Goniometrické vzorce a rovnice
1. Určete hodnotu tg x, víte-li, že cos x = −4/5 a x ∈ (π, 2π).
2. Dokažte, že pokud cotg(α + β) = 0, pak sin(α + 2β) = sin α.
3. Dokažte, že cos(α+β)+sin(α−β) = (cos α+sin α)(cos β−sin β).
4. Dokažte, že pokud sin α = k sin(α+β), kde k ∈ (−1, 1), a pokud
cos β /∈ {0, k}, pak existuje hodnota tg(α + β) a je rovna číslu
sin β/(cos β − k).
5. V oboru R řešte rovnici sin x + cos 2x = 1.
6. V oboru R řešte rovnici sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
7. V oboru 0, 2π řešte rovnici 2 sin 2x sin x + cos 2x = 1.
8. V oboru 0, 2π řešte rovnici (
√
3 − 1) sin x − 2 sin π
3 − x = 0.
9. V oboru 0, 2π řešte rovnici sin 2x + cos 2x − tg x = 1.
10. V oboru R řešte rovnici 2 sin2
x −
π
4
= 2 sin2
x − tg x.
11. Pro které hodnoty parametru k ∈ R má rovnice
5 sin 2x − 6 cos x = k · (5 sin x − 3)
v oboru x ∈ 0, π právě dvě řešení?
12. V oboru 0, π řešte rovnici
sin
π
2
+ 2x · cotg 3x + sin (π + 2x) =
√
2 cos 5x.
13. V oboru 0, 2π řešte rovnici cotg x − 1 =
cos 2x
1 + tg x
.
14. V oboru 0, π řešte rovnici 2 cos2
3x + cos(2x + π) = 1.
15. V oboru 0, π řešte rovnici sin 3x = cos 5x.
Návod: Rovnici nejdříve upravte do tvaru sin 3x = sin(?).
16. V oboru 0, 2π řešte rovnici sin 2x −
√
2 · (sin x + cos x) + 1 = 0.
Návod: užijte substituci t = sin x + cos x.
17. V oboru 0, 2π řešte rovnici
2 cos 2x +
π
5
− 4 cos x +
π
10
= 1.
18. Popište obecnou metodu řešení rovnice a cos x + b sin x + c = 0
s nenulovými konstantammi a, b, c ∈ R cestou úpravy výrazu
a cos x + b sin x do tvaru K sin(x + ω), kde K =
√
a2 + b2 a ω je
vhodné číslo (jak ho k daným a, b určíme?). Rovnici interpetujte
též geometricky jako hledání průsečíků jednotkové kružnice a
přímky s danou obecnou rovnicí.