Diskrétní modely ve finanční matematice – Budeme se věnovat 1-krokovým a vícekrokovým diskrétním modelům finančního trhu. – Vícekrokový (binomický) model je založen na náhodné procházce. 1-krokový model Uvažujeme jednu pevně zvolenou akcii, a předpokládejme, že – v čase t = 0 je cena akcie S0 známá hodnota, – v čase t = 1 je cena akcie S1 náhodná veličina (neznámá) Hodnota S1(ω) je funkcí tržního scénáře ω ∈ Ω, kde Ω = {ω1, ..., ωk} je prostor tržních scénářů Dále předpokládejme, že existuje bezrizikové aktivum, jehož hodnota – v čase t = 0 je rovna 1 – v čase t = 1 je rovna er za všech tržních scénářů. Hodnota r se nazývá bezriziková úroková míra. Předpokládáme, že úroková míra je stejná jak pro půjčování, tak pro ukládání peněz. Příklad 8.1. Forwardová smlouva (uzavřená v čase t = 0) je následující závazný kontrakt: – V čase t = 1 koupí X od Y jednu akcii za cenu F. Za uzavření smlouvy se neplatí. – Jaká je “správná” cena F? Věta 8.2. Jestliže neexistuje arbitráž, pak jediná možná cena ve forwardové smlouvě je F = S0er . Arbitráží je míněna možnost jak si bez rizika zajistit zisk “z ničeho”. Přesnou definici si uvedeme za chvilku. Důkaz: Dokážeme, že jak F > S0er , tak F < S0er vede k arbitráži. 1) Nechť F > S0er (výhodné pro Y ). Uvažujme následující strategii: t = 0 ... Y si vypůjčí v bance S0, koupí akcii a uzavře forwardovou smlouvu na prodej akcie. t = 1 ... Y prodá akcii za F, do banky vrátí S0er . Zůstane mu bezrizikový zisk F − S0er > 0, strategie tedy dává arbitráž. 2) Nechť F < S0er (výhodné pro X) Uvažujme teď tuto strategii: t = 0 ... X prodá akcii na krátko (tedy vypůjčí si akcii – tzv. short-selling) za S0, uloží výnos do banky a uzavře forwardovou smlouvu na koupi akcie. t = 1 ... X dostane z banky S0er , koupí akcii za F a vrátí ji (tj. uzavře krátkou pozici). Zůstane mu S0er − F > 0, tj. bezrizikový zisk. Opět je to arbitráž. Tedy pokud neexistuje arbitráž, pak F = S0er . Příklad 8.3. Evropská call opce dává držiteli právo koupit akcii v čase t = 1 za cenu K (tzv. realizační cena opce). Kupec opce zaplatí v čase t = 0 za toto právo prodejci cenu V0. Jaká je férová cena V0? V čase t = 0 neznáme S1. Držitel opce ji v čase t = 1 uplatní, je-li K < S1 (jinak koupí akcii levněji na trhu). Tedy hodnota v čase t = 1 je V1 = (S1 − K)+ = S1 − K pokud S1 > K 0 pokud S1 ≤ K . Jaká je hodnota V0? Předpokládejme, že existují dva možné tržní scénáře (ω1, ω2) a nechť pro t = 1 máme S1(ω1) = d1 a S1(ω2) = d2 Chceme určit V0, za předpokladů – d1 < K < d2 – d1 ≤ S0er ≤ d2 Uvažujme portfolio (x1, x2, x3) ∈ R3, kde x1 je počet aktiv peněžního trhu (bezrizikových), x2 je počet akcií a x3 počet opcí. Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře ω1 je y1 = x1er + x2d1 + 0x3 Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře ω2 je y2 = x1er + x2d2 + (d2 − K)x3 Zobrazení T : (x1, x2, x3) → (y1, y2) je lineární zobrazení z R3 → R2, které má nenulové jádro dimenze 1. Tedy pro portfolio (0, 0, 1) existuje jednoznačné portfolio (x1, x2, 0), které má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v obou scénářích (tzv. replikující portfolio). Hodnoty x1 a x2 najdeme řešením rovnic x1er + x2d1 = 0 pro V1 (ω1) a x1er + x2d2 = d2 − K pro V1 (ω2). Řešením dostaneme: x1 = −d1e−r (d2 − K) d2 − d1 a x2 = d2 − K d2 − d1 . Portfolio (x1, x2, 0) má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v každém scénáři. Musí mít tedy stejnou hodnotu i v čase t = 0 (jinak by existovala arbitráž). Tedy V0 = −e−r d1(d2 − K) d2 − d1 1+ d2 − K d2 − d1 S0 = (d2−K) er S0 − d1 d2 − d1 e−r +0 = e−r V1 (ω2) p + V1 (ω1) (1 − p) , kde V1 (ω1) = 0, e−r je diskontní faktor a p = er S0 − d1 d2 − d1 se nazývá “tržní” (risk-neutrální, rovnovážná) pravděpodobnost scénáře ω2. Tedy V0 je diskontované očekávání hodnoty opce v čase t = 1 vzhledem k tržní pravděpodobnostní míře. Základní věta APT APT označuje arbitrážní teorii oceňování (Arbitrage Pricing Theory). Uvažujme trh s K aktivy A1, ..., AK volně obchodovatelnými, kde A1 je bezrizikové aktivum. Cena podílu aktiva Aj v čase t = 0 je Sj 0 (známá hodnota). Dále máme tržní scénáře Ω = {ω1, ..., ωN}. Předpokládejme, že A1 je bezrizikové, tj. S1 1 (ωj ) = er pro všechna j = 1, ..., N, kde r je úroková míra. Sj 1 (ωi ) bude označovat hodnotu aktiva Aj v čase t = 1 za scénáře ωi . Jsou to tedy náhodné veličiny, tedy funkce na prostoru scénářů Ω. Celkem dostáváme matici N × K s prvky Sj 1 (ωi ). Definice 8.4. Portfolio je vektor Θ = (θ1, θ2, ..., θK ) ∈ RK , kde θj je počet podílů aktiva Aj v portfoliu. Pro θj < 0 je majitel v krátké pozici v aktivu Aj (o velikosti | θj |). V čase t = 0 je hodnota Θ rovna V0 (Θ) = K j=1 θj Sj 0. Pro t = 1 závisí hodnota Θ na ωi , V1 (Θ, ωi ) = K j=1 θj Sj 1 (ωi ) . Definice 8.5. Arbitráž je portfolio, které “získává peníze z ničeho”, tj. formálně buď V0 (Θ) ≤ 0 a V1 (Θ, ωj ) > 0 pro všechna ωj ∈ Ω, nebo V0 (Θ) < 0 a V1 (Θ, ωj ) ≥ 0 pro všechna ωj ∈ Ω. Definice 8.6. Pravděpodobnostní míra πi = π(ωi ) na množině Ω všech scénářů je rovnovážná pravděpodobnostní míra (neboli risk-neutrální míra), – jestliže pro všechna Aj je hodnota podílu v čase t = 0 rovna diskontovanému očekávání vzhledem k pravděpodobnostní míře π hodnoty podílu v čase t = 1. – Tedy Sj 0 = e−r N i=1 π(ωi )Sj 1(ωi ) pro všechna j = 1, ..., K, kde e−r je diskontní faktor. Věta 8.7. (Základní věta APT): Rovnovážná pravěpodobnostní míra existuje právě tehdy, když neexistuje arbitráž.