logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Hřebíček, J. Kalina
Zadání
Na rozmyšlenou
13. Vánoční domácí úkol
E3101 Úvod do matematického modelování

logo-IBA logomuni
—Vyjděte z řešení maticového populačního modelu (Lotka-Volterra), ve kterém jste zkonstruovali
model společenstva více druhů v maticovém tvaru.
—Předpokládejte ve společenstvu 5 stabilních populací nacházejících se v prostředí. K těmto 5
populacím budou vlivem mutací přibývat další.
—Označte vliv j-tého druhu na i-tý druh (na jeho koeficient růstu) βi,j a vnitřní koeficient růstu
i-tého druhu αi.
—Pro definici modelu bude vhodné (nikoliv nutné) uvažovat, že 0 < αi < 1 a -0,01 < βi,j < 0,01
(zhruba).
Domácí úkol č. 6 (do konce roku)

logo-IBA logomuni
Domácí úkol č. 6


logo-IBA logomuni
—Součet vnitřního koeficientu růstu a stonásobku všech vlivů ostatních populací je konstantní. Jako
vhodná hodnota konstanty se nabízí např. číslo 1. Stejné pravidlo bude později platit i pro nově se
objevivší druhy.
—Počáteční velikosti všech populací položte rovné 10.
—Vyjádřete graficky výsledek modelu pro 1000 časových jednotek. Pro řešení (simulaci) modelu můžete
využít možnosti gridového výpočetního prostředí nabízeného prostřednictvím Metacentra.
—
Domácí úkol č. 6

logo-IBA logomuni
Domácí úkol č. 6


logo-IBA logomuni
¡Každá mutace se projeví vznikem nového druhu počínaje číslem 6 a dále, jehož populace bude mít na
počátku velikost 1 jedince. Takový poddruh bude v matici vystupovat jako samostatný nový druh.
¡Bude tedy zapotřebí měnit velikost matice, se kterou budete pracovat.
¡Za dobu 1000 časových jednotek nastavte model tak, aby došlo nejméně k 10 mutacím (ale může být
samozřejmě i násobně víc).
¡
Domácí úkol č. 6

logo-IBA logomuni
—Zajistěte v náhodných časových okamžicích vznik mutací – tj. objevení se nového i-tého poddruhu s
náhodnými koeficienty βi,j, splňujícími uvedenou podmínku a velikostí populace 1.
—Předpokládejte (a v modelu zajistěte), že druh, jehož populace klesne pod méně než 1 jedince,
vyhyne a ze společenství definitivně zmizí.
—To se provede nejlépe testováním (ve vhodných časech) a případným vyloučením příslušného řádku a
sloupce z matice.
Domácí úkol č. 6

logo-IBA logomuni
—Při správné konstrukci celého modelu bude docházet k tomu, že pokud bude nově se objevivší druh
mít „lepší“ koeficienty βi,j (které ovšem neumíme analyticky určit) než předchozí druhy, postupně
dojde k tomu, že vytlačí předchozí druhy a zaujme stabilní pozici v modelu.
—Pokud naopak mutace povede ke vzniku (v daném společenství) méně životaschopného druhu, ten po
nějaké době vyhyne.
Domácí úkol č. 6

logo-IBA logomuni
—Pokuste se zajistit vizualizaci modelu s mutacemi pomocí grafu velikostí populací v čase, kde
jednotlivé druhy zobrazíte různými barvami.
—Navrhněte stručnou interpretaci modelu a pokuste se zodpovědět otázku, jak vypadá mutacemi vzniklý
druh, který v systému zaujme nejstabilnější pozici (jde v podstatě o výsledek evoluce za
zjednodušujícího předpokladu, že prostředí a částečně ani ostatní druhy se v čase nemění).
Domácí úkol č. 6

logo-IBA logomuni
Domácí úkol č. 6