M7180 Funkcionálna analýza II
Derivovanie v Banachových priestoroch
Peter Šepitka
zima 2021
Obsah
1 Slabá a silná derivácia zobrazenia
2 Derivovanie konvexných zobrazení
3 Dotykový funkcionál a hladké priestory
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Obsah
1 Slabá a silná derivácia zobrazenia
2 Derivovanie konvexných zobrazení
3 Dotykový funkcionál a hladké priestory
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Pojem derivácie zobrazenia
Definícia 1 (Derivácia v smere vektora)
Nech X a Y sú Banachove priestory, G ⊆ Y otvorená množina a f : G → Y
dané zobrazenie. Hovoríme, že f má v bode x ∈ X deriváciu v smere vektora
h ∈ X \ {0}, ak existuje v priestore Y limita
lim
λ→0
f(x + λh) − f(x)
λ
. (1)
Limitu v (1) potom označujeme symbolom Dhf(x).
Definícia 2 (Slabá (Gâuteauxova) derivácia)
Nech X a Y sú Banachove priestory a f : G → Y zobrazenie definované na
danej otvorenej množine G ⊆ X. Ak pre dané x ∈ G má zobrazenie f deriváciu
Dhf(x) v každom smere h ∈ X \ {0} a priradenie h → Dhf(x) je
spojitý lineárny operátor z X do Y , potom hovoríme, že zobrazenie f má v bode
x slabú (Gâuteauxovu) deriváciu, resp. f je v bode x slabo (gâuteauxovsky)
diferencovateľné. Spojitý lineárny operátor df(x) definovaný predpisom
[df(x)]h := Dhf(x), h ∈ X, (2)
sa nazýva slabá (Gâuteauxova) derivácia zobrazenia f v bode x.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Definícia 3 (Silná (Fréchetova) derivácia)
Nech X a Y sú Banachove priestory a f : G → Y zobrazenie definované na
danej otvorenej množine G ⊆ X. Ak pre dané x ∈ G existuje spojitý lineárny
operátor L : X → Y s vlastnosťou
lim
h→0
f(x + h) − f(x) − Lh
h X
= 0, (3)
potom hovoríme, že zobrazenie f má v bode x silnú (Fréchetovu) deriváciu,
resp. f je v bode x silne (fréchetovsky) diferencovateľné. Operátor L sa nazýva
silná (Fréchetova) derivácia, resp. totálny diferenciál, zobrazenia f v bode x a
označuje sa symbolom f′
(x).
Poznámka 1 (Silná (Fréchetova) derivácia)
Spojitý lineárny operátor L v Definícii 3 je určený jednoznačne. Skutočne, ak
L1, L2 : X → Y sú spojité lineárne operátory spĺňajúce podmienku (3), potom
lim
h→0
L1h − L2h
h X
= 0, pričom pre h := αu, α ∈ R+
, máme lim
α→0
L1u − L2u
u X
= 0
pre každý daný nenulový vektor u ∈ X. Z poslednej rovnosti a z linearity L1 a
L2 nutne vyplýva, že L1u = L2u pre každé u ∈ X. Preto operátory L1 = L2.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Lema 1
Nech X a Y sú Banachove priestory f : G → Y zobrazenie definované na danej
otvorenej množine G ⊆ X. Ak pre dané x ∈ G má zobrazenie f silnú deriváciu
f′
(x), potom existuje i slabá derivácia df(x) a platí df(x) = f′
(x).
Dôkaz Lemy 1.
Pedpokladajme, že zobrazenie f má v bode x ∈ G silnú deriváciu f′
(x). Nech
h ∈ X \ {0} a λ ∈ C \ {0} sú dané, pričom λ = |λ|eiϕ
, ϕ ∈ [0, 2π). Uvažujme
výraz v (1) a postupne ho vhodne upravujme s ohľadom na (3), t.j.,
f(x + λh) − f(x)
λ
=
f(x + λh) − f(x)
λh X
e−iϕ
h X
=
f(x + λh) − f(x) − [f′(x)](λh)
λh X
+
[f′(x)](λh)
λh X
e−iϕ
h X
=
f(x + λh) − f(x) − [f′(x)](λh)
λh X
e−iϕ
h X + [f′
(x)]h.
Keďže podľa (3) s L := f′
(x) prvý člen v poslednom výraze pre λ → 0 konverguje
do nuly, máme limλ→0
f(x+λh)−f(x)
λ
= [f′
(x)]h. V súlade s Definíciou 2 má teda
zobrazenie f v bode x slabú deriváciu df(x) a platí df(x) = f′
(x).
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Poznámka 2
Poznamenajme, že opačné tvrdenie vo všeobecnosti neplatí, t.j., gâuteauxovská
diferencovateľnosť zobrazenia f nemusí nutne implikovať jeho fréchetovskú diferencovateľnosť.
Jednoduché protipríklady môžeme nájsť už v základnom kurze
matematickej analýzy reálnych funkcií viac (reálnych) premenných, t.j., v prípade
konečnorozmerných priestorov X a Y . Napríklad nie je ťažké ukázať, že reálna
funkcia f : R2
→ R definovaná predpisom
f(x, y) :=



x2
y
x2+y2 , [x, y] = [0, 0],
0, [x, y] = [0, 0],
má v bode [0, 0] slabú deriváciu df(0, 0), t.j., deriváciu Dhf(0, 0) v smere
každého nenulového vektora h ∈ R2
, ale nie je diferencovateľná v tomto bode,
t.j., neexistuje silná derivácia f′
(0, 0).
Poznámka 3
V prípade priestoru Y = C je skúmané zobrazenie f : X → Y funkcionál. Ak v
bode x ∈ X má f slabú deriváciu df(x), potom zrejme v súlade s Definíciou 2
je zobrazenie df(x) spojitý lineárny funkcionál na X, t.j., df(x) ∈ X′
.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Príklad 1
Uvažujme X = C[0, 1], Y = R a zobrazenie f : X → Y definované predpisom
f(x) :=
1
0
x2
(t) dt, x ∈ X. (4)
Ukážeme, že f má slabú deriváciu na celom priestore X. Zvoľme dané x ∈ X a
identicky nenulovú funkciu h ∈ X. Pre smerovú deriváciu Dhf(x) platí
Dhf(x)
(1),(4)
= lim
λ→0
1
0 [x(t) + λh(t)]2(t) dt − 1
0 x2(t) dt
λ
= lim
λ→0
1
0
[2x(t) h(t) + λh2
(t)] dt = 2
1
0
x(t) h(t) dt. (5)
Derivácia Dhf(x) existuje v každom smere h, pričom priradenie h → Dhf(x) je
zrejme lineárny funkcionál na X. Naviac, pre každé h ∈ X máme
|Dhf(x)|
(5)
= 2
1
0
x(t) h(t) dt ≤ 2
1
0
|x(t)| |h(t)| dt ≤ 2 h X
1
0
|x(t)| dt,
čo znamená, že sa jedná o lineárny ohraničený, a teda lineárny spojitý funkcionál.
Podľa Definície 2 má teda zobrazenie f v bode x slabú deriváciu df(x) tvaru
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Príklad 1
[df(x)]h
(5)
= 2
1
0
x(t) h(t) dt, h ∈ X. (6)
Dokážeme, že funkcionál df(x) v (6) je dokonca silná derivácia zobrazenia f v
bode x. Pomocou (4) a (6) máme
lim
h→0
f(x + h) − f(x) − [df(x)]h
h X
(4),(6)
= lim
h→0
1
0
h2(t) dt
h X
(7)
Limita v (7) existuje a je nulová, nakoľko platí
0 ≤
1
0 h2(t) dt
h X
=
1
0 |h(t)|2 dt
h X
≤
1
0 h 2
X dt
h X
= h X → 0 pre h → 0.
Preto podľa Definície 3 funkcionál df(x) = f′
(x) pre každé x ∈ X.
Poznámka 4
Nech X a Y sú Banachove priestory a G ⊆ X je otvorená množina. Dá ukázať,
že zobrazenie f : G → Y má silnú deriváciu v bode x ∈ G práve vtedy, keď
lim
λ→0
f(x + λh) − f(x)
λ
= [df(x)]h existuje rovnomerne vzhľadom na h ∈ SX [0, 1].
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Príklad 2
Nech X je reálny Hilbertov piestor. Ukážeme, že v každom nenulovom vektore
x ∈ X má norma · X : X → R priestoru X (generovaná odpovedajúcim
skalárnym súčinom) silnú deriváciu tvaru
x ′
X h = h,
1
x X
x , h ∈ X. (8)
Zvoľme pevné x ∈ X \ {0}. Potom pre každý nenulový vektor h ∈ X a každé
nenulové číslo λ ∈ R platí
x + λh X − x X
λ
=
( x + λh X − x X ) · ( x + λh X + x X )
λ ( x + λh X + x X )
=
x + λh 2
X − x 2
X
λ ( x + λh X + x X )
=
|λ|2 h 2
X + 2λ h, x
λ ( x + λh X + x X )
, (9)
z čoho ihneď vyplýva relácia
lim
λ→0
x + λh X − x X
λ
(9)
= lim
λ→0
|λ|2 h 2
X + 2λ h, x
λ ( x + λh X + x X )
= h,
1
x X
x (10)
pre každé nenulové h ∈ X. Zo znalosti duálneho priestoru X′
môžeme následne
usúdiť, že podľa Definície 2 má norma · X v bode x slabú deriváciu tvaru
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Príklad 2
[d x X ]h = h,
1
x X
x , h ∈ X. (11)
Naviac, limita v (10) existuje rovnomerne vzhľadom na vektory h ∈ SX[0, 1].
Zaveďme pre každé dané h ∈ SX [0, 1] a dané λ ∈ R \ {0} označenie
V (h) :=
x + λh X − x X
λ
− h,
1
x X
x . (12)
Potom postupne pre h ∈ SX [0, 1] a λ ∈ R \ {0} dostávame
V (h)
(12),(9)
=
|λ|2 h 2
X + 2λ h, x
λ ( x + λh X + x X )
− h,
1
x X
x
=
|λ|2
λ ( x + λh X + x X )
+ h, x
2
x + λh X + x X
−
1
x X
=
|λ|2
λ ( x + λh X + x X )
+ h, x
x X − x + λh X
x X · ( x + λh X + x X )
≤
|λ|
x + λh X + x X
+ | h, x |
| x X − x + λh X |
x X · ( x + λh X + x X )
(13)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Príklad 2
Vhodnou aplikáciou trojuholníkovej nerovnosti získame
x + λh X + x X ≥ 2 x X − |λ|, | x X − x + λh X | ≤ |λ| (14)
pre každé h ∈ SX [0, 1] a λ ∈ R. Uvažujúc |λ| < 2 x X máme
V (h)
(13)
≤
|λ|
x + λh X + x X
+ | h, x |
| x X − x + λh X |
x X · ( x + λh X + x X )
(14)
≤
|λ|
2 x X − |λ|
+ | h, x |
|λ|
x X · (2 x X − |λ|)
≤
|λ|
2 x X − |λ|
+ x X
|λ|
x X · (2 x X − |λ|)
=
2|λ|
2 x X − |λ|
(15)
pre každé h ∈ SX [0, 1]. Poznamenajme, že pri prechode na posledný riadok sme
využili Cauchyho–Schwarzovu–Buňakovského nerovnosť
| h, x | ≤ h X · x X = x X .
Kombináciou (12) a (15) napokon dostávame pre každé h ∈ SX[0, 1] reláciu
x + λh X − x X
λ
− h,
1
x X
x
(12),(15)
≤
2|λ|
2 x X − |λ|
→ 0 pre λ → 0.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Príklad 2
To dokazuje, že limita v (10) existuje rovnomerne vzhľadom na h ∈ SX[0, 1].
Podľa Poznámky 4 následne platí, že norma · X má skutočne v každom
nenulovom vektore x ∈ X silnú deriváciu, pričom platí rovnosť (8). V bode
x = 0 nemá norma · X ani slabú deriváciu, nakoľko pre vektor h = 0 limita
lim
λ→0
0 + λh X − 0 X
λ
= lim
λ→0
|λ|
λ
h X neexistuje.
Príklad 3
Je dôležité poznamenať, že v Banachových priestoroch nemusí byť norma
fréchetovsky diferencovateľná. Napríklad v priestore X = l1
nemá odpovedajúca
norma · 1 silnú deriváciu v žiadnom bode x ∈ X. Na druhej strane, slabá
derivácia normy existuje práve v bodoch {xn}∞
n=1 ∈ X s vlastnosťou xn = 0 pre
každé n ∈ N. V tomto prípade sa dá ukázať, že platí
[d x 1]{hn}∞
n=1 =
∞
n=1
sg (xn) hn pre každé {hn}∞
n=1 ∈ X. (16)
Zobrazenie v (16) je zrejme definované korektne na celom priestore X. Naviac
sa jedná o spojitý lineárny funkcionál na X, keďže duálny priestor X′
≃ l∞
.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Obsah
1 Slabá a silná derivácia zobrazenia
2 Derivovanie konvexných zobrazení
3 Dotykový funkcionál a hladké priestory
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Konvexné funkcie
V tejto sekcii sa budeme zaoberať výhradne reálnymi funkciami (zobrazeniami),
t.j., funkcionálmi f : X → R, kde X je reálny Banachov priestor.
Definícia 4 (Konvexná funkcia)
Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X je daná konvexná množina. Zobrazenie
f : G → R sa označuje ako konvexné na G, ak pre každé dva body x, y ∈ X a
každé λ ∈ [0, 1] platí nerovnosť
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y). (17)
Príklad 4
Základnými príkladmi konvexných funkcií na Banachovom priestore X je každá
norma na X a každý sublineárny funkcionál na X, t.j., funkcionál f : X → R
spĺňajúci f(αx+βy) ≤ αf(x)+βf(y) pre každé x, y ∈ X a pre každé α, β ∈ R. (18)
Ďalším dôležitým príkladom konvexnej funkcie je konvexný funkcionál na X.
Pripomeňme, že sa jedná o zobrazenie p : X → R s vlastnosťami
p(λx) = λp(x), x ∈ X, λ ∈ [0, ∞), p(x + y) ≤ p(x)+ p(y), x, y ∈ X. (19)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Veta 1
Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X je otvorená konvexná množina. Nech
f : G → R je konvexná funkcia, ktorá je ohraničená na okolí daného bodu
x0 ∈ G. Potom existujú kladné konštanty L a δ také, že
|f(x) − f(y)| ≤ L x − y X pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ BX (x0, δ) ⊆ G. (20)
Poznámka 5
Tvrdenie Vety 1 možno formulovať i v tvare, že každá funkcia, ktorá je konvexná a
lokálne ohraničená na konvexnej množine G ⊆ X, je na G lokálne lipschitzovská.
Dôkaz Vety 1.
Z predpokladov tvrdenia vyplýva existencia kladných čísiel M a δ s vlastnosťou
|f(x)| ≤ M, x ∈ BX (x0, 2δ) ⊆ G. (21)
Zvoľme pevne rôzne vektory x, y ∈ BX (x0, δ) ⊆ BX (x0, 2δ) a definujme
α := x − y X > 0, z := y +
δ
α
(y − x). (22)
Nie je ťažké ukázať, že vektor z v (22) spĺňa vlastnosti
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 1 (pokračovanie).
(i) z − x0 X ≤ 2δ, t.j., z ∈ BX (x0, 2δ), a tak podľa (21) platí |f(z)| ≤ M,
(ii) vektor y je konvexnou lineárnou kombináciou x a z, konkrétne platí
y
(22)
=
δ
α + δ
x +
α
α + δ
z. (23)
Preto v súlade s konvexnosťou funkcie f máme nerovnosť
f(y)
(23)
= f
δ
α + δ
x +
α
α + δ
z
(17)
≤
δ
α + δ
f(x) +
α
α + δ
f(z), a následne
f(y) − f(x) ≤
δ
α + δ
f(x) − f(x) +
α
α + δ
f(z) =
α
α + δ
[f(z) − f(x)]. (24)
Kombináciou nerovností v (24) a (21) dostaneme
f(y) − f(x)
(24)
≤
α
α + δ
[f(z) − f(x)]
(21)
≤
α
α + δ
[M + M] ≤
2M
δ
α. (25)
Nie je ťažké si premyslieť, že nerovnosť (25) platí i pre zámenu x ↔ y, a tak
±[f(x) − f(y)] ≤
2M
δ
α, teda |f(x) − f(y)| ≤
2M
δ
α =
2M
δ
x − y X .
Posledná nerovnosť tak potvrdzuje platnosť (20) pre voľbu L := 2M
δ
> 0.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôsledok 1
Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X je otvorená konvexná množina. Nech
f : G → R je konvexná funkcia. Potom f je spojitá na množine G práve vtedy,
keď je lokálne ohraničená na množine G.
Dôkaz Dôsledku 1.
Je zrejmé, že spojitosť každej funkcie f na každej množine G ⊆ X implikuje
lokálnu ohraničenosť f na G. Ak naviac G je konvexná množina a f je konvexná
funkcia, potom podľa Vety 1 z lokálnej ohraničenosti funkcie f na G vyplýva
lokálna lipschitzovskosť f na G, a teda vzhľadom na nerovnosť (20) nutne i
spojitosť f v každom bode množiny G. Dôkaz je hotový.
Poznámka 6
Poznamenajme, že pri skúmaní spojitosti konvexných funkcií na reálnych Banachových
priestoroch hrá dôležitú úlohu ich dimenzia. Je možné dokázať, že v
prípade konečnorozmerného priestoru X je každá konvexná funkcia f : X → R
spojitá na každej otvorenej konvexnej množine G ⊆ X. Na druhej strane vieme,
že v prípade dim X = ∞ vždy existujú na X nespojité lineárne funkcionály, a
teda v súlade s Príkladom 4 i nespojité konvexné funkcie f : X → R.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Definícia 5 (Polospojitosť funkcie)
Nech X je metrický priestor a f : X → R je daná funkcia. Hovoríme, že f je
polospojitá zhora na X, ak pre každé α ∈ R je množina
{x ∈ X, f(x) < α} otvorená v X. (26)
Podobne, funkcia f je polospojitá zdola na X, ak pre každá α ∈ R je množina
{x ∈ X, f(x) > α} otvorená v X. (27)
Poznámka 7
Poznamenajme, že vlastnosť (26), resp. (27) je ekvivalentná s tým, že množina
{x ∈ X, f(x) ≥ β}, resp. {x ∈ X, f(x) ≤ β} je uzavretá v X (28)
pre každé β ∈ R. Doplňme, že polospojitosť zhora, resp. zdola funkcie f v danom
bode x0 ∈ X sa štandarne definuje ako relácia
lim sup
x→x0
f(x) ≤ f(x0), resp. lim inf
x→x0
≥ f(x0). (29)
Platí, že funkcia f je polospojitá zhora (zdola) v každom bode x ∈ X v zmysle
(29) práve vtedy, keď spĺňa reláciu (26) (reláciu (27)). Napokon dodajme, že
funkcia f je spojitá na celom X práve vtedy, keď je polospojitá zhora i zdola na
celom X, t.j., platia relácie (26) a (27)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Veta 2
Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X je otvorená konvexná množina. Nech
f : G → R je konvexná funkcia. Potom nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Funkcia f je spojitá na množine G.
(ii) Funkcia f je polospojitá zhora na množine G.
(iii) Funkcia f je ohraničená zhora na okolí O(x0) ⊆ G nejakého bodu x0 ∈ G.
(iv) Funkcia f je spojitá v nejakom bode x0 ∈ G.
Dôkaz Vety 2.
Platnosť implikácie (i)⇒(ii) vyplýva z Poznámky 7. Ak funkcia f je polospojitá
zhora na množine G a x0 ∈ G je nejaký daný bod, potom množina
{x ∈ X, f(x) < f(x0) + 1} (30)
je v súlade s (26) v Definícii 5 otvorená a neprázdna, nakoľko zrejme obsahuje
bod x0. Jedná sa teda o okolie O(x0) bodu x0. A keďže podľa (30) platí
f(x) < f(x0) + 1 pre každé x ∈ O(x0), funkcia f je ohraničená zhora na
množine O(x0). Platí teda implikácia (ii)⇒(iii). Pre dôkaz implikácie (iii)⇒(iv)
stačí v súlade s Vetou 1 a Dôsledkom 1 ukázať, že funkcia f je ohraničená i zdola
na okolí O(x0). Predpokladajme, že funkcia f je zhora ohraničená zhora na ne-
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie).
jakom okolí bodu x0, t.j., existujú kladné konštanty M a δ s vlastnosťou
f(x) ≤ M, x ∈ BX (x0, δ) ⊆ G. (31)
Pre každý bod x ∈ BX (x0, δ) platí, že aj bod 2x0 − x ∈ BX (x0, δ), keďže
(2x0 − x) − x0 X = x0 − x X < δ. Množina BX (x0, δ) je zrejme konvexná.
Potom pre každý bod x ∈ BX (x0, δ) postupne máme
f(x0) = f
1
2
(2x0 − x) +
1
2
x
(17)
≤
1
2
f(2x0 − x) +
1
2
f(x)
(31)
≤
1
2
[M + f(x)]
⇓
2f(x0) − M ≤ f(x), x ∈ BX (x0, δ).
Posledná nerovnosť ukazuje, že funkcia f je ohraničená zdola na okolí BX (x0, δ),
t.j., je ohraničená na BX (x0, δ). Podľa vyššie uvedenej diskusie teda platí implikácia
(iii)⇒(iv). Pristúpime teraz k dôkazu implikácia (iv)⇒(i). Nech funkcia
f je spojitá v bode x0 ∈ G. Uvažujme daný bod y ∈ G, y = x0, a nech ε > 0
je také, že okolie BX (y, ε) ⊆ G. Definujme kladné číslo ω rovnosťou
ω :=
ε
2 y − x0 X
. (32)
Následne vektor z := y + ω(y − x0) patrí do okolia BX (y, ε), pretože v súlade
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie).
s (32) platí z −y X = ε
2
. Naviac, vektor y je konvexnou lineárnou kombináciou
vektorov x0 a z, konkrétne máme rovnosť
y = λx0 + (1 − λ)z, kde λ :=
ω
ω + 1
∈ (0, 1), (33)
ako sa možno ľahko presvedčiť. Spojitosť f v bode x0 implikuje vlastnosť (31).
Ukážeme teraz, že funkcia f je ohraničená zhora na množine BX (y, λδ) s číslom
δ z (31). V prvom rade dokážeme, že otvorená guľa BX (y, λδ) ⊆ G. Skutočne,
pre každé x ∈ BX (y, λδ) platí
x0 +
1
λ
(x − y) ∈ BX (x0, δ) ⊆ G, pretože (34)
x0 − x0 +
1
λ
(x − y)
X
=
1
λ
x − y X < δ,
x
(33)
= λ x0 +
1
λ
(x − y) + (1 − λ)z. (35)
Posledná rovnosť ukazuje, že bod x je konvexnou lineárnou kombináciou dvoch
bodov, ktoré patria do konvexnej množiny G, t.j., nutne potom platí x ∈ G. Na
druhej strane, vďaka konvexnosti funkcie f pre každé x ∈ BX (y, λδ) dostávame
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie).
f(x)
(35)
= f λ x0 +
1
λ
(x − y) + (1 − λ)z
(17)
≤ λf x0 +
1
λ
(x − y) + (1 − λ)f(z)
(34),(31)
≤ λM + (1 − λ)f(z). (36)
V súlade s odvodenou nerovnosťou (36) je teda funkcia f naozaj ohraničená zhora
na okolí BX (y, λδ) bodu y. Následne, podľa už dokázanej implikácie (iii)⇒(iv),
je f spojitá v bode y. Keďže bod y ∈ G bol zvolený ľubovoľne, funkcia f je
spojitá na celej množine G, t.j., platí tvrdenie (i). Dôkaz je kompletný.
Poznámka 8
Konvexné funkcie majú niektoré vlastnosti podobné ako lineárne funkcionály.
Vieme, že lineárny funkcionál je spojitý na celom priestore X práve vtedy, keď je
spojitý aspoň v jednom bode x0 ∈ X. S touto vlastnosťou v prípade konvexných
funkcií korešponduje ekvivalencia tvrdení (i) a (iv) vo Vete 2. Ďalej vieme, že
spojité lineárne funkcionály sú ohraničené na jednotkovej guli BX [0, 1]. Dá sa
dokázať, že ak X je separabilný Banachov priestor nekonečnej dimenzie, potom
vždy existuje spojitá konvexná funkcia na X, ktorá je neohraničená na BX [0, 1].
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Veta 3
Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X je otvorená konvexná množina. Nech
f : G → R je konvexná funkcia. Potom pre každý vektor x ∈ G existuje limita
[d+
f(x)]h := lim
λ→0+
f(x + λh) − f(x)
λ
, λ ∈ R, (37)
pre každé h ∈ X. Naviac, zobrazenie d+
f(x) je konvexný funkcionál na X.
Dôkaz Vety 3.
Zvoľme bod x ∈ G a pevný vektor h ∈ X. Ukážeme, že zlomok
f(x + λh) − f(x)
λ
(38)
je ako funkcia reálnej premennej λ na vhodnom pravom okolí bodu 0 neklesajúci
a zdola ohraničený. Zrejme existuje δ > 0 také, že vektor x + th ∈ G pre každé
t ∈ (0, δ). Pre každé dve hodnoty t1, t2 ∈ (0, δ) s t1 < t2 platí
x + t1h =
t2 − t1
t2
x +
t1
t2
(x + t2h). (39)
Jedná o konvexnú lineárnu kombináciu bodov x a x + t2h, a tak máme
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
f(x + t1h)
(39)
= f
t2 − t1
t2
x +
t1
t2
(x + t2h) ≤
t2 − t1
t2
f(x) +
t1
t2
f(x + t2h)
⇓
f(x + t1h) − f(x) ≤
t1
t2
[f(x + t2h) − f(x)]
⇓
f(x + t1h) − f(x)
t1
≤
f(x + t2h) − f(x)
t2
,
čo potvrdzuje predpovedanú monotónnosť uvedeného zlomku na intervale (0, δ).
Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že zavedené δ má naviac vlastnosť,
že aj vektory x − th ∈ G pre každé t ∈ (0, δ). Potom postupne platí
x =
1
2
[x − th] +
1
2
[x + th], t ∈ (0, δ)
⇓ konvexnosť funkcie f ⇓
f(x) ≤
1
2
f(x − th) +
1
2
f(x + th). (40)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
Z nerovnosti (40) po malých úpravách odvodíme
−
f(x + t(−h)) − f(x)
t
≤
f(x + th) − f(x)
t
, t ∈ (0, δ). (41)
Vychádzajúc z výsledkov vyššie, výraz na pravej strane nerovnosti (41) je neklesajúci
na intervale (0, δ), a tak výraz na ľavej strane tejto nerovnosti je nutne
nerastúci na intervale (0, δ) (s voľbou h := −h). Preto dostávame
−
f x + δ
2
(−h) − f(x)
δ
2
≤ −
f(x + t(−h)) − f(x)
t
≤
f(x + th) − f(x)
t
≤
f x + δ
2
h − f(x)
δ
2
(42)
pre každé t ∈ (0, δ
2
). Nerovnosti v (42) ukazujú, že zlomok (38) je ohraničený
zdola na (0, δ
2
), a preto s ohľadom na vyššie dokázanú monotónosť existuje limita
v (37). Z (42) ďalej vyplýva, že funkcionál d+
f(x) zavedený v (37) spĺňa
− [d+
f(x)](−h)
(37)
= lim
λ→0+
−
f(x + λ(−h)) − f(x)
λ
(42),(37)
≤ [d+
f(x)]h (43)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
pre každé h ∈ X. Zostáva dokázať, že funkcionál d+
f(x) je konvexný, t.j.,
ukázať, že spĺňa vlastnosti v (19). Zrejme v súlade s (37) pre každý vektor
h ∈ X platí d+
f(x)[0 · h] = 0 = 0 · d+
f(x)h. Pre ω > 0 platí
[d+
f(x)](ωh)
(37)
= lim
λ→0+
f(x + λωh) − f(x)
λ
= ω lim
λ→0+
f(x + λωh) − f(x)
λω
(37)
= ω[d+
f(x)]h, h ∈ X. (44)
Napokon dokážeme trojuholníkovú nerovnosť. Nech h, k ∈ X sú dva dané vektory
a (0, δ) interval taký, že x + th, x + tk ∈ G pre každé t ∈ (0, δ). Keďže
x +
t
2
(h + k) =
1
2
(x + th) +
1
2
(x + tk),
vektor x + t
2
(h + k) ∈ G pre každé t ∈ (0, δ). Následne platí
f x +
t
2
(h + k) ≤
1
2
f(x + th) +
1
2
f(x + tk)
⇓
f x + t
2
(h + k) − f(x)
t
2
≤
f(x + th) − f(x)
t
+
f(x + tk) − f(x)
t
(45)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
pre každé t ∈ (0, δ). Limitovaním nerovnosti (45) pre t → 0+
získame s ohľadom
na označenie v (37) reláciu
[d+
f(x)](h + k) ≤ [d+
f(x)]h + [d+
f(x)]k, h, k ∈ X. (46)
Podľa (19) je funkcionál d+
f(x) skutočne konvexný a dôkaz je zavŕšený.
Poznámka 9
Motivovaní rovnosťou (37) môžeme pre každé dané x ∈ G uvažovať funkcionál
[d−
f(x)]h := lim
λ→0−
f(x + λh) − f(x)
λ
, λ ∈ R, (47)
pre každé h ∈ X. Podľa nerovností (41)–(43) je zobrazenie d−
f(x) definované
korektne na X, pričom platí
[d−
f(x)]h
(43)
= −[d+
f(x)](−h)
(43)
≤ [d+
f(x)]h pre každé h ∈ X. (48)
V prípade reálneho Banachovho priestoru X má f v bode x ∈ G deriváciu
Dhf(x) v každom smere h ∈ X \ {0} práve vtedy, keď v (48) platí rovnosť, t.j.,
−[d+
f(x)](−h) = [d+
f(x)]h pre každé vektor h ∈ X. Naviac, konvexný funkci-
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Poznámka 9
onál d+
f(x) je v tejto situácii dokonca lineárny. Skutočne, máme
pre ω < 0 platí [d+
f(x)](ωh) = −[d+
f(x)](−ωh)
(44)
= ω[d+
f(x)]h, h ∈ X, (49)
[d+
f(x)](h + k) = −[d+
f(x)](−h − k)
(46)
≥ −[d+
f(x)](−h) − [d+
f(x)](−k)
= [d+
f(x)]h + [d+
f(x)]k, h, k ∈ X. (50)
Kombináciou (49) a (50) s (44) a (46) napokon získame
[d+
f(x)](h + k)
(50),(46)
= [d+
f(x)]h + [d+
f(x)]k, [d+
f(x)](ωh) = ω[d+
f(x)]h (51)
pre každé h, k ∈ X a každé ω ∈ R. To dokazuje linearitu funkcionálu d+
f(x).
Veta 4
Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X je otvorená konvexná množina. Nech
f : G → R je spojitá konvexná funkcia, ktorá má v danom bode x ∈ G deriváciu
Dhf(x) v každom smere h ∈ X \ {0}, pričom funkcionál Dhf(x) je lineárny.
Potom funkcia f má v bode x slabú deriváciu df(x).
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 4.
V súlade s Definíciou 2 stačí ukázať ohraničenosť funkcionálu Dhf(x). Vďaka
spojitosti v bode x ∈ G je funkcia f ohraničená a následne podľa Vety 1 i
lipschitzovská na nejakom dostatočne malom okolí bodu x. V súlade s (20) platí
|f(u) − f(v)| ≤ L u − v X pre každú dvojicu vektorov u, v ∈ BX (x, ε) ⊆ G (52)
pre isté kladné konštanty L a ε. Zvoľme nenulový vektor h ∈ X a položme
δ := ε
h X
. Potom pre každé λ ∈ C s 0 < |λ| < δ platí x + λh ∈ BX (x, ε) a
f(x + λh) − f(x)
λ
(52)
≤ L
λh X
|λ|
= L h X , |λ| ∈ (0, δ). (53)
Využijúc formulu (1) limitovaním nerovnosti (53) pre λ → 0 dostaneme
nerovnosť |Dhf(x)| ≤ L h X pre každé h ∈ X, pričom konštanta L > 0 je
nezávislá na vektore h ∈ X. Lineárny funkcionál Dhf(x) je teda ohraničený,
a preto aj spojitý na priestore X. Preto podľa Definície 2 má funkcia f slabú
deriváciu df(x) v bode x. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 10
V súlade s (51) v Poznámke 9 v prípade reálneho Banachovho priestoru X
môžeme predpoklad linearity smerovej derivácie Dhf(x) zrejme vypustiť.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Veta 5
Nech X je Banachov priestor. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Norma · X má na jednotkovej sfére SX [0, 1] rovnomerne slabú deriváciu.
(ii) Norma · X má na jednotkovej sfére SX [0, 1] rovnomerne silnú deriváciu.
Poznámka 11
Poznamenajme, že vlastnosti normy v tvrdeniach Vety 5(i)–(ii) znamenajú, že v
odpovedajúcich ε − δ definíciách ich slabej a silnej derivácie číslo δ > 0 nezávisí
na výbere vektora x ∈ SX [0, 1]. Konkrétne, pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak,
že v prípade slabej derivácie normy · (obzvlášť, v súlade s Poznámkou 4) platí
x + λh X − x X
λ
− [df(x)]h < ε pre každé |λ| < δ a pre každé x, h ∈ SX [0, 1].
Podobne v prípade rovnomernej existencie silnej derivácie normy · v súlade s
limitou (3) v Definícií 3 platí relácia
x + h X − x X
h X
− [f′
(x)]h < ε pre každé h X < δ a pre každé x ∈ SX [0, 1].
Rovnomerná existencia slabej (silnej) derivácie normy na jednotkovej sfére
SX [0, 1] má význam v geometrickej teórii Banachovho priestoru X.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Obsah
1 Slabá a silná derivácia zobrazenia
2 Derivovanie konvexných zobrazení
3 Dotykový funkcionál a hladké priestory
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dotykový funkcionál
Nech X je daný Banachov priestor a x ∈ X daný nenulový vektor. Jeden
z dôsledkov Hahnovej–Banachovej vety zaručuje existenciu aspoň jedného spojitého
lineárneho funkcionálu g : X → C s vlastnosťou
g = 1, g(x) = x X . (54)
Definícia 6 (Dotykový funkcionál)
Pre daný nenulový vektor x ∈ X sa spojitý lineárny funkcionál g : X → C
definovaný podmienkami v (54) označuje ako dotykový funkcionál v bode x.
Poznámka 12
Názov funkcionálu g v Definícii 6 je motivovaný jeho geometrickou interpretáciou.
Nie je náročné ukázať, že pre nadrovinu
Eg := {h ∈ X, g(h) = r}, r := x X (55)
platí x ∈ Eg ∩ BX [0, r] = Eg ∩ SX [0, r], t.j., jedná sa o dotykovú nadrovinu k
sfére SX [0, r] v bode x priestoru X.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Veta 6
Nech X je reálny Banachov priestor. Zaveďme označenie
f(x) := x X , x ∈ X. (56)
Nech x ∈ X je daný nenulový vektor a predpokladajme, že existuje slabá derivácia
df(x). Potom df(x) je dotykový funkcionál v bode x, t.j. v zhode s Definíciou 6
spojitý lineárny funkcionál spĺňajúci podmienky
df(x) = 1, [df(x)]x = x X . (57)
Naviac, v tomto prípade je dotykový funkcionál v bode x určený jednoznačne,
t.j., ak g ∈ X′
je nejaký dotykový funkcionál v bode x, potom g = df(x).
Dôkaz Vety 6.
Z predpokladov tvrdenia v súlade s Definíciou 2 vyplýva, že slabá derivácia df(x)
je spojitý lineárny funkcionál na X. Obvzlášť, podľa (2) a (1) platí
[df(x)]h = lim
λ→0
f(x + λh) − f(x)
λ
pre každé h ∈ X. (58)
Pre každé h ∈ X a λ ∈ R \ {0} máme odhad
f(x + λh) − f(x)
λ
(56)
=
| x + λh X − x X |
|λ|
≤
x + λh − x X
|λ|
= h X , (59)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 6 (pokračovanie).
pomocou ktorého v zhode (58) odvodíme
|[df(x)]h|
(58)
≤
f(x + λh) − f(x)
λ
(59)
≤ h X , a tak df(x) ≤ 1.
Na druhej strane, platí
[df(x)]
1
x X
x
(58),(56)
= lim
λ→0+
x + λ
x X
x
X
− x X
λ
= 1, (60)
a tak df(x) ≥ 1. Napokon dostávame rovnosti v (57), t.j.,
df(x) = 1, [df(x)]x
(60)
= x X .
Podľa Definície 6 je slabá derivácia df(x) skutočne dotykový funkcionál v bode
x. Ukážeme teraz jeho jednoznačnosť. Nech g je nejaký dotykový funkcionál
v bode x, t.j., je to spojitý lineárny funkcionál, ktorý spĺňa podmienky v (54).
Zvoľme pevne h ∈ X a definujme funkciu
ε(λ) := [df(x)]h −
x + λh X − x X
λ
, λ ∈ R \ {0}. (61)
V súlade s (58) zrejme limλ→0 ε(λ) = 0. Keďže funkcionál g je spojitý, platí
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaz Vety 6 (pokračovanie).
lim
λ→0
g(x + λh) = g(x) = x X > 0, a tak g(x + λh) > 0 pre λ ∈ (0, δ), (62)
kde δ je dostatočne malé kladné číslo. Následne vďaka linearite je funkcionál g
ohraničený. Obvzlášť, pre každé λ ∈ (0, δ) máme
g(x + λh)
(62)
= |g(x + λh)| ≤ g · x + λh X
(54)
= x + λh X
⇓ linearita g ⇓
g(x) + λg(h) ≤ x + λh X
(54)
−→ λg(h) ≤ x + λh X − x X
⇓
g(h) ≤
x + λh X − X X
λ
(61)
−→ g(h) ≤ [df(x)]h − ε(λ). (63)
Limitovaním poslednej nerovnosti pre λ → 0+
napokon získame nerovnosť
g(h) ≤ [df(x)]h − lim
λ→0+
ε(λ) −→ g(h) ≤ [df(x)]h pre každé dané h ∈ X.
Ak v poslednej nerovnosti zvolíme vektor −h a a uvážime linearitu funkcionálov
g a [df(x)], dostaneme g(h) ≥ [df(x)]h pre každé h ∈ X. Teda g = df(x).
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Hladké Banachove priestory
Definícia 7 (Hladký priestor)
Nech X je Banachov priestor. Hovoríme, že X je hladký v bode x ∈ SX[0, 1],
ak existuje práve jeden dotykový funkcionál v bode x. Priestor X sa označuje
ako hladký, ak je hladký v každom bode jednotkovej sféry SX[0, 1].
Veta 7 (Šmuljanova)
Nech X je reálny Banachov priestor. Potom X je hladký v bode x ∈ SX [0, 1]
práve vtedy, keď norma · X má v bode x slabú deriváciu d x X . V tomto
prípade jediným dotykovým funkcionálom v bode x je slabá derivácia d x X .
Lema 2
Nech X je reálny Banachov priestor a G ⊆ X je otvorená konvexná množina.
Nech f : G → R je konvexná funkcia spojitá v bode x ∈ G. Potom f je slabo
diferencovateľná v x práve vtedy, keď
lim
λ→0+
f(x + λh) + f(x − λh) − 2f(x)
λ
= 0 pre každé h ∈ X. (64)
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Náčrt dôkazu Lemy 2.
Pomocou Vety 3 a jej dôkazu a pomocou komentára v Poznámke 9 nie je ťažké
si premyslieť, že relácia (64) je ekvivalentná s existenciou smerovej derivácie
Dhf(x) pre každý nenulový vektor h ∈ X. Tvrdenie lemy je potom dôsledkom
Vety 4 v kontexte Poznámky 10.
Dôkaze Vety 7.
Zvoľme pevný vektor x ∈ SX [0, 1]. Nech priestor X je hladký v x. Sporom
predpokladajme, že norma · X nemá v bode x slabú deriváciu. Keďže norma
je spojitá konvexná funkcia, podľa Lemy 2 existuje nenulový vektor h ∈ X,
pre ktorý rovnosť v (64) nie je splnená. Existuje teda ε > 0 a postupnosť
{λk}∞
k=1 ⊆ R+
s vlastnosťou limk→∞ λk = 0 a (norma x X = 1)
x + λkh X + x − λkh X − 2
λk
≥ ε pre každé k ∈ N. (65)
V súlade s dôsledkom Hahnovej–Banachovej vety nech {fk}∞
k=1, {gk}∞
k=1 ⊆ X′
sú postupnosti spojitých lineárnych funkcionálov s vlastnosťami
fk = 1 = gk , fk(x + λkh) = x + λkh X, gk(x − λkh) = x − λkh X (66)
pre každé k ∈ N. Keďže pre každé k ∈ N platí
|fk(λkh)| ≤ λk fk h
(66)
= λk h , |gf (λkh)| ≤ λk gk h
(66)
= λk h
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaze Vety 7 (pokračovanie).
máme limk→∞ fk(λkh) = 0 = limk→∞ gk(λkh). Následne pre k → ∞ máme
fk(x) = fk(x + λkh) − fk(λkh)
(66)
= x + λkh X − fk(λkh) −→ 1−
, (67)
gk(x) = gk(x − λkh) + gk(λkh)
(66)
= x − λkh X − gk(λkh) −→ 1−
, (68)
pretože |fk(x)| ≤ fk x = 1 a |gk(x)| ≤ gk x = 1 pre každé k ∈ N.
Ukážeme teraz platnosť nerovnosti
(fk − gk)(h) ≥ ε pre každé k ∈ N. (69)
Skutočne, kombináciou (65) a (66) postupne máme
(fk − gk)(h) = fk(h) − gk(h) =
fk(x + λkh) + gk(x − λkh) − fk(x) − gk(x)
λk
(66)
=
x + λkh X + x − λkh X
≥−2
−fk(x) − gk(x)
λk
≥
x + λkh X + x − λkh X − 2
λk
(65)
≥ ε pre každé k ∈ N.
Využijeme teraz vlastnosti ∗-slabej topológie v duálnom priestore X′
. Funkcioná-
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Dôkaze Vety 7 (pokračovanie).
ly fk, gk, k ∈ N, sú podľa (66) prvkami uzavretej jednotkovej gule BX′ [0, 1].
Keďže podľa Banachovej–Alaogluovej vety je množina BX′ [0, 1] ∗-slabo kompaktná
v X′
, každá z postupností {fk}∞
k=1, {gk}∞
k=1 má aspoň jeden hromadný
bod v BX′ [0, 1] vzhľadom na ∗-slabú topológiu. Bez ujmy na všeobecnosti teda
môžeme uvažovať, že
lim
k→∞
fk = f, lim
k→∞
gk = g ∗-slabo, f, g ∈ BX′ [0, 1]. (70)
Platí teda f = 1 = g a limk→∞ fk(x) = f(x) a limk→∞ gk(x) = g(x).
Využijúc relácie (67) a (68) následne dostávame
f(x) = 1 = x X a g(x) = 1 = x X .
Získané spojité lineárne funkcionály sú v súlade s Definíciou 6 dotykové
funkcionály v bode x. Naviac, pomocou nerovnosti (69) platí
f(h) − g(h) = (f − g)(h) = lim
k→∞
(fk − gk)(h)
(69)
≥ ε > 0, t.j., f(h) = g(h).
Jedná sa teda o dva rôzne dotykové funkcionály v bode x. Podľa Definície 7 je
to však v rozpore s predpokladom hladkosti priestoru X v bode x. Preto nutne
norma · X musí mať v bode x slabú deriváciu. Naopak, ak v bode x existuje
slabá derivácia d x X , potom podľa Vety 6 v tomto bode existuje práve jeden
dotykový funkcionál. V súlade s Definíciou 7 je priestor X hladký v bode x.
Derivácia Konvexnosť Hladkosť
Uniformne hladké Banachove priestory
Definícia 8 (Uniformne hladký priestor)
Nech X je Banachov priestor. Hovoríme, že X je uniformne hladký, ak norma
· X je rovnomerne slabo diferencovateľná na jednotkovej sfére SX [0, 1].
Poznámka 13
Podľa Šmuljanovej Vety 7 zrejme platí, že každý reálny unimorfne hladký Banachov
priestor X je zároveň i hladký priestor.
Veta 8
Nech X je Banachov priestor. Platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Priestor X je uniformne hladký práve vtedy, keď norma · X je rovnomerne
silno diferencovateľná na jednotkovej sfére SX [0, 1].
(ii) Reálny priestor X je uniformne hladký práve vtedy, keď platí
lim
λ→0+
x + λh X + x − λh X − 2
λ
= 0 rovnomerne pre x, h ∈ SX [0, 1].