První z nich má podle 1.1.3 řešení v implicitním tvaru J = j y/^idt, tj. 2y/x = -|v/^í5 + const. Dostáváme tak další řešení dané rovnice 24 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘADU definované na intervalu ( — oo, 0]. Ze druhé rovnice dostaneme řešení x2{t) = (c2 + ±v^ definované také na intervalu (—oo, 0]. Analogicky dostaneme další dvě řešení x3(t) = - (C3 - Iv^)2 , x4(t) = -(c4 + lv^ definovaná na intervalu [0, oo). Rovnici (2.6) můžeme uvažovat s počáteční podmínkou x(t0) = (2.7) Pokud to£o < 0 a ío 7^ 0, má úloha (2.6), (2.7) v okolí bodu íq dvě diferencovatelná řešení, která můžeme souhrnně zapsat jako x(t) = -sgnío (V\ČM~\±Í ( vWF- ví?"2 3 pokud £o = 0 7^ Í0) má úloha (2.6), (2.7) v okolí bodu íq dvě diferencovatelná řešení x(t) = -| sgnío (vW- vlf)2, x(t)=0; pokud £o 7^ 0 = Í0) má úloha (2.6), (2.7) dvě diferencovatelná řešení x(t) = sgn£0 fV^\±kVW^2 která jsou pro £o < 0 definována na pravém okolí bodu to, pro > 0 na levém okolí bodu to; pokud £o = 0 = Í0) Pak libovolná z funkcí Í0, *<0, . . ív73^, í<0, . . /-- x(í) = 0, x(í) = < ' x(í) = <^ x(í) = -iV i w w \-Ví3, *>o, \o, *>o, w VM je diferencovatelným řešením úlohy (2.6), (2.7) na okolí bodu íq. ■ Kapitola 3 Lineární rovnice vyššího řádu a lineární systémy 3.1 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty Jedná se o rovnice tvaru x(n) + an_ix(n_1) + an_2a:(n~2) H-----h a2x" + axx' + a0x = b(t). (3.1) Přitom ao, ai, a2, ■ ■ ■, an-i jsou reálné konstanty, b je reálná funkce jedné reálné proměnné. Pokud je funkce b na pravé straně identity (3.1) nulová, b(t) = 0, rovnice se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní. 3.1.1 Homogenní rovnice Budeme hledat řešení rovnice x(n) + an_ia;(n_1) + • • • + aľx' + a0x = 0. (3.2) Připomeneme základní pojmy a tvrzení teorie lineárních homogenních rovnic n-tého řádu. • Princip superpozice: Jsou-li y± = yi(t) a y2 = y2Íf) řešení rovnice (3.2), pak také jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech funkcí, které jsou řešením rovnice (3.2) tvoří vektorový prostor. • Množina všech řešení rovnice (3.2) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem reálných čísel. • Báze prostoru všech řešení rovnice (3.2) se nazývá fundamentální systém řešení. • Funkce y±, y2,..., yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2) právě tehdy, když každá z těchto funkcí funkcí je řešením rovnice a jejich wronskián W(t;y1,y2, ...,yn) yi(t) m{t) ■ Vn(t) y[(t) yf2(t) ■ ■ y'n(t) r_1)(t) . vir*® 25 26 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY je nenulový pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné i (a v důsledku toho je nenulový pro všechny reálné hodnoty i). Nejjednodušším případem rovnice (3.2) je samozřejmě rovnice prvního řádu x1 — ax = 0, (3-3) která má podle 1.3.1 řešení x(t) = Ceat. Funkce yi(t) = eat je kladná, proto je wronskián W(t;yi) nenulový. Funkce y± je tedy fundamentálním (systémem) řešením rovnice (3.3). Uvedené pozorování napovídá, že i rovnice vyššího řádu by mohla mít řešení ve tvaru exponenciálních funkcí. Rovnice druhého řádu: Rovnici pro jednoduchost zapíšeme ve tvaru x" - ax' + bx = 0. (3.4) Řešení budeme hledat ve tvaru x(t) = ext se zatím neurčeným koeficientem A. Očekávaný tvar řešení dosadíme do rovnice a dostaneme A2eAí - aAeAí + bext = 0. Poněvadž eAí > 0, můžeme předchozí rovnost funkcí eAí vydělit. Tím dostaneme (algebraickou) rovnici pro neznámý koeficient A, A2-aA + 6 = 0. (3.5) Tato rovnice se nazývá charakteristická (algebraická) rovnice příslušná k (diferenciální) rovnici (3.4), její levá strana se nazývá charakteristický polynom rovnice (3.4). Charakteristická rovnice (3.5) je kvadratická. Mohou tedy nastat tři případy: (i) a? > 4b. V takovém případě má rovnice (3.5) dva reálné různé kořeny Ai,2 = \ [a± Va2 -46] a funkce dané výrazy yi(t) = eM«+V^46)í, y2(t) = e!(«-v^46)í jsou řešením rovnice (3.4). Poněvadž W(0;yi,y2) \ (a + Va2 - 46) \{a- V'a2 - 46 ■ V a2 -46 < 0, tvoří tyto funkce fundamentální systém řešení rovnice (3.4). Pro zjednodušení zápisu ještě označíme ip = a2 — 46 a fundamentální systém řešení rovnice (3.4) zapíšeme ve tvaru yi(t) = eiaíe^, y2{t) = e^e^*. Obecné řešení rovnice (3.4) tedy je x(t) = (Ae^ + Be-^eH kde A, B jsou libovolné reálné konstanty. 3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 27 (ii) a2 < 46. V takovém případě má rovnice (3.5) dva komplexně sdružené kořeny Ai,2 = ^(a± iV46 - a2 Komplexní funkce dané rovnostmi Zl(t) =eXlt = e^at (cos ^V46 — a2t + isin ^V46 — a2t z2(t) =eX2t =e2aí (ros \ V46 - a21 - i sin ± V46 - a21 jsou řešením diferenciální rovnice (3.4) a podle principu superpozice také reálné funkce í/ií*) = ^M^ + ^C*)) = e^ílícos±v/46^2t, y2(í) = l-(Zl(t) - Z2(t)) = e^aísin±v/46-a2t jsou řešením rovnice (3.4). Poněvadž W(0;yi,y2) U W46 - -2 W46 - a2 > 0, 2"" 2 tvoří funkce y± = yi(t), y2 = 2/2 (í) fundamentální systém řešení rovnice (3.4). Pro zjednodušení zápisu ještě zavedeme označení ip = ^V46 — a2. Fundamentální systém řešení pak zapíšeme ve tvaru yi(t) = e^at cos ípt, y2{t) = e^at sin ípt. Obecné řešení rovnice (3.4) pak je dáno jedním z ekvivalentních výrazů x(t) = (Ci cos ipt + C2 sin tpt)e^at = Ae^at cos(pt - /3), kde Ci, C2, a A, (3 jsou libovolné konstanty; konstanty C\, C2, A, (3 v předchozí rovnosti jsou vázány vztahy Ci . C2 A = JCf + Ci, cos/3= sin/3 (iii) a2 = 46. V tomto případě diferenciální rovnice (3.5) a k ní příslušná charakteristická rovnice mají tvar x" - ax' + \a2x = 0, A2 - aX + ±a2 = 0. (3.6) Charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen Ai = ^a. Proto funkce y± daná předpisem yi{t)=e*at je řešením rovnice (3.4) a je kladná. Potřebujeme najít druhou složku fundamentálního systému řešení rovnice (3.4). Spolu s rovnicemi (3.6) uvažujme „blízké" rovnice x " - {a + e)x' + \a{a + 2e)x = 0, A2 - (a + e)A + \a{a + 2e) = 0. (3.7) 28 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY Tyto rovnice přejdou pro e —> 0 v rovnice (3.6). Kvadratická rovnice v (3.7) má pro £ 7^ 0 dva různé kořeny Ai = ^ffl a A2 = ^fl + £, takže diferenciální rovnice v (3.7) má fundamentální systém řešení yi(t) e2 at Zl(t) e\2 a+e )t Podle principu superpozice má tato rovnice také řešení dané vztahem zi(t)-yi(t) Z2 0 bude řešením diferenciální Poněvadž řešená diferenciální rovnice v (3.6) je pro e —> 0 rovna diferenciální rovnici z (3.7), lze očekávat, že také limitní funkce z2 pro e rovnice v (3.6). Položme y2(t) = limWí). S využitím de l'Hôpitalova pravidla vypočítáme y2(t) = lim eV2 a+e i ea at lim e^O íeVä a+e i 1 íe2 at Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce 7/2 > 2/2 (í) = íe2aí, je skutečně řešením diferenciální rovnice v (3.6). Dále platí ^(0; 2/1,1/2) 1 0 \a 1 1/0, a proto funkce 2/1 = yi(t), 2/2 = 2/2(í) tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.6). Obecné řešení rovnice (3.6) je tedy tvaru x(t) = (A + Bt)e kat kde A, B jsou libovolné konstanty. Rovnice obecného řádu: Řešení lineární homogenní rovnice n-tého řádu (3.2) je bezprostředním zobecněním řešení rovnice druhého řádu. K diferenciální rovnici (3.2) přiřadíme algebraickou charakteristickou rovnici \n + an_1\n-1 + ---+a1\ + a0=0. (3.8) Její kořeny a jejich násobnosti jednoznačně určují fundamentální systém řešení diferenciální rovnice (3.2); to podrobně shrnuje následující věta. Věta 1. Každému reálnému k-násobnému kořenu A charakteristické rovnice (3.8) odpovídá k řešení ext, text, í2eAi,..., r^V, diferenciální rovnice (3.2) a každé dvojici j-násobných nereálných kořenů a ± i/3 charakteristické rovnice (3.8) odpovídá 2j reálných řešení eat cos 0t, teat cos f3t, t2eat cos f3t,..., r^V* cos f3t, 3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 29 eaísin/3í, teat sin /3t, t2eat sin /3t,..., r^V* sin/3t diferenciální rovnice (3.2). Množina řešení odpovídající všem kořenům charakteristické rovnice (3.8) tvoří fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty (3.2). Důkaz věty provedeme ve třech krocích. Lemma 1. Pokud X je k-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce Xl(t) = ext, x2{ť) = text, x3(t) = t2ext, xk(t) = ifc_1eAí jsou řešení rovnice (3.2). n Důkaz: Označme an = 1 a P(X) = aí^ pravou stranu charakteristické rovnice (3.8). i=0 Poněvadž A je fc-násobný kořen charakteristické rovnice, platí —P(A) = 0 proi = 0,l,2,...,fc-l. (3.9) Funkce x\ = x\(€) = tl~1ext, l = 1, 2,..., k vyjádříme ve tvaru gl-l Xl{t) = dx^eXt> dosadíme je do pravé strany rovnice (3.2) a upravíme s využitím Leibnizovy formule pro vyšší derivace součinu funkcí. Dostaneme y^aixÝ'Ot) = V ai—'—r-e^ = —;—r V ai—ext = —j—r Va^e^ = f 1 u ^ dťdX1-1 dX1-1 4^ dt% dX1-1 ^ - t **) - & (^) -e (',;) -. \ i=0 / i=0 v 7 podle (3.9). Funkce x\ tedy splňují rovnici (3.2). □ Lemma 2. Nechť X±, X2, ■ ■ ■, A; jsou všechny navzájem různé kořeny charakteristické rovnice (3.8), přičemž kořen Aj je ki-násobný, i = 1,2,... ,1, k\ + k2 + • • • + k\ = n. Pak funkce Vl(t) = eAli, y2(t) = te^, y3(t) = t2eX^,ykl(t) = t^e^, Vk1+i(t) = eAži, ykl+2(t) = íeA2Í, ykl+3(t) = tV2*,..., ykl+k2(t) = r^V2',..., yfci+fc2+-+fci_1+i(í) = eAií, yfci+fc2+-+fci_1+2(í) = teAi*, 2/fci+fc2+-+fci_1+3(i) = t2eXlt, yn(t) = r^V'* tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2). 30 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY Důkaz: Každá z funkcí y±, y2, • • • > Vn Je řešením rovnice (3.2) podle lemma 1. Stačí tedy dokázat jejich lineární nezávislost, tj. ukázat, že jejich wronskián W{ť,y1,y2,...,yn) je nenulový pro všechna í £ E. Z teorie víme, že wronskián je buď pro všechna t, nebo je pro všechna t nenulový. Připusťme, že W(t; y±, y2, • • • > Vn) = 0 pro všechna ígK. Wronskián má lineárně závislé řádky a tedy existují konstanty cq, c\, ..., cn_i, mezi nimiž je alespoň jedna nenulová, takové že 0 yi(t) y2(*) • yn(í) y[(t) y2/(t) • I / I I (n~l) což/j + ciy^ H-----h Cn-iy] pro všechna j = 1,2,... ,n. Pro A £ M a n-krát diferencovatelnou funkci x nyní položíme n—1 A=Ai ,Aí A=Ai K-l E i=0 dX 1 ■ K—l A=Ai f)K — 1— j ťeA*A 1 .g(A) A=Ai Zejména pro t = 0 dostáváme 0 K-l 5A* -g(A) A=Ai To znamená, že Ai je kořenem (re — l)-té derivace polynomu q pro každé re £ {1, 2,... , k±}, tedy Ai je fci-násobným kořenem polynomu q. Analogicky ukážeme, že A j je fcj-násobným kořenem polynomu q pro všechna i = 1,2,... ,1. Polynom q tedy musí být stupně alespoň k\ + k2 + • • • + ki = n a to je spor. □ Lemma 2 umožňuje zkonstruovat fundamentální systém řešení lineární rovnice (3.2). Mezi jeho prvky však mohou být i komplexní funkce, neboť polynom na levé straně charakteristické rovnice (3.8) může mít komplexně sdružené kořeny. Popíšeme, jak komplexní funkce z fundamentálního systému nahradíme lineárně nezávislými reálnými funkcemi. Nechť Ac = a + i/3 je fc-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice (3.8). Pak také komplexně sdružené číslo Ac = a — i/3 je fc-násobným kořenem charakteristické rovnice a ve fundamentálním systému řešení z Lemma 2 jsou funkce iJe(<*+W)t = tieai(cos/3í + isin/3í), tV"^* = ŕ?eai(cos/3t - isin/3í). 3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 31 Bez újmy na obecnosti můžeme funkce z fundamentálního systému přečíslovat tak, že yi(t) = tjeat(cos pt + isin/3í), y2{t) = tjea\cos /3t - isin/3í). Lemma 3. Nechť y±, y2, 2/3, • • •, 2/n íe fundamentální systém řešení rovnice (3.2) popsaný předchozí konstrukcí. Položme zi = zi(í) = \{yi{t) +y2(t)) = tjeatcosPt, z2 = z2{t) = ^(y2{t) - Vl(t)) = tjeatsmpt. Pak funkce z±, z2,y%,... ,yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2). Důkaz: Funkce z±, z2 jsou řešením rovnice (3.2) podle principu superpozice. Ukážeme, že funkce z±, z2,y%,... ,yn jsou lineárně nezávislé. Položme W(í) í\ 0 0 ... o\ 1 2 ié 0 0 ... 0 C = 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 Vo 0 0 0 ... 1/ 2/1 (í) 2/2 (*) 2/s(í) y[(t) 2/2 (*) y'3(t) Kyt'Ht) y?'1'(t) yr1'^) (n-l) (n-1). 2/n(í) \ í/n(*) 2/ri)(t)/ Pak detC 2 x2 2 x2 a pro wronskián funkcí z±, z2,y%,... ,yn platí W(r; ^i, ^2,2/3, • • •, 2/n) = det(W(í)C) = det W(í) det C = -W(t; 2/1,2/2, • • •, 2/n) ŕ 0- □ 3.1.2 Nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou Uvažujme nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty (3.1). Lineární homogenní rovnice rovnice (3.2), která má stejné koeficienty ao,ai,...,an jako nehomogenní rovnice (3.1), se nazývá homogenní rovnice přidružená k této nehomogenní rovnici. Řešení nehomogenní lineární rovnice a k ní přidružené homogenní rovnice mají vlastnosti: • Obecné řešení x nehomogenní rovnice (3.1) je součtem obecného řešení xjj přidružené homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení xp nehomogenní rovnice. • Pokud funkce x±, resp. x2, jsou řešení rovnice (3.1) s b = f, resp. s b = g, pak funkce x = x\ + x2 je řešení rovnice (3.10) s b = / + g. 32 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY Partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty (3.1) lze v některých případech najít metodou neurčitých koeficientů: (i) b(t) = Pm(t), kde Pm je polynom stupně m. Je-li nula fc-násobným kořenem charakteristické rovnice (samozřejmě připouštíme i k = 0), lze partikulární řešení hledat ve tvaru x(t) = tkQm(t), kde Qm je polynom stejného stupně jako Pm. (ii) b(t) = eatPm(t). Substituce x(t) = eaty(t) převede rovnici na lineární rovnici n-tého řádu s pravou stranou Pm (předchozí případ). (iii) b(t) = cos (at)Pm(t) nebo f(t) = s'm(at)Pm(t). Najdeme partikulární řešení rovnice + an-ix^-1) + an_2x(n-2) + • • • + alX' + a0x = eiatPm(t) (to je rovnice předchozího typu). Jeho reálná část je partikulárním řešením uvažované rovnice v prvním případě, imaginární část ve druhém. 3.2 Lineární rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je rovnice tvaru x(n) + an_i(r)a;(n_1) + • • • + ai(t)x' + a0(t)x = b(t); (3.10) x je hledaná funkce jedné reálné proměnné, koeficienty aQ,a±,..., an_i a pravá strana b jsou spojité reálné funkce jedné proměnné takové, že průnik jejich definičních oborů obsahuje nějaký otevřený interval J. Pokud je pravá strana nulová, b(t) =0, tj. rovnice je tvaru x(n) + an_i(í)x(n_1) + • • • + ai(t)x' + a0(t)x = 0, (3.11) nazývá se homogenní, opačném případě nehomogenní. Mají-li rovnice (3.10) a (3.11) stejné koeficienty, řekneme, že rovnice (3.11) je homogenní rovnice přidružená k nehomogenní rovnici (3-10). ^ Lineární rovnice s obecnými koeficienty (3.10) má stejné obecné vlastnosti jako lineární rovnice s konstantními koeficienty (3.1): • Princip superpozice: Jsou-li y\ = yi{ť) a y2 = 2/2(í) řešení homogenní rovnice (3.11), pak také jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech funkcí, které jsou řešením homogenní rovnice (3.11) tvoří vektorový prostor. • Množina všech řešení homogenní rovnice (3.11) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem reálných čísel. • Báze prostoru všech řešení rovnice (3.11) se opět nazývá fundamentální systém řešení. • Funkce y±, y2, • • •, 2/n tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.11) právě tehdy, když každá z těchto funkcí funkcí je řešením rovnice a jejich wronskián W{t\y±, y2,..., yn) je nenulový pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné i (a v důsledku toho je nenulový pro všechny hodnoty i £ J). 3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S PROMĚNNÝMI KOEFICIENTY 33 • Obecné řešení x nehomogenní rovnice (3.10) je součtem obecného řešení xjj přidružené homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení xp nehomogenní rovnice. • Pokud funkce x\, resp. x2, jsou řešení rovnice (3.10) s b = f, resp. s b = g, pak funkce x = x\ + x2 je řešení rovnice (3.10) s b = / + g. Pokud funkce yi,y2,... ,yn tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice (3.11), pak její obecné řešení je tvaru xH(t) = ciyi(í) + c2y2(t) + ■■■ + cnyn(t) = y(t)Tc. (3.12) 3.2.1 Partikulární řešení nehomogenní rovnice — variace konstant Budeme hledat nějaké řešení nehomogenní lineární rovnice (3.10). Předpokládejme, že známe fundamentální systém řešení y±, y2,..., yn přidružené homogenní rovnice (3.11). Obecné řešeni xh této rovnice je dáno rovností (3.12). Partikulární řešení nehomogenní rovnice budeme hledat v analogickém tvaru, ovšem vektor c nebude konstantní, ale bude vektorem diferencovatelných funkcí jedné proměnné. Tuto myšlenku (a jejího autora) vystihuje název: Lagrangeova metoda variace konstant. Řešení rovnice (3.10) tedy předpokládáme ve tvaru xP(t) = y(t)Tc(t); složky ci = ci(í), c2 = c2(t), ..., cn = cn(t) vektorové funkce c budeme hledat. Platí x'p(t) = y'(t)Tc(t) + y(t)Tc'(t). Abychom si zjednodušili další výpočty, položíme y(t)Tc'(t) = 0. Je tedy x'P(t) = y'(t)Tc(t) a proto x'p = y"(t)Tc(t) + y'(t)Tc'(t). Podobně jako v předchozím kroku položíme y'(t)Tc'(t) = 0 a dostaneme x'P(t)=y"(t)Tc(t). Takové výpočty a úvahy zopakujeme (n — l)krát. Dostaneme tak *p\t) =yU)(t)Tc(t), j = 0,1,...,n-1, (3.13) y(3)(í)Tc'(í) = 0, j = 0,1,...,n-2. (3.14) Nakonec ještě vypočítáme xP(t) = y^\t)Tc(t) +y^-1\t)Tc'(t). (3.15) Výrazy (3.13), j = 0,1,..., n — 1, a (3.15) dosadíme do levé strany rovnice (3.10) a upravíme: n—1 yU)(t)Tc(t) + yO'-^Víŕ) + £ aj{t)yW{t)Tc{t) = j=0 = y(j-1\t)Tc'(t)+ (yU\t)T + ^aj(t)yUXt)A c(í). 34 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY Poněvadž každá složka vektorové funkce y je řešením homogenní rovnice (3.11), je poslední výraz v závorce roven nulovému vektoru. Levá strana rovnice (3.10) je tedy rovna , takže se tato rovnice transformuje na rovnici yU-1Xt)Tc'{t)=b{t). (3.16) Celkem jsme dostali n algebraických rovnic (3.14), (3.16) pro n složek neznámého vektoru c'(t). Jedná se o systém lineárních algebraických rovnic, který můžeme přepsat do tvaru = 0, = 0, i (3.17) = 0, = Kt), ( ° \ 0 0 VW Determinant matice na levé straně této rovnice je wronskiánem lineárně nezávislých funkcí yiiU2, ■ ■ ■ ,Vn tvořících fundamentální systém řešení rovnice (3.11). Je tedy pro libovolné í nenulový a matice je regulární. Proto můžeme funkce c'i,c2,... ,c'n jednoznačně vypočítat. Jejich integrací získáme hledané funkce c±, c2,..., cn. Partikulární řešení rovnice (3.10) splňující nulovou počáteční podmínku x (to) = 0 získáme tak, že integrujeme v mezích od to do í. Příklad: Najdeme obecné řešení rovnice x" +x = f(t) s obecnou pravou stranou; o funkci / předpokládáme, že je definovaná na intervalu, který obsahuje nulu, a že je integrovatelná. Přidružená homogenní rovnice x" + x = 0 má konstantní koeficienty. Její charakteristická rovnice A2 + 1 = 0 má dva ryze imaginární kořeny Xij2 = ±i, takže fundamentální systém řešení je yi(t) = cosi, y2(t) = siní. Systém rovnic (3.17) je nyní tvaru Ci(t) cos t + c'2 sin t = 0, —Ci (t) siní + c2 cos t = f (t). y[m(t) + + V2(t)c'2(t) y'2(ty2(t) + + y^-2\t)c'i(t)+yt2)(t)c'2(t) + y^-1\t)c'i(t)+y(2n-1\t)c'2(t) + + Vn(t)c'n(t) + yn'(tyn(t) + y(n-2)(tyn(t) + y(n-1](t)c'n(t) nebo maticově yi(t) y[(t) V2(t) yt2)(t) yt2\t) v^-^í) y{r1](t) yn(t) y'n(ť) y(n-2)(t) y{n-1](t)J í c[(t) \ c'2(t) C'n(t) J 3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S PROMĚNNÝMI KOEFICIENTY 35 Odtud vypočítáme cos t sin t — sin t cos t c[(t) 0 sin t f (t) cosi (cosi)2 + (siní)2 = 1 /(í)siní, c'2(í): cos i 0 -siní f(t) f(t) cos í a dále í í ci(í) = — y /(s)sinsds, c2(í) = y /(s)cossds. o o Partikulární řešení dané rovnice, které splňuje nulovou počáteční podmínku x(0) = 0 tedy je z z xp(t) = sint J f(s) cos sds — cos t J/(s)sinsds t t f (s) (sin t cos s — cosísins)ds = J f (s) sin(í — s)ds. o o Obecné řešení dané rovnice tedy je t x (t) = A cos t + f? sin t + J f (s) sin(í — s)ds. 3.2.2 Eulerova rovnice Eulerova rovnice je lineárni rovnice n-tého řádu ve tvaru + a"-lx(n-l) + an-2x(n-2) t t2 + • • • H--r! H--x = g(í), kde ao, ai,..., an-i jsou reálné konstanty a g je funkce definovaná na intervalu (0, oo). Tuto rovnici přepíšeme do tvaru ft'") + an_itn-V™-1) + an_2ŕn-2>xn-2 + ■■■ + aitx' + a0x = f (t); (3.18) přitom f (t) = tng(t). Řešíme ji zavedením nové nezávisle proměnné r, kterou definujeme rovností t = eT, tj. r = Iní. Pak je 36 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY Dosadíme-li do rovnice (3.18), vypadnou faktory t, t2, rovnici s konstantními koeficienty ín, takže dostaneme lineární Příklad: t2x" - 2tx' + 2x = 3í4. Položíme t = er, tj. r = lni a dostaneme dx "ďř d dx dr ďř ďt d 1 dx _Tdx t dr dr' / _ " I -r dx\ dr _ ďix ~ ďř T ďř/ ďt ~ ' ~~ + dx d2x dr ' dr2 _2t íd2x dx\ I ďr2 ~ ďř ) Daná rovnice se tedy transformuje na tvar d2x dx dr2 dr a po triviální úpravě dostaneme rovnici s konstantními koeficienty dx 2--h 2x = 3e' dr 4r d2x dx -rs - 3---h 2x = 3e' drz dr 4r Přidružená homogenní rovnice k této rovnici je (3.19) d2x dx —^ 3— • 2.r 0. (3.20) drz dr její charakteristická rovnice A2 — 3A + 2 = 0 má dva reálné kořeny Ai = 1, A2 = 2, takže obecné řešení homogenní rovnice (3.20) je xh(t) = AeT + Be 2t Nehomogenní rovnice (3.19) má speciální tvar pravé strany. Podle 3.1.2 zavedeme novou neznámou funkci y = y (t) rovností x r e4ry(r) (3.21) Pak máme dx f dy ďr= 4ž/ + ďr)e 4r d2x d ďř 4r 4ďř + ďř^ + 16y+4ďř)e (S+8dř + 16y'e 4r a po dosazení do rovnice (3.20) d2y , ady dy 3e 4r d2y dy ďř^+5ďř+6ž/ = 3' Partikulární řešení této rovnice je podle 3.1.2 polynom stupně nula, tedy konstanta, y = c. Po dosazení do rovnice dostaneme 6c = 3, tj. y(r) dostáváme zpětnou substitucí (3.21) ve tvaru i. Partikulární řešení rovnice (3.19) xplrj Ip4r 2e . 3.3. SNÍŽENÍ ŘÁDU LINEÁRNÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 37 Obecné řešení transformované rovnice (3.19) je dáno rovností x(t) = XH(j) + xp(t) = AeT + Be2r + ±e4r. Z něho zpětnou transformací dostaneme obecné řešení dané rovnice ve tvaru x(ť) = At + Bt2 + k4. 3.3 Snížení řádu lineární homogenní rovnice Může se stát, že známe nějaké nenulové řešení y± = yi(ť) lineární homogenní rovnice n-tého řádu (3.11); takové řešení můžeme například uhodnou z tvaru koeficientů nebo ze znalosti procesu, který rovnice (3.11) modeluje. Zavedeme novou neznámou funkci v = v(t) vztahem x(t) = yi(t)v(t). Pro zjednodušení zápisu zavedeme funkci an(t) = 1 a levou stranu rovnice (3.11) zapíšeme jako n n k=0 k=0 Podle Leibnizovy formule pro vyšší derivace součinu funkcí platí 3=0 Nyní tyto výrazy dosadíme do levé strany rovnice (3.11) a upravíme ji. n n k k=0 k=0 j=0 ^ ' m) n k k=0j=0 EE^) {■) vt3\t)^ = EE^) (•) y?-^ 3=0 k=j W Éfl*(*) (o) *ífc)(*)« + EÍ>(*) (•) yt]\t)v{l) + an{t) j=l k=j k=0 yi(t)v (n) n—1 / n \k=0 j=l \k=j Ea*(*)ľ?°(*)) " + E ( Efl*(*) (vts\t) ) ^+yi(t) Poslední výraz můžeme upravit na yi(t) W + E E^)^yi () j=l \k=j j J yi(t) „(i) neboť funkce y± je nenulovým řešením rovnice (3.11). 38 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY Nakonec zavedeme označení z(t) = v'(t). Rovnice (3.11) se uvedeným postupem transformuje na rovnici nebo ekvivalentně n—2 / n / i \ Í~ Z což je lineární homogenní rovnice {n — l)-ního řádu pro neznámou funkci z. 3.3.1 Nalezení druhé složky fundamentálního systému rovnice druhého řádu Lineární homogenní rovnice druhého řádu má dvojrozměrný prostor řešení. Pokud tedy známe jedno nenulové řešení, stačí najít druhé - lineárně nezávislé - a rovnici máme vyřešenu. Avšak známe-li jedno řešení, můžeme obecným postupem uvedeným výše snížit řád rovnice; tak dostaneme lineární homogenní rovnici, kterou umíme vyřešit způsobem uvedeným v 1.3.1. Tuto myšlenku ukážeme podrobně. Nechť p, q jsou spojité funkce definované na intervalu J. Uvažujme lineární homogenní rovnici druhého řádu ve tvaru x" + p(t)x' + q(t)x = 0 (3.22) a předpokládejme, že známe jedno její nekonstantní řešení y± = y±(t), tedy jednu složku fundamentálního systému řešení. Zavedeme substituci x(t) = yi(t)v(t), (3.23) kde v je zatím neznámá funkce. Pak x' = y[v + y±v', x" = y'{v + 2y'1v' + y±v", tedy y"v + 2y[v' + yiv" + py[v + py\v' + qy\v = 0 yiv" + (2y[ + pyi)v' + (y'{ + py[ +qyi)v = 0 v"+(p + 2^jv' = 0, Dostali jsme diferenciální rovnici pro neznámou funkci v = v(t), ve které se samotná funkce v explicitně neobjevuje (podrobněji se takovým rovnicím budeme věnovat v 4.2.2). Položíme z(t) = v'(t). Pak ^-(P(f) + 2^);. To je lineární homogenní rovnice prvního řádu, takže její řešení je tvaru z(t) = const ■ exp to yi(*) 1 ) í r ^ [ . 1 ~lp(s)ds const ■ exp < —2ln—;—- > exp . , , — , ^ yi(*o)J J yi{t)2 3.3. SNÍŽENÍ ŘÁDU LINEÁRNÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 39 kde íq Je nějaké číslo z intervalu J. Odtud integrací dostaneme hledanou funkci v ve tvaru í "{t) = A + Bí^ to - I P(v)dcr ■e '° ds, kde A, B jsou nějaké konstanty. Zpětnou substitucí (3.23) dostaneme řešení rovnice (3.22) ve tvaru x{t) = AVl(t) + BVl(t) J jjj- to 1 -/p(°")dcr e 'o ds, »)5 tedy jako lineární kombinaci funkcí y± a y2, kde V2(t) = yi(t) 1 - / p(o-)áa e 'o ds. to (3.24) K tomu, aby funkce y2 byla druhou složkou fundamentálního systému řešení řešení rovnice (3.22) stačí, aby byla lineárně nezávislá na funkci y±. To však je splněno, neboť 1 - / p(o-)da - / p(cr)dcr -p 'o H s -I--e 'o to y'2(t) = y'i(t) a wronskián funkcí y±, y2 je roven ž/l (í) W(t,yi,y2) t — J p(cr)ácr ío t —j p(a)da — j p(s)ds ž/iW ž/iW/^e 'o ds + ^e 'o to - f P(s)ds e 'o > 0. Příklad: Najdeme fundamentální systém řešení rovnice „ 2í . 6 , , x" ----zx' +---=x = 0 3.25 1 — tz 1 — tz na intervalu ( — 1,1). Rovnici nejprve vynásobíme dvojčlenem 1 — t2, (1 - t2)x" - 2tx' + 6x = 0. (3.26) Koeficienty této rovnice jsou polynomy. Dále víme, že derivace polynomu je polynom stupně o jedna menšího, druhá derivace polynomu je polynom stupně o dva menšího. Pokud by tedy funkce x = x (t) byla polynomem a dosadili bychom ji do levé strany rovnice (3.26), všechny sčítance by byly polynomy stejného stupně. Tato pozorování mohou vést k nápadu, že rovnici (3.26) by mohl řešit polynom. Budeme tedy předpokládat, že rovnice (3.26) má řešení tvaru yi(í) = (3.27) i=0 40 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY se zatím neurčenými koeficienty a neurčenou horní mezí pro sčítání. Pak je 6yi(í) = 6ap + Qa\t + Qdjr, i=2 y'Át) i=0 i=l 2ty[(t) = ^2íajť = 2aií +^2íajť, y"{t) = ^i(i-i)aíť-2 = J2í(í - i)air-2 = i=l i=2 ^(i + 2)(i + l)ai+2íi i=0 i - *V(t) = ^(i + 2)(i + l)ai+2íi-^i(i-l)aiíi = = 2a2 + 6a3r + ^ [(i + 2)(i + l)ai+2 — «(i -i=2 l)at] t\ Po dosazení do rovnice (3.26) dostaneme 6a0 + 2a2 + (4ai + 6a3)í + JI [(« + 2)(í + l)ai+2 - (i + 3)(i - 2)ať] ť = 0. To znamená, že koeficienty hledaného polynomu splňují vztahy (i + 2)(ž + l) . Q»+2 = ,. w.-rrOj, 1 = 3,4,.... (í + 3)(í - 2) Odtud je vidět, že a4 = a$ = • • • = 0, tj. všechny koeficienty se sudými indexy většími než 2 jsou nulové. Pokud by koeficient a± byl nenulový, byly by nenulové všechny koeficienty s lichými indexy a na pravé straně rovnice (3.27) by nebyl polynom, ale nekonečná řada. Musí tedy být a± = 0. Zvolíme-li nyní ao = 1, dostaneme a2 = —3. Jedno řešení rovnice (3.25) tak dostáváme ve tvaru yi(t) = 1 - 3t2. Lineárně nezávislé řešení y2 rovnice (3.25) dostaneme z formule (3.24), v níž zvolíme íq = 0. V rovnici (3.25) je 2t takže s s - JP(a)da = J ^ = - [In\^ - 1|]^0 = - ln(l - s2) 0 o pro s G (—1,1). Platí tedy t -/p(cr)dcr 1 e 0 =-_ 3.4. SYSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 41 a druhá složka fundamentálního systému řešení rovnice (3.25) je t y2(t) = (1 - 3ť) ds (1 -3s2)2(l -s o Integrál na pravé straně je integrálem z racionální funkce, můžeme ho tedy vyjádřit explicitně, t t ds 1 íl-3s2)2(l 1 3sz + l___ (3s2 - l)2 ~ s2 - 1 t ds 3s2 - 1 2 Iln s - 1 s + 1 s=0 4 3í2 - 1 t ~ 1 í + 1 3 t 1 1+í + -ln- 41 - 3í2 4 yr^72 • Dostáváme tak druhou složku fundamentálního systému řešení lto(t) = i (= 3í + (1 - 3í2)ln- vT^í2 a obecné řešení rovnice (3.25) můžeme zapsat ve tvaru x(t) = A (l - 3t2) + B (3í + (1 - 3í2) ln 1+t vT^i2 y' Ještě poznamenejme, že rovnice (3.26) je speciálním případem Legendreovy rovnice (1 - t2)x" - 2tx' + vx = 0. Tato rovnice má řešení ve tvaru polynomu stupně n právě pro v = n{n + 1). 3.4 Systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty Jedná se o soustavu obyčejných diferenciálních rovnic tvaru a\\x\ + aí2x2 + a2\x\ + 022^2 + aníxi +an2x2 + + alnxn + bi(t) + a2nxn + b2(ť) (3.28) Přitom djj, í,j = 1,2,... ,n, jsou reálné konstanty, 6j = 6j(í), i = 1,2,... ,n, jsou reálné funkce jedné reálné proměnné. Pokud jsou všechny funkce b\,b2,... ,bn na pravých stranách rovnic (3.28) nulové, systém se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní. Lineární systém (3.28) můžeme zapsat v maticovém tvaru /x[\ (au a12 ... aln\ fx±\ fh(t)\ \xnJ a2\ a22 a2r, 7 nebo stručněji \ani an2 ... x' = Ax + b(t). x2 + 42 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY 3.4.1 Homogenní systémy Homogenní systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty je tvaru x[ = anxi + ai2x2 + ... + a\nxn x'o = a2\Xi + 022^2 + ••• + CL2nXn (3-29) Xn — Cln\X\ -\- Clfi2x2 ... dnnXm nebo v maticovém zápisu x' = Ax. (3.30) Připomeneme základní pojmy a tvrzení teorie lineárních homogenních n-rozměrných systé- Princip superpozice: Jsou-li y\ = y\{ť) a y% = y%(t) řešení systému (3.29), pak také jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech vektorových funkcí, které jsou řešením systému (3.29) tvoří vektorový prostor. Množina všech řešení systému (3.29) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem reálných čísel. Báze y\ = yi(t), y% = yz(t), ..., yn = yn{ť) prostoru všech řešení rovnice (3.29) se nazývá fundamentální systém řešení systému (3.29). Matice mu Y = Y(í) = (yi(t) y2(t) ... yn(t)) se nazývá fundamentální matice řešení systému (3.29). Fundamentální matice Y(i) je regulární pro každé t a splňuje maticovou diferenciální rovnici Y' = AY. Dvojrozměrné systémy: Uvažujme dvojrozměrný lineární homogenní systém s konstantními koeficienty x' =ax+by, ^ ^ y' = cx + dy. Při maticovém zápisu (3.30) tohoto systému je Pokud b = 0 = c, nejedná se o systém rovnic, ale o dvě samostatné rovnice x1 = ax, y' = dy. To jsou lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem, které mají podle 1.3.1 obecná řešení x(t) = Aeat, y(t) = Bedt. Fundamentální systém řešení a fundamentální matice systému (3.31) jsou v tomto případě 0 ea Wl(*)= n > W(*)=L* ' Y(*)"l n 3.4. SYSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 43 Nechť |6| + |c| 0; pro určitost předpokládejme, že b 7^ 0. V takovém případě můžeme řešení systému (3.31) najít metodou eliminace („dosazovací metodou"). Z první rovnice systému (3.31) vypočítáme y, y = (3.32) a dosadíme do druhé rovnice, y' = cx + — (x' — ax) . Dále zderivujeme první rovnici systému a pak do ní dosadíme z předchozí rovnosti. Dostaneme x" = ax' + by' = ax' + b ^cx + — (x' — ax) po úpravě x" — (a + d)x' + (ad — bc)x = 0, neboli x" - (tr A)x' + (det A)x = 0. (3.33) Dostáváme tak, že první složka řešení systému (3.31) je řešením rovnice (3.33), což je lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty; tato rovnice má stejný tvar jako rovnice (3.4), kterou jsme řešili v 3.1.1. Druhá složka řešení je pak dána rovností (3.32). Ještě si povšimněme, že charakteristická rovnice lineární homogenní diferenciální rovnice (3-33) je A2 - (tr A)A + (det A) = 0, což je také charakteristická rovnice matice A. Příklad na užití dvojrozměrného lineárního systému je uveden v 5.5. Systémy obecné dimense: Jednorozměrný systém (3.30) je vlastně homogenní lineární rovnice x' = ax, která má podle 1.3.1 obecné řešení x(t) = Ceat, kde C je reálná konstanta. Můžeme vyzkoušet, zda také systém (3.30) obecné dimense nemá řešení ve tvaru exponenciální funkce, tj. řešení tvaru y = y (t) = wext, kde w je konstantní vektor dimense n a A je zatím neurčená konstanta. Tento očekávaný tvar řešení dosadíme do systému (3.30) a dostaneme Awext = Xwext. Výraz ext je vždy nenulový, proto jím můžeme předchozí rovnost vydělit. Dostaneme rovnost Aw = Xw, která říká,že A je vlastní číslo matice A a tu je příslušný vlastní vektor. Tedy platí: Je-li X vlastní číslo matice A a w je příslušný vlastní vektor, pak vektorová funkce y = y(t) = extw je řešením rovnice (3.30). Toto řešení však nemusí být reálné. Má-li matice A n různých reálných vlastních čísel Ai, A2, • • •, An, pak příslušné vlastní vektory w\,u>2, ■ ■ ■, wn jsou lineárně nezávislé a proto vektorové funkce l/l (í) = eXltWl, y2(t) = eX2tw2, yn(t) = eXntwn tvoří fundamentální systém řešení systému (3.30). 44 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY 3.5 Cvičení Řešte rovnice l)^± + ^±=0 2) x" + tx' = 0 3) tx'" - 2x" = 0 dt2 dt Ukažte, že x = u (t) je řešením dané rovnice a rovnici vyřešte. 4) u = t2; t2x" - 2x = 0 5) u =Vi; x" + Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy) 6) x" + 2x = 0 8) x" + 6x' + 9x = 0 4í2 0 (í > 0) x = 0; x(0) = 1, x'(0) 10) x" 12) x" 14) x" 16) x" 18) x" 20) x" 22) t2x" - tx' + 2x = (lni)2 + x' = sin í + x = cotg í + 2x' = í2 - e* Řešte systémy rovnic 24) x' = -2x + y y' = 3x — 4y 25) x' 7) x" + 6x' + 5x = 0 9) x" - 2x' + 4x = 0 11) x" + 4x = 0; x(0) = 0, x'(0) = 2 13) x" + x = siní 15) x" - 3x' - lOx = -3 17) x" - 3x' = e3í - 12* 19) x" - 8x' = e8í 21) í2x" - tx' +x = í 23) í3x' - í4x2 - í2x = 2 ôy + ôe jX + y - t 26) x' + 3x + 2y = 5 siní y' — 2x + 7y = 8 cos i Výsledky: 27) 4x' + 9y' + 2x + 31y = e* 3x' + 7y' + x + 24y = 3 1) x = Cie-* + C2 2) x = Ci je-1 /2dt + C2 3) x = Cit4 + C2t + C3 4) x = + C2t2 Ci + C2e-2Í 7) x = Cie-* + C2e-5Í 8) x = (d + C2t)e-3Í 3e-* 5) x =v/í(Ciln|í| +C2) 6) x 9) x = e*(Ci cosv/3í + C2sinv/3í) 10) x t cos i e* í2 - 11 x = sin2í 12) x = Ci+C2e-* +--t /e* 14) x = Cie* + C2e-* + y 15) x = Cie5í + C2e-2Í + ^ 16) x = Ci + C2e* + C°Sŕ~SÍnŕ 17) x = Ci + C2e3i + 2í2 + ^ + 4ŕ 13) x = Ci cos t + C2 sin í 18) x = Ci cos t + C2 sin í — sin í ln 1 + cos t 20) x = Ci + C2e-2i + í2 í 4+4 siní 19) x = Ci + C2 + t 21) x = t (Alnt + B + ±(lnt)2) 2Ct-\ _ 2 t2{l-Ct),X~~tž 24) x = Ae~* + Be-5t, y = Ae'1 - 3Be-5t 25) x = Ae*/3 + Se"*/3 - 6í, y = -2Ae^3 - Be'^3 + 9í + \é + 9 6 4 4 3 22) Aí sin(£ + ln í) + (1 + ln í)2 23) x = 26) x = Ae-5í + 5íe-5í + 27) x 5í i 365 338 smi- 307 338 COS t,y=(A-±B) e"5* + Bte'51 + ^ sin í + „.__-4í//TJ A\„„„4. ŕ TJ i : 139 (A cos í + B sin í) + fie* - ff ,y = e~4t((B - A) cos í - (i? + A) siní) - fU* + fj cos í J. 17 Kapitola 4 Další explicitně řešitelné rovnice 4.1 Rovnice s polynomiální pravou stranou Jedná se o rovnice tvaru n X = ^ av(t)xv; (4.1) n«=0 o funkcích ao, ai, • • •, an budeme předpokládat, že jsou spojité. Významné speciální případy jsou rovnice Riccatiho (pro n = 2) a rovnice Ábelova (pro n = 3), které lze transformovat na rovnice poněkud jednoduššího tvaru; v některých případech lze dokonce jejich řešení vyjádřit v kvadraturách. 4.1.1 Riccatiho rovnice x' = p(t)x2 + q(t)x + r(t) O funkci p budeme předpokládáme, že je diferencovatelná. V takovém případě můžeme tuto rovnici užitím Eulerovy substituce x(t) y'(t) p(t)y(t) převést na lineární rovnici druhého řádu. Platí totiž x = py p2y py2 a tedy py p2y py2 0 0 což je lineární homogenní rovnice druhého řádu. Příklad: Uvažujme rovnici t2x' - t2x2 + 3tx - 2 = 0. 45 46 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE Tuto rovnici můžeme přepsat na tvar j Ji ^ ^ x = xl--x + ^r, (4.2) í tz 3 2 je tedy p = 1, g(í) = — —, r(í) = . Zavedeme substituci Pak je y' x,_ y"y-y'y' _ y" | /y/x 2 y2 y v y. 2 3 2 /íA2 3y' 2 x -r+^ = y (4.3) takže rovnice (4.2) se transformuje na tvar _y^ = V + 2_ y íy í2 a po úpravě t2y" + 3tí/ + 2y = 0. (4.4) To je rovnice Eulerova, viz 3.2.2. Zavedeme tedy novou nezávisle proměnnou s vztahem s = lní. (4.5) Pak je , 1 dy „ 1 f d2y dy ^ t ds' ^ t2 V ds2 ds a po dosazení do rovnice (4.4) dostaneme rovnici ^i+2^+2y = 0, (4.6) dsz ds která je lineární s konstantními koeficienty. Její charakteristická rovnice A2 + 2A + 2 = 0 má komplexně sdružené kořeny — 1 ± i. To znamená, že rovnice (4.6) má obecné řešení y(s) = (A cos s + B sin s)e~s. Zpětnou substitucí (4.5) dostaneme řešení Eulerovy rovnice (4.4) y(t) = —(A cos lni + B sin lni). Jeho derivace je y'(t) = ^ ((B - A) cos ln i - (B + A) sin ln i). Po dosazení do transformačního vztahu (4.3) dostaneme řešení původní rovnice (4.2) ve tvaru , . 1 (A- B) cos lni + (A + 5) sin lni , . x(t) =--:-:---:-• (4.7) w í A cos ln í + B srn ln í y J 4.1. ROVNICE S POLYNOMIÁLNÍ PRAVO U STRANO U 47 Riccatiho rovnice (4.2) je však rovnice prvního řádu, její řešení by mělo záviset jen na jedné konstantě. Proto výsledek ještě upravíme. Integrační konstanta A může být nenulová nebo nulová. V prvním případě označíme C = B/A a řešení (4.7) Riccatiho rovnice (4.2) přepíšeme ve tvaru , . (1 - C)coslní + (1 + C)sinlní xít) - v ' í(coslní+ Csinlní) ve druhém případě A = 0 dostaneme řešení tvaru , , sin ln t — cos ln t x(t) = t sin ln t ■ Příkladem na užití Riccatiho rovnice s konstantními koeficienty je model udržitelného rybolovu 5.8. 4.1.2 Ábelova rovnice prvního druhu x' = a(t)x3 + b(t)x2 + c(t)x + d(t) Uvažujme nejprve speciální případ s koeficientem d = 0, tedy rovnici x' = a(t)x3 + b(ť)x2 + c(t)x. (4.8) Bezprostředně vidíme, že tato rovnice má konstantní řešení x = 0. Pro hledání dalších řešení zavedeme pomocnou funkci v vztahem v(t) = exp J c(í)dí; primitivní funkci k funkci c můžeme volit libovolně. Funkce v je kladná, diferencovatelná a platí pro ni Dále předpokládejme, že existuje interval (ía,íw), na kterém je funkce b nenulová. Na tomto intervalu definujme funkci r tak, že r(í) = J v(t)b(t)dt. (4.10) Pak samozřejmě platí r'(t) = ft=v(t)b(t). (4-11) Z nenulovosti funkce b a z kladnosti funce v nyní plyne, že funkce r je na intervalu (ía,íw) (ryze) rostoucí nebo klesající. Existuje k ní tedy funkce inversní r-1. Z těchto důvodů můžeme funkci r chápat jako transformaci nezávisle proměnné t. Zavedeme nyní novou neznámou funkci rj nezávisle proměnné r vztahem x(t)=v(t)r,(r(t)), tj. V(r) = l^r_^y (4-12) Pak s využitím vztahů (4.9) a (4.11) dostaneme levou stranu rovnice (4.8) ve tvaru x = ďtMT)) = Ttv{T) + "^TďT =cvri{T) + v 6^T- 48 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE Pravé strana rovnice (4.8) je rovna ax3 + bx2 + cx = au3?](r)3 + bv2r)(t)2 + cví]{t). Daná rovnice (4.8) se tedy transformuje na tvar dnir) av s 2 Označme a(t)v(t) kde t je taková hodnota z intervalu (ta,tu)), že r = r(t) podle vztahu (4.10). Při tomto označení se tedy rovnice (4.8) transformuje na tvar ^ =9{r)rř+rl2. (4.13) To je opět Ábelova rovnice prvního druhu, ale poněkud jednoduššího tvaru; její koeficienty jsou a = g, b = 1, c = d = 0. Řešení rovnice (4.13) budeme hledat v parametrickém tvaru r = r (p), rj = i](p). Parametr p zavedeme vztahem dr dp pv(r(p))' (4.14) Pak platí d dr] dr d2r _ ďp~PV _V+Pďíďp~ _ 1 fl p 1 dr] dp2 p2r]2 p2r]2 p2 \r] r]2 prj dr = ^(--^š(9(r)v3+V2)) =-^g(r)-pz \r] r]d J pz Dostáváme tak rovnici druhého řádu P2^+9(r)=0 (4.15) pro funkci r = r(p). Pokud se podaří najít řešení r = r(p) rovnice (4.15), ze vztahu (4.14) vyjádříme r)(p) = dr P dp a máme parametricky vyjádřeno řešení transformované rovnice (4.13). Zpětnou substitucí (4.10) a (4.12) dostaneme řešení původní rovnice (4.8). Příklad: Uvažujme rovnici na některém z intervalů (0, oo) nebo (—oo,0). x = xó + txz + - 4.1. ROVNICE S POLYNOMIÁLNÍ PRAVO U STRANO U 49 V tomto případě je pomocná funkce v = v (t) = ~tdt = elní = t a transformovaná nezávisle proměnná je r = t (t) = f t2dt = |t3. Odtud dostaneme t = v7^. (4.16) Nyní definujeme funkci rj = r](r) vztahem x(t) = tr, (|í3) • (4.17) Pak levá strana dané rovnice je x'(t) = n (ií3) + tr,' (ií3) t2 = n{r) + Srn'(t), a její pravá strana je x3 + tx2 + j = t3r]3 + ŕrj2 + r] = t3 [rf + rj2) + rj = 3r (r](r)3 + ??(r)2) + ?j(r), takže daná rovnice se transformuje na v'(t)=v(t)3+v(t)2. (4.18) To je rovnice autonomní a můžeme ji řešit metodami uvedenými v 1.1.2. Budeme však ilustrovat užití uvedeného obecného postupu. Zavedeme tedy parametr p vztahem dr 1 dp pv(r(p))' Derivováním této rovnosti podle parametru p, d2p _ t}{t(jp)) +Pv'{t(p))t'(p) _ dp2 P2v{t(p))2 =ňš? ("(r(í,))" v^éw) (,(T(P))'+"(r(í,)) d2p _ 1 dp2 p2' dostaneme jednoduchou rovnici kterou vyřešíme dvojí integrací, ^ = -+A, t = ln |p| + Ap + B, dp p kde A, B jsou integrační konstanty. Porovnáním s definičním vztahem (4.18) odtud dostaneme 1 1 1 P_+A l + Ap' P Parametrické vyjádření řešení transformované rovnice (4.18) tedy je r = ln |p| + Ap + B, 1 V ~ ~1 + Ap' 50 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE Z transformačních vztahů (4.16) a (4.17) dostaneme řešení dané rovnice v parametrickém tvaru t = \/3ln\p\ + 3Ap + 3B, 1/3 ln lpi +3Ap + 3B x — —-- 1 + Ap Připomeňme si, že podle zadání úlohy je t 7^ 0. Proto můžeme parametrické rovnice vydělit 1 a z této rovnosti vyjádřit x 1 p 1+ Ap It + x A x ' pokud x 7^ 0 a A 7^ 0. Vypočítaný parametr p dosadíme do rovnosti pro nezávisle proměnnou t a dostaneme t po uprave t + x 43/31n — V X t + x -ť H-- 3 X 31n |A| - 3t-^+3B. ln t + x C, (4.19) kde jsme označili C = B — 1n\A\. Rovnost (4.19) vyjadřuje implicitně řešení dané rovnice. Toto řešení však není obecné, při jeho odvození jsme vyloučili možnost A = 0 a neuvažovali apriori známé řešení x = 0. Při volbě A = 0 dostaneme z parametrického vyjádření řešení x = —t. Ještě si můžeme povšimnout, že řešení x(t) = 0 a x(t) = —t jsou mezními případy řešení daných implicitně rovností (4.19) pro C —> 00 a C —> —00. ■ Nyní se věnujme rovnici s nenulovým „absolutním členem" d, tedy rovnici x' = a(t)x3 + b(ť)x2 + c(ť)x + d(ť). (4.20) O funkci a budeme předpokládat, že je na nějakém intervalu {ta,tw) nenulová. Na tomto intervalu definujme pomocné funkce w a r vztahy w(t) = exp / ( c(t) 3a(t)) dí, r(í) = / a(t)w(t)2dt. Tyto funkce jsou diferencovatelné a pro jejich derivace platí b{t)2 ' w'(t) = (c(t) - ^) w(t), r'(t) = a(t)w(tý (4.21) (4.22) Ze spojitosti a nenulovosti funkce a plyne, že funkce r je ryze monotónní. Existuje k ní tedy funkce inversní r-1 a hodnotu r(í) můžeme považovat za transformovanou nezávisle proměnnou. Dále zavedeme novou neznámou funkci rj nezávisle proměnné r vztahem X(t) = w(t)V(T(t)) 3a(t)' 1 W [T -Hr)) X[T 'Hr)) + bÍT-l\T )) H-r-Hr)))' 4.1. ROVNICE S POLYNOMIÁLNÍ PRAVO U STRANO U 51 S využitím vztahů (4.22) transformujeme levou stranu rovnice (4.20), , d / b\ . /dí?(r) lb'a — ba' x = — I wi][r)--I = w r)(t) + wt — dt V 3a J dr 3 a2 b\ di] (t) b'a — ba' C-Ta)WV{T)+aW ~r---3o^- Dále platí 3 ( l \ b\3 3 , n3 u 2 / n2 1 / \& b3 ax = a wi][t)--J = aw i]{t) — bw i][t) H—wi][t)- 3a J 3 a 27a2' j 2 j f / \ ,2,.2 2í)2 m &3 / \ bc bx = b wi][t) - — = bw i][r) - —— wi][t) + —r, cx = cwi][r) - —, \ 3a J 3a 9az 3a takže transformovaná levá strana rovnice (4.20) je axó +bxz +cx + d = awói]{Tf + í c - \ wi]{t) + (d ~ ^ + ) Celkem dostáváme, že rovnice (4.20) po transformaci (4.21) nabude tvaru odijÍT) , , .q bc 2b3 b'a — ba' a™ — = aW^T) +d-3~a+^ + -3^- Poněvadž funkce a je nenulová a funkce to je kladná, můžeme rovnici vydělit výrazem aw3. Dostaneme tak d??(r) _ f \3 1 (j bc 263 b'a-ban dr ~ ??(r) + a^3 \d 3a + 27a2 + 3a2 Pro zjednodušení zápisu označíme 1 / bc 2b3 b'a - ba' (T) ~ ^3 v 3a" + 27o^ + 3a2 přitom hodnotu funkce na levé straně této rovnosti počítáme v takové hodnotě t G (ía,íw)5 že t_1(t) = í. Ábelova rovnice (4.20) se tedy transformuje na rovnici ^W + /(r). (4.23) Tato rovnice se nazývá Ábelova rovnice v normálním tvaru. Rovnici (4.23) lze přepsat jako implicitní rovnici což je implicitní rovnice typu 2.1.3. Příklad: x' = x3 — 3x2 + 2x — e~3í V zadané rovnici je a = 1, b = — 3, c = 2, d(t) = — e~3í, takže pomocná funkce je li,(í)=e/(2-§)di=e-i 52 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE a transformovaná nezávisle proměnná je r(t) = J e-^dt = -V2Í. Novou neznámou funkci rj definujeme rovností x(t) = e-*ri (-ie-2í) + | = 1 + e^ {-\e^) . Nyní postupně vypočítáme x> = -e-tv (-ie-2i) +e-íe-2V {-b~2t) = -e-^ír) +e-3V(r), x3 = 1 + 3e_í77(r) + 3e_2í7;(r)2 + e~3í77(r)3, x2 = 1 + 2e_í7;(r) + e~2í77(r)2, x3 - 3x2 + 2x = e~3í77(r)3 - e^r). Daná rovnice se tedy transformuje na tvar e-3V(r) = e-3í77(r)3 - e"3* nebo stručně — = rf - 1. (4.24) dr To je autonomní rovnice, jejíž řešení podle 1.1.2 získáme integrací, dr] 1 f dr] 1 f 2r] +1 1 /" d?j -d?j-- ^s.x 3 7 7,-1 6 7 772 + 7? +1 2 7 (??+i)2 + 3 1, . 1, . 2 1N VŠ 277 + 1 = — m 77 — 1--mm +77 + I)--arctg--=--h const. 3 6 3 V3 Řešení transformované rovnice (4.24) je tedy v implicitním tvaru dáno rovností 6r + ln —,-+ 2 arctg-=— = const. (í?-i)2 Zpětnou substitucí r] = (x — l)e*, r = — \e~2t dostaneme implicitní vyjádření řešení dané rovnice: (x - l)2e2í + (x- l)e* + 1 r 2(x - l)e* + 1 w ^ ln +-/. \-; , + 2V3 arctg -i-^—--3e~2í = C. (x - 1 )2e2t - 2{x - 1 e* + 1 6 ^3 4.2. ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU, U NICHŽ LZE ŘÁD SNÍŽIT 4.2 Rovnice vyššího řádu, u nichž lze řád snížit 4.2.1 Autonomní rovnice druhého řádu x" = f(x) Rovnici vynásobíme výrazem 2x' a upravíme: 2x'x" = 2x'f(x) d ( ,o\ „dx dt dx' dx dx ~ďx~ďt = V{X'ďt 2/(x) dx'2 dx x'2 = 2 j f(x)dx. Položíme dále F{x) = 2 J f(x)dx a dostaneme x'2 = F(x). To je implicitní rovnice prvního řádu. Můžeme ji tedy vyřešit metodami z kapitoly 2. Konkrétně, položíme p = x' a dostaneme p = ±y/F{x), tj- dx což je rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými. Příklad na použití rovnice tohoto typu je model expandujícího Vesmíru 5.11. 4.2.2 Rovnice typu F(t,x^,x^k+1\ ... ,x^) = 0, k G {1,...,n - 1} Položíme y = y (t) = x^k\t) a dostaneme rovnici F{t,y,y',y",...,y^) = 0, což je rovnice řádu o k nižšího, než daná rovnice. Řešením rovnice tohoto typu je například „psí křivka" uvedená v 5.10. 4.2.3 Autonomní rovnice typu F {x, x', x",..., rr^) = 0 Položíme p = p (t) = x'(t). Pak 54 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE Postupujeme-li tak dále, vidíme, že XW = fJp^P \ dx dxK 1 pro každé k G N. je nějaká funkce k proměnných.) Dosazením do původní rovnice tedy dostaneme F (x v V— h (v^^A f (v ^ _ 0 \ dx \ dx dxz) \ dx dxn 1)) neboli dp dn~1p G [ x,p, —— = 0, \ dx dxn 1J což je implicitní rovnice řádu o jedna nižšího, než daná rovnice. Ještě si povšimněme, že rovnice tvaru 4.2.1 je speciálním případem dané rovnice. Příkladem použití rovnice tohoto typu je určení tvaru lana zavěšeného na dvou bodech, které neleží nad sebou; tato úloha je řešena v 5.9. 4.2.4 Rovnice homogenní v x, x', x",..., x^ Nechť F je funkce n + 2 proměnných splňující podmínky: (t, zq, zi, z2,..., zn) G Dom F (t, cz0, czi, cz2,..., czn) G Dom F, F(t,cz0,cz1,cz2, ■ ■ ■ ,czn) = caF(t,z0,z1,z2,...,zn) (4.25) pro každou kladnou konstantu c, každou (n + 2)-tici (í, zq, z±, z2, ..., zn) G Dom i7 a nějaké a G M. Rešení implicitní diferenciální rovnice n-tého řádu F(t,x,x',x" ...,x^) = 0 (4.26) lze hledat ve tvaru x(t)=efy®át, (4.27) kde y = y (t) je nová neznámá funkce. Je totiž x' = yefv®dt X" = y'efy(t)dt + y2efy(t)dt = y+y2)e!y(ť)dt x'" = (y" + 2yy')ely^dt + (y'+y2)yely^dt = (y" + 3yy' + yV^)dí Dosadíme-li pravé strany těchto rovností do dané rovnice, vypadne vzhledem k podmínce (4.25) faktor efv®dt a dostaneme rovnici řádu o jedna nižšího, než byla daná rovnice. V lineární homogenní rovnici prvního řádu x1 = a(t)x, řešené v 1.3.1 je F(t,x,x') = x' — a(t)x. Tato funkce splňuje podmínku (4.25) s a = 1. Substitucí (4.27) převedeme lineární homogenní diferenciální rovnici na tvar 4.2. ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU, U NICHŽ LZE ŘÁD SNÍŽIT 55 Výsledná rovnice není diferenciální; v rovnici stupně nula se neobjevuje derivace hledané funkce. Proto můžeme bezprostředně vyjádřit y(t) = a(t). Řešení lineární homogenní diferenciální rovnice je tedy tvaru x(t) =efa^dt v souladu s výsledkem 1.3.1. Lineární homogenní rovnice druhého řádu x" + a(t)x' + b(t)x = 0 (4.28) je také homogenní rovnicí v proměnných x,x',x" v uvažovaném smyslu, neboť pro funkci F : M4 —> M danou předpisem F(t, z0, z1,z2) = b(t)z0 + a{t)zi + z2 a každou konstantu c G M platí F(t, czq, czi,cz2) = b(t)cz0 + a(t)czi + cz2 = c(b(t)z0 + a(t)zi + z2) = cF(t, z0, z\,z2). Řešení rovnice (4.28) lze proto hledat ve tvaru t x(t) = e'o , kde y je nová neznámá funkce a íq Je nějaké číslo z průniku definičních oborů funkcí a, b. Při této substituci dostaneme t x'(t) = y(í)e'o t t t I y(s)ds f y(s)ds f y(s)ds x"(t) = y'(í)e4o +y(t)2eto = (y'(t) + y(t)2) e'o a po dosazení do rovnice (4.28) y'(t)+y(t)2+a(t)y(t)+b(t)=0. Po úpravě dostaneme diferenciální rovnici pro neznámou funkci y: y' = -y2 -a(t)y-b(t). Lineární homogenní rovnici druhého řádu lze tedy převést na rovnici prvního řádu, která má na pravé straně kvadratický polynom, jehož proměnnou je hledaná funkce a jeho koeficienty jsou funkce původní nezávisle proměnné. Jinak řečeno, lineární homogenní rovnici druhého řádu lze transformovat na rovnici Riccatiho. Podle 4.1.1 lze naopak libovolnou Riccatiho rovnici transformovat na lineární homogenní rovnici druhého řádu. V tomto smyslu jsou tedy lineární homogenní rovnice druhého řádu a Riccatiho rovnice ekvivalentní. Poznámka 1. Slovo „homogenní" bez přívlastku se objevilo již u rovnice tvaru 1.1.5, rovnice (4.26) však není jejím speciálním případem. Terminologie vychází z pojmu „homogenní funkce": Řekneme, že funkce G : Wm —> M je homogenní řádu ael, jestliže pro každou konstantu c > 0 platí G(cx1,cx2,... ,cxm) = caG(x1,x2,... ,xm). 56 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE Ve funkci F na levé straně rovnice (4.26) můžeme proměnnou t (čas) považovat za parametr a podmínka (4.25) pak říká, že taková funkce je pro každou hodnotu parametru homogenní řádu 1. Funkce G : M2 —> M daná předpisem G(t,x)=f(^), .t. kde / je nějaká funkce jedné proměnné, je homogenní řádu 0, neboť platí G«*,-) = /(H)=/(f)=Mf). Používaná terminologie je tedy opodstatněná. 4.3 Ekvidimensionální rovnice Řekneme, že implicitní diferenciální rovnice n-tého řádu F(t,x,x',...,x^) = 0 je ekvidimensionální v nezávisle proměnné, jestliže změna měřítka nezávisle proměnné t1—> at pro každé a G M\{0} nezmění její tvar. Transformace t = eT převede danou rovnici na rovnici autonomní (typ 4.2.3). Uvažujme například lineární homogenní rovnici tvaru , a dx a x' = -x, ti. — = -x. (4.29) t dt t y ' Zavedeme novou nezávisle proměnnou s vztahem s = at, kde a je nějaká reálná konstanta. Hledanou funkci x budeme chápat jako funkci proměnné s, která sama je funkcí proměnné t. Vzorec pro derivaci složené funkce dává vyjádření dx dx ds dx dt ds dt ds Dosazením do rovnice dostaneme dx aa dx a ds s ds s což je rovnice stejného tvaru jako (4.29), takže tato rovnice je ekvidimensionální v nezávisle proměnné. Její transformace t = eT převede rovnici (4.29) na tvar dx dx dt f a \ dt a . X I — X& — GĺX • dr dí dr V t ) dr eT tedy na rovnici autonomní dx — = ctx. dr Významným případem ekvidimensionální rovnice je rovnice Eulerova vyšetřovaná v 3.2.2. Kapitola 5 Některé klasické elementární úlohy V této kapitole je uvedeno několik úloh vedoucích na obyčejné diferenciální rovnice, které lze vyřešit elementárními metodami uvedenými v předchozích kapitolách. Lze ji tedy považovat za jakousi sbírku řešených příkladů. Úlohy vychází z různých oborů - statiky (určení tvaru zavěšeného řetězu 5.9) kinematiky (tvar dráhy hodinek tažených na řetízku 5.1, nebo psa pronásledujícího zajíce 5.10), dynamiky (úloha o reaktivním motoru 5.2), geometrické optiky (Archimedova úloha o soustředění slunečních paprsků 5.3), kosmologie (jednoduchý model expandujícího Vesmíru 5.11), fyziologie (model růstu těla jednoduchých organismů 5.4), epidemiologie (model šíření neštovic 5.6), ekonomie (Solowův-Swanův model ekonomického růstu 5.7), teorie řízení (problém „menežmentu obnovitelných zdrojů" 5.8), psychologie (nepříliš vážně míněná úloha o vývoji vztahu Julie a Romea 5.5) nebo filosofie (druhá část popisu modelu 5.4). 5.1 Traktrisa Po stole táhneme hodinky na napjatém řetízku délky í tak, že koncem řetízku sledujeme hranu stolu. Na počátku svírá řetízek a hrana stolu úhel a £ (0, Úkolem je určit dráhu hodinek. Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, že svislá osa splývá s hranou stolu a je souhlasně orientovaná se směrem pohybu konce řetízku, viz obr. 5.1. Při této volbě budou hodinky na počátku v bodě (—^sina, 0). Dráhu hodinek vyjádříme jako graf funkce y = y(x). Hodinky se pohybují ve směru působící síly, síla působí ve směru řetízku. To znamená, že přímka incidentní s řetízkem je tečnou ke grafu funkce y v každém bodě. Směrnice této tečny je tedy rovna y\x)=V-^-. (5.1) —x Hledaná funkce je řešením této obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou y(-^sina)=0. (5.2) Na pravé straně rovnice (5.1) se nevyskytuje hledaná funkce y, proto můžeme řešení úlohy (5.1), (5.2) bezprostředně psát ve tvaru určitého integrálu 57 58 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY y{x) cos a -a/1 - -p +ln - £= —£sina í +V^2 — x2 sin a -x 1 + cos a Úlohu o dráze hodinek tažených na řetízku po stole zformuloval Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Křivku podrobně studoval v roce 1692 Christiaan Huygens, který jí také dal jméno tractrix (z latinského trahere, táhnout). 5.2 Ciolkovského rovnice Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné vnější síly (tedy ve stavu beztíže). Nechť v čase íq = 0 se raketa pohybuje rychlostí vq. V čase to se zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas Tav podobě plynů proudí z trysky na zádi rakety rychlostí u vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného manévru, tedy její rychlost v čase T. Označme M ... hmotnost rakety na počátku (v čase íq = 0), fi ... hmotnost paliva vyhořelého za čas T, m = m (t) ... hmotnost rakety (s dosud nevyhořelým palivem) v čase t, v = v(t) ... rychlost rakety v čase t. Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností . . ,, u MT - nt (t) = M-^t =- (5.3) 5.2. CIOLKOVSKÉHO ROVNICE 59 Rychlost v neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí svého argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase í je p(t) = m(t)v(t). (5.4) Uvažujme krátký časový interval [í, t + A i] C [0, T]. Během něho shoří palivo o hmotnosti A/x = /i(í) - /i(í + Aŕ) = M - |í - (M - |(í + Ar)) = |aí. (5.5) Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase í rovna v(t) — u a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu v(t + Aí) — u. Hybnost vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako pP(t, Aí) = w(t, Aí)A/x, (5.6) kde w(t, Aí) je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky Aí, tj. í+Aí í+Aí ™(*> Aí) = Xí / ~ U)dT = Äí / V^dT ~ U- t t Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo r\ G (0,1) takové, že í+Aí J v(t)(Ít = v(t + rjAt)At, t takže w(t, Aí) = v(t + rjAt) — u. S využitím této rovnosti a rovnosti (5.5) vyjádříme hybnost (5.6) vytékajícího plynu výrazem PP(t, Aí) = (v(t + í?Aí) - u) ^Aí. (5.7) Hybnost rakety v čase í + Aí je vzhledem k (5.3) rovna pR(t + Aí) = m(t + At)v(t + Aí) = (m - ^(í + Aí)) v(t + Aí) = (m(t) - ^Aí) v(t + Aí). Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí v(t + Aí) = v(t) + v'(t + í?Aí)Aí, kde ů G (0,1). Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme pR(t + Aí) = (m(í) - ^Aí) (v(t) + v'(t + ůAt)At) = = m(t)v(t) - (£v(t) - m(t)v'(t + ůAtÝj A(í) - £v'(t + í?Aí)(Aí)2. (5.8) Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase í + Aí rovna p(t + Aí) = pR(t + Aí) + pP(t, Aí). 60 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Odtud a z (5.7), (5.8) dostaneme + ^Aŕ ~ P(ŕ) = ^ + vAt) ~U~ V^ T + m{t^l{t + ^Aí) " f + ŮAt)At- Limitním přechodem At -> 0 a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy rakety s palivem ve tvaru p'(t) =m(t)v'(t) -u^. Podle zákona o zachovaní hybnosti je p'(t) = 0, takže s využitím rovnosti (5.3) dostaneme diferenciální rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru v'(t) ^ MT - fit Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce v, stačí tedy integrovat obě strany rovnice v mezích od 0 po t. S využitím počáteční podmínky v(0) = vq dostaneme í MT _-dr = v0 - u [ln \MT - /xr|]*=0 = v0 + u In o MT - fit fit v0 + u ln 1 + MT - fit Zejména pro t = T máme v(T) = vn -4- 7/,ln I 1 4- M - fl v{T) =v0+uln[ 1 + —^— ) . (5.9) Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice. Rovnici (5.9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na ní rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku IIhojikobckhh, K. E. H3CJie/iOBaHHe MHpoBbix npocTpaHCTB peaKTHBHbíMH npn6-opaMH. Hay^Hoe oôosptHHe. 1903, ro^h X, No. 5 zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným prostředkem pro lety do vesmíru. 5.3 Archimedova úloha Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska). Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku O, přicházející paprsky byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 5.2). Uvažujme přicházející paprsek p, který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném bodě P = (xo,yo), xq > 0, yo < 0. Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí y = y (x); přitom samozřejmě y (x o) = yo. Označme r, resp. v, tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě P, q přímku incidentní s odraženým paprskem PO, r vodorovnou přímku procházející bodem P. Nechť dále tp = a tedy tg() = cotg(2^) = 1 ~ j^J^. (5.11) Současně tg(0je — > 0, viz obrázek 5.2. Znaménko před odmocninou tedy musí být +. dx r r Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla dx x \ \x/ 62 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY , , y(x) dy du To je rovnice homogenní. Substituci u = u[x) = -, tedy y (x) = xu{x), — = u + x— xr dx dx dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je du ľ dx tedy ln . +Vu2 + 1 y/u2 + 1 J x ln\x\ + const. Odtud , , 1 /x C W = 2VC x kde C je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost neboli x2 = C {C + 2y). To je rovnice paraboly s ohniskem (0, 0) a řídící přímkou x = —C. Název „Archimedova úloha" vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214-212 př. n. 1. z vyleštěných štítů obránců města sestavoval zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované smolou. 5.4 Von Bertalanffyho model růstu a scholastické causae Uvažujme nějaký organismus, jehož velikost se v průběhu života mění, ale tvar jeho těla zůstává stejný. Mohou to být například nějaká prokaryota nebo protozoa. Model je sestaven ze dvou předpokladů: • přísun potravy (živin, energie) organismu je úměrný povrchu jeho těla S, • náklady na životní pochody organismu jsou úměrné objemu jeho těla V. Poněvadž velikost těla se v průběhu času mění, je V = V(t) a S = S (t). Označme dále F (t) množství potravy, které organismus přijme za jednotku času jednotkovou plochou svého povrchu, v(t) životní náklady (úbytek energie, tělesné hmoty) za jednotku času na jednotkový objem těla. Obě funkce F a u jsou nezáporné, jejich dlouhodobý průměr je kladný. Z předpokladů plyne, že objem organismu za krátký časový úsek Aí bude V(t + Aí) = V(t) + F(t)S(t)At - v(t)V(t)At. Po standardní úpravě a limitním přechodu Aí —> 0 dostaneme rovnost V'(t) = F(t)S(t) - v(t)V(t). (5.13) 5.4. VON BERTALANFFYHO MODEL RŮSTU A SCHOLASTICKÉ CAUSAE 63 Označme L = L (t) délku těla. Povrch těla je úměrný druhé mocnině jeho délky a objem těla je úměrný třetí mocnině jeho délky, tj. S = aL2, V = /3L3, kde a, (3 jsou parametry určené tvarem těla; podle předpokladu, že tvar organismu se v průběhu růstu nemění, jsou a, /3 kladné konstanty. Podle poslední rovnosti platí V = 3/3L2Ľ, takže rovnost (5.13) můžeme upravit na tvar L'= VÍt)L aFit) 3 3/3 ' Při označení dostaneme diferenciální rovnici Ľ = -p{t)L + f(t) (5.14) pro délku těla L; funkce paf jsou nezáporné. Rovvnice (5.14) je lineární, takže její řešení s počáteční podmínkou L(0) = L0 (5.15) je podle 1.3 dáno výrazem t t cr L(t) = L0e o + J f(a)et da. Podívejme se ještě na speciální situaci, kdy uvažovaný organismus má pravidelný přísun potravy, tj. funkce F je konstantní, a žije v prostředí stálé teploty, tj. náklady na životní pochody v (které většinou závisí na teplotě) jsou také konstantní. V takovém případě jsou parametry paf konstantní a kladné, řešení rovnice (5.14) s podmínkou (5.15) je tvaru L(t)= \LQ-J-)e-^+J-. \ P J P Takto definovaná funkce je monotónní, ohraničená a má konečnou limitu f lim L(t) = -. (5.16) Podíl f j p tedy vyjadřuje maximální možnou délku těla uvažovaného organismu. Uvedený model růstu sestavil a analyzoval rakouský biolog a filosof Ludwig von Bertalanffy (1901-1972), jeden ze zakladatelů obecné teorie systémů, v práci von Bertalanffy L. Untersuchungen über die Gesetzlichkeit des Wachstums, Teil I, Allgemeine Grundlagen der Theorie: mathematische und physiologische Gesetzlichkeiten des Wachstums bei Wassertieren. Arch. Entwicklungsmech. Org. 1934. Vol 131, p 613-652. 64 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Von Bertalanffyho model růstu představuje jakýsi „paradigmatický" příklad obecného systému. Podívejme se proto na něj z obecnějšího úhlu pohledu. Relace (5.16) nás opravňuje zavést označení L -L m a rovnici (5.14) s konstantními koeficienty přepsat na tvar Ľ = -fi(L - Loo). (5.17) Tento tvar rovnice obsahuje několik bezprostředně srozumitelných informací. Především v ní vystupuje proměnná veličina L, která vyjadřuje základní pozorovatelnou veličinu popisovaného procesu, jakousi jeho látku nebo materii. Další veličina L^ vyjadřuje cílovou, finální, hodnotu, k níž ona pozorovatelná spěje. Stojí za povšimnutí, že cílová hodnota v původním odvození rovnice nebyla, odhalili jsme ji až z jejího řešení. Ze skutečnosti, že nějaký proces spěje k určitému cíli, tedy ještě neplyne, že by tento cíl byl do procesu dán záměrně. Pozorovatelná veličina L se mění; toto tvarování nebo formování materie je vyjádřeno derivací Ľ. A tato změna je současně vyjádřena rozdílem L — L^, vzdáleností aktuálního stavu od finálního, násobeného záporným koeficientem /i, který vyjadřuje rychlost dosahování cílového stavu, jakousi účinnost probíhajícího procesu. Z těchto důvodů lze právem rovnici (5.17) považovat za zápis čtyř obecných příčin jakéhokoliv jevu, o kterých přemýšlela scholastická filosofie. Složky matematického popisu systému lze tedy interpretovat následujícím způsobem: L Loo -V Ľ causa materialis příčina látková causa finalis příčina účelová causa efficiens příčina působící causa formalis příčina tvarová Interpretaci jednotlivých složek lineární diferenciální rovnice jako středověce-aristotelských příčin (causae) uvedl v jiné souvislosti Daniel Dubois v přehledovém článku Dubois D. M. Review of incursive, hyperincursive and anticipatory systems - foundations of anticipation in electromagnetism. In Computing Anticipatory Systems (CASYS '99) — Third International Conference. 2000. AIP proceedings, p. 3-30. Myšlenku, že se nejedná o pouhou „intelektuální hříčku matematika, který chce filosofovat", hájil Evžen Kindler: Kindler E. Detaily scholastické filosofie z pohledu programování počítačů. In Bendová K., švejdar V. (eds.) Miscelanea logica, Tom III. Karolinum, Praha, 2002, p. 51-61. 5.5 Romeo a Julie Romeo na plese zahlédl Julii a na první pohled se do ní zamiloval. Svoji zamilovanost začal Julii dávat najevo a tak se i ona do něho zamilovala. Pokusíme se popsat vývoj jejich citů, pokud by nedošlo k tragédii popsané Williamem Shakespearem. Předpokládejme, že cit lze nějak kvantifikovat a označme r = r (t) Romeův cit k Julii a Í = J uli in cit k Romeovi v čase t. Cit s kladným znaménkem budeme interpretovat 5.5. ROMEO A JULIE 65 jako okouzlení nebo zamilovanost1, cit se záporným znaménkem jako odpor nebo nechuť. Romeův cit samozřejmě závisí na Juliině odezvě a současně je citem renesančního kavalíra, tedy dobyvatele: čím více náklonnosti Julie projevuje, tím je pro dobyvatele Romea méně přitažlivá. Tento jev vyjádříme tak, že Romeův cit k Julii se zmenšuje, pokud její k němu je kladný. V prvním přiblížení budeme změnu Romeova citu k Julii, tj. derivaci funkce r, považovat za úměrnou Juliinu citu k Romeovi se záporným koeficientem úměrnosti. Formálně to zapíšeme rovností dr — = -aj, (5.18) kde a je kladná konstanta. Naopak Juliin cit k Romeovi je povzbuzován Romeovými projevy náklonnosti. Touto úvahou dostaneme rovnici pro Juliin cit v prvním přiblížení jako ^ = br, (5.19) kde b > 0. Na počátku se Romeo zamiloval a Julie o něm ani nevěděla, její cit k Romeovi byl nulový. Romeovu zamilovanost budeme považovat za jednotkový kladný cit. Dostáváme tak podmínky r(0) = l, j(0)=0. (5.20) Diferenciální rovnice (5.18), (5.19) s počátečními podmínkami (5.20) představují model vývoje Romeových a Juliiných citů. Jedná se o homogenní systém dvou lineárních rovnic s konstantními koeficienty a lze ho tedy vyřešit metodami popsanými v 3.4.1, konkrétně dosazovací metodou popsanou na str. 3.4.1. Derivováním rovnice (5.18) a dosazením z rovnosti (5.19) dostaneme d2r dj —7T = —a— = —abr. dt2 dt Vývoj Romeova vztahu k Julii je tedy popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty ^-l+abr = 0. (5.21) dtz Příslušná charakteristická rovnice A2 + ab = 0 má dva různé ryze komplexní kořeny Ai 2 = ±h/ab. Obecné řešení rovnice (5.21) tedy je tvaru r(t) = A cos \Vab tj+B sin (Vab t Řešení musí splňovat počáteční podmínky (5.20), tedy dr r(0) = l, — (0) = -aj(0) =0. Odtud dostaneme A = 1, B = 0, takže r(t) = cos (y^t) a podle rovnosti (5.18) dále platí 1 dr(t) 1 r- . ( r- jít) =---■— = —vab sin [vabt a dt a \ 1Používáme slovo „zamilovanost", nikoliv „láska". Láska totiž není jen citem, ale je z velké míry i záležitostí rozhodnutí a vůle; nelze ji proto jednoduše popisovat nějakým „přírodovědeckým" způsobem. Samotný cit však lze do jisté míry biologickými nebo chemickými termíny popsat a proto ho lze i matematicky modelovat. 66 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Model (5.18), (5.19), (5.20) vývoje citů veronských milenců tedy předpovídá, že Romeovy city k Julii by periodicky kolísaly mezi zamilovaností a zhnusením, stejně tak Juliiny city k Romeovi. Pozitivní city k sobě navzájem mohou prožívat pouze na začátku příběhu, konkrétně do času 7t t 2Vab Shakespearovo řešení konfliktu tedy není tragédií, ale dobrým koncem. Kdyby příběh probíhal v neomezeném čase, pak pouze čtvrtinu z něho prožívají Romeo s Julií ve vzájemné náklonnosti, čtvrtinu ve vzájemném odporu a polovinu času s city rozdílnými. Povšimněme si ještě, že v případě b > a kolísají Juliiny city s větší amplitudou než Romeovy, v případě b < a je tomu naopak. Jinak řečeno, větším výkyvům citů (většímu utrpení?) je vystaven ten z dvojice, který je citově závislejší. Vývoj citů lze modelovat i obecněji. Předpokládejme, že také úroveň vlastního citu ovlivňuje změnu tohoto citu. Můžeme tedy uvažovat model tvořený systémem rovnic dr — =air- aj, (5.22) — =br + a2j, at s počáteční podmínkou r(0) = 1, i(0) = 0. Záporný koeficient ct\ může vyjadřovat, že Romeo se bouřlivých citů bojí, nechce ztrácet vnitřní klid; kladný koeficient ct\ může znamenat, že se Romeo svými city nechá vést. Koeficient a.\ lze tedy považovat za jakési „umístění Romea na ose racionalita-romantismus"; koeficient a2 lze interpretovat podobně pro Julii. Modely vývoje milostných citů (5.18), (5.19) a (5.22) publikoval Steven H. Strogatz v článku Strogatz, S. H. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazíne. 1988, Vol. 61, No. 1, p. 35. Účelem článku ovšem nebylo vytvořit matematickou teorii zamilovanosti, ale navrhnout neobvyklý a pokud možno atraktivní způsob výkladu klasické látky - systému dvou obyčejných lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. 5.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho Uvažujme chorobu, která trvá krátce, někteří pacienti na ni zemřou, jiní se uzdraví a získají vůči nákaze imunitu; typickým představitelem takové infekce byly neštovice. Budeme modelovat epidemii této choroby, tj. její šíření v nějaké kohorte. Kohortou rozumíme skupinu osob narozených ve stejnou dobu. Zavedeme označení: ./V počet osob zahrnutých do kohorty, a jejich věk (tj. čas od počátku), S = S (a), resp. R = R(a) počet osob věku a, které neprodělaly, resp. prodělaly, chorobu. Při tomto označení je N = S(0) + R(0) = S{0), neboť novorozenci chorobu neprodělali, tj. R{0) = 0. Další symboly zavedeme na základě následujících předpokladů: • Počet osob věku a, které zemřou z jiných příčin, než je uvažovaná infekce, je úměrná délce (krátkého) časového intervalu sledování Aa a počtu nenakažených osob S (a). Konstantu úměrnosti — přirozenou úmrtnost ve věku a — označíme //(a). 5.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 67 s (a) R(a) imunní ) Obrázek 5.3: Schéma vývoje kohorty ohrožené chorobou • Počet osob věku a, které se nakazí uvažovanou chorobou je úměrná délce sledování Aa a počtu S (a) osob, které dosud chorobu neprodělaly a jsou tedy citlivé na infekci. Koeficient úměrnosti — incidenci choroby ve věku a — označíme A (a) • Počet nemocných osob věku a, které se uzdraví za časový interval Aa je úměrný počtu infikovaných osob tohoto věku a délce intervalu Aa. Koeficient úměrnosti — index přežití choroby osobami věku a — označíme s (a). Úmrtnost //(a) lze interpretovat jako pravděpodobnost, že „zdravá" osoba (tj. ta, která nemá uvažovanou chorobu) věku a zemře během časového intervalu délky Aa; incidenci A(a) jako pravděpodobnost, že se „zdravá" osoba věku a, která není imunní vůči uvažované chorobě, nakazí během časového intervalu délky Aa; ukazatel přežití s (a) jako pravděpodobnost, že nakažená osoba věku a se během časového intervalu délky Aa uzdraví. Budeme předpokládat, že onemocnění a uzdravení jsou jevy nezávislé, tj. že pravděpodobnost, že osoba citlivá k infekci se během časového intervalu délky Aa nakazí a uzdraví, je rovna s(a)A(a). Dále zavedeme letalitu choroby ve věku a vztahem c{a) = 1 — s (a); lze ji interpretovat jako pravděpodobnost, že nemocná osoba věku a během časového intervalu délky Aa zemře. Proměnné S (a) R{a) u = u[a) = ———, resp. w = w[a) — N r N vyjadřují (klasickou) pravděpodobnost, že osoba se dožila věku a a neprodělala, resp. prodělala, chorobu. Novorozenec se určitě narodil jako zdravý, tedy platí u(0) = 1, «;(0) = 0. (5.23) Vývoj kohorty, v níž probíhá choroba, lze schematicky znázornit obrázkem 5.3 a předpoklady vyjádřit ve tvaru rovností: S (a + Aa) = S (a) — fi(a)S(a)Aa — \(a)S(a)Aa = S (a) — (/i(a) + A(a))5(a)Aa, R{a + Aa) = R{a) + s{a)\{a)S{a)Aa — fi(a)R(a)Aa = = R(a) + (l — c(a)) X(a)S(a)Aa — [i(a)R(a)Aa. V první z uvedených rovností převedeme na levou stranu S (a) a ve druhé z nich R(a), rovnosti vydělíme výrazem TVAa a provedeme limitní přechod Aa —> 0. Pro zjednodušení modelu budeme předpokládat, že funkce u a w jsou diferencovatelné; takový předpoklad je v případě 68 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY velké kohorty dostatečně realistický. Dostaneme tak systém neautonomních diferenciálních rovnic — = - (//(a) + X(a))u, dt (5-24) —— = (l — c(a))X(a)u — fi(a)w; da jejich řešení splňuje počáteční podmínky (5.23). První rovnice systému (5.24) je lineární homogenní rovnicí pro neznámou funkci u. Její řešení s počáteční podmínkou (5.23) je při označení M(a) = j n(a)da, A(a) = j X(a)da (5.25) o o podle 1.3 rovno U(a) =e-A(a)-M(a)_ (5_26) Toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice systému (5.24) a dostaneme ^ = -^(a)7i,+ (i-c(a))A(a)e-A(a)-M(a), da což je lineární nehomogenní rovnice pro neznámou funkci w. Její řešení s počáteční podmínkou (5.23) je opět podle 1.3 rovno w{á) = e-M^ [ 1 - / c(a)X(a)e-A^da ] - e-Ma)-M(a)_ (5_2?) o Dosud provedené úvahy a výpočty lze shrnout: Pravděpodobnosti u(a), resp. w(a), že se osoba dožije věku a a neprodělá, resp. prodělá, chorobu, jsou řešením soustavy rovnic (5.24) s počátečními podmínkami (5.23) a jsou dány výrazy (5.26), resp. (5.27), kde funkce M a A jsou dány výrazy (5.25). Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a za předpokladu, že choroba se v kohortě neobjevuje (tj. A = 0 a v důsledku toho také A = 0), je rovna přímo funkci u s A = 0, tj. £0(a)=e-M^. Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a pokud se choroba vyskytuje, je rovna £{á) = u(a)+w(a) = e~M(a) ( 1 - / c(a)X(a)e-A^da = e0(á) I 1 - / c(a)A(a)e-A(a)d o Pravděpodobnost dožití věku a je tedy součinem pravděpodobnosti dožití věku a při přirozené úmrtnosti a faktoru, který závisí pouze na incidenci a letalitě choroby. 5.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 69 Označme dále u(a) , . w(a) £(a) — u(a) , . x\a) = -rr-r, z (a) = -^~r = „, , = 1 - x(a) £{a) £{a) £{a) Veličina x (a), resp. z (a), vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost, že osoba věku a neprodělala, resp. prodělala, chorobu za podmínky, že se věku a dožila. Poněvadž x (a) platí rovnost x(0) = 1 a dále 3-A(a)-M(a) ,-A(a) M (a) i_ J c(a) A(a)e-A(«) da ) 1 - J c(a) A(a)e-A(«) d (5.28) la -A(a)e-A(a) 1 - Jc(a)A(a)e-A(a)da + e-A(a)C(a)A(a)e-A(a) dx(a) V o da -A(a) 1 - / c(a)A(a)e-A(a)da o p-A(a) c a e -2a(a) ^ 1 - / c(a)A(a)e-A(«)da (i _ J c(a)\(a)e-A(*)da J = — \(a)x(a)(l — c(a)x(aj). Relativní zastoupení osob věku a, které v uvažované kohortě neprodělaly chorobu, je tedy veličina x {a) daná formulí (5.28), která je současně řešením počáteční úlohy pro Bernoulliovu rovnici -\{a)x{l-c{a)x), x(0)=l. (5.29) dx da Vývoj zastoupení osob, které neprodělaly chorobu, tedy nezávisí na přirozené úmrtnosti fi. Úlohu (5.29) můžeme vyřešit metodami popsanými v 1.4 a přesvědčit se, že řešení je stejné jako (5.28), nebo podrobněji x{a) j X(a)da ea « f \(a)da 1-/A(0c(0e- d£ o Zejména pro incidenci choroby a letalitu choroby nezávislé na věku dostaneme 1 x{a) c + (1 — c)e Xa ' Poznamenejme ještě, že v teorii přežití se funkce £q, fi, m nazývají funkce přežití, riziková funkce a kumulativní riziková funkce (v uvedeném pořadí). Pokud lim M (a) = / /i(a)da = oo 70 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY pak pro funkci přežití platí e0(a) = 1-F(a), kde F je distribuční funkce náhodné veličiny „věk dožití jedince z kohorty". Uvedený model šíření epidemie neštovic publikoval Daniel Bernoulli (1700-1782) v článku Bernoulli, D. Essai ďune nouvelle analyse de la mortalite causée par la petite vérole et des avantages de ľinoculation pour la prévenir. Hist. Acad R. Sci. Paris. 1760/1766, p.1-45. v němž hledal odpověď na otázku, zda zavádět očkování proti neštovicím, přestože tato operace někdy končí smrtí. Na základě tabulek úmrtí, které publikoval královský astronom Edmond Haley (1656-1742) Halley E. An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the price of annuities upon lives. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1693, vol. 17, p. 596-610. odhadl D. Bernoulli hodnoty incidence a letality neštovic nezávislé na věku jako A = |, c = |; skutečnost, že mu koeficienty vyšly stejné, je náhoda. 5.7 Ekonomický růst (Solowův-Swanův neoklasický model) Budeme se snažit popsat dynamiku (vývoj v čase) základních makroekonomických ukazatelů v uzavřené ekonomice, tj. v ekonomice, v níž nedochází k žádné výměně s okolními ekonomikami (k exportu nebo importu). Za základní ukazatele budeme považovat: Y = Y (t) ... hrubý domácí produkt v čase t. K = K (t) .. . kapitál v čase t. Kapitálem budeme rozumět nejen kapitál finanční, tj. peníze, ale také kapitál hmotný, tj. budovy, stroje, zařízení ap. Celkové množství kapitálu lze však vyjádřit pomocí peněžní jednotky. L = L (t) ... disponibilní pracovní síla v čase t. Lze si ji představit jako množství práceschopného (nebo práceochotného) obyvatelstva. / = I(t) .. . investice v čase t, tj. peněžní prostředky použité k tvorbě nebo obnově kapitálu. S = S(t) ... spotřeba v čase t. Za spotřebu budeme považovat peněžní prostředky k tvorbě nebo obnově kapitálu nevyužité, tj. nejen realizovanou spotřebu ale také např. vládní výdaje nebo úspory obyvatelstva. Vyjdeme z několika jednoduchých a z ekonomického hlediska přijatelných předpokladů: Pl) Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce. P2) Kapitál se vytváří investicemi. P3) Kapitál se amortizuje (znehodnocuje) tak, že poměr znehodnoceného kapitálu za jednotku času ke všemu kapitálu je konstantní. P4) Relativní přírůstek pracovní síly v čase je konstantní; v podstatě odpovídá přirozenému přírůstku obyvatel. P5) Sklon ke spotřebě, tj. podíl spotřebovaného produktu, je v čase konstantní. P6) Veškerý produkt se rozdělí na investice a spotřebu. 5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 71 P2) a P6) nejsou ve vlastním smyslu předpoklady, je jimi pouze specifikováno, co se rozumí pojmy „investice" a „spotřeba". Základní makroekonomické ukazatele budeme považovat za nezáporné diferencovatelné funkce definované na intervalu [0, oo), tj. zajímá nás vývoj od jistého okamžiku do budoucnosti. Nyní můžeme předpoklady vyjádřit matematicky: Pl) Produkce je funkcí kapitálu a práce, tj. Y(t) = f(K(t),L(t)), (5.30) kde / : [0,oo)2 —> [0, oo) je nějaká diferencovatelná funkce rostoucí v každé ze svých proměnných. Nazýváme ji produkční funkce. P2) Množství kapitálu vytvořeného za časový interval délky Aí, tj. od času í po čas í + Aí, je úměrné množství investic I(t) a času investování Aí, tj. je roven hodnotě -I(t)At, k kde k > 0 je nějaká konstanta. Vyjadřuje který se z jednotkové investice vytvoří jednotkové množství kapitálu. Většinou se volí re = 1, tedy že investice je totéž, co vytvořený kapitál. P3) Označme a množství kapitálu amortizovaného za jednotku času. Pak pro každý čas í platí kde S je nějaká nezáporná konstanta, kterou nazveme mírou amortizace. Ta bývá vyjádřena pomocí odpisů. Za časový interval délky Aí se amortizuje aAí kapitálu, takže množství kapitálu znehodnoceného za interval délky Aí je rovno SK(t)At. P4) Relativní přírůstek A pracovní síly za jednotku času je konstantní, takže za časový interval délky Aí je relativní přírůstek pracovní síly roven AAí, tj. m + At)-LW = AAí. Ut) P5) Existuje konstanta s nazývaná mezní sklon ke spotřebě taková, že pro každé í > 0 je Y(t) ~ S- P6) V každém čase í platí Y(t) = I(t) + S(t). (5.31) Dále potřebujeme specifikovat produkční funkci /. Budeme tedy ještě předpokládat: P7) Ke zdvojnásobení produkce je potřeba dvojnásobného kapitálu i dvojnásobné pracovní síly. Obecněji, ke zvětšení produkce o q% je potřeba zvětšit kapitál i pracovní sílu také o q%. Matematicky, f(pK,pL)=pf(K,L) (5.32) pro každou konstantu (3 > 0; jinak řečeno, produkční funkce / je homogenní prvního řádu. 72 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY P8) Není-li v ekonomice žádný kapitál, tak jakékoliv jeho přidání způsobí veliký nárůst produkce; přesněji, mezní produkt kapitálu roste do nekonečna, pokud se množství kapitálu v ekonomice přibližuje k nule. Je-li v ekonomice nadbytek kapitálu, tak jeho zvětšení již nezpůsobí významný nárůst produkce; přesněji, mezní produkt kapitálu klesá k nule, pokud jeho množství v ekonomice neomezeně roste. Analogické vztahy jsou mezi produkcí a prací. Tyto předpoklady zapíšeme ve tvaru df df lim ——(K, L) = oo pro L > 0, lim ——(K, L) = oo pro K > 0, K^0+ oK l^0+ oL nazýváme je Inadovy podmínky. Nyní již můžeme sestavit rovnice popisující vývoj makroekonomických ukazatelů. Podle P2) a P3) je kapitál v čase t + Aí roven K(t + Aí) = K(t) + -I(t)At - SK(t)At. k Odtud dostaneme a limitním přechodem Aí —> 0 získáme diferenciální rovnici K' = -I- SK. (5.33) Tímtéž limitním přechodem dostaneme po snadné úpravě z předpokladu P4) diferenciální rovnici Ľ = XL. (5.34) Z předpokladu P6) máme 1 = + Y~Jľ) & S vyuz^ím předpokladu P5) dostaneme I(t) = (1 - s)Y(t). (5.35) Systém dvou diferenciálních rovnic (5.33), (5.34) spolu s omezujícími rovnostmi (5.30), (5.35) lze považovat za matematický model dynamiky produkce, kapitálu a práce. Model (5.33), (5.34), (5.30), (5.35) můžeme ještě dále upravit. Zavedeme veličinu k = k (t) vztahem / \ K (t) Ht) = ^y; (5-36) nazýváme ji míra vybavenosti práce kapitálem. Z rovností (5.30) a (5.32) dostaneme y(í) = f(K(t),L(t)) = L(t)f lj = L(t)f(k(t), 1). Výraz f(k, 1) se nazývá intenzivní tvar produkční funkce. Derivováním vztahu K = Lk definujícího vybavenost práce kapitálem dostaneme K' = Ľ k + Lk'. Po dosazení z rovnic (5.34), (5.33) máme -I - SK = XLk + Lk'. k 5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 73 Za proměnnou / nejprve dosadíme z rovnosti (5.35) a pak za proměnnou Y z rovnosti (5.30). Dostaneme tak ^—^-Lf(k, 1) - SK = XLk + Lk'. k Po vydělení hodnotou L máme 1 - s f(k,l)-Sk = Xk + k'. Odtud vyjádříme derivaci k' a dostaneme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu k' = -fx + 6)k + ^—^f(k,l). (5.37) Připomeňme, že obvykle se volí re = 1, tj. že investice představují nově vytvořený kapitál. Řešení základní rovnice s Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí V základní rovnici stále zůstává neurčená produkční funkce /. Jednoduchá funkce, která splňuje podmínky P7) a P8) (a tedy může představovat jistý popis ekonomické reality) je Cobbova-Douglasova produkční funkce, která je tvaru f(K,L) = BKaLľ-a, (5.38) kde kladný koeficient B představuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci a a je nějaká konstanta taková, že 0 < a < 1. Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru je f{k,l)=Bka. (5.39) Dosazením této funkce do základní rovnice (5.37) dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici pro neznámou funkci k ve tvaru k' = -(\ + 5)k + A(l -s)ka, (5.40) kde jsme označili A = —. Jedná se diferenciální rovnici Bernoulliovu, sr. 1.4. Budeme ji řešit zavedením substituce r = k1'*, (5.41) tedy r' = (1 - a)k-ak' = (1 - a)k-a (-(A + 6)k + A(l - s)ka) = = {a- 1)(A + 6)^-° - A(l - s){a - 1), neboli r' = (a- 1)(A + 5)r - A(l - s)(a - 1). (5.42) 74 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY To je nehomogenní lineární rovnice pro neznámou funkci k a její řešení s počáteční podmínkou r(0) = vq je podle 1.3 rovno r(t) A(l - s){a - lJe-^-^+^do-1 - s >-l)(A+5)í r0 + A X + ó ^e-(a-l)(X+6)t _ ^ >-l)(A+5)í r0-A 1 - s X + ó X + o Míra amortizace S je podle předpokladu P3) nezáporná. O relativním přírůstku pracovní síly A jsme dosud nic nepředpokládali, může být kladný (obyvatelstva přibývá) i záporný (obyvatelstvo vymírá). Pro další úvahy budeme předpokládat, že A + S > 0 (materiál chátrá rychleji než obyvatelstvo). Poněvadž a < 1, je funkce r daná rovností (5.43) monotónní (v případě (A + S)ro > A(l — s) klesající, v případě (A + S)ro < A(l — s) rostoucí) a platí Irm r(í) = A——. t^oo A + 0 S využitím rovností (5.36), (5.39) a (5.41) můžeme psát l-a (5.44) r = k1-* Z rovnosti (5.44) nyní plyne BK lim K(t) BKaL 1 - s a T l—a B—. Y (5.45) (5.46) í^oo Y(t) k(X + Ô)' tento výsledek můžeme interpretovat tak, že kapitálová náročnost jednotky produkce (množství kapitálu potřebné k vytvoření jednotkového produktu) se v uzavřené ekonomice ustálí na jisté hodnotě, zvané mezní poměr kapitálu a produkce, která závisí pouze na sklonu ke spotřebě s, efektivitě investic re, míře amortizace S a přirozeném přírůstku (nebo úbytku) obyvatel A. Ve , K 1-s stabilizované uzavřené ekonomice tedy platí Y Y re(A + S) neboli re(A + Ô) ' produkce je přímo úměrná kapitálu. Návratem k proměnné k = r1^1+a-) můžeme vyjádřit řešení základní rovnice (5.40) s Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí a s počáteční podmínkou k(0) = k$ ve tvaru k{t) Pro funkci k platí, že k° Ax + s >-l)(A+í)i + A 1 - S X + ó 1 — s \ i-« lim k(t) = ( A--F í^oo w v x + s (5.47) (5.48) 5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 75 její chování v dlouhém časovém úseku nezávisí na počáteční hodnotě. Ekonomika tedy směřuje ke konstantní (rovnovážné) vybavenosti práce kapitálem. Nyní můžeme pomocí řešení (5.43) a (5.47) rovnic (5.42) a (5.40) vyjádřit řešení rovnic původního modelu (5.30), (5.33), (5.34), (5.35), (5.31) v případě, že produkční funkce je Cobbova-Douglasova tvaru (5.38). Budeme uvažovat počáteční podmínky K(0) = K0, L(0) = L0. Pak podle (5.38), (5.31) a (5.35) je Y(0) = Y0 = BK%Ll-a, S(0) =S0 = sY0, 1(0) = I0 = (1 - s)Y0. Rovnice (5.34) je lineární homogenní a její řešení splňující uvedenou počáteční podmínku je L(t) = L0ext. Podle (5.36) je K(t) = k(t)L(t) = L0ext podle (5.38), (5.30) je Y(t) = BK(tTL(tf-a = kal0ext 17 f- a\-^\ + a\-^ \\L0 J A + d I X + d Spotřeba S(t) je s-násobkem produkce a investice I(t) je jejím (1 — s)-násobkem. Technologický pokrok v modelu ekonomického růstu Z rovností (5.48), (5.46) plyne, že produkce, kapitál a pracovní síla jsou asymptoticky ekvivalentní funkce; zhruba řečeno, tyto makroekonomické charakteristiky rostou stejně rychle. Zejména platí Y(t) X + S Loj X + ó X + ó i l-a lim const < oo. t^oo K(t) 1 - s Základní dogma ekonomie však říká, že ekonomika roste tak, že se produkuje stále více se stále menšími náklady, tj. Y(t) lim , , í^oo K(t) oo. (5.49) Tato disproporce může být způsobena tím, že jsme neuvažovali technologický pokrok. Ten se projevuje tak, že efektivita práce v čase roste. To znamená, že pracovní síla nebude vyjádřena pouze množstvím pracujících. Předpoklad P4) tedy nahradíme předpokladem modifikovaným: P4') Relativní přírůstek pracovní síly za jednotku času v průběhu času roste, tj. L(t + ót) - L(t) L(t) X(t)At, kde A je rostoucí funkce. 76 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Nyní můžeme zopakovat všechny úvahy. Těmi dojdeme k modifikované rovnici neoklasického modelu k' = -(A(í) + 6)k + ^—^f(k, 1), (5.50) která se od rovnice (5.37) liší pouze v tom, že relativní přírůstek pracovní síly A závisí na čase. Abychom tuto závislost specifikovali, přijmeme další předpoklad: P9) Relativní přírůstek pracovní síly vyjadřuje dosaženou technologickou úroveň. Technologický růst je proces kumulativní, tj. jeho přírůstek je úměrný úrovni dosažené a době rozvoje, tj. A(í + Aí) - A(í) = p\(t)At, kde p je kladná konstanta. Uvedený předpoklad lze limitním přechodem Aí —> 0 přepsat ve tvaru homogenní diferenciální rovnice X'=pX, (5.51) jejíž řešení je podle 1.3 rovno A(í) = Ane^, kde An vyjadřuje počáteční technologickou úroveň. Do rovnice (5.50) nyní můžeme dosadit Cobbovu-Douglasovu produkční funkci (5.39) a vyjádření (5.51). Opět dostaneme Bernoulliovu rovnici k' = - (AneP* + S)k + A(l- s)ka, kterou substituce (5.41) transformuje na rovnici lineární r' = (a- 1) (AneP* + 6) r + A(l - s)(l - a). Její řešení s počáteční podmínkou r(0) = rn je podle 1.3 rovno r(t) t r0 + A(l - a)(l -s) J exp |(1 - a) (ôt + j (epr - 1)) j P x exp íl- a) Vzhledem k (5.45) je Y (t) B K (t) r(ty takže s použitím de ľHospitalova pravidla můžeme vypočítat Y (t) lim —— = B lim t^oo K (t) t^oo expj(l-a) (ôt + ^ď*-!] dr r0 + A(l - a)(l - s) f exp { (1 - a) ( Ôt + y (eP* - 1) ) \ dr B lim i—>oo (1 - a) (ô + ^ exp < '(1-a) (ít + ^(e^-l)^ )} A(l - a)(l - s) exp < (1 - a) (ôt + j (eP* - 1)' } ôp + XoeP* hm —--— = oo. t^co p(\ — s) 5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 77 Podmínka (5.49) je nyní splněna. Analogicky vypočítáme ) = 0. Poslední výsledek lze interpretovat tak, že v uzavřené ekonomice s plynulým technologickým pokrokem klesá kapitálová náročnost jednotky produkce řádově rychleji, než technologická úroveň roste. Základní dynamickou rovnici neoklasického modelu sestavili nezávisle na sobě Robert M. Solow a Trevor W. Swan jako rozšíření modelu produktivity kapitálu, který nezávisle vytvořili Sir Roy F. Harrod (v roce 1939) a Ewsey Domar (v roce 1946). Publikovali ji v článcích Solow, R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth. Quaterly Journal of Economic. 1956, vol. 70, No. 1 (February), p. 65-94. Swan, T. W. Economic Growth and Capital Accumulation. Economic Record. 1956, No. 32 (November), p. 334-361. Robert Solow za rozpracování neoklasického modelu obdržel v roce 1987 Cenu Švédské národní banky za rozvoj ekonomické vědy na památku Alfreda Nobela (lidově zvanou Nobelova cena za ekonomii). 5.8 Udržitelný rybolov Představme si nějakou vodní nádrž, v níž žijí ryby. Tato nádrž je uzavřená v tom smyslu, že ryby z ní ani do ní nemigrují. Uživnost této nádrže budeme považovat za konstantní. Populaci ryb považujeme za homogenní (nerozlišujeme věk, velikost, pohlaví ani jiné vlastnosti jedinců) a všechny její charakteristiky kromě velikosti považujeme za konstantní v čase. Označíme-li x = x(t) velikost populace ryb v čase t, pak vývoj této veličiny lze modelovat logistickou diferenciální rovnicí kde r je vnitřní koeficient růstu populace a K je kapacita (úživnost) prostředí; oba parametry r a K jsou kladné. Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme popsat tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času je vyloveno určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři, kteří mají pevně daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny naplní.) Označme h množství ryb ulovených za jednotku času; parametr h je kladný. Pak vývoj populace ryb, jejíž velikost byla na začátku rovna hodnotě xq > 0, je popsán počáteční úlohou pro diferenciální rovnici (5.52) Základní otázkou je, zda rybolov je udržitelný, tj. zda v dostatečně dlouhém časovém horizontu bude populace ryb přežívat nebo ji lov vyhubí. 78 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Rovnice v úloze (5.52) je Riccatiho, podle 4.1.1 ji řešíme substitucí r y (t) Dosazení do rovnice (5.52) dává Ky"y-{y')2 , K y' r (K y'^ 2 — x = r ' r y2 r y K \ r y tj- K y" K fy'\2 = _Kíí/_\2 + Ry^_h ry r \yJ r \yJ y Odtud snadnou úpravou dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty y" - ry' + ^y = 0. (5.54) Její charakteristická rovnice (sr. 3.1.1) je A2 - r A + ^ = 0. (5.55) K 4h Označme D = 1--. Pak D < 1, neboť parametry r, K, h jsou kladné. Při řešení úlohy rK (5.52) rozlišíme tři případy podle znaménka veličiny D. (i) D > 0, tj. h< \rK. V tomto případě má charakteristická rovnice (5.55) dva reálné různé kořeny Ai,2 = T-(l ±VĎ a protože D < 1, jsou oba kořeny kladné. Obecné řešení lineární rovnice (5.54) je y(t) = AeH1^ + BeH^y = e¥(^)* (a + Be^*) , kde A, B jsou nějaké konstanty. Platí tedy y'(t) = e^i^)* (L (1 +^Ď) ^A + Be-^*) - Br^Ďe-^' r i„ e^r(iVĎ)t f (! +VAĎ)A + (1 -VĎ^Be-^1 Odtud a z transformačního vztahu (5.53) dostaneme obecné řešení rovnice z úlohy (5.52) ve tvaru x (t) = — ------=J-. 2 A + Be-^Ď* Konstanty A, B získáme z počáteční podmínky v úloze (5.52): K (l +\ÍD)A + (l -\ÍD)B K( ^A-B 2 A + B 2 V A + 5 5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 79 To je jedna rovnice pro dvě neznámé a hodnoty A, B z ní nelze vypočítat. Lze však určit jejich poměr ^ _ 1 =/ď tj. (2x0 - k - K/d) a = -b (2xo -k + k/d) . Řešení úlohy (5.52) je tedy dáno formulí K (1 +VĎ) (k(l -/d) - 2x0) - (1 -/Ľ) (k(1 +VĎ) - 2x0) e"^' K(l -y/D) - 2x0 - [K(l +/Ď) - 2x0j e-^* Krx0(l +/Ľ) - 2h - (rx0(l +/Ľ) - 2h) e-*^* r 2x0 - K(l -y/D) - (2xo - K(l +y/D)) e"^* ' nebot 1 — d =-. Nyní můžeme vyšetřovat průběh funkce x v závislosti na počáteční hodnotě (parametru) xq. Pokud je xo > \K{l —\/Ď), pak je funkce x kladná pro jakoukoliv hodnotu nezávisle proměnné t a platí 1 +/Ď lim x(t) = K-; i—>oo 2 zejména pro xo = \K{l+/Ď) je funkce x konstantní, x(t) = (l+/Ď). Rybolov zredukuje velikost populace ryb na hodnotu x* = \K(l +/d). Pokud je xo = \K(l —\/Ď), pak je funkce x konstantní, x(t) = \K(l —\/Ď). Ovšem, pokud je xo < \K(l —/Ď), pak pro 1 2h-rx0(l-/Ď) tE = -7= ln ■ r/Ľ 2h - rx0(l +/Ľ) je x(íe) = 0. To znamená, že lov ryby vyhubí. Řešení počáteční úlohy (5.52) s hodnotou h £ (0, \tK) a s různými počátečními hodnotami je zobrazeno na obr. 5.4 vlevo nahoře. (ii) d > 0, tj. h = \rK. V tomto případě má charakteristická rovnice (5.55) dvojnásobný reálný kladný kořen A = \r. Obecné řešení lineární rovnice (5.54) v tomto případě je rovno y(t) = (A + Bt)el2rt. Pro toto řešení musí platit y(0) 7^ 0, jinak by transformace (5.53) nebyla definována v pravém okolí počáteční hodnoty. Odtud plyne, že A 7^ 0 a řešení můžeme upravit na tvar y(t) = A (l + |í) eirt = A(l + Cí)eirt, kde C = —. Derivace řešení ie rovna A y'{t) = A(c+r-{l + Ct))^t 80 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY a obecné řešení rovnice z úlohy (5.52) je KC + ^l + Ct) K K C x(t) =--t^—-- = — + r 1 + Ct 2 r 1 + Ct Toto řešení má splňovat počáteční podmínku v úloze (5.52), takže C = ^(2x0-K). Řešení úlohy (5.52) je tedy v případě h = \rK dáno formulí (A T^f1^ 2x0 -K 2 2K + r(2x0 - K)t Pokud xq > \K, je toto řešení kladné pro každé t > 0. Zejména pro xq = ^K je řešení konstantní, x (t) = \K. Pokud naopak xq < \K, je řešení kladné pouze pro t G [0,íe), kde 2K tE r (K - 2x0) a x (t e) = 0. Řešení úlohy (5.52) v případě h = \rK pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. 5.4 vpravo nahoře. V případě h = \rK je tedy rybolov udržitelný pouze pokud byla počáteční velikost populace ryb alespoň na polovině úživnosti prostředí. V takovém případě rybolov dlouhodobě udržuje velikost populace na hodnotě \K, neboť ,s K lim x(t) = —. i—>oo 2 Pokud je počáteční velikost populace ryb menší, lov ryby vyhubí v čase í£. (iii) D < 0, tj. h > \rK. V tomto případě má charakteristická rovnice (5.55) komplexně sdružené kořeny Ai,2 2 r ,—— r Ah ± iip, kde ip = -v—D = —\--1 ^' ^ 2 2V rK a obecné řešení lineární rovnice (5.54) je tvaru y{t) = Ae^rt sin(r + V = r 2 sm((/5Í + -0) 2 r f 1+v ^ -1 cotg(^+V') 5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 81 Obrázek 5.4: Modely rybolovu. Rybolov s konstantním úlovkem za časovou jednotku, tj. řešení úlohy (5.52) pro různé hodnoty intenzity lovu h a pro různé počáteční hodnoty Xo (nahoře a vlevo dole). Rybolov s konstantním loveckým úsilím, tj. řešení úlohy (5.57) s úsilím E přinášejícím maximální udržitelný úlovek pro různé počáteční hodnoty xq (vpravo dole). 82 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Aby toto řešení splnilo počáteční podmínku v úloze (5.52), musí platit K Ah Xo = T 1+V^-lcotgV' tedy 2xQ-K r K ip = arccotg K V Ah - r K Řešení úlohy (5.52) je nyní kladné pouze na intervalu [0, íe), kde íe je nejmenší kladné řešení rovnice k í f~Äh \ ~2 l1+V 7k ~ 1 cots^te + V') J = o, tedy Ah-rK r V Ah-rK \ 2 V Ah-rK 1 I rK \ \ 2 I rK f tt / rK tE = - arccotg -\j —-— | - V I = -\l —-— \ - - V + arctg^ Pro h > \rK tedy rybolov nemůže být udržitelný. Řešení úlohy (5.52) v případě h > \rK pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. 5.4 vlevo dole. Z rozboru řešení modelu (5.52) plyne, že rybolov může být udržitelný pouze v případě, že není příliš intenzivní a počáteční populace ryb je dostatečně velká, konkrétně když 1 K i Ah h<-rK a x0 > — 1 -\ 1-- - 4 u - 2 l v rK Maximální udržitelný úlovek je tedy Rybolov s konstantním úsilím JrK (5.56) K modelování rybolovu můžeme přistoupit i jinak. Předpokládejme, že nikoliv úlovek za jednotku času, ale úsilí vynaložené na lov je konstantní. To si můžeme představit například tak, že rybáři mají pevnou denní pracovní dobu, po kterou vlečou sítě. Úlovek za jednotku času je v takovém případě úměrný množství ryb, které jsou k dispozici, tj. h = Ex, kde kladná konstanta E vyjadřuje vynaložené úsilí. Místo modelu (5.52) tedy uvažujeme model x' = rx (1 — — ) — Ex, x(0) = xq. (5.57) Rovnici upravíme na tvar x' =--x2 + (r — E)x K ' a vidíme, že se opět jedná o Riccatiho rovnici. Substituce (5.53) ji převede na tvar K£_ _ K /|A 2 = _L ÍKy^\2 Ktf r y r \y J K \ r y J r y ' 5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 83 z něhož po úpravě dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty y" - (r - E)y' = 0. (5.58) Příslušná charakteristická rovnice A2 — (r — E)\ = 0 má dva reálné kořeny Ai,2 = |°' „ (5.59) Ir — E. Pokud E 7^ r, jsou tyto kořeny různé a obecné řešení rovnice (5.58) je tvaru y(t) = A + B^-^K Jeho derivace je rovna y'{ť) = B(r — E)e^r~E^t, takže zpětnou transformací (5.53) dostaneme řešení rovnice z úlohy (5.57) jako /s K B(r - E)e^-E)t x(t) =--"-7-;77—. Pro x(0) = xq > 0 musí být B ^ 0 a řešení můžeme upravit na tvar K(r - E) x(t) [1 + De-('-e)t) hodnotu konstanty D = — určíme z počáteční podmínky úlohy (5.57), B D = Kir ~ E) - 1 = — (K(r -E)- rx0). rxo rxo Řešení úlohy (5.57) je tedy v případě E ^ r dáno formulí /.n _Jí(r - -EQxq_ ^(í) =-7-;-^—7—f^t; (5.60) W rx0 - (rx0 - K(r - E))e-(r-E)t y ' povšimněme si, že tato funkce vyjadřuje řešení problému (5.57) i pro xq = 0. Řešení (5.60) úlohy (5.57) je pro libovolnou počáteční hodnotu xq > 0 definováno na celém intervalu [0, oo) a platí pro něho lim x(t) =| ( r ) ' < I 0, E > r. t—>oo Pokud E = r, oba kořeny (5.59) charakteristické rovnice splývají do dvojnásobného kořene Ai52 = 0. Obecné řešení lineární rovnice (5.58) je v tomto případě rovno y(t) = A + Bt, takže z transformačního vztahu (5.53) plyne, že obecné řešení rovnice v úloze (5.57) je KB K 1 x(t) r A + Bt r D + ť 84 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY K Hodnota konstanty D nyní je D =-, takže řešení úlohy (5.57) je vxq = Kx0 y ' K + rx0ť Tato funkce je také při libovolném xq > 0 definována na celém intervalu [0, oo) a platí pro ni lim x (t) = 0. Z rozboru řešení úlohy (5.57) vidíme, že rybolov je dlouhodobě udržitelný (tj. řešení x = x (t) úlohy (5.57) je kladné pro všechna t > 0) v případě E < r. Na rozdíl od předchozího modelu (5.52) však i neudržitelný rybolov vyhubí ryby v dlouhodobém horizontu, nikoliv v konečném čase. Jinak řečeno: je-li ochrana ryb (nebo jiného obnovitelného zdroje) prováděna pevným omezením úlovku, může dojít ke katastrofickému vývoji — rychlé likvidaci ryb. Ochrana pomocí zpětné vazby, tj. omezováním úlovku na základě aktuálního množství ryb, je bezpečnější. Uvažujme nyní udržitelný rybolov papsaný modelem (5.57) za situace, kdy velikost populace ryb je na limitní hodnotě *-=*(i-f). Úlovek za jednotku času je v takovém případě roven h = Ex*. Tento úlovek lze chápat jako závislý na vynaloženém úsilí, tj. jako funkci h = h(E) = E K ( 1 — — \ r To je konkávni kvadratická funkce, která nabývá svého maxima pro E — Emax — ~ô^'' Maximální úlovek za jednotku času je tedy hmax — ^(-E'max) — —V K. To je stejný výsledek jako (5.56), tj. v případě rybolovu s konstantním úlovkem za jednotku času popsaného modelem (5.52). Řešení úlohy (5.57) s úsilím E = Emax = je znázorněno na obrázku 5.4 vpravo dole. Optimalizace udržitelného rybolovu Nyní můžeme řešit problém optimalizace rybolovu. Vnitřní koeficient růstu populace ryb je pro konkrétní druh konstanta, tu ovlivnit nelze. Uživnost prostředí však lze měnit, například eutrofizací příslušné vodní nádrže (přikrmováním ryb). V takovém případě můžeme počáteční velikost xq považovat za kapacitu přirozeného prostředí. Zvyšování úživnosti prostředí ale něco stojí. Předpokládejme, že náklady na eutrofizaci rybníka, které zvýší jeho úživnost na hodnotu K, jsou vyjádřeny funkcí n{K). Cenu ulovených ryb při intenzitě h označíme c{h) a náklady na něho označíme l{h). Zisk z rybolovu je tedy roven c{h) — l{h) — n{K). Maximální udržitelný rybolov má intenzitu h = \rK. Chceme-li tedy maximalizovat zisk, hledáme maximum funkce f(K) = c {\rK) - l {\rK) - n(K) 5.9. ŘETĚZOVKA 85 za podmínky To se ovšem snáze řekne, než udělá; funkce can totiž nemusí být známy Uvedené modely diskutovali Beddington a May v článku Beddington, J. R., May, R. M. Harvesting natural populations in a randomly fluctuating environment. Science. 1977, vol. 197, p. 463-465. Přestože se jedná o modely velice jednoduché, přinášejí důležitý vhled do problematiky řízení využívání obnovitelných zdrojů. 5.9 Retězovka Mezi dva body A a B, jejichž vzdálenost je menší než £, zavěsíme lano délky £. Chceme určit, jaký tvar bude lano mít. Lano je hmotné. Předpokládejme, že je homogenní a má lineární hustotu g. To znamená, že jeho celková hmotnost je £g a jeho libovolný úsek délky s má hmotnost sg. Dále předpokládejme, že lano je dokonale ohebné, neroztažitelné a nesmrštitelné. Jinak řečeno, může mít tvar libovolné křivky délky í. Zvolíme souřadný systém tak, že osa x je vodorovná, osa y svislá, bod A leží v počátku, kolmý průmět úsečky AB do vodorovné roviny incidental s osou x je částí osy x. Bod A má tedy souřadnice (0,0), bod B souřadnice {xb^b)'-, přitom platí x2B + yB < £2. Tvar lana vyjádříme jako graf funkce y = y (x) definované na intervalu [0, ig]. Situace je znázorněna na obrázku 5.5. Na lano působí tři síly - gravitační síla G a reakce F, H v koncových bodech A, B. Gravitační síla působí v těžišti S lana, je orientovaná svisle shora dolů a má velikost £gg, kde g je gravitační zrychlení, tj. G = (0, —£gg). Síly reakce v závěsech lana zapíšeme jako F = (Fx,Fy), H = (Hx, Hy), přitom Fx < 0 < Fy, Hx > 0, Hy > 0. Síly jsou v rovnováze, tedy F + H + G = o. Rozepsáno ve složkách, Fx+Hx = 0, Fy + Hy = £gg. Vektory F a H jsou tečnými vektory ke grafu funkce y, tedy ľ x fix Nyní si představme, že lano přeřízneme v bodě C = (x, y) a oddělíme z něho část CB. Aby zůstal zachován tvar lana mezi body A a C, musí v bodě C působit tah T, orientovaný ve směru tečny ke grafu funkce y v bodě C. Na část lana mezi body A a C nyní působí gravitační síla G ač ° velikosti sgg, kde x s = J VT+yW^Í (5-61) o 86 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Obrázek 5.5: Tvar dokonale ohebného lana připevněného ke dvěma bodům - řetězovka. je délka lana mezi body A a C. Síly F, T a Gac působící na část lana mezi body A a C musí být v rovnováze, tedy F + T + Gac = °- Složky tahové síly T = (Tx,Ty) splňují podmínky Fx — Fx, Ty — sgg Fy, které jsou analogické podmínkám rovnováhy pro celé lano. Pro derivaci funkce y v bodě x platí // \ Ty sgg -Fy gg Fy y (ar — — —-- — —" 1 — T —F ±x 1 x 1 x 1 x Nyní označíme a = _S9_ b=_Dt F ' F 1 x 1 x Poněvadž Fx < 0 < Fy, jsou konstanty a, b kladné. Rovnici (5.62) přepíšeme, y' = as — b, a zderivujeme podle proměnné x. Dostaneme rovnici ds V" = a dx Z rovnosti (5.61) vyjádříme ^ = ^TTy7W a dosadíme do rovnice (5.64). Dostaneme rovnici druhého řádu (5.62) (5.63) (5.64) y" = a^l + y'2. (5.65) Příslušné Cauchyovy podmínky jsou y(0) = 0, t/(0) = -b; (5.66) první z nich vyjadřuje, že začátek lana je v bodě A = (0, 0), druhá plyne z rovnosti (5.63). 5.9. ŘETĚZOVKA 87 Hledaný tvar lana je tedy grafem řešení Cauchyovy úlohy pro autonomní diferenciální rovnici druhého řádu (5.65) s podmínkami (5.66). Rovnici řešíme postupem popsaným v 4.2.3. Zavedeme funkci u = y' a úlohu přepíšeme na tvar v! = a\/l + u2 , u(0) = -b. To je Cauchyova úloha pro rovnici se separovanými proměnnými, její řešení je podle 1.1.3 implicitně dáno rovností ax dr] VT+v2 ln (r] + ^JlT> r]=—b ln (u + v7! +u2) - ln (-b + \J\ + b2 Označíme p = — ln (Vl + b2 — b), předchozí rovnost přepíšeme na tvar ax — p = ln (u + y/l+u- a vypočítáme z ní u = sinh(ax — p). Tato funkce je derivací hledané funkce y. Vzhledem k první podmínce (5.66) dostaneme y x x J u(£)d£ = J sinh(a£ — p)d£ o o Řešení úlohy (5.65), (5.66) tedy je 1 cosh(a£ — ip) 1 (cosh(ax — p) — cosh p). y = — (cosh(ax — p) — cosh p). (5.67) V tomto vyjádření vystupují kladné parametry a, p, které nejsou v původním zadání úlohy. Můžeme je vypočítat z podmínek, že koncový bod b má souřadnice (xb,Vb) a délka lana je t y B = y (x B) = -(cosh(axB ~ p) ~ cosh) a f y/l+TW^Z = J \/l+ (sinhK- u. Určete tvar dráhy psa a čas T, za který pes zajíce dohoní. Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, aby se zajíc pohyboval po druhé ose souhlasně s její orientací a na počátku, tj. v čase íq = 0, se zajíc nacházel v bodě (0,6) a pes v bodě ( — a, 0). Nechť pro určitost je a > 0; případ a = 0 je triviální a v případě a < 0 bude tvar dráhy zřejmě obrazem tvaru pro a > 0 v osové symetrii kolem druhé souřadné osy. Situace je znázorněna na obr. 5.6 a). Dráhu psa vyjádříme jako funkci y = y (x). V čase t = 0 je x = —a a y = 0, tj. y{-a) = 0. (5.68) Pes k zajíci směřuje od začátku, tj. y'(-a) = -. (5.69) a V jistém čase t,t 0. c) „Psí křivka'1 pro a > 0, b = 0. d) „Psí křivka" pro a > 0, b < 0. 90 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Za čas t urazí pes dráhu délky vt. Této hodnotě tedy musí být rovna délka křivky (grafu funkce) y = y{x) od bodu ( —a, 0) po bod (x,y), tedy x Vt J\Jl + {y'(0)2^. —a Z této rovnosti vyjádříme t a dosadíme do (5.70), x J\Jl + {y'(0)2^ = y{x) - xy'(x) - b. (5.71) v —a Označíme 7/ s = -. (5.72) v Podle předpokladu je s < 1. Obě strany rovnosti (5.71) zderivujeme podle x. Dostaneme a po uprave xy"(x) + s\Jl + (y'{x))2 = 0. (5.73) Dráha psa je tedy řešením neautonomní nelineární diferenciální rovnice druhého řádu (5.73) s počátečními podmínkami (5.68), (5.69). Rovnice (5.73) je typu 4.2.2. Proto zavedeme novou neznámou funkci p = p (x) = y'{x). Dosadíme ji do rovnice (5.73) a počáteční podmínky (5.69). Po snadné úpravě dostaneme počáteční úlohu / s I-9~ b p =--Vl+P > p(-a) = -■ x a Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými. Řešení úlohy v implicitním tvaru tedy podle 1.1.3 je p x dr] f d£ -s Integrací dostaneme a odtud a \ P+\Jl+P2 j , a^s ln —-- — = ln (-- b+\/a2 + b2 v x. kde 5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 91 Poněvadž p = y' a funkce y splňuje podmínku (5.68), dostaneme řešení úlohy integrací poslední rovnosti, tedy y[x) 1 2Č7 C2 d£ Ca 2(1 l-s 2C(1 + s) a Za konstanty s a C dosadíme z rovností (5.72) a (5.74). Po úpravách dostaneme „psí křivku" ve tvaru v v' y{x) )b + uVa2 + b2 v2 — u2 v ( b - V a2 + b2 2 l v + u + b + vV + b2 x v — u a Nalezená funkce y je sudá, vyjadřuje tedy tvar dráhy psa pro a > 0 i pro a < 0; v prvním případě bychom za definiční obor považovali interval [— a, 0], ve druhém interval [0, —a]. Pes dostihne zajíce v bodě (0, y(0)). To znamená, že zajíc rychlostí u urazí dráhu délky y(0) —ba čas, za který pes zajíce dohoní, je tedy roven T y(o) v v' )b + m/a2 + b2 v2 — u2 ub + vs/ a2 + b2 v2 — u2 „Psí křivku" („courbe chien") jako první studoval v roce 1732 francouzský matematik Pierre Bouger (ten je známější jako účastník expedice do Peru v roce 1735, která změřila délku jednoho stupně zeměpisné délky na rovníku). Křivka je nejjednodušším případem křivek sledování (pursuit curves, pojem poprvé použil George Boole ve svém spisu „Treatise on Differential equations" v roce 1859), které jsou definovány takto: jestliže body a a p se pohybují rovnoměrně, bod a po dané křivce a směr pohybu bodu p stále míří k bodu a, pak bod p opisuje křivku sledování. Úloha bývá někdy formulována tak, že pes sleduje svého pána, nebo že liška honí králíka. 5.11 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru Seriózní modely Vesmíru jako celku jsou konstruovány v rámci obecné teorie relativity. Ovšem již Newtonovy zákony (a tedy středoškolská fyzika) umožňují jistý vhled do vývoje Vesmíru, zejména mohou ukázat význam jeho současné hustoty pro jeho další osud. Budeme si tedy představovat, že Vesmír je umístěn v klasicky nekonečném euklidovském trojrozměrném prostoru. Vesmír sám nemůže být nekonečný, přesněji řečeno, nemůže tento hypotetický absolutní prostor rovnoměrně vyplnit. To snadno nahlédneme, pokud se za bezoblačné noci a mimo městské osvětlení podíváme na oblohu. Uvidíme tmu a hvězdy. Kdyby Vesmír rovnoměrně vyplnil celý nekonečný prostor, v každém směru by náš pohled nakonec na nějakou hvězdu narazil a noční obloha by celá zářila jako polední slunce. Tento argument pro konečnost Vesmíru však není úplně přesvědčivý - mohla by v něm být nějaká mezihvězdná nebo mezigalaktická mračna, která vzdálenější hvězdy zastíní; nebo by světlo mohlo během dlouhé cesty Vesmírem zestárnout a zeslábnout nebo dokonce přestat svítit. Existuje však další argument pro konečnost Vesmíru, a tím je existence gravitačního zákona. V nekonečném 92 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Vesmíru by se v každém směru nacházelo nekonečné množství hmoty a gravitační působení těchto hmot na jakékoliv těleso by se vzájemně vyrušila. Pokud tedy chceme zůstat v přehledném světě klasické fyziky, tj. ve světě, v němž působí obecné Newtonovy zákony pohybu i zákon gravitační, musí hmotný vesmír (což je z pohledu novověké materialistické přírodovědy celý Vesmír) být konečný, byť se nachází v nekonečném absolutním prostoru. Z prostorové omezenosti Vesmíru plyne také skutečnost, že nemůže být neproměnný v čase; čas si v souladu s newtonovskou fyzikou představujeme jako rovnoměrně plynoucí nezávisle na jakémkoliv procesu, tedy jako jednorozměrný euklidovský prostor. Konečný Vesmír nemůže mít stále stejnou rozlohu - gravitační síla by totiž každou částici přitahovala do těžiště Vesmíru a ten by se postupně zhroutil a vytvořil nějaké těleso obrovské hustoty. O trvání Vesmíru tato úvaha ještě nic neříká: Vesmír mohl mít počátek a při něm dostat nějaký impuls, který způsobuje jeho neustálé rozpínání až po úplné „vyvanutí"; nebo mohl být na počátku veliký a postupně se smršťuje; žádný počátek ani konec nemusí mít, jen se v průběhu času působením nějaké síly periodicky nebo neperiodicky mění a podobně. Který ze scénářů vývoje Vesmíru je realistický vzhledem k předpokladům, tj. zformulovaným přírodním zákonům, může ukázat matematický model. Náš modelovaný Vesmír bude homogenní (v každém místě stejný) a izotropní (v každém směru stejný); to celkem dobře odpovídá pozorování na dostatečně velké prostorové škále. K tomu budeme ještě předpokládat, že platí zákon zachování hmoty a přírodní zákony -zejména zákon gravitační - jsou na čase nezávislé, jsou věčné. Model Vesmíru je tedy postaven na předpokladech: (i) Vesmír je homogenní koule o konečném poloměru R > 0. (ii) Poloměr Vesmíru se v čase mění, R = R(t). Současný poloměr Vesmíru označíme Rq. (iii) Vesmír má konstantní hmotnost M; samozřejmě je M > 0. (iv) V celém Vesmíru platí Newtonův gravitační zákon a gravitační konstanta G > 0 nezávisí Z astronomických pozorování je známo, že se Vesmír rozpíná; čím jsou galaxie od sebe vzdálenější, tím rychleji se od sebe vzdalují. Změnu velikosti Vesmíru, tedy derivaci jeho poloměru R'(t), budeme proto považovat za úměrnou jeho velikosti. Spolu s předpokladem (ii) tak pro poloměr Vesmíru dostáváme počáteční podmínky kde H > 0 je Hubbleova konstanta3. Uvažujme částici (galaxii) o hmotnosti fi na „hranici Vesmíru", tj. ve vzdálenosti R od jeho středu. Podle předpokladů (i), (iii) a (iv) na ni působí gravitační síla orientovaná do středu Vesmíru, tedy síla daná vztahem která částici uděluje zrychlení R". Podle zákona síly je F = fiR", tedy 3Přesněji řečeno, současná hodnota Hubbleovy konstanty; tento parametr by se mohl v průběhu vývoje Vesmíru měnit. na case. R(0) = Rq, R'(0) = HR0 (5.75) (5.76) 5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 93 Diferenciální rovnice druhého řádu (5.76) spolu s počátečními podmínkami (5.75) představuje model vývoje velikost Vesmíru. Označme qq současnou hustotu Vesmíru. Podle předpokladu (iii) platí M = ^ttRqQq. Dále zavedeme bezrozměrný poloměr Vesmíru r a bezrozměrný čas r vztahy r = -^, r = Ht. (5.77) Ho Pak pravá strana rovnice (5.76) je rovna -(jr~FÍ9 = ~7TT~v)~7VRoQO její levá strana je M _ G 4 3 _ 4irGR0Qo R? ~ "(%f 3 °ft " Šr^- d2R d / d dr\ dr 2 d2r takže rovnice (5.76) se transformuje na rovnici d2r 4itGqo 1 dr2 3F2 r2' Rozměr veličiny —- v jednotkách SI je kg m , což znamená, že tato veličina vyjadřuje g hustotu hmotnosti. To nás opravňuje k zavedení kritické hustoty vztahem Arit = f^. (5-78) Při tomto označení rovnici (5.76) přepíšeme do tvaru d2r 1 qq 1 (5.79) dr2 2 £krit r2 ' Počáteční podmínky pro tuto rovnici odvodíme z faktů, že r = 0 právě tehdy, když t = 0, a dr _ d R dt _ 1 dR ďř ~~ átR^ďř ~ HR0~ďt' Z této a z druhé rovnosti (5.75) vypočítáme dr , , 1 dR , , 1 ď7<0) = HŘ„M{0) = = L Dostáváme tak počáteční podmínky pro funkci r ve tvaru dr r(0) = 1, — (0) = 1. (5.80) dr Transformace (5.77) a označení (5.78) tedy převádí počáteční úlohu (5.76), (5.75) na úlohu (5.79), (5.80). Pro zjednodušení zápisu ještě označíme Qo a = - a rovnici (5.79) přepíšeme ve tvaru d2r a 94 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Řešení úlohy (5.81), (5.80) Explicitní autonomní rovnici druhého řádu (5.81) můžeme podle 4.2.1 převést na implicitní rovnici prvního řádu ve tvaru Z počátečních podmínek (5.80) dále plyne, že / dr \2 o~ 1 = —(0) = , , + const = o + const, VdrV ') r(0) tj. že integrační konstanta je rovna 1 — o. Úloha (5.81), (5.80) se tedy transformuje na úlohu dr \2 a , . , — =- + l-a, r 0 = 1. 5.82 dr / r To je počáteční úloha pro implicitní rovnici prvního řádu. Stejně jako v kapitole 2 položíme dr Rovnici tedy přepíšeme na tvar p2 = - + 1 - a, r z něhož vyjádříme p2 + o — 1 Tuto rovnost derivujeme podle proměnné r, —2pa dp P= (p2+(T-l)2ď? upravíme a dostaneme rovnici se separovanými proměnnými dr -2a (5.83) dp {p2 + a — l)2 K ní příslušná počáteční podmínka je podle druhé rovnosti v (5.80) tvaru p(0) = 1. Řešení této počáteční úlohy je podle 1.1.3 dáno rovností p t=-2<7 y+?-!)»• (5-84) 1 Rovnosti (5.84) a (5.83) vyjadřují řešení počátečního problému (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru; proměnnou p přitom považujeme za parametr. Rozsah hodnot tohoto parametru je nej větší interval, na kterém je integrovaná funkce spojitá a který obsahuje hodnotu 1. Na pravé straně rovnosti (5.84) je integrál z racionální funkce. Pro jeho výpočet rozlišíme tři případy. 11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 95 (7 = 1, tj. Qo = £krit. V tomto případě je integrovaná funkce spojitá na intervalu (0, oo) a platí p p dg (g2 +(7-1)2 /•dg 1 / g4 _"3g3_ ' p3 Řešení úlohy (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru tedy je 3 [p3 p G (0,oo). Parametr p můžeme v tomto případě snadno eliminovat a úplné řešení úlohy (5.81), (5.80) vyjádřit explicitně jako r r •^r + l)2, r -|,oo) Takto definovaná funkce r = r(r) je kladná, rostoucí a konkávni. Navíc pro ni platí lim r(r) = 0, lim r'(r) = oo, lim r(r) -f 3^ 3^ oo, lim r'(r) = 0. V okamžiku rp = — | je singularita: vesmír měl nulový poloměr (a tedy při konstantní hmotnosti nekonečnou hustotu) a rozpínal se nekonečnou rychlostí. Vesmír se od okamžiku rp rozpíná a bude se rozpínat stále; rychlost rozpínání však klesá k nule. Okamžik rp lze považovat za okamžik vzniku (nebo stvoření) takového vesmíru (big bang). Od něho se vesmír stále rozpíná a toto rozpínání skončí až v nekonečném čase. Takový vesmír se nazývá parabolický. a < 1, tj. go < £krit. V tomto případě je integrovaná funkce spojitá na intervalu (Vl — o-, oo) a platí dg (g2+a-l)2 2(1 -a) ln g +V7!^ g-yr (7 g2 + (7 - 1 Řešení úlohy (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru tedy je 1 + ap + (7 ln (p- yT^)(l + yT^) (7-1 ' (l-(7)(p2+(7-l) ' 2^(1 - fT)3 ^ (P + VT^XI - VT3^) ' p G (Vl - O" p2 + (7 — 1 oo Vyšetříme průběh funkce r = r(r) dané parametricky předchozími rovnostmi; ty jsou tvaru t = r(p), r = r(p). Platí 1 lim r(p) - , ,-^ .- p^VT^- o--l 2^(1-fx)3 l-VT3^ + (7 1 + y/l-U ln- + + - lim o" — 1 p^v^^- p + ln p vT (7 p2 + o- -1 2 vr^ p + vt^ oo. 96 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY Dále označíme r f\ 1 ° l + Vl-o-Th = nm T(p) =-- H--. m-. V ' o--l 2-y/(l-o-)3 l-v^T3^ Pak vidíme, že r = r (r) je funkce definovaná na intervalu (77^,00), která je na tomto intervalu kladná, rostoucí a konkávni. Platí pro ni lim r (t) = 0, lim r'(t) = 00, lim r (r) = 00, lim r1 (t) = y/l — o. r—)-r/1+ T^Th+ t—>oo r—>-oo V okamžiku je singularita, od tohoto okamžiku se vesmír rozpíná a rychlost rozpínání v průběhu času klesá ke konečné kladné hodnotě y/l — a; rozpínání vesmíru se nezastaví ani v nekonečném čase. Takový vesmír se nazývá hyperbolický. 3. o > 1, tj. Q0 > £krit. V tomto případě je integrovaná funkce spojitá na celém intervalu (—00, 00) a platí d£ 1 (£2+<7-l)2 2(<7-l) 1 £ £ arctg —^=^=- + Řešení úlohy (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru tedy je 1 op o(l H-- - ( arctg —;^=^=- — arctg ■ o-l (a - l)(p2 + a - 1) y/(u-lf \ y/o~^T b y/o~^T J ' O" p2 + o" — 1' Při vyšetřování průběhu funkce r = r(r) dané parametricky nejprve označíme 1 o ( 1 i um T[p) =--1-- - I arctg —^=^=- — érr d - 1 ' ^((j-l)3 V y/o~^l 2 r/ = lim r(p) = —í—■ + °" (arctg + \n a - 1 ^J(p - l)3 ý y/o — 1 1 o 1 rm = t{p)\p=0 =-- + arctg ■ 0--1 y/(a-lf y/o~^l' Vidíme, že re < 0 < Tf, rm = \{re + Tf) > 0. Dále odvodíme, že funkce r = r (r) je definovaná na intervalu (re,r/), kladná a konkávni; na intervalu (re,rm] je rostoucí a na intervalu [rm,rj) klesající. Platí pro ni lim r(r) = 0, lim r'(r) = 00, lim r(r) = 0, lim r'(r) = —00, -r—5--re + -r—>-re + t—»Tf — r—5-t/ — max {r(r) : re < r < r/} = r(rm) = ^ , r'(rm) = 0. Singularita je tentokrát v okamžicích re a ry. V minulosti, v okamžiku re se vesmír začal rozpínat nekonečnou rychlostí (big bang), rychlost rozpínání se zmenšuje až do okamžiku rm v budoucnosti, kdy vesmír bude mít maximální poloměr. Od tohoto okamžiku se bude smršťovat až se v okamžiku Tf nekonečnou rychlostí zhroutí do závěrečné singularity (big crunch). Takový vesmír se nazývá eliptický. 5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 97 r . (7 = * 1 4 ✓ - 'o = 1 1 i / i v \ % \ % % * t 1 __i_L_1_I__i_,. -1 Th _| te O Tm Tf T Obrázek 5.7: Řešení úlohy (5.81), (5.80) pro tři různé hodnoty a. Grafy řešení úlohy (5.81), (5.80) pro tři konkrétní hodnoty poměru aktuální a kritické hustoty Vesmíru jsou zobrazeny na obrázku 5.7. Povšimněme si, že znalost gravitační konstanty G, současné hodnoty Hubbleovy konstanty H a současné hustoty Vesmíru £o umožňuje určit, který z možných scénářů odvozených ze sestaveného modeluje realistický, tedy zda se Vesmír chová jako vesmír hyperbolický, eliptický nebo parabolický. Zejména je pak možné určit stáří Vesmíru a v případě, že Vesmíru je eliptický, také dobu jeho trvání. O velikosti Vesmíru však studovaný model neříká nic; tu lze odhadovat až při použití rovnic obecné relativity. Skutečnost, že expanzi Vesmíru a Hubbleovu zákonu vzdalování galaxií, obvykle vysvětlovaným na základě Einsteinových rovnic obecné relativity, lze v hlavních rysech porozumět již v rámci Newtonovy teorie gravitace, ukázali angličtí kosmologové Arthur Milné (1896-1950) a William McCrea (1904-1999): MlLNE E.A. A Newtonian Expanding Universe. Quaterly Journal of Mathematics 1934, vol. 5, p. 64-72. McCrea W.H., Milné E.A. Newtonian Universes and the Curvature Space. Quaterly Journal of Mathematics 1934, vol. 5, p.73-80 Za zmínku stojí také to, že E. A. Milné výrazně preferoval nekonečný vesmír, který dává prostor neomezenému počtu evolučních experimentů, které Bůh (nebo božská bytost) provádí. Tomuto tématu věnoval např. knihu MlLNE E.A. Modem Cosmology and the Christian Idea of God. Clarendon, Oxford 1952. Ještě zdůrazněme, že model Vesmíru byl sestaven za předpokladu, že jediná síla, která v něm působí je gravitace. Pokud v celém Vesmíru působí i jiná nezanedbatelná síla (temná energie), pak uvažovaný model nemá žádný vztah ke skutečnosti.