Kapitoly z pojistné matematiky I Kapitoly z pojistné matematiky Kolektivní model rizika - 3.část Silvie Zlatošová 2021 Kapitoly z pojistné matematiky Obsah Q Složená rozdělení Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Obsah Složená rozdělení Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Budeme-li předpokládat že Xh / = 1,2,je posloupnost • stejně rozdělených • a vzájemně nezávislých náhodných veličin • a že náhodná veličina N nezávisí na dané posloupnosti, má úhrn škod S složené rozdělení. Název složeného rozdělení závisí na tom, jakým rozdělením se řídí náhodná veličina A/, např. máli N Poissonovo rozdělení, pak má S složené Poissonovo rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení • Jak efektivně vypočítat pravděpodobnostní funkci diskrétního složeného rozdělení? • Můžeme využít Panjerovu rekurzi. Věta (Panjerova rekurze) Je-li primární rozdělení členem třídy (a, b, 0), pak platí rekurentní vztah Ps(k) = T^W(0) g (a + í) Px(j)Ps(k ~i]' kde k = 1,2,..., ps(k) = P(S = k), px(k) = P(X = k). Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Analogie platí i pro třídu (a, b, 1). Je-li primární rozdělení členem třídy (a, b, 1), pak platí rekurentní vztah Ps(k) = + [pNQ)-(a + b)pN(0)]px(k) 1 - a • px(0) Ef=i (a + £)px(j)ps(k-j) 1 - a • px(0) kde k = 1,2,ps(/c) = P(S = /c), px(/c) = P(X = k). • Uvedené rekurentní vzorce v sobě nezahrnují konvoluci, tím výrazně ulehčí výpočty a Abychom je mohli použít, je nutné znát hodnotu Ps(0). Věta Pro každé složené rozložení platí Ps(0) = GN{px{0))> kde GN(s) je generující funkce primárního rozdelenia px(0) je pravděpodobnost, že náhodná veličina X ze sekundárního rozdělení nabude hodnoty 0, tj. P (X = 0). V praxi má rozdělení výše nároků px(0) = 0, pak Ps(0) = GN(0) = pN(0). Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Složené Poissonovo rozdělení • O složeném Poissonově rozdělení veličiny N /=0 mluvíme v případě, kdy N má Poissonovo rozdělení. • Je považováno za nejdůležitější složené rozdělení, protože právě Poissonovo rozdělení bývá nejčastěji využíváno k popisu počtu škod. Definice Nechť mají WD náhodné veličiny X1, X2,... společnou distribuční funkci Fx(k) a nechť jsou nezávislé na N. Pak náhodný součet S = J2iLo xi má kožené Poissonovo rozdělení s parametry X a Fx(k), značíme S ~ CPo(X, Fx(k)), jestliže N se řídí Poissonovým rozdělením s parametrem A > 0. Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Složené Poissonovo rozdělení Označení: Poisson - rozdělení X, např. Poisson - geometrické rozdělení, pokud X má geometrické rozdělení. o Pro složené Poissonovo rozdělení platí: E(S) = \pÁ Var(S) = Ap2, kde pk = E(Xk). 9 Momentovou vytvořující funkci veličiny S můžeme zapsat ve tvaru Ms{t)= eA^)-1). Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Odvoďte tvar Ps(0) a Ps(k) pro složené Poissonovo rozdělení. Příklad Předpokládejme, že S má složené Poissonovo rozdělení s parametrem A = 0.8 a individuální pojistné nároky jsou 1, 2 nebo 3 s pravděpodobností 0.25, 0.375 a 0.375. Vypočtěte Ps(k) pro k = 0,1,2,3 pomocí rekurzivní metody. Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Složené Poissonovo rozdělení Nechť jsou veličiny S-i, S2,Sn vzájemně nezávislé a nechť Sj má složené Poissonovo rozdělení s parametrem Ay pro primární rozdelenia se sekundárním rozdělením {Pj(k) : k e N0}, pro y = 1,2,n. Pak veličina S = S-i + S2 + ... + Sn má také složené Poissonovo rozložení s parametrem A = Ylj=\ a sekundárním rozdělením {Ps(k) : k e N0}, kde n 7=1 kde k = 0,1, Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Složené Poissonovo rozdělení Tato věta má dva důležité důsledky pro tvorbu pojistných modelů: O Mějme n různých vzájemně nezávislých portfolií, kde se celkový počet nároků jednotlivých portfolií řídí složeným Poissonovým rozdělením, potom se celkový počet nároků vzniklý kombinací těchto portfolií bude také řídit složeným Poissonovým rozdělením. O Uvažujeme-li pojistné portfolio na dobu n let a předpokládáme-li, že celkové počty nároků jednotlivých let jsou vzájemně nezávislé a mají složené Poissonovo rozdělení, pak celkový počet nároků vzniklý za n let bude mít také složené Poissonovo rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Složené Poissonovo rozdělení Příklad Nechť se n = 2 a S-i má složené Poissonovo rozdělení s A1 = 2 a sekundárním rozdělením Pí (1) = 0,2, p-| (2) = 0,7: p1 (3) = 0,1. Nechť S2 je nezávislé na S-i a má složené Poissonovo rozdělení s A2 = 3 a se sekundárním rozdělením P2O) = 0, p2(2) = 0,25, p2(3) = 0,6 a p2(4) = 0,15. Určete rozdělení S = S-i + S2. Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Geometrické složené rozdělení Definice Nechť mají WD náhodné veličiny X1, X2,... společnou distribuční funkci Fx(k) a nechť jsou nezávislé na N. Pak náhodný součet S = J2iLo xi má kožené geometrické rozdělení s parametry p a Fx(k), značíme S ~ CGe(p, Fx(k)), jestliže N se řídí geometrickým rozdělením s parametrem p e (0,1). Analogicky se dá definovat složené negativně binomické rozdělení a složené binomické rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Složená rozdělení Příklad Pro složené geometrické rozdělení odvoďte tvar Ps(0),Ps(k), Gs(s), Ms(t), E(S), Var(S).