Domácí úkoly
Kvadratické formy
1. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru V4 je dána kvadratická forma F. Určete její normovanou
polární bázi, normální tvar rovnic, typ formy, signaturu a transformační rovnice přechodu k normovaným
polárním bázím.
F(x) = −2x2
1 − x2
2 − 2x2
3 − x2
4 + 2x1x2 − 2x1x3 + 2x3x4
2. V ortonormální bázi na euklidovském vektorovém prostoru V3 je dána kvadratická forma G. Pomocí
ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy, ortonormální polární bázi a rovnice
transformace souřadnic, které převádí formu do kanonického tvaru.
G(x) = 3x2
1 + 3x2
3 + 4x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3
Kuželosečky v projektivní rovině
3. Určete rovnice kuželosečky, která prochází body A = (1, 0, 1), B = (1, −1, 1), C = (−1, 2, 1), D = (0, −
−1, −1) a E = (2, 0, 1).
4. Na přímce p : 2x1 + x2 − 8x3 = 0 nalezněte bod polárně sdružený s bodem A = (3, 3, −1) vzhledem ke
kuželosečce k : 2x2
1 + 3x2
2 − 5x2
3 + 2x1x2 − 2x1x3 − 4x2x3 = 0.
5. Určete tečny kuželosečky k : 2x2
1+x2
2−3x2
3−4x1x2−2x1x3+6x2x3 = 0, které prochází bodem M = (3, 4, 1).
Určete také tečné body.
6. Pomocí transformace projektivních homogenních souřadnic určete normální rovnici a projektivní typ
kuželosečky. Určete transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky do normálního tvaru.
k : x2
1 + x2
2 + x2
3 + 2x1x3 = 0
Kuželosečky v afinní rovině
7. Určete střed kuželosečky k : x2 − 4xy + 4y2 + 4x − 3y − 7 = 0.
8. Určete asymptoty kuželosečky k : 3x2 + 2xy − y2 + 8x + 10y + 14 = 0.
9. Určete dvojici sdružených průměrů kuželosečky k : 3x2 − 2xy + 3y2 + 4x + 4y − 4 = 0, z nichž jeden
prochází bodem P[1, −2].
10. Určete afinní typ kuželosečky, normální tvar rovnic, normovaný afinní polární repér a transformační rovnice
afinních souřadnic do normovaného afinního polárního repéru.
k : x2
− 6xy + 9y2
− 12x + 14y − 9 = 0
11. Určete afinní typ kuželosečky, normální tvar rovnic, normovaný afinní polární repér a transformační rovnice
afinních souřadnic do normovaného afinního polárního repéru.
k : 5x2
− 4xy + y2
− 2x + 4y − 1 = 0
Malilinkatá nápověda k příkladu 10: Na kuželosečce leží bod [1, −2].
Kuželosečky v euklidovské rovině
12. Určete osy a vrcholy kuželosečky k : x2 + 2xy + y2 − 3x − y − 4 = 0.
13. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
k : 4x2
− 4xy + y2
− 3x + 4y − 7 = 0
14. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
k : 5x2
+ 8xy + 5y2
− 18x − 18y + 9 = 0
15. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ, kanonickou rovnici a transformační rovnice, které
převedou rovnici kuželoseček do kanonického tvaru.
k : x2
− 2xy + y2
− 12x + 12y − 14 = 0