Matematická analýza 1
Elementární funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
20.9.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 1 / 10
Nové funkce ze starých
Definice
Nechť g: D(g) → R a f : D(f) → R jsou funkce. Pak
F = (x, y) ∈ R2
: ∃u ∈ R | (x, u) ∈ g ∧ (u, y) ∈ f
se nazývá složená funkce. Píšeme F(x) = f (g(x)). Funkce g se nazývá
vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Definice
Nechť g: A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná
předpisem y = f(g(x)) se nazývá složená funkce. Funkce g se nazývá
vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 2 / 10
Definice
Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f−1, pro kterou platí, že
D(f−1) = H(f) a ke každému y ∈ D(f−1) je přiřazeno právě jedno
x ∈ D(f) takové, že f(x) = y.
Věta
Inverzní funkcí k funkci f rostoucí (klesající) na množině D(f) je rostoucí
(klesající) funkce na množině H(f).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 3 / 10
Goniometrické a cyklometrické funkce
Definice
Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod
je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru,
resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak
první souřadnici bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále definujme
tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.
cos x
sin x
tg x
cotg x
1
1
P
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 4 / 10
Definice
Inverzní funkce k funkci sin x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje
arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické
funkce.
Věta
Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.
1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x
jsou klesající.
2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 5 / 10
0 1 π
2
−1− π
2
1
π
2
−1
− π
2
x
y = arcsin x
y = sin x
0 1 π
2
π
−1
π
π
2
−1
x
y = arccos x
y = cos x
0 π
2− π
2
π
2
− π
2
y
x
y = arctg x
y = tg x
0 π
π
π
2
π
2
y
x
y = arccotg x
y = cotg x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 6 / 10
Polynom
Definice
Funkci P : R → R tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R,
nazýváme polynomem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li
an = 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu.
Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P, jestliže
P(α) = 0.
Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q
takový, že
P(x) = (x − α)k
Q(x),
a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) = 0. Číslo k ∈ N se pak nazývá
násobnost kořene α polynomu P.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 7 / 10
Věta
Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R je
polynom stupně n ≥ 0.
1. (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem
C právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho
násobnost.
2. Je-li komplexní číslo α k-násobným kořenem reálného polynomu P,
je číslo komplexně sdružené ¯α též k-násobným kořenem polynomu
P.
3. (Rozklad polynomu v oboru reálných čísel.) Jsou-li α1, . . . , αr
všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k1, . . . , kr a
(c1 ± id1), . . . , (cs ± ids) všechny navzájem různé dvojice komplexně
sdružených kořenů s násobnostmi r1, . . . , rs, platí
P(x) = an(x−α1)k1
· · · (x−αr)kr
[(x−c1)2
+d2
1]r1
· · · [(x−cs)2
+d2
s]rs
.
4. Nechť an = 1. Je-li celé číslo α kořenem polynomu P s celočíselnými
koeficienty, pak α je dělitelem čísla a0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 8 / 10
Racionální lomená funkce a parciální zlomky
Definice
Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce
R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce. Tuto funkci nazveme ryze lomenou,
platí-li st P < st Q, a neryze lomenou, platí-li st P ≥ st Q.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 9 / 10
Rozklad na parciální zlomky
Každou ryze lomenou funkci R(x) = P(x)
Q(x) lze rozložit na součet
parciálních zlomků následujícím způsobem:
a) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad
obsahuje součet k parciálních zlomků tvaru
A1
(x − α)
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ak
(x − α)k
.
b) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené k-násobné kořeny
polynomu Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomky tvaru
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
.
kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 20.9.2021 10 / 10