Utváření moderního a budoucího světa aneb jak mluvit o matematice Petr Liška Masarykova univerzita v Brně Letní škola Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 1/64 Mně matematika nikdy nešla a nebavila mě. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 2/64 Typický pohled O Matematika je neužitečná! Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 3/64 Typický pohled O Matematika je neužitečná! O Matematika je suchý a logický predmet bez jakéhokoliv lidského obsahu. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 3/64 Typický pohled O Matematika je neužitečná! O Matematika je suchý a logický předmět bez jakéhokoliv lidského obsahu. 0 Matematikové jsou šílení. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice □ S> - = 1 >0°nO 07.09.2021 3/64 Kdo je kdo? Kdo je kdo? James Clark Maxwell 1831-1879 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 5/64 Kdo je kdo? Florence Nightingale 1820-1910 medicínská statistika, grafická reprezentace dat Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 6/64 Podstata problému Skutečným problémem (aplikované) matematiky je, že je jako vzduch, který dýchame. Je životně důležitá pro všechno, co děláme, aleje neviditelná a lehko ignorovatelná. — Chris Budd Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 7/64 Podstata problému Skutečným problémem (aplikované) matematiky je, že je jako vzduch, který dýchame. Je životně důležitá pro všechno, co děláme, aleje neviditelná a lehko ignorovatelná. — Chris Budd Většina matematických koncepcí nevychází z každodenních jevů, ale ze starších matematických koncepcí. Takže jediný způsob, jak novým myšlenkám porozumět, je pochopit dlouhou řadu předcházejících abstrakcí. Keith Devlin Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 7/64 Jak může matematika zachránit život? Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 8/64 Zobrazovací metody v lékařství Hodně chytrý (rozuměj matematicky) ultrazvuk Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 10/64 SONO, CAT, PET, MRI, FMRI...WTF? O Zdroj je venku ► Ultrazvuk (lékařská ultrasonografie) ► CAT (Computerised axial tomography) - rentgenové záření O Zdroj je uvnitř ► PET (Positron emission tomography) - radiofarmakum - rozpad - zachycení záření ► MRI (Magnetic resonance imaging) - silné magnetické pole - spin -uvolnění energie Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 11/64 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 12/64 tuky - 1 jednotka, svaly - 2 jednotky kosti - 3 jednotky 5___ 6 4 6 3 6 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 14/64 5 6 4 6 3 6 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 1 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 15/64 Griddler a Killer Sudoku tiidw .nonoarants. i-i 18 15 41 25 10 16 15 10 6 13 11 ____ T 24 II 13 t 14 14 39 11 14 14 17 16 20 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 16/64 Johann Radon (1887-1956) Každý dvourozměrný objekt může být jednoznačně zrekonstruován pomocí nekonečné množiny hodnot integrálu podle všech přímek. -1917 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 17/64 CT vyšetrení alias počítačová tomografie 1963 - Allan McLeod Cormack -první článek o principu CT 1971 - první přístroj pro vyšetření v nemocnicích (Sir Godfrey Hounsfield) 1979 - společná Nobelova cena za lékařství Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 18/64 Jeden paprsek dl (s) = -A(s)I(s) ds I intenzita záření A absorpční koeficient s vzdálenost I(sz) = h I(sk) = h ■s" dl (s) fSk . v ' 1 A(s)ds 1(8) S z I ľSk ln 4- = / A(s) ds I k s z Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice Víc paprsků O hodně víc paprsků Rovnoběžné paprsky a nová geometrie y k (x (s) j y (s)) = (g cos cp — s sirup, gsmcp + scoscp) < □ ► < [S? ► 4 = > 4 > š ^)Q,0 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 22/64 Přepsaná rovnice a Radonová transformace ln4 = i k j A(g cos (p — s sin cp, g sin p + s cos p) ds J s* Radonová transformace Pro funkci f (g, (p) definovanou na M? s kompaktním nosičem je Radonová transformace definována pro g G K. a p £ (0, 2tt] jako /oo /(# cos cp — s sin £> sin

0, P(£i) > 0,..., P(Bn) > 0, pak P{Bk\A) = P(A n B k) P(A\Bk)P(Bk) P(A) Y2=iP(A\Bí)P(Bí) /C - 1 j • • • j K\i • Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 28/64 Ještě jednou a pořádně Komerční test na celiakii v obchodech Senzitivita testu je 96,3%. Specifita testu je 89,7%. Počet celiaků v naší populaci je zhruba 1 %. Jestliže je u mě test pozitivní, jaká je pravděpodobnost, že trpím celiakii? Bayes v akci P(+|C) = 0,96 P(-\C) = 0,04 P(+\N) = 0,1 P(-\N)= 0,9 P(C\+) = P(+\C)P(C) P(+\C)P(C) + P(+\N)P(N) 0,96 • 0,01 0,96-0,01 + 0,1-0,99 = 0,088, Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 29/64 Co když se test opakuje? počet testů 0 1 2 3 4 5 pravděpodobnost nemoci 0,01 0,09 0,48 0,91 0,99 1,00 Pro uklidnění P(N\-) = P(-\N)P(N) P(-\N)P(N) + P(-\C)P(C) 0,9 • 0,99 0,9 • 0,99 + 0,04 • 0,01 = 0,99955 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 30/64 Struma vs. Hashimoto vs. rakovina štítne žlázy Procento positivních odpovědí Nemoc 1 2 3 4 5 6 7 8 Struma 30 20 50 70 40 80 10 60 Hashimoto 70 30 90 80 20 40 90 50 Rakovina 60 80 40 20 60 70 50 10 Výsledky testů Test 1 2 3 4 5 6 7 8 Výsledek — + + + — + — + P(A\l-) = P(B\1~) = win = ) = p(r ■\A)P(A) P(l- ■L4)P(A) + P(1- ■\B)P(B) + P(l- -\C)P(C) ) = P(l" -\B)P(B) P(l- ■\A)P(A) + P(l- \B)P(B)+P(1- -\C)P(C) ) = p(r -\C)P(C) P(l- ■\A)P(A) + P(l- \B)P(B) + P(1- -\C)P(C) Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 31/64 Struma vs. Hashimoto vs. rakovina štítne žlázy Podmíněné pravděpodobnosti po provedení testů 1 2 3 4 5 6 7 8 struma 0,50 0,26 0,25 0,35 0,32 0,46 0,79 0,90 Hashimoto 0,21 0,16 0,29 0,46 0,57 0,40 0,08 0,07 rakovina 0,29 0,58 0,46 0,19 0,11 0,14 0,13 0,03 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 32/64 Struma vs. Hashimoto vs. rakovina štítne žlázy Podmíněné pravděpodobnosti po provedení testů 1 2 3 4 5 6 7 8 struma 0,50 0,26 0,25 0,35 0,32 0,46 0,79 0,90 Hashimoto 0,21 0,16 0,29 0,46 0,57 0,40 0,08 0,07 rakovina 0,29 0,58 0,46 0,19 0,11 0,14 0,13 0,03 Špatná zpráva - na začátku jsme vybrali pacienta, který určitě má Hashimotovu nemoc. O Který test se má provést nejdřív? O Má se pořadí testů měnit již podle známých výsledků dřívějších testů? O Když je každý test jinak drahý, v jakém pořadí se mají provést? Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 32/64 Podivná geometrie Helge von Koch, 1904 4 n o n — 3 a j - I —y oo 3 2a2v^3 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 33/64 Wactaw Sierpiňski, 1916 S n — * O Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 34/64 Geometrie popisující přírodu Fraktály a dimenze Intuitivní definice dimenze (pokrývači) Řekneme, že objekt má dimenzi d, jestliže k jeho pokrytí čtverci (krychlemi) jejichž stranu zmenšíme n-krát potřebujeme nd více čtverců (krychlí). Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 36/64 Fraktály a dimenze Intuitivní definice dimenze (pokrývači) Řekneme, že objekt má dimenzi d, jestliže k jeho pokrytí čtverci (krychlemi) jejichž stranu zmenšíme n-krát potřebujeme nd více čtverců (krychlí). Homotetická definice dimenze Objekt má dimenzi d = In N ln± r 1 ' kde N je počet částí z kterých se objekt skládá a které vzniknou pomocí stejnolehlosti s koeficientem r z původního objektu. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 36/64 Fraktály a dimenze Intuitivní definice dimenze (pokrývači) Řekneme, že objekt má dimenzi d, jestliže k jeho pokrytí čtverci (krychlemi) jejichž stranu zmenšíme n-krát potřebujeme nd více čtverců (krychlí). Homotetická definice dimenze Objekt má dimenzi d = In N ln± r 1 ' kde N je počet částí z kterých se objekt skládá a které vzniknou pomocí stejnolehlosti s koeficientem r z původního objektu. dxoch = ln 4 1,26 dsierpinski ln8 1,89 ln3 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 36/64 Matematika ve filmu Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 37/64 První celovečerní počítačem animovaný film 1995 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 38/64 NURBS m + 1 kontrolních bodů Pí a jejich váhy wí, stupeň n křivky a uzlový vektor t = (£0,či, • • •, Wm+i) http://nurbscalculator.in/ C(t) = kde l te[ti,ti+1) 0 jinak + U+n+l ~ t Nn x ^ Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 And Oscar goes to. Dělení plochy Edwin Catmull Tony DeRose Jos Sta m https : //www.khanacad.emy. org/partner-content/pixar/ modeling-character/modeling-subdivision/p/ interactive-split-and-average Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 41/64 Catmull-Clark - základní algoritmus O Pro každou stěnu přidej stěnový bod, který je průměrem jejích vrcholů. O Pro každou hranu přidej hranový bod, který je průměrem jejích krajních bodů a sousedících stěnových bodů Q Každý původní vrchol P přesuň do bodu F + 2R + (n - 3)P n kde F je průměr všech n stěnových bodů, které jsou ve stěnách sousedících s P, a R je průměr středů všech původních hran vycházejících z P O Každý stěnový bod se spojí s hranovým bodem, ten se spojí s novým vrcholem a sousedním hranovým bodem a zpět do stěnového bodu Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 42/64 A teď v praxi https://www.khanacademy.org/partner-content/pixar/ modeling-character/modeling-subdivision/p/ interactive-subdivision-in-3d Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 43/64 Ale co pohyb? Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 44/64 Ale co pohyb? Velká myšlenka Změna souřadnic jednotlivých bodů změní obrázek! Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 44/64 Ale co pohyb? Velká myšlenka Změna souřadnic jednotlivých bodů změní obrázek! Posunutí X' = X + u * i—i > < 44/6' Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 Rotace x y' cos cp sin cp srn cp cos cp Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 46/64 Komplexní čísla a kvaterniony Rotace jako násobení komplexních čísel x1 + iy' — (cos cp + i sin cp) • (x + iy) Kvaterniony alias q = a + bi + cj + dk ij = -ji = k jk = — k j = i ki = —ik = j i2 = j2 — k2 — ijk = — 1 — Sir William Rowan Hamilton, 16.11.1843 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 47/64 Rotace ve 3D Bod X = [x,y,z] otáčíme kolem osy procházející počátkem a bodem o souřadnicích [a, 6, c] o úhel cp do bodu X' — [x' ,y' ,z'\. u = xi + y j + zk v = x'i + y' j + z'k Pak platí kde v = qi • u • [0, oo), tzv. váhová funkce, a číslo q, tzv. kvóta, tak, že A E V y^]w(v) > q. < □ ► < [S? ► 4 = k 4 > -š -o °s o Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 53/64 Vážený hlasovací systém Definice Hlasovací systém (V, V) se nazýva vážený hlasovací systém, jestliže existuje funkce w: V —> [0, oo), tzv. váhová funkce, a číslo q, tzv. kvóta, tak, že A E V y^]w(v) > q. Rada EHS (1957-1973) Země Hlasy Belgie 2 Franice 4 Itálie 4 Lucembursko 1 Německo 4 Nizozemí 2 Kvóta byla 12. Jaká je sila jednotlivých zemí? Je tu něco podezřelého? Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 53/64 Rozhodující voliči Definice Nechť (V, V) je hlasovací systém, A c V je koalice a v £ V volič. ■v • Řekneme, že v je rozhodující pro vítězství koalice A, jestliže v A, A V a A U {v} e V. V+(v) := {A C V | w g A, A g V, A U {v} e V} • Řekneme, že v je rozhodující pro porážku koalice A, jestliže v E A, A e V a A\ {v} £ V. Zr (u) := {A c V\v e A, A e V, A \ {v} g V} • Řekneme, že v je rozhodující pro koalici A, jestliže je rozhodující pro vítězství nebo porážku koalice A. V (v) := V+ U £>~ Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 54/64 Penrose-Banzhafova síla a index voliče Definice (Penrose 1946, Banzhaf 1965) Nechť (V, V) je hlasovací systém, N = |V| a v € V. Penrose-Banzhafovu sílu voliče v definujeme jako P B (v) = V(v)\ \V+{v)\ \V~(v) 2N 2^-! Funkci NPB: V —>• [0,1] definovanou jako 2N-i NPB(v) := P B (v) nazveme Penrose-Banzhafovým indexem voliče v. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 55/64 Rada EHS (1957-1973) Země Hlasy PB NPB Belgie 2 3 16 3 21 Franice 4 5 16 5 21 Itálie 4 5 16 5 21 Lucembursko 1 0 0 Německo 4 5 16 5 21 Nizozemí 2 3 16 3 21 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 56/64 Rada EHS (1957-1973) Země Hlasy PB NPB Belgie 2 3 16 3 21 Franice 4 5 16 5 21 Itálie 4 5 16 5 21 Lucembursko 1 0 0 Německo 4 5 16 5 21 Nizozemí 2 3 16 3 21 Věta Nechť (V, V) je hlasovací systém s N voliči, kde každý má váhu 1, a s pravidlem prosté většiny. Pak Penrose-Banzhafova síla je nezávislá na konkrétním voliči a platí PB{v) = 1 pro N -> oo, S1 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 56/64 Lokální príklad Poslanecká sněmovna ČR (současnost) Strana ANO ODS Piráti SPD ČSSD KSČM KDU-ČSL TOP 09 STAN Váha 78 25 22 22 15 15 10 7 6 PB 0,898 0,102 0,094 0,094 0,063 0,063 0,055 0,039 0,023 NPB 0,628 0,071 0,066 0,066 0,044 0,044 0,038 0,027 0,016 Existuje celkem 512 koalic, vítězných je 252. Vypočteno pomocí Indices of Power, dostupné na http://www.tbraeuninger.de. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 57/64 Rada Evropské unie - Co je více fér? Smlouva z Nice (2007-2013) DE FR UK IT ES PL RO NL BE EL CZ PT HU SE 29 29 29 29 27 27 14 13 12 12 12 12 12 10 AT BG DK Fl SK IE HR LT SI LV EE CY LU MT 10 10 7 7 7 7 7 7 4 4 4 4 4 3 Návrh projde, jsou-li splněny tři podmínky: O Koalici tvoří nadpoloviční většina států. O Součet vah států v koalici je alespoň 260 (tj. cca 74%) O Státy reprezentují alespoň 62% obyvatel EU. Návrh projde, jsou-li splněny dvě podmínky: O Koalici tvoří alespoň 55% států (tj. alespoň 16 (15) států) O Státy reprezentují alespoň 65% obyvatel EU. nebo ho podpoří 25 z 28 (27) států. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 58/64 Co je více fér? Země Popu Nice Lisa Brex Země Popu Nice Lisa Brex Německo 15,9 7,6 10,2 11,9 Rakousko 1,7 3 2,6 2,7 Francie 13 7,6 8,4 9,9 Bulharsko 1,4 3 2,5 2,5 UK 12,7 7,6 8,3 - Dánsko 1,1 2,1 2,3 2,3 Itálie 12 7,6 7,9 9,2 Finsko 1,1 2,1 2,3 2,3 Španělsko 9,2 7,2 6,2 7,7 Slovensko 1,1 2,1 2,3 2,3 Polsko 7,5 7,2 5,1 6,6 Irsko 0,9 2,1 2,2 2,2 Rumunsko 3,9 4,2 3,8 4,4 Chorvatsko 0,8 2,1 2,2 2,2 Nizozemí 3,3 3,9 3,5 3,7 Lotyšsko 0,6 2,1 2 2,0 Belgie 2,2 3,6 2,9 3 Slovinsko 0,4 1,2 2 1,9 Řecko 2,2 3,6 2,9 3 Litva 0,4 1,2 2 1,9 Česko 2,1 3,6 2,8 2,9 Estonsko 0,3 1,2 1,9 1,8 Portugalsko 2,1 3,6 2,8 2,9 Kypr 0,2 1,2 1,8 1,8 Maďarsko 1,9 3,6 2,8 2,9 Lucembursko 0,1 1,2 1,8 1,7 Švédsko 1,9 3 2,7 2,8 Malta 0,1 0,9 1,8 1,7 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice r5> 07.09.2021 59/64 Dvoustupňový hlasovací systém Definice Nechť (Si,«Si), . .., (Sm,«Sm) jsou hlasovací systémy a nechť m S := (J S, i=i Dále nechť (C, C), kde C = {ci,..., cm} je také hlasovací systém Pro koalici A C S definujeme $(A) = {ci\AnSieSi} S = {A c S | g C} . Potom (S, S) se nazývá dvoustupňový hlasovací systém. Jsou-li navíc množiny po dvou disjunktní a Si jsou většinové hlasovací systémy, pak se (S, S) nazývá jednoduchý dvoustupňový hlasovací systém. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 60/64 Necht (S, S) je jednoduchý dvoustupňový hlasovací systém skládající se z (Si,5i), ..., (Sm,5m) a (C,C), kde C = {ci,... ,cm}. Necht Ni = |S, Jestliže PBi je Penrose-Banzhafova síla q v (C,C), potom Penrose-Banzhafova síla libovolného voliče v g v (S, S) je PB(v) = P B k pro iV, min —^ OC. /c Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 61/64 Necht (S, S) je jednoduchý dvoustupňový hlasovací systém skládající se z (Si,5i), ..., (Sm,5m) a (C,C), kde C = {ci,... ,cm}. Necht Ni = |S, Jestliže PBi je Penrose-Banzhafova síla q v (C,C), potom Penrose-Banzhafova síla libovolného voliče v G v (S, S) je P B k pro iV, min —^ OC. /c Penroseův zákon druhé odmocniny Penrose-Banzhafova síla PB(v) v systému (S, S) voliče v G je nezávislá na k právě tehdy, když Penrose-Banzhafova síla zástupce cí je Cy/Ni pro všechna i a nějakou konstantu C. Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 61/64 Oba nejsou fér! Země PRSE Nice Lisa Země PRSE Nice Lisa Německo 9,1 -16,5 12,2 Rakousko 3 0 -11,3 Francie 8,2 -7,3 2,5 Bulharsko 2,7 11,1 -8,6 UK 8,1 -6,2 1,6 Dánsko 2,4 -12,5 -3,2 Itálie 7,9 -3,8 0 Finsko 2,4 -12,5 -2,6 Španělsko 6,9 4,3 -9,8 Slovensko 2,4 -12,5 -2,1 Polsko 6,2 16,1 -18,5 Irsko 2,2 -3,2 2,2 Rumunsko 4,5 -6,7 -15,9 Chorvatsko 2,1 0 4,6 Nizozemí 4,2 -7,1 -16,4 Lotyšsko 1,7 23,5 12,3 Belgie 3,4 5,9 -14,6 Slovinsko 1,5 -20 40,9 Řecko 3,3 9,1 -14,3 Litva 1,4 -14,3 36,7 ■v Česko 3,3 9,1 -14 Estonsko 1,2 0 61,9 Portugalsko 3,3 9,1 -15,6 Kypr 0,9 33,3 95,5 Maďarsko 3,2 12,5 -11,5 Lucembursko 0,8 50 140 Švédsko 3,1 -3,2 -13 Malta 0,7 28,6 170,8 Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 62/64 O čem by se dalo ještě „snadno" mluvit? o perspektiva a filmové triky • lineární rovnice (a matice a vlastní čísla) aneb PageRank • cestování a teorie grafů • prvočísla a šifrování • teorie her aneb jak přežít • teorie uzlů, tj. proč se sluchátka zamotají? 9 matematika žonglování • optimální řešení v medicíně • big data • komprese a komunikace • ... Zajímavé odkazy Celkem normální http://blog.kleinproj ect.org/ https://plus.maths.org/ http://www.whydomath.org/ https://www.gresham.ac.uk/attend/ http://www.numberphile.com/ https://www.khanacademy.org/partner-content/pixar A pro odvážné http://www.maths-in-industry.org/miis/view/subjects/ subjects.html http://graphics.pixar.com/library/ Petr Liška (Masarykova univerzita v Brně) Jak mluvit o matematice 07.09.2021 64/64