Matematika pro kartografy Lenka Přibylová (č) 2017 Masarykova univerzita Q BEI Q Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Obsah Číselné vektory 8 Lineární kombinace vektorů 25 Lineární závislost a nezávislost vektorů. 26 Matice 28 Operace s maticemi 31 Hodnost matice 50 Inverzní matice 55 Determinant matice 62 Soustavy lineárních rovnic 77 BBI Q Q (č) 2017 Masarykova univerzita Q Gaussova eliminační metoda 82 Cramerovo pravidlo 83 Analytická geometrie v rovině 84 Analytická geometrie v prostoru 91 Základní množinové pojmy 99 Množina reálných čísel a její podmnožiny 102 Funkce 104 Složená funkce 106 Vlastnosti funkcí 108 Inverzní funkce 123 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Limita funkce Jednostranná limita Nevlastní body Nevlastní limita Limita v nevlastním bodě Spojitost funkce Pravidla pro počítání s limitami Výpočet limity funkce Derivace funkce 128 130 133 137 139 142 143 145 149 151 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Vzorce a pravidla pro derivování 157 Diferenciál funkce 160 Derivace vyšších řádů 162 Užití derivací k výpočtu limit 164 Monotónnost funkce. Lokální extrémy. 166 Konvexnost a konkávnost. Inťlexní body. 169 Asymptoty funkce 172 Průběh funkce 174 Taylorův polynom 175 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 178 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Parciální derivace 184 Diferenciál a tečná rovina plochy 186 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných 188 Absolutní extrémy 192 Q 13 133 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Číselné vektory Ve fyzice a technických disciplínách se zkoumají veličiny • skalární: představují velikost - hmotnost, čas, teplota,... • vektorové: mají více složek, mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci - síla, okamžitá rychlost, posunutí..., nebo mohou představovat data - časová řada, barva (RGB), souřadnice pozice ... (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Množinu R uspořádaných n-tic reálných čísel a = {ci\,(i2f " - fan) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými (#1,02/ • • -fan) + (bi,b2, ...,bn) = (fli + &i,fl2 + &2/ • • - /0n + &n) k{U\, CL2f • • • / = (kU\f k(l2, • • • / fc^n) pro všechna fc G R a {a\,a2, • • >,&n), (pi/bi* • • -/^n) £ lRn nazýváme lineárním vektorovým prostorem. Prvky tohoto pro- storu, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme vektory. Čísla a\,..., an nazýváme složky vektoru a. Číslo n nazýváme dimenze (rozměr) vektoru a. Vektor (0,0,.. .,0) dimenze n nazýváme nulovým vektorem. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 1. Geometricky 2 a 3-rozměrné vektory zobrazujeme jako orientované průvodiče bodů: y o A = [1,2 B = [2,1.5] (1,-0.5) Vektor v = AB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složky vektoru v jsou dány rozdílem souřadnic B — A. © 2017 Masarykova univerzita Q Operace s vektory a = (1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c BEI Q Q VSS (c) 2017 Masarykova univerzita Q Operace s vektory a = (1,2,1), b= (3,0,-1), c = (2,1,0) a + 2-b-c= (1,2,1)+ 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) Dosadíme za vektory a vynásobíme vektor b dvěma (násobíme tedy každý prvek tohoto vektoru dvěma). © 2017 Masarykova univerzita sbi ci la iae Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c = (1,2,1)+ 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) Operace s vektory a = (1,2,1), b= (3,0,-1), c = (2,1,0) a + 2-£-c = (1,2,1) + 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) = (5,1,-1) (cT) 2017 Masarykova univerzita Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0 Přičteme-li k libovolnému vektoru nulový vektor, (cT) 2017 Masarykova univerzita 5Bi bi ia las Operace s vektory a = (1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) BEI Q Q VSS (cT) 2017 Masarykova univerzita Q Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1)= a původní vektor se nemění, protože ke každé komponentě přičteme nulu. EbFJ~EJ 181 133 (c) 2017 Masarykova univerzita Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a O-a + 0-b + O-c Násobení skalární nulou Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c = (2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c = (0,0,0) = 0 je nulový vektor, protože každý vektor po vynásobení nulou přejde na nulový vektor a součet nulových vektorů je opět nulový vektor. 5Bi bi la iae (c) 2017 Masarykova univerzita Operace s vektory n =(1,2,1), b =(3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a 0-a + 0-b + 0-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c [ Někdy nulový vektor dostaneme i jako součet nenulových vektorů. EBI BI H 183 (cT) 2017 Masarykova univerzita Operace s vektory a = (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c = (1,2,1) + (3,0,-1) - (4,2,0) = (0,0,0) BBI Q 19 199 (cT) 2017 Masarykova univerzita | Definice: Vektor —a = — 1 • a nazýváme vektorem opačným k vektoru a. Definice: Velikostí vektoru a nazveme nezáporné číslo n a ľ i=l Cľ Vektor a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže \a\ = 1 Velikost vektoru a = (-2,1,4,0,-3) je \a\ = V4 + 1 + 16 + 9 = VŠO. © 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Skalárním součinem vektorů a — [a\,a^,.. .,an), b {b\, &2/ • • • / bn) nazýváme číslo n a • b = a\ -b\ + U2-b2 + • • • + an • bn = ^ 0z-bz-. z=l Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a • b = \a • b • cos q>, kde

je jejich skalární součin roven nule. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Lineární kombinace vektorů Definice: Nechť U\,u^,...,un jsou vektory stejné dimenze a k\, ki, • • • / kn e IR. Vektor n v = fcitTi + kjUi + • • • + knun = k i=l nazýváme lineární kombinací vektorů Příklady na lineární kombinaci vektorů. BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | Lineární závislost a nezávislost vektorů. Definice: Vektory u\, u^,... ,un nazýváme lineárně závislé, je-li aspoň jeden z vektorů lineární kombinací ostatních. V opačném případě je nazýváme lineárně nezávislé. Věta: Vektory u\, u^,... ,un jsou lineárně nezávislé ^ nulový vektor je právě jen jejich nulovou lineární kombinací, tj. 0 = k\iľ\ + k det A = 0. Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverzní A je regulární, tj. det A ^ 0. Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Necht7 A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A i-tý řádek a j-ty sloupec, označujeme determinant vzniklé submatice M/y a nazýváme jej minor příslušný prvku #;y. Číslo A{] = (-1)Í+>M nazýváme algebraický doplněk prvku a BBI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec, resp, řádek, determinantu A platí n det A = UijAy + #2/^-2/ + ' ' ' + ^nj^nj ~ Yl/ ai)^i)' i=l n V. det A = au Au + ai2Ai2 H-----h ainAin = a^Aip tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho algebraického doplňku libovolného sloupce nebo řádku. Poznámka 7. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklady na výpočet determinantu matice. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla x\, Xi, splňující: 4xi + 5xi = 7 Úloha 1 : X\ — 2x2 — 4 Úloha 2 : Úloha 3 : Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. (č) 2017 Masarykova univerzita Q r Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic #11*1 + #12*2 + #13*3 + ' ' ' + #ln*n = &1 #21*1 + #22*2 + #23*3 + ' ' ' + #2n*n = &2 #31*1 + #32*2 + #33*3 + ' ' ' + #3n*n = ^3 #ml*l fl-mlXl #m3*3 H~ " " " H~ #mn*n — & m Proměnné %\, Xi,..., xn nazýváme neznámé. Reálná čísla nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla b j koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel [t\, ti,..., tn] po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. 5BI Cl 19 ias (č) 2017 Masarykova univerzita r Definice: Matici A = / #11 «12 013 021 022 023 \0ral 0m2 0m3 nazýváme maticí soustavy. Matici Ar — / 011 012 013 021 022 023 \ 0ml 0m2 0m3 01n\ 02n 0 mn 01n 02n 0 mn b2 bm J nazýváme rozšířenou maticí soustavy. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 8 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). / «11 «12 «21 «22 \cim\ ttml «ln\ Al\ #2 n %2 a mn ) \XnJ \bmj Ax = b. Definice: Platí-li v soustavě Ax = b b\ = b2 = • • • = bm = 0, tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogenní. (c) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 9. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x\ — 0, x^ — 0, ..., xn — 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárních rovnic Ax = b je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice soustavy Ar = (A\b) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). • Soustava nemá řešení, pokud h (A) ^h(Ar). • Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. • Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h (A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n — h (A)) nezávislých parametrů. EB1 EJ 19 199 (cT) 2017 Masarykova univerzita Q Gaussova eliminační metoda Převedením rozšířené matice soustavy na schodovitý tvar zjistíme, zda je soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V případě, že h (A) =h(Ar), řešíme soustavu tzv. Gaussovou eliminační metodou, kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. Příklady na Gaussovou eliminační metodou. <= BBI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulární, má soustava Ax = b jediné řešení a pro z-tou složku x\ tohoto řešení platí: kde D = det A a D; je determinant matice, která vznikne z matice A výměnou z-tého sloupce za sloupec b. ^ Příklady na Cramerovo pravidlo. <= (č) 2017 Masarykova univerzita Q Analytická geometrie v rovině Věta: Libovolnou přímku p v rovině lze vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule. Vektor n = [a, b) je kolmý k přímce p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přímku p v rovině kolmou k vektoru n = (a, b). Definice: Rovnice ax + by + c = 0 se nazývá obecná rovnice přímky, vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky. Každý nenulový vektor, který je k normálovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přímky. 5BI Cl 19 ias (č) 2017 Masarykova univerzita Jedním ze směrových vektorů je např. vektor s = (—b, a), protože skalární součin vektorů s a n je roven nule. Definice: Směrnicí přímky p o rovnici ax + by + c = 0, která není rovnoběžná s osou y, tj. b ^ 0, rozumíme podíl k = — ^. Směrnice k = tg oc, kde a: je úhel, který přímka svírá s kladnou osou x. V případě, že b ^ 0, tj. přímka je rovnoběžná s osou y, řekneme, že přímka p nemá směrnici. Přímku p se směrnicí k je možné vyjádřit ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Přímku, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y - + - = 1, v q kde p 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y. (č) 2017 Masarykova univerzita Q BEI Q Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Přímku p, která prochází bodem A = [xo/í/o] se směrovým vektorem s = (si,S2) má parametrické rovnice x = Xq+ Sir, y = yo + s2ř, kde t g (—oo, oo) je parametr. Věta: Přímka určená body A — >i,yi; a B = x2, y2; má obecnou rovnici X i^i y-yi = 0. X2 — X\ y2-yi Je-li 7^ X2, má přímka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru y-yi = ¥^r(x-*i)- X2 — X\ Přímka určená bodem A = [xi,yi] a směrovým vektorem s = (s\, s2) má obecnou rovnici 'x-xi y-yi Si s2 = 0. sel ra la las (cT) 2017 Masarykova univerzita Definice: Vzdálenost bodů A = \x\,y-\\ a B = [x2,yi] v rovinném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem AB| = y/(x2-x1)2 + (y2-yi)2. Pro vzdálenost bodu A = [xo/í/o] °d přímky p o rovnici ax + by + c = 0 platí uxq + by o + c d = V a2 + b2 Dvě přímky o rovnicích a\X + b\y + c\ = 0 a a2x + b2y + c2 = 0 svírají úhly

0, představuje rovinu p kolmou k vektoru n = (a, b, c). Definice: Rovnice ax + by + cz + d = 0 se nazývá obecná rovnice roviny, vektor n = (a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Rovinu, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y z - + - + - = 1, p q r kde p 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y a r ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose z. Animace roviny. Rovina p určená bodem A = [xo/í/0/zo] a dvěma nekolineárními vektory u = {u\, u^, u^) a v = {v\, Ví, v^) má parametrické rovice x = xq + u\s + v\t, y = yo + + v^t, z — zq + u^s + v$t kde s, t e (—oo, oo) jsou parametry bbi ej q igg © 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Rovina určená body A = \x\,y\,z-\\, B = [X2,yifzi] a C = má obecnou rovnici x — x\ y — yi z — z\ x2 -x1 y2 - yi z2 - z1 ^3 - *i y3 - yi z3 - z\ = o. Rovina určená bodem A = \x\,y\,z-\\ a nekolineárními vektory u = (wi, U2, u$) diV — (v\, V2, v3) má obecnou rovnici x — x\ y — yi z — z\ U\ II2 U3 V\ v2 v3 = 0. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Vzdálenost bodů A = \x\,y\,z-\\ a B = [X2,y2/Zi] v 3-rozměrném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem AB\ = y/(x2 - *i)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - zi)2. Pro vzdálenost d bodu A = [xo,yo/Zo] od roviny p o rovnici ax + by + cz + d = 0 platí d = uxq + by q + czq + d V a2 + b2 + c2 Dvě roviny o rovnicích a\X + b\y + c\z + d\ = 0 a a2x + b2y + c2z + d2 = 0 svírají úhly

l + cly/a% + h% + c% sol ci ia las (cT) 2017 Masarykova univerzita Věta: Přímka p, která prochází bodem A = [xo/i/O/Zo] rovnoběžně s nenulovým vektorem s = {s\, Si, S3) má parametrické rovnice x — xq + ts\, y — yo + ts2, z = zq + ts^ kde ŕ g (—00,00) je parametr. Vektor s je směrový vektor přímky V- © 2017 Masarykova univerzita Q r Věta: Průsečnicí dvou různoběžných rovin daných rovnicemi a\x + b\y + c\z + di = 0, a^x + b^y + c^z + — 0 je přímka, jejíž směrový vektor je dán tzv. vektorovým součinem normálových vektorů těchto rovin, tedy S = (d\,b\,C\) X (02/^2/ cl) — (^1^2 — Cl ^2/^102 — 01^2/01^2 — ^1^2) • Vektorový součin vektorů u = {u\, u^_, 1*3) a i; = (i?i, 02, ^3) můžeme symbolicky psát takto: U X V = i j k U\ II2 U3 V\ v2 v3 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 11. Platí u x v\ — \u v • srn ... množina racionálních čísel l n J R = (—oo, oo)... množina reálných čísel I = R — Q ... množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b G R} ... množina komplexních čísel (č) 2017 Masarykova univerzita Q Množina reálných čísel a její podmnožiny Definice: Podmnožinou B množiny A rozumíme libovolnou množinu, jejíž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tuto vlastnost množiny B zapisujeme takto: B C A Množinu R zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny R jsou intervaly. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přímce úsečkou s prázdnými krajními body. 9-? a < x < b i i -1-1- a b uzavřený interval (a, b) označujeme hranatými závorkami a na přímce úsečkou s plnými krajními body. t-1 a► y. Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech y G H, pro která existuje x G D s vlastností f (x) = y se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Pokud jsou D (f) a H(/) podmnožiny R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné. Operace s funkcemi: Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit. Platí komutativní, asociativní EEI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q a distributivní zákon. (f±g)(x)=f(x)±g(x) {f-g)(x)=f(x)-g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcíD(/)nD(g). Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí mimo bodů, kde je jmenovatel nulový: D(f)nD(g)-{x:g(x)=0}. Další operací je skládání f uncí. (c) 2017 Masarykova univerzita Q Složená funkce Definice: Nechť u = g{x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Nechť y = f(u) je funkce s definičním oborem D(/) D H(g). Složenou funkcí (f °g)(x) = f(g(x)) rozumíme přiřazení, které Vx e D(g) přiřazuje y = /(w) = f(g(x)). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci / vnější složkou složené funkce. f°g © 2017 Masarykova univerzita | Definice: Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic [x, f(x)\, x označujeme jako nezávislou proměnnou a y jako závislou proměnnou. © 2017 Masarykova univerzita Q Vlastnosti funkcí Definice: Nechť/ je funkce a M C D (f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M zdola ohraničená, jestliže 3 d G R takové, že pro M x G M platí d < f (x). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M shora ohraničená, jestliže 3 h G R takové, že pro ViG M platí /(x) < h. 3. Řekneme, že funkce / je na množině M ohraničená, je-li na M ohraničená zdola i shora. Nespecifikujeme-li množinu M, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce /. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Graf zdola ohraničené funkce leží nad nějakou vodorovnou přímkou: (č) 2017 Masarykova univerzita Q Graf shora ohraničené funkce leží pod nějakou vodorovnou přímkou: (c) 2017 Masarykova univerzita Q Graf ohraničené funkce leží mezi nějakými dvěma vodorovnými přímkami: (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: 1. Řekneme, že funkce / je sudá, pokud pro Vx e D(f) platí, že -xeD(/) a f(-x)=f(x). v 2. Řekneme, že funkce / je lichá, pokud pro Vx e platí, ze -XGD(/) a /(-*) =-/(x). BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | Graf sudé funkce je symetrický podle osy y: EEI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Graf liché funkce je symetrický podle počátku: (č) 2017 Masarykova univerzita Q v Definice: Nechť p e R, p > 0. Řekneme, že funkce / je periodická s periodou p, pokud pro Vx e D (/) platí x + peD(/) a f(x)=f(x + p). y y = f(x) BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | r Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M rostoucí, pokud pro Vxi,X2 G M splňující Ji < X2 platí/(xi) < f{x^). v 2. Řekneme, že funkce / je na množině M klesající, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující Ji < X2 platí/(xi) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme ryze monotónní na množině M , je-li bud7 rostoucí nebo klesající. © 2017 Masarykova univerzita | Graf rostoucí funkce: BEI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita | Graf klesající funkce: BEI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | r Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M neklesající, pokud pro Vxi,X2 G M splňující Xi < X2 platí/(xi) < /(X2). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M nerostoucí, pokud pro Vxi,X2 G M splňující Xi < X2 platí/(xi) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme monotónní na množině M , je-li bud7 nerostoucí nebo neklesající. eei ej q iaa © 2017 Masarykova univerzita | Graf neklesající funkce: BEI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | Graf nerostoucí funkce: Následující on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcí, které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit. 5BI Cl 19 ias Interaktivní kvizy na vlastnosti funkcí. © 2017 Masarykova univerzita Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. Řekneme, že funkce / je na množině M prostá, pokud pro Vxi,X2 £ M splňující Ji 7^ X2 platí/(xi) 7^ fixi)- Graf prosté funkce protínají všechny vodorovné přímky nejvýše jednou: © 2017 Masarykova univerzita Q Inverzní funkce Definice: Nechť / je prostá funkce. Funkci která každému y G H (f) přiřazuje právě to x G D (f), pro které platí y = f (x), nazýváme inverzní funkcí k funkci /. (č) 2017 Masarykova univerzita Q 1. Vx e D(f), Vy e H(f) platí/-1(/(x))= x a/(/"1(y))= y. 2. Grafy funkcí / a /_1 jsou symetrické podle osy prvního kvadrantu: eei ej q iaa © 2017 Masarykova univerzita Q Elementární funkce <= Interaktivní kvizy na grafy funkcí v posunutém tvaru. <= Poznámka 13 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f (x) určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = /(y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze). Protože je funkce / prostá, je toto vyjádření jednoznačné. Příklad na nalezení inverzní funkce <= (č) 2017 Masarykova univerzita Q U základních elementárních funkcí je inverzní funkce jiná základní elementární funkce: Vzájemě inverzní elementární funkce: y = \fx y = x2, x > 0 y = x3 y = ex y = ln x y — cř ,a > 0,a ^ 1 y = log. * y = sin x, x g ( — 71/2, n/2) y = arcsinx y = cos x, x g (0,tí) y = arccos x y = tg x, x g { — n 12, n 12) y = arctgx y = cotg x, x g (0,7i) y = arccotgx (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 14. Platí tedy například: V x2 = x \n(ex) = x J n x = x e (sin x) = x Příklad . Vypočtěte, pro které x platí ln x = 3. Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální a dostaneme: lnx = 3 gln(x) _ e3 x = e3 = 20.0855 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Definice: Okolím bodu Xq e IR rozumíme libovolný otevřený interval í, který tento bod obsahuje. Nejčastěji se používá interval, jehož je bod Xq středem. Xq — S Xq Xq + ô -O | O- Takovýto interval nazýváme ^-okolím bodu Xq a označujeme 0$(xq). Jestliže z ^-okolí bodu Xq vyjmeme bod xq, mluvíme o ryzím ^-okolí bodu Xq a budeme jej značit O^(xq). Xq — S Xq Xq + ô -0 0 0- (č) 2017 Masarykova univerzita Q Pravým ryzím ^-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ó^(*o) = (x0,x0 + ó) Xq Xq + 8 -o o- a levým ryzím ^-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ój(xo) = (xo-S,x0). Xq — 5 Xq -o o- EEI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita | Limita funkce Definice: Necht7 x$, L g R a / : R —t R je funkce / definovaná v nějakém ryzím okolí bodu xq. v Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu rovnu číslu L, jestliže Vč > 0 existuje 3ô > 0 takové, že pro x g Oj(xo) platí f (x) g Oe(L). Píšeme lim /(x) = L. © 2017 Masarykova univerzita Q BEI Q Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q y = f'O) (č) 2017 Masarykova univerzita Q Jednostranná limita Definice: Nechť Xq, L GRa/:R4R. Dále nechť je funkce / definovaná v nějakém pravém ryzím okolí bodu xq. Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu zprava rovnu číslu L, jestliže ke každému £ > 0 existuješ > 0 takové, že pro Vx £ O^(xq) platí/(x) G Oe(L). Píšeme lim f(x) = L. _V -y I Q Analogicky definujeme limitu zleva. EEI EJ Q 133 (č) 2017 Masarykova univerzita Q (č) 2017 Masarykova univerzita BEI EJ Q lag (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Věta: Funkce má v bodě Xq e IR limitu právě tehdy když lim f(x) = lim f(x). 0 o bbi Q 19 199 (c) 2017 Masarykova univerzita | Nevlastní body Definice: Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body ±00. Označujeme R* =RU {00,-00} Prvky ±00 nazýváme nevlastní body, body množiny R nazýváme vlastní body. Pro a G R definujeme: a + 00 = oo, a — 00 = —00, 00 + 00 = 00, —00 < a < 00, zb 00 = 00, — 00 — 00 = —00 00 • 00 = —00.(—00) = 00, 00.(—00) = —00, — = a — O 00 —00 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Je-li a > O definujeme a • oo = oo a • (—00) = — 00, a je-li a < O definujeme a • 00 = —00 a • (—o°) = 00, Poznámka 15. Nejsou tedy např. definovány operace: ±00 oo — oo, zboo.O a ±00 Takovýmto výrazům rikame neurčíte výrazy. Poznamenejme, ze samozřejmě není definováno dělení nulou. BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | Nevlastní limita V Definice: Říkáme, že funkce f(x) má v bodě Xq nevlastní limitu +00 (—oo), jestliže pro VM > 0 existuje 5 > O takové, že pro Vx e Ós(xq) platí/(x) > M (resp./(x) < —M). Píšeme lim f(x) = +00(—00). © 2017 Masarykova univerzita Q BEI EJ Q lag (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 16. Aby existovala limita v bodě Xq G R, nemusí být funkce sin x f v bodě Xq definována. Například limita funkce lim- existuje, i když x—x tato funkce není definována v bodě 0. Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí (nebo jednostranném ryzím okolí, v případě jednostranné limity) bodu a. Není tedy definována například lim y/l — 3x2, nebo lim ln(x). Příklad na numerický výpočet limity <= © 2017 Masarykova univerzita Q Limita v nevlastním bodě v Definice: Říkáme, že funkce f (x) má limitu L v nevlastním bodě +00 (—oo), jestliže pro Vč > 0 existuje K > O takové, že pro Vx > K (resp. Vx < —K) platí f (x) G Oe(L) . y y = /(*) eei ej q igg © 2017 Masarykova univerzita Q Spojitost funkce v Definice: Řekneme, že funkce / : R —>► R je spojitá v bodě x$, jestliže Xq e D(f) a lim /(x) = /(*o) • X—t^Xq Řekneme, že funkce / : R —>► R je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě Xq, jestliže Xq e a lim f{x) = /(*o) ( lim f{x) = /(*o))- _V y I y_V y Definice: Řekneme, že funkce je spojitá na intervalu {a,b), (a,b) (a,b) (a, b), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud tam patří) je spojitá zprava, resp. zleva. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu (a, b) své nej-vyšší a nejnižší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi. b x Věta: Nechť/(x) je spojitá funkce v uzavřeném intervalu (a,b) a platí f (a) • f(b) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo c G (a, b) takové, že f{c) = 0. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Pravidla pro počítání s limitami r Věta: Buď a e IR*, k e IR, /, g : R —^ R. Jestliže mají / a g v bodě a vlastní limitu, pak platí lim k x—^ = k x—^a \hn(f(x)±g(x I™ (/(*)•#(*)) lim k ■ f (x) lim 44 x->fl g[X) x—^a lim ± lim#(x) x^a x^a lim • lim#(x) x^raJ X k • lim fix) x^a lim/(x) x—^a _ x—>a lim#(x) x^a pro lim#(x) 7^ 0, x^a eei ej q iaa © 2017 Masarykova univerzita Q Zobecněním základních pravidel dostáváme linearitu limity: lim(fci/i(x) H-----\-knfn(x)) = ki lim U(x) H-----Ykn lim fn(x) x—^ v x—^ x—^ S využitím předchozí věty lze počítat následující limity -11./ \ 71 ^ 71 1. lim (arctgx + arccotgx) = — + 0 = — x—w 2 2 1 2. lim — cos x = —oo • 1 = x^O" X — 00 3. lim 1 X ^ = i = o 00 - 00 00 Větu nelze použít pro výpočet limity 1 lim [ —h ln x ), x^0+ V x protože bychom obdrželi neurčitý výraz 00 — 00 5BI Cl 19 ias (č) 2017 Masarykova univerzita Veta: Je-li funkce g je spojitá, platí lim g(f(x)) =g(lim /(*)) X^Xq X^Xq Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. Dále tedy platí např. lim I fix) x^a J lim fix) x^a x—^a (lim fix Kx^a n lim X^fU f(x) = ,Vlim/(x) lim bfW = b x—^a limx^a f(x) X^fU Jim(logř,/(^)) =logfc(lim/(x)) (cT) 2017 Masarykova univerzita Q Příklad. Uvedenou větu lze použít pro výpočet následujících limit: 1 1. lim ln[ — x^0+ V x ln oo = 00 2. lim arctg(e x) = ||arctgoo 71 2 3. lim ln(sinx) = ||ln(0+) = —00 EEI EJ Q 133 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Výpočet limity funkce • V bodě, ve kterém je funkce definovaná a spojitá vypočteme limitu přímým dosazením. V bodě, ve kterém funkce není definovaná nebo není spojitá mohou dosazením vznikat výrazy typu k Ô 0 Ô , které vedou k nevlastní limitě, oo 00 , což jsou neurčité výrazy, které lze řešit většinou pomocí I/Hospitalova pravidla nebo pomocí úprav. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Interaktivní kvizy na limity elementárních funkcí <= > Interaktivní kvizy na základních operace s limitami <= Příklady na výpočet limit <= © 2017 Masarykova univerzita Derivace funkce Definice: Nechť Xq e D (f). Řekneme, že funkce / má v bodě Xq derivaci rovnu f^xo), jestliže existuje konečná limita fM = lim /(*o + ft)-/(*o). 1 - h Neexistuje-li tato limita, říkáme, že funkce f{x) nemá v bodě Xq derivaci. (č) 2017 Masarykova univerzita Q (č) 2017 Masarykova univerzita y = /0) f(x0 + h) f(xo) f(xo + h) - /(zo) t)/ x0 x0 + /z (č) 2017 Masarykova univerzita Poznámka 17. Geometrický význam derivace: Sečna ke grafu funkce / procházející body [*0//(*o)] a [xq + h,f(xo + h)] má směrnici iL ^—/(xo) _ Jestliže se s bodem (xq + ^) blížíme k bodu h Xq (tj. provádíme-li limitní přechod lim), přejde sečna v tečnu v bodě [xo,f(xo)]. Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci f'M- Poznámka 18. Má-li funkce / v bodě Xq derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [*o//(*o)] y = fř(x0)(x-x0) + f(x0). BBI Q 13 199 (c) 2017 Masarykova univerzita Q BEI EJ Q lag (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Nechť má funkce / derivaci v každém bodě otevřeného intervalu L Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadí derivaci funkce / v bodě x je na I definována funkce, kterou nazýváme derivací funkce / na intervalu I a označujeme f7. Často označujeme derivaci mimo f také jako y' nebo dy dx' Funkci, která má v bodě xq, resp. na intervalu í, derivaci, nazýváme diferencovatelnou v bodě xq, resp. na intervalu I. Příklad . Vypočtěte f(x) funkce f{x) = x. f'(x) — lim X ^—- = lim \ = 1 h^o h h^oh /'(*) = (x)' = 1. EB1 EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Vzorce a pravidla pro derivování Věta: Nechť/, g jsou funkce a c £ R konstanta. Platí [cf{xY \f(x)g(x) cf'(x) f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) f'(x)g(x)-f(x)gf(x) g2(x) , g(x) ŕ 0. Derivace elementárních funkcí jsou dány následujícími vztahy a jsou definovány pro všechna x z definičního oboru elementární funkce: (č) 2017 Masarykova univerzita Q kf = O (cos x)' — — sin x íxny = nxn-l (tgx)' = _L_ COSZ X 1 (ex)7 = ex (cotgx)7 =--Ty— sin x 1 (ax)7 = ax\na (arcsinx)7 = yl — x 2 1 1 (lnx)7 = - (arccosx)7 = — x Vl-*2 1 1 (log^xV = —;— (arctgxV =--~ v ^a J x lna v 07 1 + x2 1 (sin x V = cosx (arccotexV = —--~ v 7 v 0 7 1 + x2 Příklady na základní vzorce pro derivování. <= BBI Q Q 153 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Pro složenou funkci platí kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo. Poznámka 19. Výraz ff(g(x)) v předchozí větě znamená derivaci funkce / vypočtenou v bodě g(x). Příklady na derivování složené funkce. Interaktivní kvizy na metodu derivování. Příklady na výpočet derivace funkce. <= Interaktivní kvizy na výpočet derivace funkce. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Diferenciál funkce Definice: Nechť funkce f(x) je spojitá v nějakém okolí O(xo) bodu Xo a nechť existuje derivace /'(xq). Nechť Xq + h £ O(xq). Diferenciálem funkce f(x) v bodě Xq rozumíme výraz df(xo) = f'(xo) -h. y f(x0 + h} f(xo)---- y = /(*) o Poznámka 20. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu BBI El 181 133 (č) 2017 Masarykova univerzita df(xo). Diferenciál df(xo) je tedy funkcí proměnné h (evidentně funkcí lineární). Pokud budeme uvažovat obecný bod x, v němž existuje derivace f'(x), bude diferenciál df(x) funkcí dvou proměnných x a h. Protože pro funkci f(x) = x platí df(x) — d x — 1 ■ /z, můžeme použít vztahu h — dx pro obvyklý historický zápis diferenciálu a derivace funkce y = f(x)\ df(x) — dy — f (x)dx, tj. (cT) 2017 Masarykova univerzita Q Derivace vyšších řádů Derivací 2.řádu (druhou derivací) funkce f(x) nazýváme funkci (ff)f, tj. derivaci první derivace funkce y = f (x). Podobně derivaci 3.řádu definujeme jako derivaci 2. derivace. Definice: Derivaci n-tého řádu funkce f{x) definujeme jako derivaci derivace řádu n — 1, tj. = (x)]''. Vyšší derivace označujeme takto: jrff^ jrfff^ y (4)^(5)^ _ j{n) d2y d3y dny dx2' dx3' " ' ' dxn' (č) 2017 Masarykova univerzita Q Příklady na derivace vyšších řádů. <= © 2017 Masarykova univerzita Užití derivací k výpočtu limit Věta: l'Hospitalovo pravidlo: Nechťa G R* a nechťfunkce f a g jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu a a mají zde derivaci. Necht7dále platí bud7 lim f {x) = limg(x) = 0 nebo x—ŕ a x—^a lim \g(x) x^a = 00. Pak platí Um m = Um x—ta x—ta pokud limita na pravé straně rovnosti existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity. ebi ej q igg (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 21. Předchozí větu lze použít na všechny neurčité výrazy. Lze je převést na výrazy typu 0 nebo oo - ô OO takto: 0 • oo 0 0 nebo 0 • oo co co l/oo Ô 1/0 oo 00 — 00 lze převést na spol. jmenovatel do tvaru 0 nebo 00 ô 00 1 oo .lni oo .oo-ln 1 a stejný trik lze použít na výrazy typu O = e 00° oo-O Příklady na užití 1'Hospitalova pravidla. <= (č) 2017 Masarykova univerzita Q Monotónnost funkce. Lokální extrémy. r Věta: Nechť/(x) je na (a, b) spojitá a má derivaci v každém jeho vnitřním bodě. Pak platí: Funkce f{x) je na (a,b) konstantní <^ Ví G (a,b) platí f(x)=0. Jestliže Vx e (a, b) platí/'(x) > 0, pak je funkce f{x) na (a, b) rostoucí. Jestliže Vx e (0, b) platí/'(x) < 0, pak je funkce f{x) na (a, b) klesající. EBI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Řekneme, že f(x) má v bodě Xq lokální maximum (minimum), resp. lokální extrém, jestliže Vx z nějakého okolí Xq platí f(x) < f(xo) (f(x) > f(xo))- Pokud pro x ^ Xq platí ostré nerovnosti, nazýváme lok. extrém ostrým. y (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Nechť f (xq) = O a f"(xo) ^ 0. Pak má f{x) v Xq lokální extrém, a to lokální maximum, je-li/"(xq) < 0, lokální minimum, je-li f"(xo) > 0. Definice: Je-li/'(xo) = 0, pak bod [xo,/(xo)] nazýváme stacionárním bodem. Příklady na výpočet lokálních extrémů. 5BI Cl 19 ias (č) 2017 Masarykova univerzita Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Definice: Funkci nazveme konvexní (konkávni) v bodě xq, jestliže její graf leží v okolí Xq nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávni) na intervalu l, je-li konvexní (konkávni) v každém jeho bodě. Věta: Nechť/7 (x) je diferencovatelná na [a, b). Pak jestliže Vx £ (a, b) platí/77(x) > 0 ^ /je konvexní na (a,b), jestliže Vx £ {a, b) platí f"(x) < 0 ^ /je konkávni na (a,b). (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Funkce / má v bodě Xq inflexní bod, jestliže má v Xq tečnu a f"(x) zde mění znaménko (graf funkce přechází z konvexity do konkávity nebo naopak). Důsledek: Funkce f(x) může mít inflexní bod v tzv. kritickém bodě Xq kde fff(xo) — 0/ nebo tam, kde fh\xq) neexistuje. BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | y y = /(*) Příklad na výpočet inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. 5BI BI 19 I9S (č) 2017 Masarykova univerzita Asymptoty funkce Definice: Asymptota je přímka, která je tečnou ke grafu funkce v některém nevlastním bodě. Věta: Funkce má asymptotu bez směrnice x = Xq <(=4> má / v bodě Xq nevlastní limitu zleva nebo zprava. asymptotu se směrnicí y = kx + q pro x ±00 f(x) k = lim J-^ e R a q = lim (f(x) -kx) G R x—^±00 X x—^±00 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Příklad na výpočet asymptot. <^= EEI EJ Q VSS (č) 2017 Masarykova univerzita Q Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. Určíme D(/), sudost, resp. lichost, periodičnost funkce a průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Najdeme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech a najdeme asymptoty. 3. Vypočteme f', najdeme stacionární body, intervaly monotónnosti a nalezneme lokální extrémy. 4. Vypočteme f", najdeme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a nalezneme inflexní body. 5. Načrtneme graf. Příklady na průběh funkce. <= (č) 2017 Masarykova univerzita Q Taylorův polynom r Funkční hodnotu dovedeme přesně vypočítat pouze u polynomů a racionálních lomených funkcí s racionálními koeficienty. U ostatních funkcí je třeba použít pro výpočet numerické hodnoty některou z aproximačních metod. Základní aproximační metodou je použití Taylorova polynomu příslušného dané funkci. Definice: Nechť funkce / má v okolí bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Taylorovým polynomem n-tého stupně příslušným funkci f(x) v bodě Xq rozumíme polynom Tn(x) =/(*o) + " *o) + ^^(x - x,Y + + 1! 2! (x — Xq)71. © 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 22. Taylorův polynom stupně n má v bodě Jo stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce /, tj. Tn(x0) = /Oo), Tn'(x0) = f'(x0), T„(">(x0) = fin)(x0). Animace Taylorova polynomu. <= © 2017 Masarykova univerzita Q r Věta (Taylorova věta): Nechť funkce / má v okolí 0(xq) bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Pak existuje vhodné číslo c, které leží mezi xq a x takové, že Vx £ O(xq) platí f(x) = Tn(x) +Rn+1(x), kde Tn(x) je Taylorův polynom a je polynom stupně ale- spoň n + 1 v proměnné (x — Xq), který nazýváme zbytkem. Zbytek může být např. tvaru R f^n\c) Příklady na výpočet Taylorova polynomu. <= Jak být lepší než kalkulačka... <= BBI Q Q (č) 2017 Masarykova univerzita Q Diferenciální počet funkcí dvou proměnných Definice: Nechťjsou dány neprázdné množiny D C R a H C R. Pravidlo /, které každému prvku [x, y] G D přiřazuje právě jeden prvek z G H, se nazývá funkce. Zapisujeme z = f (x, y). Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech z G H, pro která existuje [x, y] G D s vlastností f (x, y) = z, se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Jde o stejnou definici funkce, kterou jsme již probírali. Vzhledem k tomu, že D(/) C R2 a H (f) C R, mluvíme o reálné funkci dvou reálných proměnných. © 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Grafem funkce z = f{x,y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic [x, y,f{x, y)\,x a y označujeme jako nezávislé proměnné a z jako závislou proměnnou. z k 5BI Cl 19 ias (č) 2017 Masarykova univerzita .. ry *0/í/oJ £ ÍR bod, ô\ > 0 a Ô2 > 0 čísla. Množinu 2 : |x — Xq| < ^1/ |y ~~ 1/01 < ^2} nazýváme okolím Definice: Bud O = {[x,y] G R bodu [jQ,yo]. Ryzím okolím bodu [xo,yo Ô = O - {[x0,y0]}. rozumíme množinu yo + * #0,2/0. ž/o - * x0 - íl x0 X0 + Ô] x © 2017 Masarykova univerzita Q Dennice: Nechť [x0, y0] g R2, L g K a / : R2 —» R je funkce definovaná v nějakém ryzím okolí bodu [xq, y q . v Řekneme, že funkce / má v bodě [xo/í/o] límítu rovnu číslu L, jestliže Vč > 0 existuje ryzí okolí O bodu [xo/í/o] (3^1/^2 > 0 z předchozí definice) takové, že pro [x, y] g O platí /(x) g Oe(L). Píšeme lim f {x) — L. [x,y]^[x0,yo] Poznámka 23. Definice limity funkce dvou proměnných má formálně stejné znění jako definice limity funkce jedné proměnné. Proto také pro limitu funkce dvou proměnných platí analogické věty jako pro limitu funkce jedné proměnné. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Řekneme, že funkce / : R R je spojitá v bodě [xo/í/o jestliže [x0,y0] e D(/) a lim /(x,y) = /Oo,yo) • [x,y]^[x0,yo] Věta: Součet, rozdíl a součin dvou funkcí spojitých v bodě [xo/í/o] je funkce spojitá v bodě [xo/í/o]- Podíl dvou funkcí spojitých v bodě [xo,yo] je funkce spojitá v bodě [xo,yo]/ pokud funkce ve jmenovateli je v tomto bodě různá od nuly. (cT) 2017 Masarykova univerzita Q Definice: Nechťu — g{x,y) a v — h(x,y) jsou funkce definované v množině M, nechť f{u,v) je funkce definovaná v množině D a nechť pro každý bod [x,y] G M platí [g(*,y),/z(*,y)] e ^-funkce přiřazující každému bodu [x,y\ G M číslo f\g{pc,y),h{x,y)\ se nazývá složená funkce. Tato funkce je definovaná na množině M, funkce / se nazývá její vnější složka, g{x, y), h{x, y) její vnitřní složky. BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | Parciální derivace Definice: Buď f(x,y) funkce a [xo,i/o] bod. Funkce g(x) = f{x,y$) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g{x) v bodě Xq derivaci g7(xo)/ nazýváme ji parciální derivací funkce f{x,y) podle x v bodě [xo,i/o] a značíme ji /x(*0/3/o) nebo d/foo^yo) ^ Analogicky definujeme parciální defivaci podle y. Podle definice derivace tedy platí f'(r rr ^ - lim /(*0 + ~/fo^o) /v(xp^ypj - pn-^- EB1 EJ Q 133 (č) 2017 Masarykova univerzita Q Geometrický význam parciální derivace. Příklady na parciální derivace <= Interaktivní kvizy na parciální derivace Parciální derivace vyšších řádů můžeme definovat analogicky Má-li např. funkce fx{x,y) v bodě [xo/3/o] parciální derivaci podle x, značíme ji fxx(xO'yo) nebo ^XQ/y°) m Má-li funkce fx{x,y) v bodě [xo/3/o] dxL parciální derivaci podle y, značíme ji /™(*0/ 3/0) nebo Podobně definujeme a značíme i derivace vyšších řádů. Věta: Nechť má funkce f{x,y) parciální derivace /jV(*0/3/o) a /vx(J0/3/o) spojité v bodě [xq/3/o]- Pak platí /xv(J0/3/o) - /vx(xO/3/o)- xyx^w yvj Jyx sol ci ia las (č) 2017 Masarykova univerzita Diferenciál a tečná rovina plochy Definice: Nechť je funkce f{x,y) spojitá v okolí O bodu [xo/í/o a nechť existují parciální derivace /j(xo,yo) a /y(xo,i/o)- Nechť bod [x, y] = [Xq + /z, yo + /c] e O. Totálním diferenciálem funkce f{x,y) v bodě [xo,yo] rozumíme výraz df(x0,y0) =fx(xo>yo) - h + fíi^yo) -k. Poznámka 24. Analogicky jako u diferenciálu funkce jedné proměnné lze psát h = dx a k = dy a totální diferenciál v obecném bodě má tvar df(x,y) = f'x(x,y)dx + fý(x,y)dy. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Má-li funkce f{x, y) v bodě [xq, y o] totální diferencál, pak má graf funkce z = f{x,y) v bodě [xo,yo, f(xo,yo)] tečnou rovinu o rovnici z = /(x0,y0) + f'x(x0,y0) • (x-x0)+fý(x0,y0) • (y-y0) Totální diferenciál je vlastně přírůstek na tečné rovině při přechodu z bodu [xo,yo] do bodu Xq +h,yo + fc. V dostatečně malém okolí bodu Xo,yo] lze přírůstek funkce nahradit totáním diferenciálem, tj. A/(x0,y0) = f(xo + h,yo + k)-f(x0,yo) =df(x0,yo)> (č) 2017 Masarykova univerzita Q Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Definice: Bud'/(x,y) funkce definovaná v nějakém okolí O bodu Xo/í/o] a nechť pro každé [x,y] G O platí f(x,y) < f(xQ/yo) resp./(x,y) > f(x0,y0). Pak říkáme, že funkce f{x, y) má v bodě [xq, y o] lokální maximum, resp. lokální minimum, mluvíme o lokálním extrému funkce. Platí-li v uvedených vztazích ostré nerovnosti, nazýváme lokální extrém ostrým. (č) 2017 Masarykova univerzita Q Věta: Nechťfunkce f{x, y) má v bodě [xq, yo] lokální extrém a nechť zde má parciální derivace /x(*0/3/o) a /y(xO/í/o)- Pak platí fx(xo,yo) =fý(x0,y0) =0. Poznámka25. Bod [xo/í/o]> který splňuje vlastnost /í(*o,yo) =/J(*o,yo) =o nazýváme stejně jako u funkcí jedné proměnné stacionárním bodem. Podobně jako u funkcí jedné proměnné neplatí obrácení předchozí věty. Stacionární bod nemusí být lokálním extrémem. BBI Q 19 199 (č) 2017 Masarykova univerzita | Definice: Má-li funkce /(x, y) parciální derivace 2. řádu, nazýváme matici druhých derivací _ j fxx(x'V) fxi/(x'y) Jyx(x' V ) fyy(x' V\ Hessovou maticí funkce /(x, y). Její determinant se nazývá hessián. Věta: Nechť má funkce f{x, y) ve stacionárním bodě [xq, y o] a jeho okolí spojité parciální derivace 1. a 2. řádu. Jestliže je hessián v bodě [xo,yo] kladný, má funkce f{x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém. Je-li naopak hessián v bodě [xo,yo] záporný, nemá funkce /(x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém, bod [xo,yo případě nazýváme sedlem. v tomto (č) 2017 Masarykova univerzita Q Poznámka 26. Najdeme-li pomocí hessiánu v bodě [xo,i/o] lokálni extrém, můžeme o maximu, resp. minimu, rozhodnout pomocí druhých parciálních derivací. Je-li v řezu ve směru např. osy x funkce konvexní, tj. pokud fxx(xo'Vo) > 0» nastává v tomto bodě lok. minimum. V opačném případě maximum. Lokální extrém. <= Sedlo. <^= Příklady na lokální extrémy funkcí dvou proměnných <= Interaktivní kvizy na lokální extrémy <= (č) 2017 Masarykova univerzita Q Absolutní extrémy Definice: Buď M £ IR množina v rovině, [xo,yo] b°cl, f(x,y) funkce definovaná na množině M. Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě [xo,i/o] absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro V[x,y] £ M platí f (x,y) < f(xo,yo), resp. j {x,y) > /(^0/]/o). Věta: NechťM ^ 0 je množina v rovině, [xo,yo] £ M bod, j [x,y) funkce definovaná na množině M. Pokud má funkce j [x,y) v bodě [xo,yo] absolutní extrém, pak bod [xo, i/o] leží bud7 na hranici množiny M nebo v něm má funkce j [x,y) lokálni extrém. © 2017 Masarykova univerzita Q Budeme-li tedy hledat absolutní extrémy funkce, porovnáváme funkční hodnoty ve všech • stacionárních bodech (v nich může nastat lokální extrém), • dále ve stacionárních bodech vázaných hranicemi množiny M • a ve vrcholech (pokud existují). =>* Absolutní extrém. <^= Příklady na absolutní extrémy <^= eei ej q igg © 2017 Masarykova univerzita Q