OTOČENÍ
(1) Dané dvě kružnice k1 a k2 se protínají ve dvou bodech. Jeden z nich je označen
písmenem T. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod T
byl jeho těžištěm, vrchol A ležel na kružnici k1 a vrchol B na kružnici k2.
(2) Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Sestrojme v něm
střed K úhlopříčky BD a střed M strany EF. Dokažte, že trojúhelník AKM
je rovnostranný. [Návod: Uvažte otočení se středem A, ve kterém B → S.
Ukažte, že v něm SC → EF a že K je střed SC.]
(3) V rovině je dána kružnice k(S, r), přímka p a úsečka délky a, a < 2r. Sestrojte
čtverec ABCD o straně délky a, jehož vrcholy A, B leží na kružnici k
a vrchol C na přímce p. [Návod: Sestrojte otočený čtverec A′
B′
C′
D′
, když
vrchol A′
∈ k zvolíte jakkoli. Nezapomeňte na dvě možné polohy bodu B′
a (při daných bodech A′
, B′
) i dvě polohy bodu C′
.]
(4) Uvnitř kružnice k o středu S jsou dány další dva body K a L, přitom úhel
KSL není pravý. Sestrojte dvě shodné a navzájem kolmé tětivy kružnice k
tak, aby na první z nich ležel bod K a na druhé bod L. [Návod: Uvažte, jaký
je úhel toho otočení se středem S, které převede jednu tětivu na druhou.]
(5) V rovině je dána kružnice k(S, r) a v její vnější oblasti dva body A, B.
Sestrojte tětivu KL kružnice k tak, aby měla danou délku d, d < 2r, a aby
platilo |AK| = |BL|. (Pro případ d = 2r jde o úlohu 5 z cvičení na středové
souměrnosti.) [Návod: Uvažte, že až na orientaci znáte velikost úhlu toho
otočení se středem S, ve kterém K → L.]
(6) Ve vnější oblasti kružnice k(S, r) je dán bod A. Sestrojte přímku p, která
prochází bodem A a protíná kružnici k ve dvou bodech X a Y tak, že trojúhelník
SXY má největší možný obsah. [Návod: Vyjádřete nejprve, jak tento
obsah závisí na poloměru r a na sinu úhlu XSY . Poté sestrojte otočenou
tětivu X′
Y ′
nalezené délky.]
Konec dokumentu
Typeset by AMS-TEX
1