logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Hřebíček, J. Kalina
Nejistota
6. Nejistota
E3101 Úvod do matematického modelování

logo-IBA logomuni
—Nejistotou při zobrazení systému pomocí matematického modelu rozumíme situaci, kdy nemáme k
disposici všechnu potřebnou informaci nebo kdy některé z informací jsou nespolehlivé.
—Modelování při riziku předpokládá, že některé informace jsou náhodné veličiny, nebo že některé
procesy jsou popsány náhodnými funkcemi.
¡V případě modelů s rizikem můžeme velikost rizika při přijetí řešení popsat pomocí
pravděpodobnostních charakteristik.
¡Analogicky můžeme považovat modelování za rizika i v případě použití fuzzy veličin, nebo fuzzy
funkcí. Velikost rizika lze potom vyjádřit buď pomocí vhodné fuzzy míry nebo tuto fuzzy míru
transformovat na subjektivní pravděpodobnost.
Modelování nejistoty (neurčitosti) a rizika

logo-IBA logomuni
—Analýza nejistoty (neurčitosti) je proces kvantifikace nejistoty na výstupu modelu v závislosti na
nejistotách jak vstupů modelu, tak samotné struktury modelu. Uplatňuje se více technik, např.
intervalová aritmetika, fuzzy techniky, pravděpodobnostní analýza.
—Analýza citlivosti předpokládá, že některé informace jsou náhodné veličiny, nebo že některé
procesy jsou popsány náhodnými funkcemi.
¡Lokální analýza citlivosti se zabývá citlivostí výstupu na změny každého ze vstupů samostatně.
Obvykle jde o parciální derivaci modelu (pokud lze analyticky zjisti).
¡Globální analýza citlivosti se zabývá celkovou citlivostí modelu na změny vstupů v rámci množiny
všech variant vstupů.
Modelování nejistoty (neurčitosti) a rizika

logo-IBA logomuni
Modelování nejistoty (neurčitosti) a rizika


logo-IBA logomuni
Inverzní problém
—Určení vstupních parametrů modelu, které neznáme, při znalosti výstupních hodnot (naměřených dat).
—Nazývá se inverzní, protože známe výsledek modelovaného procesu, ale neznáme počáteční stav.
—Opakem je dopředný problém, kdy známe vstupy (parametry) a chceme zjistit výstupy (data).
—Data bývají zatížena chybami, které mohou ztěžovat určení parametrů modelu.
—Inverzní problémy jsou typicky špatně postulované (ill-posed).

logo-IBA logomuni
Příklad
—Uvažujme diskrétní stochastický model z prvního domácího úkolu.
—Budeme znát pouze počty jedinců v prvních deseti generacích a máme odvodit koeficient růstu r
(resp. pravděpodobnost, že se jedinec rozmnoží pB-pD).
—Proveďte výpočet v R včetně stanovení 95% intervalu spolehlivosti pro odhad koeficientu růstu r.

logo-IBA logomuni
Dobře/špatně postulovaný problém
—Well posed × Ill posed problems.
—Říkáme, že problém je dobře postulovaný pokud splňuje Hadamardovu definici (3 podmínky):
¡existuje řešení problému;
¡toto řešení je jednoznačné;
¡vlastnosti řešení se mění spojitě se vstupními parametry.
—Inverzní problémy jsou typicky špatně postulované, mohou trpět numerickou nestabilitou díky
diskretizaci, nepřesnosti v datech apod.
—I když je problém dobře postulovaný, může být stále špatně podmíněný.

logo-IBA logomuni
Dobře/špatně podmíněný problém
—Well conditioned × Ill conditioned problems.
—Za dobře podmíněný problém považujeme problém s nízkou podmíněností (číslem podmíněnosti), za
špatně podmíněný problém považujeme problém s vysokou podmíněností.
—Podmíněnost udává, jak moc závisí změny modelových výstupů na (malých) změnách modelových vstupů.
—Podmíněnost je mírou citlivosti modelu na chyby ve vstupních hodnotách.
—Podmíněnost (číslo podmíněnosti) je definována jako maximální poměr relativní chyby výstupů a
vstupů modelu.

logo-IBA logomuni
Dopředná a zpětná stabilita


logo-IBA logomuni
Dopředná a zpětná stabilita
f
y
x*
y*
Δx
Δy
f
f*
x
vstupní data modelu
řešení modelu
řešení s chybou
dopředná chyba
zpětná chyba
vstupní data zatížená chybou
optimální model
numerický model

logo-IBA logomuni
Číslo podmíněnosti


logo-IBA logomuni
Monte Carlo modelování (DÚ 2 do 7. 11. 2022)
—Využijte spojitý deterministický model z předchozího domácího úkolu.
—Generujte náhodně koeficient porodnosti pB a koeficient úmrtnosti pD jako normálně rozdělené
náhodné veličiny se středy v hodnotách 0,35 a 0,25 a směrodatnou odchylkou 0,05.
—Proveďte 10 000 simulací.
—Vykreslete histogram výsledného počtu jedinců v populaci po 10 generacích.
—Využijte diskrétní stochastický model z předchozího domácího úkolu.
—Proveďte 10 000 simulací.
—Vykreslete histogram výsledného počtu jedinců v populaci po 10 generacích.