06. Geometrie, její historie a výuka Geometrie (na elementární úrovni) je matematická věda, která se zabývá otázkami tvarů, velikostí a proporcí obrazců či těles v rovině, resp. prostoru. Podle toho ji členíme na planimetrii a stereometrii. V nich zkoumáme i různá významná zobrazení, jako jsou zejména shodnosti a podobnosti. První představy o tvarech a velikostech fyzických objektů měli lidé již v pravěku. Ve starověku dílčí izolované geometrické poznatky (o tvarech těles, měření délek, výpočtech obsahů a objemů) sloužily lidem při stavebních pracích, v zeměměřictví a astronomii. Přerod této praktické geometrie pro řemeslníky, úředníky a hvězdáře ve skutečnou vědu nastal ve starém Řecku ve 3.-4. stol. př.n.l. a je spojený s dílem Základy, jehož autorem je Eukleides z Alexandrie. Jsou v něm shrnuty poznatky předchozích generací řeckých matematiků a doplněny poznatky nové, přitom vše je zpracováno v uceleném, vzájemně provázaném deduktivním systému. Jeho podstatou je požadavek, že kromě souboru výchozích pojmů (které se nedefinují) a souboru výchozích poznatků (které se nedokazují), všechny další pojmy a poznatky je třeba přesně definovat, resp. dokázat, přičemž je k tomu možno používat pouze dříve definované pojmy a dokázané poznatky. V období středověku je geometrie rozvíjena arabskými učenci, kteří se v souvislosti s aplikacemi v astronomii zasloužili o vznik rovinné i sférické trigonometrie. V období novověku zaznamenejme vznik analytické geometrie, o který se v 17. stol. zasloužil René Descartes. Původní eukleidovská geometrie (bez souřadnic) se začala nazývat syntetická geometrie. Od ní se v 18. stol. díky spisu Gasparda Mongeho odděluje disciplína, které dnes říkáme deskriptivní geometrie. Dalším mezník ve vývoji geometrie se datuje do 19. století, kdy bylo konečně dokázáno, že tvrzení o existenci jediné přímky, která prochází daným bodem rovnoběžně s danou přímkou, nelze dokázat z ostatních výchozích poznatků Eukleidových Základů. To vedlo k objevu nových neeukleidovských geometrií (Carl Friedrich Gauss, Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, János Bolyai), kterým se později dostalo i praktických uplatnění. Náš stručný přehled o vývoji geometrie ukončíme zmínkou o díle Grundlagen der Geometrie z roku 1899, ve kterém David Hilbert jako první přesně vymezil všechny axiomy eukleidovské syntetické geometrie. 1 Výuka syntetické geometrie u nás postupně probíhá na obou stupních základních škol i na školách středních. Na ZŠ si žáci na intuitivní úrovni upevňují prvotní geometrické představy a poznatky, seznamují se se základy geometrické terminologie, učí se používat rýsovací prostředky při řešení jednoduchých konstrukčních úloh a poznávají souvislosti geometrie s aritmetikou a algebrou při řešení početních geometrických úloh. Lze konstatovat, že geometrie na základní škole má primárně názorný a převážně induktivní charakter (důkazy geometrických tvrzení se téměř neuvádějí, správnost konstrukcí se ověřuje praktickým rýsováním, stejně jako například existence průsečíku výšek obecného trojúhelníku.) Oproti tomu na SŠ (zejména gymnáziích) se v návaznosti na přípravu ze ZŠ přistupuje ve velké míře k deduktivnímu odvozování nových geometrických poznatků. Ani zde se však zdaleka nejedná o úplnou deduktivní výstavbu, která by byla příliš náročná myšlenkově i časově (ve 20. století se i u nás takové chybné experimenty s částečnou axiomatikou prováděly). Hlavním cílem vyučování geometrie na SŠ zůstává „pouze praktické ovládnutí pojmů a metod eukleidovské geometrie. Ani to není snadný úkol, neboť tento cíl zahrnuje osvojení poměrně velkého množství pojmů, poznatků, termínů, vzorců a konstrukcí. Výuka geometrie kromě zmíněného odborného cíle má rovněž svůj obecně intelektuální a výchovný význam, který možná v některých ohledech i odborný cíl převyšuje (zejména se to týká skupin žáků, kteří ve svém dalším běžném životě i budoucí profesi příliš mnoho geometrických znalostí a dovedností nevyužijí). Vyučování geometrie přispívá k rozvoji prostorové představivosti žáků. Tento vliv je o to výraznější, čím více učitelé dbají při výuce na názornost, používají k tomu školních modely těles, demonstrační programy počítačů apod. O zkoumaných obrazcích a tělesech musí mít žáci jasnou a určitou představu, musí je dobře „vidět . Dostane-li žák například otázku, jak se měří odchylka dvou různoběžných rovin, neměl by ve své paměti pátrat po nějakém vzorci či slovní poučce; měl by si takovou dvojici rovin vizuálně představit, uvidět v tom obrazu jejich průsečnici a dvojici k ní kolmých přímek, jejiž odchylku bude určovat, a pak slovně přesně popsat, o jaké přímky se jedná. Praktické zapojení žáků do hodin geometrie přispívá i ke zvyšování úrovně jejich přesného vyjadřování. Poskytuje totiž řadu příležitostí k tomu, aby se žáci učili formulovat definice (rodový a druhový znak: rovnoběžník je čtyřúhelník, který . . . ). Je zároveň dobrým cvičením k pěstování logické gramotnosti žáků, kteří se učí rozlišovat podmínky a závěry matematických vět, třídit jejich podmínky nutné a dostačující. (Jaké vlastnosti úhlopříček čtyřúhelníku charakterizují rovnoběžník, jaké kosočtverec a jaké pravoúhelník?) V neposlední řadě je nutné zmínit, že pozorné sledování výuky geometrie a samostatné plnění zadávaných úkolů učí žáky myšlenkové soustředěnosti, práce s pravítkem a kružítkem rozvíjí jejich motorické schop- nosti. Konec dokumentu 2