Kapitoly z pojistné matematiky I Kapitoly z pojistné matematiky Kolektivní model rizika - 2. část Silvie Zlatošová 2021 Kapitoly z pojistné matematiky Obsah Rozdělení počtu pojistných událostí N O Rozdělení výše pojistných nároků X Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Obsah Q Rozdělení počtu pojistných událostí N Kapitoly z pojistné matematiky ozdělení počtu pojistných událostí Poissonovo roz ^ Základním rozdělením počtu pojistných událostí je Poissonovo rozdělení. Popisuje výskyt řídkých jevů za určitou jednotku času. Definice Diskrétní náhodná veličina N má Poissonovo rozdělení s parametrem X > 0, píšeme N ~ Po(X), jestliže je pravděpodobnostní funkce tvaru P(A/ = #f) = ^ ~g-' k — 0,1,2, jinak. < □ ► si Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Poissonovo rozdělení Generující funkce: GN(s)= eA 0. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Geometrické rozdělení Generující funkce: GN(s) = P 1 1-s(1-p) "l-Pis Střední hodnota a rozptyl: E(/V) = l^=/3 Var(N) = ^ = 0(1 +0) Diskrétní náhodná veličina N má binomické rozdělení s parametry ne Napě (0,1), píšeme N ~ s/(n, p), pokud je pravděpodobnostní funkce tvaru 0*0 -P)n~k, * = 0,1,2,.., n Generující funkce: Ga/(s) = (1 +p(s-1)) Střední hodnota a rozptyl: E(/V) = np Var(A/) = np(1 -p). y/na/c. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Příklad Dokažte, že platí: Jestliže n oc a p 0 takovým způsobem, že np = A, kde A je kladná konstanta, pak /c-tý člen binomického rozdělení (^(i-p)1-*, konverguje ke /c-tému členu Poissonova rozdělení Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Negativně binomické rozdělení Definice Diskrétní náhodná veličina N má negativně binomické rozdělení s parametry m > 0 a p e (0,1), píšeme N ~ Ne Bi (m, p), jestliže je pravděpodobnostní funkce tvaru P(A/ = /c) = /("+rV0-P^ * = 0,1,2,..., o jinak, resp. tvaru ( (k+m-U P(/V = k) = M /c ) 1 /77 0, /c — 0,1,2,..., jinak pro p = ^ tj. p = Ijp > 0. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Negativně binomické rozdělení Vyjadřuje počet neúspěchů před m-tým úspěchem. Jedná se o zobecnění geometrického rozdělení. Generující funkce: GN{s) = P m 1 m 1 -s(1 -p) 1 -č(s-1) Střední hodnota a rozptyl: E(/V) = m—£ = m(3 Var(/V) = m-—^- = m/3(1 + (3). Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Modely počtu pojistných událostí Rozhodujeme-li se při modelování počtu pojistných událostí jaké pravděpodobnostní rozdělení použít, pak k tomu můžeme využít vztah mezi číselnými charakteristikami náhodné veličiny N. • Poissonovo rozdělení: E(/V) = Var(/V)... equidispersion, • Negativně binomické rozdělení: E(/V) < Var(/V) ... overdispersion, 9 Binomické rozdělení: E(/V) > Var(N)... underdispersion. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, ó, 0) Definice Nechť pu(k) = P(N = /c) ye pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, b, 0) jestliže existují reálné konstanty a, b takové, že platí -mJT = a+-, pro* = 1,2,3,... (1) • Pravděpodobnost Pa/(0) dopočítáme z S^L0Pa/(^) = 1 • Do třídy obecných rozdělení (a, b, 0) patří právě Poissonovo rozdělení, geometrické rozdělení, binomické rozdělení a negativně binomické rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, b, 0) Příklad Určete reálné koeficienty a, b e Poissonova rozdělení, • negativně binomického rozdělení, 9 binomického rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, b, 0) Pro konkrétní datový soubor s velkým množstvím pozorování lze určit vhodný model pomocí vzorce (1) Vzorec přepíšeme do tvaru pN(k - 1) ■k = ak + b, k = 1,2,3,... podíl 1) odhadneme na základě pozorovaných četností nk a nk_^ hodnot k a k - 1 PNJk) ■k = ■k. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, b, 0) • Graf procházející body k. li- nk by mel približne vykazovat lineární průběh podle směrnice a dané přímky zvolíme vhodný model 9 nulová směrnice - Poissonovo rozdělení, • záporná směrnice - binomické rozdělení, o kladná směrnice - negativně binomické rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, b, 0) Příklad počet nehod k počet smluvní 0 7840 Pro pojistný kmen o 1 1317 9461 klientech máme 2 239 v tabulce zaznamenány 3 42 pozorované četnosti škod 4 14 na jednu smlouvu. 5 4 6 4 Určete rozdělení z třídy 7 1 (a, Ď, 0) vhodné k mode- 8 a více 0 lování počtu nehod. Celkem 9461 Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, b, 1) • Rozdělení třídy (a, b, 0) často nepopisuje adekvátně data: s nimiž se v praxi setkáváme. o Hlavní příčinou je neschopnost rozdělení třídy (a, b, 0) vystihnout tvar dat v jistých částech rozdělení, zejména hodnotu v nule. • Budeme se věnovat rozložení pravděpodobnosti v nule, tedy pravděpodobnosti, že nenastane žádná pojistná událost během stanoveného časového období. • U pojištění s malou pravděpodobností výskytu škod (pojištění odpovědnosti, pojištění nemovitosti, aj.) je pravděpodobnost v nule největší. o Úpravou pravděpodobnosti v nule lze třídu rozdělení (a, b, 0) rozšířit na třídu (a, b, 1). Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Třída rozdělení (a, b, 1) Definice Nechť PnW je pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny N. Řekneme, že je členem třídy rozdělení (a, b, 1) za předpokladu, že existují konstanty a.beR takové, že ^/vv ; =a+-, pro k = 2,3,... (2) Pa/(/c-1) k Suma X)£Li Pa/CO může nabývat libovolných hodnot na intervalu (0,1), zbývající pravděpodobnost je v k = 0, jelikož oo Pn(0) + 5>N(/<) = 1 /c=1 Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N ozdělen U třídy (a, b, 1) rozlišujeme dvě podtřídy: o Je-li p/v(0) = 0 jedná se o rozdělení useknuté v nule s pravděpodobnostní funkcí pjj(k). 9 Je-li p/v(0) > 0 jedná se o rozdělení modifikované v nule s pravděpodobnostní funkcí p^(k). Na tento typ rozdělení lze pohlížet jako na směs rozdělení třídy (a, b, 0) a degenerovaného rozdělení se všemi pravděpodobnostmi soustředěnými v nule. Definice Diskrétní náhodná veličina N má degenerované rozdělení s parametrem /ieR, píšeme N ~ Dg(n), jestliže je pravděpodobnostní funkce tvaru Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Rozdělení modifikovaná v nule Označme e Gn(s) = Y^T=oPNÍk)' sk generující funkci rozdělení třídy (a, 6,0), • Gjjy(s) = Y^=oPn(^) ' sk g^n^rující funkci příslušného v nule modifikovaného rozdělení třídy (a, £>, 1). Platí, že pfj(k) = c>pN(k), pro k = 1,2,...; a cg M+ a p^(0) je libovolně zvolené z intervalu (0,1). Musíme vypočítat hodnotu c. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Rozdělení modifikovaná v nule Potom oo Gjj(s) = p8Í(0)+ -s* /c=1 oo = ptí(0) + c-J2PN(k)-sk /c=1 = ptí(0) + c(GN(s)-pN(0)) Z platnosti Gjjf(1) = Gw(1) = 1 plyne 1 =pjř(0) + c(1 -Pn(0)). Odtud 1 - Pn(0) c = Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Rozdělení modifikovaná v nule Tudíž Generující funkce modifikovaného rozdělení je pak tvaru Gjí(s) = ptf(0) + 1 - Pg(0) 1 - P/v(0) (Gw(s)-Pa,(0)) pg(0) - P/y(0) , 1 - pg(0) ^ 1 - pn(0) 1 - pN(0) pjř(o) -1 +1 - pw(o) 1 - pS(Q) ^ = 1- 1 - Pn(0) i-pg(oA 1 - Pw(0) j + 1 - Pn(0) 1 - Pg(0) G ^ Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Rozdělení useknutá v nule • Tento typ rozdělení můžeme chápat jako speciální typ v nule modifikovaného rozdělení se stanovenou hodnotou PÍř(O) = o. • Generující funkci v nule useknutého rozdělení označíme GTN(s). 9 Pak z tvaru Gfj(s), pf)(k), a pjjf(0) = 0 získáme pro k = 1,2, G/v = GN(s) - pN{0) 1 - P/v(0) Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Rozšířené useknuté negativně binomické (ETNB) rozdělení a Množina možných hodnot parametru m je rozšířena z m > 0 na m > -1, přičemž m ^ 0. • Pravděpodobnostní funkce je dána jako PÍW = /(/í+r1)(1"P)/í' * = 1'2>~:P€(0>1) 0. jinak, resp. tvaru PÍ(*)= //c+m-1 )(l+/3 (1+/3)m-1 ' 0, 1,2,...;/3 = ^>0 jinak. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Logaritmické rozdělení • Toto rozdělení je limitním případem ETNB rozdělení pro 9 Neexistuje k němu odpovídající rozdělení ve třídě (a, b, 0). • Pravděpodobnostní funkce má tvar 0-P)* k\n(p) 0, k = 1,2,...; pe (0,1) jinak, resp. tvaru Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení počtu pojistných událostí N Příklad Uvažujme náhodnou veličinu N z negativně binomického rozdělení s parametry m = 2,5 a /3 = 0,5. Určete koeficienty a, b e Ra pravděpodobnostní funkci v k = 0,1,2,3. Dále určete její v nule useknutou a v nule modifikovanou verzi jestliže pjjf(0) = 0,6. Příklad Určete generující funkci, střední hodnotu a rozptyl useknutého geometrického rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení výše pojistných nároků X Obsah O Rozdělení výše pojistných nároků X Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení výše pojistných nároků X * Zaměříme se na modely výše pojistných nároků, které vycházejí z rozdělení náhodné veličiny Xh i = 1,2,N. a Výše škod je vždy nezáporná a většinou kladně zešikmená (tzn. větší četnost škod o malém rozsahu). ^ Z těchto důvodů není příliš vhodné využívat normální rozdělení. • Jedná se o rozdělení náhodné veličiny X = tY, kde Y ~ N(^a2). • Nabývá pouze kladných hodnot, nepravděpodobnější je výskyt středně velkých hodnot. Definice Spojitá náhodná veličina X má log-normální rozdělení s parametry /ig R a a2 > 0, píšeme X ~ LN(fi, a2), jestliže je její pravděpodobnostní hustota x > 0 jinak. Střední hodnota E(X) = e^+T- Rozptyl: Var(X) = e2^+čj2(e^2 - 1). Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení výše pojistných nároků X Exponenciální rozdělení • Jedná se o rozdělení s jedním parametrem a proto nám umožňuje stanovit výši pojistných nároků nejjednodušším způsobem. • Není vhodné ho využívat v případech, kdy mohou nastat značně vysoké škody s relativně velkou pravděpodobností. Definice Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem A > 0, píšeme X ~ Exp(X), jestliže je její pravděpodobnostní hustota fx(x) = Ae"Ax, x>0 0. jinak. Střední hodnota E(X) = { Rozptyl: Var(X) = ^. □ o? \2 ■_ 5 vQC^O • Je flexibilnější než exponenciální rozdělení díky dvěma parametrům. Pro a = 1 získáme exponenciální rozdělení. • Nelze využít pro modelování extrémních hodnot. Definice Spojitá náhodná veličina X má gamma rozdělení s parametry a > 0, p > 0, píšeme X ~ Gam(a, (3), jestliže je její pravděpodobnostní hustota kde Y{a) = /0°° xa_1 e~x dx je gamma funkce. Střední hodnota E(X) = af3 Rozptyl: Va^X)^ a^.41 > t x > 0 jinak, Kapitoly z pojistné matematiky Rozdělení výše pojistných nároků X Příklad Na základě dat byla odhadnuta střední výše škod na 1 537 Kč a rozptyl na 381 764 ze 100 pojistných nároků. Odhadněte rozdělení výše škod log-normálním rozdělením. Pomocí tohoto odhadu vypočtěte pravděpodobnost, že výše škody nepřesáhne 4 800 Kč.