Matematická analýza 1
Limita funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
27.9.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 1 / 13
Exponenciální a logaritmická funkce
Definice
Buď a ∈ R, a > 0 a c ∈ R. Pro a > 1 definujme
ac
= sup {ax
: x ∈ Q, x ≤ c} .
Pro a = 1 položmě ac = 1c = 1 a pro 0 < a < 1 definujme ac = 1
a
−c
.
Definice
Buď a ∈ R, a > 0. Funkci f určenou předpisem f(x) = ax nazveme
exponenciální funkcí o základu a.
Věta
Exponenciální funkce f(x) = ax má tyto vlastnosti:
1. D(f) = R a H(f) = (0, +∞) pro a = 1, H(f) = {1} pro a = 1.
2. Funkce f je rostoucí v R pro a > 1, klesající v R pro a < 1 a
konstantní v R pro a = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 2 / 13
Definice
Buď a ∈ R, a > 0, a = 1. Funkce inverzní k funkci y = ax se nazývá
logaritmická funkce o základu a, značí se y = loga x.
Věta
Logaritmická funkce f(x) = loga x má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞), H(f) = (−∞, +∞).
2. Funkce f je rostoucí na (0, +∞) pro a > 1 a klesající na (0, +∞)
pro a < 1.
3. Pro x, y ∈ (0, +∞) a z ∈ R platí
loga(xy) = loga x+loga y, loga
x
y
= loga x−loga y, loga xz
= z loga x.
4. Pro a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a = 1, b = 1 a x ∈ (0, +∞) platí
loga x =
logb x
logb a
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 3 / 13
Mocninná funkce
Definice
Buď s ∈ R. Pro x > 0 definujeme funkci y = xs a nazýváme ji mocninnou
funkcí.
Věta
Mocninná funkce f(x) = xs má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞) a H(f) = (0, +∞) pro s = 0, H(f) = {1} pro
s = 0.
2. Funkce f je rostoucí v (0, +∞) pro s > 0, klesající v (0, +∞) pro
s < 0 a konstantní v (0, +∞) pro s = 0.
3. Platí f(x) = xs eln x s
= es ln x pro x ∈ (0, +∞).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 4 / 13
Poznámka
Je-li s ∈ Q, definujeme xs pro x < 0, právě když v základním tvaru m
n
čísla s je číslo n liché. Pak klademe xs = n
√
xm a 1
√
a = a.
x
2
2
?
=
√
x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 5 / 13
Limita funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 6 / 13
Definice limity pomocí okolí
Definice
Nechť x0, L ∈ R . Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu rovnu
číslu L a píšeme limx→x0 f(x) = L, jestliže ke každému okolí O(L)
bodu L existuje okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro x ∈ O(x0) \ {x0} platí
f(x) ∈ O(L). Píšeme limx→x0 f(x) = L.
Pomocí kvantifikátorů lze psát
∀O(L) ∃O(x0) ∀x ∈ O(x0) \ {x0}: f(x) ∈ O(L).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 7 / 13
ε–δ definice
Definice
Nechť x0, L ∈ R. Řekneme, že limx→x0 f(x) = L, jestliže
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R: 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε.
Definice
Řekneme, že limx→+∞ f(x) = L, L ∈ R, jestliže
∀ε ∃A > 0 ∀x ∈ R: x > A =⇒ |f(x) − L| < ε.
atd.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 8 / 13
„Naivní“ definice
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, jestliže se s hodnotami funkce
f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x
dostatečně blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = L.
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞, jestliže hodnoty funkce
f(x) můžeme udělat libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně
blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = ∞.
Funkce y = f(x) má v bodě ∞ limitu L, jestliže se s hodnotami funkce
f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x
dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→∞
f(x) = L.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 9 / 13
Jednostranné limity
Definice
Nechť x0 ∈ R, L ∈ R . Řekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu
zprava rovnu číslu L a píšeme limx→x+
0
f(x) = L, jestliže
∀O(L) ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0, x0 + δ): f(x) ∈ O(L).
Podobně definnujeme limitu zleva limx→x−
0
f(x) = L.
Opět „naivně“ řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu zleva
rovnu L, píšeme
lim
x→x−
0
f(x) = L,
jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L
tak, že vezmeme hodnoty x menší než x0 a dostatečně blízké hodnotě
x0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 10 / 13
Věty o limitách
Věta
Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
Věta
Má-li funkce f v bodě x0 vlastní limitu L ∈ R, pak existuje O(x0) takové,
že f je na O(x0) ohraničená.
Věta
Platí limx→x0 f(x) = L právě tehdy, když
lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = L .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 11 / 13
Věta
Nechť existují obě vlastní limity limx→x0 f(x) = L1 , limx→x0 g(x) = L2.
Pak platí:
a) limx→x0 (f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
b) limx→x0 (f(x) · g(x)) = L1 · L2,
c) Je-li L2 = 0, pak limx→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
,
d) limx→x0 |f(x)| = | limx→x0 f(x)|.
Věta
Nechť limx→x0 f(x) = 0. Jestliže pro funkci g existuje okolí O(x0) bodu
x0 takové, že g je v něm ohraničená, pak limx→x0 f(x)g(x) = 0.
Věta
Nechť existuje ryzí okolí bodu x0, v němž platí f(x) ≥ g(x) ≥ h(x).
Jestliže limx→x0 f(x) = L = limx→x0 h(x), pak limx→x0 g(x) = L.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 12 / 13
Věta
Nechť x0 ∈ R .
1. Jestliže limx→x0 f(x) = ±∞, pak limx→x0
1
f(x) = 0.
2. Jestliže limx→x0 f(x) = 0 a existuje O(x0) takové, že pro všechna
x ∈ O(x0) je f(x) > 0, pak limx→x0
1
f(x) = +∞.
3. Jestliže limx→x0 f(x) = 0 a existuje O(x0) takové, že pro všechna
x ∈ O(x0) je f(x) < 0, pak limx→x0
1
f(x) = −∞.
Nevíme
∞ − ∞,
∞
∞
,
0
0
, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 27.9.2021 13 / 13