MASARYKOVA UNIVERZITA
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Geometrická azimutální
zobrazení v kartografii
Bakalářská práce
Dana Pohanková
Vedoucí práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. Brno 2014
Bibliografický záznam
Autor: Bc. Dana Pohanková
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita
Ústav matematiky a statistiky
Název práce: Geometrická azimutální zobrazení v kartografii
Studijní program: Matematika
Studijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání
Vedoucí práce: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.
Akademický rok: 2013/2014
Počet stran: 46 + 9
Klíčová slova: azimutální projekce; matematická kartografie; geometrické zobrazení;
rovnoběžné promítání
Bibliographic Entry
Author: Bc. Dana Pohanková
Faculty of Science, Masaryk University
Department of Mathematics and Statistics
Title of Thesis: Geometrical azimutal projections in cartography
Degree Programme: Mathematics
Field of Study: Mathematics with a view to Education
Supervisor: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.
Academic Year: 2013/2014
Number of Pages: 46 + 9
Keywords: azimuthal projection; mathematical cartography; geometrical
projection; parallel projection
Abstrakt
Tato bakalářská práce se věnuje popisu geometrických azimutálních zobrazení, konkrétně
ortografické, stereografické a gnómonické projekci,které spadají pod širokou kategorii
kartografických zobrazení. V první kapitole jsou uvedeny obecné informace o kartografických
zobrazeních a ve druhé už se podrobně zabýváme výše jmenovanými projekcemi,
jejich vlastnostmi a způsoby konstrukcí. Získané poznatky jsou poté uplatňovány ve třetí
kapitole, která poskytuje čtenáři návody k řešení příkladů uvedených v příloze.
Abstract
This bachelor thesis deals with description of geometric azimuthal projections, particularly
orthographic, stereographic and gnomonic ones that are part of wide category
of cartographic projections. General information about cartographic projections is presented
in the firts part and then the projections mentioned above, their characteristics
and constructions are described in detail. The reader should be able to use the acquired
knowledge in solving the problems presented in the appendix. All of these problems are
also solved in the last chapter of this thesis.
Obsah
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Kapitola 1. Kartografická zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Souřadnicové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Zeměpisné souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Kartografické souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Rovinné souřadnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Klasifikace kartografických zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Klasifikace podle tvaru zobrazovacích rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Klasifikace podle druhu zobrazovací roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Klasifikace podle polohy konstrukční osy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Klasifikace podle vlastností zkreslení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Azimutální projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Gnómonická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Stereografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Ortografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Kapitola 2. Geometrická azimutální zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Soustavy souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Ortografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Rovnoběžné promítání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Ortografická projekce v pólové poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Ortografická projekce v rovníkové poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4 Ortografická projekce v obecné poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.5 Obraz ortodromy v ortografické projekci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Stereografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Středové promítání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Kruhová inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Stereografická projekce v pólové poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4 Stereografická projekce v rovníkové poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 Stereografická projekce v obecné poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.6 Obraz ortodromy ve stereografické projekci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Gnómonická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
– vi –
2.5.1 Středové promítání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Gnómonická projekce v pólové poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3 Gnómonická projekce v rovníkové poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.4 Gnómonická projekce v obecné poloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kapitola 3. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Úvod
Jak už název této práce napovídá, její obsah je zaměřen na popis geometrických azimutálních
zobrazení, která jsou používána v kartografii.
První kapitola pojednává obecně o předmětu studia vědecké disciplíny matematická
kartografie. Základním problémem, který matematická kartografie řeší, je otázka, jak zobrazit
zemský povrch co nejvěrněji s minimálním zkreslením do roviny – tedy na mapu.
Řešení tohoto problému nabízí mnoho různých kartografických zobrazení a právě v první
kapitole jsou tato zobrazení definována, jsou zde stručně popsány jejich základní vlastnosti
a jejich dělení.
Mezi zmíněná zobrazení patří geometrické azimutální projekce, konkrétně gnómonická,
stereografická a ortografická, při kterých promítáme povrch koule na její tečnou rovinu.
U každé z těchto projekcí jsou posléze ve druhé kapitole popsány její základní vlastnosti
a dále je uveden postup pro provádění nejdůležitějších konstrukcí, tedy konstrukcí poledníků,
rovnoběžek a geodetických čar. V praxi se využívají různé typy projekcí v závislosti
na konkrétních požadavcích. Například ortografická projekce bývá využívána pro zobrazení
celého světa ve dvou polokoulích nebo také pro zobrazování nebeských těles, protože
nejlépe odpovídá našemu pohledu na ně, zatímco gnómonická projekce je výhodná díky
tomu, že zobrazuje geodetické čáry na úsečky. Ve třetí kapitole je celá práce doplněna
o řešení několika příkladů, jejichž zadání se nachází v příloze. Uvedené příklady mohou
čtenáři posloužit k procvičení daného tématu a také by měly poukázat na některé zajímavé
problémy, které matematická kartografie řeší.
Práce není primárně určena jen pro ty, kteří se zabývají deskriptivní geometrií. Proto
je zcela záměrně v celém textu patrná snaha vyhnout se složitějším pojmům právě z tohoto
oboru. Obsah této práce by měl sloužit kartografům zabývajícím se matematickou kartografií,
kteří si chtějí rozšířit znalosti, případně studentům matematických oborů, které toto
téma zajímá.
Geometrické nákresy byly vytvořeny v programu GeoGebra, mapy zpracované v prostředí
ArcMap programu ArcGIS 10.2 a celá práce byla vysázena ve formátu LATEX.
– viii –
Kapitola 1
Kartografická zobrazení
Teorií kartografických zobrazení se v kartografii zabývá disciplína zvaná matematická
kartografie. Matematická kartografie studuje způsoby zobrazení povrchu referenční plochy
do roviny a dále se zabývá zkreslením rovinného obrazu referenčních ploch [5, strana 15].
V této kapitole jsou uvedeny základní principy tvorby kartografických zobrazení a jejich
dělení, jak jsou uváděny v kartografických publikacích. Protože se jedná o kartografické
práce, nejsou uvedené definice vždy úplně jednoznačné a i vyjadřování bývá nejasné1. Celá
tato kapitola vychází z poznatků uvedených v těchto publikacích: [5], [2], [6].
Referenční plochy jsou přesně matematicky nebo fyzikálně definované plochy, kterými
je nahrazován zemský povrch a na kterých je také definována souřadnicová soustava.
Stejně tak v zobrazovací rovině je definována určitá souřadnicová soustava a pomocí
zobrazovacích rovnic jsou popsány vztahy mezi referenční plochou a rovinou.
Nejpřesnější referenční plocha používaná u kartografických zobrazení je plocha referenčního
elipsoidu, který je přesně matematicky určen kterýmikoli dvěma z následujících
parametrů: velikost hlavní poloosy a, excentricita e, druhá excentricita e nebo zploštění f.
Mezi jednotlivými parametry platí vztahy (1.1):
e2
=
a2 −b2
a2
, (1.1a)
e 2
=
a2 −b2
b2
, (1.1b)
f =
a−b
a
. (1.1c)
Parametry jsou voleny tak, aby se elipsoid co nejlépe přimykal k zemskému povrchu
v zobrazované části. Dodnes bylo odvozeno několik referenčních elipsoidů, z nichž se
můžeme nejčastěji setkat s Besselovým, Krasovkého nebo WGS84 elipsoidem. Rozdíly
mezi délkou malé a velké poloosy jsou ve všech případech asi 22,5 km.
Pro mapy malých měřítek, například mapy celých kontinentů nebo přímo mapy světa,
je zemský povrch nahrazován referenční kulovou plochou. Poloměr referenční koule je opět
volený nejvhodněji pro dané zobrazované území; v případě zobrazování rozsáhlých oblastí
nebo celé Země se používá poloměr R = 6371 km. Tato hodnota je odvozená z požadavku
1například zaměňování pojmů kulová plocha a koule
– 1 –
přibližné rovnosti jak objemu, tak povrchu elipsoidu a koule. Naopak v případě zobrazení
velice malých území, která na sebe nemusí nijak navazovat a kde je možné zanedbat
zakřivení zemského povrchu, se používá jako referenční plocha přímo rovina.
1.1 Souřadnicové soustavy
1.1.1 Zeměpisné souřadnice
Pro lokalizaci bodů na zemském povrchu nebo referenční ploše (elipsoidické, kulové)
se používá zeměpisných souřadnic skládajících se ze zeměpisné šířky a délky.
Zeměpisná šířka je definovaná jako úhel, který svírá normála n referenční plochy
v lokalizovaném bodě s rovinou zemského rovníku. Na elipsoidu ji označujeme ϕ a na
kouli U. Zeměpisná šířka dosahuje na severní polokouli kladných hodnot od 0◦ do +90◦
a na jižní polokouli záporných hodnot od 0◦ do −90◦. Hodnoty na severní a jižní polokouli
je možné také psát všechny kladně a rozlišovat mezi nimi označením s. š. (severní šířky)
nebo j. š. (jižní šířky).
Zeměpisná délka je dána úhlem, který svírá rovina určená zemskou osou (pomyslná
přímka procházející severním a jižním pólem) a lokalizovaným bodem s rovinou určenou
zemskou osou procházející zvoleným základním bodem (dnes výhradně Greenwich v
Anglii). Na elipsoidu ji označujeme λ a na kouli V. Zeměpisnou délku měříme od zvolené
základní roviny k východu a nabývá hodnot od 0◦ do 360◦. Opět ale existuje i další
možnost značení, a to hodnotami od 0◦ do 180◦ zvlášť na východní a na západní polokouli
s označením v. d. (východní délky) a z. d. (západní délky).
Místa na referenční ploše s konstantní zeměpisnou šířkou nazýváme rovnoběžky. Místa
se stejnou zeměpisnou délkou se nazývají poledníky (meridiány). Zvláštními případy rovnoběžek
jsou rovník pro ϕ = 0◦, resp. U = 0◦, a póly pro λ = ±90◦, resp. U = ±90◦.
Zemské poledníky a rovnoběžky souhrnně nazýváme zeměpisnou sítí.
1.1.2 Kartografické souřadnice
Na referenční kouli dále definujeme soustavu kartografických souřadnic, které jsou definovány
stejně jako zeměpisné souřadnice, jen jsou vztaženy ke kartografickému pólu K (zvolený
bod zeměpisné sítě). Souřadnice jsou potom tvořeny kartografickou šířkou Š a kartografickou
délkou D. Kartografické rovnoběžky a kartografické poledníky jsou definovány
obdobně jako v zeměpisných souřadnicích. Zeměpisný poledník, který prochází kartografickým
pólem, je i kartografickým poledníkem a bývá používán jako základní kartografický
poledník. Vztahy mezi zeměpisnými a kartografickými souřadnicemi jsou odvozeny pomocí
sférické trigonometrie následovně:
sinŠ = sinU sinUk +cosU cosUk cos(V −Vk), (1.2a)
sinD =
cosU
cosŠ
sin(V −Vk). (1.2b)
kde Uk a Vk jsou zeměpisné souřadnice kartografického pólu K.
Obrázek 1.1: Zeměpisné souřadnice na referenční kouli
Pro potřeby kartografických zobrazení nahrazujeme občas zeměpisnou nebo kartografickou
šířku na referenční kouli zenitovým úhlem Z, pro který platí Z = 90◦ −U, resp.
Z = 90◦ −Š.
1.1.3 Rovinné souřadnice
V zobrazovací rovině definujeme dva druhy rovinných souřadnic. Pravoúhlá souřadnicová
soustava je klasicky určená počátkem a souřadnicovými osami x a y. V případě azimutálních
a kuželových zobrazení se ale v rovině používají spíše polární souřadnice ρ a ε. Počátek
této soustavy je volen buď přímo v počátku pravoúhlé soustavy souřadnic, nebo jinde na ose
x. V případě totožných počátků pak platí mezi soustavami převodní vztahy (1.3):
x = ρ cosε, (1.3a)
y = ρ sinε. (1.3b)
1.2 Klasifikace kartografických zobrazení
Talhofer [6, strana 22] uvádí, že kartografická zobrazení mohou být definována geometrickou
nebo matematickou cestou. Definování geometrickou cestou spočívá v matematickém
popisu perspektivní projekce referenčních těles na plochy rozvinutelné do roviny a jsou to
právě ta zobrazení, na která se tato práce zaměřuje. Zobrazení definovaná matematickou
cestou jsou odvozovaná z podmínek zadaných matematickými vztahy (např. podmínky
minimalizace některých typů zkreslení). Obecně jsou ale zobrazení v obou kategoriích
určena matematickými vztahy, tudíž toto dělení není úplně relevantní.
I u dalšího dělení nejsou vždy jednotlivé třídy zobrazení definovány jednoznačně,
protože někdy mohou být některá zobrazení zařazena do více kategorií. Dalšími obecně
uznávanými děleními zobrazení jsou dělení podle tvaru zobrazovacích rovnic, dělení podle
druhu zobrazovací roviny, dělení podle polohy konstrukční osy a dělení podle vlastností
zkreslení.
1.2.1 Klasifikace podle tvaru zobrazovacích rovnic
Tato klasifikace dělí kartografická zobrazení na jednoduchá, nepravá a obecná. U jednoduchých
zobrazení je každá z rovinných souřadnic vyjádřena jako funkce jedné proměnné
(jedné souřadnice z referenční plochy). K popisu rovnic budeme dále používat zeměpisné
souřadnice na kouliU aV, ale rovnice a dělení platí i pro zeměpisné souřadnice na elipsoidu
nebo kartografické souřadnice. Jak vypadají zobrazovací rovnice jednoduchých zobrazení,
je uvedeno v (1.4).
x = f(U) y = g(V), (1.4a)
ρ = f (U) ε = g (V). (1.4b)
Z tvaru rovnic jednoduchých zobrazení je vidět, že rovnoběžky se vždy zobrazí buď
na rovnoběžky s osou y (v případě pravoúhlých souřadnic), nebo na soustředné kružnice
o poloměru ρ (u polárních souřadnic). Poledníky se zobrazí na přímky, které jsou rovnoběžné
s osou x (v pravoúhlých souřadnicích) nebo vycházejí z jednoho bodu (u polárních
souřadnic). Zobrazení zachovávají ortogonálnost zeměpisných rovnoběžek a poledníků.
Kartografické projekce bývají někdy řazeny právě mezi jednoduchá zobrazení, protože
mají stejný tvar zobrazovacích rovnic [6, strana 23–25].
Nepravá zobrazení mají tvar zobrazovacích rovnic takový, že jedna rovinná souřadnice
je funkcí jedné proměnné, ale druhá souřadnice je funkcí obou proměnných, viz (1.5).
x = f(U) y = g(U,V), (1.5a)
ρ = f (U) ε = g (U,V). (1.5b)
Podle tvaru rovnic vidíme, že rovnoběžky se opět zobrazí na přímky nebo kružnice.
Poledníky se pak podle konkrétního zobrazení zobrazí na složitější křivky. Tato zobrazení
se nejčastěji požívají pro mapy celého světa na jednom mapovém listě. Příkladem nepravého
sinusoidálního zobrazení (poledníky jsou zobrazeny jako části sinusoid) je zobrazení
Eckert IV, které můžete vidět na obrázku 1.2.
Poslední třídou jsou zobrazení obecná, používaná pro mapy větších měřítek s vyšší
požadovanou přesností. Jak je vidět z tvaru zobrazovacích rovnic (1.6), jsou obě souřadnice
funkcí obou proměnných, a proto mohou jak poledníky, tak rovnoběžky být zobrazeny
na různé křivky. Tato zobrazení se používají například pro různá státní mapová díla (např.
zobrazení S–JTSK pro ČR).
x = f(U,V) y = g(U,V), (1.6a)
ρ = f(U,V) ε = g(U,V). (1.6b)
1.2.2 Klasifikace podle druhu zobrazovací roviny
Podle druhu zobrazovací roviny dělíme kartografická zobrazení také do tří skupin: na válcová,
kuželová a azimutální. Toto dělení je založeno na geometrické představě promítání
referenční plochy na plochu rozvinutelnou do roviny (válcová nebo kuželová plocha, rovina).
Obecně se toto dělení uvádí jen pro jednoduchá zobrazení, i když je používáno i
pro nepravá zobrazení, která jsou poté označovaná jako pseoudoválcová, pseudokónická a
pseudoazimutální.
Obrázek 1.2: Nepravé sinusoidální zobrazení Eckert IV
1.2.3 Klasifikace podle polohy konstrukční osy
Konstrukční osou kartografického zobrazení rozumíme osu válce, osu kužele nebo normálu
k zobrazované rovině. Na základě polohy této osy vzhledem k referenční ploše dělíme
zobrazení opět do tří skupin. V pólové (normální) poloze je konstrukční osa totožná s osou
zemské rotace, v příčné (rovníkové) poloze leží konstrukční osa v rovině rovníku a v obecné
(šikmé) poloze není konstrukční osa ani v jedné výše zmíněné poloze. Při odvozování
příčných a obecných zobrazení se zeměpisné souřadnice nahrazují kartografickými.
1.2.4 Klasifikace podle vlastností zkreslení
Při každém kartografickém zobrazení dochází k určitému zkreslení. Rozlišujeme tři druhy
zkreslení, ke kterým dochází: délkové zkreslení m, plošné zkreslení mpl a úhlové zkreslení
∆ω. Definována jsou následovně:
m =
dS
ds
, (1.7a)
mpl =
dP
dp
, (1.7b)
∆ω = ω −ω, (1.7c)
kde ds je délkový element čáry na referenční ploše,
dS je odpovídající délkový element po zobrazení do roviny,
dp je element plochy na referenční ploše,
dP je odpovídající element plochy po zobrazení do roviny,
ω je úhel na referenční ploše,
ω je odpovídající úhel po zobrazení do roviny.
Podle toho, co je na zobrazené mapě nezkresleno, dělíme zobrazení opět do tří kategorií:
ekvidistantní (nezkreslené délky), ekvivalentní (nezkreslené plochy) a konformní
(nezkreslené úhly). Co se týká ekvidistantních zobrazení, není možné docílit zobrazení,
které by zachovávalo všechny délky, a proto tato zobrazení délkově nezkreslují pouze určitou
soustavu čar. Téměř výhradně se jedná o poledníky a rovnoběžky, a proto se ještě zvlášť
rozlišuje délkové zkreslení v polednících mp a v rovnoběžkách mr.
1.3 Azimutální projekce
Obrázek 1.3: Princip azimutální projekce
Ze zobrazení definovaných geometrickou cestou mají v kartografii nějaké uplatnění
pouze azimutální projekce. Ty vznikají promítáním povrchu referenční koule z pevně
zvoleného bodu S na rovinu π kolmou ke spojnici středu promítání se středem koule O.
Pokud označíme zobrazovaný bod P a jeho obraz P , pak z podobnosti trojúhelníků SAP
a SBP na obrázku 1.3 vyplývá rovnost (1.8).
ρ
RsinZ
=
c+R
c+RcosZ
. (1.8)
Z tohoto vztahu lze následně odvodit první zobrazovací rovnici (1.9) pro azimutální
projekci:
ρ =
RsinZ(c+R)
c+RcosZ
. (1.9)
Druhá zobrazovací rovnice (1.10) je stejná pro všechna azimutální zobrazení. Vyplývá
z požadavku na konstantní vzdálenosti mezi obrazy poledníků:
ε = V. (1.10)
Jednotlivé azimutální projekce se liší volbou konstanty c. Rozlišujeme tři základní
typy azimutálních projekcí: gnómonickou, stereografickou a ortografickou. Z definovaných
rovnic zkreslení (1.7) jsou vyjádřeny konkrétní rovnice týkající se všech azimutálních
zobrazení (včetně projekcí) následovně:
mp =
dρ
RdZ
, (1.11a)
mr =
ρ
RsinZ
, (1.11b)
mpl = mrmp, (1.11c)
∆ω
2
=
mr −mp
mr +mr
. (1.11d)
1.3.1 Gnómonická projekce
Gnómonická projekce je azimutální projekce, při které promítáme na rovinu π ze středu
koule O (viz obrázek 1.4). V tomto případě platí c = 0. Při dosazení této hodnoty do
zobrazovacích rovnic (1.9), (1.10) získáme zobrazovací rovnice gnómonické azimutální
projekce (1.12) a následně také můžeme podle (1.11) spočítat velikost zkreslení (1.13).
Protože spojnice zobrazovaného a zobrazeného bodu prochází vždy středem koule, zobrazují
se v gnómonické projekci vždy ortodromy2 jako přímky. Protože všechny poledníky
a rovník jsou ortodromy, zobrazí se také na přímky.
ρ = RtgZ, (1.12a)
ε = V. (1.12b)
2ortodromy na kouli jsou kružnice vzniklé jako průsečíky rovin procházejících jejím středem. Nejkratší
spojnice dvou bodů na kulové ploše kopíruje vždy část ortodromy procházející těmito body.
Obrázek 1.4: Princip gnómonické
azimutální projekce
Obrázek 1.5: Gnómonická projekce s
kartografickým pólem ϕ = 50◦ a λ = 20◦
mp =
1
cos2 Z
, (1.13a)
mr =
1
cosZ
, (1.13b)
mpl =
1
cos3 Z
, (1.13c)
∆ω
2
= tg2 Z
2
. (1.13d)
(1.13e)
1.3.2 Stereografická projekce
Stejně jako u gnómonické projekce se odvodí zobrazovací rovnice (1.14) a rovnice zkreslení
(1.15) i u stereografické projekce (viz obrázek 1.6). V tomto případě leží střed promítání
v protilehlém bodu referenční koule. Pro konstantu c tedy platí c = R.
Jak vidíme z (1.15c), ve stereografické projekci nejsou zkresleny úhly, a proto se jedná
o konformní zobrazení. V případě azimutálních zobrazení definovaných matematickou
cestou dojdeme při podmínce konformity zobrazení ke zcela stejným rovnicím.
ρ = 2Rtg
Z
2
, (1.14a)
ε = V. (1.14b)
Obrázek 1.6: Princip stereografické
azimutální projekce
Obrázek 1.7: Stereografická projekce s
kartografickým pólem ϕ = 50◦ a λ = 20◦
mp = mr =
1
cos2 Z
2
, (1.15a)
mpl =
1
cos4 Z
2
, (1.15b)
∆ω = 0. (1.15c)
1.3.3 Ortografická projekce
V případě ortografické projekce leží střed promítání v nekonečnu a dochází tedy ke kolmému
promítání (viz obrázek 1.8). Platí c = ∞, z čehož se opět odvodí konkrétní zobrazovací
rovnice (1.16) a rovnice zkreslení (1.17).
Z rovnice (1.17b) vyplývá, že se jedná o zobrazení ekvidistantní v rovnoběžkách a
opět by se díky této podmínce dalo odvodit i matematickou cestou. I z toho je zřejmé,
že u ortografické projekce není možné zobrazit povrch celé koule, ale jen polokoule.
ρ = RsinZ, (1.16a)
ε = V. (1.16b)
mp = mpl = cosZ, (1.17a)
mr = 1, (1.17b)
sin
∆ω
2
= tg2 Z
2
. (1.17c)
Obrázek 1.8: Princip ortografické
azimutální projekce
Obrázek 1.9: Ortografická projekce s
kartografickým pólem ϕ = 50◦ a λ = 20◦
Kapitola 2
Geometrická azimutální zobrazení
V této kapitole se zabýváme třemi speciálními typy zobrazování euklidovského prostoru E3
do rozšířené eukleidovské roviny (Möbiovy roviny) M2 rozšířené o nevlastní body (kvůli
stereografické a gnómonické projekci). Jedná se o kartografické azimutální projekce, které
jsou představeny v podkapitole 1.3. Konkrétně jsou to tedy zobrazení kulové plochy do tečné
roviny a proto nejdříve začneme vymezením některých důležitých pojmů. Zároveň se ale
u čtenáře předpokládá určitá znalost geometrie a zobrazení a proto se nebudeme zabývat
základními pojmy jako například kružnice, elipsa nebo samodružné body zobrazení. Při
konstrukcích je dále také potřebná znalost základních konstrukcí všech kuželoseček. Při
zjišťování poznatků k popisovaným projekcím bylo čerpáno zejména z publikací Zobrazovací
metody – promítání rovnoběžné [3] od E. Kraemera, Deskriptivní geometrie [7]
od A. Urbana a Deskriptivní geometrie od R. Pisky [4].
2.1 Základní pojmy
Definice 2.1. Kulovou plochou (resp. koulí) rozumíme množinu všech bodů prostoru E3,
z nichž každý má od daného bodu S danou vzdálenost r > 0 (resp. v ≤ r; 0 < r ∈ R). Bod
S nazýváme střed kulové plochy (resp. koule), číslo r poloměr a číslo 2r průměr kulové
plochy (resp. koule). Kružnici se středem S a poloměrem r, která vznikne jako průnik
kulové plochy a roviny procházející jejím středem S, nazveme hlavní kružnicí kulové
plochy.
Poznámka 2.1. Označení průměr používáme také pro každou přímku procházející středem
S kulové plochy (resp. koule) a pro úsečku procházející středem S, ohraničenou průsečíky
s kulovou plochou. Kulová plocha κ je jednoznačně určena středem S a poloměrem r;
zapisujeme κ(S,r).
Věta 2.1 (1). Nechť κ(S,r) je kulová plocha a ρ rovina, která má od středu S vzdálenost v.
Potom platí:
• Je–li v > r, nemá rovina ρ s kulovou plochou κ žádný společný bod.
• Je–li v = r, mají rovina ρ a kulová plocha κ právě jeden společný bod T.
1tvrzení uvádí například Kraemer v [3, str. 45]
– 11 –
• Je–li v < r, mají rovina ρ a kulová plocha κ společnou kružnici, jejíž střed je průsečík
roviny ρ s přímkou k⊥ρ; S ∈ k.
Poznámka 2.2. Pokud ve třetím případě rovina ρ neprochází středem kulové plochy S, pak
vznikne kružnice k o průměru q < r. Tuto kružnici nazýváme vedlejší kružnicí kulové
plochy.
Definice 2.2. Přímku t, která má s kulovou plochou κ společný jediný bod T, nazýváme
tečnou této plochy. Rovinu τ, která má s kulovou plochou jediný společný bod T, nazýváme
tečnou rovinou kulové plochy. Bod T pak nazýváme bod dotyku tečny t a kulové plochy,
resp. tečné roviny τ a kulové plochy.
Věta 2.2. Nechť T je libovolný bod kulové plochy κ(S,r). Potom platí:
• Tečna t plochy κ, která s ní má dotykový bod T, je kolmá k přímce ST
• V bodě T má plocha κ právě jednu tečnou rovinu τ a ta je kolmá k přímce ST. Každá
přímka t, která leží v rovině τ a prochází bodem T, je tečnou plochy κ v bodě T a
naopak každá tečna t kulové plochy κ s bodem dotyku T leží v tečné rovině τ.
Definice 2.3. Kulovou plochu můžeme také definovat jako plochu vytvořenou otáčením
kružnice k okolo jejího průměru o, který poté nazýváme osou otáčení. Pokud jeden průmět
pevně zvolíme za osu, nazveme jeho průsečíky s kulovou plochou póly kulové plochy.
Každý další bod A ∈ k opisuje při otáčení kolem osy o kružnici, kterou nazýváme rovnoběžková
kružnice (rovnoběžka). Řezem kulové plochy rovinou procházející osou o je
hlavní kružnice, která se nazývá meridián (poledník) kulové plochy.
Definice 2.4. Nejkratší spojnici dvou bodů kulové plochy náležející kulové ploše označujeme
jako ortodromu. Jedná se o kratší část hlavní kružnice určené těmito dvěma body.
Poznámka 2.3. Ortodroma je konkrétnější pojmenování pro tzv. geodetickou čáru, která
označuje nejkratší spojnici dvou bodů na dané ploše.
2.2 Soustavy souřadnic
Protože se tato práce zabývá zobrazeními používanými v kartografii, představuje kulová
plocha, kterou zobrazujeme, zemský povrch a budeme ji označovat zemská kulová plocha
Γ(O,R), kde R je poloměr Země.
Při azimutálních geometrických projekcích potřebujeme zobrazovat body kulové plochy
do její tečné roviny. Protože se jedná o zobrazení prostoru do roviny, je možné použít
kartézskou soustavu souřadnic, která bude mít střed ve středu kulové plochy. Protože
nebudeme zobrazovat všechny body prostoru, ale pouze body kulové plochy Γ, zavedeme
pro ně zeměpisné souřadnice ϕ a λ.
Definice 2.5. Nechť Γ(O,R) je zemská kulová plocha a nechť existuje kartézská soustava
souřadnic s počátkem v bodě O a M [x,y,z] ∈ Γ je bod. Uspořádanou dvojici čísel
(ϕ,λ);ϕ ∈ −π
2 , π
2 a λ ∈ (−π,π splňující podmínky:
x = Rcosϕ cosλ, (2.1)
y = Rcosϕ sinλ,
z = Rsinϕ.
nazveme zeměpisné souřadnice bodu M na kulové ploše Γ(O,R). Číslo ϕ nazveme zeměpisnou
šířkou a číslo λ zeměpisnou délkou.
Poznámka 2.4. V kapitole 1 byly zeměpisné souřadnice na referenční kulové ploše označovány
U a V, ale protože v této kapitole pracujeme pouze se souřadnicemi na referenční
kouli a vůbec se nezabýváme referenčním elipsoidem, je výhodnější označovat zeměpisné
souřadnice ϕ a λ, protože se jedná o běžně používaná označení pro zeměpisnou šířku a
délku.
Poznámka 2.5. Považujme zemskou kulovou plochu Γ(O,R) za rotační plochu, která
vznikne rotací kolem osy z. Pak jsou jednotlivé rovnoběžkové kružnice jsou množinami
bodů s konstantní zeměpisnou šířkou ϕ a označují se rϕ. Množiny bodů s konstantní
zeměpisnou délkou λ jsou půlkružnice (protože zeměpisná délka je definovaná v intervalu
−π,π ) jednotlivých poledníků, nazýváme je také poledníky a značí se pλ . Poledník p0
nazýváme základní (nultý) poledník a rovnoběžku r0 nazýváme rovník. Dále v této práci
budeme pojmem poledník vždy myslet pouze půlkružnici, a ne celou kružnici, jak bylo
definováno dříve. Osu otáčení této plochy nazýváme zemskou osou, póly nazýváme zemské
póly a rozlišíme je označením na severní pól PS pro ϕ = π
2 a jižní pól PJ pro ϕ = −π
2 .
Intervalové omezení zeměpisné šířky a zeměpisné délky v jejich definici nám zaručuje,
že každý poledník a rovnoběžka se protínají právě v jednom bodě, který je jimi jednoznačně
určen. Zároveň je možné každý bod kulové plochy zapsat v zeměpisných souřadnicích
podle rovnoběžky a poledníku procházejícími tímto bodem. Tento zápis ale nemusí být
jednoznačný, protože zemskými póly prochází všechny poledníky.
Poznámka 2.6. Z praktického hlediska je v případě azimutálních projekcí místo zeměpisné
šířky někdy používaný zenitový úhel Z, který definujeme následovně:
Z =
π
2
−ϕ (2.2)
Poznámka 2.7. Pro body v zobrazovací rovině π můžeme opět zavést kartézskou soustavu
souřadnic, a to s počátkem v bodě dotyku P = P . Ve speciálním případě, kdy bodem
dotyku prochází kladná poloosa z kartézské soustavy souřadnic kulové plochy je výhodné
zvolit osu x v zobrazovací rovině jako kolmý průmět osy x kartézských souřadnic kulové
plochy, a stejně postupovat u osy y.
Při azimutálních zobrazeních je ale opět výhodnější pracovat se soustavu polárních
souřadnic (ρ,ε) s počátkem v bodě dotyku P roviny π s kulovou plochou Γ. Mezi těmito
souřadnicovými soustavami pak platí vztahy (2.3).
x = ρ cosε, (2.3)
y = ρ sinε.
2.3 Ortografická projekce
Ortografická projekce je definovaná jako zobrazení kulové plochy do roviny a řadí se mezi
rovnoběžná kolmá promítání.
Definice 2.6. Nechť Γ(O,R) je zemská kulová plocha a π její tečná rovina. Zobrazení
Γ → π , které každému bodu A ∈ Γ přiřadí jeho kolmý průmět A na rovinu π, nazýváme
ortografická projekce.
Poznámka 2.8. V případě, že bodem dotyku zemské kulové plochy a zobrazovací roviny
je zemský pól, mluvíme o ortografické projekci v pólové poloze. Pokud se zobrazovací
rovina dotýká zemské kulové plochy na rovníkové kružnici, mluvíme o ortografické projekci
v rovníkové poloze. Ve všech ostatních případech řekneme, že se jedná o obecnou polohu
ortografické projekce.
Poznámka 2.9. V případě, že u pólové polohy ortografické projekce definujeme v zobrazovací
rovině soustavu souřadnic podle poznámky 2.7, zobrazí se bod A o prostorových
kartézských souřadnicích [x,y,z] v ortografické projekci na bod A = [x,y]. Pokud vyjádříme
souřadnice x a y v zeměpisných a polárních souřadnicích podle vztahů (2.1) a (2.3),
dostaneme tyto rovnice:
x = Rcosϕ cosλ = ρ cosε, (2.4)
y = Rcosϕ sinλ = ρ sinε,
z nichž následně úpravami odvodíme zobrazovací rovnice:
ε = λ, (2.5)
ρ = Rcosϕ = RsinZ,
které odpovídají rovnicím (1.16) uvedeným v první kapitole.
Při konstrukci ortografické projekce se zaměříme hlavně na zobrazování poledníků a
rovnoběžek, případně dalších hlavních a vedlejších kružnic a jejich částí. Každá kružnice
k ∈ Γ určuje rovinu σ, ve které leží, a proto lze takové zobrazovací úlohy převést na úlohy
o rovnoběžném kolmém promítání z σ do π. V následující části proto budeme využívat
vlastností rovnoběžného kolmého promítání.
2.3.1 Rovnoběžné promítání
Rovnoběžné promítání je jeden z typů obecného promítání, kde je střed promítání nevlastním
bodem.
Definice 2.7. Nechť je dán pevný bod S a pevná rovina π; S ∈ π. Říkáme, že promítáme
bod A z bodu S do roviny π, jestliže sestrojíme průsečík A přímky SA s rovinou π. Bod S
nazýváme střed promítání, rovinu π průmětna a průsečík A průmět bodu A.
Definice 2.8. Jestliže je střed promítání nevlastní bod, říkáme, že se jedná o rovnoběžné
promítání a směr s určený nevlastním středem se nazývá směr promítání. V případě,
že je tento směr kolmý k průmětně, promítání se nazývá kolmé nebo také pravoúhlé či
ortogonální.
Věta 2.3. Rovnoběžným průmětem roviny σ, která je různoběžná se směrem promítání, je
průmětna π. Rovnoběžným průmětem roviny, která je rovnoběžná se směrem promítání, je
přímka.
Důkaz. Každým bodem B průmětny π můžeme vést přímku p patřící směru promítání,
která musí protínat zobrazovanou rovinu σ v nějakém bodě A, protože tato rovina je
různoběžná se směrem promítání. Zároveň není možné, aby se některý bod roviny σ
zobrazil jinak než do průmětny π. Průmětem roviny je tedy celá průmětna. Je-li rovina σ
rovnoběžná se směrem promítání, pak každá promítací přímka p bodu A ∈ σ leží přímo
v rovině σ a protíná průmětnu v průsečnici r = σ ∩π. Zároveň každý bod A přímky r je
obrazem všech bodů přímky (p A patřící směru promítání. Průmětem roviny σ je tedy
přímka splývající s průsečnicí r = σ ∩π.
Věta 2.4. Budiž σ rovina rovnoběžná s průmětnou π. Potom rovnoběžné promítání roviny
σ do průmětny π je shodným zobrazením roviny σ na rovinu π.
Důkaz. Podle věty 2.3 je průmětem roviny σ průmětna π. Zvolíme si nyní libovolné
dva body A,B ∈ σ, jejichž rovnoběžné průměty jsou A ,B ∈ π. Protože přímka AB je
rovnoběžná s průmětnou π a protože jsou rovnoběžné také přímky AA a BB , je obrazec
ABB A rovnoběžníkem, a úsečky AB a A B jsou tudíž shodné. Rovnoběžné promítání
roviny σ na rovinu π je tedy shodným zobrazením.
Poznámka 2.10. Vzhledem k tomu, že poslední dvě uvedené věty platí pro jakékoliv
rovnoběžné promítání, budou platit i pro kolmé rovnoběžné promítání. Z věty 2.3 už tedy
víme, že ortografickým průmětem roviny kolmé k průmětně je přímka, a proto je obrazem
kružnice v této rovině úsečka. Naopak obrazem kružnice v rovině rovnoběžné s průmětnou
π je podle věty 2.4 kružnice shodná se zobrazovanou kružnicí. Následují dvě důležité věty.
První z nich říká, že kolmým průmětem jakékoliv další kružnice bude elipsa, a z druhé
se dozvíme, že průmětem celé kulové plochy bude kruh. Důkazy těchto vět zde nejsou
uvedeny, ale najdete je například v [7, str. 134–135].
Věta 2.5. Pravoúhlým průmětem kružnice k(S,r), jejíž rovina σ svírá s průmětnou π kosý
úhel α, je elipsa, jejíž střed je průmět S středu S kružnice k. Hlavní osa této elipsy leží
na průmětu přímky, která leží v rovině σ prochází středem S a je rovnoběžná s průsečnicí
rovin σ a π. Délka hlavní poloosy je rovna 2r. Vedlejší osa leží na průmětu přímky roviny
σ procházející středem S, kolmé k průsečnici rovin σ a π. Délka vedlejší poloosy je rovna
rcosα.
Věta 2.6. Pravoúhlým průmětem kulové plochy je kruh, jehož středem je průmět středu
kulové plochy a jehož poloměr je rovný poloměru kulové plochy.
Věta 2.7 (Pelzova2). Při rovnoběžném promítání vyplní ohniska elips, které jsou průměty
řezů kulové plochy soustavou rovnoběžných rovin, kružnici soustřednou s obrysem průmětu
kulové plochy.
2jedná se o úpravu obecné Pelzovy věty, jejíž důkaz je uveden například zde: http://dml.cz/
bitstream/handle/10338.dmlcz/109269/CasPestMatFys_036-1907-1_4.pdf
Definice 2.9. Nechť je směr rovnoběžného promítání orientován, a tím je dáno uspořádání
bodů na každé přímce příslušící tomuto směru. Je-li na promítací přímce dán jediný bod,
říkáme, že je viditelný. Jsou-li na stejné promítací přímce dva různé body A,B, pak A je
viditelný právě tehdy, když je v daném uspořádání před bodem B; bod B je pak neviditelný.
Poznámka 2.11. Vzhledem k tomu, že v ortografické projekci zobrazujeme celou kulovou
plochu, dochází k tomu, že ve výsledném obrazu jsou většinou zobrazeny dva body na sobě
v případech, kdy promítací přímka protne kulovou plochu ve dvou bodech. Právě proto se
do výsledné projekce zakreslují pouze viditelné útvary a neviditelné se nezakreslují vůbec
nebo se zakreslují tečkovaně. Ve všech případech uvedených v této práci budeme směr
promítání orientovat od promítací roviny směrem ke kulové ploše.
Praktický postup zobrazování rovnoběžek a poledníků zemské kulové plochy v ortografické
projekci je dobré rozdělit podle toho, v jaké poloze je zobrazovací rovina.
Nejjednodušší konstrukce nastává při ortografické projekci v pólové poloze.
2.3.2 Ortografická projekce v pólové poloze
Při ortografické projekci v pólové poloze se podle poznámky 2.10 zobrazí všechny rovnoběžky
na shodné kružnice a poledníky se zobrazí na části přímek: úsečky o délce R. Přesná
konstrukce poledníků a rovnoběžek je na obrázku 2.1. Poledník pλ zobrazíme na úsečku
vycházející ze středu O , která svírá s obrazem základního poledníku p0 úhel λ. Vhodné
je zvolit souřadnicový systém tak, aby se základní poledník zobrazil na osu x.
Obrázek 2.1: Ortografická projekce v pólové poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek a
modře konstrukce poledníků)
2.3.3 Ortografická projekce v rovníkové poloze
V případě ortografické projekce v rovníkové poloze se zobrazovací rovina dotýká kulové
plochy v bodě P(0,λp). Všechny rovnoběžkové kružnice leží v rovnoběžných rovinách
kolmých k průmětně, a proto se podle věty 2.3 zobrazí na rovnoběžné úsečky o délce
jejich průměru. Poledníky pλp
a pλp+π ležící v rovině kolmé k průmětně se zobrazí také
na úsečku a poledníky pλp+π
2
a pλp−π
2
v rovině rovnoběžné s průmětnou se zobrazí na
kružnici o poloměru R. Všechny zbývající poledníky leží v rovinách různoběžných s
průmětnou a jejich obrazem jsou tedy podle věty 2.5 části (poloviny) elips (viz obrázek
2.2). Všechny elipsy mají střed v bodě O , hlavní osy všech elips představuje úsečka pλp
,
vedlejší poloosy leží na úsečce r0 a jejich délka je Rcos(λ −λp).
Obrázek 2.2: Ortografická projekce v rovníkové poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
2.3.4 Ortografická projekce v obecné poloze
Při ortografické projekci v obecné poloze se zobrazovací rovina dotýká kulové plochy
v libovolném bodu P(ϕp,λp). Poledníky pλp
(procházející bodem P) a pλp+π se opět
zobrazí na úsečku. Všechny rovnoběžkové kružnice se zobrazí podle věty 2.5 na elipsy, a
protože jsou kolmé k rovinám poledníků, budou hlavní osy těchto elips kolmé k přímce
dané obrazem poledníku pλp
.
Rovníková kružnice se zobrazí na elipsu se středem v bodě S a hlavní osou o délce R.
Vedlejší poloosa rovníku bude mít délku RcosZp = Rsinϕp (jak je znázorněno na obrázku
2.3). Ohnisky E,F této elipsy prochází kružnice f(O ,e), na které podle věty 2.7 leží
ohniska všech obrazů rovnoběžek. Jejich průsečíky s přímkou určenou obrazem poledníku
pλp
jsou obrazy zemských pólů PS a PJ. Vedlejší vrcholy obrazu rovnoběžky rϕ najdeme
na přímce obsahující pλp
, a to díky tomu, že jejich vzdálenosti od bodu O jsou sin(ϕp +ϕ)
a sin(π + ϕp − ϕ) (jak je vidět z obrázku 2.3). Vedlejšími vrcholy a ohnisky ležícími na
kružnici f už je elipsa rϕ jednoznačně určena.
Poledníky se zobrazí na části elips se středem v bodě O . Každý poledník prochází body
PS a PJ. Když máme obraz rovníku a poledníku pλp
, můžeme snadno promítnout průsečík
R0 nultého poledníku s rovníkem podle úhlu λp (znázorněno na obrázku 2.4). Podle
Obrázek 2.3: Odvození délky vedlejší poloosy obrazu rovníku při ortografické projekci
v obecné poloze
základního poledníku můžeme stejným způsobem určit průsečík Rλ rovníku a poledníku
pλ . Výslednou elipsu pak můžeme zkonstruovat Rytzovou konstrukcí3 pomocí sdružených
průměrů PSPJ a průměru určeného poloměrem O Rλ .
2.3.5 Obraz ortodromy v ortografické projekci
Častým problémem řešeným na mapách je potřeba zakreslení ortodromy, nejkratší spojnice
dvou bodů na referenční ploše. Pokud tedy máme zadány A a B , čili dva obrazy bodů
promítnutých v ortografické projekci, a máme je spojit obrazem ortodromy, jde vlastně
o to, najít obraz hlavní kružnice procházející body A a B, které jsou vzory bodů A a B
ve zmíněné projekci. Pokud leží body A , B na přímce procházející obrazem středu O , pak
se hlavní kružnice procházející jejich vzory zobrazí na přímku a ortodroma je tedy úsečka
A B . Pokud leží oba body na obrysové kružnici, pak je ortodroma kratší část této kružnice
spojující oba body, protože právě na ni se hlavní kružnice procházející body A,B promítne.
Pokud leží body A ,B jinde, než je uvedeno výše, pak se hlavní kružnice procházející
jejich vzory podle věty 2.5 zobrazí na elipsu, jejíž hlavní osa bude dlouhá 2R a jejíž
střed bude bod O . Představme si nyní, že místo do tečné roviny promítáme do roviny
ω s ní rovnoběžné a procházející středem kulové plochy O (ortogonální průmět bude
podle věty 2.4 shodný). Hlavní osa leží na průsečnici roviny ω s rovinou hlavní kružnice
procházející body A a B. V této rovině musí ležet průměr hlavní kružnice procházející
body A a B, který se zobrazí na hlavní osu elipsy svého obrazu. Rovina hledané hlavní
kružnice obsahuje body AB a tedy i přímku AB, která protíná rovinu ω v bodě S. Ten
najdeme sklopením roviny σ, která je kolmá k průmětně a obsahuje body A a B, do roviny
ω (průsečíkem roviny σ a kulové plochy je kružnice k – viz obrázek 2.5).
Hlavní osa elipsy, jejíž součástí je i ortodroma mezi body A a B , leží tedy na přímce
OS, což je průsečnice roviny hlavní kružnice a roviny ω. Při znalosti vrcholů, hlavní osy
a dvou dalších bodů A ,B už je možné elipsu sestrojit například podle postupu uvedeném
v [4, str. 134].
3popsaná například v [3, str. 142-146]
Obrázek 2.4: Ortografická projekce v obecné poloze (červeně je vyznačena konstrukce
rovnoběžek a modře konstrukce poledníků
2.4 Stereografická projekce
Stereografická projekce se stejně jako gnómonická projekce řadí mezi středová promítání
prostoru do roviny.
Definice 2.10. Nechť Γ(O,R) je zemská kulová plocha a π její tečná rovina s bodem dotyku
P a nechť bod S je průsečík kulové plochy Γ s přímkou PO, S = P. Zobrazení Γ → π, které
každému bodu A ∈ Γ přiřadí bod A ∈ π tak, že A je průsečík přímky SA s rovinou π se
nazývá stereografická projekce.
Poznámka 2.12. Opět rozlišujeme stereografickou projekci podle polohy zobrazovací
roviny na projekci v pólové, v rovníkové a v obecné poloze, obdobně jako u ortografické
projekce v poznámce 2.8.
Poznámka 2.13. Odvození souřadnicového vyjádření stereografické projekce v pólové
poloze se souřadnicovými soustavami definovanými na základě poznámek 2.5 a 2.7 je
naznačeno na obrázku 2.6. Díky podobnosti trojúhelníků SKA a SPA vidíme, že pro souřadnici
x bodu A na zobrazovací rovině platí:
x =
2Rx
R+z
. (2.6)
Podobný vztah získáme pouhou obměnou i pro souřadnici y . Do těchto vztahů dosadíme
opět rovnice pro zeměpisné a polární souřadnice vyjádřené v (2.1) a (2.3) a dostaneme tyto
Obrázek 2.5: Sestrojení obrazu ortodromy v ortografické projekci
rovnice:
ρ cosε =
2R2 cosϕ cosλ
R+Rsinϕ
, (2.7)
ρ sinε =
2R2 cosϕ sinλ
R+Rsinϕ
, (2.8)
ze kterých úpravami odvodíme rovnice:
ε = λ, (2.9)
ρ = 2R
1−sinϕ
cosϕ
, (2.10)
které po úpravě s použitím vzorců pro goniometrické funkce s polovičním argumentem
můžeme upravit na tvar uvedený v první kapitole (1.14).
Poznámka 2.14. Stereografická projekce bývá někdy definovaná i jako projekce na rovinu
procházející středem kulové plochy (rovnoběžnou s původně zadefinovanou průmětnou).
2.4.1 Středové promítání
Stereografická i gnómonická projekce jsou zvláštními případy středového promítání, proto
je dobré uvést několik vlastností tohoto způsobu promítání; některé se týkají pouze stereografické
projekce.
Definice 2.11. Jestliže je u promítání střed S promítání vlastní bod, promítání se nazývá
středové promítání. Průmět bodu při středovém promítání se nazývá středový průmět.
Rovinu procházející středem promítání, která je rovnoběžná s průmětnou, nazýváme středovou
rovinou.
Obrázek 2.6: souřadnicové vyjádření stereografické projekce
Věta 2.8. Středovým průmětem roviny σ procházející středem promítání S, která je různoběžná
s průmětnou π, je přímka.
Důkaz. Tvrzení plyne přímo z definice středového promítání.
Věta 2.9 (4). Středovým průmětem bodu středové roviny je nevlastní bod, středovým průmětem
každého jiného bodu je vlastní bod.
Poznámka 2.15. Z věty 2.9 je zřejmé, že při stereografické projekci, kdy promítáme pouze
body kulové plochy, je střed promítání S jediným bodem, který se zobrazí na bod nevlastní.
Věta 2.10. Středovým průmětem kružnice ležící v rovině σ π;S /∈ σ, jejíž střed leží
na přímce SS , je opět kružnice.
Důkaz. Tvrzení přímo vyplývá z definice středového promítání.
Věta 2.11. Stereografickým průmětem kružnice k ⊂ Γ(O,R) je opět kružnice, jejímž středem
je středový průmět vrcholu tečného kuželu kulové plochy dotýkajícího se této plochy právě
v kružnici k.
Věta 2.12. Stereografická projekce zachovává velikosti úhlů.
Poznámka 2.16. Důkazy posledních dvou vět jsou uvedeny například v [4, str. 411-413].
2.4.2 Kruhová inverze
Poznámka 2.17. Při promítání stereografickou projekcí dochází u bodů souměrných podle
roviny ω (rovina procházející středem kulové plochy O a rovnoběžná s průmětnou π)
k zobrazení nazývanému kruhová inverze vzhledem k obrazu kružnice i, která je průnikem
kulové plochy Γ s rovinou ω. Následující část se bude zabývat tímto vztahem.
4tvrzení uvádí například Urban v [7, str. 76]
Definice 2.12. Nechť je dána kružnice i(S,r). Uvažujme zobrazení Inv(i) v Möbiově rovině
M2, které je určeno následovně:
• obrazem bodu S je nevlastní bod,
• obrazem nevlastního bodu je bod S,
• obrazem vlastního bodu X = S je bod X takový, že leží na polopřímce SX a současně
platí: |SX ||SX| = r2.
Takto definované zobrazení nazýváme kruhová inverze.
Obrázek 2.7: Vztah mezi stereografickou projekcí a kruhovou inverzí
Věta 2.13. Nechť Γ(O,R) je zemská kulová plocha, π je promítací rovina a body A,B ∈ Γ,
jejichž stereografické průměty jsou body A a B , jsou body souměrné podle roviny ω, která
prochází středem kulové plochy O a je rovnoběžná s průmětnou π. Pak je obrazem bodu A
v kruhové inverzi Inv(i ) podle kružnice i takové, že i ∈ Γ∩ω, bod B .
Důkaz. Jak stereografický průmět bodu B, tak obraz bodu A v kruhové inverzi leží na polopřímce
P A . Stereografický průmět bodu B jsme označili B a obraz bodu A v určené
kruhové inverzi označme Ai. Stačí tedy dokázat, že platí rovnost |B P | = |AiP | (viz obrázek
2.7).
Přímo z definice kruhové inverze plyne: |AiP | = R2
|A P |. Trojúhelníky A P S a SP B jsou
podobné, protože oba jsou pravoúhlé a α = | SA P | = 90◦ −| P SA | = 90◦ −| BP S| =
= | P SB | ( SBP je pravý úhel jakožto úhel nad průměrem SP Thaletovy kružnice).
Z podobnosti těchto trojúhelníků plyne, že |SP |
|A P | = |B P |
|SP | ⇒ |B P | = |SP ||SP |
|A P | = R2
|A P |. Čímž
jsme dokázali, že |B P | = |AiP |.
Poznámka 2.18. V případě používání stereografické projekce je tedy možné využívat
vlastností kruhové inverze. Obdobný vztah jako výše popsaný platí i v obecnější podobě,
a proto se dá aplikovat také na stereografickou projekci zmíněnou v poznámce 2.14.
2.4.3 Stereografická projekce v pólové poloze
Obrázek 2.8: Stereografická projekce v pólové poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
V případě pólové polohy je bod dotyku zobrazovací roviny π jedním z pólů kulové
plochy a díky tomu je střed promítání S v protilehlém pólu. Středem promítání proto
prochází všechny poledníky a v důsledku věty 2.8 se zobrazí na polopřímky vycházející
z bodu P . Obraz poledníku pλ svírá s polopřímkou p0 úhel λ.
Všechny rovnoběžky leží v rovinách rovnoběžných s průmětnou a jejich obrazy budou
soustředné kružnice se středem v bodě P , jejichž průměry zjistíme díky pomocné kružnici
o poloměru R sklopením roviny základního poledníku do průmětny (jak je vidět na obrázku
2.8). Rovníková kružnice se v této projekci zobrazí na kružnici o poloměru 2R. Pokud
je středem promítání jižní pól, pak se všechny rovnoběžky z jižní polokoule zobrazí
na kružnice s větším poloměrem než 2R a naopak rovnoběžky ze severní polokoule se
zobrazí na kružnice s poloměrem menším než 2R.
2.4.4 Stereografická projekce v rovníkové poloze
V případě stereografické projekce v rovníkové poloze, kde je bodem dotyku bod P(0,λp),
prochází středem promítání poledník pλp
, pλp+π a rovník r0, které se zobrazí na kolmé
přímky procházející bodem P . Na části kružnice se středem v bodě P a poloměrem 2R se
tentokrát zobrazí poledníky pλp+π
2
a pλp−π
2
. Obrazy dalších poledníků budou půlkružnice
a obrazy rovnoběžek budou kružnice (podle věty 2.11).
Obrazy poledníků budou procházet obrazy pólů PS a PJ, a proto středy kružnic, jichž
budou součástí, musí ležet na ose úsečky PSPJ, tedy na přímce r0. Podle věty 2.12 musí
Obrázek 2.9: stereografická projekce v rovníkové poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
obraz základního poledníku p0 s obrazem poledníku pλp
svírat v bodech PS a PJ úhel
λp. Tento úhel tedy budou v daných bodech svírat také jejich normály; průsečík normály
kružnice p0 s přímkou r0 je tedy střed hledané kružnice p0. Každý další poledník pλ
najdeme stejným způsobem díky skutečnosti, že jeho tečna v bodě PS bude s tečnou p0
svírat úhel λ.
Rovníkové kružnice mají střed na přímce SPSJ, proto jejich obrazy budou mít také střed
na přímce S PS J. Dalším bodem rovnoběžky rϕ, který můžeme najít, je bod R, ve kterém
tato rovnoběžka protíná poledník pλp+π
2
nebo pλp−π
2
. Protože R ∈ rϕ, spojnice R P svírá
s přímkou r0 úhel ϕ a zároveň musí být tečnou kružnice r ϕ v bodě R , protože všechny
rovnoběžky a poledníky jsou na sebe kolmé. Střed tedy opět najdeme jako průsečík normály
k přímce R P v bodě R s přímkou PSPJ.
2.4.5 Stereografická projekce v obecné poloze
Obrázek 2.10: Stereografická projekce v obecné poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
Při promítání v obecné poloze se promítací rovina dotýká kulové plochy v obecném
bodě P(ϕp,λp). Poledník procházející tímto bodem a poledník doplňující ho do kružnice
jsou jediné poledníky ležící v rovině procházející středem promítání, a proto se zobrazí
na přímku. Zároveň se na tuto přímku zobrazí bod dotyku P, ke kterému můžeme narýsovat
sklopenou pomocnou kružnici g o poloměru R (jak je vidět na obrázku 2.10). Na této
přímce také s pomocí kružnice g najdeme obrazy pólů PS a PJ, podobně jako u projekce
v pólové poloze s použitím úhlu ϕp, který nám přesně určuje jejich polohu. Protože všechny
poledníky prochází oběma póly, tak i jejich obrazy budou procházet body PS a PJ a středy
kružnic, na kterých obrazy poledníků leží, budou opět na ose úsečky PSPJ. Přesné polohy
středů získáme stejným způsobem jako v případě stereografické projekce v rovníkové
poloze.
Z rovnoběžek se na přímku zobrazí jen rovnoběžka r−ϕ, která prochází středem promítání
S. Středy všech dalších rovnoběžkových kružnic leží na přímce PSPJ. S využitím
pomocné sklopené kružnice g můžeme najít stereografické průměty průsečíků rovníku
nebo kterékoliv další rovnoběžky s poledníky pλp
a pλp+π. Díky tomu, že máme tyto
dva promítnuté body rovnoběžky, už lehce najdeme její střed, který leží na přímce PSPJ.
Při stereografickém promítání v obecné poloze postupujeme celkově velice podobně jako
při promítání v rovníkové poloze.
2.4.6 Obraz ortodromy ve stereografické projekci
Ve stereografické projekci se hlavní kružnice zobrazí na kružnice, a proto i obraz ortodromy
mezi body A a B bude částí kružnice h , která prochází body A a B . Řešíme tedy úlohu,
kdy máme zadané body A , B a kružnici g, která vznikne jako průmět průniku kulové
plochy a roviny ω (rovina rovnoběžná s průmětnou obsahující střed kulové plochy O) a
hledáme obraz ortodromy mezi zadanými body.
Uvažujme libovolnou kružnici k procházející body A a B , která je obrazem kružnice
k A,B, přičemž rovina σ ⊃ k protíná průmětnu v průsečnici p určené průsečíky P,Q
kružnic k a g (obě kružnice leží v průmětně). Přímka A B protíná průsečnici p v bodě
S, kterým musí procházet i přímka AB. V rovině hlavní kružnice h obsahující body A a B
leží celá přímka AB, a tedy i bod S. Hlavní kružnice h také musí protínat vzor kružnice
g v protilehlých bodech M, N, a proto bude její obraz procházet obrazy těchto bodů.
Tyto body najdeme jako průsečíky přímky SO s kružnicí g. Tím dostáváme obraz hlavní
kružnice h procházející body A , B , M a N , přičemž obraz ortodromy leží na kratší části
této kružnice mezi body A a B (viz obrázek 2.11).
Obrázek 2.11: Sestrojení obrazu ortodromy ve stereografické projekci
2.5 Gnómonická projekce
Definice 2.13. Nechť Γ(O,R) je zemská kulová plocha a π její tečná rovina s bodem dotyku
P. Zobrazení Γ → π, které každému bodu A ∈ Γ přiřadí bod A ∈ π tak, že A je průsečík
přímky OA s rovinou π, se nazývá gnómonická projekce.
Poznámka 2.19. Gnómonickou projekci opět rozlišujeme podle polohy zobrazovací roviny
na projekci v pólové, rovníkové a obecné poloze, obdobně jako ortografickou projekci podle
poznámky 2.8.
Poznámka 2.20. Je dobré si uvědomit, že v gnómonické projekci se stejně jako v ortografické
projekci zobrazují vždy dva body kulové plochy na jeden bod. Jedná se o protilehlé
body, tedy ty, které jsou středově souměrné podle středu kulové plochy O, a proto leží
na stejné promítací přímce. Z toho také vyplývá, že každý poledník pλ se zobrazí na stejný
útvar jako poledník pλ+π a každá rovnoběžka rϕ se zobrazí na stejný útvar jako rovnoběžka
r−ϕ.
Poznámka 2.21. Souřadnicové vyjádření gnómonické projekce v pólové poloze se odvozuje
velice podobně jako v případě stereografické projekce. Jak je vidět na obrázku
2.12, z podobnosti trojúhelníků OKA a OPA vyplývá, že pro souřadnici x bodu A na
zobrazovací rovině platí:
x =
Rx
z
. (2.11)
Obměnou opět získáme podobný vztah i pro souřadnici y . Po dosazení z vztahů (2.1)
za souřadnice x,y,z a z vztahů (2.3) za souřadnice x,y, dostaneme tyto rovnice:
ρ cosε =
R2 cosϕ cosλ
Rsinϕ
, (2.12)
ρ sinε =
R2 cosϕ sinλ
Rsinϕ
, (2.13)
ze kterých úpravami odvodíme rovnice:
ε = λ (2.14)
ρ = Rcotgϕ = RtgZ, (2.15)
které už odpovídají vzorcům uvedeným v první kapitole (1.12).
2.5.1 Středové promítání
Stejně jako stereografická projekce se i gnómonická projekce řadí do středových promítání,
a proto pro ni platí obecné věty uvedené už v části 2.4.1.
Věta 2.14. Všechny hlavní kružnice kulové plochy se v gnómonické projekci zobrazí
na přímky.
Důkaz. Středem každé hlavní kružnice je střed kulové plochy, rovina kružnice tedy prochází
středem promítání a z věty 2.8 vyplývá, že se zobrazí na přímku.
Obrázek 2.12: Souřadnicové vyjádření gnómonické projekce
Poznámka 2.22. V předchozí větě je pro nás důležitý poznatek, že v gnómonické projekci
se na přímku zobrazí všechny poledníky i rovník. Každý poledník se zobrazí vždy na stejnou
přímku jako poledník, který ho doplňuje do kružnice (podle poznámky 2.20), ale při jejich
sestrojování je potřeba vědět, že jen jedna polopřímka vycházející z obrazu pólů PS = PJ
je viditelná.
Zároveň ortodromy, které jsou částmi hlavních kružnic, se zobrazí na části přímek,
čehož se u této projekce často využívá, protože při ní lze jednoduše sestrojit nejkratší
spojnice dvou bodů.
Poznámka 2.23. V případě gnómonické projekce je průnikem středové roviny s kulovou
plochou hlavní kružnice (v pólové poloze přímo rovník), jejíž všechny body se podle věty
2.9 zobrazí na nevlastní body.
Věta 2.15. Gnómonickým průmětem kružnice, která neleží ve středové rovině, je:
• elipsa, pokud nemá se středovou rovinou žádný společný bod,
• hyperbola, pokud má se středovou rovinou dva společné body, nebo
• parabola, pokud má se středovou rovinou jeden společný bod.
Důkaz této věty opět uvádět nebudeme, ale jedná se o úpravu tvrzení uvedeného v textu
[4, str. 299–300] pomocí poznatků z [4, str. 419–420].
2.5.2 Gnómonická projekce v pólové poloze
Poledníky se v gnómonické projekci vždy zobrazí na přímky a v případě pólové polohy
jsou všechny roviny poledníků kolmé k zobrazovací rovině, a proto mezi nimi zůstanou
zachovány úhly. Všechny poledníky budou procházet obrazy zemských pólů, které splynou
s obrazem středu promítání O .
Protože rovnoběžky jsou kružnice ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou se středy
na přímce OP, zobrazí se podle věty 2.10 opět na kružnice se středem v bodě O = P .
Výjimku tvoří rovník, který se zobrazí na nevlastní přímku. Poloměr kružnice, která je
průmětem rovnoběžky rϕ, zjistíme sklopením roviny některého poledníku do pomocné
kružnice g o poloměru R, jak je vidět na obrázku 2.13.
Obrázek 2.13: Gnómonická projekce v pólové poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
2.5.3 Gnómonická projekce v rovníkové poloze
V rovníkové poloze je tečným bodem kulové plochy bod P(0,λp), který leží na rovníkové
kružnici. Rovník a poledník pλp
leží v na sebe kolmých rovinách, které jsou kolmé i
na průmětnu, a tak se zobrazí na vzájemně kolmé přímky protínající se v bodě P = O .
Zemské póly PS a PJ leží ve středové rovině, a zobrazí se proto na nevlastní body určené
směrem kolmým k obrazu rovníku r0. Poledníky se opět podle věty 2.14 zobrazí na přímky,
a protože musí procházet obrazy pólů PS a PJ, zobrazí se na rovnoběžné přímky kolmé
k obrazu rovníku. Přesnou polohu poledníků lze zjistit nalezením obrazů jejich průsečíků
s rovníkem. Tyto body najdeme promítnutím roviny rovníku do průmětny, což prakticky
opět provedeme sklopením rovníku do pomocné kružnice gp (jak je vidět na obrázku 2.14).
Podle věty 2.15 se jednotlivé rovnoběžky zobrazí na hyperboly, jejichž společnou
vedlejší osou je přímka r0 a jejichž společným středem je bod P = O . Rovnoběžka rϕ
protíná středovou rovinu ve dvou bodech Aϕ a Bϕ, které se zobrazí na nevlastní body Aϕ a
Bϕ, jejichž spojnice se středem O musí určovat asymptoty hyperboly rϕ. Protože přímky
AϕO a BϕO svírají s rovinou rovníku úhel ϕ a jsou rovnoběžné se svými průměty AϕO a
BϕO , budou svírat stejný úhel ϕ i s obrazem rovníku r0. Vrcholy hyperboly najdeme opět
promítnutím jejich průsečíků s poledníkem pλp
rovinou tohoto poledníku, kterou sklopíme
do průmětny. Poledník se pak sklopí do pomocné kružnice gr, jak je vidět na obrázku 2.14.
Obrázek 2.14: Gnómonická projekce v rovníkové poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
2.5.4 Gnómonická projekce v obecné poloze
Bodem dotyku kulové plochy a promítací roviny je při obecné poloze obecný bod P(ϕp,λp).
S využitím pomocné kružnice g o poloměru R promítneme ve sklopené rovině poledníku
pλp
na jeho přímkový obraz zemské póly PS a PJ a také průsečík Rλp
tohoto poledníku
s rovníkem. Obraz rovníku bude kolmý k přímce pλp
v bodě Rλp
.
Všechny poledníky se zobrazí na přímky procházející obrazem zemských pólů. Pro
přesné určení poledníků najdeme průměty jejich průsečíků s rovníkem. Vzdálenost těchto
průmětů od bodu Rλp
zjistíme, když proložíme kulovou plochu rovinou rovníku, který si
opět zakreslíme jako pomocnou kružnici r. Ta musí mít od obrazu rovníku r0 vzdálenost
zjištěnou v konstrukci z prvního odstavce. Průmět průsečíku poledníku pλ s rovníkem
promítneme v této rovině pomocí úhlu λ − λp, který daný poledník svírá s poledníkem
pλp
.
Rovnoběžky se podle věty 2.15 zobrazí na některou z kuželoseček. Všechny kuželosečky
budou mít stejnou hlavní osu (v případě paraboly jedinou osu), a to přímku pλp
.
Rovnoběžky, které neprotínají středovou rovinu (tedy rovnoběžky se zeměpisnou šířkou
|ϕe| > π
2 −ϕp, se zobrazí na elipsy, jejichž hlavní vrcholy najdeme jako průměty průsečíků
dané rovnoběžky s poledníky pλp
a pλp+π pomocí poledníku sklopeného do kružnice g.
Po určení polohy hlavních vrcholů už můžeme najít střed a vedlejší osu. Délku vedlejší osy
elipsy rϕe
zjistíme promítnutím průsečíku této rovnoběžky s poledníkem pλp+π
2
do roviny
kolmé k zemské ose, která obsahuje střed elipsy (délka vedlejší poloosy je na obrázku
2.15 zobrazena čárkovaně oranžovou barvou). Na základě zjištěné délky vedlejších poloos
najdeme polohu zbývajících vrcholů a elipsa rϕe
je jednoznačně určena.
Rovnoběžky p±π
2 −ϕp
mají se středovou rovinou společný jediný bod, který se zobrazí
na nevlastní bod, a obě rovnoběžky se pak zobrazí na shodnou parabolu. Její vrchol
sestrojíme stejně jako vrcholy elips (viz výše). Další bod paraboly najdeme například jako
průmět průsečíku zobrazované rovnoběžky s poledníkem pπ
2 +ϕp
. Protože už známe osu,
vrchol a bod ležící na parabole, můžeme ji sestrojit tzv. příčkovou konstrukcí paraboly5.
Zbývající rovnoběžky, tedy ty, které jsou určené zeměpisnou šířkou |ϕh| < π
2 −ϕp, se
zobrazí na hyperboly. Jejich vrcholy a středy sestrojíme stejně jako vrcholy a středy elips
a parabol výše. Průsečíky rovnoběžky rϕh
se středovou rovinou se zobrazí na nevlastní
body a určují tedy směr asymptot. Protože tyto směry svírají s poledníkem pλp
úhel α
(viz obrázek 2.15), budou tento úhel svírat i asymptoty s přímkou pλp
. S narýsovanými
asymptotami a vrcholy už je možné hledanou hyperbolu rϕh
sestrojit.
Obrázek 2.15: Gnómonická projekce v obecné poloze (červeně je konstrukce rovnoběžek
a modře konstrukce poledníků)
5postup při příčkové konstrukci praboly je uveden například zde: http://www.karlin.mff.cuni.cz/
katedry/kdm/diplomky/vera.setmanukova.dp/?page=konstrukceP&pkonstrukce=1
Kapitola 3
Řešené příklady
Poznatky ohledně geometrických azimutálních projekcí uvedené v kapitole 2 by nyní měl
čtenář být schopný využít k řešení několika příkladů uvedených v příloze této práce. Práce
však neobsahuje jen zadání příkladů, ale v této kapitole jsou uvedena i jejich jednotlivá
řešení.
Většina příkladů využívá konstrukcí, které jsou podrobně popsány v kapitole 2. Jedná
se o sestrojování obrazů rovnoběžek, poledníků a ortodrom ve zkoumaných projekcích.
Zároveň je ale uvedeno i několik dalších příkladů, například zjišťování, o jaké zobrazení se
jedná, což souvisí s využitím získaných znalostí z oblasti kartografie při analýze neznámých
map.
Některé příklady jsou přímo zakreslovány do map a k některým je alespoň uvedena
velmi jednoduchá mapa obsahující řešení, aby byl výsledek názornější. V řešeních je
opět použita červená barva pro konstrukci rovnoběžek a modrá pro konstrukci poledníků
(některé části konstrukce jsou samozřejmě využívány pro oboje, i když jsou zakresleny jen
jednou barvou). U příkladů, kde se nejedná o zobrazování poledníků a rovnoběžek, jsou
všechny konstrukce zakreslovány modře a výsledek červeně.
– 32 –
Příklad 1
Zadání: Sestrojte obraz rovnoběžky r35◦ v ortografické, stereografické i gnómonické projekci,
jestliže máte zadanou kružnici g o poloměru R.
Řešení: Popis potřebných konstrukcí pro řešení tohoto příkladu je uveden v částech 2.3.2,
2.4.3 a 2.5.2.
Příklad 2
Zadání: V ortografické projekci s bodem dotyku P(−30◦,−45◦) sestrojte obraz rovnoběžky
r−20◦ a poledníku p25◦ na zadané kružnici g o poloměru R.
Řešeni: Postup řešení, podle kterého se u tohoto příkladu postupuje, je popsaný v části
2.3.4.
Příklad 3
Zadání: Ve stereografické projekci s bodem dotyku v Torontu (40◦,−80◦) sestrojte na
mapě obraz rovnoběžky r65◦ a poledníku r−140◦, jestliže máte zadanou kružnici g o poloměru
R.
Řešení: Tento příklad se řeší podle konstrukce uvedené v části 2.4.5.
Příklad 4
Zadání: V gnómonické projekci s bodem dotyku ve Lhase (30◦,90◦) sestrojte na mapě
Asie obraz rovnoběžky a poledníku procházejících Pekingem (40◦,115◦), jestliže máte
zadanou kružnici g o poloměru R.
Řešení: K řešení dojdeme podle konstrukce uvedené v části 2.5.4.
Mapy s územím zobrazovaným v příkladech 2–4
Mapa z příkladu 2 (Ortografická projekce pro P = (30◦,90◦))
Mapa z příkladu 3 (Stereografická projekce pro P = (40◦,−80◦))
Mapa z příkladu 4 (Gnómonická projekce pro P = (30◦,90◦))
Příklad 5
Zadání: Na mapě, která je v ortografické projekci, sestrojte obraz ortodromy spojující
města Lagos a Kábul, která na ní máte vyznačena i s obrysovou kružnicí g.
Řešení: K řešení dojdeme pomocí konstrukce popsané v části 2.3.5
Příklad 6
Zadání: Na mapě, která je ve stereografické projekci, narýsujte obraz ortodromy spojující
Kapské město a Adelaide, přičemž tato dvě města v ní máte vyznačena i s obrysovou
kružnicí g.
Řešení: K řešení dojdeme pomocí konstrukce popsané v části 2.4.6
Příklad 7
Zadání: textbfZadání: V gnómonické projekci s bodem dotyku v bodě P(110◦,0◦) sestrojte
poledníky procházející městy Sydney a Bombaj a narýsujte jejich zeměpisnou délku. Dále
sestrojte obraz ortodromy mezi těmito městy.
Řešení: Konstrukce poledníků, stejně jako zjištění jejich zeměpisné délky, probíhá na
stejném principu jako konstrukce popsaná v 2.5.3. Podle naměřených úhlů zjistíme, že
Sydney leží zhruba na poledníku 151◦ a Bombaj má zeměpisnou délku asi 73◦. Ortodroma
se v gnómonické projekci zobrazuje na úsečku, proto stačí daná města spojit úsečkou (v
řešení vyznačeno červeně).
Příklad 8
Zadání: Z níže zobrazené mapy se zeměpisnou sítí zjistěte, jakým typem geometrické
azimutální projekce je zobrazena a také jaké jsou souřadnice bodu dotyku zemské plochy
s tečnou rovinou.
Řešení: O jaké zobrazení se jedná, je možné zjistit na základě toho, jak je na mapě
zobrazena síť poledníků a rovnoběžek. Na této mapě vidíme jediný poledník zobrazený
na přímku, proto můžeme vyloučit, že by se jednalo o gnómonickou projekci nebo jinou
projekci v pólové poloze. Rovník také není zobrazen na přímku, a tak je jasné, že se
nejedná ani o rovníkovou polohu zobrazení. Mezi ortografickou a stereografickou projekcí
můžeme rozhodnout tak, že se podíváme, jestli jsou zobrazené poledníky a rovnoběžky
částmi kružnic, nebo elips. Nebo také podle toho, zda projekce zachovává úhly, což vidíme
(minimálně v horní části mapy je to dobře vidět), že pravda není, protože všechny poledníky
a rovnoběžky by spolu tím pádem měly svírat pravý úhel.
Jedná se tedy o ortografickou projekci v obecné poloze, kde bod dotyku leží někde
na poledníku p−60◦. Bohužel není k dispozici krajní část mapy, kde by byla vidět obrysová
kružnice a ze které bychom střed mapy zjistili snadno. Díky tomu, že ale máme na
mapě obrazy některých celých rovnoběžek, můžeme s pomocí vrcholů najít jejich ohniska
(vedlejší vrcholy určíme jako průsečíky elipsy s obrazem poledníku p−60◦, pomocí nich
určíme střed a obdobným způsobem hlavní vrcholy). Pak nejlépe z polohy ohnisek E,F
elipsy ABCD, která je obrazem rovnoběžky r70◦ určíme střed jimi procházející kružnice,
která zároveň prochází obrazem jižního pólu PJ. Její střed je pak podle věty 2.7 shodný se
středem obrysové kružnice, a jedná se tedy o hledaný bod dotyku.
Příklad 9
Zadání: Z níže zobrazené mapy se zeměpisnou sítí zjistěte, jakým typem geometrické
azimutální projekce je zobrazena a také jaké jsou souřadnice bodu dotyku zemské plochy
s tečnou rovinou.
Řešení: Ze zobrazené zeměpisné sítě na mapě vidíme, že rovník je zobrazený na přímku a z
poledníků není přímkově vykreslený žádný, i když můžeme předpokládat, že na přímku se
zobrazí také některý poledník mezi 40◦ a 50◦ zeměpisné délky, který je obklopený opačně
prohnutými poledníkovými obrazy. O gnómonickou projekci se jistě nejedná, protože
poledníky jsou zobrazeny jako prohnuté křivky, proto je zřejmé, že mapa bude sestrojena
některou projekcí v rovníkové poloze. Protože v ortografické by opět vzdálenosti mezi
rovnoběžkami musely směrem od rovníku narůstat, jedná se v tomto případě o projekci
stereografickou. Bod dotyku se bude nacházet na rovníku mezi poledníky p40◦ a p50◦,
nejspíše na poledníku p45◦. Tuto domněnku potvrdí fakt, že jsou obrazy ostatních poledníků
podle jeho obrazu osově souměrné. Řešení neobsahuje žádnou konstrukci a proto zde ani
není uvedeno.
Příklad 10
Zadání: Z níže zobrazené mapy se zeměpisnou sítí zjistěte, jakým typem geometrické
azimutální projekce je zobrazena a také jaké jsou souřadnice bodu dotyku zemské plochy
s tečnou rovinou.
Řešení: Na zkoumané mapě vidíme, že se všechny poledníky zobrazily na přímky, což
znamená buď, že se jedná o gnómonickou projekci, nebo o kteroukoliv v pólové poloze.
Jednoduchou konstrukcí např. pro obraz rovnoběžky r70◦ si ověříme, že obrazy rovnoběžek
tvoří soustavu soustředných kružnic a proto se jedná o některou projekci v pólové poloze,
s bodem dotyku v obrazu severního pólu. Že se nejedná o ortogonální projekci je jasné z
toho, že na mapě se rozestupy mezi rovnoběžkami směrem od pólu zvětšují,zatímco v ortografické
projekci je tomu naopak. Mezi gnómonickou a stereografickou projekcí můžeme
rozhodnout tím, že zjistíme, jestli průsečíky rovnoběžek s určitým poledníkem jsou promítány
pod stejným úhlem, který svírají s rovinou rovníku – pak by se jednalo o gnómonickou
projekci. Tuto skutečnost jsme také dokázaly tím, že promítací paprsky vedené z obrazů
zmíněných průsečíků pod stejným úhlem, jaká je zeměpisná šířka rovnoběžek se protínají
v jednom bodě (viz obrázek níže).
Závěr
Matematická kartografie je jedním z oborů, kde najde své uplatnění jinak často pouze
teoretická geometrie a matematika. Právě proto byla tato práce zaměřena na použití těchto
teoretických znalostí při geometrických azimutálních projekcích. V první kapitole byly uvedeny
základní pojmy se kterými se matematická kartografie setkává, včetně nejdůležitějších
charakteristik a dělení kartografických zobrazení podle toho, jak jsou udávána odbornými
kartografy.
Druhá kapitola už se zaměřila na samotné geometrické azimutální projekce a popisují
se v ní jak jejich vztahy s obecně definovanými geometrickými zobrazeními, tak jejich
charakteristické vlastnosti. Na základě těchto vlastností je pak pro každou projekci uveden
postup konstrukce obrazů jejích rovnoběžek a poledníků a také geodetických čar. Ty určují
nejkratší spojnici dvou míst na mapě a tak je výhodné jejich konstrukci znát pro zvolení co
nejkratší trasy na zemském povrchu.
Jak je možné využít znalosti z prvních dvou kapitol ukazuje poslední část práce, která
řeší několik konstrukčních příkladů zaměřených na geometrické azimutální projekce. Samotná
zadání příkladů jsou také uvedena na volných listech v příloze této práce. Příkladů v
této práci není velké množství, ale zato byly vytvořeny příklady různorodé a pokud možno
zajímavé, aby demonstrovaly praktické využití matematické kartografie.
Jak teoretická, tak praktická část této práce by se dala ještě rozšířit o další zajímavé vlastnosti
zkoumaných projekcí, a příkladů, které by jich využívaly, ale z důvodu rozumného
rozsahu už nejsou dál rozebírány. Myslím, že by moje práce mohla sloužit jako doplňkový
učební materiál kartografům zajímajících se o matematickou kartografii, případně
zájemcům o tento obor z řad studentů matematických oborů.
– 45 –
Seznam použité literatury
[1] FINDA, Jaromír. Kartografická zobrazení [online]. 2006 [cit. 2014-05-29]. Diplomová
práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Josef
Janyška. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/52064/prif_m/
[2] HOJOVEC, V. a kol. Kartografie, Praha: Geodetický a kartografický podnik, 1987.
[3] KRAEMER, E. Promítání rovnoběžné, 1. vyd. Praha: SPN, 1991. 460 s.
[4] PISKA, R., MEDEK, V. Deskriptivní geometrie 1, 2. vyd. Praha: SNTL, 1972. 429 s.
[5] SRNKA, E. Matematická kartografie, Brno: VAAZ, 1986.
[6] TALHOFER, V. Základy matematické kartografie, Brno: UO, 2007. ISBN
978-80-7231-297-9.
[7] URBAN, A. Deskriptivní gemetrie, Praha: Státní nakladatelství technické literatury,
1965. 365 s.
– 46 –