Obsah
Prolog 1
I Obyčejné diferenciální rovnice 13
1 Základní pojmy 15
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exkurs: geometrický přístup a elementární metody řešení diferenciálnch rovnic 19
1.2 Systémy diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Vektorové a maticové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Vektorová rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Skalární rovnice n-tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Obecné vlastnosti diferenciálních rovnic 31
2.1 Existence, jednoznačnost a odhad řešení skalární ODR . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Eulerovy polygony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Picardova posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Odhad řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Frobeniova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Globální vlastnosti řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Odhady řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Lineární rovnice a systémy 55
3.1 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Lineární rovnice s konstantním koeficientem . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2 Lineární rovnice s periodickým koeficientem . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Systémy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Struktura řešení lineárního homogenního systému . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 Lineární nehomogenní systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Homogenní lineární systém s konstantní maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.1 „Intuitivní hledání obecného řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací . . . . 71
4 Autonomní rovnice a systémy 79
4.1 Autonomní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Autonomní systémy v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i
ii OBSAH
4.3 Konzervativní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1 Přímá Ljapunovova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Podmnožiny stavového prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
II Aplikace 109
5 Lotkovy-Volterrovy systémy 111
5.1 Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické rovnice . . . 112
5.2 Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Koloběh dusíku v planktonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 Dissipativita konkurenčních systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Trofický řetězec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy) . . . . . . . . . . . . . 128
6 Model populace produkující škodlivé odpady 131
7 Chemická kinetika 137
7.1 Základní reakce enzymů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 Přibližné řešení transformované úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8 Makroekonomické modely 147
8.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2.1 Speciální produkční funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Goodwinův model hospodářského cyklu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
OBSAH iii
Následující text je zápisem části přednášky předmětu M5858 Diferenciální rovnice a jejich
užití. Má sloužit především k tomu, aby studentky/studenti nebyly/i nuceny/i si během přednášky
dělat podrobné písemné poznámky, ale raději se soustředily/i na pochopení výkladu.
Dále může být pomůckou k rychlému připomenutí toho, co člověk již zná. V žádném případě
nemůže být považován za základní zdroj nahrazující standardní učební texty, z něhož by bylo
možné se naučit problematice obyčejných diferenciálních rovnic a jejich aplikací. Představuje
pouze podrobnou osnovu předmětu M5858 nebo poznámky z přednášky; sám o sobě bez
komentářů během přednášky je málo srozumitelný až nesrozumitelný (aby byl s komentáři
srozumitelný, je mým přáním a bude mou snahou).
Budu vděčný každému, kdo mě upozorní na nedůslednosti, formulační nedostatky, překlepy
nebo dokonce chyby.
Září 2021 Zdeněk Pospíšil
iv OBSAH
Jako základní studijní literaturu k předmětu M5858 lze používat:
1. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001 (druhé vydání), 212
stran.
Teorie obyčejných diferenciálních rovnic probraná důkladněji, než je v sylabu předmětu
M5858.
2. J. Diblík, M. Růžičková: Obyčajné diferenciálne rovnice. EDIS, 2008.
Úvod do studia základů teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Podrobně jsou probírány
zejména lineární rovnice a systémy.
3. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1998, 96 stran.
Popis některých elementárních metod řešení explicitních obyčejných diferenciálních rov-
nic.
4. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, 29
stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Jako doplňující literaturu lze doporučit
• P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney,
1964.
Klasická monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• L. Perko: Differential Equations and Dynamical systems. Springer, New York-BerlinHedelberg,
2001.
Moderněji pojatá monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• J. R. Brannan, W. E. Boyce: Differential Equations. An Introduction to Modern Methods
and Applications. Wiley&Sons, 2015.
Moderní učebnice s mnoha řešenými příklady.
• J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Je obsáhlejší než
skripta 3
• E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche
Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
• J. Kalas, Z. Pospíšil: Spojité modely v biologii. MU, Brno 2001, 265 stran.
Doplňky k teorii autonomních systémů, aplikace diferenciálních rovnic především v populační
dynamice a teorii šíření epidemií.
• P. N. V. Tu; Dynamical Systems: An Introduction with Applications in Economics and
Biology. Springer, 1995.
Monografie o dynamických systémech (autonomní diferenciální a diferenční rovnice)
s aplikacemi.
OBSAH v
• N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer, London-Berlin-Heidelberg-New
York-Hong Kong-Milan-Paris-Tokio, 2003 (second printing).
Učebnice deterministických modelů v biologii; první tři kapitoly obsahují aplikace probírané
v rámci předmětu M5858.
• G. Gandolfo: Economic Dynamic. Springer, 2010.
Obsahuje rozmanité matematické metody použitelné v teorii ekonomické dynamiky,
nejen diferenciální rovnice.
• R. J. Barro, X. Sala-i-Martin: Economic growth. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts-London,
England, 1999.
Aplikace obyčejných diferenciálních rovnic v ekonomii vykládané jiným způsobem než
v předchozí monografii.
Prolog
Nejprve se podíváme na několik zjednodušených modelů nějakých reálných procesů. Na nich
potom ukážeme, čím se tento text, a tedy předmět M5858, zabývá.
Samočištění jezera
Představme si jezero, do kterého přitéká a ze kterého odtéká voda tak, že se jeho objem
nemění. Přitom proudění je dostatečně rychlé, aby voda byla stále dokonale promíchaná.
Odpařování vody z jezera a déšť mají na množství vody v jezeře zanedbatelný vliv.
V jistém okamžiku se do jezera dostane nějaké znečištění. Znečisťující látka (polutant)
je ve vodě rozpustná nebo je tvořena malými částicemi, které mají zhruba stejnou hustotu
jako voda. Za takové situace se látka v jezeře rovnoměrně rozptýlí, její koncentrace bude
v každém okamžiku konstantní a postupně se z jezera odplaví. Chceme tento proces popsat
kvantitativně.
Označme V objem jezera a v rychlost přítoku a odtoku vody; objem V budeme vyjadřovat
v objemových jednotkách (např. m3), rychlost v v objemových jednotkách za jednotku času
(např. m3 / den). Předpokládejme, že na počátku, tj. v čase t = 0, se do jezera dostal polutant
o celkové hmotnosti m; vyjádříme ji v nějakých jednotkách hmotnosti (např. g).
Dále označme x(t) koncentraci polutantu v jezeře v čase t od okamžiku znečištění; koncentraci
budeme vyjadřovat v jednotkách hmotnosti na jednotku objemu vody (tedy např.
g / m3), čas vyjadřujeme ve stejných jednotkách, k nimž je vztažena rychlost v (tedy např. ve
dnech).
Chceme znát koncentraci polutantu v libovolném čase od vzniku znečištění, hledáme tedy
neznámou funkci x nezávisle proměnné t. Koncentrace polutantu na počátku procesu je rovna
x(0) =
m
V
. (1)
Zvolme časový interval tak krátký, že se během něho koncentrace polutantu prakticky nezmění.
Označme délku tohoto časového intervalu ∆t. Za čas ∆t od okamžiku t bude množství
polutantu v jezeře rovno V x(t + ∆t). Toto množství se rovná množství polutantu, které,
které bylo v jezeře v čase t, tj. V x(t), zmenšené o množství, které za časový interval délky ∆t
odteklo. Za tento interval z jezera odteče voda o objemu v∆t a v něm bylo zhruba (v∆t)x(t)
polutantu. Celkem dostáváme
V x(t + ∆t) = V x(t) − vx(t)∆t, (2)
nebo po snadné úpravě
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= −
v
V
x(t).
1
2 OBSAH
Za předpokladu, že funkce x je diferencovatelná, můžeme v této rovnosti provést limitní
přechod ∆t → 0 a dostaneme
x′
(t) = −
v
V
x(t). (3)
Hledaná funkce x tedy splňuje rovnici (3), v níž je vázána hodnota neznámé funkce a její
derivace. Dále funkce splňuje podmínku (1), v níž je dána hodnota funkce x na počátku
procesu. Nyní můžeme snadno přímým výpočtem ověřit, že funkce daná předpisem
x(t) =
m
V
e− v
V
t
splňuje rovnici (3) i podmínku (1). Je to klesající funkce, pro kterou platí
lim
t→∞
x(t) = 0.
Koncentrace znečisťující látky v jezeře tedy exponenciálně klesá; v libovolném konečném čase
od znečištění je však polutant v jezeře stále přítomný.
Růst populace
Představme si populaci nějakých organismů. Všechny jedince budeme považovat za stejné; je
tedy přiměřenější si představovat bakterie než například obratlovce. Tyto organismy jednak
umírají, jednak dávají vznik novým jedincům. Velikost populace v nějakém okamžiku – na
začátku popisovaného děje – považujeme za známou. Budeme se snažit popsat, jak se tato
velikost vyvíjí v průběhu času.
Označme tedy x(t) velikost populace v čase t. Tuto velikost můžeme vyjadřovat třeba
v počtu jedinců, v počtu jedinců vztaženém k jednotkové ploše nebo objemu živného média
(tedy jako populační hustotu) a podobně. Časová jednotka může být libovolná, je však vhodné
ji volit tak, aby byla menší než délka života jedince z uvažované populace, ale řádově s ní
srovnatelná. Zvolme nyní časový interval délky ∆t tak krátký, že jedinec, který během něho
vznikl (narodil se, oddělil se od jedince rodičovského), přežije jeho konec; dobu ∆t tedy
považujeme za mnohem kratší, než je doba života jedince. Velikost populace x(t + ∆t) za
časový interval délky ∆t od okamžiku t bude rovna velikosti populace v čase t zmenšené
o uhynulé jedince a zvětšené o jedince nově vzniklé.
Je přirozené předpokládat, že že množství uhynulých jedinců za jednotku času je úměrné
velikosti populace. Koeficient úměrnosti označíme d a nazveme ho úmrtnost (death rate).
Tento koeficient lze také interpretovat, jako klasickou pravděpodobnost, že jedinec během
jednotkového intervalu zemře; platí tedy 0 < d ≤ 1. Za časový interval délky ∆t uhyne část
populace o velikosti dx(t)∆t.
Poněvadž všechny jedince považujeme za stejné, předpokládáme také, že každý jedinec
během jednotkového času vyprodukuje stejný počet potomků. To znamená, že množství nově
vzniklých jedinců za jednotku času je úměrné velikosti populace. Příslušný koeficient úměrnosti
označíme b a nazveme porodnost (birth rate). V živé populaci nějací noví jedinci vznikají,
proto je b > 0. Velikost části populace tvořené jedinci, kteří nově vznikli v časovém intervalu
délky ∆t, vyjádříme tedy součinem bx(t)∆t.
Provedenými úvahami jsme dospěli k rovnosti
x(t + ∆t) = x(t) + bx(t)∆t − dx(t)∆t,
OBSAH 3
kterou můžeme upravit na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= (b − d)x(t).
Budeme předpokládat, že funkce x je diferencovatelná. Tento předpoklad není realistický,
funkce x nabývá hodnot celočíselných (pokud je velikost populace vyjádřena v počtech jedinců)
nebo racionálních (pokud je velikost populace vyjádřena jako populační hustota). Pokud
je ale populace „dostatečně velká , lze diferencovatelnou funkci považovat za přijatelnou
aproximaci velikosti populace měnící se v čase. Za tohoto předpokladu v předchozí rovnosti
provedeme limitní přechod ∆t → 0 a dostaneme rovnici
x′
(t) = (b − d)x(t). (4)
Hledaná funkce tedy opět splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota její derivace.
Na počátku, v čase t = 0, můžeme velikost populace považovat za známou; označíme ji x0, tj.
x(0) = x0. (5)
Opět se snadno přímým výpočtem přesvědčíme, že funkce daná předpisem
x(t) = x0e(b−d)t
splňuje rovnici (4) i podmínku (5). Tato funkce je pro b > d (porodnost větší než úmrtnost)
rostoucí, pro b < d klesající a pro b = d konstantní. Dále platí
lim
t→∞
x(t) =



∞, b > d,
x0, b = d,
0, b < d.
To znamená, že v případě b > d velikost populace exponenciálně roste nade všechny meze1.
Pokud je b < d, populace vymírá a jedině v mezním případě b = d se velikost populace
nemění, zůstává (dynamicky) stálá.
Růst populace v omezeném prostředí
Model růstu populace (4) má v případě b > d (porodnost větší než úmrtnost) řešení, které
exponenciálně roste do nekonečna. To není v konečném světě možné, populace musí narazit na
nějaké „meze růstu . Tyto meze si však nemusíme představovat jako nějakou tvrdou hranici,
na kterou populace při svém růstu narazí. Spíše se jedná o vliv prostředí, o dostupnost zdrojů,
které v něm jsou a podobně. Růst populace se tomuto prostředí nějak přizpůsobuje.
Rovnice (4) přepíšeme ve tvaru
x′(t)
x(t)
= b − d. (6)
Poněvadž derivace funkce x (velikosti populace) vyjadřuje její změnu, můžeme levou stranu
předchozí rovnosti interpretovat jako relativní změnu velikosti populace. A ta je rovna rozdílu
1
Tento výsledek zpopularizoval Thomas Malthus ve své slavné Eseji o principu populace z roku 1798.
Nezískal ho však předvedeným výpočtem, ale empiricky — vyhodnocením údajů o velikosti osídlení nových
území v Severní Americe.
4 OBSAH
porodnosti a úmrtnosti. V prostředí, které považujeme za neomezené, tj. v němž má každý
jedinec dostatek zdrojů pro svůj život a reprodukci, jsou porodnost i úmrtnost konstantní,
jedná se o vnitřní fyziologické charakteristiky populace.
V prostředí, v němž jsou některé zdroje vzácné, mohou porodnost i úmrtnost záviset na
dostupnosti těchto zdrojů. A dostupnost zdrojů závisí na velikosti populace — čím je populace
větší, tím je pravděpodobnost, že se jedinec dostane ke zdroji menší. Porodnost a úmrtnost
populace budou tedy záviset na její velikosti, b = b(x), d = d(x). Označme g(x) = b(x)−d(x).
Pak rovnice (6) přejde na tvar
x′(t)
x(t)
= g x(t) ,
neboli
x′
(t) = x(t)g x(t) . (7)
Výraz g(x) vyjadřuje relativní přírůstek populace o velikosti x. Nazývá se růstový koeficient
(growth rate).
Je-li populace malá, zdrojů prostředí připadajících na jedince je dostatek a jedinec má
dost energie pro reprodukci; porodnost je tedy velká. Je-li populace velká, zdrojů na jedince je
málo a ten je proto schopen vyprodukovat jen málo potomků, pokud vůbec nějaké; porodnost
je malá. Navíc velká populace produkuje mnoho zplodin svého metabolismu, tyto odpadní
produkty bývají pro jedince toxické, proto je úmrtnost velká, může být i větší než porodnost.
Z těchto úvah můžeme učinit závěr, že růstový koeficient velké populace je malý, dokonce
záporný. Přesněji řečeno, funkce g definovaná na intervalu [0, ∞) by měla mít vlastnosti
g(0) = r > 0, lim
x→∞
g(x) < 0.
Budeme-li funkci g navíc považovat za spojitou a monotonní, bude existovat taková hodnota
K > 0, že g(K) = 0 a (x − K)g(x) < 0 (funkce g je na intervalu [0, K) kladná a na intervalu
(K, ∞) záporná).
Nejjednodušší funkce, která má tyto vlastnosti je funkce lineární
g(x) = r 1 −
x
K
.
Obecná rovnice (7) tak získá konkrétní tvar
x′
(t) = rx(t) 1 −
x(t)
K
. (8)
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce x daná předpisem
x(t) =
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
vyhovuje rovnici (8) i podmínce (5). Pokud je x0 < 1
2K, pak funkce x v pravém okolí nuly
roste a je konvexní. V jistém čase t1 populace dosáhne velikosti 1
2K a její růst se zpomalí, tj.
funkce x bude na intervalu (t1, ∞) konkávní.
Pokud je x0 > K, pak funkce x je konvexní a klesající. V případě x0 = K je funkce x
konstantní. V každém případě platí
lim
t→∞
x(t) = lim
t→∞
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
= K;
velikost populace se v průběhu času ustálí na hodnotě K, pokud tuto hodnotu nemá již od
začátku. Veličinu K můžeme nazvat kapacita nebo úživnost prostředí.
OBSAH 5
Růst majetku
Představme si naivního člověka, který má nějaký majetek v penězích. Jeho naivita se projevuje
představou, že v bance se budou jeho peníze nějak samovolně množit, proto je uloží. Úrok
(podle reklamních materiálů výhodný) je stanovován podle aktuálního ceníku banky. Budeme
chtít popsat, jak se v průběhu času hodnota uvažovaného majetku mění.
Označme proto x = x(t) velikost majetku v čase t. Ta je vyjádřena v nějaké peněžní
jednotce, čas budeme udávat v rocích. Počáteční velikost majetku označíme x0, tedy
x(0) = x0. (9)
K uložené částce banka připisuje úrok. Jeho nominální velikost se mění, je určena aktuální
situací na trhu bankovních služeb a úrokovou sazbou centrální banky, tedy výkonností ekonomiky.
Reálná velikost úroku je oproti nominální menší o inflaci a bankovní poplatky. Označme
reálnou úrokovou míru v čase t symbolem p(t). Tato veličina bývá vyjádřena v procentech za
rok. Úroková míra se nemění plynule, k její změně dochází jen v určitých časových okamžicích.
Proto budeme funkci p nezávisle proměnné t považovat za funkci po částech konstantní. V bodech
skoku funkce r nemusí být definována, z technických důvodů ji však budeme definovat
tak, aby byla spojitá zprava v každém bodě svého definičního oboru, tj. intervalu [0, ∞).
Po uplynutí časového intervalu s levým krajním bodem t, který má délku ∆t tak malou,
že se v jeho průběhu úroková míra nezmění, bude hodnota majetku rovna její hodnotě na
začátku tohoto intervalu změněná o hodnotu reálného (nikoliv připsaného) úroku za tento
časový interval, tj.
x(t + ∆t) = x(t) +
p(t)
100
x(t)∆t.
Tuto rovnost upravíme na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= 1
100p(t)x(t)
a provedeme limitní přechod ∆t → 0. Dostaneme rovnici
x′
(t) = 1
100p(t)x(t), (10)
v níž je vázána hodnota derivace hledané funkce x a hodnota této funkce.
Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že funkce x splňující rovnici (10) a podmínku
(9) je dána výrazem
x(t) = x0e
1
100
t
0
p(τ)dτ
.
Ještě poznamenejme, že funkce po částech spojitá je integrabilní a tedy funkce x je zadána
korektně.
Z vyjádření majetku x v čase t od začátku (od uložení do banky) vidíme, že za tento čas
se majetek zvětší, resp. zmenší, pokud platí nerovnost
t
0
p(τ)dτ > 0, resp.
t
0
p(τ)dτ < 0,
tj. pokud nominální úroková míra je v průběhu času převážně větší, resp. menší, než inflace
a poplatky; v reálné ekonomice patrně nastane druhý případ.
6 OBSAH
Chladnutí kávy
V místnosti je pokojová teplota. Uvaříme si kávu a nalijeme ji do hrnku, nebo v hrnku zalijeme
mletou kávu vroucí vodou. Hrnek má tepelně izolované stěny i dno, neprobíhá přes ně žádná
výměna tepla. Hrnek nemá žádnou pokličku, hladina kávy není od okolního prostředí nijak
izolovaná. Za takové situace lze očekávat, že káva v hrnku bude chladnout. Navíc teplá káva (a
kapalina obecně) má menší hustotu, než chladná a to znamená, že ochlazená káva od hladiny
klesá a teplá káva ze dna stoupá k hladině. Tímto procesem se káva v hrnku promíchává,
takže její teplotu můžeme považovat za stejnou v celém objemu.
Chceme popsat vývoj teploty kávy v průběhu času. Za tímto účelem označíme x = x(t)
teplotu kávy v čase t; čas je vhodné uvádět v minutách, teplotu ve stupních Celsia. Teplotu
v místnosti označíme T a také ji budeme uvádět ve ◦C. Výměna tepla mezi kávou a prostředím
probíhá přes hladinu. Označíme její obsah S; můžeme ho vyjádřit v cm2.
Experimentálně byl ověřen Newtonův zákon chladnutí: zmenšení teploty za krátký časový
interval je úměrné rozdílu teplot, obsahu plochy přes kterou výměna tepla probíhá a času, po
který chladnutí probíhá. Příslušný koeficient označíme κ; při zvolených jednotkách bude mít
rozměr cm−2min−1. Označíme-li délku časového intervalu ∆t, bude mít tento zákon tvar
x(t + ∆t) − x(t) = κS T − x(t) ∆t.
Po vydělení výrazem ∆t a limitním přechodu ∆t → 0 dostaneme rovnici
x′
(t) = κS T − x(t) . (11)
Opět se jedná o rovnici vyjadřující vztah funkční hodnoty a derivace hledané funkce.
Na začátku děje byla káva vařící, její teplota byla 100◦C, tj.
x(0) = 100. (12)
Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že funkce daná předpisem
x(t) = T + (100 − T)e−κSt
vyhovuje rovnici (11) i podmínce (12). Jedná se o funkci, která exponenciálně klesá od hodnoty
100◦C k pokojové teplotě T. Teplota kávy se „velice rychle vyrovnává s teplotou místnosti,
v konečném čase ale až na tuto teploty neklesne.
Dynamika mezd a zaměstnanosti
Richard M. Goodwin sestavil ve druhé polovině šedesátých let minulého století matematický
model třídního boje. S použitím méně ideologické terminologie se jedná o model časového
vývoje mezd a zaměstnanosti, ve kterém lze pozorovat vznik hospodářských cyklů. Jeho podrobné
odvození bude uvedeno mezi aplikacemi,zde pouze naznačíme výsledek.
Jedna makroekonomická charakteristika, která v modelu vystupuje je relativní zaměstnanost
l (práce, labor) vyjádřená jako podíl zaměstnaných v celkovém množství práceschopného
obyvatelstva; jedná se tedy o bezrozměrnou veličinu. Druhá je průměrná mzda w (wage)
vyjádřená v peněžních jednotkách. Obě tyto veličiny se v čase mění, tedy l = l(t), w = w(t);
tyto funkce budeme považovat za diferencovatelné. Časová změna zaměstnanosti mezd je pak
vyjádřena jako derivace těchto funkcí.
OBSAH 7
Jedním „ekonomickým zákonem je skutečnost, že při vysoké mzdě (tj. při vysoké garantované
minimální mzdě) zaměstnanost klesá (zaměstnavatelům se nevyplatí zaměstnávat
drahé pracovníky); naopak, při nízké průměrné mzdě zaměstnanost roste. Odtud plyne, že
existuje nějaká „rovnovážná úroveň mezd, při níž se zaměstnanost nemění. Tuto myšlenku
vyjádříme přesněji.
Za „změnu zaměstnanosti budeme považovat relativní změnu zaměstnanosti l, tedy hodnotu
l′(t)/l(t). Její pokles s růstem hladiny mezd budeme specifikovat zjednodušujícím předpokladem,
že tato hodnota závisí na průměrné mzdě lineárně, přičemž tato lineární funkce je
klesající, tedy
l′(t)
l(t)
= γ − σw(t), (13)
kde γ a σ jsou kladné parametry; σ vyjadřuje „citlivost změny zaměstnanosti na růst mezd,
γ vyjadřuje relativní růst zaměstnanosti při hypoteticky nulové mzdě. Parametr γ má rozměr
1/čas, parametr σ má rozměr 1/(čas · peněžní jednotka), hodnota γ/σ je „rovnovážná
hladina mezd.
William Phillips na základě údajů o nominální mzdě a zaměstnanosti v Británii v letech
1861–1957 vypozoroval závislost změny průměrné mzdy na zaměstnanosti; tato závislost není
lineární, je vyjádřena známou Phillipsovou křivkou. S rostoucí zaměstnaností roste mzda (pokud
chce hospodář při téměř úplné zaměstnanosti najít mezi práceschopným obyvatelstvem
nějakého práceochotného, musí ho přeplatit), naopak při malé zaměstnanosti mzda klesá (mezi
hladovějícími nezaměstnanými jsou lidé ochotní pracovat za alespoň nějakou mzdu). Přesněji,
za změnu mzdy budeme považovat změnu relativní a vyjádříme ji rovností
w′(t)
w(t)
= ϕ l(t) − α, (14)
kde ϕ je rostoucí spojitá funkce definovaná na intervalu (0, 1), která má vlastnost
lim
l→0+
ϕ(l) < α, lim
l→1−
ϕ(l) > α;
limity připouštíme i nevlastní. Parametr α vyjadřuje hodnotu Phillipsovy křivky při „rovnovážné
úrovni mezd. Veličiny α i ϕ mají rozměr „čas−1 .
Rovnice (13) a (14) můžeme přepsat ve tvaru systému
l′(t) = l(t) γ − σw(t) ,
w′(t) = w(t) ϕ (l(t) − α ,
(15)
v němž jsou vzájemně provázány hodnoty derivace neznámých funkcí l, w a jejich funkční
hodnoty.
Zákon síly
Isaac Newton definoval sílu pomocí jejího účinku na pohyb tělesa, její velikost zavedl jako
součin hmotnosti tělesa m a uděleného zrychlení a. Tento postulát budeme precizovat pro
velice jednoduchou situaci. Místo tělesa si budeme představovat abstraktní „hmotný bod , tj.
těleso o stejné nenulové hmotnosti m ale o nulovém objemu. Dále si budeme představovat, že
tento hmotný bod se může pohybovat pouze po přímce. Tuto přímku prohlásíme za souřadnou
osu, tj. zvolíme na ní počátek a orientaci. Polohu hmotného bodu pak vyjádříme jako jeho
8 OBSAH
souřadnici x; přitom je x reálné číslo. Poněvadž hmotný bod se pohybuje, jeho poloha je
v každém okamžiku jiná, souřadnice závisí na čase, x = x(t). Rychlost pohybu je ve fyzice
definována jako relativní změna polohy vztažená k času. Změnu polohy za krátký časový
interval délky ∆t vyjádříme rozdílem x(t + ∆t) − x(t), tedy rychlost v uvažovaném časovém
intervalu je zhruba rovna
v(t) ≈
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 dostaneme přesně v(t) = x′(t).
Zrychlení je analogicky definováno jako relativní změna rychlosti vzhledem k času, tedy
zrychlení v uvažovaném krátkém časovém intervalu je zhruba rovno
a(t) ≈
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 přesně a(t) = v′(t) = x′′(t).
Na hmotný bod působí síla F, která nemusí být stejná v každém místě. Její velikost tedy
závisí na poloze, tj. na souřadnici bodu, F = F(x) nebo podrobněji F = F x(t) . Postulovaný
vztah mezi hmotností m hmotného bodu, jeho zrychlením a a působící silou F je
F = ma,
se zahrnutím času a souřadnice bodu
F x(t) = ma(t) = mx′′
(t),
takže
x′′
(t) =
1
m
F x(t) . (16)
Časově proměnná poloha bodu tedy splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota
její druhé derivace.
Matematické kyvadlo
Matematické kyvadlo je hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na
nehmotném vlákně délky r na který působí pouze gravitační síla.
Lze ho realizovat jako kuličku zavěšenou na niti, přičemž průměr
kuličky je zanedbatelný vzhledem k délce niti a hmotnost niti je
zanedbatelná vzhledem k hmotnosti kuličky.
Zavedeme souřadný systém podle obrázku tak, že vodorovná osa
x směřuje zleva doprava a svislá osa y směřuje shora dolů a kyvadlo je
zavěšeno v počátku souřadnic. Označme ϕ = ϕ(t) výchylku kyvadla
od rovnovážné polohy v čase t. Poloha hmotného bodu v čase t je
dána souřadnicemi
x = x(t) = r sin ϕ(t), y = y(t) = r cos ϕ(t).
r
h
y
x
ϕ
Vektor rychlosti hmotného bodu je derivací jeho polohy podle času, velikost v = v(t)
rychlosti v čase t je euklidovskou délkou tohoto vektoru, tj.
v(t)
2
=
dx(t)
dt
2
+
dy(t)
dt
2
= rϕ′
(t) cos ϕ(t)
2
+ − rϕ′
(t) sin ϕ(t)
2
= rϕ′
(t)
2
.
OBSAH 9
Výška h = h(t) hmotného bodu nad rovnovážnou polohou y = r v čase t je rovna
h(t) = r − y(t) = r 1 − cos ϕ(t) .
Podle zákona zachování energie je součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu
konstantní, tj.
1
2
m v(t)
2
+ mgh(t) = const;
přitom g
.
= 9,823 ms−2 je gravitační zrychlení. Do předchozí rovnosti dosadíme vypočítané v2
a h. Dostaneme
1
2
mr ϕ′
(t)
2
+ mgr 1 − cos ϕ(t) = const.
Tato rovnice popisuje časově závislou výchylku kyvadla – jedná se o relaci, v níž je vázána
funkce ϕ a její první derivace. Vystupuje v ní však neurčitá konstanta. Její hodnotu můžeme
získat z předpokladu, že na počátku, v čase t = 0, byla výchylka rovna nějaké hodnotě ϕo a
kyvadlo bylo v klidu (tj. na začátku hmotný bod vychýlýme z rovnovážné polohy a pustíme).
V takovém případě je celková energie rovna energii potenciální mgh(0) = mgr(1 − cos ϕ0).
Po dosazení a jednoduché úpravě dostaneme rovnici ve tvaru
1
2
r ϕ′
(t)
2
− g cos ϕ(t) − ϕ0 = 0. (17)
Na levé straně této rovnice je tedy nějaký výraz, který váže první derivaci hledané funkce ϕ
s její hodnotou.
Jiný tvar této modelu výchylky matematického kyvadla dostaneme zderivováním levé
strany rovnice (17) podle času,
rϕ′
(t)ϕ′′
(t) + gϕ′
(t) sin ϕ(t),
a úpravou na tvar
ϕ′
(t) rϕ′′
(t) + g sin ϕ(t) = 0.
Dostáváme tedy dvě rovnice pro časově proměnnou výchylku kyvadla ϕ = ϕ(t):
ϕ′
(t) = 0, ϕ′′
(t) = −
g
r
sin ϕ(t).
První z uvedených rovnic vyjadřuje konstantní funkci ϕ. To by znamenalo, že se kyvadlo
nepohybuje, což je buď nezajímavý případ (kyvadlo na počátku nemělo žádnou výchylku od
svislého směru a v této poloze zůstává), nebo případ fyzikálnš nerealistický (kyvadlo je stále
v nějaké nerovnovážné poloze). Za model matematického kyvadla tedy považujeme rovnici
ϕ′′
(t) = −
g
r
sin ϕ(t). (18)
Shrnutí
Všechny matematické modely, které jsme výše sestavili, měly dvě společné vlastnosti:
• Ve všech jsme předpokládali, že čas plyne spojitě, je neomezeně dělitelný. Techničtěji
vyjádřeno, časový okamžik t je prvkem intervalem [0, ∞) ⊆ R a je možné provádět
limitní přechod ∆t → 0; přitom ∆t reprezentuje časový krok, délku krátkého časového
intervalu. Okamžik t = 0 v modelech označoval začátek procesu a v tomto okamžiku
většinou byl znám stav procesu (1), (5), (9), (12); výjimkou jsou poslední dva modely,
u kterých jsme však nenašli (ani nehledali) žádné řešení.
10 OBSAH
• Modelovaný proces byl vyjádřen nebo aproximován nějakou diferencovatelnou funkcí
času x = x(t) (v případě modelu změn mezd a zaměstnanosti dvojicí diferencovatelných
funkcí l = l(t), w = w(t)). Model představovala rovnice (nebo soustava rovnic) ve které
byla vázána hodnota derivace hledané funkce (hledaných funkcí) podle času v jednom
časovém okamžiku a její funkční hodnota v témže okamžiku; v modelech (3), (4), (7),
(8), (10), (11), (15) a (17) byla derivace první, v modelech (16) a (18) druhá.
Rovnice, v nichž vystupuje neznámá funkce jedné reálné proměnné a její derivace, se
nazývají diferenciální, podrobněji obyčejné diferenciální rovnice. Budou základním objektem,
kterým se budeme zabývat. Jak ukazuje ekonomický model (15), nevystačíme s jednou rovnicí,
a jak ukazují fyzikální modely (16) a (18), můžeme potřebovat i vyšší derivace, než první.
Název „diferenciální rovnice má původ v tradiční symbolice. Např. rovnici (2) můžeme
přepsat ve tvaru
V x(t + ∆t) − x(t) = −vx(t)∆t,
neboli
V ∆x(t) = −vx(t)∆t,
v níž vystupuje konečný přírůstek hledané funkce x a přírůstek nezávisle proměnné t. Pokud
přírůstky budeme považovat za infinitesimální, tj. za „nekonečně malé , nahradíme výrazy
∆x a ∆t diferenciály dx a dt. Poslední rovnice tak dostane tvar
V dx(t) = −vx(t)dt,
což je rovnice, v níž vystupují diferenciály dx a dt hledané funkce a její nezávisle proměnné.
Ještě můžeme připomenout, že obyčejnou derivaci v tradiční symbolice zapisujeme
x′
(t) =
dx
dt
(t) nebo stručně x′
=
dx
dt
;
poslední způsob zápisu je výhodný zejména v situacích, kdy ve formulích vystupuje hledaná
časově proměnná veličina (tedy funkce) x, nikoliv její konkrétní hodnota x(t) v časovém okamžiku
t (tedy funkční hodnota). Nezávisle proměnná v tomto zápisu není explicitně uvedena,
přitom ji potřebujeme nějak označit.
Máme-li diferenciální rovnici, chceme znát její řešení, nejlépe v explicitním tvaru. Pro
rovnice (3), (4), (8), (10) a (11) jsme takové řešení napsali. Hledání explicitních řešení diferenciálních
rovnic je věnován exkurs v sekci 1.1; podrobněji je tato problematika probrána ve
skriptech 3. ze seznamu základní studijní literatury.
Řešení v explicitním tvaru však nelze nalézt vždy, u systémů rovnic jsou dokonce explicitní
řešení dosti vzácná. V takovém případě chceme alespoň znát, zda řešení dané nebo sestavené
rovnice existuje, zda je jediné nebo jich je víc, případně na jakém intervalu je řešení definováno.
Pokud rovnice má modelovat nějaký skutečný proces, nemůžeme znát úplně přesně hodnoty
všech parametrů rovnice, stav procesu na počátku a podobně. V takovém případě je dobré
vědět, zda drobná chyba v parametrech nebo počáteční podmínce řešení neznehodnotí. O této
problematice pojednává kapitola 2.
V obecném modelu růstu populace v omezeném prostředí (7) neznáme konkrétní tvar
pravé strany, postulujeme jen nějaké vlastnosti funkce g. Podobně u ekonomického modelu
(15) také neznáme přesný tvar pravé strany druhé rovnice, známe jen nějaké vlastnosti funkce
ϕ, která na ní vystupuje. A přesto potřebujeme i v těchto případech něco o průběhu řešení
vědět. Nelze očekávat, že z „neurčité rovnice získáme přesné kvantitativní informace, ale
OBSAH 11
můžeme se dozvědět alespoň nějaké vlastnosti řešení vyjádřené kvalitativně, např. zda je
funkce x rostoucí, klesající, ohraničená, má limitu v nevlastním bodě a podobně. Některé
základní poznatky z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic jsou uvedeny v kapitole 4.
Podívejme se ještě jednou na rovnice (3), (4), (10) a (11). Všechny čtyři lze zapsat v jednotném
tvaru
x′
(t) = a(t)x(t) + c(t); (19)
v rovnici (3) je funkce a(t) ≡ r/V , v rovnici (4) je a(t) ≡ b−d, v rovnici (10) je a(t) = 1
100 p(t) a
v rovnici (11) je a(t) ≡ −κS, v rovnici (11) je c(t) ≡ κST, v rovnicích (3), (4) a (10) je c(t) ≡ 0.
Rovnice tvaru (19) se nazývají lineární. V rovnici (11) člen c(t) = κST vyjadřoval vliv
okolního prostředí na popisovaný proces (teplotu místnosti, v níž probíhá chladnutí kávy), ve
zbývajících modelech jsme žádné „okolí popisovaného procesu neuvažovali. Proto se lineární
rovnice s c ≡ 0 nazývají homogenní (stejnorodé; celý proces se „rodí z jednoho „zdroje , nic
vnějšího nebo cizího ho neovlivňuje), rovnice s nenulovým členem c se nazývá nehomogenní.
Ve všech uvedených řešeních se vyskytovala přirozená exponenciální funkce. Později uvidíme,
že množina řešení lineární rovnice (nebo systému lineárních rovnic) má také „pěkné
algebraické vlastnosti — může tvořit konečněrozměrný vektorový prostor. Navíc se lineární
rovnice často vyskytují v aplikacích, nebo bývají prvním přiblížením se k modelu zkoumaného
procesu. Z těchto důvodů se lineárními rovnicemi zabývá samostatná kapitola 3.
12 OBSAH
Část I
Obyčejné diferenciální rovnice
13
Kapitola 1
Základní pojmy
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu
Převážně budeme pracovat s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, kterou označíme t;
v dynamických modelech totiž nezávisle proměnná bývá interpretována jako čas (latinsky
tempus). Je-li x : R → R, budeme psát x = x(t) nebo x = x( · ). Obyčejnou derivaci funkce x
v bodě t (v čase t) značíme x′(t) nebo jako podíl diferenciálů, tedy
x′
(t) =
dx
dt
(t).
Zápis x′ =
dx
dt
označuje derivaci funkce x v obecném bodě. Můžeme tedy psát ′ =
d
dt
a obecně
pro n-tou derivaci
x(n)
=
dnx
dtn
nebo stručně (n) =
dn
dtn
.
Diferenciální rovnice (podrobněji obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu) je rovnice,
v níž vystupuje neznámá funkce x = x(t), její první derivace x′ = x′(t) a hodnota nezávisle
proměnné t, tedy
F(t, x, x′
) = 0,
kde F je nějaká funkce tří proměnných. Řešením rovnice je funkce x, která ji splňuje; podrobněji
diferencovatelná funkce x definovaná na nějakém intervalu J, přičemž pro každé t ∈ J je
t, x(t), x′(t) v definičním oboru funkce F a platí F t, x(t), x′(t) = 0.
Uvedená rovnice se nazývá implicitní nebo nerozřešená vzhledem k derivaci. Pokud se
podaří derivaci x′ z rovnice vyjádřit, dostaneme explicitní rovnici nebo rovnici rozřešenou
vzhledem k derivaci.
Definice 1. Buď G ⊆ R2 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x′
= f(t, x) (1.1)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci.
Řešením této rovnice na nedegenerovaném intervalu J ⊆ R se rozumí diferencovatelná
funkce x : J → R, která splňuje podmínky
t, x(t) ∈ G, x′
(t) = f t, x(t) pro každé t ∈ J;
15
16 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
pokud některý krajní bod patří do intervalu J, je v podmínkách příslušná jednostranná deri-
vace.
Graf řešení rovnice (1.1) se nazývá integrální křivka.
Příklad: G = {(t, x) ∈ R2 : t = 0}, f(t, x) =
x
t
.
Funkce x(t) = Ct, kde C ∈ R, je řešením rovnice
x′
=
x
t
(1.2)
na jakémkoliv z intervalů (tα, tω) ⊆ (0, ∞) nebo (tα, tω) ⊆ (−∞, 0). Přestože je tato funkce x
definována na celé množině R, není řešením dané rovnice na žádném intervalu, který obsahuje
nulu, poněvadž bod 0, x(0) = (0, 0) není prvkem množiny G.
Tento příklad ukazuje, že diferenciální rovnice může mít více řešení. Tato nejednoznačnost
je způsobena možností volby intervalu, na kterém řešení uvažujeme, nebo tím, že více funkcí
definovaných na stejném intervalu je řešením dané rovnice.
Definice 2. Nechť x = x(t) je řešením rovnice (1.1) na intervalu J a ˜x = ˜x(t) je řešením
rovnice (1.1) na intervalu ˜J. Jestliže ˜J ⊆ J a pro každé t ∈ ˜J je x(t) = ˜x(t), řekneme, že
řešení x = x(t) je prodloužením řešení ˜x = ˜x(t) a že řešení ˜x = ˜x(t) je zúžením (restrikcí)
řešení x = x(t). Jestliže řešení x = x(t) rovnice (1.1) není zúžením žádného jiného řešení této
rovnice, řekneme, že x = x(t) je úplným (neprodlužitelným) řešením rovnice (1.1), (1.3).
Nadále v této kapitole budeme pod pojmem „řešení rozumět úplné řešení.
Definice 3. Nechť G, f mají stejný význam jako v definici 1 a nechť (t0, ξ) ∈ G je libovolný
bod. Úloha najít řešení rovnice (1.1), které splňuje podmínku
x(t0) = ξ (1.3)
se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka (1.3) se nazývá počáteční nebo Cauchyova
podmínka.
Řešení počáteční úlohy (1.1), (1.3) se nazývá partikulární řešení rovnice (1.1).
Příklad: Nechť t0 = 0, ξ ∈ R. Funkce x(t) =
ξ
t0
t je řešením úlohy (1.2), (1.3). Toto řešení je
definováno na intervalu
J =
(0, ∞), t0 > 0,
(−∞, 0), t0 < 0.
Definice 4. Nechť g = g(t, C) je funkce dvou proměnných taková, že ke každému (t0, ξ) ∈ G
existuje C0 ∈ R takové, že funkce x = x(t) = g(t, C0) je řešením počáteční úlohy (1.1), (1.3).
Pak se funkce g nazývá obecné řešení rovnice (1.1).
Proměnnou t funkce g v předchozí definici považujeme za nezávisle proměnnou reálné
funkce g( · , C) jedné reálné proměnné; proměnnou C považujeme za parametr.
Množina funkcí g( · , C) takových, že C ∈ R a g je obecné řešení rovnice (1.1) nemusí
obsahovat všechna řešení této rovnice.
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 17
Definice 5. Nechť M je množina všech řešení rovnice (1.1), g je obecné řešení této rovnice
a N je množina funkcí jedné proměnné definovaná jako
N = {g( · , C) : C ∈ R} .
Řešení x∗ ∈ M N rovnice (1.1) definované na intervalu J a takové, že ke každému t0 ∈ J
existuje C0 ∈ R, že g(t0, C0) = x∗(t0), se nazývá singulární. (Názorněji řečeno: každým bodem
grafu singulárního řešení prochází integrální křivka nějakého partikulárního řešení, které není
singulárním. Nebo: v každém bodě t0, x∗(t0) ) = (t0, ξ) singulárního řešení má počáteční
úloha (1.1), (1.3) alespoň dvě různá řešení, tj. úloha (1.1), (1.3) není jednoznačně řešitelná.)
Řešení ˜x ∈ M N rovnice (1.1) které není singulární, se nazývá výjimečné.
Příklad: Nechť G = {(t, x) : t ∈ R, x ≥ 0}, f(t, x) = 2
√
x. Funkce g definovaná předpisem
g(t, C) =
0, t < C,
(t − C)2, t ≥ C
je obecným řešením rovnice
x′
= 2
√
x. (1.4)
Vskutku,
dg(t, C)
dt
=
0, t < C,
2(t − C), t ≥ C,
2 g(t, C) =
0, t < C,
2|t − C|, t ≥ C
=
0, t < C,
2(t − C), t ≥ C,
takže každá z funkcí g( · , C) je řešením rovnice (1.4). Pro ξ ≥ 0 a C = t0 −
√
ξ platí t0 ≥ C,
tedy g(t0, t0 −
√
ξ) = (t0 − t0 +
√
ξ)2 = ξ při libovolných hodnotách t0 ∈ R a ξ ≥ 0.1
Konstantní funkce x∗, x∗(t) = 0 je evidentně také řešením rovnice (1.4). Pro libovolné
t0 ∈ R platí x∗(t0) = 0 = g(t, t0), takže x∗ je singulárním řešením této rovnice.
Geometrická interpretace diferenciální rovnice
Rovnice (1.1) přiřazuje každému bodu z G právě jednu hodnotu x′ = f(t, x), tedy každému
bodu (t0, ξ) ∈ G lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě (t0, ξ), tj. přímky
x−ξ = f(t0, ξ)(t−t0). Tento vektor má souřadnice 1, f(t0, ξ) . To znamená, že rovnice (1.1)
definuje na G vektorové pole2. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice (1.1).
Každá integrální křivka rovnice (1.1) je vektorovou čárou3 směrového pole. Směrové pole
tedy poskytuje představu o průběhu řešení rovnice (1.1).
Vrstevnice funkce f, (tj. křivky zadané rovnicí f(t, x) = c) se nazývají izokliny rovnice
(1.1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
1
Při „mechanickém řešení rovnice (1.4) jakožto rovnice se separovanými proměnnými vyjde x = (t − C)2
,
což by znamenalo, že řešení je pro t < C klesající funkcí. Pravá strana rovnice je však nezáporná, takže řešení
musí být neklesající.
2
Vektorové pole na množině G je zobrazení ϕ množiny G do (konečně rozměrného reálného) vektorového
prostoru, tj. ϕ : G → Rn
; v našem případě je n = 2.
3
Vektorová čára vektorového pole ϕ : G → R2
je křivka v Rn
taková, že vektor ϕ(t, x) je tečným vektorem
k této křivce v bodě (t, x).
18 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
x
t
Obrázek 1.1: Směrové pole rovnice (1.4). Izokliny jsou vyznačeny tečkovanou čarou, integrální
křivky čarou plnou. Integrální křivka odpovídající singulárnímu řešení x∗ ≡ 0 splývá s osou
nezávisle proměnné t.
Příklad: Najdeme směrové pole rovnice (1.4). Její izokliny jsou dány rovnicí
2
√
x = c;
konstanta c je nezáporná, neboť odmocninu v reálném oboru definujeme jako nezápornou
funkci. Po triviální úpravě dostaneme
x = 1
4 c2.
Izokliny jsou tedy přímky rovnoběžné s osou t; na izoklině splývající s osou t i směrový vektor
s osou t splývá, tj. má nulový sklon, s rostoucí vzdáleností izokliny od osy t roste sklon
směrového vektoru. Situace je znázorněna na Obr. 1.1.
Poznámka k terminologii a symbolice
Rovnice (1.1) se nazývá diferenciální, přestože se v ní žádný diferenciál neobjevuje; v rovnici
vystupují jen nezávisle proměnná, hledaná funkce a její derivace. Terminologie je ale ospravedlněna
skutečností, že derivaci můžeme zapsat jako podíl diferenciálů a rovnici (1.1) přepsat
do tvaru
dx
dt
= f(t, x),
nebo po formální úpravě
f(t, x)dt − dx = 0.
Diferenciální rovnici tedy můžeme zapsat jako rovnici, v níž se vyskytují závisle a nezávisle
proměnná a jejich diferenciály, tedy ve tvaru
Φ(t, x, dt, dx) = 0.
Z tohoto zápisu však není úplně jasné, která z veličin x a t je závisle a která nezávisle proměnná.
To někdy nemusí být nedostatek, ale výhoda. Zejména pokud proměnné x a t interpretujeme
geometricky jako souřadnice bodu, není žádná z nich „privilegovaná .
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 19
Exkurs: geometrický přístup a elementární metody řešení diferenciálnch rovnic
Ke studiu diferenciálních rovnic mimo jiné vedla úloha z analytické geometrie: napsat rovnici křivky
v rovině dané souřadnými osami x a y, pokud známe její tečnu v libovolném bodě; můžeme navíc
požadovat, aby křivka procházela daným bodem.
Diferenciály dx a dy (podrobněji řečeno diferenciály standardních souřadnicových funkcí) si představujeme
jako „nekonečně malé přírůstky křivky ve směru jednotlivých os ; trochu přesněji řečeno,
jako přírůstky naměřené na tečně. Tečný vektor ke křivce v obecném bodě tedy má souřadnice (dx, dy).
V zadání úlohy je, že známe tečný vektor v každém bodě; řekněme, že to jsou vektory τ(x, y). Nemůžeme
ovšem bezprostředně pracovat se vztahem
(dx, dy) = τ(x, y),
neboť na levé straně by byl vektor „nekonečně krátký , vektor „skoro nulové délky , na pravé straně
vektor nenulový; normovat „skoro nulový vektor nedává rozumný smysl. Poněvadž ale známe tečný
vektor, známe také vektor normálový ν(x, y); ten je kolmý na vektor tečný τ(x, y), a tedy také na
infinitezimální vektor (dx, dy). Jinak řečeno, skalární součin vektorů tečného a normálového je nulový.
Pokud tedy normálový vektor v bodě (x, y) rozepsaný do souřadnic je
ν(x, y) = f(x, y), g(x, y) ,
pak musí platit
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0. (1.5)
Rovnice hledané křivky je tedy řešením této diferenciální rovnice v tradičním zápisu pomocí diferenciálů.
Její řešení, tedy hledanou křivku, nazýváme integrální křivkou této rovnice. Požadavku, aby křivka
procházela daným bodem (x0, y0), říkáme Cauchyova podmínka. Můžeme ji také zapsat v některém
z tvarů
y(x0) = y0, nebo x(y0) = x0. (1.6)
Diferenciální rovnici (1.5) spolu s Cauchyovou podmínkou nazýváme Cauchyův problém nebo Cauchyova
úloha.
Slovním spojením „řešit diferenciální rovnici elementárními metodami rozumíme: „úlohu najít
řešení diferenciální rovnice nebo Cauchyovy úlohy převést na nějakou jinou – jednodušší – úlohu .
Přitom za „jednodušší úlohu považujeme takovou, která se objevuje v kursu matematické analýzy
před probíráním diferenciálních rovnic. Často jde o výpočet integrálů, proto se elementárním metodám
řešení také říkává „řešení v kvadraturách .
Při řešení diferenciálních rovnic elementárními metodami bývá užitečné rovnice zapisovat ve tvaru
(1.5) s diferenciály.
Příklad: Najdeme rovnici kružnice se středem v počátku souřadnic, která prochází bodem (1, 2).
Tečna ke kružnici je v každém bodě kolmá k průvodiči (úsečce spojující uvažovaný bod a střed
kružnice), směrový vektor průvodiče v bodě (x, y) je (x, y)−(0, 0) = (x, y). Dostáváme tak diferenciální
rovnici
xdx + ydy = 0,
tedy rovnost diferenciálů
xdx = −ydy.
Z rovnosti diferenciálů plyne rovnost integrálů (až na integrační konstantu). A poněvadž hledaná
kružnice má procházet bodem (1, 2) (můžeme také říci, že křivka z bodu (1, 2) vychází, že bod (1, 2)
je jejím počátečním bodem), dostaneme
x
1
ξdξ = −
y
2
ηdη.
20 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
To znamená, že 1
2 x2
− 1
2 12
= − 1
2 y2
− 1
2 22
, po úpravě
x2
+ y2
= 5.
Tento výsledek zcela odpovídá tomu, co nás naučili na střední škole.
Exaktní rovnice
Jedná se o diferenciální rovnici ve tvaru (1.5), kde funkce f a g splňují identitu
∂f
∂y
(x, y) =
∂g
∂x
(x, y). (1.7)
Výraz na levé straně rovnice (1.5) je za předpokladu (1.7) totálním diferenciálem4
nějaké kmenové
funkce F. Připomeňme si, že kmenová funkce splňuje podmínky
∂F
∂x
(x, y) = f(x, y),
∂F
∂y
(x, y) = g(x, y). (1.8)
Je-li F kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně rovnice (1.5), pak rovnost
F(x, y) = c,
kde c je reálná konstanta, je implicitním vyjádřením řešení rovnice (1.5). O tom se snadno přesvědčíme
přímým dosazením.
Hledání řešení rovnice (1.5) jsme tedy převedli na problém hledání kmenové funkce diferenciálu a
na vyšetřování implicitně zadané funkce.
Spolu s rovnicí (1.5) uvažujme Cauchyovu podmínku (1.6). Bod (x0, y0) musí samozřejmě ležet
v průniku definičních oborů funkcí f a g. Budeme hledat takovou kmenovou funkci F, pro niž platí
F(x0, y0) = 0.
První z podmínek (1.8) splňuje funkce F daná předpisem
F(x, y) =
x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ(y), (1.9)
kde ϕ je nějaká diferencovatelná funkce, pro niž platí ϕ(x0) = 0. Aby byla splněna druhá z podmínek
(1.8), musí platit
∂
∂y


x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ(y)

 =
∂
∂y
x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ′
(y) = g(x, y) ;
symbol ′
nyní označuje obyčejnou derivaci podle proměnné y. Z předchozí rovnosti a z podmínky
ϕ(y0) = 0 plyne
ϕ(y) =
y
y0

g(x, η) −
∂
∂η
x
x0
f(ξ, η)dξ

 dη =
y
y0
g(x, η)dη −
x
x0
f(ξ, y)dξ +
x
x0
f(ξ, y0)dξ.
Dosazením do rovnosti (1.9) dostaneme hledanou kmenovou funkci F. Řešení Cauchyovy úlohy (1.5),
(1.6) je tedy implicitně dáno rovností
x
x0
f(ξ, y0)dξ +
y
y0
g(x, η)dη = 0. (1.10)
4
Viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, kap. 4
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 21
Analogickým postupem (s opačným pořadím integrování) můžeme najít řešení úlohy (1.5), (1.6) v implicitním
tvaru
x
x0
f(ξ, y)dξ +
y
y0
g(x0, η)dη = 0.
Hledání řešení Cauchyovy úlohy (1.5), (1.6) jsme tedy v případě exaktní rovnice převedli na problém
výpočtu integrálů a na vyšetřování implicitně zadané funkce.
Speciální případ: rovnice se separovanými proměnnými.
Jedná se o rovnici tvaru
f(x)dx + g(y)dy = 0, (1.11)
v níž funkce f a g jsou funkcemi právě jedné proměnné. Tato rovnice je evidentně exaktní.
Křivka, která splňuje rovnici (1.11) a prochází bodem (x0, y0) má podle (1.10) obecnou rovnici
x
x0
f(ξ)dξ +
y
y0
g(η)dη = 0.
Obecněji můžeme mluvit o rovnicích se separovatelnými proměnnými, pokud v rovnici (1.5) jsou
funkce f a g součinem dvou funkcí jedné proměnné. Jedná se tedy o rovnice
f1(x)f2(y)dx + g1(x)g2(y)dy = 0. (1.12)
Pokud je příslušná Cauchyova podmínka taková, že f2(y0) = 0 = g1(x0), můžeme rovnici (1.12) vydělit
výrazem f2(y)g1(x) a dostaneme rovnici se separovanými proměnnými
f1(x)
g1(x)
dx +
g2(y)
f2(y)
dy = 0.
Je-li f2(y0) = 0 nebo f1(x0) = 0, ale v ryzím okolí bodu (x0, y0) je f2(y) = 0 = g1(x), provedeme
stejnou úpravu a řešení Cauchyovy úlohy dostaneme v implicitním tvaru
x
x0
f1(ξ)
g1(ξ)
dξ +
y
y0
g2(η)
f2(η)
dη = 0,
pokud oba integrály konvergují. V případě, že f2(y0) = 0 (resp. g1(x0) = 0), je přímka daná rovnicí
y = y0 (resp. x = x0) integrální křivkou rovnice. Řešení y ≡ y0 (resp. x ≡ x0) může být singulárním
řešením této rovnice.
Integrační faktor
Rovnici (1.12), která obecně není exaktní, jsme vynásobili výrazem
̺(x, y) =
1
g1(x)f2(y)
,
a tím ji převedli na rovnici exaktní. Můžeme obecně hledat nenulový výraz ̺ = ̺(x, y) takový, že při
daných funkcích f = f(x, y), g = g(x, y) je rovnice
̺(x, y)f(x, y)dx + ̺(x, y)g(x, y)dy = 0 (1.13)
exaktní. Výraz ̺(x, y) se pak nazývá integrační faktor dané rovnice. V takovém případě musí platit
∂
∂y
̺f =
∂
∂x
̺g, tj.
∂̺
∂y
f + ̺
∂f
∂y
=
∂̺
∂x
g + ̺
∂g
∂x
22 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
(pro stručnost zápisu nepíšeme nezávisle proměnné). Z těchto rovností dostaneme vztah
g
∂̺
∂x
− f
∂̺
∂y
=
∂f
∂y
−
∂g
∂x
̺. (1.14)
To znamená, že funkce ̺ splňuje rovnici, v níž se vyskytují její parciální derivace, tj. funkce ̺ je řešením
parciální diferenciální rovnice. Řešit parciální diferenciální rovnici není „jednodušší úloha , než řešit
obyčejnou diferenciální rovnici. Problém hledání integračního faktoru tedy nemůžeme prohlásit za
vyřešený.
Pokud by však integrační faktor ̺ byl funkcí pouze jedné proměnné x, ̺ = ̺(x), pak by
∂̺
∂y
= 0 a
∂̺
∂x
=
d̺
dx
.
Parciální rovnice (1.14) by tak přešla na rovnici obyčejnou
d̺
dx
=
1
g
∂f
∂y
−
∂g
∂x
̺,
nebo v diferenciálním tvaru
1
̺
d̺ +
1
g
∂g
∂x
−
∂f
∂y
dx = 0. (1.15)
Pokud je výraz před diferenciálem dx funkcí pouze jedné proměnné x, pak je rovnice (1.15) rovnicí se
separovanými proměnnými.
Dostáváme tak závěr: Je-li
∂
∂y
1
g
∂g
∂x
−
∂f
∂y
= 0,
pak existuje integrační faktor ̺ = ̺(x) rovnice (1.5); tento integrační faktor je řešením obyčejné
diferenciální rovnice (1.15).
Analogicky odvodíme: Je-li
∂
∂x
1
f
∂f
∂y
−
∂g
∂x
x = 0,
pak existuje integrační faktor ̺ = ̺(y) rovnice (1.5), který je řešením obyčejné diferenciální rovnice se
separovanými proměnnými
1
̺
d̺ +
1
f
∂f
∂y
−
∂g
∂x
dx = 0.
Rovnice na rovnici exaktní transformovatelné
Některé speciální rovnice lze vhodnou substitucí nebo úpravou (případně kombinací obou postupů) na
rovnici exaktní převést. Jedná se zejména o následující typy rovnic:
(i) Rovnice homogenní.
Nejprve připomeneme definici: Funkce h : R2
→ R se nazývá homogenní řádu k, pokud pro
každou reálnou konstantu κ platí h(κx, κy) = κk
h(x, y).
Homogenní diferenciální rovnice je rovnice tvaru (1.5), v níž obě funkce f a g jsou homogenní
stejného řádu. Takovou rovnici můžeme upravit na tvar
xk
f 1,
y
x
dx + xk
g 1,
y
x
dy = 0
a po vydělení výrazem xk
dostaneme
f 1,
y
x
dx + g 1,
y
x
dy = 0. (1.16)
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 23
Odtud (formálně) plyne
dy
dx
= −
f 1,
y
x
g 1,
y
x
.
Dále zavedeme substituci
u =
y
x
. (1.17)
Pak
dy
dx
= −
f(1, u)
g(1, u)
a dále
du
dx
=
x
dy
dx
− y
x2
=
1
x
dy
dx
−
y
x
= −
1
x
f(1, u)
g(1, u)
+ u .
Z této rovnosti dostaneme
1
x
dx +
g(1, u)
f(1, u) + ug(1, u)
du = 0,
což je rovnice se separovanými proměnnými, tedy speciální případ rovnice exaktní.
Ještě poznamenejme, že při označení ϕ(ξ) = f(1, ξ) a ψ(ξ) = g(1, ξ) můžeme rovnici (1.16)
přepsat na tvar
ϕ
y
x
dx + ψ
y
x
dy = 0;
takové rovnici říkáme homogenní v užším smyslu.
(ii) Rovnice typu
f
ax + by + c
αx + βy + γ
dx + g
ax + by + c
αx + βy + γ
dy = 0. (1.18)
Rozlišíme tři případy:
1. c = γ = 0. Označíme
F(x, y) = f
ax + by
αx + βy
, G(x, y) = g
ax + by
αx + βy
a rovnici přepíšeme jako
F(x, y)dx + G(x, y)dy = 0.
Přitom platí
F(κx, κy) = f
aκx + bκy
ακx + βκy
= f
ax + by
αx + βy
= F(x, y)
a stejným výpočtem G(κx, κy) = G(x, y). Obě funkce F a G jsou homogenní řádu nula.
Rovnice (1.18) je v tomto případě homogenní a můžeme ji řešit substitucí (1.17).
2. α = β = 0. V tomto případě zavedeme substituci
u =
ax + by + c
γ
,
takže rovnici přepíšeme ve tvaru
f(u)dx + g(u)dy = 0
a z ní vyjádříme
dy
dx
= −
f(u)
g(u)
. Dále platí
du
dx
=
1
γ
a + b
dy
dx
=
1
γ
a − b
f(u)
g(u)
=
ag(u) − bf(u)
γg(u)
,
24 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
takže daná rovnice se transformuje na tvar
dx +
γg(u)
bf(u) − ag(u)
du = 0,
což je rovnice se separovanými proměnnými.
3. c2
+ γ2
= 0 = α2
+ β2
. Nejprve výraz
ax + by + c
αx + βy + γ
upravíme.
Pokud α = 0, dostaneme
ax + by + c
αx + βy + γ
=
1
α
a +
(αb − aβ)y + αc − aγ
αx + βy + γ
,
pokud β = 0, dostaneme
ax + by + c
αx + βy + γ
=
1
β
b −
(αb − aβ)y + γb − βc
αx + βy + γ
.
Nyní mohou nastat dvě možnosti:
• αb − aβ = 0. Z předchozího výpočtu pak vidíme, že rovnice je stejného typu, jako
v případě 2.
• αb − aβ = 0. Za tohoto předpokladu existuje jednoznačné řešení m, n soustavy algebraických
lineárních rovnic
am + bn = c,
αm + βn = γ.
S využitím tohoto řešení zavedeme substituce
ξ = x + m, η = y + n. (1.19)
pak dξ = dx,dy = dη a
ax + by + c
αx + βy + γ
=
a(ξ − m) + b(η − n) + c
α(ξ − m) + β(η − n) + γ
=
=
aξ + bη − (am + bn) + c
αξ + βη − (am + bn) + γ
=
aξ + bη
αξ + βη
.
To znamená, že substituce (1.19) převede rovnici (1.18) na rovnici stejného typu, jaký
je v případě 1.
(iii) Rovnice lineární je rovnice, v níž je podíl diferenciálů (derivace) vyjádřen jako výraz lineární
v závisle proměnné, tj.
dy
dx
= a(x)y + b(x), nebo
dx
dy
= a(y)x + b(y),
kde a, b jsou nějaké integrabilní funkce jedné proměnné, funkce a je nenulová. Budeme se věnovat
první z rovnic ve tvaru
a(x)y + b(x) dx − dy = 0; (1.20)
druhá rovnice z ní vznikne záměnou proměnných.
Jedná se o rovnici tvaru (1.5), kde f(x, y) = a(x)y + b(x) a g(x, y) = −1. Poněvadž
∂g
∂x
−
∂f
∂y
= −a(x) = 0,
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 25
rovnice není exaktní. Budeme tedy pro ni hledat integrační faktor. Poněvadž
∂
∂y
1
g
∂g
∂x
−
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
a(x) = 0,
existuje integrační faktor tvaru ̺ = ̺(x). Ten je řešením rovnice se separovanými proměnnými
1
̺
d̺ + a(x)dx = 0.
Tato rovnice má podle (1.10) řešení v implicitním tvaru zapsaném rovností
̺
̺0
1
r
dr +
x
x0
a(ξ)dξ = 0, po úpravě ln
̺
̺0
= −
x
x0
a(ξ)dξ.
Volíme ̺0 = 1 (nejde nám totiž o nalezení všech možných integračních faktorů, ale stačí nám
jen jeden) a dostaneme integrační faktor ve tvaru
̺(x) = e
−
x
x0
a(ξ)dξ
.
Rovnici (1.20) vynásobíme tímto integračním faktorem a dostaneme rovnici exaktní
a(x)y + b(x) e
−
x
x0
a(σ)dσ
dx − e
−
x
x0
a(ξ)dξ
dy = 0,
která má podle (1.10) řešení zapsané v implicitním tvaru
x
x0
a(ξ)y0 + b(ξ) e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ −
y
y0
e
−
x
x0
a(σ)dσ
dη = 0. (1.21)
Nyní vypočítáme
x
x0
a(ξ)y0 e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ = −y0
x
x0
d
dξ
e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ = −y0

e
−
x
x0
a(σ)dσ
− 1

 ,
y
y0
e
−
x
x0
a(ξ)dξ
dη = (y − y0)e
−
x
x0
a(ξ)dξ
,
dosadíme do (1.21),
x
x0
b(ξ)e
−
ξ
x0
a(σ)dσ
dξ + y0 − ye
−
x
x0
a(ξ)dξ
= 0.
Odtud vyjádříme řešení rovnice (1.20) ve tvaru
y = y0e
x
x0
a(ξ)dξ
+
x
x0
b(ξ)e
x
ξ
a(σ)dσ
dξ. (1.22)
(iv) Rovnice Bernoulliova
dy
dx
= a(x)y + b(x)yr
,
26 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
kde r = 1 je nějaká reálná konstanta.
Zavedeme substituci
u = y1−r
.
Pak
du
dx
= (1 − r)y−r dy
dx
= (1 − r)y−r
a(x)y + b(x)yr
= (1 − r) a(x)y1−r
+ b(x) .
Bernoulliova rovnice se tedy transformuje na rovnici
du
dx
= (1 − r)a(x)u + (1 − r)b(x),
což je rovnice lineární.
1.2 Systémy diferenciálních rovnic
1.2.1 Vektorové a maticové funkce
Reálný n-rozměrný vektor x je prvkem prostoru Rn. Složky (standardní souřadnice) vektoru
x budeme značit x1, x2, . . . , xn nebo (x)1, (x)2, . . . , (x)n.
Matice A o m řádcích a n sloupcích je prvkem prostoru Rmn. Její složku na i-tém řádku
a v j-tém sloupci budeme značit aij nebo (A)ij. Vektor z prostoru Rn budeme chápat jako
matici o n řádcích a jednom sloupci.
Je-li tedy x ∈ Rn a A ∈ Rmn, můžeme psát
x =





x1
x2
...
xn





, (x)i = xi, A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, (A)ij = aij, (Ax)i =
n
k=1
aikxk.
Normy vektorů a matic
Normu vektoru x =





x1
x2
...
xn





, podrobněji vektorovou 1-normu nebo součtovou normu definujeme
předpisem
||x|| = ||x||1 =
n
i=1
|xi|.
Normu matice A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, podrobněji maticovou 1-normu nebo součtovou
normu definujeme předpisem
||A|| = ||A||1 =
m
i=1
n
j=1
|aij|.
1.2. SYSTÉMY DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 27
Na množině vektorů zavádíme metriku ̺(x, y) = ||x − y||, na množině matic zavádíme metriku
̺(A, B) = ||A − B||. Jedná se o součtovou neboli taxíkářskou metrikou, sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iii.
• Platí: ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||. Této vlastnosti se říká, že maticová norma je souhlasná s vektorovou
normou.
Důkaz: Pro libovolné i, k ∈ {1, 2, . . . , n} je |aik| ≤
n
j=1
|aij|. Odtud plyne
||Ax|| =
m
i=1
|(Ax)1| =
m
i=1
n
k=1
aikxk ≤
m
i=1
n
k=1
|aik| |xk| =
=
n
k=1
|xk|
m
i=1
|aik| ≤
n
k=1

|xk|
m
i=1
n
j=1
|aij|

 =
n
k=1
|xk|


m
i=1
n
j=1
|aij|

 .
Spojitost, derivace a integrál vektorových a maticových funkcí
Vektorová funkce, podrobnněji n-vektorová funkce, x = x(t) je zobrazení x : R → Rn,
maticová funkce, podrobněji čtvercová n-rozměrná maticová funkce, A = A(t) je zobrazení
A : R → Rn2
,
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





.
Na množině R uvažujeme přirozenou metriku, na množině Rn, resp. Rn2
, uvažujeme příslušnou
součtovou metriku. Spojitost vektorové, resp. maticové, funkce chápeme jako spojitost
příslušného zobrazení metrických prostorů. Podrobněji: vektorová funkce x (resp. maticová
funkce A) je spojitá v bodě t0 svého definičního oboru, jestliže ke každému kladnému číslu
ε existuje kladné číslo δ tak, že pro všechna t z definičního oboru funkce x z nerovnosti
|t − t0| < δ plyne nerovnost ||x(t) − x(t0)|| < ε (resp. ||A(t) − A(t0)|| < ε). Vektorová (resp.
maticová) funkce je spojitá právě tehdy, když všechny její složky jsou spojité.
Limitu v bodě t0, derivaci v obecném bodě t a integrál v mezích od t do t0 vektorové,
resp. maticové, funkce definujeme vztahy (v uvedeném pořadí)
lim
t→t0
x(t)
i
= lim
t→t0
xi(t),
dx
dt
(t)
i
= x′
(t) 1
= x′
i(t) ,


t
t0
x(s)ds


i
=
t
t0
xi(s)ds,
lim
t→t0
A(t)
ij
= lim
t→t0
aij(t),
dA
dt
(t)
ij
= A′
(t) ij
= a′
ij(t),


t
t0
A(s)ds


ij
=
t
t0
aij(s)ds.
1.2.2 Vektorová rovnice prvního řádu
Definice 6. Buď G ⊆ R1+n množina s neprázdným vnitřkem, f : G → Rn. Rovnice
x′
= f(t, x) (1.23)
28 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
se nazývá systém n obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo n-vektorová obyčejná
diferenciální rovnice prvního řádu.
Rovnice (1.23) se od rovnice (1.1) liší pouze tím, že některé symboly (konkrétně hledaná
funkce x a funkce f na pravé straně) jsou tučné, označují vektorové proměnné. Proto můžeme
zopakovat vše, co je uvedeno v 1.1 mezi Definicí 1 a geometrickou interpretací diferenciální
rovnice. Všechny pojmy vztahující se k diferenciální rovnici (1.1) jsou po příslušné záměně
skalárů za vektory použitelné i na systémy diferenciálních rovnic.
Vektorovou rovnici můžeme rozepsat do složek
x′
1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x′
2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
x′
n = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
Počáteční podmínku x(t0) = ξ k rovnici (1.23) zadáváme pro systém rozepsaný do složek
ve tvaru
x1(t0) = ξ1, x2(t0) = ξ2, . . . , xn(t0) = ξn. (1.24)
Obecné řešení n-rozměrného systému g( · , C) závisí na n-rozměrné konstantě, tedy na n
parametrech.
1.3 Skalární rovnice n-tého řádu
Definice 7. Buď G ⊆ R1+n množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x(n)
= f t, x, x′
, x′′
, . . . , x(n−1)
(1.25)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci.
Řešením této rovnice na nedegenerovaném intervalu J ⊆ R se rozumí n-krát diferencovatelná
funkce x : J → R, která pro každé t ∈ J splňuje podmínky
t, x(t), x′
(t), x′′
(t), . . . , x(n−1)
(t) ∈ G, x(n)
(t) = f t, x(t), x′
(t), x′′
(t), . . . , x(n−1)
(t) .
Rovnici n-tého řádu lze převést na systém prvního řádu:
• Nechť funkce x je řešením rovnice (1.25). Definujme funkce
x1 = x, xk+1 = x′
k pro k = 1, 2, . . . , n − 1.
Pak
xk+1 = x′
k = x′′
k−1 = x′′′
k−2 = · · · = x
(k)
1 = x(k)
pro k = 2, 3, . . . , n,
x′
= x′
1, x′′
= x3, x′′′
= x4, . . . , x(n−1)
= xn,
takže
x′
n = x(n)
= f t, x, x′
, x′′
, . . . , x(n−1)
= f(t, x1, x2, x3, . . . , xn).
1.3. SKALÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU 29
To znamená, že funkce x1, x2, . . . , xn jsou řešením systému rovnic
x′
1 = x2,
x′
2 = x3,
...
x′
n−1 = xn,
x′
n = f(t, x1, x2, x3, . . . , xn).
(1.26)
• Naopak, nechť vektorová funkce x = (x1, x2, . . . , xn) je řešením systému rovnic (1.26). Pak
pro její složky platí
x2 = x′
1, x3 = x′
2 = x′′
1, x4 = x′
3 = x′′′
1 , . . . , xn = x
(n−1)
1 ,
takže
x
(n)
1 = x′
n = f(t, x1, x2, x3, . . . , xn) = f t, x1, x′
1, x′′
1, . . . , x
(n−1)
1 .
To znamená, že první složka řešení systému (1.26) je řešením rovnice (1.25).
Celkem jsme ukázali, že rovnice (1.25) je ekvivalentní se systémem (1.26). Z této úvahy
také plyne, že počáteční (Cauchyovu) podmínku pro rovnici (1.25) zadáváme ve tvaru
x(t0) = ξ1, x′
(t0) = ξ2, x′′
(t0) = ξ3, . . . , x(n−1)
(t0) = ξn, (1.27)
kde (t0, ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ G.
Úplné řešení, partikulární a obecné řešení rovnice (1.25) definujeme analogicky jako u rovnic
prvního řádu. Obecné řešení rovnice n-tého řádu závisí na n parametrech.
Příklad: Pohyb hmotného bodu o hmotnosti m, který je vázán na přímku a na který působí
síla F závislá na poloze lze popsat skalární rovnicí druhého řádu
x′′
=
1
m
F(x),
kde x = x(t) označuje polohu bodu v čase t, sr. Prolog, str. 7. Stejně dobře ho však lze popsat
systémem dvou rovnic
x′ = v,
v′ =
1
m
F(x);
v = v(t) označuje rychlost bodu v čase t.
30 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
Kapitola 2
Obecné vlastnosti obyčejných
diferenciálních rovnic
Aby počáteční úloha pro diferenciální rovnici mohla být popisem (modelem) nějakého reálného
procesu, musí mít několik vlastností:
1. Existuje její řešení. Diferenciální rovnici považujeme za vyjádření (nebo alespoň idealizaci
nebo aproximaci) nějakého „zákona (přírodního, ekonomického, sociologického,
. . . ), tj. pravidla vyabstrahovaného metodami příslušné vědní disciplíny. Proces se podle
tohoto pravidla skutečně vyvíjí, tj. řešení počáteční úlohy musí existovat.
2. Řešení počáteční úlohy je jediné. Je-li proces deterministický, ze znalosti počátečního
stavu a pravidla vývoje jednoznačně plyne jeho další vývoj.
3. Řešení musí záviset na parametrech rovnice a počátečních podmínkách spojitě. Všechny
konstanty (parametry modelu) a počáteční hodnoty můžeme změřit jen s omezenou
přesností. A je žádoucí, aby malá chyba měření nezpůsobila velkou změnu řešení v konečném
čase.
4. Řešení musí být definováno v dostatečně dlouhém čase. Modelovaný proces určitě nějakou
dobu probíhá (abychom si ho vůbec povšimli) a nějakou dobu ještě probíhat bude
(aby mělo smysl ho modelovat).
Proto je potřebné se zabývat otázkou, jaké podmínky kladené na pravou stranu rovnice,
zaručí existenci řešení. Jinak řečeno, jak poznáme, že pravidlo vývoje není z procesu vyabstrahováno
naprosto špatně.
Jednoznačně se vyvíjejí procesy studované klasickou (nekvantovou) fyzikou. Procesy komplexnější
(kterým se věnuje např. vývojová a evoluční biologie, ekonomie, sociologie a podobně)
již jednoznačné být nemusí, může dojít k nějakému „větvení procesu. Proto je užitečné
studovat, kdy je řešení rovnice jediné a za jakých podmínek může dojít k nejednoznačnosti
řešení (tj. k nepredikovatelnosti vývoje). Příjemným zjištěním přitom bude, že dostatečné
podmínky pro jednoznačnost řešení počáteční úlohy jsou také dostatečnými podmínkami pro
spojitou závislost řešení na parametrech a počátečních hodnotách. Vývoj deterministických
procesů můžeme pro nepříliš vzdálený časový horizont predikovat dostatečně přesně, pokud
známe deterministické pravidlo vývoje a dostatečně přesně měříme aktuální hodnoty. V této
formulaci zůstaly velice vágní pojmy „dostatečně přesně a „nepříliš vzdálený . Co přesně
znamenají podstatně závisí na charakteru procesu.
31
32 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Udržitelnost bývá důležitou vlastností procesů, proto je dobré mít jasno v tom, do jakého
času řešení počáteční úlohy existuje. Zejména vyjasnit, zda existuje nějaká konečná hranice,
za niž řešení prodloužit nelze, nebo zda je vývoj (potenciálně) nekonečný.
V první části se budeme věnovat počáteční úloze pro skalární rovnici. V tomto případě
jsou totiž všechny úvahy jednodušší a názornější. Nejprve ukážeme dva způsoby, jak najít
řešení dané úlohy jako limitu aproximací. Ty mimochodem představují jednoduché metody,
jak numericky najít přibližné (a pro praxi dostatečně přesné) řešení. Dále najdeme horní a
dolní odhad hledaného řešení.
Pro skalární rovnici s analytickou pravou stranou (funkci na pravé straně rovnice lze
vyjádřit ve tvaru mocninné řady) ukážeme ještě jednu metodu aproximace řešení – vyjádření
řešení pomocí mocninné řady.
Úvahy o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro (skalární) diferenciální rovnici
pak zobecníme na systémy rovnic (na vektorovou diferenciální rovnici), v části 2.2 lokálně
(v okolí počátečního bodu) a v části 2.3 globálně (na celém intervalu řešení rovnice). V poslední
části 2.4 kapitoly ukážeme, jak odhadnout meze, ve kterých se bude řešení (vektorové)
rovnice pohybovat.
2.1 Existence, jednoznačnost a odhad řešení skalární ODR
Uvažujme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu ve standardním
tvaru
x′
= f(t, x), x(t0) = ξ. (2.1)
Na rovnost
x′
(t) = f t, x(t)
definující řešení příslušné diferenciální rovnice se můžeme prostě dívat jako na rovnost dvou
funkcí jedné reálné proměnné t. Integrací v mezích od t0 do t dostaneme
x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds,
neboli
x(t) = ξ +
t
t0
f s, x(s) ds. (2.2)
Naopak, derivováním poslední rovnosti podle proměnné t dostaneme x′(t) = f t, x(t) . Navíc,
pro funkci definovanou pravou stranou rovnosti (2.2) platí x(t0) = ξ. Vidíme tedy, že počáteční
úloha pro diferenciální rovnici (2.1) je ekvivalentní s integrální rovnicí (2.2).
K řešení počáteční úlohy (2.1) se budeme snažit přiblížit třemi různými způsoby. Lze
ukázat, že v limitě jsou tato přiblížení (aproximace) rovna řešení dané úlohy, což znamená,
že řešení existuje a navíc je výsledkem nějakého konkrétního limitního procesu.
2.1.1 Eulerovy polygony
Řešení úlohy (2.1) se spojitou funkcí f budeme aproximovat funkcí po částech lineární a
spojitou. Jinak řečeno, integrální křivku nahradíme lomenou čarou spojující body (t0, ξ),
(t1, x1), (t2, x2), . . . .
2.1. EXISTENCE, JEDNOZNAČNOST A ODHAD ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 33
Podrobněji: Zvolíme časové okamžiky t1, t2, t3, . . . (body na ose t) tak, že t0 < t1 < t2 <
t3 · · · . Dále položíme x0 = ξ a budeme předpokládat, že známe hodnoty x1, x2, x3, . . . , xk
takové, že „dobře aproximují řešení úlohy v okamžicích t1, t2, t3, . . . , tj.
x1 ≈ x(t1), x2 ≈ x(t2), . . . , xk ≈ x(tk).
Ze spojitosti funkce f plyne, že
f t1, x(t1) ≈ f(t1, x1), f t2, x(t2) ≈ f(t2, x2), . . . , f tk, x(tk) ≈ f(tk, xk).
Podle (2.2) pro hodnotu řešení x dané úlohy platí
x(tk+1) = ξ +
tk+1
t0
f s, x(s) ds.
Integrál aproximujeme integrálním součtem1 a využijeme spojitost funkce f. Dostaneme
ξ +
tk+1
t0
f s, x(s) ds ≈ ξ +
k
i=0
(ti+1 − ti)f ti, x(ti) ≈ ξ +
k
i=0
(ti+1 − ti)f(ti, xi).
Poslední výraz vezmeme jako aproximaci hodnoty řešení v bodě tk+1, tj.
xk+1 = ξ +
k
i=0
(ti+1 − ti)f(ti, xi) ≈ x(tk+1).
Z počáteční hodnoty x0 = ξ tímto způsobem postupně získáváme jednotlivé aproximace řešení
x1 = x0 + (t1 − t0)f(t0, x0), x2 = x1 + (t2 − t1)f(t1, x1), x3 = x2 + (t3 − t2)f(t2, x2),
. . . xk+1 = xk + (tk+1 − tk)f(tk, xk), . . .
atd. Výsledek můžeme shrnout:
Eulerův polygon příslušný k úloze (2.1) a dělení D = {t0, t1, t2, . . . , tn = t0 + a} je lomená
čára, spojující body (t0, x0), (t1, x1),. . . , (tn, xn). Přitom hodnoty xi, i = 0, 1, 2, . . . , n jsou
definovány rekurentně vztahy
x0 = ξ, xk+1 = xk + (tk+1 − tk)f(tk, xk), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Eulerův polygon je zkonstruován tak, že aproximuje graf řešení dané úlohy. Lze tedy očekávat,
že se zjemňováním dělení intervalu J (tj. s růstem počtu dělících bodů n a se zmenšováním
normy dělení ν(D) = max {|ti − ti−1| : i = 1, 2, . . . , n}) se bude Eulerův polygon „přibližovat
ke grafu řešení úlohy (2.1), k integrální křivce rovnice.
Provedená úvaha ještě nedokazuje, že posloupnost Eulerových polygonů pro ν(D) → 0
skutečně konverguje; a pokud konverguje k nějaké funkci, tak že tato funkce je řešením dané
úlohy. Korektní důkaz – který samozřejmě existuje – je analogií konstrukce Riemannova in-
tegrálu.
Po provedení důkazu je jisté, že řešení dané úlohy existuje a navíc, že ho lze najít jako
limitu posloupnosti Eulerových polygonů. Platí tedy:
1
Přesněji řečeno, jedním z možných tvarů integrálního součtu. Ten uvedený odpovídá aproximaci integrálu
pomocí obdélníkového pravidla.
34 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Tvrzení 1. Je-li funkce f : [t0, t0 + a] × R spojitá a ohraničená, pak má úloha (2.1) řešení
definované na intervalu [t0, t0 + a].
Zobecněním tohoto tvrzení je Peanova věta o existenci řešení počáteční úlohy, tj. Věta 2.
Pokud chceme skutečně Eulerovým polygonem aproximovat řešení nějaké úlohy, je nutné
zvolit konkrétní interval [t0, t0 + a] na kterém řešení hledáme, a zvolit konkrétní dělení
{t0, t1, t2, . . . , tn = t0 + a} tohoto intervalu. Pro výpočet je nejjednodušší volit konstantní
délku kroku h, tj. vzít dělení takové, že ti+1 − ti = h pro všechna i = 0, 1, 2, . . . , n − 1; takové
dělení se nazývá ekvidistantní. Bývá ovšem účelné délku kroku měnit podle rychlosti změny
hledané funkce, tedy podle velikosti absolutní hodnoty její derivace – s rostoucí hodnotou
f(ti, xi) | zkracovat vzdálenost k následujícímu dělícímu bodu tk+1.
Ukážeme jednu jednoduchou možnost, jak volit délku kroku „adaptivně , podle velikosti
derivace hledané funkce v bodě tk (přesněji: podle derivace zprava Eulerova polygonu v bodě
tk). Zvolíme konstantní délku δ strany Eulerova polygonu, tj. požadujeme, aby pro platilo
(tk+1 − tk)2
+ (xk+1 − xk)2
= δ2
.
Poněvadž xk+1 = xk + (tk+1 − tk)f(tk, xk), můžeme z této podmínky vypočítat
tk+1 = tk +
δ
1 + f(tk, xk)2
.
Příklad: Uvažujme počáteční úlohu
x′
= 2t + x2
, x(0) = 0. (2.3)
Zvolíme konstantní délku kroku h. Pak tk = kh a příslušné rekurentní vztahy jsou
x0 = 0, xk+1 = xk + h(2tk + x2
k) = xk + hx2
k + 2kh2
.
Při „adaptivní volbě dělících bodů dostaneme dvojici rekurentních vztahů:
t0 = 0, x0 = 0,
tk+1 = tk +
δ
1 + 2tk + x2
k
2
, xk+1 = xk + (tk+1 − tk) 2tk + x2
k .
Na obrázku 2.1 jsou zobrazeny Eulerovy polygony na intervalu [0, 1] s konstantní (h = 0,075)
i s „adaptivní délkou kroku (δ = 0,075).
2.1.2 Picardova posloupnost
Picardova posloupnost postupných aproximací řešení úlohy (2.1) je posloupnost funkcí definovaná
rekurentně
x0(t) = ξ,
xk+1(t) = ξ +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, . . . .
2.1. EXISTENCE, JEDNOZNAČNOST A ODHAD ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 35
Budeme předpokládat, že funkce f je spojitá, a že Picardova posloupnost stejnoměrně konverguje
k funkci x. Poněvadž interval [t0, t] je konečný (a tedy kompaktní), funkce f je spojitá
stejnoměrně. Odtud plyne, že následující úpravy jsou korektní:
x(t) = lim
k→∞
xk(t) = lim
k→∞
xk+1(t) = ξ + lim
k→∞
t
t0
f s, xk(s) ds =
= ξ +
t
t0
f s, lim
k→∞
xk(s) ds = ξ +
t
t0
f s, x(s) ds.
Stejnoměrná limita Picardovy posloupnosti je tedy řešením integrální rovnice (2.2), takže je
také řešením počáteční úlohy (2.1). Stačí tedy ukázat, že Picardova posloupnost konverguje
stejnoměrně, případně najít podmínky, za jakých stejnoměrně konverguje.
Stejnoměrnou konvergenci Picardovy posloupnosti zaručí Lipschitzova podmínka: Řekneme,
že funkce f : J × D → R je Lipsichitzovská s konstantou L > 0 vzhledem k druhé
proměnné, pokud pro všechna t ∈ J a všechna x, y ∈ D platí
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ |x − y|.
Předpokládejme nyní, že funkce f v rovnici (2.1) je na množině [t0 −a, t0 +a]×R Lipschitzovská
s konstantou L vzhledem k druhé proměnné. Zvolíme libovolné přirozené číslo p a
kladné reálné číslo α takové, že
α < max
1
2L
, a .
Pak platí
αL < 1. (2.4)
Pro libovolná k ∈ N, t ∈ [t0 − α, t0 + α] nyní platí
0 ≤ |xk(t) − xk+p(t)| = ξ +
t
t0
f s, xk−1(s) ds − ξ −
t
t0
f s, xk+p−1(s) ds =
=
t
t0
f s, xk−1(s) − f s, xk+p−1(s) ds ≤
≤
t
t0
f s, xk−1(s) − f s, xk+p−1(s) ds ≤
≤ L
t
t0
|xk−1(s) − xk+p−1(s)| ds ≤ L
t0+α
t0−α
|xk−1(s) − xk+p−1(s)| ds ≤
≤ 2Lα max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} .
Proto také
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ 2Lα max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} .
36 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Analogicky dostaneme
0 ≤ max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ 2Lα max {|xk−2(t) − xk+p−2(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α}
a tedy
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ (2Lα)2
max {|xk−2(t) − xk+p−2(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} .
Po k analogických krocích krocích dostaneme odhad
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ (2Lα)k
max {|x0(t) − xp(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} .
Z nerovnosti (2.4) plyne, že limita výrazu na pravé straně je pro k → ∞ rovna nule. Odtud
dále plyne, že Picardova posloupnost funkcí {xk} je na intervalu [t0 − α, t0 + α] stejnoměrně
Cauchyovská a tedy stejnoměrně konvergentní. Ukázali jsme tak, že limita Picardovy posloupnosti
je řešením počáteční úlohy (2.1) na intervalu [t0 − α, t0 + α].
Ještě ukážeme, že toto řešení je jediné. K tomu účelu připusťme, že existuje další řešení
y = y(t) úlohy (2.1) definované na intervalu [t0−α, t0+α], které je různé od limity x Picardovy
posloupnosti, tj.
max {|x(t) − y(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} > 0. (2.5)
Poněvadž funkce x a y jsou také řešením integrální rovnice (2.2), platí pro každé t z intervalu
[t0 − α, t0 + α] nerovnost
|x(t) − y(t)| = ξ +
t
t0
f s, x(s) ds − ξ −
t
t0
f s, y(s) ds ≤
≤
t
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ≤ L
t
t0
|x(s) − y(s)| ds ≤
≤ 2Lα max {|x(t) − y(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} .
Z platnosti této nerovnosti pro každé t ∈ [t0, t0 + α] dále plyne nerovnost
max {|x(t) − y(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α} ≤ 2Lα max {|x(t) − y(t)| : t0 − α ≤ t ≤ t0 + α}
a vzhledem k (2.5) také 1 ≤ 2Lα, což je ve sporu s (2.4).
Provedené úvahy můžeme shrnout:
Tvrzení 2. Je-li funkce f Lipschitzovská vzhledek ke druhé proměnné, pak má počáteční
úloha (2.1) jediné řešení definované na okolí bodu t0.
Zobecněním tohoto tvrzení bude Picardova-Lindelöfova věta o existenci a jednoznačnosti
řešení systému diferenciálních rovnic, tj. Věta 1.
2.1. EXISTENCE, JEDNOZNAČNOST A ODHAD ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 37
Poněvadž Picardova posloupnost {xk}∞
k=0 konverguje k řešení x počáteční úlohy (2.1), lze
její člen s „dostatečně velkým indexem k považovat za přibližné řešení této úlohy.
Při odvození konvergence Picardovy posloupnosti jsme také odhadli interval, na kterém
tato posloupnost konverguje. Tento odhad čísla α (poloviny délky intervalu konvergence)
závisí na neznámé velikosti Lipschitzovy konstanty L. Navíc se jedná o odhad „pesimistický
nebo „konzervativní ; Picardova posloupnost obvykle konverguje na širším intervalu, nejen
na [t0 − α, t0 + α].
Pokud má funkce f ohraničenou parciální derivaci podle druhé proměnné, pak lze za
Lipschitzovu konstantu volit
L = sup
∂f
∂x
(t, x) : t ∈ J, x ∈ R .
V takovém případě totiž podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě existuje ϑ ∈ (0, 1), že
|f(t, x) − f(t, y)| =
∂f
∂x
t, x + ϑ(y − x) (x − y) ≤ L|x − y|.
Příklad: Uvažujme znovu počáteční úlohu (2.3). Postupně budeme počítat členy Picardovy
posloupnosti postupných aproximací:
x1(t) = 0 +
t
0
(2s + 02
)ds = t2
,
x2(t) = 0 +
t
0
2s + (s2
)2
ds = t2
+ 1
5 t5,
x3(t) = 0 +
t
0
2s + s2
+ 1
5s5 2
ds =
t
0
2s + s4
+ 2
5 s7 + 1
25s10 ds =
= t2
+ 1
5t5 + 1
20 t8 + 1
275 t11,
x4(t) = 0 +
t
0
2s + s2
+ 1
5s5 + 1
20s8 + 1
275 s11 2
ds =
=
t
0
2s + s4
+ 2
5 s7 + 7
50s10 + 3
110s13 + 87
22 000 s16 + 1
2 750 s19 + 1
75 625 s22 ds =
= t2
+ 1
5t5 + 1
20 t8 + 7
550 t11 + 3
1 540t14 + 87
374 000t17 + 1
55 000 t20 + 1
1 739 375t23,
atd. Třetí člen posloupnosti postupných aproximací je znázorněn na obrázku 2.1.
2.1.3 Odhad řešení
Uvažujme opět počáteční úlohu(2.1) a předpokládejme, že známe odhad derivace řešení této
úlohy. Přesněji řečeno, že existují čísla d, D a okolí O(ξ) bodu ξ taková, že
d ≤ f(t0, x) ≤ D
38 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
0.0 0.5 1.0 1.5
012345
t
x
x(t)
u(t) = t2
v(t) = 3
√
π tg 3
√
πt
x3(t)
Eulerův polygon, ekvidistantní dělení, h = 0,075
Eulerův polygon, adaptivní délka kroku, δ = 0,075
Obrázek 2.1: Řešení x počáteční úlohy (2.3), jeho odhady pomocí horní funkce v a dolní
funkce u, aproximace čtvrtým členem Picardovy posloupnosti postupných aproximací x3 a
Eulerovými polygony.
pro všechna x ∈ O(ξ). Pak je zřejmé, že v pravém okolí [t0, t0 + δ) počátečního času t0 platí
pro řešení x úlohy (2.1) nerovosti
ξ + dt ≤ x(t) ≤ ξ + Dt,
tj. řešení úlphy v okolí počátečního času odhadujeme pomocí dvou lineárních funkcí. (Přesně
lze toto tvrzení zdůvodnit pomocí Lagrangeovy věty o střední hodnotě.) Ještě mírně obecněji
lze říci: Nechť u, resp. v, je řešení počáteční úlohy
u′
= d, u(0) = ξ∗, resp. v′
= D, v(0) = ξ∗
,
kde ξ∗ ≤ ξ, resp. ξ∗ ≥ ξ. Pak existuje δ > 0 takavé, že řešení x úlohy (2.1) splňuje nerovnosti
u(t) ≤ x(t) ≤ v(t) pro 0 ≤ t < t0 + δ.
Jako bezprostřední zobecnění této úvahy dostaneme
Tvrzení 3. Nechť [t0, T]×G ⊆ R2 je podmnožinou definičního oboru funkce f a nechť funkce
f∗, f∗ : [t0, T) × G → R splňují nerovnosti
fx(t, x) ≤ f(t, x) ≤ f∗
(t, x) pro t0 ≤ t < T, x ∈ G.
Jestliže u a v jsou řešení počátečních úloh
u′
= f∗(t, u), u(t0) = ξ, a v′
= f∗
(t, u), v(t0) = ξ (2.6)
definovaná na intervalu [t0, T), pak pro řešení počáteční úlohy (2.1) platí
u(t) ≤ x(t) ≤ v(t) pro t ∈ [t0, T).
2.1. EXISTENCE, JEDNOZNAČNOST A ODHAD ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 39
Toto Tvrzení je užitečné, pokud jsou počáteční úlohy v nějakém smyslu jednodušší než
daná úloha (2.1); nejlepší je případ, kdy jsou úlohy (2.6) řešitelné v kvadraturách. Pak Tvrzení
3 poskytuje odhad řešení počáteční úlohy (2.1).
Z Tvrzení 3 také vyplývá, že (úplné) řešení úlohy (2.1) je definováno přinejmenším na
intervalu [t0, T).
Příklad: Odhadneme řešení počáteční úlohy (2.3). Zvolíme pevně nějaké T > t0 = 0. Pak
pro všechna t ∈ [0, T) a x ∈ R platí
2t ≤ 2t + x2
≤ 2T + x2
.
První počáteční úloha (2.6) (úloha pro dolní odhad řešení) je nyní tvaru
u′
= 2t, u(0) = 0.
Tato úloha má řešení dané vztahem u(t) = t2. Počáteční úloha pro horní odhad řešení je
v′
= 2T + v2
, v(0) = 0
a má řešení v(t) =
√
2T tg
√
2T t. Takto zavedená funkce v je definována na intervalu
[0, π/
√
8T ). Ovšem pouze na intervalu [0, T) vyjadřuje horní odhad řešení počáteční úlohy
(2.3). Toto pozorování ukazuje, že optimální volbou hodnoty T je taková, že T = π/
√
8T,
tedy T = 1
2
3
√
π2 .
= 1,0725.
Počáteční úloha (2.3) má tedy na intervalu 0, 1
2
3
√
π2 řešení x, pro které platí
t2
≤ x(t) ≤ 3
√
π tg 3
√
πt.
Situace je znázorněna na obrázku 2.1.
2.1.4 Frobeniova metoda
Předpokládejme, že funkce f na pravé straně diferenciální rovnice v počáteční úloze (2.1) je
analytická v okolí počátečního bodu (t0, ξ), tj. že na jistém okolí bodu (t0, ξ) lze funkci f
vyjádřit konvergentní dvojnou mocninnou řadou se středem (t0, ξ),
f(t, x) =
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
(x − ξ)m
. (2.7)
V takovém případě můžeme očekávat, že i řešení úlohy (2.1) bude na nějakém okolí počátečního
času t0 analytickou funkcí.
Řešení úlohy (2.1) formálně zapíšeme jako mocninnou řadu
x(t) =
∞
n=0
an(t − t0)n
. (2.8)
Pak je x(t0) = a0, takže
a0 = ξ. (2.9)
40 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Formální mocninnou řadu (2.8) dosadíme do rovnice v (2.1):
x′
(t) =
∞
n=0
nan(t − t0)n−1
= a1 +
∞
n=1
(n + 1)an+1(t − t0)n
,
f t, x(t) =
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
∞
i=0
ai(t − t0)i
− ξ
m
=
=
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
∞
i=1
ai(t − t0)i
m
=
=
∞
n=0

bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i

 =
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
n=0
∞
m=1
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
∞
n=0
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
∞
n=m
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)n
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
n=1
n
m=1
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)n
=
= b00 +
∞
n=1

bn0 +
n
m=1
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm

 (t − t0)n
=
= b00 +
∞
n=1

bn0 +
n
m=1
n−m
k=0
bkm
j1+···+jm=n−k
aj1 · · · ajm

 (t − t0)n
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin výrazu t − t0 nyní dostaneme
a1 = b00, (2.10)
an+1 =
1
n + 1

bn0 +
n
m=1
n−m
k=0 j1+···+jm=n−k
aj1 · · · ajm bkm

 , n = 1, 2, 3, . . . . (2.11)
Vidíme, že koeficienty a1, a2, a3, . . . formální řady (2.8) lze pomocí tohoto rekurentního vztahu
jednoznačně vypočítat.
Pokud mocninná řada (2.8) získaná tímto způsobem konverguje na nějakém (symetrickém)
okolí bodu t0, pak její součet je řešením počáteční úlohy (2.1). Výsledek opět shrneme:
Tvrzení 4. Je-li pravá strana rovnice v (2.1) v okolí počátečního bodu (t0, ξ) analytickou
funkcí tvaru (2.7) a poloměr konvergence mocninné řady (2.8), jejíž koeficienty jsou dány
výrazy (2.9), (2.10) a (2.11), je nenulový, pak součet této řady je na oboru konvergence
řešením počáteční úlohy (2.1).
2.1. EXISTENCE, JEDNOZNAČNOST A ODHAD ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 41
Ještě poznamenejme, že analytická funkce f má v bodě (t0, ξ) konečné všechny parciální
derivace. Zejména má na každém uzavřeném okolí tohoto bodu ohraničenou parciální derivaci
podle proměnné x. Z toho podle 2.1.2 plyne, že daná úloha má jediné řešení.
Při hledání analytického řešení počáteční úlohy většinou dosadíme formální tvar řešení do
rovnice a pak porovnáme koeficienty; není potřeba si pamatovat a používat formuli (2.11).
Součet prvních k členů řady, vypočítaných tímto postupem, lze pro „dostatečně velké k
považovat za přibližné řešení počáteční úlohy.
Příklad: Uvažujme opět počáteční úlohu (2.3). Její řešení budeme hledat ve tvaru mocninné
řady
x(t) =
∞
n=0
antn
. (2.12)
Z počáteční podmínky plyne 0 = x(0) = a0, takže
x′
(t) =
∞
n=1
nantn−1
= a1 + 2a2t +
∞
n=2
(n + 1)an+1tn
,
2t + x(t)2
= 2t +
∞
n=1
antn
2
= 2t +
∞
n=2


n−1
j=1
ajan−j

 tn
.
Porovnáním koeficientů dostaneme
a1 = 0, a2 = 1, an+1 =
1
n + 1
n−1
j=1
ajan−j
Z tohoto vyjádření úplnou indukcí snadno ukážeme, že všechny koeficienty an jsou nejvýše
rovny 1. To znamená, že poloměr konvergence řady (2.12) je alespoň 1.
Koeficienty řady můžeme postupně počítat:
a0 = 0, a9 = 0, a18 = 0,
a1 = 0, a10 = 0, a19 = 0,
a2 = 1, a11 = 7
550 , a20 = 1 107
5 236 000 ,
a3 = 1
3 · 0 · 0 = 0, a12 = 0, a21 = 0,
a4 = 1
4 (0 · 1 + 1 · 0) = 0, a13 = 0, a22 = 0,
a5 = 1
5 (0 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0) = 1
5 , a14 = 1
308 , a23 = 178 677
3 311 770 000,
a6 = 1
6 (0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0) = 0, a15 = 0, a24 = 0,
a7 = 1
7 (1
5 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 + 1 · 0 + 0 · 1
5) = 0, a16 = 0, a25 = 0,
a8 = 1
8 (0 · 0 + 1
5 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 + 1 · 1
5 + 0 · 0) = 1
20 , a17 = 2 169
2 618 000 , a26 = 139 471
10 130 120 000 ,
atd.
Porovnáním s výsledkem příkladu v 2.1.2 vidíme, že řada vyjadřující řešení počáteční
úlohy se až do členu u sedmé mocniny nezávisle proměnné t shoduje s polynomem, který je
čtvrtým členem Picardovy posloupnosti konvergující k řešení této úlohy.
42 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
2.2 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR
V tomto oddílu se budeme zabývat počáteční úlohou (1.23), (1.24) pro vektorovou diferenciální
rovnici.
Lemma 1. Buď funkce f spojitá na G ⊆ Rn+1. Funkce x = x(t) je řešením úlohy (1.23),
(1.24) na intervalu J právě tehdy, když pro každé t ∈ J je t, x(t) ∈ G a
x(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (2.13)
Důkaz:
„⇒ Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.23), (1.24) na J. Pak
d
ds
x(s) = f s, x(s)
na J. Integrací této rovnosti podle s v mezích [t0, t] dostaneme:
[x(s)]t
s=t0
= x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds
a vzhledem k (1.24) funkce x = x(t) splňuje (2.13).
„⇐ Nechť funkce x = x(t) splňuje (2.13). Pak x(t0) = x0 +
t0
t0
f s, x(s) ds = x0, tedy je
splněna podmínka (1.24). Derivováním (2.13) podle t dostaneme (1.23).
Nechť C1(J) je množina (vektorových) funkcí x = x(t) diferencovatelných na uzavřeném
intervalu J takových, že x(t0) = x0. Na této množině zavedeme metriku
̺(x, y) = max{||x(t) − y(t)|| : t ∈ J}
(metrika stejnoměrné konvergence). Prostor C1(J), ̺ je úplný (sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iv a III.1.3.6.i). Dále definujme zobrazení F :
C1(J) → C1(J) předpisem:
F(x)(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (2.14)
Řešení úlohy (1.23), (1.24), tedy funkce, která splňuje integrální rovnici (2.13), je zřejmě pevným
bodem zobrazení F.
Podaří-li se tedy ukázat, že F je kontrakce úplného metrického prostoru C1(J), ̺ , z Banachovy
věty vyplyne, že existuje jediný pevný bod tohoto zobrazení, tedy že existuje jediné
diferencovatelné řešení úlohy (1.23), (1.24) (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU,
Brno 1996, IV.2. a V.1.).
2.2. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 43
Věta 1 (Picard (1856–1941)–Lindelöf (1870–1946)). Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈
Rn. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b}, (2.15)
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn je spojitá a vzhledem k x Lipschitzovská (tj. existuje L ∈ R
tak, že platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ L ||x − y|| pro všechna t ∈ ˜J, x, y ∈ D). Pak existuje právě
jedno řešení počátečního problému (1.23), (1.24) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Toto řešení je (stejnoměrnou) limitou posloupnosti funkcí {xn(t)}∞
n=0; tato posloupnost
je definována rekurentně vztahem
xk+1(t) = x0 +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, 3, . . .
Důkaz: Je-li funkce x diferencovatelná, pak je spojitá (sr. V. Novák: Diferenciální počet v R.
MU, Brno 1997, kap. V, věta 1.2). Proto je funkce y(t) = F(x)(t) diferencovatelná a pro její
derivaci platí y′(t) = f t, x(t) (sr. V. Novák: Integrální počet v R. MU, Brno 2001, 2.4,
věta 4.2). To znamená, že zobrazení F definované vztahem (2.14) zobrazuje množinu C1(J)
do sebe. Buď K > L. Na C1(J) zavedeme metriku ̺∗ vztahem
̺∗
(x, y) = max e−K(t−t0)
||x(t) − y(t)|| : t ∈ J .
Tato metrika je na C1(J) ekvivalentní s metrikou stejnoměrné konvergence ̺, neboť
e−Kδ
̺(x, y) ≤ ̺∗
(x, y) ≤ ̺(x, y) .
Prostor C1(J), ̺∗ je tedy úplný.
Položme P = {x ∈ C1(J) : ||x(t) − x0|| ≤ b pro každé t ∈ J}. Poněvadž P je uzavřená
podmnožina množiny C1(J), je prostor (P, ̺∗) úplný (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické
prostory. MU, Brno 1996, III.1.3.3). Zobrazení F zobrazuje množinu P do sebe, neboť pro
každou funkci x ∈ P platí
F(x)(t) − x0
=
t
t0
f(s, x(s))ds ≤
t
t0
f s, x(s) ds ≤ (t − t0)m ≤ δm ≤ b .
44 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Ukážeme, že F je kontrakcí prostoru (P, ̺∗): Pro každé t ∈ J platí
̺∗
F(x), F(y) ≤ e−K(t−t0)
||F(x)(t) − F(y)(t)|| =
= e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) ds −
t
t0
f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
L ||x(s) − y(s)|| ds =
= L
t
t0
e−K(t−s)
e−K(s−t0)
||x(s) − y(s)|| ds ≤
≤ L
t
t0
e−K(t−s)
̺∗
(x, y)ds =
= L̺∗
(x, y)
1
K
e−K(t−s)
t
s=t0
=
=
L
K
̺∗
(x, y) 1 − e−K(t−t0)
≤
≤
L
K
̺∗
(x, y) .
Poněvadž L < K, je
L
K
< 1, což znamená, že F je kontrakce.
Poznámka 1. Posloupnost funkcí zavedená ve větě 1 se nazývá Picardova posloupnost postupných
aproximací.
Poznámka 2. Analogické tvrzení platí, nahradíme-li ve větě 1 interval ˜J = [t0, t0 + a] intervalem
[t0 − a, t0] nebo intervalem [t0 − a, t0 + a].
Poznámka 3. Má-li funkce
f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn na množině
˜J × D (zavedené rovností (2.15)), pak jsou předpoklady Picardovy-Lindelöfovy věty splněny.
Důkaz: Množina ˜J × D jakožto uzavřená a ohraničená podmnožina prostoru Rn+1 je
kompaktní (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU, Brno 1996, III.3.3.16). Z ohraničenosti
parciálních derivací funkce f plyne existence čísla
M = max
∂fi(t, x)
∂xj
: i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, (t, x) ∈ ˜J × D .
2.2. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 45
Podle věty o střední hodnotě pro funkce více proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 3.4) pro všechna t ∈ ˜J a x =
(x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ D existují čísla ξk ležící mezi xk a yk, k = 1, 2, . . . , n
taková, že
||f(t, x) − f(t, y)|| =
n
i=1
|fi(t, x) − fi(t, y)| =
=
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn)(xk − yk) ≤
≤
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn) |xk − yk| ≤
≤
n
i=1
n
k=1
M|xk − yk| =
n
i=1
M ||x − y|| = nM ||x − y|| ,
takže funkce f je vzhledem k x Lipschitzovská s konstantou nM.
Důsledek 1. Má-li (vektorová) funkce
f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém
okolí bodu (t0, x0), pak počáteční problém (1.23), (1.24) má v okolí t0 jediné řešení.
Důsledek 2. Má-li (skalární) funkce f(t, x1, x2, . . . , xn) ohraničené parciální derivace podle
každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém okolí bodu (t0, x0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n), pak počáteční
problém (1.25), (1.27) má v okolí t0 jediné řešení.
Na závěr kapitoly ještě zformulujeme větu o existenci řešení počáteční úlohy:
Věta 2 (Peano 1890). Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈ Rn. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b},
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn je spojitá. Pak existuje alespoň jedno řešení počátečního
problému (1.23), (1.24) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 67–70.
46 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
2.3 Globální vlastnosti řešení systému ODR
Věta 3 (o existenci úplného řešení). Nechť funkce f : G → Rn je spojitá na otevřené množině
G ⊆ Rn+1. Je-li x = x(t) řešení rovnice (1.23), pak je toto řešení buď úplné, nebo existuje
úplné řešení y = y(t), které je prodloužením řešení x.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 73–76.
Důkaz využívá věty 2.
Definice 8. Buď G ⊆ Rn+1. Řekneme, že funkce f : G → Rn je lokálně lipschitzovská v G
vzhledem k x, jestliže ke každému (τ, a) ∈ G existuje okolí Oτ,a ⊆ G a číslo Lτ,a ∈ R tak, že
pro všechna (t, x), (t, y) ∈ Oτ,a platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ Lτ,a ||x − y||.
Věta 4 (o globální jednoznačnosti). Nechť funkce f : G → Rn je spojitá a lokálně lipschitzovská
v G vzhledem k x a nechť funkce x = x(t), y = y(t) jsou dvě řešení rovnice (1.23).
Jestliže existuje t0 takové, že x(t0) = y(t0), pak x(t) = y(t) pro všechna t, v nichž jsou řešení
x, y definována.
Důkaz: Připusťme, že existuje b > t0 takové, že x(b) = y(b). Označme c = inf{t : x(t) = y(t)}.
Funkce x, y jsou spojité (poněvadž jsou diferencovatelné).
Ukážeme, že x(c) = y(c):
Připusťme, že x(c) = y(c). Položme ε = ||x(c) − y(c)||. Pak ε > 0
K
ε
4
> 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé t ∈ (c−δ, c) je ||y(t) − y(c)|| <
ε
4
a ||x(t) − x(c)|| <
ε
4
.
Poněvadž pro t ∈ (c − δ, c) je x(t) = y(t), platí pro t ∈ (c − δ, c) nerovnost
ε = ||x(c) − y(c)|| = ||x(c) − x(t) + y(t) − y(c)|| ≤ ||x(c) − x(t)||+||y(t) − y(c)|| ≤
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
,
což je spor, neboť ε > 0, a tedy x(c) = y(c).
Podle věty 1 nyní existuje α takové, že pro t ∈ [c, c + α] je x(t) = y(t), což je spor.
Analogicky vyloučíme možnost existence b < t0 takového, že x(b) = y(b).
Definice 9. Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.23) definované na intervalu (S, T), kde
−∞ ≤ S < T ≤ ∞.
Řekneme, že ξ ∈ Rn je
ω-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk < T pro všechna
k ∈ N, lim
k→∞
tk = T a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
α-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk > S pro všechna
k ∈ N, lim
k→∞
tk = S a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
limitní bod řešení x, jestliže je ω-limitním bodem nebo α-limitním bodem.
Množina všech ω-limitních bodů řešení x se nazývá ω-limitní množina řešení x, množina všech
α-limitních bodů řešení x se nazývá α-limitní množina řešení x, množina všech limitních bodů
řešení x se nazývá limitní množina řešení x.
2.3. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 47
Příklady:
1. x = eat je úplné řešení rovnice x′ = ax definované na intervalu (−∞, ∞). Je-li a > 0,
pak 0 je α-limitním bodem tohoto řešení a ω-limitní body toto řešení nemá. Je-li a < 0,
pak 0 je ω-limitním bodem tohoto řešení a α-limitní body toto řešení nemá. Je-li a = 0,
pak 1 je α- i ω-limitním bodem tohoto řešení.
2. x = sin
1
t
je úplné řešení rovnice x′ = −
1
t2
√
1 − x2 definované na intervalu (−∞, 0).
Interval [−1, 1] je ω-limitní množinou tohoto řešení.
3.
x
y
=
cos tg t
sin tg t
je úplné řešení soustavy rovnic
x
y
′
=



−
y
cos2 t
x
cos2 t


 definované na
intervalu −
π
2
,
π
2
. Limitní množina tohoto řešení je {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Věta 5. Nechť funkce f : G → Rn je spojitá na otevřené množině G ⊆ Rn+1 a x = x(t) je
úplné řešení rovnice (1.23) definované na intervalu (S, T). Pak platí:
T = ∞ nebo lim
t→T−
||x(t)|| = ∞ nebo každý ω-limitní bod řešení x leží na hranici G.
S = −∞ nebo lim
t→S+
||x(t)|| = ∞ nebo každý α-limitní bod řešení x leží na hranici G.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.23) definované na intervalu (S, T), T < ∞ a
buď ξ jeho ω-limitní bod. Kdyby (T, ξ) ∈ G, pak by existovalo okolí OT,ξ bodu (T, ξ) takové,
že OT,ξ ⊆ G, neboť G je otevřená. Podle věty 2 by existovalo řešení y = y(t) rovnice (1.23)
s počáteční podmínkou y(T) = ξ definované na [T, T +δ], kde δ je vhodné (malé) číslo. Funkce
z = z(t) =
x(t), S < t < T
y(t), T + δ
by byla řešením rovnice (1.23), které by bylo prodloužením řešení x, což by byl spor s úplností
řešení x.
Pro α-limitní bod se důkaz provede analogicky s využitím „levostranné varianty věty 2.
Důsledek 3. Nechť J = [t0, ∞), D = {x ∈ Rn : ||x|| < a}, kde t0 ∈ R a 0 < a ≤ ∞ a nechť
vektorová funkce f : J × D → Rn je spojitá. Pokud existuje spojitá funkce g : J → R taková,
že úplné řešení x = x(t) rovnice (1.23) definované na (S, T) splňuje pro každé t ∈ [t0, T)
podmínku ||x(t)|| ≤ g(t) < a, pak T = ∞.
Důsledek 4. Nechť J = [t0, ∞) a funkce f : J × Rn → Rn je spojitá. Jestliže existuje m ∈ R
takové, že pro každé (t, x) ∈ J ×Rn → Rn platí ||f(t, x)|| ≤ m, pak každé úplné řešení rovnice
(1.23) je definováno pro všechna t ≥ t0.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.23). Podle lemma 1 je
x(t) = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds .
48 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Pro každé t, pro něž je x(t) definováno, platí
||x(t)|| = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds ≤ ||x(t0)|| +
t
t0
||f(s, x(s))|| ds ≤ ||x(t0)|| + m(t − t0) .
Tvrzení tedy plyne z důsledku 3, položíme-li g(t) = ||x(t0)|| + m(t − t0).
Toto tvrzení umožňuje rozhodnout, zda lze každé řešení rovnice (1.23) prodloužit do nekonečna,
aniž bychom toto řešení znali.
Věta 6. Buď Ω ⊆ Rn+1 otevřená množina a nechť pro každé k = 1, 2, . . . je vektorová funkce
fk : Ω → Rn spojitá a (tk, ξk) ∈ Ω. Označme xk = xk(t) úplné řešení počátečního problému
x′
= fk(t, x), x(tk) = ξk.
Jestliže posloupnost funkcí {fk}∞
k=1 konverguje k funkci f∞ : Ω → Rn stejnoměrně na každé
kompaktní podmnožině K ⊆ Ω, posloupnost bodů {(tk, ξk)}∞
k=1 konverguje k bodu (t∞, ξ∞) a
počáteční úloha
x′
= f∞(t, x), x(t∞) = ξ∞
má jediné úplné řešení x∞ = x∞(t) definované na intervalu J, pak posloupnost funkcí
{xk}∞
k=1 konverguje k funkci x∞ stejnoměrně na každém intervalu [a, b] ⊆ J.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 80–82.
Příklad (Matematické kyvadlo):
Fyzikálními úvahami uvedenými od str. 8 jsme odvodili model pohybu matematického kyvadla
ve tvaru obyčejné rovnice druhého řádu (18). Tuto rovnici budeme uvažovat s počátečními
podmínkami
ϕ(0) = ϕ0, ϕ′
(0) = 0.
Úlohu o pohybu matematického kyvadla můžeme podle 1.3 přepsat jako počáteční úlohu pro
systém dvou rovnic prvního řádu
ϕ′ = ψ,
ψ′ = −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(2.16)
Tuto počáteční úlohu neumíme vyřešit explicitně. Funkci sinus však můžeme vyjádřit jako
stejnoměrně konvergentní Maclaurinovu řadu
sin ϕ =
∞
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
.
2.3. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 49
Označme nyní x =
ϕ
ψ
. Pro k = 1, 2, . . . zavedeme vektorové funkce fk a body (tk, ξk)
následujícími formulemi
fk(t, x) = fk(ϕ, ψ) =




ψ
−
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!



 , tk = 0, ξk =
ϕ0
0
.
Funkce fk a body (tk, ξk) splňují předpoklady věty 6 s Ω = R3. Úloha
x′
= f∞(t, x), x(0) = x(t∞) = ξ∞ =
ϕ0
0
(2.17)
je totožná s úlohou (2.16). Poněvadž všechny parciální derivace
∂ f∞ 1
∂ϕ
=
∂ψ
∂ϕ
= 0,
∂ f∞ 1
∂ψ
=
∂ψ
∂ψ
= 1,
∂ f∞ 2
∂ϕ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ϕ
= −
g
r
cos ϕ,
∂ f∞ 2
∂ψ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ψ
= 0
jsou ohraničené, je podle poznámky 3 úloha (2.17) jednoznačně řešitelná. To znamená, že
řešení úlohy (2.16) je stejnoměrnou limitou řešení úloh
ϕ′ = ψ,
ψ′ = −
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(2.18)
Na obrázku 2.2 je první složka řešení (výchylka kyvadla ϕ) několika těchto úloh; nahoře pro
počáteční hodnotu ϕ0 = 1
20π, dole pro ϕ0 = 1
2π. Vidíme, že v případě malé počáteční výchylky
již první člen posloupnosti dostatečně přesně aproximuje řešení úlohy (2.16). V případě velké
počáteční výchylky, dokonce maximální možné, je řešení úlohy (2.16) na uvažovaném intervalu
proměnné t dostatečně přesně aproximováno třetím členem posloupnosti řešení úloh (2.18).
Malé kmity matematického kyvadla lze tedy modelovat systémem rovnic
ϕ′
= ψ, ψ′
= −
g
r
ϕ,
který je ekvivalentní s rovnicí druhého řádu ϕ′′ +
g
r
ϕ = 0.
Věta 7 (o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech). Buď Ω otevřená
množina v R1+n+m a nechť spojitá vektorová funkce g : Ω → Rn je taková, že pro
všechna τ ∈ R, ξ ∈ Rn, λ ∈ Rm splňující podmínku (τ, ξ, λ) ∈ Ω, má počáteční problém
x′
= g(t, x, λ), x(τ) = ξ
právě jedno úplné řešení x = x(t) = x(t; τ, ξ, λ). Pak toto řešení, chápané jako zobrazení
R1+1+n+m
→ Rn
,
je spojité.
50 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
0 2 4 6 8 10 12
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
t
ϕ
0 2 4 6 8 10 12
−1
0
1
2
t
ϕ k=1 k=2 k=3 k = ∞
Obrázek 2.2: Řešení úloh (2.18) pro k ∈ {1, 2, 3} a řešení úlohy (2.16), tj. úlohy (2.18) pro
k = ∞. Počáteční podmínky jsou ϕ0 = 1
20π (nahoře) a ϕ0 = 1
2π (dole).
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 82–83.
Tato věta říká, že změní-li se málo funkce f v rovnici (1.23) a málo se změní počáteční
podmínka (1.24), pak se řešení nového — změněného — problému liší na konečném intervalu
málo od řešení původního problému.
2.4 Odhady řešení
Definice 10. Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.3) se nazývá maximální řešení, jestliže pro
každé řešení x = x(t) této úlohy platí x(t) ≤ x∗(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení
definována.
Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.3) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení
x = x(t) této úlohy platí x∗(t) ≤ x(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení definována.
Příklad
Uvažujme počáteční úlohu
x′
= 3
3
√
x2, x(0) = 0. (2.19)
Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí
x(t) ≡ 0, x(t) =
0, t < a,
(t − a)3, t ≥ a,
x(t) =
(t + a)3, t < −a,
0, t ≥ −a,
,
2.4. ODHADY ŘEŠENÍ 51
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
a) b)
t
x∗(t)
x∗
(t) x(t)
t
u(t) v(t)
x(t)
Obrázek 2.3: a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy (2.19). b) Odhady řešení
x = x(t) úlohy (2.20) s hodnotami t0 = x0 = 0.
x(t) =



(t + b)3, t < −b,
0, −b ≤ t ≤ a,
(t − a)3, t ≥ a,
kde a, b jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení
úlohy (2.19) tedy jsou funkce
x∗(t) =
t3, t < 0,
0, t ≥ 0,
x∗
(t) =
0, t < 0,
t3, t ≥ 0;
řešení je znázorněno na obrázku 2.3 a).
Věta 8 (srovnávací). Nechť t0 ∈ R, 0 < a ≤ ∞, J = [t0, ∞), G = {(t, x) ∈ Rn+1 : t ∈
J, ||x|| < a}. Nechť dále f : G → Rn je spojitá funkce a g : J × [0, a) → [0, ∞) je spojitá
funkce taková, že ||f(t, x)|| ≤ g (t, ||x||) pro (t, x) ∈ G. Buď u0 ≥ ||x0|| a u∗ = u∗(t) maximální
řešení úlohy
u′
= g(t, u), u(t0) = u0
na intervalu J.
Pak každé úplné řešení úlohy (1.23), (1.24) je definováno pro všechna t ∈ J a platí
||x(t)|| ≤ u∗
(t) pro t ∈ J .
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.
Příklad
Najdeme odhad řešení počátečního problému
x′
=
t + x
1 + x2
, x(t0) = x0 (2.20)
na intervalu [t0, ∞).
52 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné x s jedním parametrem
t. Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této
funkce; konkrétně, pro každé t ∈ R platí
t −
√
t2 + 1
2
≤
t + x
1 + x2
≤
t +
√
t2 + 1
2
.
Odtud plyne že
t + x
1 + x2
≤ 1
2 t +
√
t2 + 1 . Počáteční úloha
u′
=
t +
√
t2 + 1
2
, u(t0) = |x0| .
Na pravé straně této rovnice je derivace funkce u, na její levé straně je funkce jedné proměnné.
Jediné řešení úlohy je tedy dáno integrálem
u(t) = |x0| +
1
4
t2
+ t t2 + 1 − t2
0 − t0 t2
0 + 1 + ln
t +
√
t2 + 1
t0 + t2
0 + 1
a podle srovnávací věty 8 platí |x(t)| ≤ u(t) pro všechna t ≥ t0.
Řešení úlohy (2.20) pro t0 ≥ 0 lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž
platí
t + x
1 + x2
=
|t + x|
1 + x2
≤
t + |x|
1 + x2
≤ t + |x|.
Jediné řešení počáteční úlohy
v′
= v + t, v(t0) = |x0|
pro lineární rovnici je podle (1.22) rovno
v(t) = |x0| + t0 + 1 et−t0
− t − 1
a podle srovnávací věty 8 platí |x(t)| ≤ v(t) pro všechna t ≥ t0 ≥ 0.
Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů u, v řešení úlohy
(2.20) byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 2.3 b).
Důsledek 5. Nechť symboly t0, a, J, G mají stejný význam jako ve větě 8. Nechť funkce
f : G → Rn je spojitá a nechť existuje spojitá funkce ϕ : J → [0, ∞) taková, že
||f(t, x)|| ≤ ϕ(t) ||x|| pro (t, x) ∈ G.
Pak pro každé x0 ∈ Rn takové, že
||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ < a pro všechna t ∈ J,
jsou úplná řešení úlohy (1.23), (1.24) definována na celém intervalu J a platí
||x(t)|| ≤ ||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ pro t ∈ J.
2.4. ODHADY ŘEŠENÍ 53
Důkaz plyne z věty 8 volbou g(t, u) = ϕ(t)u, u0 = ||x0||.
Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy u′ = ϕ(t)u, u(t0) = u0 je podle (1.22)
u(t) = u0 exp
t
t0
ϕ(τ)dτ.
54 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Kapitola 3
Lineární rovnice a systémy
3.1 Lineární rovnice
Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu je tvaru
x′
= a(t)x + b(t). (3.1)
O funkcích a, b budeme předpokládat, že jsou spojité na intervalu J ⊆ R. Pak pro všechna
t0 ∈ J, x0 ∈ R má rovnice (3.1) s počáteční podmínkou
x(t0) = x0 (3.2)
jediné řešení; to plyne z poznámky 3 za větou 1, neboť
∂
∂x
a(t)x + b(t) = a(t)
a funkce a nabývá v okolí bodu t0 pouze konečných hodnot, neboť je spojitá.
Lineární rovnice (3.1) se nazývá homogenní, pokud b ≡ 0; v opačném případě se nazývá
nehomogenní.
Homogenní rovnici
x′
= a(t)x (3.3)
můžeme formálně přepsat pomocí diferenciálů ve tvaru
1
x
dx − a(t)dt = 0,
tj. jako rovnici rovnici se separovanými proměnnými, viz str. 21. Její řešení s počáteční podmínkou
(3.2) je proto implicitně dáno rovností
x
x0
dξ
ξ
−
t
t0
a(s)ds = 0, tj. ln
|x|
|x0|
=
t
t0
a(s)ds.
Odtud dostaneme řešení počáteční úlohy (3.3), (3.2) ve tvaru
x(t) = x0e
t
t0
a(s)ds
. (3.4)
55
56 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Jinak řečeno, libovolné řešení homogenní rovnice (3.3) je násobkem funkce y definované vzta-
hem
y(t) = e
t
t0
a(s)ds
. (3.5)
Ještě jinak můžeme také říci, že množina všech řešení lineární homogenní rovnice tvoří jednodimenzionální
vektorový prostor nad polem reálných čísel a funkce y je bází tohoto prostoru.
Toto pozorování nás opravňuje funkci y nazvat fundamentálním řešením lineární homogenní
rovnice (3.3). Tato funkce je řešením lineární homogenní rovnice (3.3), je to přirozená exponenciální
funkce s integrálem závislým na horní mezi v exponentu. To znamená, že platí
y′
(t) = a(t)y(t), y(t) > 0 pro každé t ∈ J, t = t0 a y(t0) = 1. (3.6)
Obraťme nyní pozornost k nehomogenní lineární rovnici (3.1). Lineární homogenní rovnici
(3.3) nazveme přidruženou k nehomogenní rovnici (3.1). Její řešení najdeme následující
úvahou.
Nehomogenitu b v rovnici (3.1) můžeme chápat jako nějaký přidaný vliv, který v každém
okamžiku „modifikuje nebo „deformuje řešení „neporušené přidružené homogenní rovnice.
Budeme předpokládat, že tento vliv nehomogenity se k „čistému řešení (3.4) přičítá. Trochu
přesněji řečeno, řešení počáteční úlohy (3.1), (3.2) budeme hledat ve tvaru
x(t) = x0y(t) + ˜x(t), (3.7)
kde ˜x je zatím neznámá funkce definovaná na intervalu J.
Pokud
˜x(t0) = 0 a ˜x′
(t) = a(t)˜x(t) + b(t), (3.8)
pak funkce x daná rovností (3.7) je skutečně řešením počáteční úlohy (3.1), (3.2); podle (3.6)
totiž platí
x′
(t) = x0y′
(t) + ˜x′
(t) = x0a(t)y(t) + a(t)˜x(t) + b(t) = a(t) x0y(t) + ˜x(t) + b(t),
x(t0) = x0y(t0) + ˜x(t0) = x0.
Nyní můžeme říci přesněji, že řešení nehomogenní rovnice (3.1) s počáteční podmínkou (3.2)
hledáme ve tvaru součtu řešení přidružené homogenní rovnice s původní počáteční podmínkou
(3.2) a řešení ˜x nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou. Funkce ˜x tedy vyjadřuje
„kumulované vlivy působení nehomogenity b od počátečního okamžiku t0. To napovídá, že
funkce ˜x by mohla být tvaru
˜x(t) =
t
t0
w(t, s)ds, (3.9)
kde w je zatím neznámá funkce dvou proměnných, která je ve druhé proměnné integrovatelná.
Provedená úvaha je známa jako Duhamelův princip: Řešení nehomogenní rovnice hledáme
jako součet řešení přidružené homogenní rovnice a řešení nehomogenní rovnice s nulovou
počáteční podmínkou. Řešení nehomogenní rovnice potom hledáme ve tvaru integrálu od t0
do t z funkce závislé na parametru t.
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE 57
O integrované funkci w budeme nyní předpokládat, že v je první proměnné diferencovatelná.
Derivováním integrálu na pravé straně rovnosti (3.9) podle parametru t dostaneme
derivaci funkce ˜x ve tvaru
˜x′
(t) = w(t, t) +
t
t0
∂
∂t
w(t, s)ds.
Dosazením tohoto vyjádření do druhé podmínky (3.8) dostaneme po snadné úpravě
t
t0
∂
∂t
w(t, s) − a(t)w(t, s) ds = b(t) − w(t, t).
Tato rovnost je slněna zejména tehdy, když na obou jejích stranách jsou nuly; k tomu stačí,
aby funkce w měla vlastnosti
∂
∂t
w(t, s) = a(t)w(t, s), w(s, s) = b(s)
pro všechna s ∈ J. Proměnnou s ve funkci w nyní můžeme chápat jako parametr a na
předchozí podmínky se dívat jako na počáteční úlohu pro funkci w( · , s). Jedná se pak o
lineární homogenní rovnici, takže její řešení je podle (3.4) tvaru
w(t, s) = b(s)e
t
s
a(σ)dσ
.
Toto vyjádření dosadíme do (3.9) a dostaneme funkci ˜x ve tvaru
˜x(t) =
t
t0
b(s)e
t
s
a(σ)dσ
ds;
tato funkce splňuje obě podmínky (3.8). Dosazením do rovnosti (3.7) dostaneme řešení počáteční
úlohy (3.1), (3.2) vyjádřené formulí
x(t) = x0e
t
t0
a(s)ds
+
t
t0
b(s)e
t
s
a(σ)dσ
ds. (3.10)
Tato funkce byla zkonstruována tak, aby řešila počáteční úlohu (3.1), (3.2). Již víme, že toto
řešení je jediné. (Mimochodem, rovnost (3.10) je totožná s rovností (1.22), která byla odvozena
pomocí integračního faktoru.) Ověřili jsme tak, že pro libovolné řešení rovnice (3.1) skutečně
platí rovnost (3.7). To znamená, že množina řešení nehomogenní lineární rovnice tvoří afinní
prostor, jehož zaměření je (vektorový) prostor řešení přidružené homogenní rovnice.
S využitím fundamentálního řešení y přidružené homogenní rovnice daného formulí (3.5)
můžeme řešení počáteční úlohy (3.1), (3.2) pro nehomogenní rovnici zapsat v některém z kompaktnějších
tvarů
x(t) = x0y(t) +
t
t0
y(t)
y(s)
b(s)ds =

x0 +
t
t0
b(s)
y(s)
ds

 y(t),
58 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
neboť
e
t
s
a(σ)dσ
= e
t
t0
a(σ)dσ−
s
t0
a(σ)dσ
= y(t)y(s)−1
.
Dále zavedeme Cauchyovu funkci c : J × J → R rovnice (3.3) předpisem
c(t, s) = y(t)y(s)−1
= e
t
s
a(σ)dσ
.
Pak pro každé s ∈ J je funkce c( · , s) řešením homogenní rovnice (3.3) s počáteční podmínkou
x(s) = 1. Pomocí Cauchyovy funkce můžeme řešení počáteční úlohy (3.1), (3.2) zapsat ve
tvaru
x(t) = x0c(t, t0) +
t
t0
c(t, s)b(s)ds.
Ještě poznamenejme, že počáteční hodnota x0 v podmínce (3.2) byla libovolná, proto
můžeme první sčítanec na pravé straně rovnosti (3.7) považovat za obecné řešení lineární
homogenní rovnice (3.3). Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice jsme tedy vyjádřili jako
součet obecného řešení přidružené homogenní rovnice a partikulárního řešení dané rovnice s
nulovou počáteční podmínkou. Tento výsledek lze mírně zobecnit:
Tvrzení 5. Obecné řešení nehomogenní lineární rovnice (3.1) je součtem obecného řešení
přidružené lineární homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení nehomogenní rovnice.
Lineární rovnice nemá singulární ani zvláštní řešení.
Důkaz: Nechť xH = Cy je obecné řešení přidružené homogenní rovnice (3.3); přitom y je fundamentální
řešení definované vztahem (3.5). Buď xN nějaké partikulární řešení nehomogenní
rovnice (3.1). Pak s využitím vztahů (3.6) platí
(xH + xN )′
(t) = x′
H(t) + x′
N (t) = Ca(t)y(t) + a(t)xN (t) + b(t) = a(t) Cy(t) + xN (t) + b(t),
takže funkce xH + xN je řešením rovnice (3.1).
Buďte nyní t0 ∈ J a x0 ∈ R libovolné. Položme C = x0 − xN (t0). Pak
(xH + xN )(t0) = Cy(t0) + xN (t0) = x0 − xN (t0) y(t0) + xN (t0) = x0,
takže funkce xH + xN splňuje také počáteční podmínku (3.2).
Zbytek tvrzení plyne jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro lineární rovnici.
3.1.1 Lineární rovnice s konstantním koeficientem
Uvažujme lineární homogenní rovnici (3.3), v níž je funkce a konstantní, a ≡ α, tedy rovnici
x′
= αx. (3.11)
V tomto případě je
t
t0
a(s)ds =
t
t0
αds = α(t − t0), takže fundamentální řešení (3.5) rovnice
(3.11) je
y(t) = eα(t−t0)
. (3.12)
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE 59
xx
t
x0
α > 0
α = 0
α < 0
Obrázek 3.1: Typický průběh lineární nehomogenní rovnice s konstantním koeficientem (3.13)
pro různé hodnoty koeficient α. Nehomogenita b je znázorněna tečkovaně.
Platí tedy y ≡ 1 pro α = 0; pro α > 0, resp. α < 0 je funkce y ryze rostoucí, resp. klesající, a
platí
lim
t→∞
y(t) =



∞, α > 0,
1, α = 0,
0, α < 0.
Koeficient α tedy určuje kvalitativní vlastnosti řešení rovnice (3.11): pro α kladné je každé
řešení neohraničené (monotonně roste do ∞, nebo monotonně klesá do −∞), pro α záporné
každé řešení monotonně vymizí (jeho hodnota se přiblíží libovolně blízko k nule); v mezním
případě α = 0 je každé řešení konstantní.
Tento výsledek můžeme zformulovat i jinak: Rovnice (3.11) má vždy nulové řešení, tj.
konstantní řešení x ≡ 0. Je-li α < 0, pak každé řešení rovnice (3.11) se k nulovému řešení
„přibližuje a pokud začíná „blízko nulového, v průběhu času „blízko k němu zůstává. Je-li
α = 0, pak každé řešení začínající „blízko nulového zůstává v průběhu času „blízko něho.
Je-li α > 0, pak řešení rovnice začínající „libovolně blízko nulového se od něho za dostatečně
dlouhý čas vzdálí. V případě α ≤ 0 proto říkáme, že nulové řešení rovnice (3.11) je stabilní,
v případě α > 0 říkáme, že nulové řešení je nestabilní a v případě α ≤ 0 mluvíme o (globálně)
asymptoticky stabilním nulovém řešení. Často také mluvíme o stabilitě, asymptotické stabilitě
nebo nestabilitě lineární rovnice (3.11).
Řešení počáteční úlohy pro lineární nehomogenní rovnici s konstantním koeficientem
x′
= αx + b(t) (3.13)
a počáteční podmínkou (3.2) je podle (3.10) dáno formulí
x(t) = x0eα(t−t0)
+
t
t0
b(s)eα(t−s)
ds =

x0e−αt0
+
t
t0
b(s)e−αs
ds

 eαt
.
Typický průběh řešení rovnice (3.13) je znázorněn na Obr. 3.1.
60 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Pokud je i nehomogenita b konstantní, b ≡ β = 0, platí
t
t0
b(s)eα(t−s)
ds = βeαt
t
t0
e−αs
ds =



β
α
eα(t−t0) − 1 , α = 0,
β(t − t0), α = 0.
Řešení rovnice
x′
= αx + β (3.14)
s počáteční podmínkou (3.2) je pro α = 0 dáno některým z ekvivalentních vyjádření
x(t) = x0eα(t−t0)
+
β
α
eα(t−t0)
− 1 = x0 +
β
α
eα(t−t0)
−
β
α
a pro α = 0 je
x(t) = x0 + β(t − t0).
Vidíme, že řešení x úlohy (3.14), (3.2) má pro α < 0 vlastnost
lim
t→∞
x(t) = −
β
α
a pro α ≥ 0 je řešení neohraničené (monotonně diverguje do +∞ nebo −∞ v závislosti na
znaménku výrazu αx0 + β).
Exkurs: Kauzální funkce a konvoluce
Funkce definované na intervalu (−∞, ∞) takové, že jejich hodnota je pro záporné hodnoty nezávisle
proměnné nulová, se nazývají kauzální. Tento název vyjadřuje představu, že nějaká veličina „vznikla
z nějaké příčiny (latinsky causa) v počátečním čase t0 = 0.
Podívejme se na řešení rovnice (3.13) v oboru kauzálních funkcí. To můžeme považovat za řešení
dané rovnice na intervalu [0, ∞), které je pro záporné hodnoty argumentu definováno jako nulové.
Klademe tedy b(t) = 0 pro t < 0. Funkce y definovaná vztahem
y(t) =
eαt
, t ≥ 0,
0, t = 0
je fundamentálním řešením přidružené homogenní rovnice k rovnici (3.13). Řešení rovnice (3.13) s počáteční
podmínkou x(0) = x0 je dáno formulí
x(t) = x0eαt
+
t
0
b(s)eα(t−s)
ds = x0y(t) +
∞
−∞
b(s)y(t − s)ds.
Poslední člen je hodnotou konvoluce funkcí b a y v bodě t. Řešení rovnice (3.13) v oboru kauzálních
funkcí tedy můžeme psát ve tvaru
x = x0y + b ∗ y.
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE 61
3.1.2 Lineární rovnice s periodickým koeficientem
Nechť f je ω-periodická funkce, tj. funkce definovaná na intervalu (−∞, ∞), pro niž existuje
konstanta ω > 0 taková, že f(t + ω) = f(t). Pro ω-periodické funkce zavedeme označení
¯f =
1
ω
ω
0
f(s)ds.
Snadno nahlédneme, že
¯f =
1
ω
t+ω
t
f(s)ds
pro libovolnou hodnotu t. Veličina ¯f představuje integrální průměr hodnot funkce f přes
interval délky periody.
Buď nyní t libovolné kladné číslo a N největší celé číslo takové, že Nω ≤ t, tj. N = [t/ω].
Pak
t−Nω
0
f(s) − ¯f ds ≤ ω max f(t) − ¯f : 0 ≤ t ≤ ω < ∞,
neboť na levé straně je integrál ze spojité (a tedy ohraničené) funkce na konečném intervalu
délky nejvýše ω. Dále platí
1
t
t
0
f(s)ds =
1
t



N−1
i=0
(i+1)ω
iω
f(s)ds +
t
Nω
f(s)ds


 =
1
t

Nω ¯f +
t−Nω
0
f(s)ds

 =
=
1
t

 t − (t − Nω) ¯f +
t−Nω
0
f(s)ds

 = ¯f +
1
t
t−Nω
0
f(s) − ¯f ds.
Limitním přechodem t → ∞ odtud dostaneme
lim
t→∞
1
t
t
0
f(s)ds = ¯f.
Hodnota ¯f tedy také vyjadřuje integrální průměr z funkce f přes neomezený interval.
Uvažujme lineární homogenní rovnici (3.3) s ω-periodickou funkcí a. Označme
ϕ(t) = e
t
0
(a(s)−¯a)ds
.
Pak funkce ϕ je definovaná na celém intervalu (−∞, ∞) a je zde spojitá, je nezáporná a
splňuje podmínku ϕ(0) = 1. Poněvadž platí
t+ω
0
a(s) − ¯a ds =
t
0
a(s) − ¯a ds +
t+ω
t
a(s) − ¯a ds =
=
t
0
a(s) − ¯a ds + ω¯a − ¯aω =
t
0
a(s) − ¯a ds,
62 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
platí také
ϕ(t + ω) = e
t+ω
0
(a(s)−¯a)ds
= e
t
0
(a(s)−¯a)ds
= ϕ(t),
takže funkce ϕ je ω-periodická.
Rovnici (3.3) uvažujme s počáteční podmínkou
x(0) = x0. (3.15)
Fundamentální řešení (3.5) této úlohy je
y(t) = e
t
0
a(s)ds
= e
t
0
a(s)−¯a ds+¯at
= ϕ(t)e¯at
a obecné řešení tedy je
x(t) = x0ϕ(t)e¯at
. (3.16)
Provedené úvahy můžeme shrnout:
Tvrzení 6. Řešení rovnice (3.3) s ω-periodickou funkcí a a s počáteční podmínkou (3.15) je
dáno formulí (3.16), kde ϕ je kladná, spojitá, ω-periodická funkce taková, že
ϕ′
(t) = a(t) − ¯a ϕ(t), ϕ(0) = 1.
Vyjádření (3.16) se nazývá Floquetova representace řešení úlohy (3.3), (3.15) s periodickým
koeficientem a. Můžeme ji interpretovat jako multiplikativní rozklad řešení x = x(t) na trend
e¯at a sezónní složku ϕ(t).
Ještě si promyslete, že nahrazení obecné podmínky (3.2) speciální podmínkou (3.15) nepředstavuje
pro rovnici (3.3) s periodickým koeficientem a žádnou újmu na obecnosti.
3.2 Systémy lineárních rovnic
Systém n obyčejných lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu je tvaru
x′
1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . . + a1n(t)xn + b1(t),
x′
2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . . + a2n(t)xn + b2(t),
...
...
...
...
...
x′
n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . . + ann(t)xn + bn(t).
Označíme
A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





, b(t) =





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





, x =





x1
x2
...
xn





a lineární systém zapíšeme ve vektorovém tvaru
x′
= A(t)x + b(t). (3.17)
3.2. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC 63
O funkcích a11, a12, . . . , a1n, a21, . . . , ann a b1, b2, . . . , bn budeme předpokládat, že jsou spojité
na intervalu J ⊆ R. Pak pro všechna t0 ∈ j a x0 ∈ Rn má systém (3.17) s počáteční
podmínkou
x(t0) = x0 (3.18)
jediné úplné řešení definované na intervalu J; to plyne z poznámky 3 za Větou 1 a z Věty 4,
neboť
∂
∂xj
A(t)x + b(t) i
= aij(t)
a funkce aij nabývá v okolí každého bodu t ∈ J pouze konečných hodnot, protože je spojitá.
Pokud vektorová funkce b na levé straně systému (3.17) je identicky nulová, b ≡ o, systém
(3.17) se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.
3.2.1 Struktura řešení lineárního homogenního systému
Nejprve se budeme věnovat homogennímu systému
x′
= A(t)x. (3.19)
Bezprostředně vidíme, že tento systém má nulové řešení x ≡ o. Dále platí princip superpozice:
• Je-li x řešení systému (3.19) a α je libovolná konstanta, pak také vektorová funkce αx
je řešením systému (3.19).
• Jsou-li x1 a x2 řešením systému (3.19), pak také jejich součet je řešení systému (3.19).
Vskutku,
αx
′
(t) = αx′
(t) = αA(t)x(t) = A(t) αx (t),
x1+x2
′
(t) = x′
1(t)+x′
2(t) = A(t)x1(t)+A(t)x2(t) = A(t) x1(t)+x2(t) = A(t) x1 +x2 (t).
Jinak řečeno, množina všech řešení lineárního homogenního systému tvoří vektorový prostor.
Určíme jeho dimenzi.
Lemma 2. Nechť vektorové funkce x1, x2, . . . , xk jsou řešením systému (3.19). Jsou-li vektory
x1(t0), x2(t0), . . . , xk(t0) lineárně nezávislé pro nějaké t0 ∈ J, pak jsou lineárně nezávislé
vektory x1(t), x2(t), . . . , xk(t) pro všechna t ∈ J.
Důkaz: Připusťme, že existuje t1 ∈ J takové, že vektory x1(t1), x2(t1), . . . , xk(t1) jsou lineárně
závislé. Pak existují konstanty α1, α2, . . . αk, ne všechny nulové, že
α1x1(t1) + α2x2(t1) + · · · + αkxk(t1) = o.
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že αk = 0. Pak
xk(t1) = −
1
αk
x1(t1) + x2(t1) + · · · + xk−1(t1) .
Podle principu superpozice je vektorová funkce
z = −
α1
αk
x1 −
α2
αk
x2 − · · · −
αk−11
αk
xk−1
64 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
řešením systému (3.19), pro kterou platí
z(t0) = −
α1
αk
x1(t0) −
α2
αk
x2(t0) − · · · −
αk−11
αk
xk−1(t0) (3.20)
a
z(t1) = −
α1
αk
x1(t1) −
α2
αk
x2(t1) − · · · −
αk−11
αk
xk−1(t1)xk(t1).
Z jednoznačnosti řešení lineárního systému (3.19) nyní plyne, že z = xk, a tedy podle (3.20)
je xk(t0) lineární kombinací vektorů x1(t0), x2(t0), . . . , xk−1(t0). To je spor s předpokládanou
lineární nezávislostí vektorů x1(t0), x2(t0), . . . , xk(t0).
Lemma 3. Nechť vektorové funkce x1, x2, . . . , xk jsou řešením systému (3.19). Jsou-li vektory
x1(t0), x2(t0), . . . , xk(t0) lineárně nezávislé pro nějaké t0 ∈ J, pak jsou vektorové funkce
x1, x2, . . . , xk lineárně nezávislé.
Důkaz: Nechť α1, α2, . . . , αk jsou konstanty takové, že
y = α1x1 + α2x1 + · · · + αkxk ≡ o.
Z principu superpozice plyne, že vektorová funkce z je řešením systému (3.19), která splňuje
podmínku
z(t0) = α1x1(t0) + α2x1(t0) + · · · + αkxk(t0) = o.
Lineární nezávislost vektorů vekx1(t0), x1(t0), . . . , xk(t0) implikuje rovnosti
α1 = α2 = · · · = αk = 0.
To znamená, že vektorové funkce x1, x2, . . . , xk jsou lineárně nezávislé.
Lemma 4. Nechť vektory v1, v2, . . . , vn tvoří bázi vektorového prostoru Rn a y1, y2, . . . , yn
jsou jsou řešení systému (3.19) s počátečními podmínkami
yi = v, i = 1, 2, . . . , n.
Pak jsou vektorové funkce y1, y2, . . . , yn lineárně nezávislé a tvoří bázi prostoru řešení lineárního
systému (3.19).
Důkaz: Tvrzení o nezávislosti funkcí y1, y2, yn plyne bezprostředně z předchozího lemmatu a
z vlastností báze vektorových prostorů.
Nechť z je libovolné řešení systému (3.19). Vektor z(t0) ∈ Rn vyjádříme pomocí báze
v1, v2, . . . , vn,
z(t0) = β1v1 + β2v2 + · · · + βnvn.
Z principu superpozice plyne, že vektorová funkce η = β1y1 + β2y2 + · · · + βnyn je řešením
systému (3.19) splňující počáteční podmínku η(t0) = z(t0). Jednoznačnosti řešení systému
(3.19) nyní implikuje z = η = β1y1 + β2y2 + · · · + βnyn.
Odvodili jsme tak následující větu a jsme oprávněni zavést následující definici.
Věta 9. Je-li maticová funkce A = A(t), A : J → Rn2
spojitá, pak množina všech řešení
vektorové rovnice (3.19) tvoří n-rozměrný vektorový prostor.
3.2. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC 65
Právě skutečnost, že množinou řešení vektorové rovnice (3.19) je vektorový prostor, ospravedlňuje
terminologii. Systém (vektorová rovnice) se nazývá lineární proto, že množina všech
jeho řešení tvoří vektorový (lineární) prostor, nikoliv pro její speciální tvar.
Definice 11. Libovolná báze prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice (3.19) se nazývá
fundamentální systém řešení rovnice (3.19).
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (3.19). Obecné řešení této rovnice je jejich lineární kombinace
x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t).
Označme yj,i = yj,i(t) = yj(t) i
,
Y = Y(t) = y1(t), y2(t), . . . , yn(t) =






y1,1(t) y1,2(t) . . . y1,n(t)
y2,1(t) y2,2(t) . . . y2,n(t)
...
...
...
...
yn,1(t) yn,2(t) . . . yn,n(t)






, c =





c1
c2
...
cn





.
Matice Y = Y(t) se nazývá fundamentální matice řešení systému (3.19). Z lineární nezávislosti
vektorových funkcí y1, y2, . . . , yn plyne, že sloupce fundamentální matice Y jsou lineárně
nezávislé pro každé t ∈ J. To znamená, že matice Y(t) je regulární, det Y(t) = 0 pro každé
t ∈ J.
Obecné řešení rovnice (3.19) lze nyní zapsat ve tvaru
x = x(t) = Y(t)c. (3.21)
Symbolem c0 označme n-tici konstant takových, že funkce x = x(t) = Y(t)c0 je řešením
počátečního problému (3.19), (3.18). Z rovnosti x0 = Y(t0)c0 pak plyne, že c0 = Y(t0)−1x0.
Řešení počáteční úlohy (3.19), (3.18) tedy můžeme psát ve tvaru
x(t) = Y(t)Y(t0)−1
x0.
Podobně jako v případě skalární rovnice můžeme zavést maticovou Cauchyovu funkci
C : J × J → Rn2
homogenního systému (3.19) vztahem
C(t, s) = Y(t)Y(s)−1
a řešení počáteční úlohy (3.19), (3.18) psát ve tvaru
x(t) = C(t, t0)x0.
3.2.2 Lineární nehomogenní systém
Nyní se budeme věnovat nehomogenní vektorové rovnici (3.17). Rovnice (3.19) se stejnou
maticovou funkcí A se nazývá homogenní rovnice přidružená k nehomogenní rovnici (3.17).
Uvažujme dvě řešení x1 a x2 nehomogenní rovnice (3.17). Pak platí
x1 − x2
′
(t) = x′
1(t) − x′
2(t) = A(t)x1(t) + b(t) − A(t)x2(t) + b(t) = A(t) x1 − x2 (t).
66 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Tímto výpočtem jsme odvodili jistou analogii principu superpozice pro nehomogenní rovnice:
Rozdíl dvou řešení nehomogenní vektorové rovnice (3.17) je řešením přidružené homogenní
rovnice (3.19). Jinak řečeno, řešení nehomogenní rovnice x je součtem nějakého řešení xH
homogenní rovnice a řešení xN nehomogenní rovnice, x = xN + xh. Dostáváme tak analogii
Tvrzení 5, které již známe z teorie skalární lineární rovnice:
Tvrzení 7. Obecné řešení nehomogenní vektorové lineární rovnice (3.17) je součtem obecného
řešení přidružené lineární homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení nehomogenní
rovnice.
To spolu s Větou 9 znamená, že množina všech řešení nehomogenní rovnice (3.17) tvoří
afinní prostor, jehož zaměřením je vektorový prostor řešení přidružené homogenní rovnice
(3.19).
Obecné řešení přidružené homogenní rovnice je dáno rovností (3.21). Zbývá tedy najít
aspoň jedno řešení rovnice nehomogenní. To můžeme udělat pomocí Duhamelova principu.
Ukážeme ale jiný způsob, metodu variace konstant.
Můžeme si představit, že nehomogenita b nějak „ruší , „deformuje , nebo „modifikuje
průběh procesu, který by se bez ní vyvíjel jako řešení homogenního systému. Toto „rušení
se ve výsledku projeví tak, že konstantní vektor c v obecném řešení (3.21) přestane být
konstantní, ale bude se v čase měnit. Jinak a trochu přesněji řečeno, řešení nehomogenního
systému (3.17) hledáme ve tvaru x(t) = Y(t)c(t). Toto řešení musí splňovat rovnosti
A(t)x(t) + b(t) = x′
(t) = Y′
(t)c(t) + Y(t)c′
(t) = A(t)Yc(t) + Y(t)c′
(t) = A(t)x(t) + Y(t)c′
(t),
tedy
b(t) = Y(t)c′
(t).
Fundamentální matice Y je regulární na celém definičním intervalu J, proto z předchozí
rovnice dostaneme
c′
(t) = Y(t)−1
b(t)
a odtud integrací
c(t) = c(t0) +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds.
Hledáme jedno řešení nehomogenní rovnice. Proto klidně můžeme položit c(t0) = o. Obecné
řešení nehomogenní vektorové rovnice (3.17) je nyní podle Tvrzení 7 a rovnosti (3.21) dáno
formulí
x(t) = Y(t)c + Y(t)
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds.
Řešení rovnice (3.17) s počáteční podmínkou (3.18) musí splňovat rovnosti
x0 = x(t0) = Y(t0)
t0
t0
Y(s)−1
b(s)ds = Y(t0).
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 67
Odtud c = Y(t0)−1x0. Řešení počáteční úlohy (3.17), (3.18) je tedy dáno rovností
x(t) = Y(t)Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds,
kde Y je fundamentální matice řešení přidruženého homogenního systému (3.19). S využitím
Cauchyovy funkce C můžeme tento výsledek zapsat ve tvaru
x(t) = C(t, t0)x0 +
t
t0
C(t, s)b(s)ds.
Řešení lineárního nehomogenního systému (3.17) s počáteční podmínkou (3.18) je tedy součtem
řešení přidruženého homogenního systému (3.19) se stejnou počáteční podmínkou a řešení
nehomogenního systému s nulovou počáteční podmínkou.
Na závěr ještě ukážeme, že rozlišování lineárních rovnic na homogenní a nehomogenní
vyjadřuje jen rozdílný pohled na tentýž abstraktní objekt. Nehomogenní rovnici lze totiž
považovat za rovnici homogenní dimenze o jedničku vyšší.
Uvažujme řešeni x homogenního systému (3.19) a vektorovou funkci z definovanou vzta-
hem
z(t) =
x(t)
1
.
Pak platí
z′
(t) =
x′(t)
0
=
A(t)x(t) + b(t)
0
=
A(t) b(t)
oT 0
x(t)
1
.
Navíc, 1 je řešením počáteční úlohy z′ = 0, z(t0) = 1. Těmito výpočty jsme odvodili:
Tvrzení 8. n-vektorová funkce x = x(t) je řešením počáteční úlohy (3.17), (3.18) pro nehomogenní
lineární rovnici právě tehdy, když (n + 1)-vektorová funkce
z = z(t) =
x(t)
z(t)
je řešením počáteční úlohy
z′
= B(t)z, z(t0) =
x0
1
(3.22)
pro homogenní lineární rovnici; přitom
B(t) =
A(t) b(t)
oT 0
3.3 Homogenní lineární systém s konstantní maticí
Uvažujme vektorovou rovnici
x′
= Ax. (3.23)
Konstantní maticová funkce A je definována na celé množině R. To podle výsledku uvedeného
v předchozí sekci na str. 63 znamená, že řešení rovnice (3.23) existuje, je definováno na
intervalu J = (−∞, ∞) a pro libovolnou počáteční podmínku (3.18) je řešení jediné.
68 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
3.3.1 „Intuitivní hledání obecného řešení
Lineární homogenní rovnice prvního řádu s konstantním koeficientem
x′
= ax
má obecné řešení Ceat. Toto pozorování vede k nápadu, že také lineární homogenní systém
s konstantní maticí by mohl mít řešení ve tvaru exponenciály.
Řešení rovnice (3.23) proto budeme hledat ve tvaru x(t) = weλt, kde w ∈ Rn je konstantní
vektor a λ je zatím neznámé číslo. Hodnota λ musí splňovat rovnosti
x′
(t) = wλeλt
, Ax = Aweλt
,
takže vzhledem k tomu, že eλt = 0, musí platit
Aw = λw.
To znamená, že λ je vlastní hodnotou matice A a w je příslušný vlastní vektor. Navíc z
lineární algebry víme, že vlastní vektory příslušné k různým vlastním hodnotám jsou lineárně
nezávislé. Vektorové funkce yi = yi(t) = eλi wi, kde λi je vlastní hodnota matice A a wi je
příslušný vlastní vektor, patří do fundamentálního systému řešení.
Příklad: Řešení a asymptotické vlastnosti řešení1 dvojrozměrného systému
x′ = ax+by,
y′ = cx+dy,
tj.
x′
y′ =
a b
c d
x
y
tj.
x
y
′
= A
x
y
. (3.24)
Charakteristický polynom matice A je tvaru
a − λ b
c d − λ
= λ2
− (a + d)λ + ad − bc = λ2
− tr Aλ + det A
a jeho kořena jsou dány rovnostmi
λ1,2 = 1
2 tr A ± (tr A)2 − 4 det A .
Omezíme se na případ, že det A = 0 a rozlišíme dva případy:
• det A < 0 : V tomto případě má matice A dva různé reálné nenulové kořeny λ1 a λ2, které
mají opačná znaménka. Fundamentální systém řešení daného systému tedy tvoří vektorové
funkce dané předpisem
y1(t) = eλ1t
w1, y2(t) = eλ2t
w2, (3.25)
kde w1 a w2 jsou vlastní vektory příslušné k vlastním hodnotám λ1 a λ2. Nechť kladná
vlastní hodnota je λi, záporná je λj. Při tomto označení platí
lim
t→∞
||yi(t)|| = ∞, lim
t→−∞
||yi(t)|| = 0, lim
t→∞
yj(t) = 0, lim
t→−∞
yj(t) = ∞
a pro jejich libovolnou lineární kombinaci x = c1y1 + c2y2 s c2
1 + c2
2 = 0 platí
lim
t→∞
||x(t)|| = lim
t→−∞
||x(t)|| = ∞.
1
V češtině poněkud matou dva významy slova „řešení – jednak funkce, která splňuje danou vektorovou
rovnici, jednak postup vedoucí k nalezení této funkce. Anglicky by zadání znělo: Solving of the 2-dimensional
system and asymptotical characteristic of the solution.
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 69
• det A > 0 : V tomto případě může mít charakteristický polynom matice A dva různé reálné
nebo komplexní kořeny, případně jeden reálný dvojnásobný kořen. Tyto možnosti
rozlišíme:
◦ (tr A)2 > 4 det A : Z podmínky bezprostředně plyne, že tr A = 0. Charakteristický
polynom má dva reálné různé kořeny, které mají stejné znaménko jako výraz tr A.
Fundamentální systém řešení je opět tvořen funkcemi tvaru (3.25). Platí tedy:
tr A > 0 ⇒ lim
t→∞
||y1(t)|| = lim
t→∞
||y2(t)|| = ∞, lim
t→−∞
||y1(t)|| = lim
t→−∞
||y2(t)|| = 0,
a tedy také pro každé nenulové řešení x daného systému platí
lim
t→∞
||x(t)|| = ∞, lim
t→−∞
||x(t)|| = 0.
tr A < 0 ⇒ lim
t→∞
||y1(t)|| = lim
t→∞
||y2(t)|| = 0, lim
t→−∞
||y1(t)|| = lim
t→−∞
||y2(t)|| = ∞,
a tedy také pro každé nenulové řešení x daného systému platí
lim
t→∞
||x(t)|| = 0, lim
t→−∞
||x(t)|| = ∞.
◦ (tr A)2 < 4 det A : Charakteristický polynom má dva komplexně sdružené kořeny
λ1,2 = 1
2 tr A ± i 4 det A − (tr A)2 = α ± βi,
příslušné vlastní vektory jsou také komplexně sdružené, w1,2 = u ± iv. Vektory u
a v jsou lineárně nezávislé. (Kdyby totiž jeden byl násobkem druhého, tj. kdyby
existovala konstanta c = 0, že v = cu, pak by vlastní vektory w1 = (1 + ci)u a
w1 = (1 − ci)u byly lineárně závislé.) Příslušný fundamentální systém řešení nyní
označíme
η1(t) = e(α+βi)t
(u + iv) = eαt
(cos βt + i sin βt)(u + iv),
η2(t) = e(α−βi)t
(u − iv) = eαt
(cos βt − i sin βt)(u − iv);
jsou to vektorové komplexní funkce jedné reálné proměnné. Z principu superpozice
plyne, že funkce
y1(t) = 1
2 η1(t) + η2(t) = eαt(u cos βt − v sin βt)
a
y2(t) = −i1
2 η1(t) − η2(t) = eαt(v cos βt + u sin βt)
jsou také řešením daného systému.
Vektory y1(0) = u a y2(0) = v jsou lineárně nezávislé, a proto jsou podle Lemma 3
lineárně nezávislé i funkce y1, y2. Tvoří tedy fundamentální systém řešení. Fundamentální
matice řešení daného systému je tedy tvaru
Y(t) = u v
cos βt sin βt
− sin βt cos βt
eαt
, kde α = 1
2 (a+d), β = −bc − 1
4(a − d)2.
Matice
cos βt sin βt
− sin βt cos βt
je periodická s periodou
2π
β
, funkce eαt je monotonní. Z toho plyne, že každá složka
každého nenulového řešení x =
x
y
systému je tedy oscilatorická. Dále platí:
70 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
tr A > 0 ⇒ lim sup
t→∞
x(t) = lim sup
t→∞
y(t) = ∞, lim inf
t→∞
x(t) = lim inf
t→∞
y(t) = −∞,
lim
t→−∞
x(t) = o
a tedy řešení x osciluje s amplitudou rostoucí do nekonečna.
tr A = 0 ⇒ řešení x je periodické.
tr A < 0 ⇒ lim
t→∞
x(t) = o,
lim sup
t→−∞
x(t) = lim sup
t→−∞
y(t) = ∞, lim inf
t→−∞
x(t) = lim inf
t→−∞
y(t) = −∞
a tedy řešení x osciluje s amplitudou klesající k nule.
◦ (tr A)2 = 4 det A : Podmínku lze upravit na tvar (a − d)2 = −4bc. V této situaci má
charakteristický polynom jeden reálný dvojnásobný kořen λ = 1
2(a + d).
Nyní rozlišíme dva případy:
· b = c = 0 : V takovém případě musí platit a = d. Matice A je tedy tvaru A = aI,
λ = a je jediná vlastní hodnota a libovolný vektor je vlastním vektorem (tj.
vlastní hodnota má algebraickou i geometrickou násobnost dvě). Fundamentální
systém řešení můžeme napsat ve tvaru
y1(t) = eat 1
0
, y2(t) = eat 0
1
.
· b2 + c2 = 0 : V takovém případě musí platit bc ≤ 0. Matice A je tvaru
A =


a b
−
(a − d)2
4b
d

 , pokud b = 0,
nebo
A =

a −
(a − d)2
4c
c d

 , pokud c = 0.
Budeme se věnovat první možnosti (b = 0), tu druhou (b = 0 = c) můžeme
řešit analogicky.
Vlastní vektor matice A příslušný k vlastní hodnotě λ = 1
2 (a + d) je
w =
2b
d − a
a první prvek fundamentálního systému řešení je y = y(t) = eλtw. Uvažujme
nyní „trochu porušenou matici A tak, aby se „příliš nelišila od matice A a
měla dvě reálný vlastní hodnoty, z nichž jedna je rovna λ a přísluší k ní vlastní
vektor w. Můžeme např. vzít matici
B(ε) =


a b
−
(a − d)2
4b
+ ε
a − d
2b
d + ε

 .
Pro tuto matici platí lim
ε→0
B(ε) = A. Její druhá vlastní hodnota a příslušný
vlastní vektor jsou
µ(ε) = 1
2(a + d) + ε = λ + ε, υ(ε) =
2b
d − a + 2ε
.
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 71
Vidíme, že lim
ε→0
µ(ε) = λ, lim
ε→0
υ(ε) = w. Podle principu superpozice je vektorová
funkce
zε(t) =
1
µ(ε) − λ
eµ(ε)t
υ(ε) − eλt
w =
eλt
ε
eεt 2b
d − a + 2ε
−
2b
d − a
řešením lineárního homogenního systému s konstantní maticí B(ε). Lze očekávat,
že se nebude „příliš lišit od řešení původního systému s „neporušenou
maticí A. Vskutku, s využitím de l’Hôpitalova pravidla vypočítáme
lim
ε→0
zε(t) = lim
ε→0
eλt 2bteεt
teεt(d − a) + 2(1 + tε)eεt =
= eλt 2bt
t(d − a) + 2
= eλt
tw +
0
2
.
Výsledek označíme y2(t) a snadno přímým výpočtem ověříme, že tato vektorová
funkce je řešením daného systému. Navíc, vektory
y1(0) =
2b
d − a
a y2(0) =
0
2
jsou lineárně nezávislé. To znamená, že vektorové funkce y1 a y2 tvoří fundamentální
systém řešení daného systému.
Ještě označíme y2(0) = 0, 2
T
= ˜w a máme fundamentální systém řešení
daného systému ve tvaru
y1(t) = eλt
w, y2(t) = eλt
(tw + ˜w) .
V obou případech vidíme, že podobně jako v předchozím případě platí:
tr A > 0 ⇒ lim
t→∞
||y1(t)|| = lim
t→∞
||y2(t)|| = ∞, lim
t→−∞
||y1(t)|| = lim
t→−∞
||y2(t)|| = 0,
a tedy také pro každé nenulové řešení x daného systému platí
lim
t→∞
||x(t)|| = ∞, lim
t→−∞
||x(t)|| = 0.
tr A < 0 ⇒ lim
t→∞
||y1(t)|| = lim
t→∞
||y2(t)|| = 0, lim
t→−∞
||y1(t)|| = lim
t→−∞
||y2(t)|| = ∞,
a tedy také pro každé nenulové řešení x daného systému platí
lim
t→∞
||x(t)|| = 0, lim
t→−∞
||x(t)|| = ∞.
3.3.2 Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací
Řešení rovnice (3.23) s počáteční podmínkou (3.18) budeme hledat jako limitu Picardovy
posloupnosti postupných aproximací. Členy této posloupnosti jsou podle Věty 1 rekurentně
dány formulemi
xk+1(t) = x0 +
t
t0
Axk(s)ds = x0 + A
t
t0
xk(s)ds.
72 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Postupně dostaneme (symbol I označuje jednotkovou matici):
x1(t) = x0 + A
t
t0
x0ds = x0 +


t
t0
ds

 Ax0 = I + (t − t0)A x0,
x2(t) = x0 + A
t
t0
I + (s − t0)A x0ds = x0 +


t
t0
ds

 Ax0 +


t
t0
(s − t0)ds

 A2
x0 =
= I + (t − t0)A +
(t − t0)2
2
A2
x0,
x3(t) = x0 + A
t
t0
I + (s − t0)A +
1
2
(s − t0)2
A2
x0ds =
= x0 +


t
t0
ds

 Ax0 +


t
t0
(s − t)ds

 A2
x0 +


t
t0
1
2
(s − t0)2
ds

 A3
x0 =
= x0 + (t − t0)Ax0 +
1
2
(t − t0)2
A2
x0 +
1
2 · 3
(t − t0)3
A3
x0 =
= I + (t − t0)A +
1
2!
(t − t0)2
A2
+
1
3!
(t − t0)3
A3
x0.
Odtud již lze uhodnout, že obecný člen posloupnosti postupných aproximací je
xk(t) = I + (t − t0)A +
(t − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(t − t0)k
k!
Ak
x0,
Ověříme to úplnou indukcí: Pro k = 0 máme
x0(t) =
(t − t0)0
0!
A0
x0 = Ix0 = x0
a z platnosti formule pro k plyne
xk+1(t) = x0 + A
t
t0
I + (s − t0)A +
(s − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(s − t0)k
k!
Ak
x0ds =
= x0 +


t
t0
ds

Ax0 +


t
t0
(s − t0)ds

 A2
x0 + · · · +

 1
k!
t
t0
(s − t0)k
ds

 Ak+1
x0 =
= I + (t − t0)A +
1
2
(t − t0)2
A2
+
1
3!
(t − t0)3
A3
+ · · · +
1
(k + 1)!
(t − t0)k+1
Ak+1
x0.
Pokud bychom A považovali za konstantu a I za jedničku (tj. pro n = 1), je výraz v závorce
k-tým částečným součtem Taylorovy řady funkce eA(t−t0). Řešení úlohy
x′
= Ax, x(t0) = x0 (3.26)
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 73
můžeme proto formálně zapsat ve tvaru
x(t) = eA(t−t0)
x0. (3.27)
Matice eA(t−t0) je dána nekonečnou řadou
eA(t−t0)
=
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Ak
.
Lze ukázat, že tato řada konverguje pro každé t ∈ R a tato konvergence je stejnoměrná.
Z lineární algebry víme, že matici A můžeme vyjádřit ve tvaru
A = W−1
JW,
kde W je regulární čtvercová matice řádu n a J je Jordanův kanonický tvar matice. Přitom
sloupce matice W jsou (zobecněné) vlastní vektory matice A příslušné k vlastním hodnotám
v jednotlivých blocích Jordanovy matice J. Platí tedy
Ak
= W−1
JW
k
= W−1
JWW−1
JWW−1
· · · WW−1
JW = W−1
Jk
W.
Formuli (3.27) vyjadřující řešení úlohy (3.26) nyní můžeme přepsat do tvaru
x(t) = eA(t−t0)
x0 =
∞
k=0
(t − t0)k
k!
W−1
Jk
W x0 = W−1
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Jk
W−1
x0. (3.28)
Příklad: Najdeme řešení počáteční úlohy pro třídimensionální lineární systém obyčejných
diferenciálních rovnic
x′ = 3x + y + z ,
y′ = −x ,
z′ = −2x − y , x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0.
V tomto případě je
x =


x
y
z

 , A =


3 1 1
−1 0 0
−2 −1 0

 , J =


1 1 0
0 1 1
0 0 1

 , W =


1 1 1
−1 −1 0
−1 0 −1

 ,
takže
W−1
=


−1 −1 −1
1 0 1
1 1 0

 , Jk
=


1 k 1
2 k(k − 1)
0 1 k
0 0 1

 .
Dále platí
∞
k=0
tk
k!
= et
,
∞
k=0
tk
k!
k = t
∞
k=1
tk−1
(k − 1)!
= tet
,
∞
k=0
tk
k!
1
2k(k − 1) = 1
2t2
∞
k=2
tk−2
(k − 2)!
= 1
2t2
et
,
což znamená
∞
k=0
tk
k!
Jk
=
∞
k=0
tk
k!


1 k 1
2k(k − 1)
0 1 k
0 0 1

 =


1 t 1
2 t2
0 1 t
0 0 1

 et
.
74 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Nyní vypočítáme součin


−1 −1 −1
1 0 1
1 1 0




1 t 1
2 t2
0 1 t
0 0 1




1 1 1
−1 −1 0
−1 0 −1

 =
=




−1 −1 − t −1 − t − 1
2t2
1 t 1 + 1
2 t2
1 1 + t t + 1
2t2






1 1 1
−1 −1 0
−1 0 −1

 =
=




1 + 2t + 1
2t2 t t + 1
2t2
−t − 1
2 t2 1 − t −1
2t2
−2t − 1
2t2 −t 1 − t − 1
2t2



 .
a řešení dané úlohy dostaneme ve tvaru
x(t) = 1 + 2t + 1
2 t2 x0 + ty0 + t + 1
2t2 z0 et,
y(t) = − t + 1
2 t2 x0 + (1 − t) y0 − 1
2t2z0 et,
z(t) = − 2t + 1
2t2 x0 − ty0 + 1 − t − 1
2t2 z0 et.
Podívejme se nyní podrobněji na člen
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Jk
(3.29)
ve vyjádření (3.28) řešení úlohy (3.28). Jordanův kanonický tvar J je blokově diagonální matice
J =





J1 O . . . O
O J2 . . . O
...
...
...
...
O O . . . Jm





,
blok Ji je čtvercová matice řádu ni; přitom n1 + n2 + · · · + nm = n. Jednotlivé bloky jsou
tvaru
Ji =







λ 0 0 . . . 0
0 λ 0 . . . 0
0 0 λ . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . λ







nebo Ji =







λ 1 0 . . . 0
0 λ 1 . . . 0
0 0 λ . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . λ







,
kde λ je vlastní číslo matice A. Je-li blok Ji diagonální, tj. je prvního z uvedených tvarů,
řekneme, že vlastní číslo λ je jednoduchého typu.
Pro libovolné přirozené číslo k platí
Jk
=





J1
k
O . . . O
O J2
k
. . . O
...
...
...
...
O O . . . Jm
k





.
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 75
Odtud vidíme, že také matice (3.29) je blokově diagonální, bloku Ji odpovídá blok
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Ji
k
Je-li blok Ji diagonální, pak
Ji
k
=







λn 0 0 . . . 0
0 λk 0 . . . 0
0 0 λk . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . λk







= λk
I,
kde I je jednotková matice stejného řádu jako matice Ji. Příslušné bloky v součtu (3.29) jsou
∞
k=0
(t − t0)k
k!
λk
I = eλ(t−t0)
I.
V případě, že vlastní číslo λ matice A není jednoduchého typu, tak vyjádříme odpovídající
Jordanův blok ve tvaru
Ji =







λ 1 0 . . . 0
0 λ 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . λ







= λ







1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 1







+







0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0







= λI + Mj,
kde Mj je čtvercová matice stejného řádu jako blok Ji, která má nad hlavní diagonálou jedničky
a ostatní prvky jsou nulové. Příslušný blok v součtu (3.29) je tedy tvaru
∞
k=0
(t − t0)k
k!
(λI + Mj)k
.
Přímým výpočtem ověříme, že
M2
j =







0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0







, M3
j =









0 0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . 1
0 0 0 0 . . . 0
0 0 0 0 . . . 0
0 0 0 0 . . . 0









, . . .
. . . , Mj−1
j =







0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0







, Mj
j =







0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0







76 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
a každá vyšší mocnina matice Mj je již nulová. Proto
(λI + Mj)k
=
min{j−1,k}
p=0
k
p
λk−p
Mp
j =
min{j−1,k}
p=0
k!
p!(k − p)!
λk−p
Mp
j .
Dále platí2
j−1
k=0
(t − t0)k
k!
(λI + Mj)k
=
j−1
k=0
(t − t0)k
k!
k
p=0
k!
p!(k − p)!
λk−p
Mp
j =
=
j−1
p=0
1
p!
Mp
j
j−1
k=p
(t − t0)k
(k − p)!
λk−p
=
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j
j−1
k=p
(t − t0)k−pλk−p
(k − p)!
a
∞
k=j
(t − t0)k
k!
(λI + Mj)k
=
∞
k=j
(t − t0)k
k!
j−1
p=0
k!
p!(k − p)!
λk−p
Mp
j =
=
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j
∞
k=j
(t − t0)k−pλk−p
(k − p)!
,
celkem
∞
k=0
(t − t0)k
k!
(λI + Mj)k
=
=
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j
j−1
k=p
(t − t0)k−pλk−p
(k − p)!
+
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j
∞
k=j
(t − t0)k−pλk−p
(k − p)!
=
=
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j
∞
k=p
(t − t0)k−pλk−p
(k − p)!
= e(t−t0)λ
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j .
Výraz
j−1
p=0
(t − t0)p
p!
Mp
j
je maticovou funkcí; jedná se o čtvercovou matici stejného řádu jako uvažovaný Jordanův
blok Ji, která má nad hlavní diagonálou polynomy a jinde má nuly.
Z provedených výpočtů plyne, že maticová funkce (3.29) je blokově diagonální, jednotlivé
diagonální bloky jsou buď exponenciální funkce (odpovídající vlastním číslům jednoduchého
typu), nebo exponenciální funkce násobené polynomem (ty odpovídají vlastním číslům, která
nejsou jednoduchého typu). Z tohoto pozorování plyne závěr:
2
Ve druhé rovnosti je využit vzorec
j−1
k=0
k
p=0
αkp =
j−1
p=0
j−1
k=p
αkp.
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 77
Tvrzení 9. Mají-li všechny vlastní hodnoty matice A záporné reálné části, pak pro každé
řešení x systému (3.23) platí lim
t→∞
x(t) = o.
Mají-li všechny vlastní hodnoty matice A nekladné reálné části a nulové vlastní hodnoty
jsou jednoduchého typu, pak každé řešení systému systému (3.23) je ohraničené.
Pokud existuje vlastní hodnota matice A, která má kladnou reálnou část, pak existuje
takové řešení x systému (3.23), že lim
t→∞
||x(t)|| = ∞.
78 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Kapitola 4
Autonomní rovnice a systémy
Autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic je taková (vektorová) rovnice, která nezávisí
explicitně na nezávisle proměnné, tedy rovnice tvaru
F (x, x′
) = o.
Omezíme se na rovnice rozřešené vzhledem k derivaci, tedy na systém rovnic
x′
= f(x), (4.1)
kde f = (f1, f2, . . . , fn) : Ω → Rn, Ω ⊆ Rn je množina s neprázdným vnitřkem a bez izolovaných
bodů. Systém (4.1) se nazývá autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic,
definiční obor pravých stran Ω se nazývá stavový (nebo fázový) prostor. V celé kapitole budeme
předpokládat, že f je spojitá funkce taková, že počáteční problém (4.1) s podmínkou
x(t0) = x0 (4.2)
má jediné řešení pro každé t0 ∈ R, x0 ∈ Ω.
Soustava rovnic (4.1) popisuje (modeluje) vývoj takového systému, jehož stav je popsán
stavovým vektorem (prvkem ze stavového prostoru Ω) a změna stavu závisí pouze na aktuálním
stavu. Změna stavu nezávisí na žádných v čase se měnících vnějších (externích) podmínkách;
z jiného pohledu: modelujeme nějaký izolovaný systém. Základní vlastností takových
systému je invariance vzhledem k posunutí v čase, tj. nezávisí na tom, v jaké době systém
pozorujeme. Přesněji je tato vlastnost zformulována v následujícím:
Tvrzení 10. Je-li x = x(t) úplným řešením úlohy (4.1), (4.2) definovaným na intervalu
(S, T), pak pro každé τ ∈ R je y = y(t) = x(t + τ) řešením rovnice (4.1) s počáteční
podmínkou y(t0 − τ) = x0 definovaným na intervalu (S − τ, T − τ).
Důkaz: y′(t) =
d
dt
x(t + τ) = f x(t + τ) = f(y(t)).
Toto tvrzení ukazuje, že bez újmy na obecnosti se u autonomních systémů můžeme omezit
na počátečními problémy s počáteční podmínkou
x(0) = x0 ∈ Ω. (4.3)
79
80 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Tvrzení 11. Nechť Ω = Rn, x = x(t) je řešení úlohy (4.1), (4.3) definované na intervalu
(S, T) a nechť zobrazení τ : (S, T) → R je dáno rovností
τ(t) =
t
0
1 + f x(s) ds. (4.4)
Pak trajektorie systému (4.1) a systému
d
dτ
x =
1
1 + ||f(x)||
f(x) (4.5)
procházející bodem x0 splývají. Navíc, každé úplné řešení systému (4.5) je definováno na
celém intervalu (−∞, ∞).
Důkaz: Derivací rovnosti (4.4) podle proměnné t dostaneme
dτ
dt
= 1 + f x(s) .
Na pravé straně je kladný výraz a to znamená, že funkce τ je ryze rostoucí. Dále platí
dx
dτ
=
dx
dt
dt
dτ
=
1
1 + ||f(x)||
f(x).
To znamená, že τ je jen jiná parametrizace trajektorie.
Řešení rovnice (4.5) s počáteční podmínkou (4.3) splňuje podle Lemma 1 rovnost
x(τ) = x0 +
τ
0
1
1 + f x(s)
f x(s) ds.
Zapišme interval, na němž je toto řešení definováno, jako (α, ω). Připusťme, že ω < ∞. Pak
||x(τ)|| ≤ ||x0|| +
τ
0
f x(s)
1 + f x(s)
ds ≤ ||x0|| +
τ
0
1ds = ||x0|| + τ ≤ ||x0|| + ω.
To ovšem znamená lim
τ→ω−
||x(τ)|| ≤ ||x0|| + ω < ∞ a to je ve sporu s Větou 5, neboť definiční
obor funkce f má prázdnou hranici.
Stejně ukážeme, že α = −∞.
Podle tohoto tvrzení můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že každé úplné řešení
autonomního systému, jehož stavový prostor je celá množina Rn, je definováno na intervalu
(−∞, ∞). Nebo jinak: takový systém má jakýsi „vlastní čas , který plyne od −∞ do ∞, „od
věčnosti do věčnosti .
Příklad:
Úplné řešení počáteční úlohy
x′
= x2
, x(0) = x0
81
je dáno rovností x(t) =
x0
1 − x0t
a je definováno na intervalu
J =



(−∞, 1/x0), x0 > 0,
(−∞, ∞), x0 = 0,
(1/x0, ∞), x0 < 0.
Úplné řešení počáteční úlohy
d
dτ
x =
x2
1 + x2
, x(0) = x0
je dáno rovností
2x(τ) = τ +
x2
0 − 1
x0
+
x0
|x0|
τ2 + 2τ
x2
0 − 1
x0
+
x2
0 + 1
x0
2
pro x0 = 0 a x(τ) = 0 pro x0 = 0 (odvoťe nebo alespoň ověřte tento výsledek). Tyto funkce
jsou definovány na intervalu (−∞, ∞).
„Vnitřní čas je v tomto případě dán rovností
τ(t) = x0 +
t
0
1 +
x0
1 − x0s
2
ds = x0 + t + x2
0
t
0
ds
(1 − x0s)2
=
= x0 + t −
x2
0
x0
1−x0t
1
dσ
σ2
= t +
x0
1 − x0t
.
Vidíme, že pro x0 = 0 je τ = t.
Ještě poznamenejme, že předpoklad Ω = Rn v Tvrzení 11 nelze obecně vynechat.
Příklad:
Úplné řešení počáteční úlohy
x′
=
1
2x
, x(0) = x0 = 0
je funkce x(t) = sgn x0 t + x2
0, která je definována na intervalu (−x2
0, ∞). Stavovým prostorem
je buď interval (0, ∞) nebo interval (−∞, 0).
Korespondující úloha
d
dτ
x =
1
2x + 1
, x(0) = x0
má řešení x(t) = −1
2 +sgn x0 t + x0 + 1
2
2
, a to je definováno na intervalu (− x0 + 1
2
2
, ∞).
82 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Fázový prostor, trajektorie, stacionární body
Nechť x = x(t) je úplné řešení problému (4.1), (4.3) definované na intervalu (S, T); přitom
platí −∞ ≤ S < T ≤ ∞. Toto řešení lze interpretovat buďto jako graf zobrazení x : (S, T) →
Ω, nebo jako orientovanou křivku C = {x(t) : S < t < T} ve fázovém prostoru Ω zadanou
parametricky. Tuto křivku nazýveme trajektorií řešení x.
Křivku C+ = {x(t) : t ≥ 0}, resp. C− = {x(t) : t ≤ 0}, nazveme pozitivní, resp. negativní,
polotrajektorií systému 4.1.
Příklad:
Počáteční úloha pro lineární systém
x′
= −y, y′
= x, x(0) = x0, y(0) = y0
má řešení x(t) = r cos(t + ψ), y(t) = r sin(t + ψ), kde
r = x2
0 + y2
0 , cos ψ =
x0
x2
0 + y2
0
, sin ψ =
y0
x2
0 + y2
0
.
Poněvadž x(t)2 + y(t)2 = r2, jsou trajektorie řešení kružnice se středem v počátku.
Tvrzení 12. Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení systému (4.1), pak jejich trajektorie buďto
splývají, nebo nemají žádný společný bod.
Důkaz: Nechť x(t1) = y(t2) pro nějaká t1, t2 ≥ 0. Podle Tvrzení 10 je z = z(t) = x(t+(t1−t2))
řešením rovnice (4.1) s počáteční podmínkou z(t2) = x(t1). Trajektorie řešení z a x zřejmě
splývají. Současně ale z je řešením rovnice (4.1) s počáteční podmínkou z(t2) = y(t2) a
z předpokládané jednoznačné řešitelnosti problému (4.1) s libovolnou počáteční podmínkou
plyne z ≡ y.
Definice 12. Bod x∗ ∈ Ω se nazývá stacionární bod (rovnovážný bod, ekvilibrium, kritický
bod, singulární bod, degenerovaná trajektorie) rovnice (4.1), jestliže f(x∗) = 0.
Trajektorie rovnice (4.1) se nazývá cyklus, je-li uzavřenou křivkou.
Trajektorie {x(t) : t ∈ (S, T)} rovnice (4.1) se nazývá homoklinická, jestliže existuje stacionární
bod x∗ ∈ Ω takový, že lim
t→T−
x(t) = lim
t→S+
x(t) = x∗.
Trajektorie {x(t) : t ∈ (S, T)} rovnice (4.1) se nazývá heteroklinická, jestliže existují stacionární
body x∗
1 ∈ Ω, x∗
2 ∈ Ω takové, že x∗
1 = x∗
2, lim
t→T−
x(t) = x∗
1 a lim
t→S+
x(t) = x∗
2.
Věta 10 (Klasifikace trajektorií). Libovolná trajektorie řešení autonomního systému (4.1) je
právě jednoho z typů:
– stacionární bod (odpovídá konstantnímu řešením);
– cyklus (odpovídá nekonstantnímu periodickému řešení);
– trajektorie, která sama sebe neprotíná.
Důkaz plyne z Tvrzení 10 a 12.
Poznamenejme, v případě stacionárního bodu a cyklu je řešení definované pro každé t ∈ R,
tj. S = −∞, T = ∞.
4.1. AUTONOMNÍ ROVNICE 83
Linearizace autonomního systému v okolí stacionárního bodu
Nechť x∗ ∈ Ω je stacionární bod autonomního systému (4.1). Odchylka od tohoto stacionárního
bodu je definována rovností
y(t) = x(t) − x∗
.
Pak platí y′ = x′ −o = f(x). Pokud je zobrazení f dvakrát spojitě diferencovatelné (tj. každá
jeho složka má spojité parciální derivace podle všech proměnných), pak podle Taylorovy věty
platí
y′
= f(x) = f(x∗
) + f′
(x∗
) x − x∗
+ O ||x − x∗
||2
2 = f′
(x∗
)y + O ||y||2
2 .
Přitom O ||y||2
2 je zbytek Taylorova polynomu prvního stupně a derivace f′
(x∗), někdy
označovaná D f(x∗) nebo Jf (x∗) = J(x∗) a nazývaná Jacobiova matice zobrazení f, je matice
D f(x∗
) = J(x∗
) =













∂f1
∂x1
(x∗)
∂f1
∂x2
(x∗) · · ·
∂f1
∂xn
(x∗)
∂f2
∂x1
(x∗)
∂f2
∂x2
(x∗) · · ·
∂f2
∂xn
(x∗)
...
...
...
...
∂fn
∂x1
(x∗)
∂fn
∂x2
(x∗) · · ·
∂fn
∂xn
(x∗)













.
Z předchozího výpočtu plyne že v „malém okolí rovnovážného bodu x∗ se „malá odchylky
od tohoto stacionárního řešení vyvíjí jako řešení lineaárního systému s konstantní maticí
x′
= J(x∗
)x. (4.6)
Systém (4.6) se nazývá linearizace systému (4.1) ve stacionárním bodě x∗ nebo variační
rovnice systému (4.1), matice J(x∗) se někdy nazývá variační matice systému (4.1).
Lineární systém (3.23) s konstantní maticí A je autonomním systémem. Pokud je det A = 0,
pak je bod o jeho jediným stacionárním bodem. Podle Tvrzení 9 platí: pokud všechna vlastní
čísla matice A mají zápornou reálnou část, pak každá nenulová trajektorie systému (3.23)
směřuje do stacionárního bodu, mají-li kladnou reálnou část, pak každá nenulová trajektorie
systému (3.23) směřuje ze stacionárního bodu. Toto pozorování motivuje následující definici.
Definice 13. Nechť x∗ je izolovaný stacionární bod autonomního systému (4.1). Řekneme, že
stacionární bod x∗ je hyperbolický, pokud každé vlastní číslo variační matice J(x∗) = D f(x∗)
má nenulovou reálnou část. Mají-li všechna vlastní čísla matice J(x∗) kladnou reálnou část,
řekneme, že hyperbolický stacionární x∗ bod je zdroj (source); mají-li všechna vlastní čísla
matice J(x∗) zápornou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární bod x∗ je stok
(sink).
4.1 Autonomní rovnice (autonomní systémy na přímce)
Rovnice (4.1) pro n = 1, tj. rovnice
x′
= f(x) (4.7)
84 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
je speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými. Postupem uvedeným na str. 1.1
lze tedy najít její řešení přinejmenším v implicitním tvaru. Často ovšem rozbor stavového
prostoru dá názornější představu o průběhu jejího řešení.
Stavovým prostorem Ω autonomní rovnice (4.7) je interval nebo sjednocení intervalů.
Trajektorie může být
• Přímka, pokud je stavovým prostorem celá množina R a funkce f je stále kladná nebo
stále záporná.
• Polopřímka bez krajního bodu, pokud existuje číslo a ∈ R takové, že f(a) = 0 nebo
a ∈ Ω nastává některá z (nevylučujících se) možností
(−∞, a) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x < a, nebo (a, ∞) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x > a.
• Vnitřek úsečky, pokud existují čísla a, b ∈ R taková, že (a, b) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x ∈ (a, b)
a
f(a) = 0 nebo a ∈ Ω a současně f(b) = 0 nebo b ∈ Ω.
V případě a ∈ Ω, b ∈ Ω se jedná o heteroklinickou trajektorii.
• Stacionární bod x∗ ∈ Ω, pokud f(x∗) = 0.
Orientaci trajektorie je bezprostředně vidět z grafu funkce f, viz Obr. 4.1. Je-li trajektorií
přímka nebo vnitřek polopřímky nebo úsečky, pak je trajektorie orientovaná souhlasně s
orientací osy x, pokud f(x) > 0 ve všech bodech této přímky nebo vnitřku polopřímky nebo
úsečky. Takovým trajektoriím odpovídají rostoucí řešení rovnice (4.7). Pokud je zde f(x) < 0,
pak je trajektorie orientována proti orientaci osy x.
Nechť x∗ je stacionárním bodem rovnice (4.7) takovým, že existuje jeho pravé ryzí okolí
(x∗, x∗ + ε) ⊆ Ω tak, že f(x) = 0 pro x ∈ (x∗, x∗ + ε). Trajektorie odpovídající řešení rovnice
(4.7) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ (x∗, x∗ + ε) směřují ke stacionárnímu, resp. od
stacionárního, bodu x∗, pokud f(x) < 0, resp. f(x) > 0, na intervalu (x∗, x∗ + ε). Analogicky
můžeme vyšetřit směr trajektorií nalevo od stacionárního bodu.
Nechť nyní x∗ je vnitřní stacionární bod rovnice (4.7), tj. x∗ ∈ Ω◦ a f(x∗) = 0. Pokud je
funkce f diferencovatelná a f′(x∗) = 0, pak je tento stacionární bod izolovaný, tj. existuje jeho
ryzí okolí, v němž f(x) = 0. Je-li přitom f′(x∗) > 0, resp. f′(x∗) < 0, pak všechny trajektorie
začínající v okolí bodu x∗ směřují od stacionárního, resp. ke stacionárnímu, bodu x∗.
Směřování trajektorií od stacionárního bodu nebo k němu inspiruje klasifikaci stacionárních
bodů:
x
x∗
1 x∗
3
x∗
2
f(x)
V (x)
Obrázek 4.1: Příklad pravé strany f(x) autonomní rovnice (4.7) a příslušného potenciálu
V (x). Stacionární bod x∗
1 je sedlo, x∗
2 je nestabilní uzel a x∗
3 je stabilní uzel.
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 85
Definice 14. Nechť x∗ je izolovaný stacionární bod rovnice (4.7), tj. f(x∗) = 0 a existuje
ryzí okolí O(x∗) = (x∗ − ε, x∗) ∪ (x∗, x∗ + ε) takové, že f(x) = 0 pro x z O(x∗). Equilibrium
x∗ se nazývá
stabilní uzel nebo stok (sink), pokud všechny trajektorie začínající v okolí O(x∗) směřují
k bodu x∗,
nestabilní uzel nebo zdroj (source) pokud všechny trajektorie začínající v O(x∗) směřují od
bodu x∗,
sedlo, pokud existují dvě trajektorie začínající v O(x∗), z nichž jedna směřuje k bodu x∗ a
druhá od něho (všechny trajektorie začínající v O(x∗) jsou orientovány stejně).
Evidentně platí (viz Obr. 4.1):
Tvrzení 13. Nechť x∗ je izolovaný stacionární bod rovnice (4.7) a O(x∗) je jeho ryzí okolí
zavedené v předchozí definici. Pokud funkce f nemění na O(x∗) znaménko, pak je x∗ sedlo.
Pokud je funkce f na O(x∗) ryze rostoucí, pak je x∗ nestabilní uzel, pokud je funkce f na
O(x∗) ryze klesající, pak je x∗ stabilní uzel.
Je-li funkce f na okolí bodu x∗ diferencovatelná a f′(x∗) > 0, resp f′(x∗) < 0, pak je x∗
nestabilní, resp stabilní uzel.
Je-li funkce f na okolí bodu x∗ dvakrát diferencovatelná a f′(x∗) = 0 = f′′(x∗), pak je x∗
sedlo.
Jinou „názornou pomůckou pro vyšetřování orientace trajektorií je potenciál rovnice:
Definice 15. Diferencovatelná funkce V : Ω → R se nazývá potenciál rovnice (4.7), pokud
−V ′(x) = f(x) pro každý bod x ∈ Ω.
Poněvadž o funkci f na pravé straně rovnice (4.7) předpokládáme, že je spojitá, potenciál
existuje a je primitivní funkcí k funkci −f.
Nechť x∗ je stacionární bod rovnice. Z předchozích úvah nebo z geometrického názoru
(viz Obr. 4.1) plyne: pokud je bod x∗ bodem ostrého lokálního minima potenciálu V , pak
všechny trajektorie začínající v ryzím okolí bodu x∗ směřují k bodu x∗; je-li bod x∗ bodem
ostrého lokálního maxima potenciálu V , pak všechny trajektorie začínající v ryzím okolí bodu
x∗ směřují od bodu x∗.
4.2 Autonomní systémy v rovině
V tomto oddílu se budeme zabývat systémem (4.1) pro n = 2, tedy systémem
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y).
(4.8)
Definice 16. Křivka zadaná implicitně rovnicí f(x, y) = 0 (resp. g(x, y) = 0) se nazývá
x-nulklina (resp. y-nulklina) rovnice (4.8).
Průsečík nulklin je stacionární bod, tečna k trajektorii v jejím průsečíku s x-nulklinou
(resp. y-nulklinou) je rovnoběžná s osou y (resp. x).
86 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Definice 17 (typy stacionárních bodů v rovině). Stacionární bod (x∗, y∗) systému (4.8) se
nazývá
sedlo, jestliže existuje jen konečný počet trajektorií (x, y) = x(t), y(t) takových, že
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
);
uzel, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗, y∗) s nějakým pevným
vektorem existuje vlastní lim
t→∞
ψ(t) nebo lim
t→−∞
ψ(t);
ohnisko, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗, y∗) s nějakým pevným
vektorem platí
lim
t→∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→∞
ψ(t) = −∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = −∞
(trajektorie se přibližuje ke stacionárnímu bodu (nebo se od něho vzdaluje) po spirále);
bod rotace, jestliže v jeho libovolném okolí leží cyklus, obsahující (x∗, y∗) ve svém vnitřku;
střed, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že každá trajektorie s x(0), y(0) ∈ U je
cyklem obsahujícím (x∗, y∗) ve svém vnitřku (střed je speciálním případem bodu rotace).
Poznamenejme, že střed je speciálním případem bodu rotace.
Ohnisko nebo uzel se nazývá stabilní, resp. nestabilní, pokud pro každé řešení systému (4.8)
s počáteční hodnotou v ryzím okolí U bodu (x∗, y∗) platí lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗, y∗), resp.
lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗, y∗).
Příklad: typy stacionárního bodu autonomního lineárního systému
Systém (3.24) má v případě det A = 0 jako jediný izolovaný stacionární bod počátek (0, 0).
Tento systém je explicitně vyřešen na závěr části 3.3.1. Z výsledků vidíme:
• det A < 0: Trajektorie tohoto systému jsou jednak dvě polopřímky ±eλ1tw1 : t ∈ R ,
které odpovídají kladné vlastní hodnotě λ1 a příslušnému vlastnímu vektoru w1, a
proto jsou orientované směrem od počátku, jednak dvě polopřímky ±eλ2tw2 : t ∈ R ,
které odpovídají záporné vlastní hodnotě λ2 a příslušnému vlastnímu vektoru w2 a jsou
orientovány směrem k počátku. Pro ostatní trajektorie c1eλ1tw1 + c2eλ2tw2 : t ∈ R
platí lim
t→∞
c1eλ1tw1 + c2eλ2tw2 = lim
t→−∞
c1eλ1tw1 + c2eλ2tw2 = ∞.
Stacionární bod (0, 0) je tedy sedlo.
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 87
det A
tr A
det A = 1
4 (tr A)
2
střed
ohnisko
stok
zdroj
uzel
stok
zdroj
sedlo
Obrázek 4.2: Typy izolovaných stacionárních bodů dvourozměrného autonomního lineárního
homogenního systému (3.24) v závislosti na hodnotách stopy a determinantu jeho matice.
• det A > 0:
◦ tr A
2
≥ 4 det A: Nechť vlastní hodnoty jsou označeny taky že |λ1| ≥ |λ2| a w1, w2
jsou příslušné vlastní vektory. Není-li vlastní hodnota λ1 dvojnásobná jednoduchého
typu, pak trajektorie systému jsou dvě polopřímky p1,2 = ±eλ1tw1 : t ∈ R ,
které jsou orientovány směrem od počátku (pokud λ1 > 0) nebo směrem k počátku
(pokud λ1 < 0); ostatní trajektorie jsou orientovány shodně směrem od nebo k počátku
a polopřímky p1,2 jsou jejich polotečny. V opačném případě jsou trajektoriemi
všechny polopřímky vycházející z počátku a orientované k němu (pokud λ1 < 0)
nebo od něho (pokud λ1 > 0). V každém případě je stacionární bod (0, 0) uzlem,
který je stabilní pro λ1 < 0 a nestabilní pro λ1 > 0. Znaménko vlastní hodnoty je
určeno stopou matice A.
◦ tr A < 0: Stacionární bod (0, 0) je stabilní uzel.
◦ tr A > 0: Stacionární bod (0, 0) je nestabilní uzel.
◦ tr A
2
< 4 det A: Vlastní hodnoty jsou komplexně sdružené λ1,2 −α±βi a trajektorie
jsou
eαt
(c1 cos βt + c2 sin βt)u + (c1 cos βt − c2 sin βt)v : t ∈ R ,
kde u, v jsou lineárně nezávislé vektory. Trajektorie jsou tedy logaritmické spirály
(pokud α = 0) nebo elipsy (pokud α = 0). Spirály jsou orientovány směrem
k počátku pro (α < 0) nebo od něho (pro α > 0); spirály i elipsy jsou orientovány
v kladném symyslu, pokud koeficient c systému (3.24) je kladný, v záporném
smyslu, pokud c < 0.
◦ tr A < 0: Stacionární bod (0, 0) je stabilní ohnisko.
◦ tr A = 0: Stacionární bod (0, 0) je střed.
◦ tr A > 0: Stacionární bod (0, 0) je nestabilní ohnisko.
Výsledky provedené analýzy lineárního dvourozměrného systému (3.24) s konstantní maticí
jsou shrnuty graficky na obrázku 4.2.
88 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
det J∗ < 0 sedlo
(tr J∗)2 ≥ 4 det J∗ (tr J∗)2 < 4 det J∗
tr J∗ < 0 stabilní uzel stabilní ohnisko
det J∗ > 0
tr J∗ > 0 nestabilní uzel nestabilní ohnisko
Tabulka 4.1: Kvalitativní vlastnosti řešení systému (4.8) v okolí stacionárního bodu (x∗, y∗);
J∗ = J(x∗, y∗) je variační matice tohoto systému ve stacionárním bodě.
Na základě úvah provedených na str. 83 usuzujeme, že v okolí izolovaného stacionárního
bodu (x∗, y∗) ležícího uvnitř stavového prostoru se trajektorie systému (4.8) „chovají
podobně jako trajektorie jeho linearizace. Přesněji:
Věta 11. Nechť funkce f a g jsou dvakrát spojitě diferencovatelné a
x
z
′
=




∂f
∂x
(x∗, y∗)
∂f
∂y
(x∗, y∗)
∂g
∂x
(x∗, y∗)
∂g
∂y
(x∗, y∗)




x
y
(4.9)
je linearizace systému (4.8) v okolí izolovaného stacionárního bodu (x∗, y∗) ∈ Ω◦. Pak platí:
• Je-li počátek uzel, ohnisko nebo sedlo systému (4.9), pak stacionární bod (x∗, y∗) systému
(4.8) je stejného typu;
• Je-li počátek střed systému (4.9), pak stacionární bod (x∗, y∗) systému (4.8) je bod
rotace nebo ohnisko systému (4.8).
Důkaz za poněkud obecnějších předpokladů je proveden v monografii P. Hartman: Ordinary
Differential Equations. John Willey&Sons, New York-London-Sydney 1964, kap. VIII.
S použitím terminologie zavedené v definici 13 můžeme část tohoto tvrzení přeformulovat:
Je-li (x∗, y∗) hyperbolický stacionární bod systému (4.8), pak je stejného typu jako stacionární
bod (0,0) linearizace tohoto systému ve stacionárním bodě (x∗, y∗). S využitím výsledků
předchozího příkladu můžeme toto tvrzení vyjádřit formou Tabulky 4.1.
Věta 12 (Dulacovo kritérium). Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω a existují
jednoduše souvislá otevřená množina B ⊆ Ω a spojitě diferencovatelná funkce q : B → R tak,
že výraz
F(x, y) =
∂
∂x
q(x, y)f(x, y) +
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina
{(x, y) ∈ B : F(x, y) = 0} má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému (4.8).
Důkaz: Připusťme, že existuje cyklus C ⊆ B rovnice (4.8) a nechť jeho parametrické vyjádření
je
x = ϕ(t), y = ψ(t);
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 89
přitom funkce ϕ, ψ vyjadřují ω-periodické řešení systému (4.8), tedy
ϕ′
(t) = f ϕ(t), ψ(t) , ψ′
(t) = g ϕ(t), ψ(t) .
Předpokládejme, že křivka C je orientována kladně a má
tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou y a právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou x. Označme A množinu ohraničenou
křivkou C, [a, b] průmět množiny A na osu x,
t0 hodnotu parametru pro niž ϕ(t0) = ϕ(t0 + ω) = b, α
nejmenší kladné číslo pro něž ϕ(t0 + α) = a.
Dále zavedeme funkce m = m(x), resp. M = M(x),
takové, že jejich graf na intervalu [a, b] splývá s dolním,
resp. horním, obloukem křivky C. Pak
y
xba
M(x)
m(x)
C
A
m(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0 + α, t0 + ω],
M(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0, t0 + α].
Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že
A
F(x, y) = 0. (4.10)
Podle Fubiniovy věty nyní platí
I =
A
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dxdy =
=
b
a



M(x)
m(x)
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dy


 dx =
b
a
[q(x, y)g(x, y)]
M(x)
y=m(x) dx =
=
b
a
q x, M(x) g x, M(x) dx −
b
a
q x, m(x) g x, m(x) dx.
V integrálech zavedeme substituci x = ϕ(t), tedy dx = ϕ′(t)dt = f ϕ(t), ψ(t) dt,
I =
t0
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt−
−
t0+ω
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
t0+ω
t0
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
C
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) ds,
90 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
kde
C
Φ(x, y)ds označuje křivkový integrál z funkce Φ přes uzavřenou křivku C. Analogicky
ukážeme, že
J =
A
∂
∂x
q(x, y)f(x, y)dxdy =
C
q ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) ds.
Odtud plyne, že
A
F(x, y) =
A
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
dxdy = J + I = 0,
což je ve sporu s (4.10).
V případě, že by křivka byla orientovaná záporně, provedeme důkaz stejně s příslušnou
změnou znamének.
Pokud by na křivce C existovalo k > 2 bodů, v nichž je tečna rovnoběžný s osou y,
rozdělili bychom interval [t0, t0 + ω] na k subintervalů [t0, t0 + α1], [t0 + α1, t0 + α1 + α2], . . . ,
[t0 + ω − αk, t0 + ω] takových, že na každém z nich oblouk křivky C splyne s grafem nějaké
funkce proměnné x.
Důsledek 6 (Bendixsonovo kritérium). Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω
a existuje jednoduše souvislá otevřená množina B ⊆ Ω tak, že výraz
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina,
na níž je tento výraz nulový má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému
(4.8).
Příklad: Jednoduchý model producent-konzument
V tomto modelu si pod pojmem „producent můžeme představit populaci, která využívá
nějaký neomezený zdroj1, např. zelené rostliny, které využívají sluneční světlo a atmosférický
uhlík. Taková populace by rostla s nějakým kladným růstovým koeficientem, sr. str. 2–4.
„Konzumentem budeme rozumět populaci, pro niž producent představuje zdroj; může
jít například o herbivora živícího se příslušnou rostlinou2. Pro populaci konzumenta je kapacita
prostředí (sr. str. 4) určená velikostí populace producenta. V nejjednodušším přiblížení
můžeme tyto veličiny považovat za úměrné.
Populace konzumenta spotřebovává, a tím ničí, jedince z populace producenta; jinak řečeno,
zvětšuje úmrtnost producentů. Budeme opět jednoduše předpokládat, že toto zvětšení
úmrtnosti producentů je úměrné velikosti populace konzumentů.
Označme N1 = N1(τ), resp. N2 = N2(τ), velikost populace producenta, resp. konzumenta,
v čase τ. Vývoj těchto velikostí můžeme na základě uvedených zjednodušujících předpokladů
1
Ve skutečnosti žádný zdroj není neomezený. Populace navíc potřebuje prostor, který je konečný. Přesnější
by tedy bylo říkat, že pro potřeby modelu zanedbáváme nebo neuvažujeme všechna přirozená omezení.
2
Stručně můžeme mluvit o modelu „tráva-kráva .
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 91
(užitím analogických úvah jako na str. 2–4) modelovat systémem dvou autonomních rovnic
dN1
dτ
= N1(r1 − aN2),
dN2
dτ
= r2N2 1 −
N2
bN1
.
(4.11)
Parametry r1, r2, a, b jsou kladné; r1 je čistý růstový koeficient populace producenta (relativní
přírůstek velikosti za jednotku času v případě, že populace producenta není konzumovaná),
a je koeficient úměrnosti mezi úmrtností producentů způsobenou konzumenty a velikostí populace
konzumentů (podíl producentů zkonzumovaných populací konzumentů o jednotkové
velikosti za jednotku času v populaci jednotkové velikosti), r2 je maximální možný růstový
koeficient populace konzumenta (relativní přírůstek velikosti populace za jednotku času v případě,
že má neomezený přísun poptravy), b je koeficient úměrnosti mezi úživností prostředí
pro konzumenta a velikostí populace producenta.
Velikosti populací jsou čísla nezáporná. Velikost populace producenta v uvažovaném modelu
musí navíc být nenulová, neboť je ve jmenovateli zlomku na pravé straně druhé z rovnic
(4.11). To znamená, že stavový prostor systému (4.11) je množina Ω = (0, ∞) × [0, ∞).
Velikosti populací i čas vyjádříme v nějakých „přirozených jednotkách . Měřítko závisle i
nezávisle proměnných (stavových proměnných i času) změníme tak, že položíme
x =
ab
r1
N1, y =
a
r1
N2, t = r1τ, ̺ =
r2
r1
.
Pak je
x′
=
dx
dt
=
d
ab
r1
N1
dτ
dτ
dt
=
ab
r1
(r1 − aN2) N1
1
r1
=
ab
r2
1
r1 − a
r1
a
y
r1
ab
x = (1 − y)x,
y′
=
dy
dt
=
d
a
r1
N2
dτ
dτ
dt
=
a
r1
r2N2 1 −
N2
bN1
1
r1
=
ar2
r2
1
r1
a
y 1 −
r1
a
y
a
r1x
= ̺y 1 −
y
x
,
Použitá substituce tedy transformuje systém (4.11) na jednodušší systém
x′ = (1 − y)x,
y′ = ̺y 1 −
y
x
(4.12)
s jediným kladným bezrozměrným parametrem ̺. Stavovým prostorem je opět množina Ω =
(0, ∞) × [0, ∞).
Poněvadž x = 0, má systém (4.12) jedinou x-nulklinu, polopřímku y = 1, a jedinou ynulklinu,
polopřímku y = x. V důsledku toho má jediný stacionární bod (x∗, y∗) = (1, 1).
Pod polopřímkou y = 1 směřují trajektorie doprava, nad ní směřují doleva. Nad polopřímkou
y = x směřují trajektorie dolů, pod ní nahoru. Fázový portrét systému (4.12) je zobrazen na
obr. 4.3 vlevo. Z něho je vidět, že trajektorie mohou obíhat v kladném smyslu stacionární
bod. Není ovšem jasné, zda se k němu přibližují, vzdalují se od něho nebo tvoří uzavřené
křivky. Z fázového portrétu tedy není možné uhodnout průběh řešení systému (4.12).
92 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
y
x1
1
Obrázek 4.3: Vlevo: fázový portrét systému (4.12). Vpravo: hypotetická možnost existence
cyklu v případě, že stacionární bod je ohnisko a stok.
Vyšetříme linearizaci systému (4.12). Máme
D f(x) =



1 − y −x
̺
y
x
2
̺ − 2̺
y
x


 ,
tedy
J∗
= J(1, 1) =
0 −1
̺ −̺
a dále
tr J∗
= −̺ < 0, det J∗
= ̺ > 0, (tr J∗
)2
− 4 det J∗
= ̺(̺ − 4).
Odtud vidíme, že stacionární bod (1, 1) je stok. V případě ̺ > 4 je to uzel, v případě ̺ < 4
je to ohnisko.
Tento výsledek ovšem ještě nevylučuje, že by ve stavovém prostoru nemohl být cyklus.
Ten by mohl být uzavřenou křivkou, na niž se z jejího vnějšku trajektorie navíjejí a do vnitřku
se z ní trajektorie odvíjejí; taková možnost je naznačena na obr 4.3 vpravo. Existenci cyklu
systému (4.12) vyloučíme Dulacovým kriteriem (Věta 12). Položíme
q(x, y) =
1
xy
.
Pak je
F(x, y) =
∂
∂x
1
y
− 1 +
∂
∂y
̺
1
x
−
y
x2
= −
̺
x2
< 0
pro všechna x > 0 a proto neexistuje cyklus systému (4.12) v kladném kvadrantu (0, ∞) ×
(0, ∞).
Trajektorie systému (4.12) pro dvě různé hodnoty parametru ̺ jsou zobrazeny na obr. 4.4;
vlevo je stacionární bod (1, 1) ohniskem, vpravo uzlem.
Věta 13 (Poincaré (1854–1912)-Bendixson (1861-1935)). Jestliže rovnice (4.1) má trajektorii
C+ = {x(t) : t ≥ 0}, která je ohraničená a její uzávěr neobsahuje stacionární body rovnice
(4.1), pak existuje cyklus rovnice (4.1), který leží v C+.
4.3. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 93
y
x1
1
y
x1
1
Obrázek 4.4: Trajektorie systému (4.12) se dvěma různými hodnotami parametru ̺. Vlevo:
̺ = 0,5 a stacionární bod je ohnisko, vpravo: ̺ = 8 a stacionírní bod je uzel.
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VII.
4.3 Konzervativní systémy
Nejprve připomeneme dva pojmy, jeden z analýzy a druhý z lineární algebry: Operátor ∇ (nabla,
gradient) přiřazuje spojitě diferencovatelné skalární funkci F proměnných x1, x2, . . . , xn
vektorovou funkci
∇F =
∂F
∂x1
,
∂F
∂x2
, . . . ,
∂F
∂xn
T
.
stejných proměnných.
Matice A se nazývá antisymetrická (polosymetrická, anglicky skew-symmetric), pokud platí
rovnost A = −AT .
Definice 18. Funkce U : Ω → R se nazývá první integrál (invariant) systému (4.1), je-li
spojitě diferencovatelná a v každém bodě x ∈ Ω pro její derivaci vzhledem k systému (4.1)
platí
˙U(x) = ∇U(x)T
f(x) =
n
i=1
∂U
∂xi
(x)fi(x) = 0.
Řekneme, že systém (4.1) je konzervativní, jestliže existuje jeho první integrál.
Věta 14. Nechť U : Ω → R je první integrál systému (4.1) a nechť x( · ) je řešení systému
(4.1). Pak je funkce U x( · ) konstantní.
Důkaz:
d
dt
U(x(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t)
d
dt
xi(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t) fi x(t) = 0.
První integrál tedy vyjadřuje veličinu, která je na trajektoriích systému (4.1) konstantní,
tj. veličinu, která se v průběhu vývoje systému zachovává; název „invariant je tedy adekvátní.
94 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Systém je konzervativní, pokud zachovává (konzervuje) veličinu U. V aplikacích může jít např.
o celkovou energii nebo hmotu a podobně.
Větu lze přeformulovat i takto: trajektorie systému (4.1) jsou vrstevnicemi prvního integrálu.
Znalost prvního integrálu tedy poskytuje informaci o řešení systému (4.1).
Znalost několika prvních integrálů umožňuje také zmenšit dimenzi systému (4.1). Uvažujme
systém (4.1) s počáteční podmínkou (4.3). Nechť k je přirozené číslo splňující nerovnosti
1 ≤ k < n, U1, U2, . . . , Uk jsou první integrály systému (4.1) a nechť vektory
∇U1(x0), ∇U2(x0), . . . , ∇Uk(x0) jsou lineárně nezávislé. Definujme zobrazení Φ =: Ω → Rk,
Φ = (Φ1, Φ2, . . . , Φk)T předpisem
Φ(x) =





U1(x) − U1(x0)
U2(x) − U2(x0)
...
Uk(x) − Uk(x0)





.
Toto zobrazení je spojitě diferencovatelné. Označme
x0 = (x0)1, (x0)2, . . . , (x0)n)
T
= (x0,1, x0,2, . . . , x0,n)T
y = (x1, x2, . . . , xk)T
, z = (xk+1, xk+2, . . . , xn)T
,
y0 = (x0,1, x0,2, . . . , x0,k)T
, z0 = (x0,k+1, x0,k+2, . . . , x0,n)T
.
Pak je Φ(y0, z0) = o a z lineární nezávislosti vektorů ∇U1(x0), ∇U2(x0), . . . , ∇Uk(x0) plyne
det











∂
∂y1
Φ1(y0, z0)
∂
∂y2
Φ1(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ1(y0, z0)
∂
∂y1
Φ2(y0, z0)
∂
∂y2
Φ2(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ2(y0, z0)
...
...
...
...
∂
∂y1
Φk(y0, z0)
∂
∂y2
Φk(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φk(y0, z0)











=
= det











∂
∂x1
U1(x0)
∂
∂x2
U1(x0) · · ·
∂
∂xk
U1(x0)
∂
∂x1
U2(x0)
∂
∂x2
U2(x0) · · ·
∂
∂xk
U2(x0)
...
...
...
...
∂
∂x1
Uk(x0)
∂
∂x2
Uk(x0) · · ·
∂
∂xk
Uk(x0)











= 0.
Jsou splněny předpoklady věty o implicitním zobrazení (viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, Věta 8.5). To znamená, že existuje
jediné spojité zobrazení Ψ = (Ψ1, Ψ2, . . . , Ψk)T : Rn−k → Rk takové, že Φ Ψ(z0), z0 = o.
Substitucí
z1 = xk+1, z2 = xk+2, . . . , zn−k = xn
přejde systém (4.1) na systém
z′
1 =fk+1(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
z′
2 =fk+2(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
...
z′
n−k=fn(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k).
4.3. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 95
Stručně řečeno, složky x1, x2, . . . , xk vypočítáme ze soustavy rovnic
U1(x1, x2, . . . , xn) = U1(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
U2(x1, x2, . . . , xn) = U2(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
...
Uk(x1, x2, . . . , xn) = Uk(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
tak, že je vyjádříme v závislosti na složkách xk+1, xk+2, . . . , xn, a pak je dosadíme do posledních
n − k rovnic systému (4.1). Obecněji: vyjádříme k neznámých funkcí pomocí zbývajících
n − k a dosadíme je do příslušných n − k z původních diferenciálních krovnic.
Příklad
Uvažujme dvourozměrný systém
x′ = x(y − 1),
y′ = −xy
(4.13)
se stavovým prostorem Ω = (0, ∞) × (0, ∞). První integrál tohoto systému lze hledat tak, že
druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme
dy
dx
= −
xy
x(y − 1)
=
y
1 − y
,
což je rovnice se separovanými proměnnými, sr. 1.1. Její řešení je implicitně dáno rovnicí
x + y − ln y = const.
Funkce U : Ω → R definovaná vztahem
U(x, y) = x + y − ln y (4.14)
je prvním integrálem systému (4.13), neboť
˙U(x, y) = 1 · x(y − 1) + 1 −
1
y
· (−xy) = xy − x − xy + x = 0.
Pokud funkce x = x(t), y = y(t) jsou řešením systému (4.13) s počáteční podmínkou
x(0) = x0, y(0) = y0, (4.15)
pak pro všechna t ≥ 0 platí
x(t) + y(t) − ln y(t) = U x(t), y(t) = U(x0, y0) = x0 + y0 − ln y0,
tedy
x(t) = y(t) + ln y(t) + x0 + y0 − ln y0. (4.16)
Dosazením tohoto vyjádření funkce x do druhé rovnice systému (4.13) dostaneme
y′
= −y y + ln
y
y0
+ x0 + y0 . (4.17)
Druhá složka řešení počátečního problému (4.13), (4.15) je tedy řešením (skalární autonomní)
rovnice (4.17) s počáteční podmínkou y(0) = y0; jeho první složka je pak dána rovností (4.16).
96 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Definice 19. Nechť existuje antisymetrická matice S a spojitě diferencovatelná funkce H :
Ω → R taková, že pro všechna x je f(x) = S∇H(x). Pak se systém (4.1) nazývá hamiltonovský,
funkce H se nazývá hamiltonián systému (4.1).
Hamiltonovský systém je tedy tvaru
x′
= S∇H(x).
Věta 15. Hamiltonovský systém je konzervativní, hamiltonián je jeho invariantem.
Důkaz: Nejprve si všimněme, že pro libovolný vektor x ∈ Rn a antisymetrickou matici S řádu
n platí
vT
Sv = vT
Sv
T
= vT
ST
v = −vT
Sv
a tedy vT Sv = 0. Odtud plyne, že
∇H(x)T
f(x) = ∇H(x)T
S∇H(x) = 0.
Příklad
Systém (4.13) vyjádříme v logaritmických souřadnicích, tj. zavedeme substituci
ξ = ln x, η = ln y. (4.18)
Pak je
ξ′
=
x′
x
= y − 1 = eη
− 1, η′
=
y′
y
= −x = −eξ
.
Transformace (4.18) převádí systém (4.13) na systém tvaru
ξ′ = eη − 1,
η′ = −eξ,
(4.19)
který můžeme vektorově zapsat jako
ξ
η
′
=
0 1
−1 0
eξ
eη − 1
.
Matice na pravé straně této rovnice je antisymetrická. K tomu, aby funkce H = H(ξ, η) byla
hamiltoniánem systému (4.19) stačí, aby splňovala vztahy
∂H
∂ξ
= eξ
,
∂H
∂η
= eη
− 1,
tj. aby byla kmenovou funkcí diferenciálu eξdξ + (eη − 1) dη. Zřejmě stačí volit
H(ξ, η) = eξ
+ eη
− η.
Ještě si můžeme povšimnout, že hamiltonián H systému (4.19) je invariantem (4.14) systému
(4.13) transformovaným substitucí (4.18).
4.3. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 97
Definice 20. Existuje-li přirozené číslo k, 1 ≤ k < n a existují-li zobrazení
g = (g1, g2, . . . , gk) : Rn−k
→ Rk
, h = (h1, h2, . . . , hn−k) : Rk
→ Rn−k
tak, že pro všechna x ∈ Ω je
f(x) = f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn) =
= g1(xk+1, xk+2, . . . , xn), g2(xk+1, xk+2, . . . , xn), . . . , gk(xk+1, xk+2, . . . , xn),
h1(x1, x2, . . . , xk), h2(x1, x2, . . . , xk), . . . , hn−k(x1, x2, . . . , xk) ,
pak se systém (4.1) nazývá bipartitní.
Při označení y = (x1, x2, . . . , xk), z = (xk+1, xk+2, . . . , xn) lze bipartitní systém zapsat ve
tvaru
y′
= g(z), z′
= h(y).
Neznámé funkce jsou rozlišeny na dvě sady; derivace funkcí z první sady závisí pouze na
funkcích z druhé sady a naopak.
Příklad (Newtonovy zákony pohybu)
Uvažujme hmotný bod X o hmotnosti m, který má v čase t souřadnice x = x(t), y = y(t),
z = z(t) a na nějž působí síla F = (Fx, Fy, Fz), která může záviset na poloze bodu X.
Polohu bodu X lze zapsat jako vektor x = (x, y, z)T . Označme po řadě v = (vx, vy, vz)T ,
a = (ax, ay, az)T , p = (px, py, pz)T rychlost, zrychlení a hybnost bodu X.
Zákon setrvačnosti říká, že pokud je hmotný bod v klidu nebo vykonává rovnoměrný
přímočarý pohyb, pak jeho hybnost („množství pohybu ) je konstantní a úměrná rychlosti s
koeficientem úměrnosti m, tj. p = mv. Ze zákona setrvačnosti tak dostáváme
x′
= v =
1
m
p a dále a = x′′
=
1
m
p′
, tj. p′
= ma.
Síla působí zrychlení hmotného bodu; definujeme ji jako úměrnou tomuto zrychlení opět s
koeficientem úměrnosti m, tj. F = ma. První dva Newtonovy pohybové zákony tedy můžeme
vyjádřit ve tvaru bipartitního systému
x′
=
1
m
p, p′
= F (x). (4.20)
Nechť nejprve nepůsobí žádná síla, F = o. Pak funkce
U(x, p) = U(x, y, z, px, py, pz) = px + py + pz
je prvním integrálem systému
x′
=
1
m
p, p′
= o. (4.21)
Vskutku
∇U(x, y, z, px, py, pz) = (0, 0, 0, 1, 1, 1)T
, f(x, y, z, px, py, pz) =
px
m
,
py
m
,
pz
m
, 0, 0, 0
T
,
98 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
takže ∇UT f = 0. Analogicky se lze přesvědčit, že každá z funkcí
U1(x, p) = px, U2(x, p) = py, U3(x, p) = pz, U4 = p2
x + p2
y + p2
z
je prvním integrálem systému (4.21); uvedené první integrály U4, resp. U1, U2, U3, vyjadřují
zákon zachování hybnosti, resp. jejích složek.
Uvažujme nyní centrální sílu působící v počátku, tj. sílu, která bod X přitahuje k počátku
nebo ho od něj odpuzuje. O velikosti síly budeme předpokládat, že je přímo úměrná hmotnosti
bodu X a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu X od počátku (takovou
přitažlivou silou je například síla gravitační). Platí tedy
Fx(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
x
x2 + y2 + z2
, Fy(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
y
x2 + y2 + z2
,
Fz(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
z
x2 + y2 + z2
, tj. F (x) =
cm
||x||3 x,
kde || · || nyní označuje euklidovskou velikost (normu) vektoru. Je-li konstanta úměrnosti c
kladná, jedná se o přitažlivou sílu, je-li záporná, jedná se o sílu odpudivou. Systém (4.20) je
nyní tvaru
x′
=
1
m
p, p′
=
cm
||x||3 x. (4.22)
V souřadnicích ho lze rozepsat
x′ =
1
m
px, p′
x =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
x,
y′ =
1
m
py, p′
y =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
y,
z′ =
1
m
pz, p′
z =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
z.
Fázový prostor tohoto systému je množina Ω = (x, p) ∈ R3+3 : ||x|| > 0 . Pro funkci H :
Ω → R definovanou předpisem
H(x, p) =
||p||2
2m
+
cm
||x||
, tj. H(x, y, z, px, py, pz) =
1
2m
(p2
x + p2
y + p2
z) +
cm
x2 + y2 + z2
platí
∂H
∂x
= −
cmx
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂y
= −
cmy
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂z
= −
cmz
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂px
=
px
m
,
∂H
∂py
=
py
m
,
∂H
∂pz
=
pz
m
.
(4.23)
Tedy ∇HT f = 0 a funkce H je prvním integrálem systému (4.22). Výraz
1
2m
(p2
x +p2
y +p2
z) =
1
2m
(m2
x′2
+m2
y′2
+m2
z′2
) =
1
2
m(x′2
+y′2
+z′2
) =
1
2
m x′ 2
=
1
2
m ||v||2
4.4. STABILITA 99
vyjadřuje kinetickou energii hmotného bodu X, výraz
cm
x2 + y2 + z2
=
cm
||x||
vyjadřuje jeho energii potenciální. První integrál je tedy celkovou mechanickou energií hmotného
bodu X, která se zachovává.
Z vyjádření (4.23) vidíme, že systém (4.22) lze také zapsat ve tvaru








x
y
z
px
py
pz








′
=








0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0






























∂
∂x
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂y
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂z
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂px
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂py
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂pz
H(x, y, z, px, py, pz)






















nebo stručně
x
p
′
=
O E
−E O
∇H(x, p),
kde O, resp. E, je nulová, resp. jednotková, matice. Odtud vidíme, že první integrál H je
současně hamiltoniánem systému (4.22). Označíme-li nyní
∇x =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
T
, ∇p =
∂
∂px
,
∂
∂py
,
∂
∂pz
T
můžeme systém (4.22) také zapsat jako hamiltonovský systém
x′
= ∇pH(x, p), p′
= −∇xH(x, p).
4.4 Stabilita
Definice 21 (Persidskij (1903–1970)). Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (4.1) definované na
intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke každému ε > 0 existuje
δ > 0 tak, že pro každé t0 ≥ 0 všechna řešení x = x(t) systému (4.1) splňující podmínku
||x(t0) − x0(t0)|| < δ existují pro všechna t ≥ t0 a splňují pro ně nerovnost ||x(t) − x0(t)|| < ε.
Není-li řešení x0 = x0(t) systému (4.1) stejnoměrně stabilní, nazývá se nestabilní.
Definice 22 (Ljapunov (1857–1918)). Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (4.1) definované
na intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá stejnoměrně asymptoticky stabilní, je-li stejnoměrně
stabilní a existuje δ > 0 tak, že pro každé t1 ≥ 0 a všechna řešení x = x(t) systému (4.1)
splňující podmínku ||x(t1) − x0(t1)|| < δ platí lim
t→∞
||x(t) − x0(t)|| = 0.
100 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Ze struktury prostoru řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty
(sr. 3.3) plynou následující tři věty.
Věta 16. Buď A konstantní matice. Jestliže všechny kořeny její charakteristické rovnice
det(A − λE) = 0 (vlastní čísla matice A) mají nekladnou reálnou část a ty s nulovou reálnou
částí jsou jednoduché, pak řešení x0 = x0(t) ≡ o lineárního autonomního systému
x′
= Ax (4.24)
je stejnoměrně stabilní.
Věta 17. Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice A má kladnou reálnou část, pak řešení
x0 = x0(t) ≡ o lineárního autonomního systému (4.24) je nestabilní.
Věta 18. Řešení x0 = x0(t) ≡ o lineárního autonomního systému (4.24) je stejnoměrně
asymptoticky stabilní právě tehdy, když každé vlastní číslo matice A má zápornou reálnou
část.
Uvažujme nyní perturbovaný lineární systém s konstantními koeficienty
x′
= Ax + g(x) . (4.25)
Věta 19. Buď Y = Y(t) fundamentální matice řešení systému (4.24). Jestliže existují konstanty
K > 0 a γ <
1
K
takové, že
t
0
Y(t)Y(s)−1
ds ≤ K pro t ≥ 0 (4.26)
a ||g(x)|| ≤ γ ||x|| pro x ∈ Ω, pak řešení x0 = x0(t) ≡ o systému (4.25) je stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 130–131.
Poznámka 4. Podmínka (4.26) zaručí stejnoměrnou asymptotickou stabilitu nulového řešení
systému (4.24). Věta říká, že je-li perturbace g v jistém smyslu dostatečně malá, zůstává
zachována stejnoměrná asymptotická stabilita nulového řešení rovnice (4.25).
Z hlediska aplikací je důležité vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních
řešení (stacionárních bodů) rovnice (4.1).
Je-li funkce f dvakrát spojitě diferencovatelná a f(x∗) = o, pak podle Taylorovy věty
pro funkce více proměnných platí
f(x) = A(x − x∗
) + r1(x, x∗
) ,
kde A = (aij) =
∂fi
∂xj
(x∗) a r1 je příslušný Taylorův zbytek. Vyšetřování stejnoměrné
asymptotické stability konstantních řešení rovnice (4.1) lze transformací y = x − x∗ převést
na vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability nulového řešení rovnice
y′
= Ay + g(y),
kde g(y) = r1(y + x∗, x∗) a tu vyšetřit podle věty 19.
4.4. STABILITA 101
Věta 20. Buď x∗ stacionární bod systému (4.1) a nechť zobrazení f je spojitě diferencova-
telné.
Mají-li všechna vlastní čísla variační matice Df(x∗) = J(x∗) záporné reálné části, pak
konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (4.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo variační matice Df(x∗) = J(x∗) s kladnou reálnou částí, pak
je konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (4.1) nestabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 137–138.
První tvrzení věty 20 říká, že stok je asymptoticky stabilní, sr. def. 13.
Pojmy „stabilní a „nestabilní se objevily již v Definicích 14 a 17. Porovnáním s Definicemi
21 a 22 vidíme, že byly použity korektně. Déle porovnáním Vět 20 a 11 vidíme, že pojmy
„stabilní a „nestabilní použité v Tabulce 4.1 odpovídají terminologii zavedené v této části
textu.
4.4.1 Přímá Ljapunovova metoda
V této části budeme symbolem ϕ(t; x0) = ϕ1(t; x0), . . . , ϕn(t; x0) označovat řešení počáteční
úlohy (4.1), (4.2).
Definice 23. Buď ˆx ∈ Ω a G okolí bodu ˆx ve fázovém prostoru Ω. Spojitá funkce V : G → R
se nazývá ljapunovská funkce systému (4.1) v bodě ˆx, jestliže
(i) V (ˆx) = 0 a V (x) > 0 pro každé x ∈ G \ {ˆx}.
(ii) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ◦ϕ( · ; η) (tj. V ϕ(t; η) chápeme jako funkci jedné
reálné proměnné t) nerostoucí pro všechna t ≥ 0.
Věta 21. Existuje-li ljapunovská funkce systému (4.1) v bodě x∗, pak x∗ je stacionárním
bodem systému (4.1) a konstantní řešení x(t) ≡ x∗ tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Pokud navíc podmínku (ii) z definice 23 lze nahradit silnější podmínkou
(ii∗) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ◦ ϕ( · ; η) klesající pro všechna t ≥ 0,
pak je konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (4.1) stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz: Pokud by existovalo τ > 0 takové, že ϕ(τ; x∗) = x∗, pak by V ϕ(τ; x∗) > 0 =
V ϕ(0; x∗) a funkce V ϕ( · ; x∗) by nebyla nerostoucí. Bod x∗ je tedy stacionárním bodem
systému (4.1).
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x∗ = o. V opačném případě bychom totiž
mohli systém (4.1) substitucí y = x − x∗ transformovat na systém y′ = f(y + x∗), pro který
je o stacionárním bodem.
Buď ε > 0 libovolné číslo takové, že {x ∈ Rn : ||x|| ≤ ε} ⊆ G a označme
γ = min {V (x) : ||x|| = ε} .
Pak γ > 0 a V (x) ≥ γ pro každé x takové, že ||x|| = ε. Ze spojitosti funkce V plyne, že
existuje δ > 0 takové, že |V (x) − 0| = V (x) < γ pro všechna x taková, že ||x|| < δ. Zřejmě je
δ < ε.
102 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Buď dále ξ ∈ Ω takové, že ||ξ|| < δ. Pak V ϕ(0; ξ) < γ a poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je
nerostoucí, platí
V ϕ(t; ξ) < γ pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ). (4.27)
Kdyby nyní existovalo t1 > 0 takové, že ||ϕ(t1, ξ)|| ≥ ε, pak by ze spojitosti funkce ||ϕ( · ; ξ)||
a z Bolzanovy věty plynula existence t0 ∈ (0, t1) takového, že ||ϕ(t0; ξ)|| = ε a platilo by
V ϕ(t0; ξ) ≥ γ, což by byl spor s (4.27).
Pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ) tedy platí ||ϕ(t; ξ)|| < ε. Odtud
navíc podle důsledku 3 věty 5 plyne, že ϕ( · ; ξ) je definována pro všechna t > 0. Tvrzení
o stejnoměrné stabilitě je tedy dokázáno.
V případě, že ξ = x∗, platí: ϕ(t; ξ) = ϕ(t; x∗) = x∗ pro každé t ≥ 0, takže lim
t→∞
ϕ(t; ξ) =
x∗.
Nechť ξ = x∗ = o a funkce V ϕ( · ; ξ) je klesající. Poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je monotonní,
existuje
lim
t→∞
V ϕ(t; ξ) = α ∈ R (4.28)
a z nezápornosti funkce V plyne α ≥ 0. Připusťme α > 0. Z toho, že
lim
x→x∗
V (x) = V (x∗
) = 0,
plyne existence t2 > 0 a β > 0 takových, že ||ϕ(t; ξ)|| ≥ β pro všechna t ≥ t2. Pro všechna
t ≥ t2 je tedy
β ≤ ||ϕ(t; ξ)|| ≤ ε.
Položme v(z) = V ϕ(1; z) − V ϕ(0; z) . Funkce v je podle věty 7 spojitá na kompaktní
množině {z ∈ Rn : β ≤ ||z|| ≤ ε} a je zde záporná. Podle Weierstrassových vět existuje
∆ = max {v(z) : β ≤ ||z|| ≤ ε} ;
je ∆ < 0 a pro k ∈ N platí
V ϕ(t2 + k; ξ) = V ϕ(t2 + k; ξ) − V ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) =
= v ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) = . . .
· · · =
k
i=1
v ϕ(t2 + i − 1; ξ) + V ϕ(t2; ξ) ≤ k∆ + V ϕ(t2; ξ) .
Poněvadž lim
k→∞
k∆ = −∞, je také lim
k→∞
V ϕ(t2 + k; ξ) = −∞, což je spor s (4.28). Tento
spor dokazuje, že α = 0. Ze spojitosti funkce V , z faktu ϕ(t; ξ) = x∗ pro t > 0 a ξ = x∗,
z podmínky (i) v definici 23 a ze vztahu (4.28) nyní plyne lim
t→∞
ϕ(t; ξ) = x∗. Tím je dokázáno
i tvrzení o stejnoměrné asymptotické stabilitě.
Důsledek 7. Buď V : G → R diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (i) z definice
23 a nechť pro každé x ∈ G platí
˙V (x) =
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) ≤ 0. (4.29)
4.4. STABILITA 103
Funkce V je ljapunovskou funkcí systému (4.1) v bodě x∗ a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗
tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Jestliže pro každé x ∈ G \ {x∗} platí ˙V (x∗) < 0, pak funkce V splňuje podmínku (ii∗)
z věty 21 a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗ tohoto systému je stejnoměrně asymptoticky
stabilní.
Důkaz: Pro každé η ∈ G a každé t ≥ 0 je x = ϕ(t, η) ∈ G a podle věty o derivaci složené
funkce platí
d
dt
V ϕ(t; η) =
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η)
dϕi(t; η)
dt
=
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η) fi ϕ(t; η) =
=
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) = ˙V (x).
Odtud a ze známých vět o vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné pomocí derivace
plynou obě tvrzení.
Je-li U diferencovatelná funkce definovaná na G ⊆ Ω, pak výraz ˙U(x) definovaný vztahem
˙U(x) =
n
i=1
∂U(x)
∂xi
fi(x)
se nazývá derivace funkce U vzhledem k systému (4.1).
Příklad
Uvažujme Verhulstovu logistickou rovnici
x′
= rx 1 −
x
K
. (4.30)
Kladné stacionární řešení této rovnice je x ≡ K. Položme G = (0, ∞) a
V (x) =
K
2r
(x − K)2
.
Pak V (K) = 0, V (x) > 0 pro x = K a dále
˙V (x) =
∂
∂x
K
2r
(x − K)2
rx 1 −
x
K
=
K
2r
2(x − K)rx
K − x
K
= −x(x − K)2
< 0
pro každé x > 0, x = K. Funkce V je tedy ljapunovskou funkcí rovnice (4.30) a její stacionární
řešení x ≡ K je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Položme nyní
W(x) =
x
K
ξ − K
ξ
dξ.
Pak W(K) = 0. Pro x > K je horní mez integrálu větší než dolní a integrujeme kladnou
funkci; pro x ∈ (0, K) naopak je horní mez integrálu menší než dolní a integrujeme zápornou
104 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
funkci. Integrál je tedy pro jakékoliv x = K kladný, takže W(x) > 0 pro x ∈ G {K}. Dále
pro tato x platí
˙W(x) =
x − K
x
rx 1 −
x
K
= −
r
K
(x − K)2
≤ 0
pro každé x > 0, přičemž rovnost nastane pouze pro x = K. Funkce W je tedy také ljapunovskou
funkcí Verhulstovy logistické rovnice (4.30).
Příklad především ukazuje, že ljapunovských funkcí rovnice (a tím spíše systému) může
být více. Pokud však Verhulstovu rovnici chápeme jako model růstu populace (sr. str. 4), pak
má druhá z uvedených ljapunovských funkcí i jistou interpretaci.
Integrovaný výraz vyjadřuje relativní odchylku velikosti populace od kapacity prostředí (tj.
od rovnovážné velikosti) vzhledem k velikosti populace. To lze chápat jako jakousi „sílu nebo
„napětí , které na populaci dané velikosti působí. Tuto „sílu jsme integrovali podle velikosti
populace na intervalu od rovnováhy do jisté hodnoty velikosti populace, což vyjadřuje „něco
jako práci , kterou je potřeba vykonat na vychýlení velikosti populace z rovnovážné hodnoty.
Jinak řečeno, výraz W(x) vyjadřuje jakousi „potenciální energii populace o velikosti x.
Tuto „fyzikální metaforu lze ještě vylepšit. Populace se musí nacházet na nějakém území.
Jeho rozlohu označíme S; vyjadřujeme ji v jednotkách, které jsou druhou mocninou jednotky
délky (m2). Za velikost populace budeme považovat její celkovou biomasu na uvažovaném
území; vyjadřujeme ji v jednotkách hmotnosti (kg). Pro populaci velikosti x zavedeme její
„potenciální energii výrazem
E(x) = r2
SW(x).
Růstový koeficient r je vyjádřen v jednotkách, které jsou převrácenou hodnotou jednotky času
(s−1) a veličina W je vyjádřena ve stejných jednotkách, jako velikost populace (kg). Veličina
E zavedená předchozí rovností je tedy vyjádřena v jednotkách kg m2s−2, tj. v joulech. Ještě
poznamenejme, že integrací můžeme funkci E vyjádřit ve tvaru
E(x) = r2
S x − K 1 + ln
x
K
.
Funkce E nabývá svého minima v hodnotě K, tj. v hodnotě, ke které se přibližuje velikost
populace. Výsledek lze nyní zformulovat: populace se vyvíjí tak, aby minimalizovala svou
potenciální energii.
Důsledek 8. Buď V : G → R diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (i) z definice
23 a nechť pro každé x ∈ G platí nerovnost (4.29). Jestliže existuje diferencovatelná
funkce F : G → R taková, že
A = x : ˙V (x) = 0 = {x : F(x) = 0}
a pro každé x ∈ A {x∗} platí
˙F(x) =
n
i=1
∂F(x)
∂xi
fi(x) = 0, (4.31)
pak funkce V splňuje podmínku (ii∗) z věty 21 a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému
(4.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
4.5. PODMNOŽINY STAVOVÉHO PROSTORU 105
Důkaz: Množina A je (n − 1)-rozměrná diferencovatelná varieta (nadplocha) a vektor
ν(x) =
∂F(x)
∂x1
,
∂F(x)
∂x2
, . . . ,
∂F(x)
∂xn
T
je normálovým vektorem k této varietě v bodě x ∈ A.
Nechť nyní bod x ∈ A {x∗} je libovolný. Vektor f(x) je tečným vektorem k trajektorii
systému (4.1) v bodě x. Z nerovnosti (4.31) nyní plyne, že vektory ν(x) a f(x) nejsou kolmé,
tedy že vektor f(x) není tečným vektorem k varietě A v bodě x. Jinak řečeno, trajektorie
varietu A v bodě x protíná pod nějakým nenulovým úhlem, přechází z jedné její strany na
druhou. Jestliže tedy existuje nějaké t1 ≥ 0 takové, že ϕ(t1; η) = x, pak existuje ε > 0 takové,
že ϕ(t1 + τ; η) ∈ A a ϕ(t1 − τ; η) ∈ A, tj. ˙V ϕ(t1 + τ; η) < 0 a ˙V ϕ(t1 − τ; η) < 0, pro
všechna τ ∈ (0, ε). Funkce ˙V ◦ϕ( · ; η) je tedy v bodě t1 klesající. Poněvadž bod x ∈ A {x∗}
byl libovolný, je tato funkce klesající v každém t ≥ 0.
Příkladem na použití tohoto tvrzení je vyšetřování stability kladného stacionárního řešení
v modelu trofického řetězce, viz 5.5.
4.5 Podmnožiny stavového prostoru
Definice 24. Neprázdná podmnožina A fázového prostoru Ω systému (4.1) se nazývá
pozitivně invariantní (invariantní vpřed, forward invariant), pokud pro libovolné řešení x( · )
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0;
negativně invariantní (invariantní vzad, backward invariant), jestliže pro každé řešení x( · )
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≤ 0;
invariantní, je-li současně pozitivně i negativně invariantní.
Poznámka 5. Povšimněme si ještě dvou vlastností invariantních množin:
1. Jsou-li množiny A, B ∈ Ω pozitivně (resp. negativně) invariantní, pak také množiny
A ∩ B a A ∪ B jsou pozitivně (resp. negativně) invariantní.
2. Libovolná trajektorie C systému (4.1) je invariantní množinou tohoto systému.
Definice 25. Nechť A, B ⊆ Ω, B = ∅ a ̺ je nějaká metrika na Ω ekvivalentní s euklidovskou.
Řekneme, že
množina A atrahuje (přitahuje) množinu B (množina A je atraktorem množiny B), jestliže
pro každé řešení systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B platí, že
lim
t→∞
̺ x(t), A = 0;
množina A je (globální) atraktor, jestliže A přitahuje Ω;
množina A absorbuje množinu B, jestliže A je pozitivně invariantní a ke každému řešení x
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B existuje T ≥ 0 takové, že x(T) ∈ A;
množina A je globálně absorbující, jestliže absorbuje množinu Ω.
106 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Poznámka 6. Nechť x( · ) je řešením systému (4.1) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ Ω.
Pokud množina A je ω-limitní množinou řešení x( · ), pak je pozitivně invariantním atraktorem
množiny {x0}.
Poznámka 7. Trajektorii C systému (4.1) nazveme limitní trajektorií, jestliže existuje množina
B ⊆ Ω taková, že B ∩ (Ω \ C) = ∅ a C atrahuje množinu B. Je-li C navíc cyklem, nazveme
ho limitním cyklem.
Poznámka 8. Buď i ∈ {1, 2, . . . , n}. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro
každý bod x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω splňující podmínku |xi| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ|xi|,
pak množina Ai = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |xi| ≤ K} je globálně absorbující množinou
systému (4.1).
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu Ai. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · ) systému (4.1) takové, že pro všechna t ≥ 0 je |xi(t)| >
K. Položme u(t) = |xi(t)|. Pak pro všechna t ≥ 0 je
u′
(t) =
d
dt
|xi(t)| = sgn xi(t) fi x(t) ≤ −δ|xi(t)| = −δu(t),
neboli
u′(t)
u(t)
≤ −δ.
Integrací této nerovnosti v mezích od 0 po t dostaneme ln u(t) − ln u(0) ≤ −δt, tj.
0 ≤ |xi(t)| = u(t) ≤ u(0)e−δt
= |xi(0)|e−δt
pro libovolné t ≥ 0. Odtud plyne, že lim
t→∞
|xi(t)| = 0, což je ve sporu s předpokladem |xi(t)| >
K > 0.
Množina Ai má neprázdný průnik s libovolnou trajektorií, je tedy neprázdná. Ukážeme, že je
navíc pozitivně invariantní. Připusťme, že existuje řešení
x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · )
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ Ai takové, že pro jisté t1 > 0 je x(t1) ∈ Ai, tj.
|xi(t1)| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, |xi(t)| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce xi( · ) a z vlastností suprema plyne, že T < t1, xi(T) = K a
funkce xi( · ) je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
|xi(t)|
t=T
= sgn xi(T) fi x(T) ≤ −δ|xi(t)| = −δK < 0,
což je spor s faktem, že funkce xi( · ) je v T rostoucí.
Definice 26. Systém (4.1) se nazývá dissipativní, jestliže existuje ohraničená globálně absorbující
množina.
4.5. PODMNOŽINY STAVOVÉHO PROSTORU 107
Z definice bezprostředně plyne:
Poznámka 9. Je-li systém (4.1) dissipativní, pak každé jeho řešení je ohraničené.
V aplikacích budou užitečné následující vlastnosti dissipativních systémů:
Poznámka 10. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n}
a všechna x ∈ Ω taková, že ||x|| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ,
pak je systém (4.1) dissipativní a globálně absorbující je množina A = {x ∈ Ω : ||x|| ≤ K}.
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu A. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) systému (4.1) takové, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0. Pak ||x(t)|| > K pro všechna
t > 0, a tedy pro libovolné t > 0 platí
d
dt
||x(t)|| =
n
i=1
d
dt
|xi(t)| =
n
i=1
sgn xi(t) x′
i(t) =
n
i=1
sgn xi(t) fi x(t) ≤
n
i=1
(−δ) = −nδ.
Integrací této nerovnosti dostaneme ||x(t)|| ≤ ||x(0)|| − nδt, takže pro t ≥
||x(0)|| − K
nδ
je
||x(t)|| ≤ K, což je spor. Každá trajektorie má tedy s množinou A neprázdný průnik, což také
znamená, že množina A je neprázdná.
Ukážeme, že množina A je navíc pozitivně invariantní. Nechť x( · ) je řešením systému (4.1)
s počáteční podmínkou x(0) ∈ A. Připusťme, že existuje t1 > 0, pro něž x(t1) ∈ A. Pak
||x(t1)|| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, ||x(t)|| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce ||x( · )|| a z vlastností suprema plyne, že ||x(T)|| = K a funkce
||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
||x(t)||
t=T
=
n
i=1
sgn xi(T) x′
i(T) =
n
i=1
sgn xi(T) fi x(T) ≤ −nδ < 0,
což je spor s tím, že funkce ||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Pro všechna t > 0 je tedy x ∈ A a
množina A je invariantní.
Poznámka 11. Nechť ke každému i ∈ {1, 2, . . . , n} existují kladné konstanty Ki, δi takové, že
pro všechna x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω z nerovnosti |xi| ≥ Ki plyne nerovnost
(sgn xi)fi(x) ≤ −δi|xi|.
Pak je systém (4.1) dissipativní s globálně absorbující množinou
A = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |x1| ≤ K1, |x2| ≤ K2, . . . , |xn| ≤ Kn} .
Důkaz: Položme Ai = {x ∈ Ω : |xi| ≤ Ki}. Pak každá z množin Ai je podle poznámky 8
globálně absorbující množinou a A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An. Podle poznámky 5 je množina A
pozitivně invariantní. Ukážeme, že je také globálně absorbující.
Buď x(t) libovolné řešení systému (4.1). Podle poznámky 8 existuje t1 ≥ 0 takové, že |x1(t1)| ≤
K1 pro všechna t ≥ t1. Dále existuje t2 ≥ t1 takové, že pro všechna t ≥ t2 je |x2(t2)| ≤ K2 atd.
Nakonec existuje tn ≥ tn−1 takové, že |xn(t)| ≤ Kn pro všechna t ≥ tn. Takže pro všechna
t ≥ tn je |x1(t)| ≤ K1, |x2(t)| ≤ K2, . . . , |xn(t)| ≤ Kn, tj. x(t) ∈ A.
108 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE A SYSTÉMY
Část II
Aplikace
109
Kapitola 5
Lotkovy-Volterrovy systémy
x′
i = xi

bi −
n
j=1
aijxj

 , i = 1, 2, . . . , n. (5.1)
Tyto systémy modelují vývoj společenstva (časové změny velikostí jednotlivých populací,
z nichž se společenstvo skládá). Neznámé funkce a parametry interpretujeme následovně:
xi = xi(t) . . . velikost i-té populace
bi . . . růstový koeficient izolované i-té populace (vnitřní koeficient růstu i-té populace)
bi > 0 . . . i-tá populace je soběstačná (producent)
bi ≤ 0 . . . i-tá populace závisí na jiných populacích (konzument)
aii . . . koeficient vnitrodruhových vztahů i-té populace
aii > 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová konkurence
aii < 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová kooperace
aij . . . koeficient vlivu j-té populace na i-tou
min {aij, aji} > 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu konkurence
max {aij, aji} < 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu mutualismu (symbiózy)
aij < 0 < aji . . . j-tá populace je kořistí (hostitelem) i-té populace;
i-tá populace je predátorem (parazitem) j-té populace
aij > 0 . . . j-tá populace je amenzalistou i-té populace
aij < 0 . . . j-tá populace je komenzalistou i-té populace
Fázový prostor systému (5.1) je n-rozměrný uzavřený kladný orthant
¯Rn
+ = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0} .
111
112 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
5.1 Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické
rovnice
Logistickou rovnici
x′
= rx 1 −
x
K
,
v níž jsou oba parametry r (vnitřní koeficient růstu) a K (kapacita prostředí pro modelovanou
populaci) kladné, lze považovat za jednorozměrný Lotkův-Volterrův systém s b1 = r
a a11 = r/K, tedy za model soběstačné populace s vnitrodruhovou konkurencí (tak byla
Verhulstova rovnice sestavena). Také platí K = b1/a11; odtud lze usoudit, že pro soběstačnou
populaci s vnitrodruhovou konkurencí představuje podíl vnitřního koeficientu růstu a
koeficientu vnitrodruhové konkurence kapacitu prostředí neovlivněnou ostatními populacemi
společenstva.
Jinou interpretaci logistické rovnice lze získat následující úvahou: Označme
y = 1 −
x
K
=
K − x
K
.
Poněvadž y′ = −x′/K, dostaneme
x′ = rxy
y′ = −
r
K
xy.
(5.2)
Jedná se o dvojrozměrný Lotkův-Volterrův systém s parametry
b1 = b2 = 0, a11 = a22 = 0, a12 = r, a21 = −
r
K
.
Proměnnou y lze interpretovat jako relativní dostupnost zdrojů pro modelovanou populaci
vzhledem k celkové kapacitě prostředí K. Velikost populace a relativní dostupnost zdrojů jsou
tedy ve vztahu predace, obě tyto „složky společenstva nejsou ani producenty ani konzumenty
a neprojevuje se u nich žádný vnitrodruhový vztah.
Poznamenejme, že systém (5.2) nemá izolované stacionární body.
Systém (5.2) lze také přepsat ve vektorovém tvaru
x
y
′
=
r
K
0 xy
−xy 0
1
K
=
r
K
0 xy
−xy 0
∇(x + Ky).
Matice
S = S(x, y) =
r
K
0 xy
−xy 0
je antisymetrická. To znamená, že systém (5.2) je hamiltonovský a funkce H(x, y) = x + Ky
je jeho hamiltoniánem (sr. definici 19 a větu 15). Invariantem systému (5.2) je součet velikosti
populace a (absolutní) dostupnosti zdrojů. Tento invariant je podle definičního vztahu
proměnné y také roven
x + Ky = x + K 1 −
x
K
= K,
což je kapacita prostředí z Verhulstovy logistické rovnice. Tyto výsledky jsou matematicky
triviální, umožňují ale alternativní interpretaci kapacity prostředí a tím snad i lepší vhled do
problematiky populační ekologie.
5.2. OBECNÉ VLASTNOSTI LOTKOVÝCH-VOLTERROVÝCH SYSTÉMŮ 113
5.2 Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů
Zavedeme označení
b =



b1
...
bn


 , A =



a11 · · · a1n
...
...
...
an1 · · · ann


 ,
matice A se nazývá matice interakcí společenstva. Pro libovolný vektor v = (v1, v2, . . . , vn)T
položíme
diag v =







v1 0 · · · 0 0
0 v2 · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 · · · vn−1 0
0 0 · · · 0 vn







a vektory ze standardní orthonormální báze n-rozměrného vektorového prostoru označíme ej,
ej
=





δ1j
δ2j
...
δnj





, kde δij =
0, i = j
1, i = j
je Kroneckerův symbol.
Systém (5.1) lze zapsat jako vektorovou rovnici
x′
= diag x (b − Ax) . (5.3)
Je-li matice A regulární, existuje nejvýše jeden stacionární bod x∗ = A−1b systému (5.1)
takový, že všechny jeho složky jsou kladné. Takový stacionární bod budeme nazývat vnitřní.
Pokud vnitřní stacionární bod existuje, lze tuto skutečnost interpretovat jako možnou koexistenci
všech populací společenstva, přičemž koexistující populace mají dynamicky stálé
velikosti dané složkami vektoru x∗.
Parciální derivace pravé strany rovnice (5.3) podle j-té proměnné je
∂
∂xj
diag x (b − Ax) =
∂
∂xj
diag x (b − Ax) + diag x
∂
∂xj
(b − Ax) =
= diag ej
(b − Ax) + diag x −A · ej
a pro vnitřní stacionární bod x∗ platí b − Ax∗ = O. Proto variační matice systému (5.1) ve
vnitřním stacionárním bodě x∗ je
J(x∗
) = − diag x∗
· A.
Odtud a z 20 plyne:
Věta 22. Buď x∗ stacionární bod systému (5.1), jehož všechny složky jsou nenulové. Mají-li
všechna vlastní čísla matice diag x∗ · A kladnou reálnou část, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (5.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo matice diag x∗ · A které má zápornou reálnou část, pak je
konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1) nestabilní.
114 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Poznámka 12. Pro čtvercovou matici M položme SM = 1
2 M + MT . Matice SM je zřejmě
symetrická.
Pro každý n-rozměrný vektor v a čtvercovou matici M řádu n platí
vT
Mv = vT
SMv.
Důkaz: Poněvadž vT Mv je číslo, tj. čtvercová matice řádu 1, platí
vT
Mv = vT
Mv
T
= vT
MT
v.
Odtud plyne
vT
Mv = 2vT 1
2
(M + MT
) −
1
2
MT
v = 2vT
SM v − vT
MT
v = 2vT
SM v − vT
Mv
a tato rovnost je již ekvivalentní s dokazovaným vztahem.
Věta 23. Buď x∗ = (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = A−1b vnitřní stacionární bod systému (5.1). Jestliže
existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými a existuje okolí U
bodu x∗ takové, že pro všechna x ∈ U je výraz
(x − x∗
)T
S(diag c A) (x − x∗
) (5.4)
nezáporný, pak funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ
je ljapunovskou funkcí systému (5.1), tj. konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1) je stejnoměrně
stabilní.
Pokud je výraz (5.4) pro všechna x ∈ U \ {x∗} kladný, pak je toto řešení stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
Důkaz: Funkce V je definována pro všechna x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0. Platí
V (x∗
) =
n
i=1
ci
x∗
i
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ = 0.
Pro každé xi > 0 je
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ ≥ 0,
neboť integrovaná funkce je kladná pro xi > x∗
i (tj. v případě, že horní mez integrálu je větší,
než dolní mez) a záporná pro xi < x∗
i (horní mez integrálu menší než dolní mez). Rovnost
nastane právě tehdy, když xi = x∗
i . Odtud plyne, že pro x = x∗ a takové, že všechny jeho
složky jsou kladné, platí V (x) > 0.
Dále podle věty o derivaci integrálu jako funkce horní meze platí
∂V (x)
∂xi
= ci
xi − x∗
i
xi
,
5.3. KOLOBĚH DUSÍKU V PLANKTONU 115
a poněvadž b = Ax∗, platí dále
bi =
n
j=1
aijx∗
j ,
takže derivace funkce V vzhledem k systému (5.1) je
˙V (x) =
n
i=1
ci
xi − x∗
i
xi
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 =
n
i=1
ci (xi − x∗
i )


n
j=1
aijx∗
j −
n
j=1
aijxj

 =
= −
n
i=1
n
j=1
(xi − x∗
i ) ciaij xj − x∗
j = − (x − x∗
)T
(diag c A) (x − x∗
) =
= − (x − x∗
)T
S (diag c A) (x − x∗
)
(poslední rovnost plyne z poznámky 12). Věta nyní plyne z věty 21 a jejího důsledku 7.
Důsledek 9. Nechť systém (5.1) má vnitřní stacionární bod x∗ = (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n).
Jestliže existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými takový,
že matice
S (diag c A) (5.5)
je pozitivně semidefinitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1) je stejnoměrně
stabilní.
Pokud je matice (5.5) pozitivně definitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (5.1)
je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Poznámka 13. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 23. Ljapunovská funkce systému (5.1)
je tvaru
V (x) =
n
i=1
ci xi − x∗
i 1 − ln
xi
x∗
i
a její derivace vzhledem k systému (5.1) je rovna
˙V (x) = −(x − x∗
)T
S(diag cA)(x − x∗
).
5.3 Koloběh dusíku v planktonu
Uvažujme proces schématicky znázorněný na obrázku 5.1: Ve fytoplanktonu probíhá fotosyntéza
a při ní se dusík z okolního prostředí váže v jeho buňkách; fytoplankton slouží jako
potrava pro zooplankton, takže dusík ze zkonzumovaného fytoplanktonu se stává součástí zooplanktonu.
Plankton v důsledku svého metabolismu dusík opět vylučuje do okolního prostředí
a také při rozkladu mrtvého planktonu se dusík uvolňuje. Dusík z prostředí není odebírán ani
není nějakým způsobem do něho přidáván. Dusíku vylučovaného planktonem je tím více,
čím je více planktonu, dusíku vázaného ve fytoplanktonu přibývá tím více, čím je více volného
dusíku a fytoplanktonu; dusíku vázaného v zooplanktonu přibývá tím více, čím více
je fytoplanktonu pozřeného zooplanktonem a toho je tím více, čím více je fytoplanktonu i
zooplanktonu. Označme po řadě N, P a Z množství dusíku v prostředí, vázaného ve fytoplanktonu
a vázaného v zooplanktonu. Všechny tyto veličiny se mění s časem, tj. N = N(t),
116 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
✲ ✲
✻
❄ ❄
a b
c dN
dusík v prostředí
P
fytoplankton
Z
zooplankton
Obrázek 5.1: Schéma koloběhu dusíku
P = P(t) a Z = Z(t). Celkové množství dusíku v systému je rovno V = N + P + Z. Koloběh
dusíku lze nejjednodušeji modelovat systémem rovnic
N′ = aP + bZ − cNP,
P′ = cNP − dPZ − aP,
Z′ = dPZ − bZ;
všechny parametry a, b, c, d jsou kladné.
Nejprve si všimněme, že V ′ = N′ + P′ + Z′ = 0, což znamená, že celkové množství dusíku
V je konstantní. Proto lze množství dusíku v prostředí vyjádřit jako N(t) = V − P(t) − Z(t)
a dosadit do druhé a třetí rovnice systému. Dostaneme
P′ = (V c − a)P − cP2 − (c + d)PZ = P V c − a − cP − (c + d)Z ,
Z′ = −bZ + dPZ = Z − b + dP .
(5.6)
Jedná se tedy o Lotkův-Volterrův systém s vektorem růstových koeficientů a maticí interakcí
b =
V c − a
−b
a A =
c −(c + d)
d 0
.
To je systém typu dravec-kořist; dravcem je zooplankton, kořistí fytoplankton. Variační matice
systému (5.6) v obecném bodě je
J(P, Z) =
V c − a − 2cP − (c + d)Z −(c + d)P
dZ −b + dP
,
Systém (5.6) má vždy triviální stacionární bod
s0 =
0
0
vyjadřující nepřítomnost planktonu. Variační matice v triviálním stacionárním bodě, její stopa
a determinant jsou
J(s0) =
V c − a 0
0 −b
, tr J(s0) = c V −
a
c
− b, det J(s0) = −bc V −
a
c
,
Pokud pro množství dusíku platí
V >
a
c
, (5.7)
pak det J(s0) < 0 a podle Věty 11 spolu s Tabulkou 4.1 to znamená, že triviální stacionární
bod s0 je sedlo. Pokud naopak
V <
a
c
,
5.3. KOLOBĚH DUSÍKU V PLANKTONU 117
pak det J(s0) > 0, tr J(s0) < −b < 0 a tr J(s0)
2
− 4 det J(s0) = (V c − a + b)2 ≥ 0,
což znamená, že s0 je stabilní uzel.
Je-li splněna nerovnost (5.7), pak má systém (5.6) další stacionární bod
s1 =
V −
a
c
0
,
vyjadřující dynamicky stálé množství fytoplanktonu bez přítomnosti zooplanktonu. Variační
matice systému (5.7) ve stacionárním bodě s1 je
J(s1) =
−c V − a
c −(c + d) V − a
c
0 d V − a
c − b
,
její stopa a determinant jsou
tr J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
− c V −
a
c
, det J(s1) = −cd V −
a
c
V −
a
c
−
b
d
.
Pokud navíc množství dusíku splňuje podmínku
V >
a
c
+
b
d
, (5.8)
pak det J(s1) < 0 a stacionární bod je sedlo. Je-li naopak
V <
a
c
+
b
d
,
pak det J(s1) < 0, tr J(s1) < 0 a
tr J(s1)
2
− 4 det J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
+ c V −
a
c
2
≥ 0,
což znamená, že stacionární bod je stabilní uzel.
Vnitřní stacionární bod systému (5.6) je
P∗
Z∗ = A−1
b =
1
d(c + d)
0 −(c + d)
d c
V c − a
−b
=




b
d
c
c + d
V −
a
c
−
b
d



 .
Vidíme, že P∗ > 0 a pokud je splněna podmínka (5.8), pak také Z∗ > 0; v takovém případě
je tedy možná koexistence fyto- i zooplanktonu. Dále platí
J(P∗
, Z∗
) = −




b
d
O
O
c
c + d
V −
a
c
−
b
d




0 −(c + d)
d c
=
=





0
b(c + d)
d
−
cd
c + d
V −
a
c
−
b
d
−
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d





.
118 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Je-li splněna podmínka (5.8), pak
tr J(P∗
, Z∗
) = −
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d
< 0, det J(P∗
, Z∗
) = bc V −
a
c
−
b
d
> 0,
což znamená, že reálná část vlastních čísel variační matice J(P∗, Z∗) je záporná, a tedy vnitřní
stacionární řešení (P∗, Z∗) systému (5.6) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Povšimněme si, že kladná stacionární hodnota P∗ nezávisí na celkovém množství dusíku
V . Pokud se tedy zvětší přísun živin, nemá z toho užitek fytoplankton, ale jeho predátor
zooplankton.
Z dosud provedených úvah a výpočtů lze učinit závěr, že přežívání planktonu je závislé na
celkovém množství dusíku v prostředí:
(i) V <
a
c
plankton nepřežívá,
(ii)
a
c
< V <
a
c
+
b
d
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
c
+
b
d
< V fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Povšimněme si, že podmínku (iii) lze splnit pouze v případě
V >
b
d
; (5.9)
v opačném případě by totiž mělo být V −
b
d
>
a
c
> 0 a současně V −
b
d
≤ 0.
Výsledky lze ovšem interpretovat i jinak. Předpokládejme, že platí podmínka (5.9) a příslušné
nerovnosti i závěry z nich plynoucí přepíšeme do tvaru:
(i) c <
a
V
plankton nepřežívá,
(ii)
a
V
< c <
a
V
+
ab
V (V d − b)
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
V
+
ab
V (V d − b)
< c fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Koeficient c vyjadřuje, s jakou intenzitou je dusík z prostředí vázán do biomasy fytoplanktonu.
Tato vazba vzniká procesem fotosyntézy, jejíž intenzita roste s množstvím slunečního světla
a to se mění s ročním obdobím. Při stálém množství dusíku se s rostoucím množstvím světla
nejprve objeví fytoplankton, poté i zooplankton; v zimě se plankton nevyskytuje, na jaře se
nejprve objeví fytoplankton a poté s prodlužujícím se dnem i zooplankton.
5.4 Dissipativita konkurenčních systémů
Uvažujme společenstvo n soběstačných populací, z nichž každá projevuje vnitrodruhovou
konkurenci a každá z populací je amenzalistou jiné nebo ji neovlivňuje (zejména tedy každé
dvě populace mohou být ve vztahu konkurence). Vývoj takového společenstva lze modelovat
systémem (5.1) s kladnými parametry bi, aii, i = 1, 2, . . . , n a s nezápornými parametry aij
5.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 119
pro i = j. S využitím poznámky 11 ukážeme, že takový systém je dissipativní, tedy že všechny
složky jeho řešení jsou ohraničené:
Nechť ε > 0 a i ∈ {1, 2, . . . , n} jsou libovolná. Položme
Ki =
bi
aii
+ ε, δi = εaii.
Pak Ki > 0, δi > 0 a pro všechna xj ≥ Kj, j ∈ {1, 2, . . . , n} platí
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 ≤ xi(bi − aiixi) ≤ xi(bi − aiiKi) = xiaii
bi
aii
− Ki =
= xiaii(Ki − ε − Ki) = −εxiaii = −δixi,
takže předpoklady poznámky 11 jsou splněny.
Poněvadž kladná konstanta ε je libovolně malá, pro každé řešení
x( · ) = x1(·), x2(·), . . . , xn(·)
systému (5.1) s bi > 0, aii > 0, aij ≥ 0, i, j = 1, 2, . . . , n existuje T ≥ 0 takové, že pro všechna
t ≥ T je
x1(t) ≤
b1
a11
, x2(t) ≤
b2
a22
, . . . , xn(t) ≤
bn
ann
.
V dlouhém časovém horizontu populace nepřekračují velikost danou kapacitou prostředí pro
populace izolované.
5.5 Trofický řetězec
Trofický řetězec je takové společenstvo, v němž je první druh producentem a každý jiný
druh je nesoběstačným specializovaným predátorem právě jednoho dalšího druhu. Označíme
x1 velikost populace producenta, x2 velikost populace jeho predátora, x3 velikost populace,
která je predátorem populace o velikosti x2, atd. Každá z populací na některé trofické úrovni
nemusí být tvořena jedním biologickým druhem, může jít o společenstvo organismů majících
stejný způsob obživy. Trofický řetěz o n úrovních lze tedy modelovat systémem
x′
1 = x1(r − ax1) − p1x1x2
x′
2 = −d2x2 + q2x1x2 − p2x2x3
...
x′
k = −dkxk + qkxk−1xk − pkxkxk+1
...
x′
n−1 = −dn−1xn−1 + qn−1xn−2xn−1 − pn−1xn−1xn
x′
n = −dnxn + qnxn−1xn,
(5.10)
parametry r, d2, d3, . . . , dn, q2, q3, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn−1 jsou kladné, parametr a je nezáporný
(producent může, ale nemusí projevovat vnitrodruhovou konkurenci).
120 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Existence vnitřního stacionárního bodu
Hledejme nyní podmínky, které zaručí existenci takového stacionárního bodu x∗. Jeho souřadnice
splňují n-rozměrný systém algebraických rovnic
ax∗
1 + p1x∗
2 = r,
qkx∗
k−1 − pkx∗
k+1 = dk, k = 2, 3, . . . , n − 1.
qnx∗
n−1 = dn.
(5.11)
„Prostřední rovnice tohoto systému lze přepsat ve tvaru rekurentních formulí
x∗
k−1 =
1
qk
pkx∗
k+1 + dk nebo x∗
k+1 =
1
pk
qkx∗
k−1 − dk , k = 2, 3, . . . , n − 1. (5.12)
Poněvadž všechny koeficienty pk, qk, dk jsou kladné, plyne z tohoto vyjádření:
(i) je-li x∗
ℓ0
> 0 pro nějaké l0 ∈ {2, 3, . . . , n} ,
pak je x∗
ℓ > 0 pro všechna ℓ ∈ ℓ0, ℓ0 − 2, ℓ0 − 4, . . . ,
1
2
3 + (−1)ℓ0
;
(ii) je-li x∗
ℓ1
≤ 0 pro nějaké ℓ1 ∈ {1, 3, . . . , n − 2} ,
pak je x∗
ℓ < 0 pro všechna ℓ ∈ ℓ1 + 2, ℓ1 + 4, . . . , n −
1
2
1 − (−1)ℓ1+n
.
Podle poslední rovnice systému (5.11) je
x∗
n−1 =
dn
qn
.
Z první rekurentní formule (5.12) postupně vyjádříme
x∗
n−3 =
1
qn−2
pn−2x∗
n−1 + dn−2 =
pn−2
qn−2
dn
qn
+
dn−2
qn−2
,
x∗
n−5 =
1
qn−4
pn−4x∗
n−3 + dn−4 =
pn−4
qn−4
pn−2
qn−2
dn
qn
+
pn−4
qn−4
dn−2
qn−2
+
dn−4
qn−4
,
atd. Celkem dostaneme
x∗
n−(2ℓ+1) =
ℓ
i=0
dn−2i
qn−2i
ℓ
j=i+1
pn−2j
qn−2j
, pro ℓ = 0, 1, . . . ,
n
2
− 1, (5.13)
kde [ξ] označuje celou část z čísla ξ a klademe
k−1
j=k
αj = 1 pro libovolné přirozené k a každou
posloupnost {αj}∞
j=0.1 Přímým výpočtem se lze přesvědčit, že (5.13) je skutečně řešením
druhé až n-té rovnice systému (5.11).
1
Uvedená konvence je přirozeným rozšířením rovnosti
k
j=m
αj = αk
k−1
j=m
αj , která platí pro libovolné k > m,
také pro k = m.
5.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 121
Nechť nejprve je n sudé. V tomto případě lze rovnost (5.13) přepsat na tvar
x∗
2k−1 = x∗
n−(2(n
2
−k)+1) =
n
2
−k
i=0
dn−2i
qn−2i
n
2
−k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n
2
i=k
d2i
q2i
i−1
j=k
p2j
q2j
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Z tohoto vyjádření je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ s lichými indexy
jsou kladné. Pro jeho první souřadnici platí
x∗
1 =
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (5.14)
Z první rovnice systému (5.11) nyní dostaneme
x∗
2 =
r − ax∗
1
p1
,
a ze druhé rekurentní formule (5.12)
x∗
4 =
1
p3
(q3x∗
2 − d3) =
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
d3
p3
,
x6 =
1
p5
(q5x∗
4 − d5) =
q5
p5
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
q5
p5
d3
p3
−
d5
p5
,
atd. Obecně
x∗
2k =
r − ax∗
1
p1
k−1
i=1
q2i+1
p2i+1
−
k−1
i=1
d2i+1
p2i+1
k−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Souřadnice x∗
1 je vyjádřena formulí (5.14). Tedy platí
x∗
n = x∗
2n
2
=
r − ax∗
1
p1
n
2
−1
ℓ=1
q2ℓ+1
p2ℓ+1
−
n
2
−1
i=1
d2i+1
p2i+1
n
2
−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
=
=


n
2
−1
ℓ=1
q2ℓ+1
p2ℓ+1



r − ax∗
1
p1
−
n
2
−1
i=1
d2i+1
p2i+1
i
j=1
p2j+1
q2j+1

 =
=

 1
p1
n
2
−1
ℓ=1
q2ℓ+1
p2ℓ+1



r − a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
− p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1

 .
Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ byly
kladné, je tedy podle tvrzení (i) a (ii) nerovnost
r > p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (5.15)
122 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Nechť nyní je n liché. V tomto případě lze rovnost (5.13) přepsat na tvar
x∗
2k = xn−(2(n−1
2
−k)+1) =
n−1
2
−k
i=0
dn−2i
qn−2i
n−1
2
−k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n−1
2
i=k
d2i+1
q2i+1
i−1
j=k
p2j+1
q2j+1
,
k = 1, 2, . . . ,
n − 1
2
.
Z něho je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ se sudými indexy jsou kladné.
Zejména jeho druhá souřadnice je
x∗
2 =
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
. (5.16)
Je-li a = 0, dostaneme z první rovnice systému (5.11)
x∗
1 =
r − p1x∗
2
a
,
ze druhé rekurentní formule (5.12) nyní můžeme postupně vyjádřit
x∗
3 =
1
p2
(q2x∗
1 − d2) =
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
d2
p2
,
x∗
5 =
1
p4
(q4x∗
3 − d4) =
q4
p4
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
q4
p4
d2
p2
−
d4
p4
,
atd. Obecně dostaneme
x∗
2k−1 =
r − p1x∗
2
a
k−1
i=1
q2i
p2i
−
k−1
i=1
d2i
p2i
k−1
j=i+1
q2j
p2j
, k = 1, 2, . . . ,
n + 1
2
.
Odtud s využitím (5.16) vyjádříme
x∗
n = x∗
2n+1
2
−1
=
r − p1x∗
2
a
n−1
2
ℓ=1
q2ℓ
p2ℓ
−
n−1
2
i=1
d2i
p2i
n−1
2
j=i+1
q2j
p2j
=
=

1
a
n−1
2
ℓ=1
q2ℓ
p2ℓ



r − p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
− a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j

 .
Pro liché n a a = 0 tedy dostáváme jako nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby všechny
souřadnice stacionárního bodu x∗ byly kladné, nerovnost
r > p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (5.17)
Pokud je n liché a a = 0, dostaneme z první rovnice systému (5.11) rovnost
x∗
2 =
r
p1
.
5.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 123
Současně však musí platit rovnost (5.16), takže soustava rovnic (5.11) má řešení (a to nekonečně
mnoho řešení; stacionární bod není v takovém případě izolovaný) pouze tehdy, když
r = p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
Pravděpodobnost, že tato rovnost bude splněna pro systém (5.10) modelující reálné společenstvo,
je však nulová.
Povšimněme si ještě, že nerovnosti (5.15) a (5.17) lze zapsat jednotně ve tvaru
r > p1
[n−1
2 ]
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
[n
2 ]
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (5.18)
Závěr: Je-li a > 0 (základní zdroj je omezený, v populaci producenta je vnitropopulační
konkurence), pak vnitřní stacionární bod systému (5.10) existuje (je možná koexistence všech
populací tvořících trofický řetězec) právě tehdy, když je splněna podmínka (5.18) (vnitřní
koeficient růstu producenta je dostatečně velký).
Je-li a = 0 (základní zdroj je neomezený), pak vnitřní stacionární bod systému (5.10)
existuje pouze pro sudé n (je možná koexistence pouze sudého počtu trofických úrovní);
vnitřní stacionární bod v takovém případě existuje právě tehdy, když je splněna podmínka
r > p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
Stabilita vnitřního stacionárního bodu
Matice interakcí a vektor růstových koeficientů jsou
A =









a p1 0 · · · 0 0 0
−q2 0 p2 · · · 0 0 0
0 −q3 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −qn−1 0 pn−1
0 0 0 · · · 0 −qn 0









, b =









r
−d2
−d3
...
−dn−1
−dn









.
Položme
c1 = 1, c2 =
p1
q2
, c3 =
p1p2
q2q3
, . . . , cn−1 =
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−1
, cn =
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn
.
124 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Pak je
diag c A =

















a p1 0 · · · 0 0 0
−p1 0
p1p2
q2
· · · 0 0 0
0 −
p1p2
q2
0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−2
0
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0 0 0 · · · 0 −
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0

















,
takže
S (diag c A) =









a 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0









z čehož plyne
(x − x∗
)T
S(diag c A) (x − x∗
) = a(x1 − x∗
1)2
≥ 0.
Pokud existuje vnitřní stacionární bod x∗ uvažovaného systému, pak je příslušné konstantní
řešení stejnoměrně stabilní.
Podle Poznámky 13 je derivace ljapunovské V funkce vzhledem k systému (5.1) rovna
˙V (x) = −a(x1 − x∗
1)2
.
Je-li a = 0 (zdroje pro primárního producenta, tj. pro populaci na nejnižší trofické úrovni,
jsou neomezené), pak je ˙V (x) = 0 pro všechna x z fázového prostoru systému (5.1).
Nechť a > 0. Stejnoměrnou asymptotickou stabilitu stacionárního řešení x(t) ≡ x∗ v tomto
případě ukážeme podle Důsledku 8 Věty 21. Máme
M = x : ˙V (x) = 0 = {x : x1 − x∗
1 = 0} .
Položíme-li F(x) = x1 − x∗
1, je
∂F(x)
∂xi
=
1, i = 1,
0, jinak,
takže pro x ∈ M platí
˙F(x) = x∗
1(r − ax∗
1) − p1x∗
1x2 = x∗
1(r − ax∗
1 − p1x2).
Připomeňme, že pro první dvě souřadnice vnitřního stacionárního bodu x∗ podle (5.11) platí
r − ax∗
1 − p1x∗
2 = 0.
Celkem tak dostáváme, že ˙F(x) = 0 pro x ∈ M {x∗}, což znamená, že stacionární bod x∗
je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Tento výsledek můžeme přeformulovat tak, že vnitrodruhová konkurence na nejnižší trofické
úrovni (omezení zdrojů) stabilizuje společenstvo.
5.6. SPOLEČENSTVO SE DVĚMA TROFICKÝMI ÚROVNĚMI 125
5.6 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi
Uvažujme společenstvo tvořené dvěma skupinami druhů — producenty (kořistí) a konzumenty
(predátory). Mezi druhy uvnitř jednotlivých trofických úrovní nejsou žádné interakce a konzumenti
nemohou bez producentů přežít. Je-li takové společenstvo tvořeno n druhy producentů
a m druhy konzumentů, lze jeho vývoj popsat systémem Lotkových-Volterrových rovnic tvaru
x′
i = xi ri −
m
k=1
aikyk , i = 1, 2, . . . , n,
y′
j = yj −sj +
n
k=1
bjkxk , j = 1, 2, . . . , m;
(5.19)
xi označuje velikost i-tého druhu producentů, yj velikost j-tého druhu konzumentů, parametry
ri, sj, aij, bji jsou kladné. Systém (5.19) můžeme při zavedení vektorů x = (x1, x2, . . . , xn)T ,
y = (y1, y2, . . . , ym)T , r = (r1, r2, . . . , rn)T , s = (s1, s2, . . . , sm)T , a matic
A = aij 1≤i≤n
1≤j≤m
=





a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
...
...
...
...
an1 an2 . . . anm





, B = bji 1≤j≤m
1≤i≤n
=





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn





zapsat vektorově
x′ = diag x (r − Ay),
y′ = diag y (−s + Bx),
nebo ve tvaru
x
y
′
= diag
x
y
r
−s
−
O A
B O
x
y
,
kde O označuje nulovou matici.
Příklad: klasický Lotkův-Volterrův systém dravec-kořist
Uvažujme společenstvo jednoho producenta a jednoho konzumenta (jednoho dravce a jeho
kořisti). V takovém případě je n = m = 1 a systém (5.19) je tvaru
x′ = x(r − ay),
y′ = y(−s + bx).
(5.20)
Tento systém má vnitřní stacionární bod
(p, q) =
s
b
,
r
a
.
Systém (5.20) můžeme přepsat na tvar
x′
x
= r − ay,
y′
y
= −s + bx,
neboli
d
dt
ln x = r − ay,
d
dt
ln y = −s + bx.
126 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Při označení u = ln x, v = ln y dostaneme
u′ = r − aev,
v′ = −s + beu,
což je systém bipartitní. Bezprostředně vidíme, že tento systém můžeme psát ve tvaru
u′ =
∂
∂v
(rv − aev) ,
v′ = −
∂
∂u
(su − beu) ,
nebo vektorově
u
v
′
=
0 1
−1 0
∇ (su − beu
+ rv − aev
) . (5.21)
Systém (5.20) je tedy ekvivalentní s hamiltonovským systémem (5.21). Jeho hamiltonián
(invariant) v původních proměnných je
H(x, y) = s ln x − bx + r ln y − ay = b
s
b
ln x − x + a
r
a
ln y − y =
= b (p ln x − x) +
a
b
(q ln y − y) .
Transformace systému (5.19) na systém bipartitní
Stavové proměnné xi, yj transformujeme na nové, které označíme ui, vj a definujeme rov-
nostmi
ui = ln xi, vj = ln yj, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m. (5.22)
Pak
u′
i =
x′
i
xi
= ri −
m
k=1
aikyk = ri −
m
k=1
aikevk
, v′
j = −sj +
n
k=1
bjkeuk
.
Zavedeme označení
eu
= (eu1
, eu2
, . . . , eun
) , ev
= (ev1
, ev2
, . . . , evm
) .
Systém (5.19) se transformuje na tvar
u′
= r − Aev
, v′
= −s + Beu
; (5.23)
derivace první sady proměnných závisí pouze na druhé sadě, derivace druhé sady proměnných
závisí pouze na první sadě. Systém (5.19) lze tedy substitucí (5.22) transformovat na systém
bipartitní.
Invariant systému (5.19)
Hodnota aij vyjadřuje množství i-tého druhu kořisti, kterou za jednotku času zničí predátoři
j-tého druhu za předpokladu, že populace i-tého druhu kořisti i j-tého druhu predátora měly
jednotkovou velikost. Stručněji, aij je specifická úmrtnost i-tého druhu kořisti způsobená
populací j-tého druhu predátora o jednotkové velikosti. Hodnota bji je specifická porodnost
5.6. SPOLEČENSTVO SE DVĚMA TROFICKÝMI ÚROVNĚMI 127
j-tého druhu predátora po konzumaci jednotkového množství populace i-tého druhu kořisti.
Poměr bji/aij lze tedy chápat jako efektivitu, s jakou se úbytek i-tého druhu kořisti přeměňuje
do růstu populace j-tého druhu predátora. Předpokládejme nyní, že každý druh predátora
využívá všechny druhy kořisti stejně efektivně, tj. že ke každému j = 1, 2, . . . , m existuje
konstanta cj > 0 taková, že
bji
aij
= cj pro všechny indexy i = 1, 2, . . . , n.
Jinak řečeno, nechť existuje vektor c = (c1, c2, . . . , cm)T pro nějž platí
BT
= A diag c, neboli B = diag c AT
. (5.24)
Předpokládejme dále, že existuje vnitřní stacionární bod systému (5.19), tj. že existují vektory
p = (p1, p2, . . . , pn)T , q = (q1, q2, . . . , qm)T se všemi složkami kladnými, takové že Aq = r,
Bp = s, tj.
ri =
m
k=1
aikqk pro i = 1, 2, . . . , n, sj =
n
k=1
bjkpk pro j = 1, 2, . . . , m. (5.25)
Poznamenejme, že v případě m = n nemusí být některý z vektorů p, q určen jednoznačně.
Pak vnitřní stacionární bod není izolovaný.
Definujme nyní funkci H : Rn+m
+ → R předpisem
H(x, y) = H(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn) =
n
i=1
(pi ln xi − xi) +
m
j=1
1
cj
(qj ln yj − yj) .
Pokud x, y jsou řešením systému (5.19), která mají všechny složky v každém čase kladné,
pak platí
d
dt
H(x, y) =
n
i=1
pi
x′
i
xi
− x′
i +
m
j=1
1
cj
qj
y′
j
yj
− y′
j =
n
i=1
(pi − xi)
x′
i
xi
+
m
j=1
1
cj
(qj − yj)
y′
j
yj
=
=
n
i=1
(pi − xi) ri −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−sj +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
(pi − xi)
m
k=1
aikqk −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−
n
k=1
bjkpk +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
m
k=1
(pi − xi)aik(qk − yk) −
n
k=1
m
j=1
(pk − xk)
bjk
cj
(qj − yj) = 0,
neboť bjk/cj = akj. Jinak řečeno, funkce H je na trajektoriích systému (5.19) konstantní, je
invariantem (prvním integrálem) tohoto systému.
Transformace systému (5.19) na hamiltonovský
Opět použijeme transformaci (5.22) a s využitím vztahů (5.25) vyjádříme transformovaný
systém (5.23) jako u′ = A(q − ev), v′ = −B(p − eu). Podmínka (5.24) nyní umožňuje přepsat
tento systém ve tvaru
u′
= A(q − ev
), v′
= −(A · diag c)T
(p − eu
). (5.26)
128 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Invariant H systému (5.19) vyjádříme také v proměnných u a v,
H(u, v) =
n
i=1
(piui − eui
) +
m
j=1
1
cj
(qjvj − evj
).
Platí
∂H
∂ui
(u, v) = pi − eui
,
∂H
∂vj
(u, v) =
1
cj
(qj − evj
), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Při označení ∇u =
∂
∂u1
,
∂
∂u2
, . . . ,
∂
∂un
T
, ∇v =
∂
∂v1
,
∂
∂v2
, . . . ,
∂
∂vm
T
tedy je
∇uH(u, v) = p − eu
, ∇vH(u, v) = (diag c)−1
(q − ev
),
takže systém (5.26) je tvaru
u′
= A diag c ∇vH(u, v), v′
= −(A diag c)T
∇uH(u, v),
neboli
u
v
′
=
O A diag c
−(A diag c)T O
∇uH(u, v)
∇vH(u, v)
,
symbol O označuje nulovou matici. Pokud tedy platí (5.24) a existuje vnitřní stacionární bod
systému (5.19), lze tento systém transformovat na systém hamiltonovský.
Modely společenstev tvořených producenty a jejich konzumenty, které mají vnitřní stacionární
bod a splňují podmínku (5.24), mají v populační ekologii podobný význam jako Newtonovy
zákony v mechanice (srov. 4.3).
5.7 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy)
Vlivy populací tvořících společenstvo na růst jednotlivých populací nemusí být tvaru přímé
úměrnosti. Proto může být realističtější místo systému (5.1) uvažovat systém
x′
i = gi(xi)

bi −
n
j=1
aijfj(xj)

 , i = 1, 2, . . . , n. (5.27)
Funkce fi, gi, i = 1, 2, . . . , n jsou definovány a spojité na intervalu [0, ∞) a splňují podmínky:
• (∀i)gi(0) = 0 . . . je-li velikost i-té populace nulová (tj. i-tá populace ve společenstvu
není), pak nulovou zůstane; uvažujeme tedy izolovaná společenstva, kde nedochází k imigraci
nových druhů.
• (∀i)(∀ξ > 0)gi(ξ) > 0 . . . skutečnost, zda je i-tá populace soběstačná nebo ne, nezávisí
na její velikosti; neuvažujeme tedy např. Alleeho efekt.
• (∀j)fj(0) = 0 . . . není-li j-tá populace ve společenstvu přítomná, nijak neovlivňuje růst
ostatních populací.
5.7. GROSSBERGOVY SYSTÉMY (ZOBECNĚNÉ LOTKOVY-VOLTERROVY) 129
• (∀j)fj je rostoucí . . . s rostoucí velikostí populace roste i její vliv na růst populací ostat-
ních.
Systém (5.27) lze zapsat vektorově:
x′
= G(x) b − Af(x) ,
kde
G(x) = G(x1, x2, . . . , xn) = diag g1(x1), g2(x2), . . . , gn(xn) ,
f(x) = f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn)
T
.
Poněvadž všechny složky zobrazení f : Rn → Rn jsou rostoucí (tedy prosté) funkce, je
toto zobrazení prosté a existuje k němu zobrazení inverzní f−1
= (f−1
1 , f−1
2 , . . . , f−1
n ). Je-li
matice interakcí společenstva A regulární, existuje nejvýše jeden vnitřní stacionární bod
x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = f−1
A−1
b
systému (5.27), tj. takový bod, že x∗
1 > 0, x∗
2 > 0, . . . , x∗
n > 0, který lze opět interpretovat
jako dynamicky stálé velikosti všech populací koexistujících ve společenstvu.
Analogicky jako v důkazu věty 23 ověříme, že pokud existuje okolí U vnitřního stacionárního
bodu x∗ a existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými,
pro něž je výraz
f(x) − f(x∗
)
T
S(diag c A) f(x) − f(x∗
)
nezáporný pro každé x ∈ U, pak je funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
fi(ξ) − fi(x∗
i )
gi(ξ)
dξ
ljapunovskou funkcí systému (5.27) ve stacionárním bodě x∗. Odtud je vidět, že tvrzení
důsledku 9 platí také pro systém (5.27).
130 KAPITOLA 5. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Kapitola 6
Model populace produkující
škodlivé odpady
Označme N = N(t) velikost nějaké populace v čase t. Specifická míra růstu nebo růstový
koeficient p této populace je definován jako relativní změna velikosti populace, tj.
p =
N′
N
.
Vývoj populace je tedy modelován diferenciální rovnicí
N′
= pN. (6.1)
V případě konstantního růstového koeficientu dostaneme klasický Malthusův1 model růstu
populace N(t) = N0ept, kde N0 = N(0) je počáteční velikost populace. V něm je exponenciální
růst (pro p > 0) nebo úbytek (pro p < 0) velikosti populace nerealistický.
Model (6.1) se přiblíží realitě, pokud specifickou míru růstu p nebudeme považovat za
nezávislou konstantu populace, ale za veličinu závislou na její velikosti, tedy p = p(N), nebo
obecněji na nějakých „projevech její velikosti, tj. p = p F(N) , kde F je nějaký funkcionál,
tedy zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel.
V tomto oddílu budeme uvažovat populaci, která produkuje odpady svého metabolismu,
které jsou toxické, nebo přinejmenším zmenšují schopnost přežívání populace. Tyto odpady se
v prostředí hromadí, ale také rozkládají, mizí nebo přeměňují v něco, co populaci neomezuje.
Budeme tedy předpokládat:
1. V čistém prostředí (bez uvažovaných odpadů) je specifická míra růstu rovna nějaké
konstantě r (vnitřnímu koeficientu růstu, intrinsic growth rate).
2. V každém okamžiku populace produkuje odpad, jehož množství je úměrné velikosti
populace. Množství odpadu vyprodukovaného v čase t označíme Pp(t); platí pro něho
Pp(t) = cN(t), kde c je nějaká kladná konstanta.
3. Odpad se rozkládá konstantní relativní rychlostí δ > 0, tj. označíme-li P(t) množství
odpadu v čase t a neuvažujeme jeho produkci, platí
P′
(t) = −δP(t). (6.2)
1
Správněji malthusovský, Thomas Robert Malthus (1766–1834) model v takovém tvaru nikdy nepublikoval.
131
132 KAPITOLA 6. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
4. Specifická míra růstu populace klesá s rostoucím množstvím odpadu. Budeme uvažovat
nejjednodušší možnost, že tato závislost je lineární.
5. Existuje jistá velikost populace K > 0, při které je populace se svým prostředím v
dynamické rovnováze, její velikost se v čase nemění. Konstanta K představuje kapacitu
prostředí (úživnost) pro uvažovanou populaci.
Uvažujme na chvíli idealizovanou situaci, že pouze v čase s vzniklo množství Pp(s) odpadu
a žádný další odpad není do prostředí dodáván. Množství odpadu v čase t > s tedy bude podle
předpokladů 2. a 3. řešením rovnice (6.2) s počáteční podmínkou P(s) = Pp(s) = cN(s), tj.
P(t) = cN(s)e−δ(t−s). V reálné situaci se však odpad v prostředí kumuluje, v čase t ho tedy
bude množství, které zůstalo ze všech odpadů vzniklých až do okamžiku t, tj. množství odpadu
závislé na celé předchozí historii velikosti populace bude
F(N) =
t
−∞
cN(s)e−δ(t−s)
ds.
Předpoklad 4. lze nyní přepsat ve tvaru
p = p F(N) = α − βF(N),
kde β > 0. Z předpokladu 1. plyne, že p(0) = r, tj. α = r. Pro funkci ˜N = ˜N(t) ≡ K podle
předpokladu 5. nyní platí
0 = p F( ˜N) = r − βF( ˜N) = r − βc
t
−∞
Ke−δ(t−s)
ds = r −
βcK
δ
e−δ(t−s)
t
s=−∞
= r −
βcK
δ
.
Odtud dostaneme, že βc =
rδ
K
a specifická míra růstu populace je
p = r

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 .
Model (6.1) je tedy nyní ve tvaru integrodiferenciální2 rovnice
N′
(t) = rN(t)

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 . (6.3)
Zavedeme nové neznámé funkce x a y novou nezávisle proměnnou τ následujícími vztahy:
τ = rt, x(τ) =
δ
rK
N
τ
r
, y(τ) =
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds.
2
V této rovnici vystupuje neznámá funkce N za znakem integrálu i jako derivovaná.
133
Pak
x′
(τ) =
dx(τ)
dτ
=
δ
rK
N′ τ
r
1
r
=
δ
r2K
rN
τ
r


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 =
=
δ
rK
rK
δ
x(τ)


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 = x(τ) 1 − y(τ) ,
y′
(τ) =
dy(τ)
dτ
=
δ
K
d
dτ
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds =
=
δ
K



1
r
N
τ
r
e−δ(τ
r
− τ
r ) −
δ
r
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 =
=
δ
rK
N
τ
r
−
δ
r
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds = x(τ) −
δ
r
y(τ).
Rovnice (6.3) se tedy transformuje na dvourozměrný autonomní systém
x′ = x(1 − y),
y′ = x −
δ
r
y.
(6.4)
Nejprve si všimněme, že uzavřený první kvadrant ¯R2
+ = (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0 je pozitivně
invariantní množinou tohoto systému. Uzavřená polopřímka {(0, y) : y ≥ 0} je totiž
pozitivně invariantní množinou (x(t) ≡ 0, y(t) = y0e−(δ/r)t je řešením systému (6.4) pro každé
y0 ≥ 0), pro řešení s počáteční podmínkou x(0) = x0 > 0, y(0) = 0 platí x′(0) > 0, y′(0) > 0
a tedy příslušná trajektorie směřuje dovnitř prvního kvadrantu.
Systém (6.4) má stacionární body(0, 0) a (x∗, y∗) =
δ
r
, 1 a jeho variační matice je
J(x, y) =
1 − y −x
1 −
δ
r
.
Tedy J(0, 0) =
1 0
1 −
δ
r
, det J(0, 0) = −
δ
r
> 0, takže stacionární bod (0, 0) je sedlo. Dále
J(x∗
, y∗
) =



0 −
δ
r
1 −
δ
r


 , det J(x∗
, y∗
) =
δ
r
> 0, tr J(x∗
, y∗
) = −
δ
r
< 0,
tr J(x∗
, y∗
)
2
− 4 det J(x∗
, y∗
) =
δ
r2
(δ − 4r),
134 KAPITOLA 6. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
y
xδ
r
0
1
y
xδ
r
0
1
a) b)
Obrázek 6.1: Fázový portrét systému (6.4) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou 0 <
x(0) ≪ 1, y(0) = 0. a) δ ≥ 4r, b) δ < 4r. Oba obrázky mají stejné měřítko na ose x.
N
t
K
0
N
t
K
0
a) b)
Obrázek 6.2: Průběh řešení úlohy (6.3), (6.5). a) δ = 4r, b) δ = 1
2r.
takže v případě δ ≥ 4r je vnitřní stacionární bod (x∗, y∗) stabilní uzel, v opačném případě
se jedná o stabilní ohnisko. Fázové portréty systému systému (6.4) v obou případech jsou
znázorněny na obr. 6.1.
S využitím Dulacova kriteria (věta 12) vyloučíme existenci cyklu v prvním kvadrantu.
Položíme q(x, y) =
1
x
. Pak
∂
∂x
1
x
x(1 − y) +
∂
∂y
1
x
x −
δ
r
y = −
δ
rx
< 0
pro všechna x > 0. Uvnitř prvního kvadrantu tedy neexistuje cyklus systému (6.4).
Uvažujme nyní situaci, že na počátku (v čase t = 0) se dostane malá populace do nového
prostředí. K rovnici (6.3) přidáme tedy počáteční podmínky
N(0) = N0, N(t) = 0 pro t < 0. (6.5)
Počáteční podmínky pro systém (6.4) v tomto případě budou
x(0) =
δ
rK
N0, y(0) =
δ
K
0
−∞
N(s)eδs
ds = 0;
135
Trajektorie systému (6.4) s těmito počátečními podmínkami jsou také zobrazeny na obr. 6.1.
Z provedené analýzy systému (6.4) plyne, že pro řešení N počáteční úlohy (6.3), (6.5) platí
lim
t→∞
N(t) =
rK
δ
x∗
= K;
funkce N konverguje k hodnotě K v případě δ ≥ 4r monotonně, viz obr. 6.2 a), v opačném
případě s tlumenými oscilacemi, viz obr. 6.2 b).
136 KAPITOLA 6. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
Kapitola 7
Chemická kinetika
7.1 Základní reakce enzymů
Uvažujme reakci nějakého substrátu S a enzymu E, které spolu vytvoří nestabilní komplex
SE, z kterého dále vznikne nějaký produkt P a volný enzym.1 Schematicky tuto reakci můžeme
zapsat takto
S + E
k1
⇋
k−1
SE, SE
k2
→ P + E,
nebo stručně
S + E
k1
⇋
k−1
SE
k2
→ P + E.
Dvojitá šipka ⇋ vyjadřuje, že reakce je vratná, jednoduchá šipka → vyjadřuje, že reakce
může probíhat jen jedním směrem. Kladné parametry k1, k−1, k2 označují reakční rychlost.
Zhruba řečeno, za jednotku času vznikne z jednotkového množství substrátu S za přitomnosti
jednotkového množství enzymu E množství k1 komplexu SE a podobně. Přesně budou reakční
rychlosti zavedeny dále.
Označme s = s(t). . . koncentrace substrátu S v čase t,
e = e(t). . . koncentrace enzymu E v čase t,
c = c(t). . . koncentrace komplexu SE v čase t,
p = p(t). . . koncentrace produktu P v čase t.
Michaelis a Menten2 navrhli jako model vývoje koncentrací v čase následující systém čtyř
obyčejných nelineárních diferenciálních rovnic
ds
dt
= −k1se + k−1c,
de
dt
= −k1se + (k−1 + k2)c,
dc
dt
= k1se − (k−1 + k2)c,
dp
dt
= k2c
(7.1)
1
Místo o enzymu bychom mohli mluvit o katalyzátoru, substrát by představoval výchozí látku a produkt
výslednou.
2
L. Michaelis, M. I. Menten. Die Kinetik der Invertinwirkung. Biochem. Z. 49, 333-369, 1913
137
138 KAPITOLA 7. CHEMICKÁ KINETIKA
Tento model vyjadřuje, že změny koncentrací považujeme za přímo úměrné koncentracím,
reakční rychlosti k jsou příslušné koeficienty úměrnosti. Budeme předpokládat, že na počátku
je koncentrace substrátu rovna s0 a koncentrace enzymu je rovna e0, komplex SE ani produkt
P nejsou na počátku přítomny. Spolu se systémem (7.1) tedy uvažujeme počáteční podmínky
s(0) = s0, e(0) = e0, c(0) = 0, p(0) = 0. (7.2)
Nejprve si všimněme, že veličina p se nevyskytuje v prvních třech rovnicích systému (7.1).
Koncentrace s, e a c jsou tedy řešením prvních tří rovnic z (7.1), koncentraci produktu můžeme
vyjádřit ze čtvrté rovnice integrací
p(t) = k2
t
0
c(σ)dσ. (7.3)
Množství enzymu E se v průběhu reakce nemění a enzym se vyskytuje jednak jako volný a
jednak jako vázaný v komplexu SE. To vzhledem k počáteční podmínce (7.2) znamená, že
by mělo platit e(t) + c(t) = e0 pro všechna t ≥ 0. Model (7.1) je skutečně v tomto smyslu
adekvátní, neboť
d
dt
(e + c) =
de
dt
+
dc
dt
= 0, (e + c)(0) = e0.
Veličina e+c je prvním integrálem systému (7.1) a proto koncentraci enzymu můžeme vyjádřit
jako
e(t) = e0 − c(t) (7.4)
a dosadit do první a třetí rovnice systému (7.1). Dostaneme
ds
dt
= −k1e0s + (k1s + k−1)c,
dc
dt
= k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c. (7.5)
Časový průběh koncentrací substrátu S a komplexu SE je tedy řešením systému dvou obyčejných
autonomních nelineárních diferenciálních rovnic (7.5) s počáteční podmínkou
s(0) = s0, c(0) = 0, (7.6)
průběh koncentrací volného enzymu E a produktu P je dána výrazy (7.4) a (7.3).
Změníme měřítko tak, aby všechny veličiny byly bezrozměrné, tj. zavedeme substituci
τ = k1e0t, x =
s
s0
, y =
c
e0
; (7.7)
veličina x vyjadřuje koncentraci substrátu a veličina y koncentraci komplexu SE v jednotkách
počáteční koncentrace substrátu a enzymu. Časová jednotka je určena rychlostí reakce
substrátu a enzymu. Platí
dx
dτ
=
d
dt
s
s0
dt
dτ
=
1
s0
− k1e0s + (k1s + k−1)c
1
k1e0
= −
s
s0
+
c
e0
s
s0
+
k−1
s0k1
c
e0
=
= −x + x +
k−1
k1s0
y,
7.1. ZÁKLADNÍ REAKCE ENZYMŮ 139
dy
dτ
=
d
dt
c
e0
dt
dτ
=
1
e0
k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c
1
k1e0
=
s
e0
−
s
e0
c
e0
−
k−1 + k2
k1e0
c
e0
=
=
s0
e0
x −
s0
e0
x +
k−1 + k2
k1s0
y.
Při označení
K =
k−1 + k2
k1s0
, λ =
k2
k1s0
, ε =
e0
s0
(7.8)
se systém (7.5) substitucí (7.7) transformuje na systém
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y,
dy
dτ
=
1
ε
x − (x + K)y (7.9)
s počátečními podmínkami
x(0) = 1, y(0) = 0. (7.10)
Poznamenejme, že parametry K, λ a ε jsou kladné a K > λ.
Úlohu (7.9), (7.10) nelze řešit explicitně. Proto ji budeme analyzovat ve fázovém prostoru.
Nulklinu proměnné x můžeme vyjádřit jako graf funkce
ϕ(x) =
x
x + K − λ
.
Derivace
dx
dτ
je pro y > ϕ(x) kladná, pro y < ϕ(x) záporná. Situace
je znázorněna na obrázku:
y
x
ϕ(x)
Podobně vyjádříme y-nulklinu jako graf funkce ψ(x) =
x
x + K
a vyšetříme
znaménka derivací:
y
x
ψ(x)
Poněvadž ϕ(0) = ψ(0) = 0 a ϕ(x) > ψ(x) pro všechna x > 0, vypadá fázový portrét systému
(7.9) tak, jak je znázorněno na obr. 7.1 Vidíme, že systém (7.9) má jediný stacionární
bod (0, 0) a že množina M = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ϕ(1) je jeho pozitivně
invariantní množinou (na úsečce {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} směřují trajektorie nahoru, na úsečce
x, ϕ(1) : 0 ≤ x ≤ 1 dolů, na úsečce {(0, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} směřují trajektorie doprava
a na úsečce {(1, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} doleva). Variační matice systému (7.9) v obecném bodě
(x, y) je
J(x, y) =



y − 1 x + K − λ
1
ε
(1 − y) −
1
ε
(x + K)


 ,
takže ve stacionárním bodě (0, 0) platí
J(0, 0) =



−1 K − λ
1
ε
−
K
ε


 , tr J(0, 0) = −
K + ε
ε
< 0, det J(0, 0) =
λ
ε
> 0,
140 KAPITOLA 7. CHEMICKÁ KINETIKA
y
x1
ϕ(1) ϕ(x) =
x
x + K − λ
ψ(x) =
x
x + K
0
Obrázek 7.1: Fázový portrét systému (7.9) a jeho trajektorie s počátečním bodem (7.9) a
hodnotou parametru ε = 10
11 .
tr J(0, 0)
2
− 4 det J(0, 0) =
K + ε
ε
2
−
4λ
ε
=
1
ε2
(K + ε)2
− 4λε =
=
1
ε2
K2
+ 2Kε + ε2
− 4λε + λ2
− λ2
=
1
ε2
K2
− λ2
+ 2Kε + (λ − ε)2
> 0,
neboť K > λ. Stacionární bod (0, 0) je podle Věty 11 stabilní uzel (což bylo vidět z fázového
portrétu i bez výpočtů). Pro řešení úlohy (7.9), (7.10) tedy platí
lim
τ→∞
x(τ) = 0, lim
τ→∞
y(τ) = 0.
Výsledkem reakce je vyčerpání veškerého substrátu S, nebude volný ani vázaný s enzymem
v komplexu SE. Z trajektorie řešení úlohy (7.9), (7.10), která je rovněž zobrazena na obr. 7.1,
je také vidět, že složka x řešení této úlohy k nule monotonně klesá. Složka y nejdříve roste, v
jistém čase τ0 dosáhne svého maxima
ymax =
x(τ0)
x(τ0) + K
= 1 −
K
x(τ0) + K
a pak monotonně klesá k nule.
Nyní můžeme kvalitativně popsat řešení původní úlohy (7.1), (7.2), viz obr. 7.2. Koncentrace
s substrátu S monotonně klesá k nule. Koncentrace c komplexu SE roste ke své
maximální hodnotě, která je menší než byla počáteční koncentrace e0 enzymu E, a pak monotonně
klesá k nule. Koncentrace e volného enzymu E nejprve klesá, v okamžiku t0, kdy je
koncentrace komplexu SE maximální, dosáhne svého minima a pak monotonně roste k počáteční
hodnotě e0. Koncentrace p produktu P roste z nulové hodnoty, růst se nejprve zrychluje
(funkce je konvexní), od okamžiku t0 se začne zpomalovat (funkce je konkávní).
7.2 Přibližné řešení transformované úlohy
Charakteristickým rysem reakcí enzymu se substrátem je to, že koncentrace enzymu je výrazně
menší, než koncentrace substrátu, e0 ≪ s0. To vzhledem k (7.8) znamená, že
0 < ε ≪ 1,
parametr ε je „skoro nula . Také můžeme říci, že pravá strana druhé rovnice systému (7.9) je
„skoro nekonečno , nebo že pravá strana první rovnice tohoto systému je zanedbatelně malá
7.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 141
tt00
s0
e0
e
p
s
c
Obrázek 7.2: Průběh řešení úlohy (7.1), (7.2)
ve srovnání s pravou stranou druhé rovnice. Veličina x se mění „nesrovnatelně pomaleji , než
veličina y, takže veličina x je vzhledem k y „skoro konstantní . Z těchto důvodů budeme x
ve druhé z rovnic systému (7.9) považovat za konstantní parametr a tuto rovnici vyřešíme.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými, takže její řešení splňující druhou podmínku
z dvojice (7.10), tj. podmínku y(0) = 0, dostaneme ve tvaru
y(τ) =
x
x + K
1 − e− x+K
ε
τ
. (7.11)
Platí pro ně
y0 = lim
τ→∞
y(τ) =
x
x + K
.
„Rychle se měnící proměnná veličina (funkce) y se tedy „velice rychle ustálí na hodnotě
y0. Ovšem hodnota x se také mění, i když „pomalu . Tato změna je popsána první rovnicí
systému (7.9). V ní můžeme proměnou y považovat za parametr rovný ustálené hodnotě y0.
S využitím počáteční podmínky (7.10) tak dostaneme počáteční úlohu
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)
x
x + K
= −λ
x
x + K
, x(0) = 1.
Řešení této úlohy, které je „trochu jiné než řešení původní úlohy (7.9), (7.10) a proto ho
označíme symbolem x0, je implicitně dáno rovností
x0(τ) + K ln x0(τ) = 1 − λτ. (7.12)
Takto definovanou funkci x0 můžeme považovat za první složku přibližného řešení úlohy (7.9),
(7.10). Její druhou složku vyjádříme jako
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
; (7.13)
tato funkce však nesplňuje druhou z počátečních podmínek (7.10).
Funkce x0( · ), y0( · ) definované vztahy (7.12) a (7.13) se nazývá pseudo- nebo quasistacionární
aproximace řešení úlohy (7.9), (7.10). V mnoha aplikacích je tato aproximace
dostatečně přesná. Na obrázku 7.3 je trajektorie řešení úlohy (7.9), (7.10) s hodnotou parametru
ε = 1
10 ; vidíme, že trajektorie řešení s „malou hodnotou parametru ε skutečně od
jistého bodu téměř splývá s y-nulklinou, tj. s funkcí y =
x
x + K
.
142 KAPITOLA 7. CHEMICKÁ KINETIKA
y
x0 1
y =
x
x + K
y = ϕ(x)
Obrázek 7.3: Nulkliny systému (7.9) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou (7.10) a hodnotou
parametru ε = 1
10 .
Řešení úlohy (7.9), (7.10) si tedy lze představit tak, že v „kratičkém časovém intervalu od
začátku reakce se veličina x (relativní množství substrátu) „nestačí změnit , takže má stále
počáteční hodnotu 1. V tomto „kratičkém čase veličina y (relativní množství komplexu SE
vzhledem k množství enzymu) rychle dosáhne své quasi-stacionární hodnoty. Tento „rychlý
nárůst je popsán rovností (7.11) do níž je dosazeno x = 1, quasi-stacionární hodnota je tedy
1/(1 + K). Dále se veličiny x a y vyvíjejí tak, jak je popsáno rovnostmi (7.12) a (7.13).
Ještě můžeme specifikovat délku zmíněného „kratičkého časového intervalu pro dosažení
quasi-stacionárního stavu. Předpokládejme, že jsme schopni měřit koncentrace s relativní
přesností γ. Pak čas δ, za nějž veličina y naroste do quasi-stacionární hodnoty 1/(1 + K) je
přibližně dána přibližnou rovnicí
1
1 + K
1 − e− 1+K
ε
δ
≈ (1 − γ)
1
1 + K
,
tedy
δ ≈
ε
1 + K
ln
1
γ
. (7.14)
Popsanou aproximaci řešení lze získat i jiným způsobem méně se odvolávajícím na intuici:
řešení úlohy (7.9), (7.10) budeme hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε. Předpokládejme
tedy, že řešení úlohy (7.9), (7.10) je tvaru
x(τ) =
∞
n=0
εn
xn(τ), y(τ) =
∞
n=0
εn
yn(τ).
Za předpokladu, že tyto řady, chápané jako řady funkcí proměnné τ, konvergují stejnoměrně
(k tomu při ε < 1 stačí, aby všechny funkce x0( · ), y0( · ) byly ohraničené stejnou konstantou),
platí
dx
dτ
=
∞
n=0
εn dxn
dτ
=
dx0
dτ
+
∞
n=1
εn dxn
dτ
,
dy
dτ
=
∞
n=0
εn dyn
dτ
, tj. ε
dy
dτ
=
∞
n=1
εn dyn−1
dτ
7.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 143
a současně
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y = −
∞
n=0
εn
xn(τ) +
∞
n=0
εn
xn(τ) + K − λ
∞
n=0
εn
yn(τ) =
= −
∞
n=0
εn
xn(τ) + (K − λ)
∞
n=0
εn
yn(τ) +
∞
n=0
n
i=0
xiyn−i εn
=
=
∞
n=0
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
=
= −x0 + (x0 + K − λ)y0 +
∞
n=1
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
,
ε
dy
dτ
= x − (x + K)y =
∞
n=0
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
=
= x0 − (x0 + K)y0 +
∞
n=1
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin ε získáme nekonečný systém rovnic
dx0
dτ
= −x0 + (x0 + K − λ)y0, 0 = x0 − (x0 + K)y0,
dx1
dτ
= −x1 + (K − λ)y1 + x0y1 + x1y0,
dy0
dτ
= x1 − Ky1 − x0y1 − x1y0,
...
...
Z první dvojice rovnic dostaneme
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
, x0(τ) + K ln x0(τ) = C − λτ,
tedy quasi-stacionární aproximaci řešení (7.12), (7.13). V tomto případě však tato aproximace
závisí na jedné integrační konstantě C a ta závisí na počátečních podmínkách. Počáteční
podmínky (7.10) lze zapsat ve tvaru
1 =
∞
n=0
εn
xn(0), 0 =
∞
n=0
εn
yn(0),
takže z věty o jednoznačnosti Taylorových řad plyne
x0(0) = 1, y0(0) = 0, xn(0) = yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
První z těchto podmínek lze splnit volbou C = 1 stejně jako v (7.12), ale druhou z nich splnit
nelze. Odtud plyne, že alespoň jedna ze složek x, y řešení úlohy (7.9), (7.10) nemůže být
analytickou funkcí parametru ε.
144 KAPITOLA 7. CHEMICKÁ KINETIKA
Aby bylo možné splnit počáteční podmínky, je třeba v pravém okolí bodu τ = 0 hledat
řešení úlohy (7.9), (7.10) jiným způsobem. Zavedeme novou nezávisle proměnnou
σ =
τ
ε
. (7.15)
Pro ε → 0 je σ → ∞, takže změnou časového měřítka (7.15) „natáhneme malé okolí [0, δ)
na „velice dlouhou dobu . Substitucí (7.15) se úloha (7.9), (7.10) transformuje na úlohu
dX
dσ
= −εX + ε(X + K − λ)Y,
dY
dσ
= X − (X + K)Y, (7.16)
X(0) = 1, Y (0) = 0. (7.17)
Kvalitativní analýza úlohy (7.16), (7.10) dá stejné výsledky jako v 7.1.
Řešení úlohy (7.16), (7.17) budeme opět hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε,
tj. ve tvaru
X(σ) =
∞
n=0
εn
Xn(σ), Y (σ) =
∞
n=0
εn
Yn(σ).
Pak je
dX
dσ
=
dX0
dσ
+
∞
n=1
εn dXn
dσ
,
dY
dσ
=
dY0
dσ
+
∞
n=1
εn dYn
dσ
a současně
dX
dσ
=
∞
n=1
−Xn−1 + (K − λ)Yn−1 +
n−1
i=0
XiYn−i−1 εn
,
dY
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0 +
∞
n=1
Xn − KYn −
n
i=0
XiYn−i εn
.
Z počátečních podmínek (7.17) dostaneme
X0(0) = 1, Y0(0) = 0, Xn(0) = Yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
Nulté aproximace X0, Y0 řešení úlohy (7.16), (7.10) jsou řešením počáteční úlohy
dX0
dσ
= 0,
dY0
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0, X0(0) = 1, Y0(0) = 0,
takže
X0(σ) = 1, Y0(σ) =
1
K + 1
1 − e−(K+1)σ
.
Vrátíme se k původní nezávisle proměnné τ = εσ a dostaneme novou aproximaci řešení úlohy
(7.9), (7.10) ve tvaru
X0(τ) = 1, Y0(τ) =
1
K + 1
1 − e− K+1
ε
τ
; (7.18)
tyto funkce splňují počáteční podmínky (7.10).
Řešení úlohy (7.9), (7.10) lze v okolí bodu τ = 0, tj. na intervalu [0, δ) pro vhodné malé
kladné číslo δ, aproximovat funkcemi (7.18). Tato část řešení úlohy se nazývá singulární nebo
7.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 145
1
1
1 + K
τ0
x
Y0y0
y
x0
X0
Obrázek 7.4: Řešení úlohy (7.9), (7.10) s parametrem ε = 0.2. Plná čára — přesné řešení,
čárkovaná čára — vnější řešení, tečkovaná čára — vnitřní řešení.
vnitřní řešení. Na intervalu (δ, ∞) lze použít quasi-stacionární aproximaci (7.12), (7.13); tato
část řešení úlohy se nazývá nesingulární nebo vnější řešení.
No obr. 7.4 je znázorněno přibližné a přesné řešení úlohy (7.9), (7.10) s parametrem
ε = 0.2; vidíme, že již v tomto případě je přibližné řešení dosti blízké přesnému. Navíc, první
složka řešení, tj. funkce x, je i v pravém okolí nuly přesněji aproximována vnějším řešením
než vitřním.
Ještě odhadneme parametr δ — časový okamžik, od něhož vnější řešení lépe než vnitřní
aproximuje druhou složku řešení úlohy (7.9), (7.10). Je to taková hodnota nezávisle proměnné,
v níž mají funkce y0 a Y0 stejnou hodnotu, y0(δ) = Y0(δ). Takové číslo δ existuje podle
Bolzanovy věty, neboť
y0(0) − Y0(0) =
1
1 + K
> 0, lim
δ→∞
y0(δ) − Y0(δ) = −
1
K + 1
< 0.
Můžeme tedy řešit soustavu rovnic
1
K + 1
1 − e− K+1
ε
δ
=
ξ
ξ + K
, ξ + K ln ξ = 1 − λδ.
Vyjádřit řešení explicitně pomocí elementárních funkcí nelze, proto řešení odhadneme. Označme
na chvíli F(ξ) = ξ + K ln ξ − 1 + λδ. Pak je
F(1) = λδ > 0, lim
ξ→0+
F(ξ) = −∞ < 0, F′
(ξ) = 1 +
K
ξ
pro ξ > 0.
To znamená, že řešení druhé z rovnic, tj. rovnice F(ξ) = 0, leží v intervalu (0, 1) a funkce F
je na tomto intervalu rostoucí. Odtud dále plyne, že existuje konstanta ˜ξ ∈ (0, 1) taková, že
pro řešení ξ druhé z rovnic platí
0 < ξ ≤ ˜ξ < 1.
Z první rovnice nyní dostaneme
0 < δ =
ε
K + 1
ln
ξ + K
K(1 − ξ)
≤
ε
K + 1
ln
˜ξ + K
K(1 − ˜ξ)
.
Tato nerovnost vyjadřuje, že hodnota δ je malá stejného řádu, jako ε, tj. δ = O(ε). Tento
odhad souhlasí s vyjádření. (7.14).
146 KAPITOLA 7. CHEMICKÁ KINETIKA
Řešení původní úlohy (7.5), (7.6) můžeme nyní zapsat ve tvaru
s(t) = s0x0(k1e0t) + O
e0
s0
,
c(t) =



k1s0e0
k1s0 + k−1 + k2
1 − e−(k1s0+k−1+k2)t + O
e0
s0
, 0 ≤ t ≤ O
e0
s0
,
k1s0x0(k1e0t)
k1s0x0(k1e0t) + k−1 + k2
+ O
e0
s0
, t ≥ O
e0
s0
;
přitom funkce x0( · ) je implicitně dána rovnicí (7.12).
Kapitola 8
Makroekonomické modely
8.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu
Základní ekonomickou veličinou je produkce. Produkovat může subjekt, který vlastní kapitál.
Kapitálem jsou nejen peníze, ale především budovy, stroje, zařízení a podobně. Kapitál vzniká
a obnovuje se investicemi. Budeme tedy uvažovat tři ekonomické ukazatele, tj. tři časově
závislé proměnné – produkci Y = Y (t), kapitál K = K(t) a investice I = I(t). Kdekoliv je
vyvíjena jakákoliv ekonomická aktivita, tam je nějaká produkce; proto je veličina Y kladná.
A jak již bylo řečeno, z toho, že je produkce plyne, že byl kapitál; tedy i veličina K je kladná.
První model dynamiky produkce sestavíme na základě tří postulátů:
HD1 Kapitál vzniká investicemi a mizí amortizací.
HD2 Do tvorby kapitálu je investován stálý podíl produktu.
HD3 Relativní přírůstek kapitálu se projevuje relativním přírůstkem produkce.
Označme δ podíl kapitálu, který se za jednotku času znehodnotí amortizací, κ čas, za který
se z investované částky stane kapitál. Typicky je κ = 1, neboť investice z jednoho období jsou
v následujícím období již kapitálem. S těmito symboly upřesníme postulát HD1 jako rovnost
K(t + ∆t) = K(t) +
1
κ
I(t)∆t − δK(t)∆(t),
neboli
K(t + ∆t) − K(t)
∆t
=
1
κ
I(t) − δK(t).
Budeme dále předpokládat, že čas plyne spojitě a veličina K je diferencovatelná. Pak můžeme
limitním přechodem ∆t → 0 vyjádřit postulát HD1 ve tvaru diferenciální rovnice
K′
=
1
κ
I − δK. (8.1)
Předpoklad HD2 je vyjádřen rovností
I = (1 − s)Y, (8.2)
kde s ∈ (0, 1). Parametr s vyjadřuje podíl produkce, který není investován, tedy je spotřebován
nebo uspořen. Z nerovnosti s < 1 a kladnosti veličiny Y plyne, že také veličina I je
kladná.
147
148 KAPITOLA 8. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Předpoklad HD3 formálně zapíšeme jako rovnost
K′
K
=
Y ′
Y
. (8.3)
Z této rovnosti plyne
0 =
K′
K
−
Y ′
Y
=
K′Y − KY ′
Y 2
Y
K
=
K
Y
′
Y
K
.
Poněvadž veličiny K a Y jsou kladné, plyne odtud, že
K
Y
′
= 0 a tedy existuje konstanta
r ∈ R, že
K
Y
= r, (8.4)
neboli
K = rY. (8.5)
Naopak, z této rovnosti plyne K′ = rY ′ a vydělením této rovnosti rovností (8.5) dostaneme
rovnost (8.3). Předpoklad HD3 lze tedy ekvivalentně vyjádřit rovností (8.3) nebo (8.5).
Z rovností (8.3), (8.1), (8.2) a (8.5) nyní dostaneme
Y ′
Y
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
(1 − s)Y
K
− δ =
1 − s
κr
− δ,
tedy
Y ′
Y
=
1 − s
κr
− δ = const, (8.6)
relativní rychlost růstu produkce je za předpokladů HD1, HD2 a HD3 konstantní. Označme
ji g a z rovnice (8.6) dostaneme
Y (t) = Y0egt
,
kde Y0 = Y (0) je počáteční produkce. Znaménko konstanty g určuje, zda produkce roste nebo
klesá. Konstanta r je podle (8.4) poměrem produkce a kapitálu, vyjadřuje tedy kapitálovou
náročnost jednotky produkce. Závěr analýzy modelu nyní můžeme přeformulovat:
je-li r <
1 − s
κδ
pak produkce roste,
je-li r =
1 − s
κδ
pak produkce stagnuje,
je-li r >
1 − s
κδ
pak produkce klesá.
Nebo stručně: je-li kapitálová náročnost jednotky produkce příliš velká, pak produkce nemůže
růst.
8.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu
Budeme uvažovat uzavřenou ekonomiku, tj. takovou, že jedinými produkčními faktory jsou
kapitál a práce, nikoliv zahraniční obchod. Kromě (agregátní) produkce Y = Y (t), kapitálu
K = K(t) a investic I = I(t) do modelu zahrneme i práci L = L(t). Práci pro potřeby modelu
8.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 149
stotožníme s vytvářenou hodnotou1, měříme ji tedy ve stejných jednotkách (penězích) jako
veličiny Y , K, nebo I. Práce vždy vytváří hodnotu, proto je veličina L kladná.
Budeme předpokládat, že kapitál a investice splňují postuláty HD1 a HD2, tedy rovnosti
(8.1) a (8.2). Dále budeme postulovat:
SS1 Relativní růst (změna) práce je konstantní, odpovídá přirozenému přírůstku (nebo úbytku)
obyvatelstva.
SS2 Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce.
Postulát SS1 lze zapsat jako rovnost
L′
L
= λ, (8.7)
kde λ ∈ R je nějaká konstanta. Postulát SS2 zapíšeme rovností
Y = f(K, L). (8.8)
Funkce f se nazývá (agregátní) produkční funkce. Poněvadž všechny tři veličiny K, L, Y
považujeme za kladné, je
f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞).
Aby funkce f vystihovala ekonomickou realitu, budeme předpokládat, že vyhovuje třem přirozeným
požadavkům
pf1 Malá změna produkčního faktoru vyvolá malou změnu produkce, přitom zvětšení výrobního
faktoru nevede ke zmenšení produkce.
pf2 Produkce není závislá na tom, v jakých (peněžních) jednotkách vyjadřujeme produkci a
produkční faktory.
pf3 Platí zákon klesajících výnosů: dodatečná jednotka produkčního faktoru nevytvoří větší
produkt, než jednotka předcházející a mezní produkt při neomezeném růstu produkčního
faktoru klesá k nule.
Postulát pf1 říká, že produkční funkce je spojitá a neklesající v každé své proměnné. Změna
jednotky je totéž, co vynásobení proměnné nějakou kladnou konstantou. Postulát pf2 tedy
požaduje, aby pro každé α > 0 platilo
f(αK, αK) = αY = αf(K, L), (8.9)
tj. produkční funkce je homogenní prvního řádu. Označme na chvíli jednotku kapitálu ∆K.
Zákon klesajících výnosů pro kapitál nyní můžeme zapsat ve tvaru
f(K, L) − f(K − ∆K, L) ≥ f(K + ∆K, L) − f(K, L) −−−−→
K→∞
0
pro libovolnou hodnotu L. Uvedenou nerovnost můžeme také přepsat ve tvaru
f(K, L) ≥
1
2
f(K − ∆K, L) +
1
2
f(K + ∆K, L).
1
Poznamenejme, že hodnota obecně není totéž, co produkce.
150 KAPITOLA 8. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Analogicky vyjádříme zákon klesajících výnosů pro práci. Obecně přeformulujeme (zesílíme!)
postulát pf3 výrokem: pro každé γ ∈ (0, 1) a všechny K1, K2, L1, L2 > 0 platí
f γK1 + (1 − γ)K2, γL1 + (1 − γ)L2 ≥ γf(K1, L1) + (1 − γ)f(K2, L2), (8.10)
tj. funkce f je konkávní, a
lim
K→∞
f(K + K1, L1) − f(K, L1) = 0 = lim
L→∞
f(K, L + L1) − f(K1, L) . (8.11)
Nyní zavedeme novou veličinu k, nazvanou míra vybavenosti práce kapitálem, vztahem
k =
K
L
. (8.12)
S využitím rovností (8.1), (8.7), (8.2), (8.8) a (8.9) postupně dostaneme
k′
k
=
L
K
K
L
′
=
L
K
K′L − KL′
L2
=
K′
K
−
L′
L
=
1
κ
I
K
− δ − λ =
1 − s
κ
Y
K
− (δ + λ) =
=
1 − s
κ
f(K, L)
K
− (δ + λ) =
1 − s
κ
L
K
f
K
L
, 1 − (δ + λ) =
1 − s
κ
f(k, 1)
k
− (δ + λ).
Tímto způsobem dostáváme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu
k′
= −(δ + λ)k +
1 − s
κ
f(k, 1). (8.13)
Funkci f( · , 1) : (0, ∞) → (0, ∞) nazýváme produkční funkce v intenzivním tvaru. Je to spojitá
neklesající konkávní funkce, pro kterou podle (8.11) platí
lim
k→∞
f(k + k1, 1) − f(k, 1) = 0
pro každé k1 > 0. Z monotonie a nezápornosti funkce f( · , 1) plyne existence limity
lim
k→0+
f(k, 1) = f0 ≥ 0.
Fázovým prostorem jednorozměrné autonomní rovnice (8.13) je interval (0, ∞). Stacionární
bod k∗ této rovnice splňuje rovnnost
κ(δ + λ)k∗
= (1 − s)f(k∗
, 1). (8.14)
Izolovaný stacionární bod rovnice (8.13) v jejím fázovém prostoru existuje právě tehdy, když
δ + λ > 0, tj. případný úbytek obyvatelstva (práce) je pomalejší, než amortizace kapitálu, a
současně existuje ε > 0 takové, že
f(k, 1) > κ
δ + λ
1 − s
k (8.15)
pro k ∈ (0, ε), viz obr. 8.1. V takovém případě je pravá strana rovnice (8.13) kladná pro
k < k∗ a záporná pro k > k∗. To znamená, že za takové situace pro každé řešení k = k(t)
rovnice (8.13) platí
lim
t→∞
k(t) = k∗
,
8.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 151
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k∗
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k
(1 − s)f(k, 1)
κ(δ + λ)k
a) b) c)
Obrázek 8.1: Řešení rovnice (8.14) pro stacionární bod k∗ základní dynamické rovnice neoklasického
modelu (8.13). Na vodorovné ose je současně fázový portrét rovnice (8.13). a) δ+λ > 0
a je splněna podmínka (8.15). b) Není splněna podmínka (8.15). c) Neplatí δ + λ > 0.
vybavenost práce kapitálem se ustálí na konstantní hodnotě k∗ > 0.
Podle (8.9) platí rovnost
f(k, 1) = f
K
L
, 1 =
1
L
f(K, L) =
Y
L
.
Odtud plyne, že pro kapitálovou náročnost produkce r = r(t) platí
r =
Y
K
=
Y
L
L
K
=
f(k, 1)
k
.
Ze spojitosti funkce f( · , 1) nyní plyne, že existuje limita
r∗
= lim
t→∞
r(t) = lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= lim
t→∞
f k(t), 1
k(t)
=
f(k∗, 1)
k∗
, (8.16)
tj. kapitálová náročnost produkce se ustálí na jisté hodnotě. Porovnáním se vztahem (8.4),
který je ekvivalentní s postulátem HD3 vidíme, že Harrodův-Domarův model je limitním
případem modelu Solowova-Swanova. Harrodův-Domarův model popisuje rovnovážnou ekonomiku,
v níž produkce roste stejně rychle jako kapitál.
Pokud δ + λ > 0, ale není splněna podmínka (8.15), pak je pravá strana rovnice (8.13)
záporná; každé její řešení tedy konverguje k nule. Pokud δ + λ < 0, pak je pravá strana
rovnice (8.13) kladná a každé její řešení diverguje do nekonečna. V obou takových případech
ekonomika spěje ke kolapsu – vymizí kapitál nebo práce (tj. veškeré obyvatelstvo bude nezaměstnané).
V reálné ekonomice tedy úbytek obyvatelstva nemůže být rychlejší než amortizace
kapitálu a mezní produkt malého kapitálu musí být dostatečně velký.
8.2.1 Speciální produkční funkce
Leontiefova produkční funkce
f(K, L) = min {aK, bL} ,
kde a, b jsou kladné konstanty, vyjadřuje předpoklad, že kapitál a práce mají na produktu
pevný podíl. V případě, že aK < bL, tj. je nedostatek kapitálu, k produkci přispívá veškerý
152 KAPITOLA 8. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
kapitál, ale část práce je neproduktivní. V případě, že aK > bL, tj. je nedostatek pracovní
síly, zůstává část kapitálu ladem. Pouze v nepravděpodobném případě aK = bL je veškerý
kapitál i práce produktivní.
Produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = min{ak, b}.
Kladný izolovaný stacionární bod rovnice (8.13) s Leontiefovou
produkční funkcí existuje pouze tehdy, když je splněna podmínka
(8.15), v tomto případě konkrétně když
a > κ
δ + λ
1 − s
,
f(k, 1)
k
b
b
a
tj. podíl kapitálu na produkci je dostatečně velký, kapitál je dostatečně efektivně využíván.
Za takové situace je f(k∗, 1) = b, takže podle (8.14) je
lim
t→∞
K(t)
L(t)
= k∗
=
(1 − s)b
κ(δ + λ)
.
Odtud a z předchozí nerovnosti dostaneme
lim
t→∞
aK(t)
bL(t)
=
a(1 − s)
κ(δ + λ)
> 1,
což znamená, že ve stabilizované ekonomice je bL < aK a tedy v ní zůstává nevyužitý kapitál.
Naopak, pokud by platila opačná nerovnost
a < κ
δ + λ
1 − s
,
ekonomika by konvergovala k nulové vybavenosti práce kapitálem a v důsledku toho k nulové
produkci. Ani jeden ze scénářů samozřejmě nepředstavuje žádoucí stav.
Dvakrát diferencovatelná produkční funkce
Produkční funkce f = f(K, L) je podle pf1 neklesající a podle (8.10) konkávní v obou svých
proměnných. U dvakrát diferencovatelné produkční funkce tyto požadavky poněkud zesílíme
– budeme předpokládat, že funkce f je v obou svých proměnných rostoucí a ryze konkávní,
tj. že pro všechna kladná K, L splňuje nerovnosti
∂f
∂K
(K, L) > 0,
∂2f
∂K2
(K, L) < 0,
∂f
∂L
(K, L) > 0,
∂2f
∂L2
(K, L) < 0. (8.17)
Zákon klesajících výnosů ve tvaru
lim
K→∞
∂f
∂K
(K, L) = 0 = lim
L→∞
∂f
∂K
(K, L) (8.18)
doplníme předpokladem: pokud se v ekonomice objeví nový produkční faktor, pak jeho mezní
výnos je obrovský; přesněji řečeno, budeme předpokládat, že platí
lim
K→0+
∂f
∂K
(K, L) = ∞ = lim
L→0+
∂f
∂K
(K, L). (8.19)
8.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 153
Podmínky (8.18) a (8.19) se nazývají Inadovy. Produkční funkce, která má vlastnosti (8.9),
(8.17), (8.18) a (8.19) se nazývá neoklasická.
Tvrzení: V neoklasické funkci jsou oba produkční faktory podstatné, zmizí-li jeden z nich,
zmizí i produkce, tj.
lim
K→0+
f(K, L) = 0 = lim
L→0+
f(K, L). (8.20)
Pokud některý z produkčních faktorů roste neomezeně, pak neomezeně roste i produkce, tj.
lim
K→∞
f(K, L) = ∞ = lim
L→∞
f(K, L). (8.21)
Důkaz: Pro funkci f podle de l’Hôpitalova pravidla a podle Inadovy podmínky (8.18) platí
lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
∂f(K, L)
∂L
= 0 pro libovolné K > 0.
Z homogenity funkce f nyní plyne
0 = lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
f
K
L
, 1 = lim
k→0+
f(k, 1)
a dále
lim
K→0+
f(K, L) = lim
K→0+
L f
K
L
, 1 = L lim
k→0+
f(k, 1) = 0,
což je první z rovností (8.20).
Z homogenity funkce f, z de l’Hôpitalova pravidla a z Inadovy podmínky (8.19) plyne
lim
K→∞
f(K, L) = lim
K→∞
f 1,
L
K
1
K
= lim
K→∞
−
L
K2
f′
|2 1,
L
K
−
1
K2
= L lim
l→0+
f′
|2(1, l) = ∞
(symbol f′
|2(x, y) označuje parciální derivaci funkce f podle druhé proměnné v bodě (x, y)).
To je první z rovností (8.21). Platnost druhých rovností (8.20) a (8.21) ukážeme analogicky.
Z první rovnosti (8.20), de l’Hôpitalova pravidla a druhé Inadovy podmínky (8.19) plyne
lim
k→0+
f(k, 1)
k
= lim
k→0+
∂f(k, 1)
∂k
= ∞.
Z této rovnosti dále plyne, že je splněna podmínka (8.15).
Rovnice (8.13) s neoklasickou produkční funkcí f má jediné kladné stacionární řešení k∗,
které je globálně asymptoticky stabilní.
Cobbova-Douglasova produkční funkce
f(K, L) = AKb
L1−b
,
kde A > 0, b ∈ (0, 1) je neoklasická; o tom se lze přesvědčit snadným přímým výpočtem.
Konstanta A vyjadřuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci. Z rovnosti
Y = AKb
L1−b
154 KAPITOLA 8. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
je vidět, že k danému množství kapitálu K a požadované produkci Y lze určit potřebné
množství práce
L =
1−b Y
AKb
,
které tuto produkci zajistí. Naopak, k danému množství práce L lze určit množství kapitálu
K =
b Y
AL1−b
,
které zajistí požadovanou produkci Y . Cobbova-Douglasova produkční funkce tedy vyjadřuje
produkci v takové ekonomice, v níž jsou kapitál a práce neomezeně substituovatelné.
Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = Akb
,
takže základní rovnice neoklasického modelu (8.13) je tvaru
k′
= −(δ + λ)k + A
1 − s
κ
kb
. (8.22)
To je rovnice Bernoulliova, kterou podle návodu na str. 25 řešíme substitucí
x = k1−b
.
Tato substituce převede rovnici (8.22) na lineární nehomogenní rovnici
x′
= −(1 − b)(δ + λ)x + A
(1 − s)(1 − b)
κ
,
která má podle (1.22) řešení
x(t) = x0 −
A(1 − s)
κ(δ + λ)
e−(1−b)(δ+λ)t
+
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
kde x0 je počáteční hodnota. Poněvadž pro δ + λ > 0 platí
lim
t→∞
x(t) =
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
dostaneme pro ustálenou hodnotu vybavenosti práce kapitálem vyjádření
k∗
= lim
t→∞
k(t) = lim
t→∞
1−b
x(t) = 1−b A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
tedy
(k∗
)1−b
=
A(1 − s)
κ(δ + λ)
.
Odtud s využitím definice Cobbovy-Douglasovy produkční funkce a porovnáním se vztahem
(8.16) dostaneme
κ(δ + λ)
1 − s
=
A
(k∗)1−b
=
A(k∗)b
k∗
=
f(k∗, 1)
k∗
= r∗
.
Poměr produkce a kapitálu v rovnovážné ekonomice s neomezeně substituovatelnou prací a
kapitálem je tedy rovna konstantě
κ
δ + λ
1 − s
.
8.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 155
8.3 Goodwinův model hospodářského cyklu
Práce v Solowovu-Swanovu modelu je abstraktní veličina, představuje vlastně hodnotu prací
vytvořenou. Nyní budeme jako práci L = L(t) označovat množství zaměstnaného obyvatelstva,
které za svou práci dostává mzdu W = W(t). Přesněji řečeno, W označuje nějakou
střední hodnotu mzdy jednoho pracovníka. Dále budeme uvažovat množství N = N(t) práceschopného
(nebo práceochotného) obyvatelstva. Pro zjednodušení zavedeme ještě veličiny:
produktivita práce
a =
Y
L
(8.23)
(střední množství produktu vytvořeného jedním pracujícím člověkem), relativní zaměstnanost
v =
L
N
(8.24)
a podíl mzdy na produkci
u =
W
a
=
WL
Y
. (8.25)
Ekonomiku budeme považovat za rovnovážnou, tj. budeme předpokládat, že produkce Y ,
kapitál K a investice I splňují postuláty HD1 a HD3 Harrodova-Domarova modelu, tedy
rovnost (8.1) a ekvivalentní rovnosti (8.3), (8.4). Dále budeme postulovat:
G1 Veškerá čistá produkce, tj. produkce bez vyplacených mezd, je investována.
G2 Relativní změna počtu obyvatel je konstantní.
G3 Projevuje se stálý technický pokrok, tj. konstantní relativní růst produktivity práce.
G4 Změna mzdové sazby závisí na zaměstnanosti.
Postulát G1 nahrazuje předpoklad o investování HD2 z Harrodova-Domarova modelu. Postuláty
G1, G2 a G3 zapíšeme po řadě rovnostmi
I = Y − WL, (8.26)
N′
N
= β, (8.27)
a′
a
= α, (8.28)
kde α > 0, β ∈ R jsou nějaké konstanty. V postulátu G4 budeme změnu považovat za relativní
a postulát zpřesníme vyjádřením
W′
W
= ϕ(v), (8.29)
kde ϕ : [0, 1) → R je diferencovatelná funkce, jejímž grafem je Phillipsova křivka. Její vlastnosti,
které byly zjištěny empiricky, formálně vyjádříme tak, že funkce ϕ je na svém definičním
oboru rostoucí a konvexní, zejména
ϕ′
(v) > 0 pro v ∈ [0, 1) (8.30)
a splňuje nerovnosti
ϕ(0) = ϕ0 < 0, (8.31)
156 KAPITOLA 8. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
tj. při malé zaměstnanosti (velké nezaměstnanosti) mzdy klesají (je-li práce vzácná, lidé jsou
ochotni pracovat za nízkou mzdu),
lim
v→1−
ϕ(v) = ϕ1 > 0, (8.32)
tj. při velké zaměstnanosti mzdy rostou (chceme-li při téměř plné zaměstnanosti získat nového
pracovníka, musíme ho přeplatit); přitom připouštíme i ϕ1 = ∞ (to je dokonce obvyklejší
předpoklad).
Podle (8.1), (8.26), (8.4) a (8.25) platí
K′
K
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
Y − WL
K
− δ =
1
κ
Y
K
1 −
WL
Y
− δ =
r
κ
(1 − u) − δ.
Odtud a z rovnosti (8.3) při označení σ =
r
κ
dostaneme
Y ′
Y
= σ(1 − u) − δ. (8.33)
Nyní vyjádříme relativní změnu zaměstnanosti pomocí rovností (8.24), (8.23), (8.27), (8.33)
a (8.28).
v′
v
=
N
L
L
N
′
=
N
L
L′N − LN′
N2
=
L′
L
−
N′
N
=
a
Y
Y
a
′
− β =
a
Y
Y ′a − Y a′
a2
− β =
=
Y ′
Y
−
a′
a
− β = σ(1 − u) − δ − α − β.
Tedy při označení γ = σ − α − β − δ máme
v′
v
= −σu + γ. (8.34)
Relativní změnu podílu mzdy na produkci vyjádříme pomocí rovností (8.25), (8.29) a (8.28).
u′
u
=
a
W
W
a
′
=
a
W
W′a − Wa′
a2
=
W′
W
−
a′
a
= ϕ(v) − α,
tj.
u′
u
= ϕ(v) − α. (8.35)
Rovnice (8.35) a (8.34) představují model vývoje podílu mezd na produkci a relativní zaměstnanosti.
Můžeme je přepsat v obvyklém tvaru
u′ = u ϕ(v) − α ,
v′ = v(γ − σu);
(8.36)
připomeňme, že fázový prostor systému (8.36) je množina Ω = [0, ∞) × [0, 1) a že parametry
α, σ jsou kladné.
Ze druhé rovnice systému (8.36) plyne diferenciální nerovnost u′ ≤ γv a tedy podle srovnávací
věty 8 platí
v(t) ≤ v(0)eγt
.
8.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 157
Uvažujme nejprve γ < 0. Pak
lim
t→∞
v(t) = 0.
Ze spojitosti funkce ϕ a podmínky (8.30) odtud plyne, že existuje t1 ≥ 0 takové, že ϕ( v(t) ≤
0 pro t ≥ t1. Podle první rovnice systému (8.36) pro t ≥ t1 platí u′(t) ≤ −αu(t), takže
u(t) ≤ u(t1)e−αt. Proto také
lim
t→∞
u(t) = 0.
Případ γ < 0 popisuje ekonomiku, která spěje k podivnému stavu – nikdo nepracuje a na
produkci se mzda nepodílí2.
Dále budeme realističtěji předpokládat, že γ > 0.
Pokud ϕ1 < α, pak z první rovnice systému (8.36) plyne, že u′ ≤ u(ϕ1 − α) a tedy pro
všechna t ≥ 0 je
u(t) ≤ u(0)e(ϕ1−α)t
.
To znamená, že existuje t2 ≥ 0 takové, že
u(t) ≤
γ
2σ
pro t ≥ t2.
Podle druhé rovnice systému (8.36) pro t ≥ t2 platí
v′
(t) = v(t) γ − σu(t) ≥ v(t) γ − σ
γ
2σ
=
1
2
γv(t),
takže v(t) ≥ v(t2)e
1
2
γt
. To znamená, že existuje T ≥ t2 takové, že
lim
t→T−
v(t) = 1.
Podle věty 5 řešení nelze prodloužit za čas T. V případě ϕ1 < α tedy ekonomika v konečném
čase dospěje k plné zaměstnanosti, ale v tom okamžiku přestanou platit „ekonomické zákony ,
ze kterých byl Goodwinův model sestaven3.
Je-li ϕ1 > α (což je zejména splněno, pokud ϕ1 = ∞), pak existuje v∗ ∈ (0, 1) takové, že
ϕ(v∗) = α, tj. v∗ = ϕ−1(α). Systém (8.36) má v tomto případě dva stacionární body
(0, 0) a (u∗
, v∗
) =
γ
σ
, ϕ−1
(α) .
Variační matice systému (8.36) je
J(u, v) =
ϕ(v) − α uϕ′(v)
−σv γ − σu
,
tedy
J(0, 0) =
ϕ0 − α 0
0 γ
, det J(0, 0) = γ(ϕ0 − α) < 0,
2
To připomíná lidovou charakteristiku reálného socialismu, který fungoval v sedmdesátých a osmdesátých
letech dvacátého století v Československé socialistické republice: „Občané předstírají, že pracují, stát předstírá,
že platí.
3
Ekonomika s plnou zaměstnaností a s malým až zanedbatelným podílem mezd na produkci je snem komunistů
— všichni budou pracovat (práce se stane první životní nutností), ale peníze již za komunismu nebudou.
Tomuto ideálu se v realitě nejvíce přiblížil Pol Pot.
158 KAPITOLA 8. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
J(u∗
, v∗
) =
0
γ
σ
ϕ′(v∗)
−σv∗ 0
, det J(u∗
, v∗
) = γv∗
ϕ′
(v∗
) > 0, tr J(u∗
, v∗
) = 0.
Podle Tabulky 4.1 je triviální stacionární bod (0, 0) sedlo. O typu stacionárního bodu (u∗, v∗)
nelze podle tohoto kritéria rozhodnout.
Budeme hledat vyjádření trajektorií systému (8.36). Vydělením jeho rovnic dostaneme
dv
du
=
v(γ − σu)
u ϕ(v) − α
,
což je obyčejná rovnice se separovanými proměnnými. Podle 1.1 je její řešení implicitně dáno
rovností
ϕ(v) − α
v
dv =
γ − σu
u
du,
po úpravě
σu − ln (uγ
vα
) +
v
v0
ϕ(x)
x
dx = const;
přitom v0 ∈ (0, 1) je nějaká konstanta vyjadřující počáteční zaměstnanost. Levou stranu
poslední rovnosti označíme G(u, v). Trajektorie systému (8.36) jsou tedy vrstevnicemi funkce
G.
Poněvadž platí
∂G
∂u
= σ −
γ
u
= −
γ − σu
u
,
∂G
∂u
(u∗
, v∗
) = 0,
∂G
∂v
=
ϕ(v)
v
−
α
v
=
ϕ(v) − α
v
,
∂G
∂v
(u∗
, v∗
) = 0,
∂2G
∂u2
=
γ
u2
> 0,
∂2G
∂u∂v
= 0,
∂2G
∂v2
=
vϕ′(v) − ϕ(v) − α
v2
,
∂2G
∂v2
(u∗
, v∗
) =
ϕ′(v∗)
v∗
> 0,
je stacionární bod (u∗, v∗) lokálním minimem funkce G, a ta je v nějakém jeho okolí konvexní.
To znamená, že trajektorie systému (8.36) začínající v okolí stacionárního bodu (u∗, v∗) jsou
uzavřenými křivkami, stacionární bod je střed.
Možné umístění nulklin ve fázovém prostoru spolu s trajektoriemi systému (8.36) je znázorněno
na obr. 8.2. Vidíme, že i v případě γ > 0, ϕ1 > α je možné, že vývoj ekonomiky
dospěje v konečném čase k plné zaměstnanosti a malému podílu mzdy na produkci, pokud je
počáteční stav ekonomiky dostatečně daleko od rovnováhy. Jinak zaměstnanost kolísá kolem
jisté rovnovážné hodnoty, v ekonomice se střídají období prosperity a útlumu; Goodwinův
model tedy svým způsobem vysvětlil vznik a nevyhnutelnost hospodářského cyklu.
Obecně platí
∇G(u, v) =



−
γ − σu
u
ϕ(v) − α
v


 , tedy ∇G(u, v)T
u ϕ(v) − α
v(γ − σu)
= 0,
8.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 159
ϕ1 < α ϕ1 > α
γ < 0
v
u
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ > 0
v
uγ
σ
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ
σ
Obrázek 8.2: Trajektorie a nulkliny systému (8.36) pro možné kombinace parametrů
což znamená, že funkce G je prvním integrálem (invariantem) systému (8.36). Dále při označení
x = ln u, y = ln v dostaneme
x′
= ϕ (ey
) − α, y′
= γ − σex
. (8.37)
Systém (8.36) lze tedy transformovat na systém bipartitní; fázovým prostorem transformovaného
systému je množina R × (−∞, 0].
Pro funkci
H(x, y) = G (ex
, ey
) = σex
− γx − αy +
ey
v0
ϕ(η)
η
dη = σex
− γx − αy +
y
ln v0
ϕ(eξ
)dξ
(integrál jsme transformovali substitucí ξ = ln η) platí
∂H
∂x
= σex
− γ,
∂H
∂y
= −α + ϕ (ey
) ,
takže systém (8.37) můžeme přepsat ve tvaru
x
y
′
=
0 −1
1 0
∇H(x, y).
Systém (8.37) je tedy hamiltonovský s hamiltoniánem H.