Je dána úsečka AB. Vyšetřete, co je množinou všech bodů X v rovině, pro něž platí .


Vlastnost V tedy představuje podmínka    . Všechny body X, které tuto vlastnost mají, zařadíme do
množiny, kterou v souladu s předchozím označíme rovněž V.

Máme-li hypotézu, že touto množinou M je osa o úsečky AB, musíme dokázat, že pro každý její bod
platí . („ “)

Pro bod X=S tvrzení platí triviálně. Dále předpokládejme, že .

Nyní zbývá ukázat, že pro libovolný bod Y, neležící na ose o úsečky AB, naopak nemůže platit . („
“)

Místo toho, abychom dokazovali druhou implikaci ve tvaru „ “, je možné zdůvodnit platnost implikace
„ “.

V naší situaci to znamená ukázat, že libovolný bod X, pro který platí  , musí ležet na ose o úsečky
AB.


Všimněme si, že v první i třetí části je sice dokázána shodnost stejných trojúhelníků, ale vychází
se přitom z jiných předpokladů. Proto je tato shodnost pokaždé zdůvodněna jinak (užitím jiné věty)
a jejím důsledkem je pokaždé také něco jiného. Je tedy vidět, že obě části důkazu nejsou obecně
stejné a že nestačí jen mechanicky „obrátit implikace“.


Dodejme, že při řešení úlohy „Vyšetřete, co je množinou všech bodů X …“ zpravidla na začátku
hypotézu nemáme a potřebujeme ji získat. Většinou proto takovou úlohu začínáme řešit od implikace „
“, kterou jsme tento výklad ukončili. Takto budeme postupovat při řešení úloh v následujícím
materiálu.