Oceňování finančních derivátů Martin Kolář Stochastické modely pro vývoj úrokových měr - modely, které se používají pro modelování pohybu úrokových měr. - první takový model zavedl Oldřich Vašíček, americký matematik českého původu (ČVUT, MFF UK, KMV) Vašíčkův model Vašíčkův model předpokládá, že okamžitá úroková míra se vyvíjí podle stochastické diferenciální rovnice drt = a(b - rt) dt + a dWt kde Wt je Wienerův proces, rt je hodnota okamžité úrokové míry v čase ŕ a a, 6, a jsou parametry modelu. Tato rovnice má vlastnost mean reversion -Ornstein-Uhlenbeckův proces. Úroková míra má tendenci se vracet k dlouhodobé průměrné hodnotě, popsané parametrem b. Parametr a měří intenzitu (rychlost) této tendence. Parametr a pak popisuje okamžitou volatilitu tohoto procesu. Význam jednotlivých parametrů modelu ilustruje také dlouhodobé chování procesu. V limitě platí lim E(rŕ) = b t—>-oo a2 lim Var(rt) = 0 Hodnota (T2 2a tedy hraje roli jakési dlouhodobé volatility. Vašíčkův model je prvním modelem který zachycuje vlastnost návratu k průměru. Nevýhoda - navzdory vlastnosti mean reversion dovoluje hodnotám okamžité úrokové míry nabývat záporné hodnoty. Tuto nevýhodu odstraňuje CIR model. Model CIR Tento model zavedli Cox, Ingersoll a Ross. Rovnice má v tomto případě tvar drt = a(b - rt) dt + a^7t dWt s analogickým významem parametrů jako ve Vašíčkově modelu Koeficient driftu opět způsobuje mean reversion. Koeficient voaltility o-s/h ale zabraňuje hodnotám rt dostat se do záporných hodnot. Pokud hodnota úrokové míry klesne na nulu, pak je volatilita nulová, a rovnice se stává deterministickou s kladným driftem. Úroková míra se tedy s jistotou vrátí do kladných hodnot. Pro tento model je možném spočítat explicitně pravděpodobnostní rozdělení budoucích hodnot úrokové míry. Model Hulla a Whitea Jednofaktorový model Hulla a Whitea dovoluje závislost parametrů na čase. Rovnice má tvar drt = [0(t) + a{t)rt] dt + adW(t) Řešením rovnice můžeme odvodit pravděpodobnostní rozdělení pro rt - normální rozdělení se střední hodnotou e-«V(0) + -(l-e-at) a a rozptylem 2a (1 - e~2at). Další používaný je Ho a Lee model. Tento model předpokládá, že vývoj úrokové míry je popsán stochastickou diferenciální rovnicí drt = 6t dt + adWt. Tento model nemá mean reversion, ani mechanismus jak zabránit záporným hodnotám úrokové míry. Je ale možné jej volbou funkce 6 nakalibrovat tak, aby souhlasil se současnou výnosovou krivkou. Americké opce Budeme zabývat americkými opcemi a jejich oceňováním. Jak již víme, s americkou call opcí bez dividendy je situace jednoduchá. Její hodnota je rovna hodnotě příslušné evropské call opce. Můžeme k jejímu ocenění použít Black-Scholesův vzorec. Na druhé straně, pro oceňování amerických put opcí, a také call opcí na akcie vyplácející dividendy, neexistuje žádná analytická teorie. Proto se k oceňování těchto opcí používají numerické metody. Připomeňme, že americká kupní opce je kontrakt který dává majiteli právo koupit podkladové aktivum kdykoliv v časovém intervalu [0, 7"] za realizační cenu K, kde T je čas expirace opce. Označme VAC resp. VEC hodnotu americké, resp. evropské call opce, a analogicky pro put opce. Zrejme platí VAC{S, t) > VEC{5, t) (1) a stejně tak pro put opci. Navíc cena americké call opce musí splňovat VAC(S,t) > max(St- K,0). (2) Opravdu, jinak by existovala zrejmá arbitráž : koupíme opci a okamžitěji uplatníme. To dá zisk St — K, celkem pak máme St — K — VAC > 0. Graf ceny americké call opce tedy nikdy neprotne graf výplatn funkce opce. Na druhé straně, ukážeme že pro evropskou put opci i pro call s dividendou graf ceny protne graf výplatní funkce. Pro evropskou put opci (bez dividendy) máme VEP(S, 0) = Ke-rTN(-d2) - SN(-dľ) (3) tedy VEP(0,0) = Ke~rT < K = K-S. (4) Podobně pro evropskou call opci na akcii s dividendovou mírou d máme VEC(S, 0) = Se-^Nidí) - Ke-rTN{d2). (5) Tedy wEC lim -— = e~dT < 1 (6) a tedy VEC(S,0)> K. Hodnota americké put opce je tedy větší než hodnota příslušné evropské opce a totéž platí pro call opci s dividendou. Ocenění amerických opcí Pro ocenění americké put opce, případně call opce s dividendou musíme vedle hodnoty řešení VAC najít také funkc Su(t) která popisuje hranici předčasného uplatnění. Ta má následující vlastnosti: — Je-li S < Su(t) pak VAC(S, t) > max(S - K, 0) a opci budeme dále držet. Pro malou změnu času platí stejný jistící argument jako pro evropskou opci. Tedy v oblasti 0 < t < TaS< Su(t) platí Black-Scholesova rovnice. — Je-li S > Su(t), pak VAC(S, t) = max(S - K, 0) a opci uplatníme Matematická formulace vypadá následovně: Chceme najít funkci \/^c(S, t) společně s funkcí Su(t) popisující hranici předčasného uplatnění, tak, aby platilo Funkce V = VAC(S, t) splňuje Black-Scholesovu diferenciální rovnici. dV a2d2V , ^BV t/ n na časově proměnné oblasti 0 < ŕ < T a S < Su(t) splněny koncové podmínky pro call opci V(S, T) = max(ST - K,0) □ S1 jsou splněny okrajové podmínky pro americkou call opci V(0, t) = 0 (10) V(Su(t),t) = Su(t)-K (11) dV -Qš(Su{t),t) = l (12) V další části si ukážeme jak tuto úlohu řešit numericky.