9. cvičení (10. 11. 2021)
Kuželosečky v euklidovské rovině
Pojmy:
• osa kuželosečky, vrchol kuželosečky;
• euklidovská klasifikace kuželoseček;
• metoda invariantů.
Úlohy:
1. Určete osy a vrcholy kuželosečky k : x2 − 3xy + y2 + 1 = 0.
2. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
(a) k1 : 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0
(b) k2 : 5x2 − 2xy + 5y2 − 4x + 20y + 20 = 0
(c) k3 : 25x2 − 20xy + 4y2 + 38x + 8y + 33 = 0
(d) k4 : 9x2 + 12xy + 4y2 − 24x − 16y + 3 = 0
Řešení
Kuželosečky v euklidovské rovině
1. o1 : x − y = 0,
o2 : x + y = 0,
V1[1, 1], V2[1, −1], V3
i
√
5
5 , −i
√
5
5 , V4 −i
√
5
5 , i
√
5
5 .
2. (a) hyperbola
x′2 − y′2
4 − 1 = 0
S[2, −1], e1 =
√
2
2 ,
√
2
2 , e2 =
√
2
2 , −
√
2
2
x =
√
2
2 x′ +
√
2
2 y′ + 2
y =
√
2
2 x′ −
√
2
2 y′ − 1
(b) komplexně sdružené různoběžky
x′2
3 + y′2
2 = 0
S[0, −2], e1 =
√
2
2 ,
√
2
2 , e2 =
√
2
2 , −
√
2
2
x =
√
2
2 x′ +
√
2
2 y′
y =
√
2
2 x′ −
√
2
2 y′ − 2
(c) parabola
x′2 + 2 ·
√
116
29 · y′ = 0
V −27
29, −24
29 , e1 = 5√
29
, − 2√
29
, e2 = 2√
29
, 5√
29
x = 5√
29
x′ + 2√
29
y′ − 27
29
y = − 2√
29
x′ + 5√
29
y′ − 24
29
(d) reálné rovnoběžky
x′2 − 1 = 0
S [0, 2] , e1 = 3√
13
, 2√
13
, e2 = − 2√
13
, 3√
13
x = 3√
13
x′ − 2√
13
y′
y = 2√
13
x′ + 3√
13
y′ + 2