Oceňování finančních derivátů
Martin Kolář
Lineární komplementarita pro americké opce
Pro americkou call a put opci platí pare. dif. nerovnost
dV    a2d2V    , 17 „
pro všechna S e (0, oc) a t G (0, 7).
Pro ověření tohoto tvrzení uvažujme americký call s dividendami. Víme, že pro 0 < S < Su(t) platí Black-Scholesova rovnice, tedy nastává rovnost.
Je-li naopak S > 5u(t) pak
V{S, t) = max(S -K,0) = S-K
nebot Su(t) > K. Dosazením funkce S — K do levé strany Black-Scholesovy rovnice dostaneme
(r - cf)S - r(S - K) = rK-dS <rK- dSu{t) < 0,
nebot platí
S„(t) > Kmax(^l)
Tedy hodnota americké call opce splňuje následující úlohu lineární komplementarity
dv   a2d2v   .    ^av n
--1---- + (r-d)S--rV < 0 (5)
dt     2 dS2    y      ) dS        - y '
\/(S, f) > max(S - K,0) (6)
{^+Y^+{r~d)S%~rV){V{S' f)-max(S-K,0)) = 0
(7)
pro S G (0, oo) a ŕ <G (0, 7).
Analogie - problém překážky
- elastická struna je upevněná v bodech >4, B.
- prochází okolo konvexní překážky
- nevíme, kde se má dotknout překážky, jen to, že musí ležet nad překážkou
- musí mít zápornou nebo nulovou křivost
musí být spojitá
derivace musí být spojitá
Problém vede na úlohu o lineární komplementaritě
překážka je popsána funkcí g
u"(u-g) = 0,     -u">0,\ u-g>0.
navíc
il(-l) = £1(1) = 0
Vhodný tvar pro numerické řešení.
□ i5P
Řešení úlohy o lineární komplementaritě
Máme dánu matici A a vektory bag.
Chceme řešit úlohu o lin. komplementaritě v diskrétním tvaru
Au>b,       u>g (8)
{Au-b){u-g) = 0, (9)
kde všechny tri vztahy jsou chápány po složkách.
Necht A je tridiagonální a diagonálně dominantní matice, tedy platí
pro každé /, kde ol\ jsou hodnoty na hlavní diagonále a /3;,7; hodnoty na vedlejších diagonálách. Projektovaná SOR metoda
V každém jednotlivém kroku prejdeme od vektoru aproximace ď k up+1 tak aby platilo
<*i > I/?/1 + 7/
(10)
(n)
Pak se ukáže že limita těchto aproximací je řešení úlohy.
Definujeme posloupnost aproximací řešení úlohy vztahy
u° = C, = max( T„up + c^g), (12)
kde maximum opět bereme po složkách. Platí
Věta: Pokud posloupnost up konverguje k u, pak u je řešením úlohy.
Označme
F(u) = max(7^u + cu,g). (13)
□        S - = -E     O Q, O
Zrejme F je nelineárni zobrazení. Nicméně důkaz toho že je to kontrakce se redukuje na overení stejné vlastnosti pro lineární operátor T.
F je kontrakce pokud 11 11 < 1, tedy pokud T samo o sobě je kontrakce.
Numerické metody pro americké opce
Chceme řešit úlohu lineární komplementarity
,du d2u.. /xx (_-_)(H(x,t)-í(x,t))
d u    d2 u
u{x: t) - g{x: t)) > 0
pro všechna x G R, 0 < t < T.
Funkce g(x, ŕ) je transformovaná výplata příslušného typu opce.
Provedeme diskretizaci jako v případě evropských opcí. Pro příslušné aproximace funkcí u a g označíme uJ a gj hodnoty na časové vrstvě ŕ/, tedy
ui = (ui_N+v...,uiN_1)eR2N-1 (17)
Opět zvolíme N tak velké, abychom mohli v krajních bodech aproximovat řešení pomocí okrajových podmínek, jako u evropských opcí. Můžeme vzít
d_N = g{x-N, tj),      dN = g(xN, tj) (18)
protože pro velké hodnoty x je okrajová podmínka přibližně rovna příslušné počáteční podmínce.
Pak diskrétní verze úlohy o lineární komplementaritě má vektorový tvar
A^1 > uf + tí, > gJ+1,     j = 0,..., m - 1
{Aui+1-b)i{ui+1-gJ+1)i = 0,
pro všechna / = !,..., 2/V — 1
Matice A je stejná jako u implicitní metody pro evropské opce, tedy tridiagonální matice tvaru
/ 1 + 27 7
7      I + 27 7
A =
\
V
7
•    • •
•    • •
7
7    I + 27/
(21)
/ 7£(x_/\,, ty+i) \ 0
b> =
0
(22)
Řešení najdeme opět pomocí projektované SOR metody.