Kapitoly z pojistné matematiky I Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility Silvie Zlatošová 2021 Kapitoly z pojistné matematiky Obsah O Úvod Q Teorie kredibility omezených fluktuací Q Optimální teorie kredibility Obsah Q Úvod Kapitoly z pojistné matematiky Uvod Základní pojmy • Teorie kredibility je nástroj, který pojišťovnám umožňuje upravovat budoucí pojistné klientů v závislosti na jejich historii či rizikové skupině, do níž klient patří. • Jestliže klient dosahuje trvale lepších výsledků (nenárokuje pojistné plnění) než průměrný klient, který platí základní pojistné, pak by bylo spravedlivé, aby takový klient získal redukci svého pojistného (slevu). • Podle stejné logiky by také klienti s vyšší úrovní rizika měli platit vyšší pojistné. • Tabulková hodnota pojistného je navržena tak, aby odrážela očekávané zkušenosti celé skupiny klientů a předpokládá homogenní riziko. 9 Ve skupinách však díky nedokonalosti systému stále zůstává jistá míra heterogenity v úrovních rizika. • Tedy někteří klienti představují nižší riziko někteří naopak vyšší riziko, než předpokládají tabulky. • Pojistitel tedy musí zvážit, do jaké míry jsou odlišnosti ve zkušenostech klientů ovlivněny náhodnou odchylkou a do jaké míry tím, že klient skutečně představuje větší či menší riziko než je průměr pro danou skupinu. • Také musí zvážit, jak důvěryhodné jsou vlastní zkušenosti klienta. Kapitoly z pojistné matematiky Uvod Základní pojmy Budeme předpokládat následující: • Čím více informací o minulých zkušenostech klientů pojistitel má, tím důvěryhodnější jsou vlastní zkušenosti klienta. Zkušenosti větší skupiny klientů jsou důvěryhodnější než zkušenosti malé skupiny. • Konkurenční tlak může pojistitele přimět k tomu, aby dal plnou důvěru vlastním zkušenostem klienta. Pojišťovny se snaží si klienta udržet. Kapitoly z pojistné matematiky Uvod Základní pojmy • Teorie kredibility se dostává do sporu s klasickou statistikou. a Jestliže máme k dispozici zkušenosti nějaké skupiny klientů, pak by na základě přístupu klasické statistiky mělo být pojistné určeno jako střední hodnota nebo nějaký jiný nestranný odhad. • Teorie kredibility říká, že by takto vypočtené pojistné mělo mít pouze částečnou váhu a zbývající část by měla být dopočtena na základě jiných informací. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Obsah Q Teorie kredibility omezených fluktuací Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Formulace problému • Poskytuje mechanismus, který umožňuje stanovení plné nebo částečné kredibility pro zkušenost pojištěného. • Pokouší se omezit vliv náhodného kolísání pozorování na odhady. • Tento přístup byl navržen na počátku 20. století ve spojení s pojištěním zaměstnanců. • První článek zabývající se touto problematikou napsal Mowbray v roce 1914. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Formulace problému • Předpokládejme klienta /, který má zkušenosti z 7} po sobě jdoucích období a v každém nahlásil Nit pojistných nároků, kde re {1,2,..., 7}}. • Budeme předpokládat, že škody u jednotlivých pojistných nároků jsou stejné (můžeme je tedy pro další výpočty zanedbat) a že pro všechna t e {1,2,..., 7}} platí E(A//ř) = což znamená, že střední hodnota je v čase konstantní. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Formulace problému Dále budeme pro všechna ř e {1,2,..., 7}} předpokládat konstantní Var(Afe) = a2. Pro tohoto klienta pak můžeme vyjádřit jeho průměrnou zkušenost za 7} sledovaných období jako W/ = ^(A//! +A//2 + ... + A//T/). Pro střední hodnotu Ä/, pak platí EÄ/, = f. Budeme-li předpokládat nezávislost jednotlivých A//ř pak můžeme psát Var/V/ = 7V Cílem pojistitele je určení hodnoty parametru , Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Přístupy k určení pojistného • Jednou z možností je ignorovat zkušenosti klientů, v tom případě můžeme mluvit o nulové kredibilitě, a účtovat všem stejné základní pojistné fi. • Toto pojistné nazýváme také jako tabulkové pojistné, v angličtině bývá označováno jako manuál rate. • Další možností je ignorovat fi a účtovat A/,. Pak hovoříme o plné kredibilitě. 9 Třetí možností je účtovat pojistné, které bude kombinací fi a A/,. Jedná se o částečnou kredibilitu. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Přístupy k určení pojistného • Z pohledu pojistitele je výhodnější účtovat A/, v případě, kdy jsou zkušenosti klienta méně volatilní (hodnota a2 je malá). 9 Naopak v případě, kdy jsou zkušenosti klienta více volatilní je vhodnější účtovat pojistné ve výši ji. a Pokud má pojistitel důvod věřit, že se vybraný klient liší od ostatních, podle kterých je určeno pojistné /i, měla by být větší váha přiřazena pojistnému Ä/,, neboť nám může dát užitečnou informaci o výši £. • V případě, že se domníváme, že všichni ostatní klienti mají stejnou hodnotu f, není důvod se přiklánět ke zkušenostem jednoho klienta, když ji dokáže dobře vystihnout budoucí pojistné nároky. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Plná kredibilita • Abychom zjistili, zda je vhodné účtovat pojistné A/,, tedy zvolit plnou kredibilitu, musíme se zabývat stabilitou Ä/,. • Můžeme říci, že Ä/, je stabilní, pokud pravděpodobnost, že rozdíl mezi Ä/, a £ je malý vzhledem ke £, je blízká jedné. Definice Řekneme, že N j je stabilní, pokud pro reálná čísla r kladná blízká nule a 0 < p < 1 blízká jedné platí P(-r£p. O) Pak je možné Ä/, přiřadit plnou kredibilitu. Za p a r z Definice 1 volíme obvykle r = 0,05 a p = 0,9. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Plná kredibilita Nerovnost (1) můžeme upravit jako Označme a s/Ť, <^i>p. yP = i?/ < p l < y l > p > ■ y Vři V případě, že se A/, v (3) řídí spojitým rozdělením, můžeme znaménko „>" nahradit „=" a yp pak bude splňovat P I < yp i = p. (7 Vři Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Plná kredibilita Aby byla splněna podmínka plné kredibility, musí z nerovnosti (2) platit také yp < ^f^- Po úpravě dostaneme podmínku pro plnou kredibilitu (4) kde A0 = (y-)2- z podmínky (4) vyplývá také Var(A//) = < f. (5) Z nerovnosti (4) je možné vyjádřit požadavek na počet období Tj, který musí být splněn, aby bylo možné využít plnou kredibilitu. Tedy Ti > A0 ( - (6) Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Plná kredibilita • V mnoha případech se rozdělení A/, aproximuje normálním rozdělením se střední hodnotou £ a rozptylem ^. 9 Je-li Tj velké můžeme aplikovat centrální limitní větu a pak U=*LZÍ má aproximativně standardní normální rozložení. • Odtud dostáváme p = 2(yp)-1,_J kde (x) označuje distribuční funkci standardizovaného normálního rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Plná kredibilita Dostáváme tedy a/pJe (^r^) kvantilem standardizovaného normálního rozdělení. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Plná kredibilita Příklad Předpokládejme, že pro každého klienta / máme k dispozici údaje o minulých pojistných nárocích Nn, A//2,NiTj. Ze vzorku dat byla odhadnuta střední hodnota f = E(A//ř). Bylo zaznamenáno 10 pozorování, kde prvních 6 bylo nulových a pak byly hlášeny škody ve výši 253, 398, 439 a 756. Jaké množství dat 7} je potřeba, aby bylo možné použít plnou kredibilitu, jestliže r = 0,05 a p = 0,9. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Částečná kredibilita o Částečnou kredibilitu je možné využít v případě, kdy nejsou splněny podmínky pro využití plné kredibility. • Model částečné kredibility pro stanovení výše netto pojistného využívá jak minulé zkušenosti A/, tak tabulkové pojistné ji. • Pojistné Pc pak můžeme vyjádřit jako jejich vážený průměr ve tvaru _PC = ZA// + (1 -Z)/i,_ kde je potřeba určit hodnotu váhy Z z intervalu [0,1]. • Z budeme dále nazývat kredibilitním faktorem. • Je-li Z = 1, pak se jedná o model plné kredibility. j Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací • Jednou z možností, jak určit Z, je omezení volatility pojistného Ňj podobně jako u plné kredibility. • Dostáváme A0 = Var(pc) = Var[Z/V, + (1 - Z)n] = Z2Var(Ä//) = Z 2 ď Ti • Odtud dostáváme Z = Musí být splněno Ze [0,1] Z = min < — o- V A0 1 00.o Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Částečná kredibilita • Na rozdíl od A/, není Pc nestranným odhadem £. • Kredibilita však umožňuje pracovat s vychýlenými odhady, neboť co obětuje z hlediska vychýlení, to naopak získá ve smyslu redukce střední kvadratické chyby. • Tedy u vychýlených odhadů je míra jejich kvality dána nikoliv rozptylem, ale střední kvadratickou chybou. o Tu však u uvedeného postupu pro odhad Z neznáme. • A to je problém přístupu souvisejícího s teorií omezených fluktuací. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Problémy teorie s omezenými fluktuacemi • Mezi důležité problémy patří fakt, že neexistuje teoretický model rozdělení Nit a tedy není důvod dávat přednost pojistnému ve tvaru Pc = Z/V, + (1 - Z)/i před tabulkovým pojistným ji. • Volba Z v rovnici pro Pc také není určena přesně a tudíž není přesně určeno ani Pc. • Také nemáme k dispozici žádné vodítko, jak zvolit rap. • Teorie omezených fluktuací nezkoumá rozdíl mezi £ a /i. Je potřeba si uvědomit, že také fi je pouze odhadem a tudíž nemusí být přesné. • Měli bychom se tedy zabývat také srovnáním spolehlivosti Ňj vzhledem k/iane pouze otázkou, jak moc je přesné Ä/,. Kapitoly z pojistné matematiky Teorie kredibility omezených fluktuací Částečná kredibilita Příklad Uvažujme tabulkové pojistné /jl ve výši 225. Určete kredibilitní odhad pojistného, uvažujeme-li, že 7} = 10, f = 184.6, A0 = 1082.41, a = 267.89. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Obsah Q Optimální teorie kredibility 9 V každé tarifní skupině zůstává jistá míra heterogenity. Proto existuje možnost, že se pojištěnec bude odlišovat od toho, co očekáváme. o Předpokládejme, že úroveň rizika každého klienta můžeme charakterizovat rizikovým faktorem 0, přičemž 0 se u jednotlivých pojištěných liší. o 0 můžeme chápat jako vyjádření nepozorovatelných rizikových faktorů, které pak způsobují odlišnou rizikovost klienta uvnitř tarifní skupiny. Musíme si ale uvědomit, že 0 je nepozorovatelné a tudíž neznáme jeho přesnou hodnotu. o V každé skupině jsme však schopni určit rozdělení tt(0) které udává pravděpodobnost jednotlivých hodnot rizikového faktoru 0 uvnitř tarifní skupiny. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Rizikový parametr 9 Distribuční funkce Fe(0) = P(0 < 9) náhodné veličiny 0 reprezentuje pravděpodobnost, že náhodně vybraný pojištěnec z dané třídy bude mít hodnotu rizikového parametru menší nebo rovnu 9. • Zkušenost jednotlivých pojištěnců je ovlivněna právě hodnotou 9. • Škody X pak vychází z podmíněného rozdělení X při daném 9. • Tuto podmíněnou hustotu, resp. pravděpodobnostní funkci budeme značit fx\e(x\9). Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Rizikový parametr 6 Příklad Předpokládejme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny řidičů. Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1. Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2. Popište tento proces a modelujte jeho závislost na neznámém parametru 9. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Rizikový parametr 9 Příklad Počet pojistných nároků se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1 /©. Uvnitř tarifní třídy pojištěných má parametr 0 gama rozdělení s parametrem a = 4 a parametrem šikmosti p = 0.001. Popište matematicky tento model. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovská metodologie • Nechť pro konkrétního pojištěného máme pozorování X = x, kde X = (X15X2, ...,Xn) a x = (xl5x2, ...,xn). • Snažíme se stanovit takovou sazbu, abychom pokryli pojistný nárok nadcházejícího období, Xn+1. 9 Budeme předpokládat, že rizikový parametr pojištěného je 0, ale jeho hodnotu neznáme. • A dále předpokládáme nezávislost X1,Xn za podmínky 6. 9 Nechť Xj má podmíněné rozdělení fxj\e(xj\6) pro j = 1,2, ...,/7, 77+ 1 Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovská metodologie • Pokud bychom znali hodnotu 0, pro předpověď škody Xn+1 by bylo možné použít řXn+1|0(xn+110). • Místo toho ovšem známe x, které můžeme využít k výpočtu prediktivní distribuce, kterou udává podmíněné rozdělení Xn+1 při daném X = x. a Z Bayesovy věty a předpokladu nezávislosti zkušeností z jednotlivých období za podmínky 0 = 0 dostáváme 6c,e(x,ô) = r(x1,..,xn|ô)7r(ô) = n o Sdružené rozdělení X potom získáme integrací přes všechny hodnoty parametru 0, tedy • Pokud budeme chtít získat sdružené rozdělení náhodného vektoru Xf = (X1, X2,Xn, Xn+1), nahradíme ve vzorci v součinu na pravé straně n za n + 1. o Z těchto vztahů a s použitím Bayesovy věty získáme prediktivní hustotu fc^IxOfo+ilx) U fXj\e(xj\9) n(9)d9 • Pro posteriorní funkci náhodné veličiny 0 platí *e,x(*|x) = -g^- = w n y=i • Dosazením tohoto vztahu do prediktivní hustoty 6ín+1|x(^n+i|x) získáme fXn+i|x(*n+1 |X) = J fXn+i|e(*n+1 \0)nQ\x(O\x) Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovská metodologie Příklad Předpokládejme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny řidičů. Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1. Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2. Pro konkrétního pojištěného známe hodnoty x1 = 0 a x2 = 1. Určete prediktivní rozdělení (Xsl^ =0,X2 = 1)apro (0|X| =0,X2 = 1). Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovská metodologie Příklad Počet pojistných nároků se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1 /©. Uvnitř tarifní třídy pojištěných má parametr 0 gama rozdělení s parametrem a = 4 a parametrem šikmosti p = 0.001. Předpokládejme osobu se škodami 100, 950, 450. Určete prediktivní rozdělení čtvrté škody. 9 Kromě prediktivní distribuce může pojišťovna požadovat také určení střední hodnoty škod nebo ztrát v příštím zkušenostním období. o Pokud o klientovi nemáme žádné informace, pro střední hodnotu bude platit (0) = E(Xn+110 = 9) = / xn+1 fx ie(xn+1 \9) dxn+1 kde meze integrálu odpovídají faktu, že škody mohou nabývat jen nezáporných hodnot. = E(Xn+1) = E[E(Xn+1|0)] = E[Mn+1(0)] kde (0) pro 0 = 9 je dáno vztahem oo Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Střední hodnota Vyjadřuje-li náhodná veličina X, celkovou ztrátu v Mém zkušenostním období pro / = 1,2,n, pak vztah = E(X„+1) = E[E(Xn+1|0)] = E[/in+1(0)], udává kolektivní pojistné a vztah tJLn+i {9) = E(X„+11© = 9) = / řx |0(xn+1 |0) dxn+1, JO individuální pojistné. 4 □ ť3? Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Individuální pojistné Definice Individuální pojistné /in+1 (0) je pojistné, které by bylo účtováno pojištěnému s rizikovým parametrem 9 v případě, že by hodnota tohoto parametru byla známá. Jedná se o očekávanou hodnotu agregovaných ztrát pojištěného v následujícím zkušenostním období při jeho dané úrovni rizika. * V tomto případě je rizikový parametr spojený přímo s konkrétním pojištěným. Toto pojistné je tak nejreálnějším odrazem budoucích událostí jednotlivých pojištěných. * Střední hodnota /in+1 (0) bývá označována jako hypotetická. • Problém s individuálním pojistným spočívá v hodnotě rizikového parametru 6 který nejsme schopni v praxi vypozorovat. a Individuální pojistné tedy nedokážeme přesně stanovit a jedinou možností je odhadnout jej z dat. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kolektivní pojistné Definice Kolektivní pojistné /in+1 je pojistné, které bude účtováno pojištěnému v případě, že nevíme nic o jeho úrovni rizika. Jedná se o očekávanou hodnotu náhodné veličiny vyjadřující výši individuálního pojistného. • Využívá se v situacích, kdy o pojištěném nemáme žádné informace, tedy například u nového pojištěného při stanovení pojistného na první zkušenostní období. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovské pojistné Definice Nechť , X2,Xn označují zkušenost pojištěného za n zkušenostních období Bayesovské pojistné 6(X1, X2,Xn) je potom dáno jako B(XA, X2,.., X„) = arg mingi) E [(/in+1 (0) - g(XA, X2,.., X„))2 /cc/e gf(.) ye nějakou funkcí dat X1, X2,Xn. • Dá se ukázat, že funkce minimalizující střední kvadratickou chybu v předchozí definici je tvaru S(X1, X2,Xn) = E[/in+i (0)|X1, X2,Xn]. o Předpokládáme-li nezávislost X, pro / = 1,2,n při podmíněnosti náhodnou veličinou 0, dostáváme (0) = E(X„+110) = E(X„+110, , X2, ..,X„). • Odtud pro Bayesovské pojistné 6(Xi, X2,Xn) = E[E(Xn+i |0, Xi, X2,Xn)\X^, X2 = E(Xn+i |X|, X2,Xn), tedy podmíněná střední hodnota E[/in+1(0)|X] = E(Xn+1|X) bude minimalizovat také střední kvadratickou chybu - 9{X^,X2, ...,Xn))' Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovské pojistné Příklad Předpokládejme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny řidičů. Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1. Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2. Pro konkrétního pojištěného známe hodnoty x-i = 0 a x2 = 1. Určete Bayesovské pojistné. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bayesovské pojistné Příklad Počet pojistných nároků se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1 /©. Uvnitř tarifní třídy pojištěných má parametr 0 gama rozdělení s parametrem a = 4 a parametrem šikmosti p = 0.001. Předpokládejme osobu se škodami 100, 950, 450. Určete Bayesovské pojistné, víme-li, že tt(#|100,950,450) = 96 e-2500^500" 07) Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné • Jedná se o alternativu k Bayesovskému a individuálnímu pojistnému. • Dochází k aproximaci /in+1 (0) pomocí lineární funkce dat z minulosti pojištěného, tedy n a0 + ^2ajXj, /=1 kde a0, ol\ ,an musíme určit. o Vycházíme z definice bayesovského pojistného, tedy neznámé parametry a, pro i = 0,1,n zvolíme tak, abychom minimalizovali střední kvadratickou chybu. Kapitoly z pojistné matematiky ptimální teorie kredibili tné Definice Nechť X1, X2,Xn označují zkušenost pojištěnce z n zkušenostních období. Kredibilitnípojistné C(X^, X2,Xn) je potom lineární funkcí X1, X2,..., Xn tedy n C(X1, X2, Xn) = ď0 + úi^i /=1 /ccře a,- pro / = 1,2,n minimalizují střední kvadratickou chybu Q = E A? /in+1 (0) - a0 - /=1 Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné Naší snahou je minimalizovat Q z rovnice Q = E n n 2 /in+1 (0) aiXi /=1 a Použijeme parciální derivace, které položíme rovny nule dQ da = 0 o E< 2 /in+1 (0) - Q^o - ^2 ®jXj /=1 (-1) = o E[/in+1 (0)] = ď0 + ^ (5/ E(X/) /=1 kde 50, &1,&n jsou hodnoty a0, «1, • ^n minimalizující Q. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné Vzhledem k platnosti E(Xn+1) = E[E(Xn+1|0)] = E[/i„+1 můžeme psát n E(Xn+1) = ď0 + ^<5/E(X/) Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné Analogicky můžeme postupovat při parciálních derivacích podle ostatních ay, kde j = 1,2, ...n, tedy dQ d a; = 0 E< 2 /in+1 (0) - a0 - ^2 ajXj /=1 E[Mn+1(0)Xy] = ďOE(Xy) + J>/E(X/Xy), Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné Zároveň však využitím vlastností střední hodnoty a nezávislosti Xj a Xn+1 při podmíněnosti 0 můžeme psát EK+i(e)xy] = Z toho získáme E{E[XyAíf7+1(0)|0]} E{/Jn+1(0)E[Xy|©]} E[E(Xn+1|0)E(Xy|©)] E[E(Xn+1Xy|0)] E(Xy>Yn+l), n E(XyXn+1 ) = ď0 E(Xy) + ái E(X/Xy). Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné Vynásobením n E(Xn+1) = d0 + J^<5/E(X/) /=1 střední hodnotou E(Xy) a odečtením od n E(XyX„+1) = ď0E(Xy) + ^äiE(XiXj). /=1 získáme Cov(Xy, Xn+1) = J] &, Cov(X/, Xy), y = 1,. /=1 Kapitoly z pojistné matematiky Kredibilitní pojistné Pokud dáme dohromady rovnici n E(Xn+1 ) = á0 + ^2äj E(X/) /=1 a n rovnic n Cov(Xy,Xn+1) = ^2äiCov(Xi,Xj), j= 1,...,/7, /=1 získáme soustavu n+ 1 tzv. normálních rovnic. Jejím řešením obdržíme a dostaneme tak kredibilitní pojistné C(X15X2, ...,Xn) = ď0 + y^^/X/. /=1 Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility tné • Parciálním derivováním podle vztahů Ol = E n 2 E(Xn+1 |X) - qq - a/X/ /=1 Q2 = E /=1 získáme tutéž soustavu n+ 1 normálních rovnic. • Z toho vyplývá, že stejné hodnoty které minimalizují Q minimalizují i Qi a Q2. • Tedy kredibilitní pojistné je nejlepším lineárním odhadem nejen pro /in+1(0), ale i pro bayesovské pojistné E(Xn+1 \X) a náhodnou veličinu Xn+1. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Kredibilitní pojistné Nechť pro všechna X/5 kde / = 1,2,n + 1, platí, že E(X,) = /i, Var(X,) = a2 a pro / ^ y platí Cov(X„ Xy) = pa2, tedy -1 < p < 1 odpovídá korelačnímu koeficientu. Určete kredibilitní pojistné a0 + Y!í=a &íxí- Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bůhlmannův model • Bůhlmannův model je nejjednodušším kredibilitiním modelem. • Předpokládá, že u všech pojištěnců je střední hodnota a rozptyl minulých škod X1, X2,Xn stejný při podmíněnosti náhodnou veličinou 0. • Zároveň se ještě požaduje, aby veličiny X1, X2,Xn měly identické rozdělení a byly nezávislé za podmíněnosti 0. • Tedy můžeme definovat hypotetickou střední hodnotu /i(0)= E(X/|0 = 0) a procesní rozptyl i/(0) = Var(X/|0 = 0). Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Búhlmannův model Dále definujme očekávanou hodnotu hypotetických středních hodnot jako ti= E[/i(9)], očekávanou hodnotu procesního rozptylu jako v = E[i/(9)] a rozptyl hypotetických středních hodnot a= Var[/i(0)]. Přitom ji volíme jako pojistné tehdy, když nemáme žádné informace o klientovi a tedy žádné informace o /i(0). Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Búhlmannův model Pro náhodnou veličinu X, vyjadřující škody klientů platí E(X/)=E[E(X/|e)] = E[^(e)]=/í a dále Var(X/) = E[ Var(X/10)] + Var[ E(X/1 ©)] = E[z/(0)] + Var[/i(©)] = v + a a pro / ^ j Cov(X/, Xy) = a Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bůhlmannův model Dosadíme-li tyto výsledky do rovnic n E(Xn+1) = ď0 + ^5/E(X/) /=1 n Cov(Xy, Xn+1 ) = J2 ái Cov(X/5 Xy), / = 1 , .., fl, /=1 získáme hodnoty parametrů ď0, ďi, ...ďn, které minimalizují Q v rovnici Q= E n (0) - «0 - /=1 Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Buhlmannův model Bude platit v a0 = v + na a pro / = 1,2,n OLi — v + na Kredibilitní pojistné pak bude tvaru n n do + ^ ájXj v /=1 v + na v /=1 v + na na -/i + ■ v + na v + na X. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bůhlmannův model Pokud položíme k = - a Z =-- a n + k a dosadíme do předchozí rovnice, dostaneme kredibilitní pojistné tvaru Cfí(X1,X2,..,Xn) = ZX + (1 -Z)/i což odpovídá tvaru pojistného z parciální kredibility. Kredibilitní faktor Z = ^ s volbou k = -a se označuje jako Bůhlmannův kredibilitní faktor. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bůhlmannův model Příklad Předpokládejme automobilové pojištění, kde máme 2 skupiny řidičů. Dobří řidiči tvoří 75% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.7, 0.2, resp. 0.1. Špatní řidiči tvoří 25% pojištěných a mají 0,1 nebo 2 nehody s pravděpodobností 0.5, 0.3, resp. 0.2. Pro konkrétního pojištěného známe hodnoty x1 = 0 a x2 = 1. Určete Bůhlmannův odhad E(X3|0,1). Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Bůhlmannův model Příklad Počet škod náhodně vybraného pojištěného má Poissonovo rozdělení s parametrem 0, pro jehož priorní rozdělení platí, že tt(0) = 30~4, kde 9 > 1. Předpokládejme, že hodnota rizikového parametru se u jednotlivých klientů v čase nemění. V předešlých dvou letech se daný klient dopustil 20 škod. Odvoďte Bůhlmannův odhad pro očekávanou četnost škod daného pojištěného v následujícím období. Kapitoly z pojistné matematiky Optimální teorie kredibility Búhlmannův model Příklad Výše škod klientů s rizikovým parametrem 0^ je 100,1000 a 20000 s pravděpodobnostmi 1, ^ a g. U klientů s rizikovým parametrem 62 se pro stejné výše škod jedná postupně o pravděpodobnosti ^^a^. Výskyt klientů s rizikovým parametrem 0^ je dvakrát větší než výskyt klientů s parametrem 02. U náhodného pojištěného s neznámým rizikovým parametrem nastala v minulém zkušenostním období škoda ve výši 100. Odvoďte Búhlmannův odhad pro očekávanou výši škody daného pojištěného v následujícím období. Předpokládáme, že hodnota rizikového parametru se u pojištěného s časem nemění.