logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Hřebíček, J. Kalina Motivace Matematické modelování Matematický model 1. Úvod do úvodu E3101 Úvod do matematického modelování logo-IBA logomuni —Jaký význam má matematické modelování? Proč má smysl vytvářet matematické modely reálných systémů? 1.Porozumění okolnímu světu díky abstrakci: ¡vědecký popis reality, ¡užitečné zjednodušení a zdůraznění důležitých procesů. 2.Schopnost předvídat chování systému: ¡v čase (chování systému v budoucnosti/v minulosti), ¡při změnách podmínek, ve kterých systém pracuje (citlivost). 3.Podpora rozhodování: ¡krátkodobá rozhodnutí, ¡strategické rozhodování. Motivace logo-IBA logomuni —Činnost vedoucí k vytvoření matematického modelu. —Tvorba modelu vlastně znamená překlad našich znalostí (očekávání, předpokladů, víry) o modelovaném systému do jazyka matematiky. To má několik (ne)výhod: ¡matematický jazyk je obvykle velmi konkrétní a přesný – to může pomoci s formulací/zpřesněním našich myšlenek a znalostí o systému, ¡matematické vyjádření je stručné a jasně definované, ¡máme k dispozici veškerý matematický aparát, nástroje a výsledky (věty, důkazy) zdokonalované po staletí, ¡to všechno umíme efektivně zpracovat s využitím ICT! —Obvykle vyžaduje spolupráci odborníků z různých oblastí: ¡odborníka z oblasti oboru řešené problematiky, ¡specialistu v oblasti matematiky, ¡specialistu z oblasti informatiky apod. ¡ Matematické modelování logo-IBA logomuni —Uvedené (ne)výhody umožňují přesnou formulaci, ale nesou s sebou také určitá omezení. —To nás nutí ke kompromisům mezi jednoduchostí a přesností. —V první řadě jde o míru zjednodušení reality: ¡většina reálných systémů je příliš komplikovaná na to, abychom je dokázali (efektivně) vyjádřit matematicky bez zjednodušení, ¡hned v úvodní fázi modelování je proto zapotřebí identifikovat nejdůležitější součásti modelovaného systému, ¡ostatní části systému budou (prozatím) zanedbány. Matematické modelování logo-IBA logomuni —Ve druhé řadě pak o míru složitosti matematického vyjádření: ¡matematika umožňuje získat výsledky (vyčíslit, dokázat) mnoha obecně vyjádřených problémů, ¡kvalita výsledků závisí na typu matematického vyjádření, ¡složitost vztahů, forma rovnic, ¡v některých případech může malá změna struktury vést k dalekosáhlým změnám výsledků modelu, ¡přesnost/citlivost řešení, robustní modely, ¡využití počítačů může pomoci se získáním přibližného řešení (numerické metody), pozor na citlivost! Matematické modelování logo-IBA logomuni —Definice: Model je záměrně zjednodušený obraz reality (reálných objektů). — — — — — — — — —zjednodušený abstraktní popis reálného objektu (soubor vztahů, resp. instrukcí pro generování dat popisujících chování reálného objektu. — — — Matematický model logo-IBA logomuni —Prvky modelu: ¡množiny vstupních a výstupních proměnných různých typů, včetně parametrů (konstant), ¡matematické struktury (rovnice), které určují stavy systému a vztahy mezi proměnnými a parametry, ¡řešení modelu. —Proměnné reprezentují vlastnosti systému, např. výstupy měřených veličin ve tvaru signálů, vzorkovaná data, počty, výskyt dané události či jevu (ano/ne) apod. —Na model se můžeme dívat také jako na množinu funkcí, která popisuje vztahy mezi různými proměnnými. Matematický model logo-IBA logomuni —Proces tvorby modelu má několik fází, mezi kterými existují významné zpětné vazby: ¡identifikace prvků modelu (proměnných), ¡studium vztahů mezi prvky modelu, ¡implementace modelu (s použitím ICT), ¡nalezení řešení modelu (jedno nebo více), ¡analýza řešení, jeho výhod a nedostatků, ¡modifikace modelu (iterativně). ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Matematické modelování logo-IBA logomuni —Proces tvorby modelu: Matematické modelování logo-IBA logomuni —Určení/výběr jednotlivých prvků matematického modelu. —Lze využít odborné literatury, spolupráci s odbornou a komunitou. —Vychází se z analýzy systému, jeho chování a stanovených cílů řešení. —Realita je složitá, je třeba ji vymezit a pro účely modelu zjednodušit. —Proto definujeme v rámci objektivní reality prvky, vstupy a výstupy, procesy, stavy a funkce. —Dále provádíme zjednodušení (simplifikaci) řešeného problému, kdy nepodstatné oddělujeme od podstatného. ¡ ¡ ¡ ¡ Identifikace prvků modelu logo-IBA logomuni —Tvorba základní struktury modelu. —Identifikace vztahů mezi prvky modelu, a posléze jejich matematické vyjádření. —Musí respektovat naše předpoklady a domněnky o tom, jak systém funguje. —Budoucí analýzy systému vždy zachází s těmito předpoklady jako s pravdivými, ale jejich výsledky budou validní, pouze pokud jsou tyto předpoklady platné. —Ve fázi studia vztahů může dojít ke korekci předchozího kroku při nutnosti přidat nebo odebrat některý z prvků modelu. ¡ ¡ ¡ ¡ Studium vztahů mezi prvky modelu logo-IBA logomuni —Obvykle za využití ICT (naprogramování v příslušném programovacím jazyce). —Odladění a verifikace modelu. —Analýza výpočetní složitosti, využití příslušného hardware atd. —Opět může dojít k přehodnocení závěrů předchozích dvou fází modelu, tj. identifikace prvků a studia vazeb modelu dle možností a potřeb jeho implementace. ¡ ¡ ¡ Implementace modelu logo-IBA logomuni —Po „naplnění“ modelu konkrétními parametry a daty lze přistoupit k jeho řešení —V principu existují dva způsoby nalezení řešení matematického modelu: ¡a) analytické (explicitní) řešení spočívá v nalezení přesného řešení pomocí analytických matematických metod (řešení soustavy rovnic, řešení úlohy na vázaný extrém apod.). ¡b) numerické (přibližné) řešení se používá u modelů, u kterých neumíme problém řešit analyticky, nebo v případech, kdy je analytické řešení příliš složité nebo časově náročné. Při numerickém řešení je třeba uvažovat jeho numerickou stabilitu, konvergenci a chybu, která nám vznikne. ¡ ¡ Nalezení řešení modelu logo-IBA logomuni —Testování/kontrola, zda (do jaké míry) výsledky souhlasí s chováním modelovaného systému. —Modely „naplníme“ empirickými daty, výsledky porovnáváme s realitou. —Vizualizace řešení. —Model je jen přibližným obrazem objektivní reality. Je dobrý, pokud umožní přesně sledovat důsledky změn ve vstupech do systému na jeho výstupy. —Cílem analýzy řešení je prověření správné struktury modelu, jeho vypovídací schopnosti ale i formálních kvantitativních vlastností včetně odstranění formálních chyb. ¡ Analýza a verifikace řešení logo-IBA logomuni —V případě, že dosažené řešení není v dostatečném souladu s realitou, iterativně se postupuje od fáze 1 přes celý cyklus. —Metody prezentace modelu jeho potenciálním uživatelům závisí na jejich (matematických) znalostech. —Pokud chce uživatel vědět raději méně o detailech modelu, je vhodné ukázat mu všechny relevantní informace o výstupech modelu. —To umožní uživateli (který není programátorem) vytvořit si objektivnější pohled na řešení modelu a jeho interpretaci. ¡ Modifikace modelu logo-IBA logomuni —Modelování a simulace označují aktivity spojené s vytvářením modelů objektů reálného světa a experimentováním s těmito modely. Modelování a simulace logo-IBA logomuni •Modelování je soubor aktivit vedoucích k vývoji matematického modelu, který současně reprezentuje strukturu a chování reálného systému. •Simulace je soubor aktivit sloužících k ověření správnosti modelu a získání nových poznatků o činnosti reálných systémů. Modelování a simulace logo-IBA logomuni 18 —Reálný systém ¡= zkoumaná část reálného světa; ¡ může být — přirozený (květina, včelí roj, počet zajíců,…) — nebo — umělý (počítač, tok materiálu ve výrobním podniku); — existující — nebo — plánovaný — = zdroj dat o svém chování Základní pojmy