Príklad 1. Pokúsime sa popísať trajektórie pohybu plavca, ktorý sa pokúša doplávať na konkrétne
miesto v koryte rieky. Predpokladajme, že v každom bode má tok rieky rovnaký smer
aj rýchlosť a > 0. Na druhej strane, plavec pláva tiež konštantnou rýchlosťou b > 0, pričom
neustále smeruje k bodu, ku ktorému sa snaží dostať. Zostavte rovnice popisujúce danú situáciu,
nájdite trajektórie pohybu plavca a analyzujte vývoj situácie v závislosti od veličiny a/b.
Mohol plavec zvoliť efektívnejšiu stratégiu?
Situáciu môžeme ilustrovať pomocou nasledujúceho obrázka:
Bod, ktorý sa plavec snaží dosiahnuť, sme umietsnili do počiatku a prúd rieky je rovnobežný
s osou y, pričom hodnoty premennej y po prúde klesajú. Akýkoľvek vektor smerujúci do počiatku
z bodu (x, y) je kladným násobkom vektora (−x, −y). Ak vektor (−x, −y) vydelíme jeho
veľkosťou x2 + y2 a následne ho vynásobíme hodnotou b, dostaneme zložku rýchlosti, ktorá
je spôsobená plavcom samotným. Rovnice popisujúce pohyb plavca v rieke sú
˙x =
−bx
x2 + y2
,
˙y = −a −
by
x2 + y2
.
Všimnime si, že vektorové pole reprezentujúce rýchlosť pohybu plavca je ekvivariantné vzhľadom
na akciu (x, y) → (−x, y). Ak použijeme všeobecnejšie značenie
f(x, y) =
−bx
x2 + y2
, g(x, y) = −a −
by
x2 + y2
,
môžeme túto skutočnosť vyjadriť rovnicami f(−x, y) = −f(x, y) a g(−x, y) = g(x, y). To
znamená, že situácia v polrovine x < 0 je zrkadlovým obrazom situácie v polrovine x > 0.
Preto nám stačí obmedziť sa len na situáciu x > 0. Uvedenú sústavu rovníc redukujeme na
jednu obyčajnú diferenciálnu rovnicu pomocou nasledujúcej vety.
Veta 1. Uvažujme o nasledujúcom systéme diferenciálnych rovníc:
˙x = f(x, y),
˙y = g(x, y).
(∗)
Predpokladajme, že existuje funkcia F, ktorá je konštantná pozdĺž riešení tohto systému, teda
pre každé t platí F(x(t), y(t)) = c, kde (x(t), y(t)) je riešením (∗). Ďalej predpokladajme,
1
Obr. 1: a < b Obr. 2: a > b
že Fy(x0, y0) = 0, teda rovnica F(x, y) = c implicitne určuje funkciu y = y(x). Za týchto
predpokladov platí nasledujúca implikácia. Ak x(t) je riešením rovnice ˙x = f(x, y(x)), potom
(x(t), y(x(t))) je riešením systému (∗).
Dôkaz. Keďže ˙x(t) = f(x(t), y(x(t))), je prvá rovnica systému (∗) splnená. Zderivujme rovnicu
F(x, y(x)) = c podľa x a rovnicu F(x(t), y(t)) = c podľa t:
Fx + Fy · y = 0 ⇒ y (x) = −
Fx(x, y(x))
Fy(x, y(x))
,
Fx · ˙x + Fy · ˙y = Fx · f + Fy · g = 0.
Podľa poslednej rovnice pre každú dvojicu (x, y) sú vektory (Fx, Fy) a (f, g) na seba kolmé, a
preto existuje funkcia k(x, y) spĺňajúca
(Fx(x, y), Fy(x, y)) = k(x, y)(−g(x, y), f(x, y)).
Ďalej platí
d
dt
y(x(t)) = y (x(t)) · ˙x(t) = −
Fx(x(t), y(x(t)))
Fy(x(t), y(x(t)))
· f(x(t), y(x(t)))
=
k(x(t), y(x(t))) · g(x(t), y(x(t)))
k(x(t), y(x(t))) · f(x(t), y(x(t)))
· f(x(t), y(x(t))) = g(x(t), y(x(t))).
To znamená, že aj druhá rovnica systému (∗) je splnená.
Podľa tejto vety je graf funkcie y(x) implicitne určenej rovnicou F(x, y) = c zároveň trajektóriou
nejakého riešenia systému (∗). Na základe jej dôkazu môžeme usúdiť, že funkcia y(x) je
riešením rovnice
y =
g(x, y)
f(x, y)
.
Uvedomme si, že k tomuto výsledku vedie aj intuitívnejšia cesta. Ak použijeme značnie ˙x =
dx/ dt a ˙y = dy/ dt, pričom tieto symboly budeme chápať ako zlomky, a druhú rovnicu systému
(∗) vydelíme prvou, dostaneme
y =
dy
dx
=
dy/ dt
dx/ dt
=
g(x, y)
f(x, y)
.
2
Zdôraznime, že výraz k(x, y) z dôkazu je v skutočnosti integračným faktorom tejto exaktnej
diferenciálnej rovnice. Funkciu F nazývame prvým integrálom.
Pustime sa do počítania:
y =
a +
by
x2 + y2
bx
x2 + y2
=
a +
by
x
1 + y
x
2
b
1 + y
x
2
=
a +
bz
√
1 + z2
b
√
1 + z2
=
a
√
1 + z2 + bz
√
1 + z2
b
√
1 + z2
=
a
b
√
1 + z2 + z.
Po úpravách v druhej rovnosti je evidentné, že sa jedná o homogénnu diferenciálnu rovnicu, čo
nás viedlo k zavedeniu substitúcie z = y/x. Označme k = a/b a pokračujme:
y = z x + z = k
√
1 + z2 + z
z x = k
√
1 + z2
z
√
1 + z2
=
k
x
1
√
1 + z2
dz =
k
x
dx = k log x + c.
Integrál na ľavej strane spočítame nasledujúcim spôsobom:
1
√
1 + z2
dz
z = tan u
dz =
1
cos2 u
du
=
1
√
1 + tan2
u
1
cos2 u
du =
1
cos u
du =
cos u
cos2 u
du
=
cos u
1 − sin2
u
du
sin u = s
cos u du = ds
=
1
1 − s2
ds =
1
2
1
1 + s
+
1
1 − s
ds
=
1
2
log
1 + s
1 − s
+ c =
1
2
log
1 + sin arctan z
1 − sin arctan z
+ c.
Nájdime prívetivejší tvar výrazu sin arctan z:
sin2
(arctan z) + cos2
(arctan z) = 1 ⇒ tan2
(arctan z) + 1 =
1
cos2(arctan z)
⇒ cos2
(arctan z) =
1
1 + z2
⇒ sin2
(arctan z) = 1 − cos2
(arctan z) = 1 −
1
1 + z2
=
z2
1 + z2
⇒ sin(arctan z) =
z
√
1 + z2
.
Takže hľadaný integrál je
1
√
1 + z2
dz =
1
2
log



1 +
z
√
1 + z2
1 −
z
√
1 + z2


 + c =
1
2
log
√
1 + z2 + z
√
1 + z2 − z
+ c
=
1
2
log
√
1 + z2 + z
√
1 + z2 − z
·
√
1 + z2 + z
√
1 + z2 + z
+ c =
1
2
log (
√
1 + z2 + z)2
+ c
= log
√
1 + z2 + z + c
3
Funkcia z(x) je implicitne zadaná rovnicou
log
√
1 + z2 + z = k log x + c
√
1 + z2 + z = Kxk
, K > 0
1 +
y
x
2
+
y
x
= Kxk
x2 + y2 = Kxk+1
− y 2
x2
+ y2
= K2
x2k+2
− 2Kyxk+1
+ y2
y =
1
2Kxk+1
K2
x2k+2
− x2
=
1
2
x Kxk
−
1
Kxk
.
Vzhľadom k tomu, že
lim
x→0+
y(x) =
0, k ∈ (0, 1),
−∞, k > 1,
môžeme povedať nasledujúce. V prípade, že b > a, plavec bez ohľadu na miesto, odkiaľ vyštartoval,
nakoniec dopláva do cieľa. Ak a > b, potom prúd plavca strhne, nech začínal odkiaľkoľvek.
Obr. 3: k < 1 Obr. 4: k > 1
Skúsme vyriešiť rovnicu y = g(x, y)/f(x, y) všeobecným postupom pre riešenie exaktných
diferenciálnych rovníc. Najprv ju trochu zjednodušíme:
y =
g(x, y)
f(x, y)
=
−a −
by
x2 + y2
−bx
x2 + y2
=
a x2 + y2 + by
bx
Zaveďme nasledujúce značenie: P(x, y) = a x2 + y2 + by a Q(x, y) = bx. Vzhľadom k tomu,
že Qx = −Py, musíme nájsť vhodný integračný faktor R(x, y). Zvoľme
R(x, y) =
1
bx x2 + y2
.
4
Počítajme:
(RQ)x =
∂
∂x
1
x2 + y2
=
−x
(x2 + y2)
3
2
,
(RP)y =
∂
∂y
a x2 + y2 + by
bx x2 + y2
=
∂
∂y
a
bx
+
y
x x2 + y2
=
x x2 + y2 − yx
y
x2 + y2
x2(x2 + y2)
=
x(x2
+ y2
) − xy2
x2(x2 + y2)
3
2
=
x
(x2 + y2)
3
2
.
To znamená, že diferenciálna rovnica
y · RQ − RP = y ·
1
x2 + y2
−
a x2 + y2 + by
bx x2 + y2
= 0
je skutočne exaktná, a preto ju môžeme vyriešiť nám už známym spôsobom. Nájdeme funkciu
G(x, y), ktorej totálny diferenciál má tvar RQ dy − RP dx. Začneme integráciou funckie RQ:
G(x, y) = R(x, y)Q(x, y) dy =
1
x2 + y2
dy =
1
x
1
1 + y
x
2
dy
z = y
x
dz = 1
x
dy
=
1
√
1 + z2
dz = log
√
1 + z2 + z + c(x) = log 1 +
y
x
2
+
y
x
+ c(x).
Ďalej spočítame deriváciu Gx a porovnáme ju s funkciou −RP, aby sme mohli dopočítať neznámu
funkciu c(x):
Gx(x, y) =
1
y
x
+ 1 + y
x
2
·

−
y
x2
+
1
2
·
1
1 + y
x
2
· (−2) ·
y2
x3

 + c (x)
=
−x
y + x2 + y2
·
y
x2
+
y2
x2 x2 + y2
+ c (x) =
−y
x x2 + y2
+ c (x),
(−RP)(x, y) = −
a x2 + y2 + by
bx x2 + y2
= −
a
bx
−
y
x x2 + y2
.
To znamená, že funkcia c(x) spĺňa diferenciálnu rovnicu c (x) = −k/x. Jej riešením je c(x) =
−k log(x)+c. Konečne sme sa dostali k funkcii G(x, y), ktorá implicitne zadáva riešenie rovnice
a jej predpis je totožný s predpisom, ktorý sme našli skôr použitou metódou:
G(x, y) = log 1 +
y
x
2
+
y
x
− k log(x) + c.
Literatúra
[1] SOARE, Mircea V.; TEODORESCU, Petre P.; TOMA, Ileana. Ordinary differential equations
with applications to mechanics. New York: Springer, 2007.
5