Uvažujme o nasledujúcom autonómnom systéme
x = f(x),
kde x ∈ Rn
. Predpokladajme, že existujú dva rôzne indexy i, j ∈ {1, . . . , n} a funkcie g(xi, xj)
a h(xi, xj) s nasledujúcou vlastnosťou:
g(xi, xj) · fi(x) + h(xi, xj) · fj(x) = 0.
Inými slovami, ak pripočítame g-násobok i-tej rovnice k h-násobku j-tej rovnice, potom dostaneme
rovnicu
g(xi, xj) · xi + h(xi, xj) · xj = 0.
Ďalej predpokladajme, že rovnica F(xi, xj) = c implicitne zadáva riešenie rovnice
g(xi, xj) · dxi + h(xi, xj) · dxj = 0, (1)
čo môžeme formulovať aj tak, že existuje funkcia k(xi, xj), ktorá spĺňa nasledujúce podmienky:
∂F
∂xi
= k(xi, xj) · g(xi, xj),
∂F
∂xj
= k(xi, xj) · h(xi, xj).
Všetky uvedené predpoklady stačia na to, aby funkcia P(x) = F(xi, xj) bola prvým integrálom
systému x = f(x):
P(x)T
· f(x) =
n
k=1
∂P
∂xk
(x) · fk(x) =
∂F
∂xi
(x) · fi(x) +
∂F
∂xj
(x) · fj(x)
= k(xi, xj) · g(xi, xj) · fi(x) + k(xi, xj) · h(xi, xj) · fj(x)
= k(xi, xj)(g(xi, xj) · fi(x) + h(xi, xj) · fj(x)) = 0.
Predpokladajme, že podiel fj(x)/fi(x) závisí len od premenných xi a xj, takže môžeme písať
fj(x)/fi(x) = a(xi, xj) pre vhodnú funkciu a. Nech riešenia rovnice
dxj
dxi
=
fj(x)
fi(x)
= a(xi, xj)
sú zadané implicitne rovnicou G(xi, xj) = c. Pripomeňme vzorec pre deriváciu implicitne zadanej
funkcie:
G(xi, xj(xi)) = c ⇒ Gxi
+ Gxj
· xj = 0 ⇒ xj = −
Gxi
Gxj
.
Máme dva spôsoby ako vyjadriť deriváciu xj:
−
Gxi
Gxj
=
fj(x)
fi(x)
⇒ Gxi
· fi(x) + Gxj
· fj(x) = 0.
Ak zvolíme g = Gxi
, h = Gxj
a k(xi, xj) = 1, potom sú pre F = G splnené podmienky
predošlého odstavca, a preto je G prvým integrálom systému x = f(x). To za uvedených
predpokladov dokazuje korektnosť postupu hľadania prvého integrálu, ktorý je založený na
delení j-tej rovnice i-tou. Tieto skutočnosti boli dvakrát použité v dokumente cvicenie3.pdf.
1