19. Užití stejnolehlostí
Stejnolehlost dvou úseček. Stejnolehlost dvou kružnic.
Společné tečny dvou kružnic. Konstrukce úsečky rozdělené na dva úseky v daném
poměru. Zvětšení či zmenšení podobné kopie. Využití dotyku dvou kružnic. Složení
stejnolehlosti s otočením. Vpisování útvarů užitím stejnolehlé kopie.
Věta 1. Každé dvě rovnoběžné úsečky různých délek jsou stejnolehlé podle právě
dvou středů. Jeden z nich je tzv. střed vnitřní stejnolehlosti (se záporným koeficientem).
Druhý je tzv. střed vnější stejnolehlosti (s kladným koeficientem).
Pro rovnoběžné úsečky téže délky je vnitřní stejnolehlost středovou souměrností,
vnější stejnolehlost přechází v posunutí.
Věta 2. Dvě kružnice k1(O1, r1) a k2(O2, r2) o různých středech O1 = O2 a různých
poloměrech r1 = r2 jsou stejnolehlé podle právě dvou středů. Jeden z nich
leží na úsečce O1O2 a je to tzv. střed vnitřní stejnolehlosti (se záporným koeficientem).
Druhý střed leží na přímce O1O2 vně úsečky O1O2 a je to tzv. střed vnější
stejnolehlosti (s kladným koeficientem).
V případě r1 = r2 je vnitřní stejnolehlost středovou souměrností, vnější stejnolehlost
přechází v posunutí.
Věta 3. Každá společná tečna dvou kružnic musí procházet jedním ze dvou středů
jejich stejnolehlosti. Naopak, každá přímka, která prochází jedním ze středů jejich
stejnolehlosti a je tečnou k jedné z obou kružnic, je tečnou i ke druhé z nich.
Příklad 1. K daným dvěma kružnicím k1(O1, r1) a k1(O1, r1) sestrojte přímku p,
která na kružnicích vytne dvě tětivy téže dané délky d, kde d < min(2r1, 2r2).
Příklad 2. Ve vnější oblasti kružnice k(S, r) je dán bod K. Veďte jím přímku p,
která protne kružnici k ve dvou různých bodech L a M tak, že bod L bude středem
úsečky KM.
Příklad 3. Uvnitř konvexního úhlu AV B je dán bod P. Veďte jím přímku p, která
protne rameno V A v bodě X a rameno V B v bodě Y tak, že |PX| : |PY | = 3 : 2.
Příklad 4. Sestrojte ∆ABC, je-li dáno:
a) α, β, r (poloměr kružnice opsané),
b) va, vb, vc.
Příklad 5. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno a : b = 3 : 2, α = 60◦
a
e = |AC| = 10 cm.
Příklad 6. Jsou dány dvě různoběžky a, b a kružnice k. Sestrojte kružnici l, která
se dotýká obou přímek a, b i kružnice k.
Příklad 7. Uvnitř pásu mezi rovnoběžkami l a m je dán bod K. Sestrojte čtverec
KLMN s vrcholy L ∈ l a M ∈ m.
Příklad 8. Do daného ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak,
aby jeho strana KL ležela na straně AB, vrchol M na straně BC a vrchol N na
straně AC.
Příklad 9. Jsou dány dvě různoběžky a, b a mimo nich bod M. Sestrojte kružnici k,
která se dotýká obou přímek a, b a prochází bodem M.
Konec dokumentu