5. termín 7. 2. 2022 C1460 Jméno:
1. příklad [3 b]. Rozhodněte a zdůvodněte (!), zda platí:
a) Hodnost matice odpovídá počtu jejích nenulových řádků.
b) Existují tři lineárně nezávislé vektory v R2
.
c) Sčítání matic je komutativní operace.
2. příklad [2 b]. Vyřešte následující systém lineárních rovnic:


0 1 1
2 0 1
1 1 1

 ·


x1
x2
x3

 =


−1
1
0


3. příklad [8 b]. Vyšetřete průběh funkce:
y =
2x + 3
x − 1
4. příklad [3 b]. Spočítejte limity:
a) lim
x→0
1
x
b) lim
x→0
x2
+ x + 1
x2 + 1
c) lim
x→∞
2x+1
+ 1
2x
5. příklad [2 b]. Určete všechny první a druhé parciální derivace funkce:
z = sin (xy) + ex
+ xy
6. příklad [3 b]. Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice
y
2
y′
= xy + y
a určete partikulární řešení pro počáteční podmínku y(−1) = 0. Načrtněte graf řešení.
7. příklad [4 b]. Vypočítejte integrály:
a)
∫
ex
2
+
ex
3
+
ex
4
dx
b)
∫
tan x dx
c)
∫π/2
0
sin x dx
8. příklad [3 b]. Načrtněte grafy funkcí (ve srovnání s funkcí y = x3
):
a) − x3
b) |x3
|
c) x3
+ 1 d) (x + 1)3
e) x2
f) x5
9. příklad [2 b]. Uveďte příklady funkcí (tj. předpis funkce):
a) f1(x) není konstantní a má asymptotu y = −1.
b) f2(x) má kladnou první derivaci na celém svém definičním oboru.
c) f3(x) je omezená, ale není periodická.
d) f4(x) má tři asymptoty bez směrnice.