Příklad 2.1. Nechť X : Ω → {1, 2, 3}a Y : Ω → {−1, 0, 2} jsou
náhodné veličiny a sdružená pravděpodobnostní funkce je dána
tabulkou:
y = −1 y = 0 y = 2 fX
x = 1 1
18
3
18
2
18
6
18
x = 2 2
18 0 3
18
5
18
x = 3 0 4
18
3
18
7
18
fY
3
18
7
18
8
18
18
18
Jsou X a Y nezávislé?
Zřejmě ne, v tom případě by řádky tabulky musely být násobkem
jeden druhého.
Vypočteme kovarianci těchto dvou náhodných veličin. Máme
XY : Ω → {−1, 0, −2, −3, 2, 4, 6} .
Dále
E(X) =
6
18
+
10
18
+
21
18
=
37
18
, E(Y ) =
13
18
a
E(XY ) = −1
1
18
+ 2
2
18
− 2
2
18
+ 4
3
18
+ 6
3
18
=
29
18
Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné očekávání
Připoměňme definici podmíněné pravděpodobnosti pro jevy,
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
.
Ve finančních modelech je obvykle pravděpodobnost podmíněná
informací, kterou máme v danou chvíli. Formálně to zachycuje
následující definice.
Definice 2.2. Podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné
veličiny Y za podmínky X = x, kterou budeme označovat
fY |X (. | x), je definována jako
fY |X (y | x) = P(Y = y | X = x),
pro každé x takové, že P(X = x) > 0.
Z definice máme
P(Y = y | X = x) =
P(Y = y ∧ X = x)
P(X = x)
=
fX,Y (x, y)
fX (x)
,
tedy
fY |X (y | x) =
fX,Y (x, y)
fX (x)
,
což je analogický vztah jako platí pro podmíněné pravděpodobnosti
jevů.
V předchozím příkladu máme pro x = 1
fY |X (y | 1) ∼
1
6
,
3
6
,
2
6
=
fX,Y
fX
.
Víme-li, že X = x, pak Y má novou pravděpodobnostní funkci
fY |X (y | x) jakožto funkci y (x je pevné).
Očekávání vůči této funkci je podmíněné očekávání Y za
podmínky X = x, které označíme Ψ(x) = E(Y | X = x).
Definice 2.3. Funkce (tj. náhodná veličina)
Ψ(x) = E(Y | X = x)
se nazývá podmíněné očekávání Y při znalosti X.
V minulém příkladu je:
Ψ(1) =
1
6
(−1) +
3
6
0 +
2
6
2 =
1
2
,
Ψ(2) =
−2
5
+
6
5
=
4
5
a Ψ(3) = 6
7.
Věta 2.4. (O celkovém očekávání). Pro podmíněné očekávání
Ψ(x) = E(Y | X = x) platí
E(Ψ(x)) = E(Y ),
tedy
E(Y ) = E(E(Y |X)).
Důkaz:
Střední hodnotu náhodné veličiny E(Y |X) vypočítáme jako
E E(Y |X) =
x
E(Y |X = x) · fX (x) =
=
x y
y · fY |X (y|x) · fX (x) =
=
y
y
x
fY |X (y|x) · fX (x) =
=
y
y · fY (y) = E(Y )
(1)
Součty náhodných veličin
Lemma 2.5. Nechť X a Y jsou dvě náhodné veličiny na (Ω, A,P)
a f (x, y) je jejich sdružená pravděpodobnostní funkce. Pak pro
jejich součet Z = X + Y platí
P(X + Y = z) =
x
f (x, z − x).
Důkaz: Máme
{X + Y = z} =
x
({X = x ∧ Y = z − x})
tedy
P(X +Y = z) =
x
P({X = x}∧{Y = z − x}) =
x
f (x, z −x).
Pokud X, Y jsou navíc nezávislé, pak
fX,Y (x, z − x) = fX (x)fY (z − x),
tedy
fX+Y (z) =
x
fX (x)fY (z − x),
což je konvoluce funkcí fX a fY . Označuje se fX fY .
Náhodná procházka
Jednoduchá náhodná procházka
Jednoduchá náhodná procházka je základem diskrétních modelů pro
pohyb cen aktiv. Je to “diskrétní verze” Brownova pohybu.
Uvažujme následující hru:
Hází se opakovaně mincí (ne nutně férovou).
Padne-li hlava (H), získáme 1 Kč. Padne-li orel (O), prohrajeme 1
Kč.
Označme S0 sumu, kterou máme na začátku
Sn sumu, kterou máme po n hrách.
Je tedy
Sn = S0 +
n
i=1
Xi ,
kde Xi je náhodná veličina popisující výsledek i-té hry.
Předpokládáme, že pravděpodobnostní funkce Xi je
P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = 1 − p = q
pro všechna i a navíc Xi jsou nezávislé.
Xi jsou tedy analogií Bernoulliho náhodné veličiny, kde místo
hodnot {1, 0} máme {1, −1} .
Pro každé pevné n je Sn náhodná veličina, tedy {Sn}∞
n=0 je
stochastický proces.
Definice 2.6. Stochastický proces {Sn}∞
n=0 se nazývá
jednoduchá náhodná procházka. Je-li p = q = 1
2, nazývá se
symetrická jednoduchá náhodná procházka.
Někdy je vhodnější uvažovat jinou interpretaci
– náhodný pohyb částice po přímce:
V každém kroku t = 0, 1, 2, ... se částice posune buď o 1 doprava s
pravděpodobností p, nebo o 1 doleva s pravděpodobností q = 1 − p.
Grafické znázornění jednoduché náhodné procházky:
Body o souřadnicích (n, Sn) spojíme úsečkami.
Vzniklá lomená čára se nazývá trajektorie (cesta) náhodné
procházky.
Trajektorie je grafické znázornění realizace náhodného procesu
{Sn}∞
n=0.
Varianty náhodné procházky:
– jiné rozdělení Xi (např. normální)
– hodnoty Xi ne v R, ale v Rd (vícerozměrná náhodná procházka).
Základní vlastnosti náhodné procházky
Lemma 2.7. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově
homogenní, tedy platí
P(Sn = j | S0 = a) = P(Sn = j + b | S0 = a + b).
Důkaz: Obě strany rovnosti jsou rovny
P(
n
i=1
Xi = j − a).
Podobně je náhodná procházka homogenní i v čase.
Lemma 2.8. Jednoduchá náhodná procházka je časově
homogenní, neboli platí
P(Sn = j | S0 = a) = P(Sn+m = j | Sm = a).
Důkaz: Levá strana je rovna
P(
n
i=1
Xi = j − a),
pravá strana je rovna
P(
n+m
i=m+1
Xi = j − a).
Rovnost tedy plyne z nezávislosti a stejného rozdělení Xi .
Lemma 2.9. Jednoduchá náhodná procházka má Markovovu
vlastnost, tedy
P(Sm+n = j | S0, S1, ..., Sm) = P(Sm+n = j | Sm).
Důkaz: Známe-li hodnotu Sm, pak rozdělení pravděpodobnosti
Sn+m závisí jen na krocích Xm+1, Xm+2, ..., Xm+n, tedy je
nezávislé na S0, S1, ..., Sm−1.
Markovovu vlastnost lze intuitivně popsat slovy: “náhodná
procházka nemá paměť ”, “minulost ovlivňuje budoucnost jen skrze
současnost”.
Základní techniky pro počítání s náhodnou procházkou
Budeme se věnovat základním technikám počítání s náhodnou
procházkou:
– podmínění 1. krokem
– počítání trajektorií
– generující funkci
Technika podmínění 1. krokem
Příklad 2.10. (zruinování hráče): Uvažujme předchozí hru s
férovou mincí (p = 1
2 ).
Padne-li hlava (H), hráč získá 1 Kč, padne-li orel (O), hráč prohraje
1 Kč.
Nechť S0 = k je jeho počáteční jmění.
Hráč si chce koupit auto v ceně N.
Bude hrát tak dlouho, dokud Sn = N (koupí auto) nebo Sn = 0
(bankrot).
Jaká je pravděpodobnost, že hráč zbankrotuje?
Uvažujme jevy:
A ... hráč nakonec zbankrotuje;
H ... první hod je hlava (P(H) = p);
O ... první hod je orel (P(O) = q).
Podle věty o úplné pravděpodobnosti platí
P(A) = P(H)P(A | H) + P(O)P(A | O).
Označme Pk(A) hledanou pravděpodobnost bankrotu pro dané
počáteční jmění k, tedy
Pk(A) = P(H)Pk(A | H) + P(O)Pk(A | O).
Pk(A | H) je ale pravděpodobnost bankrotu v situaci, kdy hráč po
1. kroku má k + 1 (a hra začíná z hlediska pravděpodobnosti
znovu, z nezávislosti Xi ).
Tedy
Pk(A | H) = Pk+1(A)
a podobně
Pk(A | O) = Pk−1(A).
Označme pk = Pk(A).
Dosazením dostaneme pro p = 1
2
pk = ppk+1 + qpk−1 =
1
2
pk+1 +
1
2
pk−1,
což je diferenční rovnice 2. řádu.
Máme
1
2
(pk+1 − pk) =
1
2
(pk − pk−1),
tedy přírůstky pravděpodobnosti jsou konstantní.
Označme přírůstky b = pk − pk−1, tedy pk = p0 + kb.
Okrajové podmínky pro diferenční rovnici jsou:
p0 = 1 (okamžitý bankrot)
pN = 0 (okamžitá koupě auta)
Odtud dostaneme
1 + Nb = 0, tedy b = − 1
N a
pk = 1 −
k
N
.
Domácí úkol: Vyřešte úlohu ruinování hráče pro p = 1
2 .
Návod: musíme vyřešit uvedenou diferenční rovnici. Analogicky jako
pro diferenciální rovnice 2. řádu hledáme řešení ve tvaru
exponenciály
pk = θk
Dosazením do rovnice dostaneme kvadratickou rovnici pro θ.
Obecné řešeni je pak tvaru Aθk
1 + Bθk
2 . Konstanty A a B určíme
opět z okrajových podmínek.