Matematická analýza 1 Posloupnosti Petr Liška Masarykova univerzita 29.11.2021 Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 1 / 8 Posloupnost a její vlastnosti Definice Posloupnost je zobrazení a: N → R, jehož hodnoty značmíme a(n) nebo an. Hodnotu an nazýváme n-tý člen posloupnosti a celou posloupnost pak zapisujeme {an}∞ n=1 nebo {an}. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 2 / 8 Posloupnost a její vlastnosti Definice Posloupnost je zobrazení a: N → R, jehož hodnoty značmíme a(n) nebo an. Hodnotu an nazýváme n-tý člen posloupnosti a celou posloupnost pak zapisujeme {an}∞ n=1 nebo {an}. Posloupnost {an} se nazývá rostoucí, jestliže an < an+1 pro každé n ∈ N; klesající, jestliže an > an+1 pro každé n ∈ N; nerostoucí, jestliže an ≥ an+1 pro každé n ∈ N; neklesající, jestliže an ≤ an+1 pro každé n ∈ N; shora ohraničená, jestliže existuje U ∈ R takové, že an ≤ U pro každé n ∈ N; zdola ohraničená, jestliže existuje L ∈ R takové, že an ≥ U pro každé n ∈ N; ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 2 / 8 Limita posloupnosti Definice Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí |an − a| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim n→∞ an = A, případně an → A pro n → ∞. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞, jestliže ke každému A ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že an > A. Značíme lim n→∞ an = +∞. Podobně definujeme lim n→∞ an = −∞. Pokud má posloupnost {an} limitu +∞ nebo −∞, říkáme, že posloupnost diverguje. Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 3 / 8 „Bonusové“ vlastnosti limit Věta Nechť jsou dány posloupnosti {an}, {bn} a existuje n0 tak, že pro každé n ≥ n0 je an ≥ bn. Pak platí 1. Jestliže lim n→∞ an = +∞, pak i lim n→∞ bn = +∞. 1. Jestliže lim n→∞ bn = −∞, pak i lim n→∞ an = −∞. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 4 / 8 „Bonusové“ vlastnosti limit Věta Nechť jsou dány posloupnosti {an}, {bn} a existuje n0 tak, že pro každé n ≥ n0 je an ≥ bn. Pak platí 1. Jestliže lim n→∞ an = +∞, pak i lim n→∞ bn = +∞. 1. Jestliže lim n→∞ bn = −∞, pak i lim n→∞ an = −∞. Věta Nechť jsou dány konvergentní posloupnosti {an}, {bn} a lim n→∞ an = a, lim n→∞ bn = b. Pak platí: 1. Jestliže a < b, pak existuje n0 tak, že pro všechna n ≥ n0 platí an < bn. 2. Jestliže existuje n0 tak, že pro všechna n ≥ n0 je an ≤ bn, pak a ≤ b. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 4 / 8 „Bonusové“ vlastnosti limit Věta Každá neklesající shora ohraničená posloupnost {an} má vlastní limitu a platí lim n→∞ an = sup {a1, a2, . . . }. Každá nerostoucí zdola ohraničená posloupnost {bn} má vlastní limitu a platí lim n→∞ bn = sup {b1, b2, . . . }. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 5 / 8 „Bonusové“ vlastnosti limit Věta Každá neklesající shora ohraničená posloupnost {an} má vlastní limitu a platí lim n→∞ an = sup {a1, a2, . . . }. Každá nerostoucí zdola ohraničená posloupnost {bn} má vlastní limitu a platí lim n→∞ bn = sup {b1, b2, . . . }. Definice Limitu e: = lim n→∞ 1 + 1 n n nazýváme Eulerovo číslo. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 5 / 8 Vybraná podposloupnost Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost a nechť {nk}∞ k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost {ank }∞ k=1 se nazývá vybraná podposloupnost z posloupnosti {an}∞ n=1. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 6 / 8 Vybraná podposloupnost Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost a nechť {nk}∞ k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost {ank }∞ k=1 se nazývá vybraná podposloupnost z posloupnosti {an}∞ n=1. Věta Nechť {ank } je vybraná posloupnost z posloupnosti {an} a lim n→∞ an = a. Potom lim k→∞ ank = a. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 6 / 8 Hromadný bod posloupnosti Definice Číslo a ∈ R se nazývá hromadný bod posloupnosti {an}, jestliže pro každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n ∈ N, pro které platí, že an ∈ O(a). Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 7 / 8 Hromadný bod posloupnosti Definice Číslo a ∈ R se nazývá hromadný bod posloupnosti {an}, jestliže pro každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n ∈ N, pro které platí, že an ∈ O(a). Věta Číslo a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje vybraná podposloupnost {ank } taková, že lim k→∞ ank = a. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 7 / 8 Hromadný bod posloupnosti Definice Číslo a ∈ R se nazývá hromadný bod posloupnosti {an}, jestliže pro každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n ∈ N, pro které platí, že an ∈ O(a). Věta Číslo a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje vybraná podposloupnost {ank } taková, že lim k→∞ ank = a. Věta Každá posloupnost má nejmenší a největší hromadný bod. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 7 / 8 Hromadný bod posloupnosti Definice Číslo a ∈ R se nazývá hromadný bod posloupnosti {an}, jestliže pro každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n ∈ N, pro které platí, že an ∈ O(a). Věta Číslo a je hromadným bodem posloupnosti {an} právě tehdy, když existuje vybraná podposloupnost {ank } taková, že lim k→∞ ank = a. Věta Každá posloupnost má nejmenší a největší hromadný bod. Věta (Bolzano-Weierstrass) Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 7 / 8 Definice Nechť je dána posloupnost {an}. Pak největší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita superior a označujeme lim sup n→∞ an, nejmenší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita inferior a označujeme lim inf n→∞ an, Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 8 / 8 Definice Nechť je dána posloupnost {an}. Pak největší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita superior a označujeme lim sup n→∞ an, nejmenší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita inferior a označujeme lim inf n→∞ an, Věta Posloupnost {an} má limitu právě tehdy, když lim sup n→∞ an = lim inf n→∞ an. Všechny tři hodnoty jsou pak stejné. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 29.11.2021 8 / 8