1
Atom vodíku
Nejjednodušší soustava: proton + elektron
Schrödingerova rovnice je
řešitelná exaktně pro atom H:
• Vlnové funkce 
• Energie E
r
e
V
0
2
4

Ĥ  = E 
Kulová symetrie = výhoda
Potenciální energie
mezi p + e
2
Polární souřadnice – využití kulové symetrie atomu
(x, y, z)  (r, , )
x = ?
y = ?
z = r cos 
3
Rozklad vlnové funkce
na radiální a angulární část
n, l, m (r,, ) = N  Rn, l (r)  l, m(, )
Separace proměnných
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce, závisí jen na
vzdálenosti r od jádra
l, m(, ) = angulární (úhlová) část vlnové funkce závisí
na směru , 
N = normalizační konstanta
aby platilo |  |2 dV = +1
normalizační podmínka, elektron určitě někde je,
pravděpodobnost = 1
4
Kvantová čísla
Hlavní kvantové číslo n, (nabývá hodnot 1 až )
Vedlejší kvantové číslo l, (pro dané n nabývá l hodnot 0 až n 1)
l = 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f), 4 (g), 5 (h), ........
Magnetické kvantové číslo ml, (pro dané l nabývá ml hodnot
+ l, .....0, ..... l)
Pro každé l je (2l + 1) hodnot ml
Spinové kvantové číslo ms (nabývá hodnot ±½)
Rn, l (r) závisí na kvantových číslech n a l
l, m(, ) závisí na kvantových číslech l a ml
5
Vlastní vlnové funkce n, l, m (r,, )
• Řešení Schrödingerovy
rovnice pro atom H
• Komplexní funkce souřadnic
x, y, z nebo lépe r, , 
• Nemají fyzikální význam
• Mohou nabývat kladných i
záporných hodnot (fáze!)
• |  |2 má význam hustoty
pravděpodobnosti výskytu e
n, l, ml
6
Vlastní hodnoty energie E v atomu H typu
 = redukovaná hmotnost systému jádro-elektron
e = elementární náboj, 0 = permitivita vakua
Z – čím vyšší náboj jádra tím silněji je elektron vázán, tím
nižší má energii, jednoelektronové ionty (He+, Li2+,....)
n – s rostoucím hlavním kvantovým číslem se elektron stává
méně stabilní
Odpovídá Bohrově rovnici!!
2
2
22
0
4
8 n
Z
h
eN
E A
n



2
2
0
n
Z
EEn 
7
Vlastní hodnoty E elektronu v atomu H typu
E1 = 13,6 eV
• Hlavní kvantové číslo n
• Energie hladiny závisí jen na n
• Vyšší n má vyšší energii - méně stabilní
• n stejné jako v Bohrově modelu
• Přípustné hodnoty n = 1 až 
E2 = ?
2
2
22
0
4
8 n
Z
h
eN
E A
n



Pro každé n existuje n2
degenerovaných hladin
 (2l + 1) = n2
8
Orbitální moment hybnosti
L = orbitální moment hybnosti (vektor)
L = m × v × r = p × r
 1 llL 
Popisuje pohyb elektronů v orbitalech
LVelikost L je kvantována
2
h
mmL llz  
Velikost Lz je kvantována číslem ml
9
Kvantování orbitálního momentu hybnosti
 1 llL 
2
h
mmL llz  
Velikost L je kvantována číslem l
Velikost Lz je kvantována číslem ml
10
Vedlejší kvantové číslo l
l orbital
0 s
1 p
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
7 j
8 k
L = orbitální moment hybnosti
L = m × v × r
Určuje typ orbitalu, nabývá hodnot 0 až n 1
tyto orbitaly nejsou zaplněny
elektrony u atomů v
základním stavu
 1 llL 
11
Magnetické kvantové číslo ml
l orbital ml
0 s 0
1 p 1, 0, 1
2 d 2, 1, 0, 1, 2
3 f 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3
4 g nejsou zaplněny
5 h elektrony u atomů v
6 i základním stavu
2
h
mmL llz  
Pro každé n existuje n2 degenerovaných hladin
(nabývá hodnot + l, .....0, ..... l)
Kvantová čísla
12
s p d f g h
l = 0 1 2 3 4 5
n = 1 1s
n = 2 2s 2p
n = 3 3s 3p 3d
n = 4 4s 4p 4d 4f
n = 5 5s 5p 5d 5f 5g
n = 6 6s 6p 6d 6f 6g 6h
Pro každé n existuje n2 degenerovaných hladin
13
Magnetické spinové kvantové číslo ms
S = h/2 [s (s +1)]½
s = ½
SZ = ms h/2
ms = ±½
Paul Dirac
1902 – 1984
NP za fyziku 1933
Předpověď antihmoty
Diracova rovnice
Zahrnul relativitu
Vlastní moment hybnosti = spin
14
Magnetické spinové kvantové číslo ms
Stern-Gerlachův experiment
S = spinový
moment
hybnosti
vakuum
Nehomogenní magnetické pole
Pícka s Ag
Spin je kvantová
vlastnost částic – nemá
mechanickou obdobu
15
Orbital
Polohu elektronu nelze určit přesně – Heisenbergův princip
Lze stanovit pravděpodobnost výskytu elektronu
 Radiální část vlnové funkce určuje pravděpodobnost výskytu e
směrem od jádra (do r = ) a počet nodálních ploch = místa
nulové hodnoty distribuční funkce
 Angulární část vlnové funkce určuje tvar orbitalu (počet
nodálních rovin)
16
 = Vlnová funkce
Vlnové funkce  jsou řešením
Schrödingerovy rovnice
nemají fyzikální význam
|  |2 = hustota pravděpodobnosti
výskytu elektronu
|  |2 dV = pravděpodobnost
výskytu elektronu v objemu dV
= rozložení elektronové hustoty
1s
17
Pravděpodobnost výskytu elektronu
Polární souřadnice
Rn, l (r) radiální část vlnové funkce
dV = 4r2 dr (kulová slupka tloušťky dr)
Radiální distribuční funkce
P = 4r2 |  |2 dr = 4r2 R2
n, l (r) dr
P = Pravděpodobnost
výskytu elektronu v objemu
tvaru kulové slupky
tloušťky dr ve vzdálenosti r
18
Vlnové funkce s-orbitalů
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce, závisí jen na
vzdálenosti od jádra r
l, m(, ) = angulární (úhlová) část vlnové funkce, je
konstanta pro s-orbitaly (l = 0) = KULOVÝ TVAR
19
Atomový orbital 1s
Rn, l (r)
n = 1, l = 0
Vlnová funkce 1s
20
Radiální distribuční funkce
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce atomu H
4r2 R2
n, l (r) = radiální distribuční funkce
rmax = nejpravděpodobnější poloměr
pro 1s rmax = a0 Bohrův poloměr
4r2 R2
n, l (r)
21
Radiální distribuční funkce s-orbitalů4r2R2
n,l(r)=radiálnídistribučnífunkce
Velikost orbitalu
(atomu) roste s
rostoucím n
Poloměr, a0
Počet nodálních ploch
n  l 1
22
Vlnová funkce
Hustota
pravděpodobnosti
Radiální rozložení
(distribuční fce)
Orbital
Vlnová funkce
mění znaménko
Distribuční funkce
má někde nulové hodnoty
23
Uzlové (nodální) plochy v radiální distribuční
funkci
Počet kulových uzlových (nodálních) ploch
v radiální distribuční funkci n  l 1
Uzlová (nodální) plocha
• Vlnová funkce mění znaménko
• Radiální distribuční funkce nabývá nulové hodnoty
24
Účinek Z na radiální část vlnové funkce s
S rostoucím nábojem jádra Z se poloha maxima
pravděpodobnosti výskytu e přibližuje k jádru













0
3
0
ln, exp2(r)R
a
Zr
a
Z
Radiální distribuční funkce 1s
Atomy
vodíkového
typu = 1 e
25
Angulární část vlnové funkce p-orbitalů
Angulární část vlnové funkce určuje tvar orbitalu
Stejná pro všechny hodnoty n
26
Angulární část vlnové funkce p-orbitalů
n = 2, l = 1, m = 1,0,1
Angulární část vlnové funkce určuje tvar
Stejná pro všechny hodnoty n
x
y
z
pz
py
px
27
n = 2, l = 1, m = 0 n = 3, l = 1, m = 0
2p - orbitaly 3p - orbitaly
Radiální a angulární část
vlnové funkce p-orbitalů
28
Vlnové funkce
29
2p - orbitaly 3p - orbitaly
Vlnové funkce = Radiální × Angulární část
+

+
+


30
Angulární část vlnové funkce d-orbitalů
31
d-orbitaly
x
y
z
dZ2 x
y
z
dYZ
x
y
dX2-Y2
x
y
dXY
n = 3, l = 2, m = 2, 1, 0, 1, 2
32
f-orbitaly
n = 4, l = 3,
m = 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3
33
Uzlové (nodální) plochy a roviny
Pouze s-orbitaly
mají nenulovou
hodnotu vlnové
funkce na jádře
Kulové uzlové (nodálních) plochy = n  l 1
Platí pro s, p, d, f,....
radiální (n, l) část vlnové funkce
Uzlové (nodálních) roviny = l
angulární (l, ml) části vlnové funkce :
Orbital Počet
s 0
p 1
d 2
f 3
. .
. .
34
Uzlové (nodální) plochy a roviny
Kulové uzlové (nodálních) plochy = n  l 1
Platí pro s, p, d, f,....
radiální část vlnové funkce
n = ?
35
Energie orbitalů v H atomu
Energeticky degenerované hladiny
n
2
2
22
0
4
8 n
Z
h
eN
E A
n



Energie závisí pouze na n
Odpuzování elektronů
36
Poloměr atomu H: 0,53 Å
Poloměr hydridového aniontu: 1,5 Å
13,6 eV
37
Energie orbitalů ve víceelektronových atomech
Ve víceelektronových atomech nejsou
energetické hladiny degenerované
Energie závisí na n a l
38
Energie orbitalů ve víceelektronových atomech
Stabilnější orbital
(nižší energie)
Madelungovo pravidlo
(platí po Ca)
1. Nižší (n + l)
2. Při rovnosti n + l
nižší n
3p  4s
4p  3d
39
Víceelektronové atomy – Penetrace a stínění
• 2s a 2p penetrují 1s
• 1s stíní vzdálenější elektrony
• 2s penetruje více než 2p
• Větší stabilizace nábojem jádra
• E(2s) < E(2p)
• ale maxima r(2s) > r(2p)
1s
2p 2s
40
Víceelektronové atomy – Penetrace a stínění
Čím se elektron průměrně nachází blíže k jádru, tím je
pevněji vázán a má nižší energii
E(2s) < E(2p)
r(2s) > r(2p)
41
Relativní energie orbitalů s, p, d
E(3s) < E(3p) < E(3d)
r(3s) > r(3p) > r(3d)
42
Slaterovy orbitaly
Orbitaly pro víceelektronové atomy - přibližné
• orbitaly (vlnové funkce) vodíkového typu
• azimutální část: stejná jako u H
• radiální část (nemá nodální plochy):
Z* = efektivní náboj jádra, N = normalizační konstanta
n* = efektivní kvantové číslo (pro K, L, M = n)
Ei =  N (Z*i /ni)2 N = 1310 kJ mol 1
*
*
*
1
)( n
rZ
n
eNrrR



43
Efektivní náboj jádra, Z*
Z* = efektivní náboj jádra = náboj působící na zkoumaný elektron
= náboj jádra (Z+) – náboj ostatních elektronů
Z* = Z    = stínící konstanta, součet pro všechny elektrony
Slaterova pravidla:
(1s)(2s,2p)(3s,3p)(3d)(4s,4p)(4d)(4f)(5s,5p)(5d)(5f)...
Elektrony napravo od zkoumaného elektronu nestíní, nepřispívají k 
Uvnitř skupiny stíní 0,35 (1s jen 0,30)
Zkoumaný elektron typu s nebo p :
Elektrony v n  1 vrstvě stíní 0,85
Elektrony v n  2 vrstvě a nižších stíní 1,00
Zkoumaný elektron v d nebo f : vše nalevo stíní 1,00
44
Efektivní náboj jádra
Z* = efektivní náboj jádra
Z* = Z  
Náboj působící na elektron = náboj jádra (Z+) – náboj
ostatních elektronů
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8(3d)1
(3d) = 0  (0,35) + 8  1,00 + 10  1,00 = 18
Z* = 19  18 = 1
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
(4s) = 0  (0,35) + 8  0,85 + 10  1,00 = 16,8
Z* = 19  16,8 = 2,2
45
Efektivní náboj jádra
Valenční elektrony
Efektivní náboj působící na
valenční elektrony
46
0
2
4
6
8
10
12
14
16
H He Li Be Be C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
Efektivní náboj působící na valenční elektrony
Efektivní náboj
Z* He (1s)2
(1s) = 1  (0,30) = 0,30
Z* = 2  0,30 = 1,70
F (1s2)(2s2,2p5)
(2p) = 0,35  6 + 0,85  2 = 3,8
Z* = 9 – 3,8 = 5,2
47
Efektivní náboj
Z*
1s elektrony nejsou stíněny
Ne: Z = 10, Z* = 10
Ostatní
elektrony ve
vyšších
orbitalech
jsou stíněny
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
Z = 19, Z* = 2,2
48
Poloměr maximální
elektronové hustoty
r(2s) > r(2p)
r(3s) ~ r(3p)
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
Energie orbitalů 1s, 2s a 2p
49
2
*
*
0 






n
Z
EEn
50
Energie orbitalů 2s a 2p
Blízká pro lehké prvky
2
*
*
0 






n
Z
EEn
51
Elektronová konfigurace atomu
v základním stavu
Aufbau (výstavbový) princip:
Elektronové hladiny se zaplňují
elektrony v pořadí rostoucí
energie tak, aby měl atom co
nejnižší celkovou energii
Pauliho princip:
Žádné dva elektrony nemohou mít
všechna 4 kvantová čísla stejná
Hundovo pravidlo:
V degenerovaných orbitalech je
stav s max. počtem nepárových
spinů nejstabilnější
n
l
n + l
52
Elektronová konfigurace C
Elektronová konfigurace atomu
v základním stavu
53
54
Elektronová konfigurace valenční slupky
(Ne)