Príklad 1. Vysvetlite fungovanie tlmičov pruženia na náprave automobilu.
Najprv popíšeme situáciu, kedy je náprava spojená so zvyškom automobilu len prostredníctvom
pružiny. Budeme ignorovať horizontálny pohyb automobilu, ktorý bude modelovaný
abstraktným telesom hmotnosti m spojeným pružinou s povrchom zeme.
Odvoďme rovnicu popisujúcu vývoj vertikálnej odchýlky x od rovnovážnej polohy tohto telesa v
čase t. Podľa druhého Newtonovho pohybového zákona je súčin hmotnosti telesa s jeho zrýchlením
rovný výslednici všetkých síl pôsobiacich na teleso. V našom prípade na teleso pôsobí
silou len pružina, ktorá je priamo úmerná odchýlke pružiny od rovnovážnej polohy. Konštantu
úmernosti značíme k > 0 a nazývame ju tuhosť pružiny. To nás privádza k rovnici
mx = −kx ⇔ mx + kx = 0.
Na prvý pohľad možno nie je úplne zrejmé, prečo ignorujeme vplyv gravitačnej sily pôsobiacej
na teleso. Ukážme, že tento vplyv je v skutočnosti zahrnutý v našom modeli, inými slovami,
vysvetlime si pojem vertikálna odchýlka od rovnovážnej polohy. Zaveďme veličinu y, ktorá
udáva výšku, v ktorej sa teleso nachádza s tým, že y = 0 reprezentuje bod, v ktorom je pružina
nedeformovaná, teda na teleso nepôsobí žiadnou silou. Opäť použijeme druhý Newtonov zákon,
tentokrát berúc do úvahy obidve sily pôsobiace na teleso:
my = −ky − mg,
kde g je gravitačné zrýchlenie. Rovnovážna poloha, vo všeobecnosti rovnovážny stav systému,
je konštantné riešenie y = c diferenciálnej rovnice popisujúcej vývoj systému. Po dosadení y = c
do diferenciálnej rovnice dostaneme rovnosť y = −mg/k. Veličina x(t) = y(t) + mg/k potom
zrejme vyjadruje odchýlku od rovnovážnej polohy. Chápme túto rovnosť ako zavedenie novej
závislej premennej a pozrime sa ako po dosadení vyzerá naša diferenciálna rovnica:
m x −
mg
k
= −k x −
mg
k
− mg,
mx = −kx,
čo je rovnica, ktorú sme odvodili na začiatku.
Korene charakteristického polynómu sú ± k/m · i, takže všeobecné riešenie tejto rovnice
je
x(t) = c1 cos
k
m
t + c2 sin
k
m
t.
1
Pre jednoduchosť predpokladajme, že v čase t0 = 0 automobil prešiel po nerovnosti na vozovke
spôsobiac okamžitú odchýlku x0, čo sa však nestihlo prejaviť na rýchlosti automobilu vo vertikálnom
smere. To môžeme zachytiť voľbou nasledujúcej počiatočnej podmienky: x(0) = x0,
x (0) = 0. Nájdime partikulárne riešenie xP spĺňajúce túto podmienku.
x (t) = −c1
k
m
sin
k
m
t + c2
k
m
cos
k
m
t
x0 = c1,
0 = k
m
c2,
⇒ xP (t) = x0 cos
k
m
t
Všimnime si, že nielenže limt→∞ xP (t) = 0, ale táto limita dokonca ani neexistuje. V ideálnom
prípade by teda pri použití pružín samotných oscilácie spôsobené odchýlkou od rovnovážnej
polohy nikdy neustali.
Pozrime sa na túto situáciu ešte z pohľadu energie. Systém disponuje jednak kinetickou
energiou Ek, ktorá je uchovaná v pohybe telesa, a na druhej strane potenciálnou energiou Ep
uloženou v stlačenej/roztiahnutej pružine. Odvoďme si pre ilustráciu tvar potenciálnej energie
stavu systému. Tá je totožná s prácou, ktorú bolo nutné vykonať, aby sa systém do tohto stavu
dostal. Odchýlka x pružiny od rovnovážnej polohy bola dosiahnutá tak, že na dráhe od 0 do x
bola na pružinu vyvíjaná sila ks, kde s je bod na dráhe od 0 až k x. Keďže práca je integrál
sily po dráhe, na ktorej pôsobí, je potenciálna energia daná nasledujúcim integrálom:
Ep =
x
0
ks ds = k
s2
2
x
0
=
1
2
kx2
.
O kinetickej energii vieme, že sa dá vyjadriť v tvare
Ek =
1
2
mx 2
.
Pozrime sa, ako sa v čase vyvíja celková energia systému:
(Ep(t) + Ek(t)) =
1
2
kx(t)2
+
1
2
mx (t)2
= kx(t)x (t) + mx (t)x (t) = x (t)(kx(t) + mx (t)) = 0.
Zistili sme, že celková energia systému sa v čase nemení. Ak teda do systému nejakú energiu
pridáme, napríklad stlačením pružiny spôsobeným prechodom cez nerovnosť, tá v ideálnom
prípade v systéme ostane.
Toto nežiadúce chovanie môže byť skrotené použitím tlmiča pruženia. Je to valec naplnený
tekutinou, v ktorom sa pohybuje piest s priepustnými ventilmi. Prelievanie tekutiny medzi komorami
valca oddelenými piestom spôsobuje odpor voči pohybu piestu. Táto odporová sila je
priamo úmerná rýchlosti pohybu piestu. Konštantu úmernosti označíme symbolom b > 0 a nazveme
ju konštantou tlmenia. Jej hodnota závisí od parametrov konštrukcie tlmiča a vlastností
použitej tekutiny.
2
V tomto prípade na teleso hmotnosti m pôsobia dve sily a rovnica popisujúca vertikálnu odchýlku
telesa od rovnovážnej polohy má tvar
mx = −bx − kx ⇔ mx + bx + kx = 0.
Charakteristický polynóm tejto rovnice má tvar
mλ2
+ bλ + k = 0 ⇔ λ2
+
b
m
λ +
k
m
= 0.
Jeho diskriminant a korene sú dané nasledujúcimi rovnosťami:
D =
b2
m2
−
4k
m
=
b2
− 4km
m2
, λ1,2 =
− b
m
± b2−4km
m2
2
=
−b ±
√
b2 − 4km
2m
.
Všimnime si, že reálne zložky koreňov λ1,2 sú v každom prípade záporné. Skutočne, podľa
predpokladu b, k, m > 0 je výraz pod odmocninou buď kladný, v takom prípade je v absolútnej
hodnote menší ako b2
, alebo záporný, čo znamená, že odmocnina prispieva len do imaginárnej
zložky koreňov. V dôsledku toho akékoľvek riešenie x(t) rovnice mx +bx +kx = 0 spĺňa vzťah
limt→∞ x(t) = 0. Aj riešenie počiatočného problému x(0) = x0, x (0) = 0 popisujúce prechod
cez nerovnosť konverguje k nule, čo znamená, že vplyvom tlmičov skutočne dochádza k tlmeniu
nežiadúcich oscilácií a akákoľvek odchýlka od rovnovážnej polohy časom zanikne.
Na záver ešte vyšetríme použitie tlmičov z energetického hľadiska. Rovnako ako v predošlom
prípade aj teraz je celková energia systému daná súčtom kinetickej a potenciálnej energie.
Vypočítajme jej zmenu v čase:
(Ep(t) + Ek(t)) =
1
2
kx(t)2
+
1
2
mx (t)2
= kx(t)x (t) + mx (t)x (t) = x (t)(kx(t) + mx (t)) = −bx (t)2
≤ 0.
Takže celková energia systému skoro neustále klesá.
3