6. cvičení (20. 10. 2021)
Kuželosečky v projektivní rovině
Pojmy:
• kuželosečka;
• regulární a singulární kuželosečky.
Úlohy:
1. Určete společné body kuželosečky k a přímky p. Je kuželosečka k regulární?
(a) k1 : x2
1 + x2
2 − 4x2
3 − 2x1x2 + 3x1x3 + 3x2x3 = 0
p1 : x1 + 2x2 − x3 = 0
(b) k2 : x2
1 − 3x2
2 − 3x2
3 + 2x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3 = 0
p2 : x1 − x2 + x3 = 0
2. Určete vzájemnou polohu přímky AB a kuželosečky k.
k : x2
1 − 2x2
2 + x1x2 + 3x1x3 + 6x2x3 = 0
A = (2, −1, 3)
B = (0, 0, 1)
3. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A = (0, 0, 1), B = (0, 3, 1), C = (6, 0, 1), D = (2, 2, 1)
a E = (−2, 1, 1).
Řešení
Kuželosečky v projektivní rovině
1. (a) A = (1; 0; 1), B = (1; −1; −1), je regulární
(b) p2 ⊆ k2, je singulární
2. AB ⊆ k
3. k : x2
1 + 4x2
2 + 4x1x2 − 6x1x3 − 12x2x3 = 0