Kapitoly z pojistné matematiky I Kapitoly z pojistné matematiky Individuálni model rizika Silvie Zlatošová 2021 Kapitoly z pojistné matematiky O Úvod Q Podmíněná pravděpodobnost Q Model pro náhodný individuálni škodní nárok Q Součet nezávislých náhodných veličin Q Aplikace Obsah Q Úvod Kapitoly z pojistné matematiky Uvod Motivace 9 Lidé si sjednávají pojištění, aby snižovali dopad nepříznivých náhodných událostí. • Mohou hledat ochranu před ztrátou majetku, zdraví nebo života. o Podobná rozhodnutí musí činit také pojišťovny, které se musí chránit před ztrátou finančních prostředků způsobenou vlivem nadměrných pojistných nároků ať už jednotlivce nebo celého pojistného kmene (portfolia). Motivace 9 Hlavní cíl pojišťovny: předpovídat pomocí pravděpodobnostního modelu budoucí výdaje pojišťovny. • Základní nástroj: teorie pravděpodobnosti. • Příklady náhodných veličin v pojistné matematice: • zda nastala pojistná událost z dané smlouvy (0 nebo 1), • čas kdy nastala pojistná událost, • velikost ztráty z pojistné události, • celkový počet pojistných nároků z jedné smlouvy (portfolia), • velikost pojistného plnění z jedné smlouvy (portfolia). • Musíme tedy umět: • Modelovat celkový počet nároků, • Modelovat velikost jednotlivých nároků • Dát to dohromady - Kolektivní teorie rizika (+ závislost na čase ... stochastické procesy) Označme S náhodnou veličinu představující úhrn škod za období pevně zvolené délky T a n počet smluv v pojistném kmeni. Pak individuální model: • pracuje s riziky příslušejícími jednotlivým pojistným smlouvám v pojistném kmeni. o zabývá se vlastnostmi individuálních škodních nároků Xj,i = 1,n připadajících na jednotlivé pojistné smlouvy. • uplatňuje se v důležité oblasti určování pojistného podle individuálního škodního průběhu. Pro vyšetření úhrnu s = ±x, /=1 předpokládáme, že náhodné veličiny X, jsoy íip^ávj^lg., , =, = 9 Kolektivní model rizika vychází z předpokladu, že v dostatečně homogenním pojistném kmeni lze považovat výše škodních nároků z jednotlivých pojistných událostí za stejně rozdělené náhodné veličiny. • Úhrn škod je pak vyjádřen součtem je posloupnost škodních nároků bez ohledu na to, které pojistné smlouvě příslušejí. N /=1 kde náhodná veličina N představuje počet všech pojistných událostí v uvažovaném období a ^0?1 — 1 ? 2,... Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Obsah uvuu Q Podmíněná pravděpodobnost Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná hustota * X a / jsou dvě náhodné veličiny se sdruženou hustotou nebo pravděpodobnostní funkcí fx,y(x,y) a marginálními hustotami fx{x) a /y(/)- a Podmíněná hustota pro X s daným Y = y je W(*|y) = My) " • Jestliže jsou XaY nezávislé, pak platí fx,v(x>y) = fx{xYv{y) a v tomto případě platí fx\y{*\y) = fx(x)- Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná hustota • Sdruženou hustotu je možné vyjádřit jako součin podmíněné a marginální hustoty fr,y(x,y) = fx\Y{x\y)fY(y)- • Marginální hustotu získáme integrací (případně sumací) sdružené hustoty fx(x) = j fx.y{x.y),\y. • Je možné fx{x) vyjádřit jako fx(x) = í fx\Y{x\y)fY{y) áy. Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná hustota • Veličiny X a V mohou být zaměněny fx\Y(x\y)Wy) = fY\x(y\x)fx{x), protože obě strany rovnice jsou rovny sdružené hustotě X a Y. 9 Z této rovnice je možné vyjádřit Bayesovu větu fx\v(x\y) = W\x{y\x)fx{x) My) • Předpokládejme podmíněnou hustotu X za podmínky Y = y, fX\y{x\y). Podmíněnou střední hodnotu pak můžeme vyjádřit v následujícím tvaru E{X\Y = y)= / xfxlY(x\y)dx, (1) a Integrál zaměníme za sumu, pokud se bude jednat o diskrétní případ. a Rovnice (1) je funkcí y. a Podmíněnou střední hodnotu můžeme vnímat jako náhodnou veličinu, jestliže nahradíme y za Y na levé straně rovnice (1). Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná střední hodnota • Střední hodnota náhodné veličiny E(X| Y) je E[E(X[Y)]= E(X)._(2)j 9 Toto lze dokázat takto E[E(X\Y)} = í E(X\Y = y)fY(y)dy xfxlY{x\y)dxfY{y)dy íxJ fxlY(x\y)fY(y)dydx xfx(x) dx = E(X). Podobně lze dokázat i pro diskrétní případ. Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná střední hodnota V rovnici E(X| V = y) = JxfX\Y(x\y) dx je možné nahradit X libovolnou funkcí h(X, Y) E[h(X, Y)\Y = y] = Jh(x,y)fxlY(x\y)dx. E[h(X, Y)\Y] je náhodnou veličinou, která je funkcí Y. Platí pak E{E[h(X, Y)\Y]} = j E[h(X,Y)\Y = y]fY(y)dy h(X, Y)fx]Y(x\y)dxfY(y)dy h(X, Y)[fxlY(x\y)fY(y)]dxdy h(X, Y)fXv(x,y)dxdy = E[/7(X,y)]. Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná střední hodnota Zvolíme-li h(X, Y) = [X- E(X| Y)]2, pak střední hodnota této funkce podmíněné V je rozptylem podmíněného rozdělení Var(X\Y) = E{[X - E(X\Y)]2\Y}. Můžeme psát Var(X\Y) = E(X2\Y) — [E(X| Y)]2. J Tedy E[Var(X|V)] = E{E(X2| Y) - [E(X| Y)]2} = E[E(X2|Y)]-E{[E(X|y)]2} _= E(X2)-E{[E(X|Y)]2}._ Kapitoly z pojistné matematiky Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná střední hodnota Protože platí Vsu[h(Y)] = E{[h(Y)]2} - {E[h(Y)]}2, použijeme h(Y) = E(X| Y) a odtud Var[E(X|y)] = E{[E(X| Y)]2} - {E[E(X| Y)]}2 = E{[E(X|y)]2}-[E(X)]2. Tedy E[Var(X| Y)] + Var[E(X| Y)] = E(X2) - E{[E(X| Y))2} + E{[E(X|y)]2}-[E(X)]2 = E(X2)-[E(X)]2 = Var(X). Získali jsme důležité vyjádření Var(X) = E[ Var(X| Y)\ + Var[E(X| Y)] (3) Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Obsah Q Model pro náhodný individuálni škodní nárok □ s Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Příklad Příklad Uvažujme životní pojištění pro případ smrti uzavřené na jeden rok. Pojišťovna vyplatí částku b v případě, že nastane pojistná událost (pojištěný zemře) a nevyplatí nic, zůstane-li pojištěný v daném roce naživu. Pravděpodobnost pojistné události je q. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodného pojistného nároku X a dále pak také E(X) a Var(X). Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Indikátor Náhodnou veličinu X můžeme také zapsat ve tvaru X = Ib. (4) kde • b je konstantní pojistná částka vyplacená v případě smrti, • / je náhodná veličina nabývající hodnoty 1 v případě, že dojde k pojistné události a hodnoty 0 v případě opačném. Tedy platí p(/ = 0) = 1-q P(/=1) = q. Pak E(/) = q Var(/) = g(1 - q). Náhodná veličina / g {0,1} se označuje jako indikátor, někdy také jako Bernoulliho náhodná veličina nebo binomická náhodná veličina. / nabývá hodnoty 1 v případě výskytu pojistné události a hodnoty 0 v případě, že pojistná událost nenastane. Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Zobecnění modelu Model (4) můžeme rozšířit na _X = IB, _(5)J kde • X je náhodný škodní nárok za dané období, • B je celková výše nároku, který vznikl v daném období, • / je indikátor. Stále budeme uvažovat P(/=1) = q. Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Zobecnění modelu Pak podle vzorce (2) můžeme psát E(X)=E[E(X|/)] a podle vzorce (3) Var(X) = Var[E(X|/)] + E[Var(X|/)] Označme At=E(S|/=1) a2 = Var(B|/ = 1). Pak platí E(X|/ = 0) = 0 a E(X|/ = 1)=E(S|/=1) = /i. Odtud dostáváme E(X|/) jako funkci /, tedy E(X|/) = i±\. Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Zobecnení modelu Dostáváme E[E(X|/)] = fiE(l) = fiq. Odtud tedy E(X) = nq._J Podobně můžeme psát pro rozptyl Var[E(X|/)] = // Var(/) = /z2qr(1 - q) Kapitoly z pojistné matematiky Model pro náhodný individuálni škodní nárok Zobecnění modelu Protože X = 0 pro / = 0, tak Var(X|/ = 0) = 0. Pro / = 1 máme X = Ba tedy Var(X|/ = 1) = Var(B|/ = 1) = a2. Odtud pak dostáváme Var(X|/) = pyM- y 0 = 2e-2x x > 0, U*) = 3e-3x x > 0. Určete pravděpodobnostní hustotu veličiny S = X-\ + X2 + X3. Kapitoly z pojistné matematiky Součet nezávislých náhodných veličin Momentová vytvořující funkce • Další způsob, jak lze určit rozdělení součtu náhodných veličin, je založen na využití momentové vytvořující funkce. • Ta je definovaná pomocí vzorce _Mx{t)= E(erX)._ 9 Je-li E(eřX) konečná pro každé t na otevřeném intervalu okolo počátku, pak je veličina X touto funkcí jednoznačně určena. Kapitoly z pojistné matematiky Součet nezávislých náhodných veličin Momentová vytvořující funkce Momentová vytvořující funkce veličiny S = X^ + X2 + ... + Xn je pak Ms(t) = E(eíS) = E(ef(Xl+X2+-+Xn)) = E(eŕXl ttXz ■ ■ ■ etXn). Jestliže jsou veličiny XA, X2,Xn nezávislé, pak E( e*i etx2 ...etxn)= E( etx, j E( eřx2)... E( eřxn) Tedy Ms(t) = Mx,(t)Mx2(t)---MXn(t). Kapitoly z pojistné matematiky Součet nezávislých náhodných veličin Příklad Příklad Předpokládejme nezávislé náhodné veličiny X1, X2, X3 s exponenciálním rozložením, jejichž hustoty jsou = c~x x > 0 = 2t~2x x > 0, = 3t~3x x > 0. Pomocí momentové vytvořující funkce odvoďte pravděpodobnostní hustotu veličiny S = X-\ + X2 + X3. Kapitoly z pojistné matematiky Součet nezávislých náhodných veličin Aproximace distribuční funkce Aproximace vychází z centrální limitní věty na jejímž základě je možné získat numerickou hodnotu rozložení sumy náhodných veličin. Věta Předpokládejme posloupnost nezávislých, stejně rozložených náhodných veličin X1, X2,jejichž střední hodnota je E(Xj) = ii a Var(X,) = a2. Pak pro každé n platí, že střední hodnota náhodné veličiny g n se blíží 0 a její rozptyl hodnotě 1. Kapitoly z pojistné matematiky Součet nezávislých náhodných veličin Aproximace distribuční funkce o Posloupnost těchto distribucí pro n = 1,2,... pak má aproximativně standardizované normální rozložení. 9 Je-li n dostatečně velké, pak můžeme říci, že náhodná veličina Xn má aproximativně normální rozložení se střední hodnotou fi a rozptylem ^. a Také můžeme říci, že součet n náhodných veličin lze aproximovat normálním rozložením se střední hodnotou nii a rozptylem na2. o Efektivita takové aproximace pak závisí jednak na počtu náhodných veličin, ale také na odchylce jednotlivých sčítanců od normality. Kapitoly z pojistné matematiky Součet nezávislých náhodných veličin Aproximace distribuční funkce Dále budeme používat aproximaci normálním rozložením, kde pro součet nezávislých náhodných veličin S = X| + X2 + ... + Xn platí n n E(S) = ^ E(X*), Var(S) = £ Var(X*). /c=1 /c=1 Pro aplikace potřebujeme • vyčíslit střední hodnotu a rozptyl individuální náhodné škody, • sečíst je, abychom získali střední hodnotu a rozptyl pojišťovny jako celku, • aplikovat aproximaci normálním rozložením. Kapitoly z pojistné matematiky Aplikace Obsah Kapitoly z pojistné matematiky Aplikace Příklad 1 Pojišťovna uzavírá roční životní pojištění s pojistnou částkou 1 nebo 2 jednotky. Pravděpodobnost úmrtí jednotlivce je 0.02 nebo 0.1. Následující tabulka uvádí počet jedinců v každé skupině (rik), příslušnou pojistnou částku {bk) a pravděpodobnost úmrtí (g/J. k bk nk 1 0.02 1 500 2 0.02 2 500 3 0.1 1 300 4 0.1 2 500 Pojišťovna by ráda vybrala od těchto 1800 klientů částku, která s pravděpodobností 95% bude vyšší než celková škoda S. Pojišťovna požaduje, aby podíl zaplacený každým klientem j byl (1 + #)E(Xy), kde#>0. Určete relativní rizikovou přirážku 9. Kapitoly z pojistné matematiky Aplikace Příklad 2 Příklad Uvažujme pojištění automobilů, kde jsou klienti rozděleni do 2 skupin. Počet Pravděpodobnost Parametry ohrani- Třída pojistek poj. události čeného exp. rozd. k nk Qk A L 1 500 0.1 1 2.5 2 2000 0.05 2 5.0 Pravděpodobnost, že celková škoda přesáhne celkové pojistné přijaté od všech klientů je 0,05. Určete relativní rizikovou přirážku 0, budeme-li předpokládat, že je stejná pro obě skupiny. Pojišťovna požaduje, aby podíl zaplacený každým klientem j byl (1 + #)E(Xy), kde 6 > 0.