M7180 Funkcionálna analýza II Striktne a uniformne konvexné priestory Peter Šepitka zima 2021 Obsah 1 Striktne konvexné priestory 2 Uniformne konvexné priestory 3 Projekcia v striktne a uniformne konvexných priestoroch Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Obsah 1 Striktne konvexné priestory 2 Uniformne konvexné priestory 3 Projekcia v striktne a uniformne konvexných priestoroch Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Extremálny bod konvexnej množiny V tejto prednáške budeme študovať reálne Banachove priestory X. Definícia 1 (Extremálny bod) Nech X je (reálny) lineárny priestor a G ⊆ X je konvexná množina. Vektor x ∈ G sa nazýva extremálny bod množiny G, ak spĺňa vlastnosť ak x = 1 2 (u + v) pre nejaké body u, v ∈ G, potom nutne u = v. (1) Inými slovami, bod x ∈ G nie je stredom žiadnej nedegenerovanej usečky ležiacej v G. Množina všetkých extremálnych bodov množiny G sa označuje ext G. Poznámka 1 Nie je ťažké si premyslieť, že vlastnosť (1) je ekvivalentná s tým, že bod x nie je vnútorným bodom žiadnej úsečky ležiacej v konvexnej množine G. Ďalej platí x ∈ ext G práve vtedy, keď množina G \ {x} je konvexná. (2) Skutočne, ak x ∈ ext G, potom pre rôzne body u, v ∈ G \ {x} úsečka uv leží v G \ {x}, t.j., G \ {x} je konvexná množina. Ak G \ {x} je konvexná množina, potom žiadna úsečka uv ⊆ G neobsahuje vo svojom vnútri bod x, t.j., x ∈ ext G. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Striktne konvexný priestor Definícia 2 (Striktne konvexný priestor) Nech X je Banachov priestor. Hovoríme, že X je striktne konvexný priestor, ak každý bod jednotkovej sféry SX [0, 1] je extremálnym bodov uzavretej jednotkovej gule BX [0, 1], t.j., je splnená inklúzia SX [0, 1] ⊆ ext BX [0, 1]. Poznámka 2 Keďže množina BX [0, 1] je konvexná a v súlade s Definíciou 1 každý jej extremálny bod musí nutne ležať na jej hranici, t.j., na sfére SX [0, 1], požiadavka inklúzie v Definícii 2 je ekvivalentná s rovnosťou SX [0, 1] = ext BX [0, 1]. Z toho dôvodu žiadna sféra SX [x, r], x ∈ X, r ∈ R+ , v striktne konvexnom priestore X nemôže obsahovať (nedegenerovanú) úsečku. Doplňme, že v niektorej literatúre sa striktne konvexné Banachove priestory označujú názvom rotundné priestory. Lema 1 Daný Banachov priestor X je striktne konvexný práve vtedy, keď pre každé dva rôzne body x, y ∈ BX [0, 1] platí nerovnosť x + y X < 2. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Lemy 1. Poznamenajme, že v každom normovanom lineárnom priestore X platí nerovnosť x + y X ≤ x X + y X ≤ 2 pre každé x, y ∈ BX [0, 1]. (3) Ak X je striktne konvexný Banachov priestor a x, y ∈ BX [0, 1] by boli dva rôzne body s x + y X = 2, potom podľa (3) by nutne platilo x X = 1 = y X a bod z := 1 2 (x + y) by spĺňal z X = 1, t.j., z ∈ SX [0, 1]. Podľa Definície 1 by to znamenalo, že bod z nie je extremálny bod množiny BX [0, 1], čo však je v súlade s Definíciou 2 v rozpore so striktnou konvexnosťou priestoru X. Preto pre každé dva rôzne body x, y ∈ BX [0, 1] sa nerovnosť v (3) vždy realizuje ako ostrá. Naopak, ak pre každé dva rôzne body x, y ∈ BX [0, 1] platí x + y X < 2 a priestor X by nebol striktne konvexný, potom podľa Definícií 2 a 1 by existovala netriviálna úsečka uv ⊆ BX [0, 1], ktorej stred by ležal na sfére SX [0, 1]. V tomto prípade by teda platilo 1 2 (u + v) X = 1, t.j., u + v X = 2, čo však je v rozpore s predpokladom o vlastnostiach gule BX [0, 1], nakoľko body u a v sú rôzne a ležia v množine BX [0, 1]. Preto priestor X musí byť striktne konvexný. Dôkaz je hotový. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Veta 1 Nech X je Banachov priestor. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. (i) Priestor X je striktne konvexný. (ii) Pre každé dva rôzne nenulové vektory x, y ∈ X platí x + y X = x X + y X práve vtedy, keď x = λy pre nejaké λ > 0. (4) (iii) Pre každé dva vektory x, y ∈ X platí x + y 2 X = 2 x 2 X + 2 y 2 X práve vtedy, keď x = y. (5) Dôkaz Vety 1. Na začiatok poznamenajme, že časti obidvoch ekvivalencií (4) a (5) v smere “⇐” platia triviálne bez ohľadu na vlastnosti priestoru X, ako je možne ľahko overiť. V dôkaze teda stačí skúmať odpovedajúce implikácie “⇒”. Nech X je striktne konvexný priestor a uvažujme dva nenulové vektory x, y ∈ X, pre ktoré platí rovnosť v (4), t.j., x + y X = x X + y X . Bez ujmy na všeobecnosti nech x X ≤ y X . Zrejme vektory x x X , y y X ∈ SX[0, 1], a tak podľa (3) platí x x X + y y X X ≤ 2. (6) Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). Postupne dostávame x x X + y y X X = x x X + y x X − y x X − y y X X = x + y x X − 1 x X − 1 y X ≥0 y X ≥ x + y X x X − 1 x X − 1 y X y X (4) = x X + y X x X − 1 x X − 1 y X y X = 2. (7) Z odvodenej nerovnosti (7) potom podľa (6) a výsledku Lemy 1 vyplýva, že vektory 1 x X x = 1 y X y, a tak x = x X y X y, t.j., platí druhá rovnosť v (4) s λ := x X y X > 0. Dokázali sme platnosť implikácie (i)⇒(ii). Predpokladajme teraz platnosť tvrdenia (ii) a nech x, y ∈ X sú rôzne Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). vektory, ktoré spĺňajú prvú rovnosť v (5). Ukážeme, že potom nutne platí rovnosť x X = y X . Skutočme, postupne máme 0 ≤ ( x X − y X )2 = x 2 X + y 2 X − 2 x X y X = 2 x 2 X + 2 y 2 X − x 2 X + y 2 X + 2 x X y X = 2 x 2 X + 2 y 2 X − ( x X + y X )2 ≤ 2 x 2 X + 2 y 2 X − x + y 2 X (5) = 0. Následne, využijúc (5) platí x + y 2 X = 2 x 2 X + 2 y 2 X = 4 x 2 X , a tak x + y X = 2 x X = x X + y X . (8) Ak sú obidva vektory nenulové, potom z (8) v súlade s (4) vyplýva, že x = λy pre isté λ > 0. Keďže y X = x X = λ y X , máme λ = 1, t.j., x = y, čo je spor s predpokladom o vektoroch x a y. Ak aspoň jeden z nich je nulový, tak vďaka odvodenej rovnosti y X = x X sú nutne obidva nulové, čo je opäť spor s predpokladom. Preto musí platiť podmienka (5), čo kompletizuje dôkaz implikácie (ii)⇒(iii). Napokon pristúpime k dôkazu implikácie (iii)⇒(i). Predpokladajme, že priestor X spĺňa vlastnosť (5) a nech nie je striktne konvexný. V súlade s Lemou 1 potom existujú dva rôzne vektory x, y ∈ BX [0, 1], pre ktoré platí rovnosť x + y X = 2. Podľa nerovnosti (3) a následných úvah v dôkaze Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). Lemy 1 máme x, y ∈ SX [0, 1], t.j., x X = 1 = y X . Následne dostávame x + y 2 X = 4 = 2 + 2 = 2 x 2 X + 2 y 2 X , z čoho podľa (5) vyplýva x = y. Dospeli sme teda k sporu, a preto priestor X musí byť striktne konvexný, t.j., platí implikácia (iii)⇒(i). Dôkaz je hotový. Poznámka 3 Je dôležité poznamenať, že z dôkazu Vety 1 vyplýva, že vlastnosť ak x + y 2 X = 2 x 2 X + 2 y 2 X , potom x X = y X (9) platí v každom normovanom lineárnom priestore X. Ďalej si všimnime, že podmienka (5) je dôsledkom platnosti rovnobežníkového pravidla v priestore X, t.j., x + y 2 X + x − y 2 X = 2 x 2 X + 2 y 2 X pre každé x, y ∈ X, (10) ktoré je podľa Jordanovej–von Neumannovej vety indikátorom skutočnosti, že daná norma · X pochádza zo skalárneho súčinu. Z tohto pohľadu je požiadavka striktnej konvexnosti priestoru X snahou o prenesenie istých špecifických vlastností noriem v unitárnych priestoroch. Obzvlášť teda každý unitárny priestor s normou generovanou odpovedajúcim skalárnym súčinom je striktne konvexný. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Poznámka 4 Doplňme, že existuje mnoho iných charakteristík striktnej konvexnosti priestoru X. Ako príklad uvedieme bez dôkazov ďalšie dve ekvivalentné kritéria. (iv) Pre dané p ∈ (1, ∞) platí x + y p X < 2p x p X + 2p y p X pre každé rôzne x, y ∈ X. (11) (v) Pre každé tri vektory x, y, z ∈ X platí x − y X = x − z X + z − y X (12) práve vtedy, keď z je konvexná lineárna kombinácia vektorov x a y. Príklad 1 Priestory l1 a l∞ nie sú striktne konvexné. Pre priestor l1 to vyplýva z pozorovania, že pre každú dvojicu postupností ek, el ∈ l1 s k = l úsečka ekel leží na jednotkovej sfére Sl1 [0, 1], nakoľko λek + (1 − λ)el 1 = λ + 1 − λ = 1 pre každé λ ∈ [0, 1]. Keďže podľa Definície 1, resp. Poznámky 1 žiadny vnútorný bod úsečky ekel nie je extremálnym bodom množiny Bl1 [0, 1], v súlade s Definíciou 2 priestor l1 nie je striktne konvexný. V prípade priestoru l∞ platí rovnaká argumentácia vzhľadom na každú úsečku xel, l ∈ N, kde x = {1}∞ k=1 ⊆ l∞ . Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 2 Uvažujme na priestore l1 normu · tvaru x := x 1 + x 2 = ∞ k=1 |xk| + ∞ k=1 |xk|2, x = {xk}∞ k=1 ∈ l1 . (13) Norma v (13) je definovaná korektne, nakoľko platí inklúzia l1 ⊆ l2 . Ukážeme, že vzhľadom na túto normu je priestor l1 striktne konvexný. Využijeme výsledok Vety 1(ii). Nech x, y ∈ l1 sú nejaké dané identicky nenulové postupnosti spĺňajúce rovnosť x + y = x + y . V súlade s (13) postupne platí x + y 1 + x + y 2 = x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ⇓ x + y 1 − x 1 − y 1 ≤0 = x 2 + y 2 − x + y 2 ≥0 (14) Z (14) následne vyplývajú rovnosti x + y 1 = x 1 + y 1, x + y 2 = x 2 + y 2. (15) Keďže x, y ∈ l1 ⊆ l2 a l2 je Hilbertov priestor, podľa komentára v Poznámke 3 Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 2 je l2 striktne konvexný priestor. Druhá rovnosť v (15) preto v súlade s (4) implikuje x = λy pre vhodné λ > 0. Následne, aplikujúc Vetu 1(ii) opäť, ale na normu v (13), platí, že priestor l1 je vzhľadom na normu · striktne konvexný. Príklad 3 Analogickú situáciu ako v Príklade 2 máme v prípade X = C[0, 1] a normy x := x C + x L2 = max t∈[0,1] |x(t)| + 1 0 |x(t)|2dt, x ∈ X. (16) Vzhľadom na normu · C priestor X nie je striktne konvexný, nakoľko napríklad pre funkcie x(t) = t a y(t) = t2 máme x C = 1 = y C , x + y C = 2, ale neplatí x = λy pre žiadnu kladnú konštantu λ, ako vyžaduje kritérium vo Vete 1(ii). Na druhej strane, norma definovaná v (16) je striktne konvexná, keďže norma · L2 pochádza zo skalárneho súčinu v priestore C[0, 1]. Toto jednoduché pozorovanie platí pre ľubovoľný lineárny priestor X. Všeobecne, každá norma na X, ktorá je sučtom konečného počtu noriem na X, z ktorých aspoň jedna je striktne konvexná na X, je tiež striktne konvexná na priestore X. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Obsah 1 Striktne konvexné priestory 2 Uniformne konvexné priestory 3 Projekcia v striktne a uniformne konvexných priestoroch Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Uniformne konvexné priestory Uvažujme pre dané n ∈ N euklidovský priestor X = En . Nasledujúci problém predstavuje istú motiváciu a opodstatnenie zavedenia pojmu uniformne konvexný lineárny priestor. Pre dané pevné číslo 0 < d ≤ 2 uvažujme množinu všetkých úsečiek uv ⊆ BX [0, 1] dĺžky d. Je zrejmé, že stredy takýchto úsečiek vždy ležia vo vnútri gule BX [0, 1] a ich vzdialenosť od jednotkovej sféry SX [0, 1] nemôže byť ľubovoľne malá. Konkrétne, pomocou nástrojov elementárnej geometrie je možné pomerne ľahko odvodiť, že minimálna vzdialenosť týchto stredov je 1 − 1 − d2 4 , pričom táto hodnota nezávisí na dimenzii n priestoru X. Naviac, v tomto prípade zrejme krajné body u a v danej úsečky ležia na sfére SX [0, 1]. Ukazuje sa prirodzené položiť si otázku, aké riešenie má vyššie uvedený problém v priestoroch X s nekonečnou dimenziou, obzvlášť, či môže nastať situácia, že stredy úsečiek uv ⊆ BX [0, 1] s danou dĺžkou d sa môžu k jednotkovej sfére SX [0, 1] priblížiť neobmedzene blízko. Nasledujúca definícia vymedzuje triedu (úplných) normovaných lineárnych priestorov, v ktorých je zachovaná vyššie uvedená vlastnosť konečnorozmerných euklidovských priestorov En . Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Definícia 3 (Uniformne konvexný priestor) Nech X je Banachov priestor. Hovoríme, že X je uniformne konvexný priestor, ak pre každé ε ∈ (0, 2] existuje δ > 0 s vlastnosťou pre každé x, y ∈ BX [0, 1] spĺňajúce x − y X ≥ ε platí 1 2 (x + y) X ≤ 1 − δ. (17) Poznámka 5 Obsah Definície 3 vystihuje práve vlastnosť jednokovej gule v euklidovských priestoroch s konečnou dimenziou. Konkrétne, normy stredov úsečiek v BX [0, 1] s danou dĺžkou 0 < ε ≤ 2 majú zhora ohraničenú normu, ktorá je odrazenú od hodnoty 1. Inými slovami, nemôžu sa k jednotkovej sfére SX [0, 1] priblížiť neobmedzene blízko. Presnejšie, ak xy ⊆ BX [0, 1] je úsečka danej dĺžky ε, potom pre každý bod s ∈ SX [0, 1] platí s − 1 2 (x + y) X ≥ s X − 1 2 x + y X (17) = 1 − 1 2 x + y X ≥ δ, (18) t.j., vzdialenosť ρ(1 2 (x + y), SX [0, 1]) ≥ δ > 0. Na druhej strane, v priestoroch X, ktoré nie sú uniformne konvexné, táto “geometrická” vlastnoť uzavretej jednotkovej gule BX [0, 1] nemusí byť nutne zaručená. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Veta 2 Nech X je Banachov priestor. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. (i) Priestor X je uniformne konvexný. (ii) Podmienka (17) v Definícii 3 je splnená pre vektory x, y ∈ SX[0, 1]. (iii) Pre každé dve postupnosti {xk}∞ k=1, {yk}∞ k=1 ⊆ SX [0, 1] spĺňajúce lim k→∞ 1 2 (xk + yk) X = 1 platí lim k→∞ (xk − yk) = 0. (19) Dôkaz Vety 2. Platnosť implikácie (i)⇒(ii) vyplýva priamo z podmienky (17) v Definície 3. Nech platí tvrdenie (ii). Sporom predpokladajme, že tvrdenie (iii) neplatí, t.j., existujú dve postupnosti {xk}∞ k=1, {yk}∞ k=1 ⊆ SX[0, 1] také, že vzhľadom na (19) lim k→∞ 1 2 (xk + yk) X = 1, ale lim k→∞ (xk − yk) = 0, (20) kde posledná relácia znamená, že limita buď neexistuje alebo existuje a je rôzna od nuly. Ekvivalentne to znamená, že číselná postupnosť { xk −yk X }∞ k=1 nemá limitu 0. Z vlastností množiny reálnych čísiel potom vyplýva, že { xk −yk X }∞ k=1 má aspoň jeden kladný hromadný bod. Označme ho 2ε pre isté ε > 0. To zna- Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 2 (pokračovanie). mená, že existujú vybrané podpostupnosti {xkl }∞ l=1, {ykl }∞ l=1 ⊆ SX [0, 1] tak, že lim l→∞ 1 2 (xkl + ykl ) X (20) = 1 a lim l→∞ (xkl − ykl ) X = 2ε. (21) Keďže xkl X = 1 = ykl X , máme (xkl − ykl ) X ≤ (xkl X + ykl ) X = 2, a teda v súlade s (21) ε ∈ (0, 1]. (22) Ďalej, druhá limitná rovnosť v (21) zaručuje existenciu lε ∈ N s vlastnosťou | (xkl − ykl ) X − 2ε| < ε pre každé l ≥ lε. Následne platí − ε < (xkl − ykl ) X − 2ε −→ (xkl − ykl ) X > ε pre každé l ≥ lε. (23) Z platnosti tvrdenia (ii) v súlade s (17) potom existuje δ > 0 s vlastnosťou 1 2 (xkl + ykl ) X ≤ 1 − δ pre každé l ≥ lε. (24) Kombináciou (24) a (21) s limitovaním pre l → ∞ dostávame 1 (21) = lim l→∞ 1 2 (xkl + ykl ) X (24) ≤ 1 − δ, čo znamená, že δ ≤ 0. To je očividný spor. Preto tvrdenie (iii) platí a implikácia (ii)⇒(iii) je dokázaná. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 2 (pokračovanie). Napokon pristúpime k dôkazu implikácie (iii)⇒(i). Nech platí tvrdenie (iii) a opäť sporom predpokladajme, že priestor X nie je uniformne konvexný. V súlade s Definíciou 3 teda existuje ε ∈ (0, 2] a dve existujú postupnosti {xk}∞ k=1, {yk}∞ k=1 ⊆ BX [0, 1] s vlastnosťou xk − yk X ≥ ε a 1 2 (xk + yk) X ≥ 1 − 1 k pre každé k ∈ N. (25) Nakoľko máme xk X ≤ 1 a yk X ≤ 1 pre každé k ∈ N, z (25) dostávame 1 − 1 k ≤ 1 2 (xk + yk) X ≤ 1 2 xk X + 1 2 yk X ≤ 1, k ∈ N ⇓ lim k→∞ 1 2 (xk + yk) X = 1, lim k→∞ xk X = 1 = lim k→∞ yk X . (26) Vďaka posledným rovnostiam v (26) môžeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že xk X > 0 a yk X > 0 pre každé k ∈ N. Definujme vektory uk := 1 xk X xk, vk := 1 yk X yk k ∈ N. (27) Zrejme uk, vk ∈ SX [0, 1] pre všetky k ∈ N. Naviac platí Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 2 (pokračovanie). uk − xk X (27) = xk X 1 xk X − 1 (26) −→ = 0, (28) vk − yk X (27) = yk X 1 yk X − 1 (26) −→ = 0, (29) | uk + vk X − xk + yk X | ≤ uk + vk − (xk + yk) X ≤ uk − xk X + vk − yk X , k ∈ N. (30) Relácie (28)–(30) v kombinácii s prvou rovnosťou v (26) implikujú lim k→∞ 1 2 (uk + vk) X (28)−(30) = lim k→∞ 1 2 (xk + yk) X (26) = 1. (31) Na druhej strane platí 0 < ε (25) ≤ xk − yk X = (xk − uk) + (vk − yk) + (uk − vk) X ≤ xk − uk X + vk − yk X + uk − vk X , k ∈ N. (32) A nakoľko podľa (28) a (29) je limk→∞ xk −uk X = 0 = limk→∞ yk −vk X , Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 2 (pokračovanie). z nerovnosti v (32) vyplýva, že 0 < ε ≤ lim infk→∞ uk − vk X . V kombinácii s reláciou (31) však dospejeme k sporu s platnosťou (19) v tvrdení (iii) s voľbou xk := uk a yk := vk. Preto priestor X je uniformne konvexný, t.j., platí (i). Poznámka 6 Uvedieme tri iné tvrdenia ekvivalentné s uniformnou konvexnosťou priestoru X. (iv) Pre každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že ak pre vektory x, y ∈ X platí x X < 1 + δ, y X < 1 + δ a 1 2 (x + y) X ≥ 1, potom x − y X < ε. (v) Pre každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že ak pre vektory x, y ∈ SX [0, 1] platí 1 2 (x + y) X ≥ 1 − δ, potom x − y X ≤ ε. (33) (vi) Pre každé dve postupnosti {xk}∞ k=1, {yk}∞ k=1 ⊆ X, z ktorých aspoň jedna je ohraničená, platí, že ak lim k→∞ 2 xk 2 X + 2 yk 2 X − xk + yk 2 X = 0, potom lim k→∞ (xk − yk) = 0. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Veta 3 Nech X je Banachov priestor. Platia nasledujúce tvrdenia. (i) Ak X je uniformne konvexný priestor, potom je aj striktne konvexný. (ii) V prípade dim X < ∞ je priestor X uniformne konvexný práve vtedy, keď je striktne konvexný. (iii) Ak X je unitárny (Hilbertov) priestor, potom je uniformne konvexný. Dôkaz Vety 3. Nech X je uniformne konvexný priestor a pripusťme, že nie je striktne konvexný. Potom podľa Definície 2 existuje netriviálna úsečka xy ⊆ BX [0, 1] dĺžky ε > 0, ktorej stred leží na jednotkovej sfére SX [0, 1], t.j., pre body x, y ∈ BX [0, 1] platí x − y X = ε a 1 2 (x + y) X = 1. (34) V súlade s vlastnosťou (17) v Definícii 3 však pre uvedené ε > 0 existuje kladné číslo δ také, že 1 2 (x + y) X ≤ 1 − δ. Porovnaním s druhou rovnosťou v (34) dostávame δ ≤ 0, čo je spor. Preto priestor X musí byť striktne konvexný, t.j., tvrdenie (i) platí. Majme teraz striktne konvexný priestor X, ktorý má konečnú dimenziu. V tomto prípade je uzavretá guľa BX [0, 1] vždy kompaktná množina v X. Ak na priestore X × X budeme uvažovať súčinovú normu Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 3 (pokračovanie). [x, y] ∗ := x X + y X , x, y ∈ X, (35) potom BX [0, 1]×BX [0, 1] ⊆ X ×X je kompaktná množina vzhľadom na normu · ∗ definovanú v (35). Zvoľme nejaké číslo ε ∈ (0, 2] a uvažujme množinu Mε ⊆ BX [0, 1] × BX [0, 1] tvaru Mε := {[x, y] ∈ BX [0, 1] × BX [0, 1], x − y X ≥ ε} , (36) Nie je ťažké si premyslieť, že vzhľadom na normu · ∗ v (35) je množina Mε v (36) uzavretá, a teda – ako podmnožina kompaktnej množiny BX [0, 1]×BX [0, 1] – kompaktná v X × X. Zobrazenie f : Mε → R definované predpisom f(x, y) := 1 2 (x + y) X , [x, y] ∈ Mε, (37) je zrejme spojité a ohraničené. Konkrétne, v súlade s Lemou 1 platí f(x, y) < 1 pre každý bod [x, y] ∈ Mε. Existuje teda číslo α ∈ (0, 1) s vlastnosťou f(x, y) ≤ α pre každé [x, y] ∈ Mε. (38) Položme δ := 1 − α. Zrejme δ > 0 a kombináciou (36)–(38) dostávame, že 1 2 (x + y) X (37),(38) ≤ 1 − δ pre každé [x, y] ∈ Mε, t.j., podľa (36) pre každé x, y ∈ BX [0, 1] spĺňajúce x − y X ≥ ε. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 3 (pokračovanie). Táto relácia podľa Definície 3 znamená, že priestor X je uniformne konvexný a tvrdenie (ii) je dokázané. Napokon pristúpime k dôkazu tvrdenia (iii). Nech X je daný unitárny priestor. Zvoľme číslo ε ∈ (0, 2] a vektory x, y ∈ BX [0, 1]. Následne platí x X ≤ 1 a y X ≤ 1 a ak x − y X ≥ ε, potom pomocou rovnobežníkového pravidla (10) postupne dostávame x + y 2 X (10) = 2 x 2 X + 2 y 2 X − x − y 2 X ≤ 4 − ε2 ⇓ 1 2 (x + y) X ≤ 1 − ε2 4 . Položiac δ := 1 − 1 − ε2 4 > 0 je ľahko vidieť, že odvodená relácia je ekvivalentná s vlastnosťou (17) v Definícii 3, t.j, priestor X je uniformne konvexný. Poznámka 7 Je dôležité poznamenať, že konečnorozmerný Banachov priestor X nemusí byť nutne striktne konvexný. Príkladom je priestor Rn vzhľadom na súčtovú normu, resp. vzhľadom na maximálnu normu. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 4 Ukážeme, že priestor l1 z Príkladu 2 nie je vzhľadom na normu · definovanú v (13) uniformne konvexný. Zvoľme pevne N ∈ N a uvažujme dve postupnosti x[N] a y[N] z priestoru l1 definované predpismi x[N] := {1, . . . , 1 N , 0, . . . }, y[N] := {0, . . . , 0 N , 1, . . . , 1 N , 0, . . . }. (39) Podľa (39) a (13) zrejme platí x[N] (13) = N + √ N (13) = y[N] , x[N] − y[N] (13) = 2N + √ 2N, (40) 1 2 x[N] + y[N] (13) = N + N 2 . (41) Definujme novú dvojicu postupností u[N] , v[N] ∈ l1 formulami u[N] := 1 N + √ N x[N] , v[N] := 1 N + √ N y[N] . (42) Následne v súlade s (40) máme u[N] (42),(40) = 1 (42),(40) = v[N] , (43) Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 4 u[N] − v[N] (42),(40) = 2N + √ 2N N + √ N > √ 2 ∈ (0, 2], (44) 1 2 u[N] + v[N] (42),(41) = N + N 2 N + √ N → 1 pre N → ∞. (45) Voľbou ε := √ 2 platí v súlade s (43) a (44), že u[N] , u[N] ∈ Sl1 [0, 1] a u[N] − v[N] > ε pre každé N ∈ N. Avšak z (45) vyplýva, že neexistuje δ ∈ (0, 1) také, aby platilo 1 2 u[N] + v[N] ≤ 1 − δ pre každé N ∈ N. V súlade s Vetou 2(ii) teda norma · v (13) na l1 nie je uniformne konvexná. Príklad 5 Nech Ω ⊆ R je daná lebesgueovsky merateľná množina a p ∈ (1, ∞) dané číslo. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 5 Potom priestor funkcií (Lp (Ω), · p), kde norma f p := Ω |f(t)|p dt 1/p , f ∈ Lp (Ω), je vždy, t.j., pre každú danú voľbu Ω a p, uniformne konvexný. Existuje niekoľko možností, ako dokázať túto skutočnosť. Uvedieme dôkaz využívajúci tzv. rovnobežníkové (Clarksonove) nerovnosti, ktoré platia v priestoroch Lp (Ω). Konkrétne, pre prípad p ∈ (1, 2) máme relácie f + g q p + f − g q p ≤ 2 f p p + g p p q−1 , f, g ∈ Lp (Ω), (46) kde q := p p−1 , kým pre p ∈ [2, ∞) platí f + g p p + f − g p p ≤ 2p−1 f p p + g p p , f, g ∈ Lp (Ω), (47) Uvažujme číslo p ∈ (1, 2). Zvoľme ε ∈ (0, 2] a nech f, g ∈ Lp (Ω) spĺňajú f p = 1 = g p, f − g p ≥ ε. (48) Potom pomocou nerovnosti (46) máme f + g q p (46) ≤ 2 f p p + g p p q−1 − f − g q p (48) ≤ 2q − εq , (49) Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 5 z čoho následne dostávame 1 2 (f + g) q p (49) ≤ 1 − ε 2 q . (50) V kritériu Veta 2(ii) potom vzhľadom na (50) stačí položiť δ := 1 − 1 − ε 2 q 1/q > 0. V prípade p ∈ [2, ∞) postupujeme podobne. Pre dvojicu f, g ∈ Lp (Ω), ktoré spĺňajú relácie v (48), v súlade s Clarksonovou nerovnosťou (47) máme f + g p p (47) ≤ 2p−1 f p p + g p p − f − g p p (48) ≤ 2p − εp , (51) z čoho následne vyplýva, že 1 2 (f + g) p p (51) ≤ 1 − ε 2 p . (52) V kritériu Veta 2(ii) potom vzhľadom na (52) stačí položiť δ := 1 − 1 − ε 2 p 1/p > 0. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Príklad 6 (Radonov–Rieszov priestor) Normovaný lineárny priestor X sa označuje ako Radonov–Rieszov priestor, resp. ako priestor majúci Radonovu–Rieszovu vlastnosť, ak pre každú postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X a vektor x ∈ X platí ak xk ⇀ x ∈ X a xk X → x X pre k → ∞, potom lim k→∞ xk = x v norme. (53) Pomocou poznatku, že každá norma na X je slabo zdola polospojitá funkcia na X, je možné pomerne jednoducho dokázať, že každý uniformne konvexný Banachov priestor X má Radonovu–Rieszovu vlastnosť (53). Špeciálne, v súlade s Vetou 3(iii) každý Hilbertov priestor X je Radonov–Rieszov priestor. Veta 4 (Milmanova–Pettisova) Každý uniformne konvexný Banachov priestor X je reflexívny. Dôkaz Vety 4. Pri dôkaze využijeme tzv. Jamesovu charakterizáciu reflexívnych Banachových priestorov. Konkrétne, platí, že Banachov priestor X je reflexívny práve vtedy, keď každý spojitý lineárny funkcionál na X nadobúda na guli BX [0, 1] svoju normu. Inými slovami, Banachov priestor X je reflexívny práve vtedy, keď Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 4 (pokračovanie). pre každé f ∈ X′ platí f = max{|f(x)|, x X ≤ 1}. (54) Zvoľme nejaký funkcionál f ∈ X′ a bez ujmy na všeobecnosti nech pre jeho normu platí f = 1. Podľa jednej z ekvivalentných definícii normy spojitého lineárneho funkcionálu na X platí rovnosť 1 = f = sup{|f(x)|, x ∈ SX [0, 1]}. Potom sa dá vybrať postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ SX [0, 1] s vlastnosťou lim k→∞ f(xk) = 1. (55) Nech priestor X je uniformne konvexný. Dokážeme, že potom vyššie uvažovaná postupnosť {xk}∞ k=1 je nutne cauchyovská v X. Využijeme pri tom vlastnosť (v) v Poznámke 6. Nech ε > 0 je dané a nech δ ∈ (0, 1) je v zhode s týmto kritériom také, že platí podmienka (33). Vďaka rovnosti (55) zrejme existuje index k0 ∈ N s vlastnosťou 1 − δ ≤ f(xk) pre každé k ≥ k0. Následne máme 2(1−δ) ≤ f(xk)+f(xl) = f(xk +xl) ≤ |f(xk +xl)| ≤ f xk +xl X = xk +xl X pre každé k, l ≥ k0. Úpravou poslednej nerovnosti získame 1 2 (xk + xl) X ≥ 1 − δ pre každé k, l ≥ k0. (56) V súlade s podmienkou (33) ihneď dostávame nerovnosť xk − xl X ≤ ε pre každé k, l ≥ k0, t.j., postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ SX [0, 1] je cauchyovská, a teda i konvergentná v úplnom priestore X. Nech x := limk→∞ xk je jej odpovedajúca Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 4 (pokračovanie). limita vX. Zrejme x ∈ SX [0, 1], t.j., x X = 1, a vďaka spojitosti funkcionálu f z rovnosti (55) vyplýva f(x) = 1. To dokazuje vlastnosť (54). Podľa Jamesovho kritéria je teda Banachov priestor X reflexívny. Dôkaz je hotový. Poznámka 8 Poznamenajme, že striktne konvexný Banachov priestor nemusí byť reflexívny. Dokonca ani striktne konvexný a reflexívny Banachov priestor nemusí byť uniformne konvexný. Dá sa napríklad dokázať existencia separabilného striktne konvexného a reflexívneho Banachovho priestoru, ktorý nie je uniformne konvexný. Veta 5 (Kleeova) Nech X je reálny Banachov priestor a X′ je jeho odpovedajúci duálny priestor. Potom platia nasledujúce tvrdenia. (i) Ak X′ je striktne konvexný priestor, potom X je hladký priestor. (ii) Ak X′ je hladký priestor, potom X je striktne konvexný priestor. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 5. Pri obidvoch tvrdení dokážeme platnosť ich obmien. Nech priestor X nie je hladký. Potom existuje bod x ∈ SX [0, 1], v ktorom máme dva rôzne dotykové funkcionály f, g ∈ X′ , t.j., f X′ = 1 = g X′ a f(x) = x X = g(x). (57) Ukážeme, že stred úsečky fg ∈ X′ tiež leží na jednotkovej sfére SX′ [0, 1], t.j., 1 2 (f + g) X′ = 1. Skutočne, postupne platí 1 2 (f + g) X′ ≤ 1 2 f X′ + 1 2 g X′ (57) = 1, t.j., 1 2 (f + g) X′ ≤ 1, 1 2 (f + g)(x) = 1 2 f(x) + 1 2 g(x) (57) = x X = 1 t.j., 1 2 (f + g) X′ ≥ 1. Podľa Definície 2 preto duálny priestor X′ nemôže byť striktne konvexný, čo dokazuje platnosť tvrdenia (i). Predpokladajme, že priestor X nie je striktne konvexný. To znamená, že existujú dva rôzne vektory x, y ∈ SX [0, 1] také, že aj vektor 1 2 (x + y) ∈ SX [0, 1]. Z dôsledku Hahnovej–Banachovej vety vieme, že v bode 1 2 (x + y) existuje dotykový funkcionál, t.j., existuje f ∈ X′ s vlastnosťou f X′ = 1 a f 1 2 (x + y) = 1 2 (x + y) X = 1. (58) Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 5 (pokračovanie). Keďže z prvej rovnosti v (58) máme |f(x)| ≤ 1 a |f(y)| ≤ 1 a ďalej 1 (58) = f 1 2 (x + y) = 1 2 f(x) + 1 2 f(y) ≤ 1 2 |f(x)| + 1 2 |f(y)| ≤ 1, (59) v (59) sa všade realizujú práve rovnosti, a tak platí |f(x)| = 1 = |f(y)|. Naviac, f(x) + f(y) (59) = |f(x)| + |f(y)| −→ |f(x)| − f(x) ≥0 + |g(x)| − g(x) ≥0 = 0. Preto dokonca máme f(x) = |f(x)| = 1 a f(y) = |f(y)| = 1. Uvažujme funkcionály Fx, Fy ∈ X′′ , ktoré v prirodzenom zobrazení π : X → X′′ odpovedajú vektorom x a y, t.j., Fx(g) = g(x), Fy(g) = g(y), g ∈ X′ , (60) Fx X′′ = x X = 1, Fy X′′ = y X = 1. (61) Keďže vektory x a y sú podľa predpokladov rôzne a zobrazenie π je injektívne, funkcionály Fx a Fy sú tiež rôzne. Pre voľbu g := f platí Fx(f) (60) = f(x) = 1, Fy(f) (60) = f(y) = 1. (62) Kombináciou (62) a (61) dostávame, že Fx a Fy sú dva rôzne dotykové funkcio- Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 5 (pokračovanie). nály v bode f ∈ SX′ [0, 1], v súlade s (58). Duálny priestor X′ preto nemôže byť hladký v bode f ∈ X′ , a teda ani hladký a tvrdenie (ii) je dokázané. Poznámka 9 Z Kleeovej Vety 5 vyplývajú bezprostredné pozorovania X′′ je striktne konvexný ⇒ X′ je hladký ⇒ X je striktne konvexný (63) X′′ je hladký ⇒ X′ je striktne konvexný ⇒ X je hladký. (64) Ďalej poznamenajme, že vo všeobecnosti striktne konvexný priestor X nemusí mať svoj duálny priestor X′ hladký. Podobne, pre hladký priestor X nemusí byť nutne jeho duálny priestor X′ striktne konvexný. Ak však priestor X je izometricky izomorfný s svojim druhým duálnym priestorom, potom v oboch tvrdeniach Kleeovej Vety 5 platia ekvivalencie. V tomto prípade totiž X je striktne konvexný, resp. uniformne konvexný, resp. hladký, resp. uniformne hladký práve vtedy, keď druhý duálny priestor X′′ má uvedené odpovedajúce vlastnosti. Je to jednoduchý dôsledok definícií týchto geometrických pojmov, v ktorých sa pracuje iba s normami v daných Banachových priestoroch. Následne, v reťazcoch implikácií v (63) a (64) platia potom ekvivalencie. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôsledok 1 Nech X je reálny reflexívny Banachov priestor a X′ je jeho odpovedajúci duálny priestor. Potom platia nasledujúce tvrdenia. (i) Priestor X′ je striktne konvexný práve vtedy, keď priestor X je hladký. (ii) Priestor X′ je hladký práve vtedy, keď priestor X je striktne konvexný. Dôkaz Dôsledku 1. Tvrdenia (i) a (ii) vyplývajú z Kleeovej Vety 5(i) a (ii) a z komentára v Poznámke 9, keďže v tomto prípade sú priestory X a X′′ izometricky izomorfné prostredníctvom prirodzeného zobrazenia π. Veta 6 (Šmuljanova) Nech X je reálny Banachov priestor a X′ je jeho odpovedajúci duálny priestor. Potom platia nasledujúce tvrdenia. (i) Priestor X je uniformne hladký (uniformne konvexný) práve vtedy, keď duálny priestor X′ je uniformne konvexný (uniformne hladký). (ii) Ak priestor X je unifomne hladký, potom X je reflexívny priestor. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Obsah 1 Striktne konvexné priestory 2 Uniformne konvexné priestory 3 Projekcia v striktne a uniformne konvexných priestoroch Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Metrická projekcia Definícia 4 (Metrická projekcia) Nech X je Banachov priestor a G ⊆ X množina. Pre bod x ∈ X definujme PG(x) := {y ∈ G, x − y X = ρ(x, G)}. (65) Podľa tvaru množiny PG(x) v (65) označujeme množinu G ako (i) proximinálnu, ak PG(x) = ∅ pre každé x ∈ X, (ii) semi-Čebyševovu, ak PG(x) je najviac jednoprvková pre každé x ∈ X, (iii) Čebyševovu, ak PG(x) je jednoprvková pre každé x ∈ X. V prípade Čebyševovej množiny G sa zobrazenie x → PG(x), x ∈ X, nazýva metrická projekcia priestoru X na G a označuje sa rovnakým symbolom PG. Poznámka 10 Každá kompaktná množina G ⊆ X je proximinálna. Zobrazenie y → x − y X , y ∈ G, je totiž pre každé x ∈ X spojité, a tak na kompaktnej množine G nadobúda svoje minimum, t.j., množina PG(x) = ∅ pre každé x ∈ X. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Poznámka 11 Poznamenajme, že priamo z formuly (65) v Definícii 4 vyplývajú nasledujúce vlastnosti metrickej projekcie vzhľadom na posunutie, resp. násobenie skalárom. Pre každý daný vektor u ∈ X a dané nenulové λ ∈ R platí PG+u(x + u) = PG(x), PλG(λx) = |λ|PG(x) pre každé G ⊆ X a x ∈ X, (66) kde objekty G + u a λG sú definované rovnosťami G + u := {y + u, y ∈ G} ⊆ X, λG := {λy, y ∈ G} ⊆ X. (67) Relácie v (67) sú korektné, nakoľko X je lineárny priestor. Je zrejmé, že ak G je proximinálna, semi-Čebyševova, resp. Čebyševova množiny, potom i množiny G+u a λG majú odpovedajúca vlastnosti pre každé u ∈ X a každé λ ∈ R\{0}. Veta 7 Nech X je striktne konvexný Banachov priestor. Platia nasledujúce tvrdenia. (i) Každá konvexná množina G ⊆ X je semi-Čebyševova. (ii) Ak priestor X je naviac reflexívny, potom každá uzavretá konvexná množina G ⊆ X je Čebyševova. Inými slovami, pre každý vektor x ∈ X existuje práve jeden prvok y ∈ G taký, že x − y X = ρ(x, G). Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 7. Zvoľme danú konvexnú množinu G ∈ X a daný bod x ∈ X. Nech u, v ∈ G sú body, v ktorých sa realizuje vzdialenosť ρ(x, G), t.j., x − u X = ρ(x, G) = x − v X (68) Ak položíme r := ρ(x, G), potom rovnosti v (68) možno interpetovať tak, že body u, v ∈ SX [x, r]. Ukážeme, že celá úsečka uv leží na sfére SX [x, r]. Vďaka konvexnosti množiny G máme, že uv ⊆ G. Pre každé potom λ ∈ [0, 1] platí r ≤ x − [λu + (1 − λ)v] X = λ(x − u) + (1 − λ)(x − v) X ≤ λ x − u X + (1 − λ) x − v X (68) = λr + (1 − λ)r = r, čo znamená, že x − [λu + (1 − λ)v] X = r. Keďže priestor X je striktne konvexný, nutne podľa Poznámky 2 platí u = v. Množina PG(x) definovaná v (65) je teda najviac jednoprvková, a tak v súlade s Definíciou 4 je G semi-Čebyševova množina. Dokázali sme tvrdenie (i). Predpokladajme teraz, že priestor X je naviac i reflexívny uvažujme uzavretú konvexnú množinu G ⊆ X a daný bod x ∈ X. V kontexte tvrdenia (i) stačí ukázať, že vzdialenosť r := ρ(x, G) sa realizuje v nejakom vektore y ∈ G, t.j., existuje y ∈ G taký, že x − y X = r. Z definície vzdialenosti ρ(x, G) zrejme existuje postupnosť {yk}∞ k=1 ⊆ G s vlastnosťou limk→∞ x−yk X = r. Obzvlášť, postupnosť {x−yk}∞ k=1 je ohraničená v norme. Využijeme teraz Eberleinovu–Šmuljanovu charakterizáciu reflexívneho Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 7 (pokračovanie). Banachovho priestoru. Konkrétne, platí, že Banachov priestor X je reflexívny práve vtedy, keď z každej postupnosti v X, ktorá je ohraničená v norme, sa dá vybrať podpustupnosť, ktorá konverguje slabo v X. Keďže podľa predpokladov je priestor X reflexívny, existuje vybraná podpostupnosť {x−ykl }∞ l=1, ktorá slabo konverguje v priestore X, t.j., x − ykl ⇀ x − y ∈ X pre l → ∞. Z tejto relácie následne vyplýva, že postupnosť {ykl }∞ l=1 slabo konverguje k y. Keďže množina G je uzavretá (v norme), je zároveň i slabo uzavretá, a tak vektor y ∈ G. Obzvlášť, potom r ≤ x − y X. Napokon aplikujeme skutočnosť, že norma na X je slabo zdola polospojitá funkcia. Preto dostávame r ≤ x − y X ≤ lim inf l→∞ x − ykl X = lim l→∞ x − ykl X = r, a tak norma x − y X = r. Dôkaz tvrdenia (ii) je tak kompletný. Poznámka 12 (Projekcia v striktne konvexných priestoroch) Výsledok Vety 7(ii) ukazuje, že v striktne konvexnom reflexívnom Banachovom priestore X je možné premietať na každú jeho uzavretú konvexnú podmnožinu G ⊆ X, t.j., operátor (metrickej) projekcie PG : X → G z Definície 4 je v tomto prípade definovaný korektne. Vo všeobecnom striktne konvexnom Banachovom priestore X je možné premietať napríklad na každú kompaktnú konvexnú podmnožinu G ⊆ X, ako vyplýva z Poznámky 10 a Vety 7(i). Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Veta 8 (Spojitosť projekcie v striktne konvexných priestoroch) Nech X je striktne konvexný Banachov priestor a G ⊆ X daná kompaktná konvexná množina. Potom operátor projekcie PG : X → G je spojitý na X. Dôkaz Vety 8. Nech x ∈ X je daný bod a {xk}∞ k=1 ⊆ X nejaká postupnosť spĺňajúca podmienku x = limk→∞ xk. Naším cieľom je ukázať, že potom platí rovnosť limk→∞ PG(xk) = PG(x). Pripomeňme jednu dôležitú vlastnosť postupností obsiahnutých v (relatívne) kompaktných podmnožinách metrického priestoru. Konkrétne, každá takáto postupnosť je konvergentná (v danej metrike) práve vtedy, keď má práve jeden hromadný bod (vzhľadom na danú metriku). Keďže v našom prípade máme {PG(xk)}∞ k=1 ⊆ G a G ⊆ X je kompaktná množina, v kontexte uvedenej vlastnosti stačí zrejme dokázať, že vektor PG(x) je jediný hromadný bod postupnosti {PG(xk)}∞ k=1. V súlade s Definíciou 4 platí x − PG(x) X = ρ(x, G), xk − PG(xk) X = ρ(xk, G), k ∈ N. (69) Využitím definície vzdialenosti bodu od množiny nie je ťažké odvodiť nerovnosť | xk − PG(xk) X − x − PG(x) X | (69) = |ρ(xk, G) − ρ(x, G)| ≤ xk − x X (70) pre každé k ∈ N. Vďaka kompaktnosti množiny G sa z postupnosti {PG(xk)}∞ k=1 dá vybrať konvergentná podpostupnosť, t.j., existuje {PG(xkl )}∞ l=1 taká, že Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 8 (pokračovanie). y := lim l→∞ PG(xkl ), a teda nutne vektor y ∈ G. (71) Podľa (70) následne máme xkl − PG(xkl ) X − x − PG(x) X (70) ≤ xkl − x X , (72) z čoho využitím spojitosti normy limitovaním pre l → ∞ získame lim l→∞ xkl − PG(xkl ) X − x − PG(x) X (72) ≤ lim l→∞ xkl − x X ⇓ (71) ⇓ | x − y X − x − PG(x) X | ≤ 0, t.j., x − y X = x − PG(x) X = ρ(x, G). Vektor y je v zhode s Definíciou 4 metrickou projekciou bodu x do množiny G. Podľa predpokladov je priestor X striktne konvexný a množina G konvexná, preto v súlade s Poznámkou 12 je G Čebyševova množina, a tak nutne vektor y = PG(x). Limitný bod y teda nezávisí na výbere konvergentnej podpostupnosti {PG(xkl )}∞ l=1, t.j., postupnosť {PG(xk)}∞ k=1 ⊆ G má práve jeden hromadný bod. Na základe vyššie uvedených úvah preto platí limk→∞ PG(xk) = PG(x), t.j., operátor projekcie PG je spojitý v bode x. Dôkaz je hotový. Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Veta 9 Nech X je uniformne konvexný Banachov priestor. Potom každá uzavretá konvexná množina G ⊆ X je Čebyševova. Inými slovami, pre každý vektor x ∈ X existuje práve jeden prvok y ∈ G taký, že x − y X = ρ(x, G). Dôkaze Vety 9. Podľa Vety 3(i) a Milmanovej–Pettisovej Vety 4 je uvažovaný priestor X striktne konvexný a reflexívny. Tvrdenie je potom priamym dôsledkom Vety 7(ii). Veta 10 (Spojitosť projekcie v uniformne konvexných priestoroch) Nech X je uniformne konvexný Banachov priestor a G ⊆ X daná uzavretá konvexná množina. Potom operátor projekcie PG : X → G je spojitý na X. Dôkaz Vety 10. Zvoľme uzavretú konvexnú množinu G ⊆ X. Vzhľadom na prvú formulu v (66) zrejme stačí ukázať spojitosť operátora PG v bode x = 0. Nech {xk}∞ k=1 ⊆ X je nejaká postupnosť s limk→∞ xk = 0. Využitím nerovnosti v (70) máme Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 10 (pokračovanie). | xk − PG(xk) X − PG(0) X | (70) ≤ xk X , k ∈ N. (73) Z (73) následne dostávame lim k→∞ xk − PG(xk) X = PG(0) X . (74) Nie je ťažké si premyslieť, že pre každé k ∈ N platia odhady | xk − PG(xk) X − xk X | ≤ PG(xk) X ≤ xk − PG(xk) X + xk X . (75) Ak PG(0) = 0, t.j., vektor 0 ∈ G, potom kombináciou (74) a horného odhadu v (75) máme limk→∞ PG(xk) X = 0. To znamená, že lim k→∞ PG(xk) = 0 = PG(0), t.j., operátor PG je spojitý v bode x = 0. Uvažujme teraz prípad PG(0) = 0, pričom položme λ := 1 PG(0) X > 0. Pomocou druhej formuly v (66) môžeme skúmaný problém transformovať na ekvivalentnú situáciu vyšetrovania spojitosti operátora P ˜G v bode x = 0 vzhľadom na uzavretú konvexnú množinu ˜G := λG, pre ktorú vzdialenosť ρ(0, ˜G) = P ˜G(0) X = 1. V tomto prípade z nerovností v (75) a z rovnosti (74) (s množinou ˜G) vyplýva limk→∞ P ˜G(xk) X = 1. Keďže množina ˜G je konvexná a vektory P ˜G(0), P ˜G(xk) ∈ ˜G pre každé k ∈ N, platí Striktná konvexnosť Uniformná konvexnosť Projekcia Dôkaz Vety 10 (pokračovanie). 1 2 P ˜G(0) + P ˜G(xk) ∈ ˜G, a tak 1 = ρ(0, ˜G) ≤ 1 2 P ˜G(0) + P ˜G(xk) X (76) pre každý index k ∈ N. Využijeme teraz skutočnosť, že priestor X je uniformne konvexný. Konkrétne, aplikujeme kritérium (iv) v Poznámke 6. Zvoľme ε > 0 a nech δ je odpovedajúce kladné číslo v Poznámke 6(iv). Platí P ˜G(0) X < 1 + δ, P ˜G(xk) X < 1 + δ, 1 2 P ˜G(0) + P ˜G(xk) X (76) ≥ 1, (77) pričom druhá nerovnosť je splnená pre každé k ≥ k0, kde k0 ∈ N je vhodný index, ktorého existencia je zaručená vlastnosťou limk→∞ P ˜G(xk) X = 1. Následne z podmienok v (77) podľa Poznámke 6(iv) vyplýva, že platí nerovnosť P ˜G(0) − P ˜G(xk) X < ε pre každé k ≥ k0. (78) Relácia (78) znamená, že limk→∞ P ˜G(xk) = P ˜G(0), t.j., operátor P ˜G je spojitý v bode x = 0. Dokázali sme teda, že operátor PG je spojitý v bode x = 0 vzhľadom na každú uzavretú konvexnú podmnožinu G ⊆ X. Poznámka 13 Poznamenajme, že spojitý operátor PG vo Vete 10 nemusí byť nutne lineárny.