Definice 10.1. Arbitráž je portfolio, které “získává peníze z ničeho”, tj. formálně buď V0 (Θ) ≤ 0 a V1 (Θ, ωj ) > 0 pro všechna ωj ∈ Ω, nebo V0 (Θ) < 0 a V1 (Θ, ωj ) ≥ 0 pro všechna ωj ∈ Ω. Definice 10.2. Pravděpodobnostní míra πi = π(ωi ) na množině Ω všech scénářů je rovnovážná pravděpodobnostní míra (neboli risk-neutrální míra), – jestliže pro všechna Aj je hodnota podílu v čase t = 0 rovna diskontovanému očekávání vzhledem k pravděpodobnostní míře π hodnoty podílu v čase t = 1. – Tedy Sj 0 = e−r N i=1 π(ωi )Sj 1(ωi ) pro všechna j = 1, ..., K, kde e−r je diskontní faktor. Věta 10.3. (Základní věta APT): Rovnovážná pravěpodobnostní míra existuje právě tehdy, když neexistuje arbitráž. Důkaz: Implikace ⇐ je snadná. Jestliže existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra π a Θ je portfolio, jehož hodnota v čase t = 1 je ≥ 0 za všech scénářů, pak V0(Θ) = e−r N i=1 π(ωi )V1(Θ, ωi ) ≥ 0, odkud plyne že Θ není arbitráž (a arbitráž tedy neexistuje). Nyní chceme dokázat opačnou implikaci: Neexistuje-li arbitráž, pak existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra taková, že Sj 0 = e−r N i=1 π(ωi )Sj 1(ωi ). Pro j = 1 platí tento vztah automaticky, 1 = S1 0 = e−r N i=1 π(ωi )er = e−r N i=1 π(ωi )S1 1 (ωi ). Uvažujme nyní 2 ≤ j ≤ K. Označme ε množinu všech vektorů tvaru y = (y2, ..., yK ), kde yj = e−r N i=1 π(ωi )Sj 1(ωi ) pro všechna j = 2, 3, ..., K, pro nějakou pravděpodobnostní míru π. ε ⊆ RK−1 je uzavřený konvexní polyedr. Je konvexním obalem svých extrémních bodů, které odpovídají pravděpodobnostem π (ωi ) = 1, π (ωj ) = 0 pro j = i. Chceme dokázat, že neexistuje-li arbitráž, pak S = S2 0 , ..., SK 0 ∈ ε. Jinak řečeno, pokud S /∈ ε, pak existuje arbitráž. Využijeme větu o oddělující nadrovině. Věta 10.4. (Věta o oddělující nadrovině:) Nechť F ⊆ Rn je uzavřená konvexní množina a x /∈ F. Pak existuje v ∈ Rn tak, že v · x < v · y pro všechna y ∈ F, kde · je skalární součin. Důkaz: Nechť a je nejbližší bod v F k bodu x, pak vektor a − x má hledané vlastnosti. Podle této věty máme S /∈ ε ⇒ ∃Θ = (θ2, ..., θK ) = 0 tak, že pro všechna y ∈ ε platí: y · Θ > S · Θ . ε obsahuje extrémní body, tedy pro všechna i platí: e−r K j=2 θj · Sj 1(ωi ) > K j=2 θj · Sj 0. Levou stranu nerovnosti označme Ci , pravou stranu D. Ukážeme, že existuje arbitráž. Zvolme θ1 tak aby Ci > θ1 > D pro všechna i. Pak portfolio (−θ1, θ2, ..., θK ) je arbitráž. Jeho hodnota v čase t = 0 je −θ1 + D < 0 a hodnota v čase t = 1 je −θ1 + Ci > 0 pro všechna ωi . Uvažujeme evropskou call opci, jejíž výplatní funkce je V1 = (S1 − K)+. Dále S1(ωi ) = di pro i = 1, 2 a d1 < d2. Pokud neexistuje arbitráž, pak existuje π taková, že cena akcie v t = 0 je diskontované očekávání S0 = e−r · (π(ω1) · d1 + π(ω2) · d2) , a navíc víme, že π(ω1) + π(ω2) = 1. Speciálně tedy platí d1 < S0er < d2 (v předchozím to byl předpoklad, teď to platí automaticky). Dostaneme π(ω1) = d2 − S0er d2 − d1 a π(ω2) = S0er − d1 d2 − d1 . Je-li opce volně obchodovatelná, a má-li zůstat trh bez arbitráže, musí totéž platit i pro opci, tedy pro r = 0: V0 = π(ω2)(d2−K)+π(ω1)0 = π(ω2)(d2−K) = S0er − d1 d2 − d1 (d2−K). Jištění (Hedging) Uvažujme aktiva A1, A2, ..., AK , B. Nechť Sj t (ωi ) a SB t (ωi ) jsou ceny Aj , resp. B, v čase t a scénáři ωi , kde t = 0, 1. Definice 10.5. Portfolio Θ = (θ1, θ2, ..., θK ) je replikující portfolio pro B, jestliže SB 1 (ωi ) = K j=1 θj Sj 1(ωi ) pro všechna i = 1, ..., N. Věta 10.6. Nechť Θ = (θ1, θ2, ..., θK ) je replikující portfolio pro B. Neexistuje-li arbitráž, pak v čase t = 0 platí: SB 0 = K j=1 θj Sj 0. Důkaz: Nechť tvrzení neplatí. Je-li SB 0 > K j=1 θj Sj 0, pak portfolio (−1, θ1, θ2, ..., θK ) v aktivech B, A1, A2, ..., AK je arbitráž, protože K j=1 θj Sj 0 − SB 0 < 0 a SB 1 (ωi ) − K j=1 θj Sj 1(ωi ) = 0 pro všechna ωi ∈ Ω. Analogicky, pro SB 0 < K j=1 θj Sj 0 vezmeme opačné portfolio. Trh se dvěma periodami Uvažujme jedno bezrizikové aktivum a 1 rizikovou akcii. Tržní scénáře jsou nyní Ω = {(++) , (+−) , (−+) , (−−)} . Předpokládejme, že S1(+) = uS0 S1(−) = dS0 S2(++) = uS1(+) = u2S0 S2(+−) = dS1(+) = udS0 S2(−+) = uS1(−) = duS0 S2(−−) = dS1(−) = d2S0 ( u ... up, d ... down) Máme tři částečné trhy. V každém uděláme stejný výpočet jako v jednokrokovém modelu. Dostaneme rovnovážné pravděpodobnosti (pro jednoduchost předpokládejme, že r = 0) pu = 1 − d u − d (S0 se vykrátí) a pd = u − 1 u − d . Celkem rovnovážná pravděpodobnostní míra bude: P(++) = p2 u, P(−−) = p2 d , P(+−) = P(−+) = pupd . Vícekrokový model s T kroky Množina všech možných scénářů je v tomto případě Ω = {(+, +, +, ..., +) , (+, +, ..., +, −) , ..., (−, −, ..., −)} . Má 2T prvků, je tedy 2T možných scénářů. Pro scénář ω ∈ Ω je jeho rovnovážná pravděpodobnost P(ω) = pK u pT−K d , kde K je počet + ve scénáři ω. Chceme-li ocenit opci, její cena bude diskontované očekávání její hodnoty v čase T VT = (ST − K)+ vůči rovnovážné pravděpodobnostní míře. Uvažujme r = 0. Nechť m je nejmenší přirozené číslo takové, že S0umdT−m > K. Máme tedy V0 = T n=m pn upT−n d T n S0un dT−n − K = T n=m (1 − d)n (u − 1)T−n (u − d)T T n S0un dT−n − K , kde T n je počet trajektorií s celkem n plusy. Poznámka. Položíme-li d = 1 u , pak v limitě pro T → ∞ a u = e σ√ T dostaneme Black-Scholesův spojitý model pro oceňování opcí. σ je parametr nazývaný volatilita. Model který jsme uvažovali se také často nazývá binomický. Jeho autory jsou Cox, Ross a Rubinstein.