Matematická analýza 1
Derivace funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
11.10.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 11.10.2021 1 / 6
Definice
Buď f funkce a bod x0 ∈ D(f). Existuje-li limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
,
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f (x0).
Je-li tato limita vlastní, nazývá se číslo f (x0) vlastní derivací funkce
f v bodě x0, je-li tato limita nevlastní, nazývá se f (x0) nevlastní derivací
funkce f v bodě x0.
Položíme-li h = x − x0, lze derivaci zapsat ve tvaru
f (x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Podobně definujeme derivace zprava a derivace zleva:
f+(x0) = lim
x→x+
0
f(x) − f(x0)
x − x0
, f−(x0) = lim
x→x−
0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 11.10.2021 2 / 6
Věta
Má-li funkce f v bodě x0 vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.
Věta
Nechť mají funkce f, g vlastní derivaci na množině M. Pak platí:
a) cf(x) = cf (x), c ∈ R,
b) f(x) ± g(x) = f (x) ± g (x),
c) f(x) · g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x),
d) je-li g(x) = 0, pak
f(x)
g(x)
=
f (x)g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 11.10.2021 3 / 6
Věta
Nechť funkce u = g(x) má vlastní derivaci v bodě x0 a nechť funkce
y = f(u) má vlastní derivaci v bodě u0 = g(x0). Pak složená funkce
y = F(x) = f (g(x)) má vlastní derivaci v bodě x0 a platí:
F (x0) = f [g(x0)] · g (x0).
Věta
Nechť funkce x = f(y) je spojitá a ryze monotonní na intervalu I.
Nechť y0 je vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y0 derivaci f (y0).
Pak má inverzní funkce y = f−1(x) v bodě x0 = f(y0) rovněž derivaci.
i) Je-li f (y0) = 0, je derivace inverzní funkce vlastní a platí
f−1
(x0) =
1
f (y0)
.
ii) Je-li f (y0) = 0, je derivace inverzní funkce nevlastní, přičemž pro
f rostoucí f−1 (x0) = +∞ a f−1 (x0) = −∞ pro f klesající.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 11.10.2021 4 / 6
Věta
Pro derivace elementárních funkcí platí:
c = 0, (xa
) = axa−1
,
(sin x) = cos x, (cos x) = − sin x,
(tg x) =
1
cos2 x
, (cotg x) = −
1
sin2
x
,
(arcsin x) =
1
√
1 − x2
, (arccos x) = −
1
√
1 − x2
,
(arctg x) =
1
x2 + 1
, (arccotg x) = −
1
x2 + 1
,
(ex
) = ex
, (ax
) = ax
· ln a,
(ln x) =
1
x
, loga x =
1
x ln a
,
kde a ∈ R a c ∈ R. Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné
funkce definovány.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 11.10.2021 5 / 6
Definice
Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f = (f ) a pro libovolné
n ≥ 2 definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vzta-
hem
f(n)
= f(n−1)
.
Z geometrického významu derivace plyne, že funkce f má v bodě x0
derivaci právě tehdy, když její graf má v bodě (x0, f(x0)) tečnu se
směrnicí f (x0). Rovnice této tečny je
y = f(x0) + f (x0)(x − x0).
Pro rovnici normály, tj. přímky kolmé k tečně a procházející dotykovým
bodem, platí
y = f(x0) −
1
f (x0)
(x − x0), je-li f (x0) = 0,
x = x0, je-li f (x0) = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 11.10.2021 6 / 6