Kapitoly z pojistné matematiky I Kapitoly z pojistné matematiky Kolektivní model rizika -1. část Silvie Zlatošová 2021 Kapitoly z pojistné matematiky Obsah Uvod Q Generující funkce Q Rozdělení celkového pojistného nároku Obsah Q Úvod • Kolektivní model rizika vychází z předpokladu, že v dostatečně homogenním pojistném kmeni lze považovat výše škodních nároků z jednotlivých pojistných událostí za stejně rozdělené náhodné veličiny. • Úhrn škod je pak vyjádřen součtem je posloupnost škodních nároků bez ohledu na to, které pojistné smlouvě příslušejí. n /=1 kde náhodná veličina N představuje počet všech pojistných událostí v uvažovaném období a ^0?1 — 1 ? 2,... Motivace Budeme-li předpokládat že Xh / = 1,2,je posloupnost • stejně rozdělených • a vzájemně nezávislých náhodných veličin • a že náhodná veličina N nezávisí na dané posloupnosti, má úhrn škod S složené rozdělení. Proč složené? 9 N má primární(vnější) rozdělení • X má sekundární (vnitřní) rozdělení. Nechť X má generující funkci Gx(s). Pak pro generující funkci S platí Gs(s) = GN(Gx(s)), pro s g M, kde Gn(s) představuje generující funkci primárního rozdělení a Gx(s) generující funkci sekundárního rozdQlgpí <»►<»► = • Pro kolektivní model rizika předpokládejme náhodný proces, který bude generovat pojistné nároky pro portfolio pojistných smluv. • Tento proces je charakterizován z hlediska portfolia jako celku, spíše než z hlediska jednotlivých pojistek tvořících portfolio. a Matematicky lze tento proces charakterizovat takto: Nechť N označuje počet pojistných nároků, které vznikly v portfoliu pojistek za danou časovou periodu. X1 označuje výši prvního nároku, X2 výši druhého nároku, atd. Pak S = X-\ + X2 + ... + X[\i je celkový pojistný nárok, který vznikl v portfoliu za dané období. 4 • Počet pojistných událostí N je náhodná veličina která souvisí s frekvencí pojistných nároků. • Individuální pojistné nároky X1, X2,... jsou také náhodné veličiny, které vyjadřují závažnost jednotlivých pojistných událostí. • Budeme uvažovat následující předpoklady: O X|, X2,... jsou náhodné veličiny se shodným rozložením, O A/, X|, X2,... jsou vzájemně nezávislé. Kapitoly z pojistné matematiky Generující funkce Obsah Q Generující funkce Kapitoly z pojistné matematiky Generující funkce Definice Nechť N je diskrétní náhodná veličina s hodnotami na množině N0 a nechť PN(k) je její pravděpodobnostní funkce. Potom generující funkce náhodné veličiny N je definovaná vztahem oo GN(s) = J2PN(k)-sk= E(sN); sel. Kapitoly z pojistné matematiky Generující funkce Příklady generujících funkcí 1. Konstantní náhodná veličina: P(/V = k) = 1, kde k e No Máme GN(s) = i sr = tř. 2. Bernoulliho náhodná veličina: P(/V = 1) p(/V = 0) = 1 - p. Tedy = pa GN(s) = ps1 + (1 - p)s° = 1 - p + ps. Kapitoly z pojistné matematiky Generující funkce 3. Geometrické rozdělení: P(/V = k) = p(1 - p)k pro k e N0. Počet neúspěchů před prvním úspěchem. Dostaneme oo oo GN(s) = J^p^s" = J>(1 -p)nsn n=0 n=0 oo = Vp[(i-p)s]n = —f- = —^-. Kapitoly z pojistné matematiky Generující funkce Charakteristiky náhodných veličin Základní charakteristiky náhodných veličin, E(X) a Var(X), lze snadno spočítat pomocí Gx(s). Věta Nechť X je náhodná veličina s generující funkcí Gx(s). Pak platí: E(X) = G^(1). Obecně pak E(X(X- 1)...(X-/c + 1)) = G$í°(1) (tzv. k-tý faktoriální moment). Důkaz: První tvrzení je speciální případ druhého. Máme G{xk\s) = ^^/(/-l)...(/ -* + 1)Px(0 = = e(sx_'cX(X-1)...(X-/í + 1)V Pro s = 1 dostaneme gSÍ°(1 ) = e(x(x - 1 )...(X - k + 1)). Pro rozptyl dostaneme speciálně vztah Var(x) = e(x2) - e(x)2 = e(x(x - 1) + x) - e(x) = e(x(x - 1)) + e(x) - e(x)2 = G'^) + G'x0)-[G'x0)f. Kapitoly z pojistné matematiky Generující funkce Součty náhodných veličin Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak Gx+Y(s) = Gx(s)GY(s). Důkaz: ES X+Y\ - tj í JJ X = E S S = E S E S Y Obecně, pro součet více nezávislých náhodných veličin dostaneme: Je-li S = X1 + X2 + ... + Xn, kde X, jsou nezávislé, pak z předchozí věty plyne Gs = Gxi Gx2...Gxn. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Obsah Q Rozdělení celkového pojistného nároku Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Značení Rozdělení celkového pojistného nároku v daném období odvodíme z rozdělení počtu pojistných nároků a rozdělení individuálních pojistných nároků. Nechť X je náhodná veličina s distribuční funkcí F(x). Pak označme jako • F(x) distribuční funkci nezávislých náhodných veličin Xh • P/c = E(X/c) /c-tý moment veličiny X, • Mx(t) = E(eřX) vytvořující momentovou funkci veličiny X. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Střední hodnota a rozptyl Budeme-li uvažovat drive uvedené predpoklady pro N, Xj, X2,... , pak dostaneme E(S) = E(E(S|A/)) = E(p1/V) = p-i E(/V) a také Var(S) = E(Var(S|A/))+ Var(E(S|A/)) = E(/V Var(X)) + Var(p1 A/) = E( N) Yar(X) + p? Var( N), kde Var(X) = p2 -pf. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Střední hodnota a rozptyl • Tedy střední hodnota celkového pojistného nároku je součinem střední hodnoty individuálního škodního nároku a očekávaného počtu pojistných nároků. o Rozptyl celkového pojistného nároku je pak tvořen dvěma složkami. První složka je odvozena od rozptylu individuálního škodního nároku a druhá složka odpovídá rozptylu počtu nároků. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Vytvořující momentová funkce Podobně můžeme odvodit výraz pro momentovou vytvořující funkci veličiny S: Ms{t) = E(eřS) = E(E(eřS|/V)) = E(Mx(t)N) = E(ewlogM^r)) = MN{\ogMx{t)). Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Příklad Předpokládejme, že N má geometrické rozložení, tedy že pravděpodobnostní funkce N je p(A/ = n) = pQn n = 0,1,2,..., kde 0 < g < 1 ap=1 - q. Vyjádřete Ms(t) pomocí funkce Mx(t). Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Distribuční funkce celkového pojistného nároku K odvození distribuční funkce celkového pojistného nároku S budeme využívat celkovou pravděpodobnost. Tedy oo Fs(x) = P(S 0 0 x < 0. Pak tedy oo Fs = J2F*"HN=n) n=0 Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Distribuční funkce celkového pojistného nároku Je-li individuální pojistný nárok diskrétního typu, tedy p(x) = P(X = x), pak také celkový pojistný nárok S je diskrétní. Podobně jako u spojitého případu odvodíme, že oo PS(X) = ;>>*"(*) P(A/=A7), n=0 kde p*n(x) = p * p * ... * p(x) = P(Xi +X2 + ... + Xn = x) p*°(x) = 0 x^O 1 x = 0 Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Předpokládejme pojistný kmen, kde může v daném období dojít k 0,1,2 nebo 3 nehodám s pravděpodobností 0.1,0.3,0.4, respektive 0.2. Jednotlivé pojistné nároky mohou být ve výši 1,2, nebo 3 s pravděpodobností 0.5,0.4 a 0.1. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci celkového pojistného nároku. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení celkového pojistného nároku Příklad Předpokládejme, že N má geometrické rozložení, tedy že pravděpodobnostní funkce N je p(A/ = n) = pQn n = 0,1,2,..., kde 0 < g < 1 ap=1 - q. A dále budeme předpokládat, že individuální pojistný nárok má exponenciálni rozložení se střední hodnotou 1. Tedy F (x) = 1 - e"x x > 0. Ukažte, že Ms(t)=p + q P p-t