Matematická analýza 1
Elementární funkce po druhé
Petr Liška
Masarykova univerzita
08.11.2021
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 08.11.2021 1 / 6
Obecná mocnina
Věta
Budiž a > 0, n > 0, n celé. Potom existuje jedno a jen jedno kladné
číslo x, splňující rovnici xn = a.
Věta
Je-li z1, z2, . . . libovolná posloupnost racionálních čísel, pro kterou je
limn→∞ zn = z, potom existuje limita limn→∞ xzn = α. Toto číslo α je
kladné a závisí pouze na x. Definujeme α = xz .
Definice
Buď a ∈ R, a > 0 a c ∈ R. Pro a > 1 definujeme
ac
= sup {ax
: x ∈ Q, x ≤ c} .
Pro a = 1 položme ac = 1c = 1 a pro 0 < a < 1 definujeme ac = 1
a
−c
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 08.11.2021 2 / 6
Mocninná funkce
Definice
Buď s ∈ R. Pro x > 0 definujeme funkci y = xs a nazýváme ji mocninnou
funkcí.
Věta
Mocninná funkce f(x) = xs má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞) a H(f) = (0, +∞) pro s = 0, H(f) = {1} pro
s = 0.
2. Funkce f je rostoucí v (0, +∞) pro s > 0, klesající v (0, +∞) pro
s < 0 a konstantní v (0, +∞) pro s = 0.
3. Platí f(x) = xs eln x s
= es ln x pro x ∈ (0, +∞).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 08.11.2021 3 / 6
Poznámka
Je-li s ∈ Q, definujeme xs pro x < 0, právě když v základním tvaru m
n
čísla s je číslo n liché. Pak klademe xs = n
√
xm a 1
√
a = a.
x
2
2
?
=
√
x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 08.11.2021 4 / 6
Exponenciální a logaritmická funkce
Definice
Buď a ∈ R, a > 0. Funkci f určenou předpisem f(x) = ax nazveme
exponenciální funkcí o základu a.
Věta
Exponenciální funkce f(x) = ax má tyto vlastnosti:
1. D(f) = R a H(f) = (0, +∞) pro a = 1, H(f) = {1} pro a = 1.
2. Funkce f je rostoucí v R pro a > 1, klesající v R pro a < 1 a
konstantní v R pro a = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 08.11.2021 5 / 6
Definice
Buď a ∈ R, a > 0, a = 1. Funkce inverzní k funkci y = ax se nazývá
logaritmická funkce o základu a, značí se y = loga x.
Věta
Logaritmická funkce f(x) = loga x má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞), H(f) = (−∞, +∞).
2. Funkce f je rostoucí na (0, +∞) pro a > 1 a klesající na (0, +∞)
pro a < 1.
3. Pro x, y ∈ (0, +∞) a z ∈ R platí
loga(xy) = loga x+loga y, loga
x
y
= loga x−loga y, loga xz
= z loga x.
4. Pro a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a = 1, b = 1 a x ∈ (0, +∞) platí
loga x =
logb x
logb a
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 1 08.11.2021 6 / 6