Matematická analýza 1 Apliakce derivace I Petr Liška Masarykova univerzita 25.10.2021 Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 1 / 7 Věta Nechť má funkce f na otevřeném intervalu I vlastní derivaci. Pak platí: 1. Funkce f je neklesající (nerostoucí) na I právě tehdy, když f (x) ≥ 0 (f ≤ 0) na I. 2. Funkce f je rostoucí (klesající) na I právě tehdy, když f (x) ≥ 0 (f ≤ 0) na I, přičemž rovnost f = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. Důsledek Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I. 1. Je-li f > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I. 2. Je-li f < 0 pro každé x ∈ I, pak je fklesající na I. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 2 / 7 Definice Řekneme, že funkce f má v bodě x0: a) lokální maximum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) je f(x) ≤ f(x0), b) lokální minimum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) je f(x) ≥ f(x0), c) ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) {x0} je f(x) < f(x0), d) ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈ O(x0) {x0} je f(x) > f(x0). Věta (Fermatova) Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť existuje derivace f (x0). Pak f (x0) = 0. Bod x0 s vlastností f (x0) = 0 se nazývá stacionární bod funkce. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 3 / 7 Věta Nechť je funkce f spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí O(x0) \ {x0}. Jestliže pro všechna x ∈ O(x0), x < x0, je f > 0 a pro všechna x ∈ O(x0), x > x0, je f < 0, pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum. (Obdobné tvrzení platí pro lokální minimum). Věta Nechť f (x0) = 0, tj. x0 je stacionární bod. a) Je-li f (x0) > 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální mini- mum. b) Je-li f (x0) < 0, pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 4 / 7 Příklad Určete lokální extrémy funkce y = x2 4 − x3 Příklad Určete lokální extrémy funkce y = ln2 x Příklad Ve městě s 10 000 obyvateli je počet N lidí, kteří mají v daném čase t chřipku, roven N(t) = 10000 1 + 9999e−t , kde t je čas měřený ve dnech a chřipka je rozšířena jedinou osobou, která ji měla v čase t = 0. Určete, kdy je rychlost šíření nemoci nej- větší. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 5 / 7 Definice Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže x0 ∈ M a platí f(x) ≤ f(x0) pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum v bodě x0. Podobně definujeme absolutní minimum. Postup pro nalezení absolutních extrémů: 1. Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, v nichž neexistuje první derivace. 2. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech. 3. Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud patří do D(f)). 4. Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a nejmenší. To bude absolutní maximum a minimum. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 6 / 7 Příklad Najděte absolutní extrémy funkce: f(x) = x − x2 , x ∈ [0, 1] f(x) = x2 ln x, x ∈ [1, e] Příklad Farma může prodat 20 beden úrody týdně při ceně 400 Kč. Majitel odhaduje, že při snížení ceny o 10 Kč prodá o dvě bedny více. Výrobní náklady jsou 200 Kč na jednu bednu. Jaká je optimální cena bedny úrody pro maximalizaci zisku a jak velký tento zisk bude? Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 25.10.2021 7 / 7