Matematická analýza 1
Aplikace derivace II aneb průběh funkce
Petr Liška
Masarykova univerzita
1.11.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 1 / 10
Konvexní a konkávní funkce
Definice
Řekneme, že funkce f je konvexní na intervalu I, jestliže pro libovolné
tři body x1, x2, x3 ∈ I takové, že x1 < x2 < x3, platí
f(x2) ≤ f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1) .
Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné
tři body x1, x2, x3 ∈ I takové, že x1 < x2 < x3, platí
f(x2) ≥ f(x1) +
f(x3) − f(x1)
x3 − x1
(x2 − x1) .
Nahradíme-li neostré nerovnosti ostrýmy, dostaneme definici pojmů
ostré konvexnosti a ostré konkávnosti.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 2 / 10
Definice
Nechť f je funkce s definičním oborem D(f). Nadgrafem funkce f rozumíme
rovinnou množinu
Gf = (x, y) ∈ R2
: x ∈ D(f) a y ≥ f(x) .
Věta
Nechť funkce f je definovaná na intervalu I. Pak jsou následující vlastnosti
ekvivalentní:
a) Funkce f je konvexní na I.
b) Pro libovolné různé body x1, x2 ∈ I a libovolná čísla λ1, λ2 ∈ (0, 1)
taková, že λ1 + λ2 = 1, platí nerovnost
f(λ1x1 + λ2x2) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2) .
c) Nadgraf funkce f je konvexní množina.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 3 / 10
Věta
Nechť f má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Pak je f konvexní
(ostře konvexní) na I právě tehdy, když je funkce f neklesající
(rostoucí) na I.
Důsledek
Nechť I je otevřený interval a f má druhou derivaci na I.
a) Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konvexní na I.
b) Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konkávní na I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 4 / 10
Věta aneb neekvivalentní definice
Definice
Nechť funkce f má vlastní derivaci a platí-li
f(x) ≥ f(x0) + f (x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konvexní na intervalu I.
Platí-li, že
f(x) ≤ f(x0) + f (x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konkávní na intervalu I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 5 / 10
Definice
Nechť má funkce f derivaci v bodě x0 ∈ R. Je-li tato derivace nevlastní,
předpokládáme navíc, že je f spojitá v bodě x0.
Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje O(x0)
takové, že funkce f je ostře konkávní na intervalu (x0 − δ, x0) a je ostře
konvexní na intervalu (x0, x0 + δ) anebo naopak.
x
y
0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 6 / 10
Věta
a) Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f (x0). Pak f (x0) = 0.
b) Nechť f (x0) = 0 a existuje okolí bodu O(x0) takové, že platí
f (x) < 0 pro x ∈ (x0 − δ, x0) a f (x) > 0 pro x ∈ (x0, x0 + δ),
nebo naopak. Pak má funkce f v bodě x0 inflexní bod.
c) Nechť f (x0) = 0 a f (x0) = 0. Pak je x0 inflexním bodem funkce
f.
Příklad
Určete intervaly, ve kterých je funkce
y =
x3
x2 − 1
konvexní/konkávní, případně určete její inflexní body.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 7 / 10
Asymptoty funkce
Definice
Nechť x0 ∈ R. Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice
funkce f, jestliže má f v x0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní,
tj.
lim
x→x+
0
f(x) = ±∞
nebo
lim
x→x−
0
f(x) = ±∞.
Přímka y = ax + b, a, b ∈ R, se nazývá asymptotou se směrnicí funkce
f, jestliže platí
lim
x→−∞
(f(x) − (ax + b)) = 0
nebo
lim
x→+∞
(f(x) − (ax + b)) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 8 / 10
Věta
Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f pro x → +∞, jestliže
a = lim
x→+∞
f(x)
x
, b = lim
x→+∞
(f(x) − ax)
(obě tyto limity jsou vlastní). Analogické tvrzení platí pro x → −∞.
Příklad
Určete asymptoty grafu funkce
y =
x3
x2 − 1
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 9 / 10
Vyšetření průběhu funkce
1. Stanovíme definiční obor D(f). Určíme nulové body a intervaly,
kde je funkce kladná a kde záporná. Případně zda je funkce f
sudá, lichá nebo periodická.
2. Vypočítáme f a podle jejího znaménka určíme:
intervaly, kde je f rostoucí (z podmínky f > 0),
intervaly, kde je f klesající (z podmínky f < 0),
lokální extrémy (podle změny znaménka f ).
3. Vypočítáme f a podle jejího znaménka určíme:
intervaly, kde je f konvexní (z podmínky f > 0),
intervaly, kde je f konkávní (z podmínky f < 0),
inflexní body (podle změny znaménka f ).
4. Najdeme asymptoty funkce f.
5. Nakreslíme graf funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 1.11.2021 10 / 10