16. Posunutí, vlastnosti a užití
Orientovaná úsečka, její délka. Orientované úsečky nulové a nenulové. Směr přímek,
polopřímek a orientovaných úseček.
Definice posunutí. Vlastnosti posunutí.
Konstrukce úsečky dané délky a směru. Posunutí kopie útvaru. Konstrukce lichoběžníků.
Čtyřúhelníky se zadanými úhlopříčkami a úhlem mezi nimi.
Definice. Je dána nenulová orientovaná úsečka
−→
AB. Posunutí neboli translace je
shodné zobrazení T (
−→
AB), které každému bodu X přiřadí bod X′
tak, že orientované
−−→
XX′
a
−→
AB mají stejnou délku a stejný směr.
V případě nulové orientované úsečky (tj. A = B) považujeme posunutí T (
−→
AA) za
identické zobrazení: X′
= X pro každý bod X.
Poznámky.
(1) Důvod k vyčlenění případu A = B: nulová orientovaná úsečka nemá směr.
(2) Při zobrazení T (
−→
AB) mluvíme o délce posunutí |AB| a jeho směru (při
nenulové délce). Těmito dvěma údaji je každé posunutí určeno.
Vlastnosti posunutí.
(1) Každé posunutí je určeno jednou, jakkoli vybranou dvojicí bodů (X, X′
) –
je to pak zobrazení T (
−−→
XX′
). Speciálně v T (
−→
AB) je A′
= B.
(2) Inverzní zobrazení k T (
−→
AB) je posunutí T (
−→
BA).
(3) V případě B = A nemá zobrazení T (
−→
AB) žádný samodružný bod.
(4) V případě B = A jsou samodružné přímky v T (
−→
AB) právě ty, jež jsou
rovnoběžné s přímkou AB.
(5) V T (
−→
AB) je obrazem každé přímky (resp. polopřímky, resp. úsečky) rovnoběžná
přímka (resp. rovnoběžná polopřímka, resp. rovnoběžná úsečka).
(6) Posunutí je přímá shodnost, tj. zachovává orientaci každého úhlu, která
navíc zachovává i směr každé orientované úsečky či polopřímky.
Příklad 1. Body A, B jsou od sebe odděleny pásem určeným danými rovnoběžkami
p a q (A je blíže p, B je blíže q). Sestrojte body X ∈ p a Y ∈ q tak, aby platilo
XY ⊥ p a aby lomená čára AXY B měla nejkratší možnou délku.
Příklad 2. Je dána kružnice k a dvě její disjunktní tětivy AB a CD. Sestrojte
bod X ∈ k tak, aby úsečky AX a BX vymezily na tětivě CD úsečku EF dané
délky d.
Příklad 3. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a uvnitř pásu jimi určeném bod K.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC o straně dané délky d s vrcholy A ∈ a,
B ∈ b a bodem K na straně AC.
Příklad 4. Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li dáno a, b, c, d (a > c).
Příklad 5. Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD), je-li dáno a + c, e = |AC|,
f = |BD| a α = |∢BAD|.
Příklad 6. Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD, je-li dáno a, c, e = |AC|, f =
= |BD| a ω = |∢APB|, kde P je průsečík úhlopříček AC a BD.
Konec dokumentu