Fyzikální praktikum 2 Předmět F3240 Návody k úlohám únor 2013, revize 26. října 2022 Kolektiv autorů Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykovy univer Brno Fyzikální praktikum 2 Předmět F3240 podzimní semestr Seznam úloh: 1. Studium elektromagnetické indukce. 2. Charakteristiky tranzistoru a tranzistor jako zesilovač napětí. 3. Elektrické pole, můstkové metody měření odporu. 4. Brownův pohyb a pohyblivost nositelů náboje. 5. Magnetické pole. 6. Elektromagnetické kmity v RLC obvodu. 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon. 8. Měření parametrů zobrazovacích soustav. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce světla. 10. Polarizace světla. 11. Interference a difrakce světla. 12. Spektroskopické metody. Doplňky: Zpracování výsledků měření. Návod k používání osciloskopu. evropský SOCiální g^n^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 Úkoly k měření • Změřte tvar napěťových pulzů na cívce v závislosti na výchylce kyvadla s magnetem. • Z předchozí závislosti určete poloměr cívky a magnetický moment magnetu. • Studujte tlumení indukovaných pulzů. Závislost indukovaných pulzů na výchylce Teorie Jedním z pilířů elektrodynamiky je Faradayův zákon [1], který vyjadřuje vztah mezi napětím U indukovaným v uzavřené smyčce a časovou změnou magnetického toku <ř procházejícího plochou smyčky: d$ " = -ďž- V této úloze1 budeme studovat elektromagnetickou indukci v systému znázorněném na obrázku 1.1. Zdrojem magnetického pole je permanentní magnet upevněný na dvojitém kyvadle. Při kmita-vém pohybu magnet periodicky prolétává cívkou a indukuje v ní napěťové pulzy, jejichž časovou závislost zaznamenáváme. Aby mohla být hodnota měřeného napětí přenesena do počítače, je třeba ji převést do číselné podoby. K tomu slouží tzv. analogově-digitální (AD) převodník - zařízení, na jehož vstupu je analogový signál (v našem případě napětí a převodník tak slouží jako voltmetr) a na výstupu číselná (digitální) reprezentace tohoto signálu. AD-převodník použitý v praktiku má rozlišení 8 bitů, tedy osm číslic ve dvojkové soustavě. Je schopen rozeznat 28 = 256 úrovní napětí, což při jeho napěťovém rozsahu 2,5 V představuje měření s přesností 0,01 V. Průběh indukovaných napěťových pulzů K indukci měřitelného napěťového pulzu dochází, pokud se magnet pohybuje v blízkosti snímací cívky. Pohyb magnetu vůči cívce v této oblasti můžeme pro jednoduchost nahradit rovnoměrným pohybem magnetu po ose cívky, popřípadě cívky po ose magnetu. Na obrázku 1.2 je ukázáno magnetické pole válcového permanentního magnetu. Uvažujme o cívce, která se pohybuje v poli magnetu, přičemž osa cívky splývá s osou magnetu. Tok magnetických indukčních čar cívkou v závislosti na vzdálenosti cívky od magnetu je vynesen ve spodní části obrázku 1.2. Napětí, které se v ní indukuje při jejím pohybu po ose, je podle Faradayova zákona (1.1) rovno záporně vzaté 1 Sestavení úlohy bylo inspirováno článkem [2]. 1. Studium elektromagnetické indukce 2 ////// ////// Obrázek 1.1: Schéma experimentálního uspořádání. Permanentní magnet prolétávající cívkou v ní indukuje napětí, které je snímáno počítačem. Cívka je zatížena proměnným rezistorem o odporu R, což omezuje proud v obvodu a tím přímo ovlivňuje elektromagnetické tlumení pohybu magnetu. Pro potlačení vysokofrekvenčního šumu můžeme paralelně k rezistoru zapojit kondenzátor s malou kapacitou C (řádově 100 nF). 1.0 F 0.5 - >- 0.0 -0.5 - -1.0 L Obrázek 1.2: Nahoře: Indukční čáry magnetického pole válcového magnetu, jehož osa je totožná s osou x. Dole: Magnetický indukční tok cívkou souosou s magnetem v závislosti na její vzdálenosti od magnetu. Polohy cívky pro zvýrazněné body na křivce jsou znázorněny přerušovanými čarami v horním panelu. časové derivaci magnetického indukčního toku cívkou. Přibližuje-li se cívka k magnetu, vzrůstá tok její plochou a objevuje se záporné indukované napětí. Při průchodu kolem magnetu dosahuje magnetický indukční tok maxima, jeho časová derivace a tedy indukované napětí je v tomto bodě rovno nule. Konečně při vzdalování indukční tok klesá a indukované napětí je kladné. Svého maxima (minima) nabude indukované napětí v místě, kde magnetický indukční tok klesá (roste) nejstrměji. Amplituda napěťového pulzu závisí na rychlosti pohybu. Cím rychleji se vůči sobě cívka 1. Studium elektromagnetické indukce 3 Obrázek 1.3: (a) Boční pohled na kruhový závit o poloměru a, jímž prolétá magnet s dipólovým momentem m. (b) časová závislost magnetického indukčního toku. (c) Napětí indukované v kruhovém závitu. a magnet pohybují, tím rychlejší jsou změny indukčního toku cívkou, což má podle Faradayova zákona za následek vyšší hodnotu indukovaného napětí. Jednoduchý kvantitativní popis našeho experimentu je možný v přiblížení, kdy permanentní magnet nahradíme magnetickým dipólem a cívku kruhovým závitem. Dále budeme pohyb magnetu v těsné blízkosti cívky aproximovat rovnoměrným přímočarým pohybem po ose cívky rychlostí vma_x, která odpovídá nejnižšímu bodu skutečné kruhové trajektorie. Zjednodušená situace je znázorněná na obrázku 1.3(a). Magnetické pole magnetického dipólu je dáno vztahem [3, 4] (v jednotkách SI2) aur3 3(r ■ m)r — rn (1.2) kde r je polohový vektor vztažený na magnetický dipól, m magnetický dipólový moment a fiQ je permeabilita vakua. Snadným výpočtem lze ověřit, že magnetický indukční tok pole magnetického dipólu orientovaného ve směru osy x plochou kruhového závitu je roven kde a je poloměr kruhového závitu, do jehož středu umístíme počátek osy x. K určení napětí indukovaného v závitu při pohybu magnetu užijeme Faradayův zákon (1.1). Nechť v čase t = Os prochází dipól středem cívky, pak je jeho souřadnice x vyjádřena vztahem x = vma_xt. Provedeme-li za tohoto předpokladu časovou derivaci magnetického indukčního toku (1.3), získáme pro napětí indukované v cívce s ./V závity: TT(f\ _ _ /v^£ - 3Ar/iomi;max vma,xt/a ['~ dt ~ 2a* [1 + (W/a)2]5/2 ■ {LA) Časový průběh magnetického indukčního toku a indukovaného napětí jsou vykresleny na obrázku 1.3(b) a 1.3(c). Křivka závislosti indukovaného napětí na čase obsahuje jedno minimum a jedno maximum, které nám umožní zavést šířku pulzu At jako časový rozdíl mezi okamžikem maximálního a minimálního napětí a amplitudu napěťového pulzu ř7max. Je-li indukované napětí popsáno rovnicí (1.4), najdeme minimum napětí v bodě ímin = —a/2umax a jeho maximum v bodě ímax = +a/2wmax- Šířka pulzu je tedy nepřímo úměrná rychlosti průletu: At = avmlx. (1.5) 2Jednotkou magnetické indukce je 1T (tesla). Pojmenována byla po srbském fyzikovi Nikolu Teslovi (1856-1943). Oproti soustavě CGS (kde je jednotkou indukce Gauss), zde ve vzorci figuruje magnetická permeabilita vakua fio- 1. Studium elektromagnetické indukce 4 Dále můžeme určit amplitudu napětí tt 24 Nfi0m ^max — i— o "max > V 25V5 a která je naopak přímo úměrná rychlosti prolétajícího magnetu. Zbývá určit rychlost vmax, nejsnáze ze zákona zachování energie. Je-li hmotnost magnetu spolu s jeho nosníkem rovna M, platí ^Mv2max = MgL{l - cosůmax) , (1.7) kde g je zemské tíhové zrychlení, L délka kyvadla a i9max úhlová amplituda jeho kmitů. Odtud "max = 2\/gL Sin f ) ~ V^^max • (1-8) Úkoly 1. Změřte závislost amplitudy a šířky napěťového pulzu indukovaného v cívce na úhlové amplitudě kmitů (a tedy na rychlosti magnetu prolétajícího cívkou) a zjistěte, zda přibližně platí, že ČTmax je přímo úměrné úhlu i9max (ČTmax ~ i?max) a čas Aí nepřímo úměrný tomuto úhlu (Aí ~ $max)- Spolu s naměřenými hodnot vyneste i přímku odpovídající modelové lineární závislosti. 2. Užitím vztahu (1.5) mezi šířkou pulzu a rychlostí průletu určete efektivní poloměr použité cívky. S pomocí parametrů cívky a vztahu (1.6) dále odhadněte magnetický dipólový moment použitého magnetu. Tlumení pohybu magnetu Teorie V předchozí části jsme uvažovali o netlumeném kmitavém pohybu magnetu s konstantní amplitudou výchylky. Ve skutečnosti bude ovšem pohyb tlumený a to mechanicky (kvůli odporu vzduchu) a elektromagneticky (je-li obvod snímací cívky propojen a zátěžový odpor R není příliš velký). Časová závislost poklesu amplitudy v důsledku těchto dvou tlumení má odlišný charakter, který nám umožní v experimentu rozlišit režim s převážně mechanickým a převážně elektromagnetickým tlumením. Vyšetříme nejprve případ mechanického tlumení, přičemž budeme sledovat úbytek mechanické energie E = Mumax/2. Předpokládejme, že odporová síla způsobená třením o vzduch při nízkých rychlostech je úměrná rychlosti magnetu3, F = kv. Pokud je tlumení pohybu malé, můžeme pohyb magnetu během jednoho kyvu popsat vztahem ů = ůmax cos ojt, kde i9max je amplituda kmitů v daném okamžiku a oj = 2-k/T je frekvence kmitů. Rychlost magnetu je v tomto případě rovna v = — vma_x sin ojt, kde vma_x = ůmiíXojL. Úbytek mechanické energie během jednoho kyvu, který získáme integrací výkonu odporové síly r-T/2 r-T/2 ]_ AE= Fvdt= k vlax sin2 ojt dt = -Tk v2max , (1.9) J o J o 4 je malý vůči E a pro pozvolna klesající E je tak možné sestavit diferenciální rovnici d£ AS 1, 2 k „ ,„ — ~--t = —kv*=--E . (1.10) dt T 2 2 M y J 3Lineární závislost odporu na rychlosti je vhodným přiblížením pro malé výchylky (a rychlosti) kyvadla, vedoucí k výsledkům v dostatečném souladu s experimentálně stanoveným poklesem amplitudy. 1. Studium elektromagnetické indukce 5 Řešením této rovnice s počáteční podmínkou E(0) = Eq zjistíme, že mechanická energie, maximální rychlost magnetu i amplituda jeho kmitů exponenciálně klesají s časem E(t) = E0e-kt/M , vmax(t)~ VĚ-e^, ůmax(t) ~ e^* , kde (3 = ^ . (1.11) Nyní uvažujme o případu, kdy je tlumení pohybu magnetu čistě elektromagnetické. Ke ztrátě mechanické energie dojde při průletu magnetu cívkou, kdy indukované napětí vyvolá proud cívkou a její pole pak brzdí pohyb magnetu. Úbytek mechanické energie během jednoho kyvu stanovíme pomocí ztrátového výkonu na zatěžovacím odporu R a vlastním odporu cívky Rc AE = I UIát= I —-dí. (1.12) J průlet J průlet + -^c Vzhledem k tomu, že amplituda napětí je úměrná vmax a čas průletu je úměrný vmax, je úbytek energie úměrný vmax. Podrobný výpočet využívající vztahu (1.4) ukazuje, že V analogii s rovnicí (1.10) můžeme psát dE AE 2K 2K l2E „ . r—- r— K I 2 v — odkud y/Ě(ť) = y/Ě^-—J — t. (1.14) dí T/2 T T V M T \ M Jelikož ůmax(t) ~ vmax(t) ~ ^/Ě, dostáváme lineární pokles amplitudy kmitů v čase 2K tfmax(í) = tfmax(O) - od , kde OL = . (1.15) 1 My'gL Tento vztah je možné použít, dokud je amplituda kmitů dostatečně velká. Poté přestává platit rovnice (1.13) a především výchozí předpoklad o malém relativním úbytku mechanické energie během jednoho kyvu. Při určení amplitudy kmitů z amplitudy indukovaného napětí je třeba vzít v úvahu, že změřená amplituda napětí je nižší než indukovaná vlivem dělení na odporech v obvodu. Pro proud v obvodu platí j _ £^max,induc R + Rc a zároveň pro napětí měřené pouze na zatěžovacím odporu , Ur, (1.16) 'max.meas R Pro toto napětí pak dostaneme (1.17) R £Anax,meas = f^max,induc"5 I ŤT ' (l--^) ti + txc Tato oprava je podstatná pro malé hodnoty zatěžovacího odporu R. Závislost amplitudy napětí na výchylce byla měřena v povinné části. Alternativně je možno určit amplitudu kmitů z šířky pulzu Aí, kde není žádná korekce nutná. Úkoly 1. Pro několik hodnot zatěžovacího odporu R sledujte tlumení kmitavého pohybu magnetu a určete časovou závislost amplitudy kmitů ůmax. Využijte přitom amplitudy napětí (s korekcí dle (1.18)) event. šířky jednotlivých napěťových pulzů. V případě malého zatěžovacího odporu byste měli pozorovat lineární pokles amplitudy kmitů (1.15), v opačném případě je charakter poklesu spíše exponenciální (1.11). 1. Studium elektromagnetické indukce 6 2. Zjistěte, zda je směrnice a poklesu amplitudy kmitů pro případ dominantního elektromagnetického tlumení nepřímo úměrná R + Rc, jak předpovídá teorie (např. proložením závislosti hodnot l/a na R přímkou, průsečík s osou x by měl odpovídat hodnotě —Rc)- 3. Stanovte koeficient útlumu /3 pro případ převládajícího mechanického tlumení.4 Literatura: [1] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006). [2] A. Singh, Y.N. Mohapatra, S. Kumar, Am. J. Phys. 70, 424 (2002). [3] D. Griffith: Introduction to electrodynamics, Prentice-Hall (1999). [4] J.D. Jackson: Classical electrodynamics, Willey (1999). 4NB: Parametry a a /3 mají (různé) jednotky. evropský SOCiální g^n^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 aral 3V). Zesílení určené graficky je AG = AUD/AUG = 29. kterou použijeme v (2.12) a určíme jednak dynamickou strmost S d _ dID S >5d = jednak zesílení zesilovače A *sďžě = I7# (2'15) dUG 1 + ^ Dynamická strmost je derivace dynamické převodní charakteristiky, což je charakteristika Id = f(UG), při které není konstantní napětí Ud, které se mění díky přítomnosti zatěžovacího odporu. Pevným parametry jsou napětí zdroje E a zatěžovací odpor Rz. Změníme-li napětí hradla v okolí pracovního bodu o A.UG, změní se proud Id o Alp = SdAUG a tato změna proudu vyvolá změnu výstupního napětí AUd = —RzAId- Poměr změny výstupního a hradlového (vstupního) napětí je napěťové zesílení tranzistorového zesilovače vyjádřené rovnicí (2.16). Dynamickou strmost S d vypočítáme ze statické strmosti S, vnitřního odporu tranzistoru Ri a zatěžovacího odporu Rz z rovnice (2.15). Takto vypočítanou hodnotu zesílení označíme Ay = —SdRz- Pro nastavení zesilovače do zadaného pracovního bodu (Udo,UGo, Ido) musíme vhodně zvolit napětí zdroje E a zatěžovací odpor Rz. Zvolíme-li napětí zdroje E, vypočteme odpovídající zatěžovací odpor podle vztahu odvozeného z rovnice (2.13) Rz = (2-17) Ido a s tímto nastavením bude zesilovač pracovat v okolí již námi proměřeného pracovního bodu. Největšího napěťového zesílení dosahujeme, pokud je napětí zdroje E rovno zhruba dvojnásobku hodnoty Udo- 2. Tranzistor a zesilovač napětí 12 R5kQ Zdroj \|+ Keysight "S" E36103B D — Multimetr Keysight 34465A LO input/ \3A , +s , -S Zdroj Keysight E36104B Obrázek 2.5: Schéma zapojení pro měření statických charakteristik unipolárního tranzistoru. Protože máme k dispozici změřenou sadu výstupních charakteristik tranzistoru, můžeme zesílení určit také graficky. Nejprve rovnici (2.13) přepíšeme do tvaru tzv. zatěžovací přímky Id = (2-18) která vyjadřuje závislost proudu protékajícího rezistorem na výstupním napětí Ud- Tento proud musí být shodný s proudem Id tekoucím tranzistorem vyjádřeným funkcí (2.10). Zakreslíme-li zatěžovací přímku do grafu výstupních charakteristik, budou průsečíky zatěžovací přímky s výstupními charakteristikami parametrizovanými hradlovým napětím Ug určovat závislost napětí na výstupu zesilovače Ud na vstupním napětí Ud v okolí pracovního bodu P, tj. Udo, Ido- Situace je znázorněna na obr. 2.4. Pomocí této konstrukce můžeme také určit zesílení tranzistorového zesilovače, jak je ukázáno na obr. 2.4: Aq = (2.19) AUG V ' Postup měření Měření statických charakteristik tranzistoru Statické charakteristiky unipolárního tranzistoru měříme jadnak ručně v zapojení podle obr. 2.5. V praktiku je také možné měřit charakteristiky automaticky, řídíme-li napájecí zdroje a ampérmetr přes počítač. Důležitou částí zapojení jsou snímací „sense" kontakty +S a —S podle obrázku 2.5. Použitý zdroj umožňuje stabilizaci napětí nejen na výstupních zdířkách zdroje, ale v případě použití sense funkce na základě zpětné vazby v libovolném vybraném bodě obvodu. Zdroj do obvodu přivádí takové napětí, aby mezi kontakty +S a — S bylo napětí odpovídající nastavenému cílovému, pokud ovšem není zdroj limitován jiným způsobem (maximálním napětím zdroje nebo nastavenou proudovou limitací). Toto je takzvané čtyřbodové zapojení a jeho výhodou je potlačení vlivu odporu přívodních vodičů či ampérmetru v obvodu. Hodnoty veličin S, Rí, \i lze určit výpočtem numerickým derivováním podle vztahu (2.5) nebo graficky ze směrnic příslušných charakteristik, kdy měřenými body v malém okolí pracovního bodu proložíme přímku (okolí měřícího bodu volíme tak, aby daný úsek měřené závislosti byl přibližně lineární). Měření zesílení Funkci zesilovače můžeme sledovat nejlépe při jeho činnosti. Ke vstupním svorkám zesilovače na obr. 2.3 připojíme generátor střídavého napětí, u kterého můžeme regulovat amplitudu a frekvenci vstupního signálu, časový průběh střídavého napětí na vstupu a na výstupu budeme sledovat dvoukanálovým osciloskopem. Protože rastr na stínítku obrazovky je kalibrován, můžeme napětí přiváděné na vstupy osciloskopu přímo měřit ve voltech. Vstupní obvod upravíme tak, abychom 2. Tranzistor a zesilovač napětí 13 Obrázek 2.6: Schéma zapojení pro měření vlastností zesilovače. mohli na hradlo tranzistoru přivádět jak stejnosměrné napětí pro nastavení pracovního bodu, tak střídavé napětí z generátoru. Schéma zapojení je na obr. 2.6. Kondenzátor C odděluje stejnosměrné napětí z regulovaného zdroje od střídavého napětí z generátoru. Rezistor R je zapojený sériově ke zdroji stejnosměrného napětí a zvyšuje jeho celkový odpor, aby nezatěžoval generátor a nesnižoval tak jeho výstupní svorkové napětí. Předpokládáme-li, že napětí z generátoru je harmonické s frekvencí /, resp. úhlovou frekvencí uj = 27T/, bude na vstupu zesilovače, tj. na hradle G, napětí ř7i(i) = UG0 + uml sin Lot. (2.20) Hodnotu dvojnásobku amplitudy 2umi můžeme odečíst na osciloskopu jako napětí špička - špička. Pro malé amplitudy vstupního napětí um\ bude mít napětí výstupu zesilovače také harmonický průběh U2(t) = UD0+um2sm(Lut + ip), (2.21) kde íp = 7T je fázový posuv zesilovače. Zesílení zesilovače Am je potom podíl amlitud výstupního a vstupního napětí Am = um2Jum\. Zapojení zesilovače uvedené na obr. 2.3 umožňuje získat o zesilovači tyto další informace: • závislost zesílení na poloze pracovního bodu P, • závislost zesílení na zatěžovacím odporu Rz a napětí zdroje E, • pozorovat zkreslení výstupního napětí zesilovačem. Úkoly 1. Zapojíme tranzistor podle obr. 2.5 a změříme jednu statickou převodní charakteristiku a jednu výstupní charakteristiku. Parametry, pro které měříme tyto charakteristiky, zvolíme tak, aby vyučujícím zadaný pracovní bod P (zadán jako dvojice napětí Ugo,Udo) ležel na jejich průsečíku. Tedy statickou převodní chrakteristiku měříme pro konstantní hodnotu napětí na drainu Udo a výstupní charakteristiku pro napětí na hradle Ugo- 2. Pro automatizované měření ze schématu odpojíme tlačítko a změříme soustavu pěti výstupních charakteristik a převodní charakteristiku. Použijeme stejnou hodnotu napětí Udo Pro převodní charakteristiku. Pro výstupní charakteristiky volíme napětí na hradle v okolí hodnoty Ugo, přičemž jedna z nich je měřena přímo pro Ugo- Návod k obsluze automatického systému je v praktiku. 2. Tranzistor a zesilovač napětí 3. Z charakteristik určíme parametry tranzistoru ve zvoleném pracovním bodě, tj. S, Rí. Určíme je jako směrnice tečny ke grafu příslušné (převodní nebo výstupní) charakteristiky v pracovním bodě. Z Barkhausenovy rovnice (2.9) pak dopočítáme \i. 4. Zvolíme napájecí napětí zesilovače E, určíme zatěžovací odpor Rz ze vztahu (2.17). 5. Zapojíme zesilovač s generátorem a osciloskopem podle obr. 2.6 a určíme zesílení Am- Budeme měnit amplitudu střídavého napětí generátoru a pozorovat vliv na tvar výstupního napětí. 6. Vypočítáme zesílení Ay podle (2.16) a určíme zesílení Aq graficky podle (2.19). 7. Vypočítané hodnoty zesílení Ay a Aq porovnáme s naměřenou hodnotou Am- Upozornění: Při měření nesmíme překročit tzv. mezní hodnoty proudu Id, napětí Ud, napětí hradla Uq a maximální hodnotu ztrátového výkonu! Tyto hodnoty udává výrobce tranzistoru. Užití v praxi: Tranzistory řízené polem jsou jedním ze základních prvků současné výpočetní i spotřební elektroniky. Používají se zejména v integrovaných obvodech, kde se jich vyžívá jako spínačů. Toto použití je demonstrovanou zejména naměřenou převodní charakteristikou, kdy pro napětí na hradle nižší než prahové neprotéká tranzistorem proud. Další oblast jejich použití je jako elektronických zesilovačů, čemuž je úloha věnována. Literatura: [1] S.M. Sze: Physics of semiconductor devices, John Wiley and Sons Inc., New York (1981). [2] H. Frank, V. Šnejdar: Principy a vlastnosti polovodičových součástek, SNTL (1976). [3] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006). [4] Dokumentace k unipolárnímu tranzistoru BS 108 je dostupná na webových stránkách výrobce ON Semiconductor http://www.onsemi.com/PowerSolutions/product.do?id=BS108. V současnosti je používán i tranzistor BS 170 https://www.onsemi.com/products/discrete-power-modules/mosfets/bsl70. evropský SOCiální mijii^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 Elektrické pole, můstkové metody měření odooru Úkoly k měření Měření odporu můstkovou metodou • Měření odporů dvou rezistorů a jejich sériové a paralelní kombinace pomocí Wheatstonova můstku. • Ověření vztahů pro skládání odporů. Rozložení potenciálu v okolí dvouvodičového vedení • Pochopení a praktické zvládnutí měření rozložení elektrického pole v elektrolytické vaně pomocí střídavého mostu. • Porovnání měřeného elektrostatického pole v okolí dvouvodičového vedení s teoretickým výpočtem. Měření odporu můstkovou metodou Teoretický úvod Můstkové metody jsou často užívané pro stanovení hodnoty odporů. Principiální zapojení můstku je na obrázku 3.1. čtyři odpory jsou zapojeny do „čtverce," v jehož jedné úhlopříčce je zapojen zdroj napětí a v druhé měřící přístroj určující velikost procházejícího proudu /. Neprochází-li touto větví proud, říkáme, že můstek je vyvážen. Tento stav (/ = 0) zřejmě nastane, je-li napětí mezi body B a D nulové, tj. UBD = 0. (3.1) Toto napětí můžeme vyjádřit jako rozdíl potenciálů v bodech B a D vzhledem k bodu A UBD = U ba - U d a. (3.2) Obdobně lze uvažované napětí určit, vezmeme-li za vztažný bod bod C Ubd = Ubc -Udc. (3.3) Z podmínek (3.1) až (3.3) plyne U ba = U d a, UBC = UDC. (3.4) 3. Elektrické pole, můstkové metody měření odporu 16 Obrázek 3.1: Obecné zapojení stejnosměrného můstku. protože mezi body B a D neprochází proud, musí odpory R± a R2 procházet proud I± a odpory i?3 a R4 proud I3. Pak lze podmínku (3.4) psát následovně Rih = ^3^3) R2I1 = -R4Í3, (3-5) odkud dělením obou rovnic dostáváme podmínku rovnováhy na můstku I = f • (3'6) Je-li např. hodnota odporu R\ neznámá, lze ji stanovit ze vztahu Ri = ^R2, (3.7) 1X4 tzn. musíme znát absolutní hodnotu jednoho odporu a poměr zbývajících dvou odporů. Uvedený závěr nám poslouží ke stanovení hodnoty neznámého odporu Rx v zapojení můstku podle obrázku 3.2. Odpory jsou v tomto případě tvořeny přesně lineárním potenciometrem realizovaným homogenním odporovým drátem s posuvným kontaktem, kterým nastavujeme můstek do rovnováhy. Je-li délka drátu l, pak v rovnováze platí Rx = Rn^- = Rnj^- (3.8) b L — a Rozsah můstku lze měnit změnou známého odporu Rn- Měření je nejpřesnější, je-li R3 R4, tj. a b. Odpor R slouží jako predradný odpor, kterým zmenšujeme proud měřícím přístrojem v případě, že most není ještě vyvážen. 3. Elektrické pole, můstkové metody měření odporu 17 Můstkovou metodou je možné měřit odpory v poměrně širokém intervalu s dostatečnou přesností. Při měření odporů řádu 10° $1 a menších se začíná uplatňovat vliv spojů. Při měření velkých odporů řádu 106 $1 a vyšších je proud procházející můstkem malý a můstek je málo citlivý. Tato otázka je diskutována např. v [2]. Proudová citlivost můstku udává, jak velká je změna proudu vyvolaná jednotkovou změnou odporu. Citlivost můstku úzce souvisí s požadovanou přesností měření. Čím větší přesnosti chceme dosáhnout, tím větší jsou požadavky na citlivost můstku a měřící přístroje. Úkoly 1. Změřte hodnoty odporů dvou rezistorů a jejich sériového a paralelního zapojení pomocí Wheatstonova můstku. Pro každý z rezistorů a jejich kombinací proveďte 4 až 8 měření pro různé polohy posuvného kontaktu (obr. 3.2). Výsledky statisticky zpracujte. 2. Ověřte platnost vztahů pro výpočet sériově a paralelně řazených rezistorů. Použijte přitom porovnání přímo naměřených hodnot odporů příslušných kombinací dvou rezistorů a hodnot teoretických, vypočtených z odporů jednotlivých rezistorů. Při porovnání uvažte též intervaly spolehlivosti přímo měřených hodnot a vypočtených hodnot. Rozložení potenciálu v okolí dvou vodičového vedení Teoretický úvod Potenciál pole ve vzdálenosti r od přímého vodiče s lineární hustotou náboje r je V = ^ln-, (3.9) žne r kde R je vzdálenost od vodiče, ve které klademe potenciál roven nule V(R) = 0 (nelze volit V(oo) = 0, protože náboj je rozložen na vodiči, jehož délka není omezena). Volíme-li místo nulového potenciálu ve vzdálenosti R = 1 m od vodiče, pak můžeme vztah (3.9) psát V = —— lnr. (3.10) 27TĚ Obrázek 3.3: Ekvipotenciální hladiny v rovině kolmé na dva rovnoběžné nekonečně dlouhé nabité vodiče. Potenciál v bodě M (obrázek 3.3) od dvou lineárních rovnoběžných vodičů je podle principu superpozice s přihlédnutím ke vztahu (3.10) dán V = Ví+ V2 = ^ln—. (3.11) žne 7*1 3. Elektrické pole, můstkové metody měření odporu 18 Na vodičích jsou rozloženy elektrické náboje s konstantními lineárními hustotami +r a —r. Pro ekvipotenciály platí konst., nebo — = A, (3-12) n t , r2 -In — 27re r\ kde r\ = \/(a — x)2 + y2, r2 = \/(a + x)2 + y2 a A > 0 je parametr ekvipotenciálních hladin. Geometrickým místem bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů konstantní poměr vzdáleností A, je pro A = 1 přímka a pro A / 1 Apolloniova kružnice. Ve zvolené soustavě kartézských souřadnic je touto přímkou osa y, středy S[xs, 0] a poloměry r Apolloniových kružnic určíme tak, že rovnice (3.12) upravíme na tvar A2 + l Pak A2 + l A2 + l A2-l \J x2 — a2. (3.13) ~s -A2_ľ Z prvních tří rovnic (3.29) plyne pro potenciál elektrostatického pole Laplaceova rovnice (3.14) V2V = 0. (3.15) Problém určení elektrostatického pole dvojvodičového vedení tvořeného rovnoběžnými válcovými vodiči nahradíme řešením elektrostatického pole dvojice rovnoběžných vodičů. Okrajové podmínky zachováme, postupujeme-li takto: dané válcové vodiče nahradíme válci z dielektrika s permitivitou prostředí e a do každého z nich vložíme přímkový vodič s lineární hustotou náboje r, resp. —r (obrázek 3.4), tzv. elektrické osy. 0i = — = --77 37^-73x3. (5-7) Obdobně v místě P2 se střelka vychýlí o úhel ip2 H2 1 M . . tan^ = ^ = 47r^r3(l + A2)3/2- (5"8) Z každého z těchto vztahů lze již určit velikost magnetického pole Země, známe-li redukovanou délku magnetu l a velikost magnetického momentu M. Kombinací obou vztahů však můžeme dospět k vyjádření, kde redukovaná délka magnetu přímo nevystupuje. Umocníme-li vztah (5.7) na třetí mocninu a (5.8) na čtvrtou, dostaneme M A3 = -r9tan3^(l-A2)6 (5.9) \4TTfl0H: 5. Magnetické pole 32 Vzájemným vynásobením těchto vztahů dostaneme M * r12tanV(l + A2)6. (5.10) M ^ =-r21tan3^tanV2(l-A4)6. (5.11) Měříme-li ve vzdálenosti mnohem větší než je délka magnetu, platí r 3> l a tedy i A4 = N2SB. Indukované napětí je úměrné časové změně magnetické indukce. Abychom mohli měřit přímo napětí úměrné magnetické indukci, je v obvodu zařazen integrační RC člen. Průběh napětí na kondenzátoru o kapacitě C získáme z druhého Kirchhoffova zákona E2 = RI2 + UC, UC = Q, h = ^, (5.25) kde I2 je proud tekoucí obvodem a Q je náboj na kondenzátoru. Po úpravě získáme diferenciální rovnici pro náboj Q Tato rovnice má řešení ve tvaru 1 r°° = / Ert ~ r)e-^čdr . (5.27) R Jo Průběh napětí na kondenzátoru je potom dán vztahem 1 f00 Uc(t) = -^č Jo E2(t~ r)e-^č dr. (5.28) Je-li časová konstanta integračního obvodu RC mnohem větší než perioda budicího střídavého proudu, lze exponenciální člen v integrálu položit přibližně roven 1. Potom po dosazení z rovnice (5.24) do vztahu (5.28) dostaneme výraz pro napětí Uc 1 ŕt H R dr, Ucií)<*^Bit). (5.29) Po převedení dostaneme vztah pro magnetickou indukci Ti C B(t) = j^Uc(t). (5.30) V zapojení podle schématu na obrázku 5.4 nastavíme osciloskop do tzv. X-Y režimu, kdy zobrazujeme vzájemnou závislost napětí na jednotlivých vstupech. Jelikož podle vztahu (5.23) je napětí na prvním vstupu úměrné intenzitě magnetického pole a napětí na druhém vstupu je podle 5. Magnetické pole 36 vztahu (5.30) úměrné indukci magnetického pole, zobrazujeme přímo hysterezní smyčku, tedy závislost indukce na intenzitě magnetického pole. Napětí naměřená na osciloskopu pak již převedeme na indukci a intenzitu magnetického pole ve zvolených bodech hysterezní smyčky pomocí výše zmíněných vztahů (5.23) a (5.30).2 Magnetizaci můžeme snadno spočíst z magnetické indukce s použitím vztahu (5.19) jako M =--H. (5.31) Úkoly 1. Zapojte obvod podle schématu. 2. Z osciloskopu odečtěte napětí odpovídající koercitivnímu poli, remanentní a saturační magnetizaci. 3. Změřte vnitřní a vnější průměr a výšku jádra transformátoru. 4. Určete velikost koercitivního pole, saturační a remanentní magnetizace pro zadaný materiál podle vztahů (5.23) a (5.30). U saturace uveďte i hodnotu intenzity Hs, při které byla dosažena. Užití v praxi: Měření magnetického pole má značné praktické aplikace. Lokální magnetické pole Země je ovlivněno také geologickými poměry a jeho měření se využívá při geofyzikálním průzkumu např. pohybu litosférických desek. Feromagnetické materiály mají také mnoho praktických fyzikálních a elektrotechnických aplikací, kdy je podstatná znalost jejich hysterezní křivky. Magneticky tvrdé materiály se používají jako permanentní magnety, zatímco magneticky měkké materiály se používají při aplikacích vyžadujících snadnou změnu magnetizace jako jsou elektromagnety nebo transformátory. Magneticky měkké materiály se používají rovněž k odstínění vnějšího magnetického pole. Obzvláště důležité je stínění v elektronových mikroskopech, kde by parazitní vnější magnetické pole ovlivňovalo elektronovou optiku mikroskopu. Literatura: [1] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006). [2] J. Perry, Proc. Phys. Soc. London 13, 227 (1894). [3] J. D. Jackson, Classical electrodynamics, John Wiley h Sons, Inc. (1998), kap. 5. 2Dostatečně přesné odečítání hodnot (pomocí kurzoru) není v X-Y režimu možné. Řešením je stažení naměřených dat přes USB port osciloskopu nebo odečítání hodnot při zobrazení časového průběhu. Pro koercitivitu a remanenci nás zajímají hodnoty v jednom kanále, kdy druhý zobrazený kanál prochází nulovým napětím. Pokuste se projitím většího počtu period získat více (kladných i záporných) hodnot. Získáte tak přesnější výsledek, a volitelně určíte i jeho nejistotu. Krok digitalizace osciloskopu bývá dost velký, jedno měření má přesnost max. na 2 cifry. evropský SOCiální g^n^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno _Fyzikální praktikum 2_ | | Cíle měření 1. Určit impedanci několika součástek (odpor, kondenzátor, cívka). 2. Změřit frekvenční charakteristiku buzeného RLC obvodu a určit z nich odpor, indukci a kapacitu RLC obvodu. 3. Změřit přechodový jev (vlastní kmity) RLC obvodu s podkritickým, kritickým a nadkritic-kým tlumením, a určit vlastní frekvenci obvodu a koeficient útlumu. Teorie obvodů s R, L a C součástkami RLC obvod sestává z odporu s velikostí R, cívky s indukčností L a kondenzátoru s kapacitou C řazených buď do série nebo paralelně. V těchto obvodech dochází při buzení zdrojem střídavého napětí na určité frekvenci k rezonanci charakterizované maximem proudu. Podobné rezonanční chování můžeme vidět v mnoha oblastech fyziky např. v situaci, kdy je závaží přichycené pružinou buzené periodickou silou. Obvody s R, L a C mají široké uplatnění např. jako rezonátory a filtry s horní a dolní propustí. Uvažujme obvod, kde jsou prvky R, L, a C řazené v sérii, viz obr. 6.1, a jsou buzeny napětím U(t). Druhý Kirchhoffův zákon říká, že součet úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřeném obvodě rovná součtu napětí na zdrojích. V případě tohoto obvodu tedy nabývá tvar UR(t) + UL(t) + Uc{ť) = U(t) , (6.1) kde Un(t), Ul(í) a Uciť) jsou napětí na odporu, cívce a na kondenzátoru. Podle Ohmová zákona je napětí na odporu URit) = RI{t) . (6.2) Faradayův zákon dává napětí pro cívku UL(t) = (6.3) a z Coulombova zákona lze odvodit, že napětí na kondenzátoru nabíjeném proudem I(t) za čas t je t Uc{t) = U{0) + ^ J I{t)áb, (6.4) 6. Přechodové jevy 38 R U Obrázek 6.1: Schéma RLC obvodu. kde ř7(0) je napětí v čase t = 0. Dosazením těchto napětí do rovnice (6.1) a jejím zderivováním podle času dostáváme rovnici d2/(í) d/(í) 1 dU(t) L^^ + R— + čI{t) = — (6.5) Rozeberme ustálené řešení tohoto obvodu při buzení střídavým napětím, kdy je zapojen postupně pouze člen R nebo L nebo C, a nakonec celý obvod RLC. Předpokládejme nyní, že střídavé napětí U(t) má tvar harmonické funkce a můžeme ji vyjádřit jako reálnou část komplexní funkce U(t) = f/0 He iwt (6.6) Využíváme zde matematický aparát komplexních čísel1, kdy amplituda napětí ČToH je komplexní, tzn. můžeme ji vyjádřit jako Uq(u) = \Uo(u})\elípu^. Veličina ipu zde vyjadřuje fázi napětí. Můžeme očekávat, že i proud má stejný tvar I(t) = Jo (w)e (6.7) Analogicky JoH = |JoHlel • Připomeňme, že tento aparát komplexních čísel můžeme použít, protože zacházíme s lineárními veličinami a operátory, u kterých se v libovolném bodě můžeme vrátit k reálným veličinám vyjádřením jejich reálné části, např. U{t) = Reř7(i) pomocí Eulerovy rovnice elx = cos x + i sin x. Reálné části veličin musíme používat v případě, když pracujeme s nelineární veličinami, např. s výkonem P oc J(í)2. Obvod s odporem Nejjednodušší případ nastává pokud je zapojen pouze odpor. Pak na levé straně rovnice (6.5) zůstane pouze druhý člen. Po dosazení rovnic (6.6) a (6.7) do (6.5) dostáváme RIo(u Uo H (6.8) která vyjadřuje Ohmův zákon pro amplitudy JoH a Uq{uj). V obvodech střídavého proudu se často používá komplexní impedance definovaná jako ž(u) = = MMie1^-*") JoH |/oHI (6.9) xPro podrobnější diskuzi aparátu komplexních čísel velmi doporučujeme pročíst [1]. 6. Přechodové jevy 39 Rozdíl tpu(w) — ) + í?esr = + Resr (6-13) Fáze této impedance je dána rovnicí Odpor tedy způsobí, že fáze již má větší hodnotu než —90°. Pro uj —> 0 se blíží ideální hodnotě —90°, pro uj —> oo se fáze blíží 0, tzn., kondenzátor se chová jako odpor. Jako míra kvality kondenzátoru na určité frekvenci se zavádí bezrozměrná veličina činitel jakosti Q (v angl. Q-factor, Q z angl. quality), který je daný velikosti poměru imaginární a reálné části Zc(u), Q{uj) = 1 /{ujCResk)■ Jeho převrácená hodnota D = 1/Q = ujCResr (z angl. dissipation) se nazývá ztrátový činitel, je dána podílem odporové a kapacitní složky a vyjadřuje míru ztráty energie. Nejmenší ztrátový činitel mají kondenzátory vzduchové (řádově 10~5 až 10~6) na 1 kHz. Keramické kondenzátory mají ztrátový činitel řádově 10~4, kondenzátory s plastovou fólií 10~3 a kondenzátory papírové 10~2. Ztrátový činitel elektrolytických kondenzátoru bývá 0,1 až 0,3 [2, 3]. Ekvivalentní sériový odpor í?esr reálných kondenzátoru však může sám o sobě mít značnou frekvenční závislost, např. v keramických kondenzátorech. Obvod s cívkou V případě, kdy v obvodu je pouze cívka, pak na levé straně rovnice (6.5) zůstane pouze první člen. Analogicky s předchozí částí pak dostáváme pro impedanci cívky ŽL(u) = íujL = uLé% . (6.15) 6. Přechodové jevy 40 Im Obrázek 6.2: Impedance odporu Žr, reálné cívky Z£, a reálného kondenzátoru Z'c zobrazené v rovině komplexních čísel. Reálná část všech impedancí má hodnotu R. Impedance je zde opět komplexní a její fáze tt značí, že fáze napětí na kondenzátoru Úo(u) = ZlIq{u) je o 7t větší než u proudu, tzn., napětí se na cívce „předbíhá" před proudem o 90°. Ze změřené velikosti impedance |Žl(/)| na dané frekvenci / je možno vypočíst indukčnost jako L = JMU . (6.16) Reálnou cívku si můžeme opět představit jako ideální cívku zapojenou v sérii s ekvivalentním sériovým odporem a její impedance je ŽrL = ŽL(u) + RESR = iuL + RESR (6.17) Komplexní úhel této impedance je pak dán tan^ = -^. (6.18) Resr Odpor způsobí, že fáze již má menší hodnotu než 90°. Pro cj —> oo se blíží ideální hodnotě +90°, pro cj —> 0 se fáze blíží 0, tzn., cívka se chová jako odpor. Jako míra kvality cívky na určité frekvenci se opět vyjadřuje pomocí činitele jakosti (velikosti poměru imaginární a reálné části impedance), Q(u>) = cjL/í?esr a ztrátový činitel je D = 1/Q = REsR/(uL). Obrázek 6.2 shrnuje dosažené výsledky a souhrnně ukazuje (komplexní) impedance reálné cívky (ZrL), odporu (Zr) a reálné kapacity (Z'c), kde každá z nich má hodnotu reálné části rovnu R. RLC obvod Pro vyřešení RLC obvodu nejprve podělme rovnici (6.5) indukčností L a obdržíme ^ + « + ^/(t) = ^ (6 19) dí2 +L át + LC [) L dt 10 yj Tato rovnice je analogická pohybové rovnici tlumeného mechanického oscilátoru. Clen s první derivací proudu představuje disipaci energie a je úměrný konstantě, kterou zapíšeme jako 2a = ^ , (6.20) 6. Přechodové jevy kde a je konstanta tlumení. Konstanta u třetího členu zleva určuje kruhovou rezonanční frekvenci oscilátoru uj0 = . (6.21) Připomínáme, že jednotka uj (stejně jako jednotka a) je rad/s a uj se pojí s frekvencí / (jednotka Hz) jako uj = 2irf. Pro rezonanční frekvenci tedy dostáváme h =-\= • (6-22) 2ttVZČ Rovnici (6.19) pomocí zavedených konstant můžeme přepsat na ~dW + 2a— + "°/(í) = i-ďT • (6"23) Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu pro proud I(t). Ustálené řešení Rozeberme nejprve, podobně jako výše, ustálené řešení při buzení střídavým napětím o úhlové frekvenci uj. Vyjádřeme závislost proudu obvodem relativně k budícímu napětí pomocí veličiny G(uj) = Iq{uj)/Uq{uj), která se nazývá vodivost. Vodivost je převrácenou hodnotou impedance, G(uj) = 1/Z(uj) a má jednotku Siemens (zn. S) nebo íž_1. Po dosazení rovnic (6.6) a (6.7) do (6.23) dostáváme pro vodivost /o H . F —- = \uj^-— Uq(uj) uJq - ujz + \2auj G{uj) = 4^ = -„ ;„ , (6.24) kde F = l/L je oscilátorová síla. Člen F/(ujq — uj2 + \uj2o) je rezonanční a setkáme se s ním v mnoha fyzikálních situacích, např. při řešení mechanického oscilátoru nebo při kmitech iontů v pevných látkách (tzv. Lorentzův oscilátor). Clen ícj zde vystupuje2, protože vztah (6.24) představuje závislost proudu na napětí3. Vztah (6.24) můžeme alternativně vyjádřit pomocí původních veličin R, L a C jako ô^ = ^Tt4-M • (6"25) Pravou stranu tohoto výrazu můžeme také jednoduše obdržet jako převrácenou hodnotu RLC impedancí v sérii 1/(Zr + Zl + Zq)-Amplitudu vodivosti vyjádříme jako G(uj) = ^JG(uj)G*(uj) = uj l ===== = 1 = . (6.26) Fázi vodivosti vyjádříme jako lmG(uj) cjg - uj2 -j^ - ujL tan ip(uj) =-^—^ = -y-= ^—- . (6.27) ReGH 2auj R v 1 Obrázek 6.3(a) vykresluje závislost amplitudy vodivosti RLC obvodu na kruhové frekvenci uj pro hodnoty L = 0,1 H, C = 100 nF a tři hodnoty odporu R = R0, R = 2R0 a R = 3R0, kde 2Znaménko u tohoto členu závisí na zvoleném znaménku u času ve vztazích (6.6) a (6.7). V návodu k této úloze používáme znaménko směru času stejně jako je zvykem v elektrotechnice. Na druhou stranu, v kvantové teorii či teorii pevných látek se používá časová závislost e-1"', která by změnila znaménko u všech členů ícj. 3Amplituda náboje na kondenzátoru Qo člen ícj nemá, viz rovnice (6.30) v části věnované přechodovému jevu a dále viz [1]. 6. Přechodové jevy 42 Obrázek 6.3: Amplituda vodivosti (a) a její fáze (b) sériového obvodu RLC pro hodnoty L = 0,1 H, c = 100 nF. Jsou zde vyneseny tři křivky pro hodnoty odporu R = Rq, R = 2Rq a R = 3Rq, kde i?o = 100 $1. Rezonanční frekvence luq = 10 000 rad/s. Plná šířka rezonančních křivek v úrovni l/y/2 « 71 % maxima je rovna 2a, což je ilustrováno šipkou v případě R = 3Rq (2a = 3000 rad/s.) i?o = 100 $1. Na rezonanční frekvenci je amplituda rovna l/i? a tedy rovnice (6.26) má na této frekvenci tvar stejnosměrného Ohmová zákona. Z amplitudy vodivosti v rezonanci tedy můžeme určit R. V reálném RLC obvodu tento odpor odpovídá ztrátám v celém obvodu, tedy R = Rr + Rl + Rc > (6-28) kde Rr je odpor přidaného odporu v obvodě plus odpor všech vodičů a kontaktů. Šířka rezonance |G(lj)| je pro slabé tlumení úměrná a, přesněji řečeno, šířka |G(lj)| ve výšce 1/V2 71% maxima je rovna 2a a je možno z ní určit L při znalosti i?4. Z frekvence rezonance pak pomocí vztahu (6.21) určíme C a RLC obvod je tak plně charakterizován. Obrázek 6.3(b) vykresluje frekvenční závislost fáze vodivosti stejného RLC obvodu. Na rezonanční frekvenci cj = luq je fáze nulová. V limitě cj —> 0 fáze nabývá hodnoty +90° a v limitě u —> oo nabývá —90°. Tedy celková změna fáze při průchodu rezonanční frekvencí je 180°. Přechodový jev Přechodový jev v RLC obvodu vzniká při skokové změně napětí, např. při vypnutí zdroje. My vyjádříme a budeme pozorovat přechodový jev na náboji kondenzátoru q(t), na kterém se počáteční podmínky aplikují jednodušeji než na proudovou závislost. Vraťme se k rovnici (6.1), do které dosadíme vztahy (6.2), (6.3) a napětí na kondenzátoru vyjádříme pomocí náboje jako Uc(t) = Q(t)/C. S uvážením vztahu I(t) = dq(t)/dt dostáváme rovnici ^+2a«+^(f) = Ft/(t). (6.29) kde jsme použili výše zavedených konstant a, a F. Tato rovnice je formálně identická s rovnicí (6.23), pouze pravá strana je úměrná budícímu napětí U (t), kdežto v rovnici (6.23) její derivaci. Pro úplnost zmiňme, že při harmonickém buzení (6.6) je řešení této rovnice q0(u) F Ůq(uj) úl - u)2 + \2au (6.30) V elektrotechnice se často uvažuje o energii, která je úměrná kvadrátu proudu a tedy G . Pro G je pak šířka 2a v polovině výšky maxima, tzv. FWHM (z angl. full width at half maximum). 6. Přechodové jevy 43 Tento vztah a tedy náboj na kondenzátoru je formálně ekvivalentní výchylce mechanického oscilátoru, více viz [1]. Zde se již věnujme skokové změně napětí, kdy v čase t = 0 se napětí U (t) skokově změní z konstanty Ui na nulu. Nejprve uvažujme řešení rovnice (6.29) bez pravé strany, které předpokládáme ve tvaru q(t) = qoext pro t > 0. Po dosazení dostáváme charakteristickou rovnici A2 + 2aA+^ = 0. (6.31) Řešení této kvadratické rovnice je Ai = —a + y a2 — Uq , A2 = —a — y a2 — uJq . (6.32) Řešení rovnice (6.29) je pak lineární superpozice q{t) = qieXlt + q2eX2t , (6.33) kde qi a q2 jsou konstanty dané počátečními podmínkami. Rozeznáváme zde tři případy. Pro a > uq hovoříme o tzv. nadkritickém tlumení. Kořeny Ai^ jsou reálné, tzn. náboj se exponenciálně mění s časem. V opačném případě, kdy a < uq, se jedná o tzv. podkritické tlumení, kdy jsou kořeny Ai^ komplexní a reálnou část řešení (6.33) lze vyjádřit jako q(t) = qse~at sin Lo^t + q^e~at cos Lo^t (6.34) nebo alternativně pomocí fáze 0 jako q(t) = q5e-at cos (udt + (f) , (6-35) kde qs,q4,q5 a 4> jsou opět konstanty dané počátečními podmínkami. Frekvence loj = \Juj^ — a2 se nazývá kruhová tlumená rezonanční frekvence, kterou obvod dočasně kmitá. Třetí hraniční případ je tzv. kritické tlumení a nastává pro a = ujq. Dosazením do rovnice (6.29) lze ukázat, že řešení má pro tento případ tvar q(t) = (96 + qrt)ext (6.36) a vyznačuje se nejrychlejším útlumem daným A = —a = —ujq. Tento stav je žádoucí např. při stabilizaci, kdy je potřeba co nejrychleji utlumit systém vyvedený z rovnováhy vnějším stimulem. Všechna tyto řešení musí splňovat počáteční podmínky. V našem případě musí náboj v čase t = 0 mít hodnotu q(t = 0) = UiC. Zároveň předpokládáme, že napětí Ui bylo dostatečně dlouho konstantní, takže je RLC obvod již v rovnováze, a tudíž se náboj s časem nemění a tedy proud je nulový, I(t = 0) = dq(t = 0)/di = 0. Vhledem k tomu, že je součástí obvodu indukce, nemůže se proud měnit skokově, a tedy tato podmínka platí i v limitě t —> 0 zprava, tedy pro výše nalezená řešení. Aplikací těchto podmínek obdržíme volné konstanty. Pro nadkritické tlumení získáváme UiC UiC qi = ' q2 = ' (6-37) A2 Ai pro podkritické tlumení arctan ( — ) (6.38) a pro kritické tlumení q6 = UiC , q7 = UiCa . (6.39) 6. Přechodové jevy > o 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -i-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-r- C/-4V li !\ 11 _i_ť -< -> i_— ------Podkritické tlumení Ä=300 n ----Kritické tlumení «=2000 Cl Nadkritické tlumení «=6000 Cl V = -4 V i _l_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_l_ 0.000 0.001 0.002 t[s] 0.003 0.004 Obrázek 6.4: Přechodový jev RLC obvodu při skokové změně budícího napětí U(t) z hodnoty 4 V na -4 V pro podkritické (R = 300 íi), kritické (R = 2000 íi) a nadkritické tlumení (R = 6000 íi) a pro L = 0,1 H a C = 100 nF. Vyneseno je napětí na kondenzátoru úměrné jeho náboji. V případě, že se napětí skokově mění z hodnoty Ui na hodnotu Uf, je potřeba ve vztazích (6.37), (6.38) a (6.39) provézt substituci Ui —> Ui — Uf a hodnotu UjC přičíst ke všem řešením (6.33), (6.35) a (6.36). Všechny tyto řešení jsou demonstrovány na obr. 6.4 pro realistickou situaci, kdy se napětí skokově mění z Ui = 4 V na U f = — 4 V. Povšimněte si, že v čase t = 0 mají řešení nulovou derivaci a že průběh pro kritické tlumení přestavuje nejrychlejší útlum. Přechodový jev lze samozřejmě taktéž pozorovat pomocí proudu v RLC obvodu. Časové závislosti proudu bychom získali derivací výše obdržených vztahů. Tlumení oscilátorů je možno opět charakterizovat bezrozměrným jakostním činitelem Q, který je zde definován jako který představuje počet oscilací N, které oscilátor vykoná, než jeho energie poklesne na 1/e původní hodnoty, vynásobený faktorem 2tt, tj. N = Q/(2ir) Q/q. Energie je úměrná kvadrátu proudu, proto je v této definici faktor 2. Popis experimentální aparatury a měření Měření probíhá na aparatuře sestávající z funkčního generátoru jako zdroje napětí U o určité frekvenci /, osciloskopu, měřené impedanci Z a zatěžovacím odporu Ri, viz obr. 6.5(a). Druhý kanál osciloskopu U2 měří napětí Uj na zatěžovacím odporu Ri, pomocí něhož určíme proud obvodem / = UjjRj = UilRi- První kanál osciloskopu U\ je připojen na výstup z funkčního generátoru a měří celkové napětí U\ = Uz + Ui. V osciloskopu jsou vždy referenční (stínící) vodiče obou kanálů propojeny a uzemněny (v obr. 6.5(a) naznačeno čárkovaně), tedy první kanál nemůže být připojen pouze na testované impedanci Z, ale musí mít propojený zemnící vodič se zemnícím kontaktem funkčního generátoru. Signální kontakty kabeláže jak na osciloskopu tak na funkčním generátoru mají červenou barvu kdežto uzemněné kontakty buď modrou nebo černou barvu. Absolutní velikost impedance Z vyjádříme pomocí její definice. Jelikož U z = U\ — Uj = U1 — U2, pak ,z,_\Uz\_R \Uz\ „\Ui-U2l řfi4n 6. Přechodové jevy 45 Obrázek 6.5: (a) Aparatura pro měření impedance Z (nebo vodivosti G = 1/Ž) sestávající z funkčního generátoru jako zdroje napětí U s určitou frekvencí, osciloskopu, měřené impedance Z a zatěžovacího odporu Ri. V schématu jsou naznačeny napětí ř7j na zatěžovacím odporu Ri a napětí Uz na měřené impedanci Z. Referenční (stínící) vodiče kanálů Ui a U2 jsou uvnitř osciloskopu spojeny a uzemněny, (b) Aparatura analogická panelu (a) použitá pro měření přechodového jevu náboje na kondenzátoru C. (c) RLC metr Agilent U1733C. Moderní osciloskopy umožňují vyjádřit rozdíl signálů Ui — U2 a změřit jak jeho amplitudu (tzv. špička-špička, angl. peak-to-peak), tak fázi vůči kanálu U2. Takto budeme postupovat v praktiku. Amplitudu vodivosti |G| získáme jednoduše jako |G| = 1/\Z\. Vzhledem k tomu, že fáze převrácené hodnoty komplexního čísla má opačné znaménko, je znaménko fáze G opačné vzhledem k fázi Z. Je zde také možný aproximativní postup: v případě, že je Ri mnohem menší (alespoň 100-krát) než \Z\, pak Uz ~ U\ a vzorec (6.41) je možné přibližně vyjádřit jako \Z\ -R/|ř7i|/|t/2|- Tímto způsobem bychom se experimentálně vyhnuli nutnosti odečítat kanály. Vzhledem k tomu, že je však impedance RLC rezonance velmi frekvenčně závislá, doporučujeme použít předešlý přesný postup. V úloze bude také k dispozici RLC metr Agilent U1733C, viz obr. 6.5(b). Je to moderní ruční přístroj umožňující změřit velikost impedance a z ní určit kapacitu, indukčnost nebo odpor součástek (volba přepínáním tlačítka ZLCR). Umožňuje změřit fázi impedance (zde označena jako 0) a z ní činitel jakosti Q nebo ztrátový činitel D (volba přepínáním tlačítka DQt9). Tento přístroj taktéž umožňuje změřit ekvivalentní sériový odpor í?esr (přepíná se podržením tlačítka Ai (ESR) na 3 s). V případě cívky je možno použít stejnosměrné měření odporu DCR (přepíná se podržením tlačítka Freq. (DCR) na 3 s). Přístroj pracuje na diskrétních frekvencích 100, 120 Hz a 1, 10 a 100 kHz (přepínání tlačítkem Freq.) s tím, že po zapnutí je vždy nastavena referenční frekvence 1 kHz. 6. Přechodové jevy 46 Zpracování dat Jak bylo popsáno výše, hodnoty R, L,aC lze získat z frekvenční závislost vodivosti |G(cj)| pomocí její hodnoty v rezonanci, šířky rezonanční křivky a její rezonanční frekvence. Alternativně či doplňkově, lze tyto hodnoty získat proložením teoretické závislosti (6.25) na |G(/)|, viz program [4]. Tento ukázkový program je napsaný v jazyce Python a pro numerickou minimalizaci používá balíček LMfit. Zpracování dat proložením dává přesnější výsledky, protože se využijí všechny měřené body. V části věnované přechodovému jevu je možno koeficient exponenciálního poklesu amplitudy náboje určit přímo z definice. Při změně budícího napětí z Ui na U f v případě podkritického tlumení klesá obálka oscilací (6.35) exponenciálně jako qmax(t) = qoe~at+UfC, kde qo je konstanta. Jelikož napětí na kondenzátoru Uc je spojeno s nábojem jako Ucif) = q(t)/C pak získáváme vztah Uc-Uf = ^e-at (6.42) Logaritmováním této rovnice obdržíme ln([/c - Uf) = ln ^ - at , (6.43) tedy závislost přirozeného logaritmu rozdílu Uc — U f je lineární funkce času a její směrnice je —a. S použitím lineární regrese několika bodů lze ukázat zda je pokles opravdu lineární a určit konstantu a. Souřadnice několika maxim můžeme určit buď s pomocí kurzoru osciloskopu nebo lze časový průběh uložit na USB flash disk (doporučováno) a souřadnice oscilací určit na počítači. V případě nadkritického tlumení můžeme podobným způsobem určit konstantu exponenciálního poklesu. Situace je zde komplikovanější, protože řešení (6.33) je v obecnosti součtem dvou exponenciál. Ale v režimu kdy a je velké (přibližně pro a > 2luq) a tedy koeficienty (6.32) znatelně rozdílné, však pro dostatečně dlouhé časy zbude z řešení (6.33) pouze exponenciála s pomalejším útlumem Ai. Pro dostatečně dlouhé časy pak je možno použít rovnici analogickou k (6.43) pro určení Ai. Opět alternativně či doplňkově lze v obou těchto případech časové průběhy proložit teoretickými vztahy (6.35) resp. (6.33) pomocí programu analogickému k ukázce [4]. Tímto způsobem lze velmi přesně získat i hodnotu v případě podkritického tlumení a taktéž obě konstanty exponenciálního poklesu v případě nadkritického tlumení. Lze také zpracovat průběh kritického tlumení (6.36), které není přesně exponenciální a tudíž nelze jednoduše použít rovnici (6.43). V případě kritického tlumení se tak při zpracování protokolu můžeme spokojit s nalezením hodnoty odporu a srovnání s předpovědí této hodnoty na základě hodnot L a ujq. Úkoly pro měření a zpracování dat 1. Impedance samostatných součástek R, L a C. (a) Pomocí osciloskopu změřte amplitudu a fázi impedance Z odporu, kondenzátoru a cívky na několika frekvencích v rozmezí 1-10 kHz. Použijte zapojení podle obr.6.5(a). Z měření určete velikost odporu R, kapacitu kondenzátoru C a indukčnost cívky L. Na těchto frekvencích je možno s dobrou přesností použít vztahy pro ideální kapacitu (6.12) a ideální indukčnost (6.16). (b) Na frekvenci 1 a 10 kHz změřte odpor R, kapacitu C, indukčnost L a fázi impedance těchto součástek také RLC metrem Agilent U1733C a srovnejte výsledky s hodnotami získanými osciloskopem. Změřte taktéž ekvivalentní sériový odpor í?esr a ztrátový činitel kondenzátoru D. V případě cívky určete ekvivalentní sériový odpor v režimu stejnosměrného proudu. 6. Přechodové jevy 47 (c) Ze získaných hodnot vypočtěte teoretickou hodnotu rezonanční frekvence f o sériového RLC obvodu. 2. Rezonance sériového RLC obvodu. Použijte zapojení podle obr.6.5(a). (a) Pomocí osciloskopu proměřte frekvenční závislost amplitudy i fáze vodivosti G obvodu RLC na dostatečném počtu (alespoň 20-ti) frekvencí v okolí rezonance. (b) Z frekvenční závislosti amplitudy vodivosti G určete hodnoty R, L, C a také uo, a, F a Q. Srovnejte získané hodnoty R, L a C s výsledky obdrženými z předchozí části. (c) Vykreslete teoretickou závislost amplitudy i fáze G pro obdržené hodnoty R, L a C a srovnejte je s naměřenými daty. 3. Přechodový jev (vlastní kmity) náboje v RLC obvodu. Použijte zapojení podle obr. 6.5(b) a obdélníkové pulzy funkčního generátoru s malou frekvencí. (a) Změřte přechodový jev pro stejnou hodnotu odporu jako v předchozí části (podkritické tlumení) a určete u d a tlumící konstantu a. Z měření určete uo, f o a jakostní činitel Q. Výsledky srovnejte s hodnotami obdrženými pomocí frekvenční závislosti G. (b) Pomocí dekády zařazené do RLC obvodu nalezněte hodnotu odporu kritického tlumení Rc a změřte přechodový jev. Srovnejte hodnotu Rc s předpovědí na základě L a ujq. (c) Změřte přechodový jev pro jednu hodnotu odporu R v oblasti nadkritického tlumení odpovídající a > 2uq. V oblasti klesajícího signálu (pro dlouhé časy) určete faktor exponenciálního poklesu A a srovnejte ho s předpovědí na základě hodnoty R. Literatura: [1] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Feynmanove prednášky z fyziky I, Alfa, 1980, kapitola 23. [2] J. Koutný a I. Vlk: Elektronika I, učebnice, Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická, Olomouc 2009. [3] J. Maťátko: Elektronika, Praha: IDEA SERVIS, 2008. [4] Příklad proložení (tzv. fitování) dat teoretickou formulí v jazyku Python 3 je možno stáhnout z depozitáře 06_RLC_FitovaciPrikladPython3p8.zip. evropský SOCiální ■ MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 B raz a lom svetla, hresnelovy vztahy, Snellův zákon. Úkoly k měření Měření odrazivosti dielektrika • Proměřte odrazivosti s a p polarizovaného světla od dielektrika. • Z Brewsterova úhlu určete index lomu a porovnejte naměřené závislosti na úhlu dopadu paprsku s vypočtenými hodnotami. Průchod světla planparalelní deskou • Proměřte posuv paprsku při průchodu planparalelní deskou. • Z průběhu závislosti posuvu na úhlu dopadu určete index lomu desky. Měření odrazivosti dielektrika Teorie Chování elektromagnetické světelné vlny při odrazu (nebo lomu) na rozhraní dvou neabsorbujících prostředí zjistíme z Maxwellových rovnic [1, 2]. Situace je znázorněna na obr. 7.1. Rovina dopadu je definována dopadajícím paprskem světla s vlnovým vektorem k^ a kolmicí s k uvažovanému rozhraní dvou dielektrických prostředí. Eq a E r jsou amplitudy dopadající a odražené vlny, přičemž pas jsou složky amplitudy lineárně polarizovaného světla rovnoběžné s rovinou dopadu resp. kolmé k této rovině. Symbolem uq je označen index lomu okolního prostředí (vzduch), n je index lomu měřeného dielektrika. Řešením vlnové rovnice dostáváme pro odraženou vlnu s vlnovým vektorem k r Fresnelovy amplitudy rp a rs (rp \E Rp\ \E. \Ers\/\E0s\; Ers a Eqs jsou kolmé k rovině dopadu a Erp a Eqp leží v rovině dopadu), které jsou dány vztahy tan(i) (7.1) tan(i) sin(i) kde úhel 0 pro tp > (fB, kde (fs je tzv. polarizační (Brewsterův) úhel, pro nějž je rp = O.1 Tento fakt je významný pro optickou praxi. V tomto případě se totiž odráží pouze s-složka lineárně polarizovaného světla. To platí i pro odraz přirozeného světla a proto lze odrazem na povrchu dielektrického zrcadla při polarizačním úhlu dosáhnout lineárně polarizované vlny. Je-li rp = 0, pak jmenovatel v prvním vztahu (7.1) roste do nekonečna, tedy tyo + tyl = 7r/2; paprsek odražený a lomený jsou navzájem kolmé. Ze vztahu (7.3) pro rp = 0, dostáváme matematický zápis Brewsterova zákona tan ips n, (7.4) pokud no = 1. 0.8 O > 20.4 T3 O 0.2 -1-1- -úhel -1-1- p /? Brewsterův /// / /■' - R/f! - i i i/ .....V 10 20 30 40 50 60 70 80 90 úhel dopadu (°) Obrázek 7.2: Závislost odrazivosti s-polarizované (Rs) a p-polarizované (Rp) vlny na úhlu odrazu podle Fresnelových vztahů na prostředí s indexem lomu n = 1,6. Odrazivost nepolarizovaného světla (Rn)- 1 Záporné hodnoty amplitud znamenají fázový posuv o ir. Je-li rp > 0 a rs < 0, je složka rs posunuta o tv proti složce rp. Je-li rp < 0 a rs < 0, mají sice obě fázový posuv o ir, ale jejich fázový rozdíl je 0 nebo 2ir. 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 50 Je-li intenzita složek dopadajícího světla I® a 7° a intenzita odraženého světla pro obě složky Ip a Ig, pak definujeme odrazivosti Rp a Rs jako Rp = JÔ Rs = Jb~- (7-5) Odrazivosti jsou pak dány vztahy RP = r2p Rs = r2s. (7.6) Závislosti Rp a Rs na úhlu dopadu mají odlišný charakter (viz obr. 7.2). Veličina Rs monotónně roste s rostoucí hodnotou tyo, a při úhlu dopadu 90 stupňů je rovná jedné. Odrazivost Rp s rostoucí hodnotou úhlu dopadu nejprve klesá k nule, při tyo = ty b je Rp = 0 a pro tyo > ty b opět rychle roste: pro 90 stupňů je opět Rp = 1. Odrazivost přirozeného světla odraženého na rozhraní dvou neabsorbujících prostředí je pak dána vztahem RN = Rs/2 + Rp/2. (7.7) Z odrazivosti Rp a i?s jsme také schopni stanovit hodnoty indexu lomu měřeného dielektrika. Výrazy ±y/Ř~^ a ±\fR~s odpovídají pravé straně vztahů (7.3), přičemž znaménko plus nebo mínus před odmocninou je dáno v každém konkrétním případě fyzikální podstatou problému. Za předpokladu, že se měření provádí ve vzduchu, platí = 1 a můžeme např. z prvního vztahu (7.3) vypočítat cos ty b pak n=J---y-=^-. (7.9) V (1 " V^J)(1 + y/Rp) Tento postup v sobě skrývá určitou potíž spočívající v tom, že výpočet indexu lomu je v tomto případě založen na znalosti absolutních hodnot odrazivosti p- a s- složky lineárně polarizovaného světla. /Ř~s)(l + ^ fŘp) (1-, /Ř~s)(l ~ ^ /Rp) /(! + , /Ř~s)(l ~ ^ /Rp) Experiment Smyslem této úlohy je zjistit průběh křivek Rp = f (tyo) a Rs = f (tyo) pro danou neabsorbující látku a využitím vztahu (7.4) určit pro použitou vlnovou délku světla index lomu dané látky. Principiální uspořádání experimentu je uvedeno na obr. 7.3: úzký svazek paprsků vycházející z laseru (L) prochází polarizátorem (P). Zde se světlo lineárně polarizuje a otáčením polarizátoru lze docílit toho, že kmitová rovina je rovnoběžná (kolmá) s rovinou dopadu, což odpovídá p- (s-) složce amplitudy dopadajícího světla. Po odrazu světla na měřeném vzorku umístěném na stolečku goniometru svazek světla dopadá na detektor (D) spojený s měřícím přístrojem. Otáčením stolečku se vzorkem kolem jeho svislé osy měníme úhel dopadu tyo světelného svazku a odečítáme signál na měřicím přístroji detektoru (ampérmetru). Chceme-li určit úhlovou závislost odrazivosti Rp a Rs, je třeba před začátkem měření odstranit ze stolečku měřený vzorek a v místě označeném (A) detektorem stanovit intenzitu dopadajícího svazku I® a I®. Odrazivosti odraženého světla Rp a Rs pak vyjádříme jako Rp = jo Rs = Jq, (7-10) -'p -'s kde Ip a jsou s a p polarizované intenzity odraženého záření. POZOR! ZÁŘENÍ LASERU JE NEBEZPEČNÉ PRO OKO!! 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 51 Obrázek 7.3: Experimentální uspořádání pro měření úhlové závislosti odrazivosti dielektrika. Poloha detektoru A odpovídá referenční pozici pro měření signálu bez vzorku. Úkoly 1. Stanovte úhlové závislosti odrazivosti Rp, Rs lineárně polarizovaného světla pro danou látku. 2. Určete hodnotu Brewsterova úhlu daného dielektrického zrcadla při měření zesíleného signálu detektoru v okolí minima Ip a tuto závislost vyneste do grafu. Nejistoty ips určete z kroku měřeného úhlu dopadu. 3. Stanovte ze vztahu (7.4) hodnotu indexu lomu dané látky. 4. Pro několik (alespoň 5) hodnot úhlů dopadu stanovte index lomu destičky ze vztahu (7.8), případně (7.9). Výsledek porovnejte s předchozím výpočtem pomocí ífB- 5. Vypočítejte průběh odrazivosti nepolarizovaného světla ze vztahu (7.7) a znázorněte v dřívějším grafu společně s Rs & Rp. 6. Grafy závislostí Rs a Rp na úhlu dopadu porovnejte s teoretickou závislostí podle vztahů (7.1) nebo (7.3) a (7.6). Do teoretických vztahů dosaďte index lomu určený z Brewsterova úhlu nebo průměr hodnot indexu lomu vypočtených ze vztahů (7.8) a (7.9). Průchod světla planparalelní deskou Teorie Zde odvodíme závislost posuvu vystupujícího a vstupujícího paprsku na úhlu dopadu a, tloušťce desky d a indexu lomu skla n, kde planparalelní deska je umístěna v prostředí s indexem lomu hq. Situace je znázorněna na obrázku 7.4. Protože obě rozhraní jsou rovnoběžná, je úhel dopadu a\ na první rozhraní roven úhlu lomu a2 na druhém rozhraní, položíme a\ = a2 = a, a úhel lomu (3± na prvním rozhraní je roven úhlu dopadu (32 na druhém rozhraní, tudíž platí j3\ = (32 = j3. Zákon lomu na prvním rozhraní je no sin a = n sin (3 (7-11) a na druhém rozhání n sin (3 = no sin a. (7-12) Délka dráhy paprsku AB v planparalelní desce je (7.13) 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 52 2. rozhraní Obrázek 7.4: Průchod světla planparalelní deskou. Odchylka x vstupujícího a vystupujícího paprsku je x = \bc\ = |AB|sin(a - j3). Úpravou a použitím vztahů cos (3 = \J 1 — sin2 f3, sin(a — (3) = sin a cos (3 — cos a sin f3, obdržíme z (7.11)-(7.14) vztah pro odchylku paprsků, (7.14) (7.15) riQ cos a n2 — Uq sin2 a d sin a. Z tohoto vztahu můžeme určit index lomu skla za předpokladu, že a / 0: n = no i/sin a + I 1 d sin a cos2 a. Experiment (7.16) (7.17) Pro měření úhlu dopadu, posuvu x nebo úhlu deviace použijeme goniometr, jehož schéma a fotografie jsou na obrázku 7.5. Goniometr obsahuje kruhovou stupnici ST, po které se pohybují tři ramena: Rl se zdrojem, kterým je laserová dioda L, R2 s detektorem D tvořeným Si fotodiódou a R3 se stolečkem S pro vzorek umístěným ve středu kruhu. Na stolek klademe zkoumanou planparalelní desku (nebo hranol). Detektorem lze posunovat šroubem ve směru x kolmo na rameno R2. Posuv se měří pomocí indikátoru v podobě číselníkového úchylkoměru. Uhel dopadu a určujeme Obrázek 7.5: Experimentální uspořádání pro měření průchodu světla planparalení deskou a hranolem. 7. Odraz a lom světla. Fresnelovy vztahy, Snellův zákon 53 z polohy ramen Rl a R3, úhel deviace výstupního paprsku ô z polohy ramen Rl a R2 (pro desku je ó = 0). Před měřením je třeba nastavit stolek S tak, aby paprsek dopadal kolmo na měřenou planpa-ralelní desku nebo hranol. Dosáhne se toho pomocí tří stavících šroubů pod stolečkem. Kolmost dopadajícího paprsku na lámavou plochu poznáme podle chodu zpětně odraženého paprsku: oba paprsky musí mít totožnou dráhu - sledujeme stopu odraženého paprsku u výstupního otvoru zdroje. (Pokud použijeme hranol, tak jeho lámavý úhel je 60°.) Uhel dopadu měňte otáčením stolečku S ramenem R3. Správnou polohu detektoru poznáte podle maximální hodnoty fotoproudu, který měřte digitálním ampermetrem (na rozsahu 200 //A). POZOR! ZÁŘENÍ LASERU JE NEBEZPEČNÉ PRO OKO!! Úkoly 1. Proveďte justaci přístroje a určete závislost posuvu vystupujícího paprsku z planparalelní desky na úhlu dopadu. Naměřte asi 10 hodnot dvojic x a a. 2. Z naměřené závislosti určete pomocí vztahu (7.17) index lomu desky. Tloušťku planparalelní desky d určete pomocí posuvného měřítka nebo mikrometru. 3. Vyneste naměřenou závislost posuvu na úhlu dopadu do grafu a porovnejte s teoretickou závislostí podle vztahu (7.16) na základě indexu lomu získaného v předchozím úkolu. Literatura: [1] A. Vašíček: Optika tenkých vrstev, NCSAV Praha 1956. [2] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady 2/3, Fragment (2006). [3] A. Kučírková a K. Navrátil: Fyzikální měření I, SPN Praha 1986. evropský SOCiální g^n^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno | Fyzikální praktikum 2 1 ereni parametru zobrazovacích soustav Úkoly k měření • Měření ohniskové vzdálenosti tenké spojky. • Měření ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky. • Určení indexu lomu čoček z ohniskové vzdálenosti a měření křivosti. Teorie Průchod paraxiálních paprsků soustavou centrovaných kulových lámavých ploch je popsán základními zobrazovacími parametry, mezi než patří hlavní a uzlové body (respektive roviny), ohniska a ohniskové vzdálenosti. Dopadá-li na zobrazovací soustavu (obr. 8.1) svazek paprsků rovnoběžných s optickou osou O, pak po průchodu soustavou se paprsky protínají v obrazovém ohnisku F'. Naopak, svazek paprsků vycházejících z bodu F (předmětové ohnisko) se změní po průchodu soustavou na rovnoběžný svazek. Rovina kolmá k optické ose procházející předmětovým, respektive obrazovým ohniskem se nazývá předmětovou, respektive obrazovou ohniskovou rovinou. Na obr. 8.1 jsou obrazem bodů A, B body A', B'. Poměr úseček y' = A'B' a y = AB se nazývá příčným zvětšením j3, P = V-. (8.1) b h h' / k \ y ^^^^ / ^ \f a' a f\ V- / y' 0 a \ / a' b' Obrázek 8.1: Zobrazení pomocí zobrazovací soustavy. Hlavní roviny čočky jsou označeny H a H', ohniska F a F', AB je předmět a A'B' obraz. 8. Měření parametru zobrazovacích soustav 55 Obrázek 8.2: Přímé měření ohniskové vzdálenosti tenké čočky. Poměr úhlů a' a a, které svíraji sdružené paprsky procházející ohnisky s optickou osou, se nazývá úhlové zvětšení 7, 7 = -• (8-2) u Hlavními rovinami H a H' soustavy nazýváme dvojici sdružených rovin, kolmých k optické ose, pro než je příčné zvětšení rovno jedné. Hlavními body nazýváme průsečíky hlavních rovin s optickou osou. Je-li tloušťka čočky zanedbatelná ve srovnání s poloměry křivosti lámavých ploch, hovoříme o tenké čočce. V takovém případě hlavní roviny H a H' splývají a čočka je pak při výpočtech představována rovinou středního řezu. Znaménková konvence a zobrazovací rovnice tenké čočky Předmětový a obrazový prostor jsou charakterizovány souřadnými soustavami, jejichž počátky v případě tenké čočky leží ve stejném bodě ve středu čočky. Při výpočtech je nutné rozlišovat kladné a záporné hodnoty v těchto souřadných soustavách. Definice kladného a záporného prostoru může být různá, avšak je-li zvolená určitá definice, všechny vztahy musí být v souhlasu s touto konvencí. Budeme důsledně používat následující znaménkovou konvenci: vzdálenost měříme od středu čočky a sice tak, že leží-li bod napravo od počátku bereme vzdálenosti kladně a v opačném případě záporně; leží-li bod nad osou O bereme vzdálenosti kladně a v opačném případě záporně. Na obr. 8.2 je znázorněno zobrazování spojkou - vidíme, že tady a < 0, a' > 0, / < 0, /' > 0, y > 0 a y' < 0. V uvedené znaménkové konvenci zobrazovací rovnice čočky má tvar 1 1 a 1 7' (8.3) kde a je předmětová vzdálenost, a' je obrazová vzdálenost a /' je obrazová ohnisková vzdálenost. Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké spojky z polohy obrazu a předmětu Ze zobrazovací rovnice (8.3) vyplývá pro ohniskovou vzdálenost /' vztah aa a — a (8.4) Určíme-li tedy vzdálenosti a a a', pak pomocí vztahu (8.4) vypočítame /'. Měření se provádí na optické lavici s měřítkem, na které je umístěn předmět y (svítící šipka s vestavěným měřítkem), studovaná čočka S a stínítko, na něž zachycujeme obraz y' (viz obr. 8.2). Změnou polohy čočky nebo stínítka při stálé poloze předmětu hledáme co nejlépe zaostřený obraz a odečteme na měřítku optické lavice hodnoty a, a'. 8. Měření parametru zobrazovacích soustav 56 "O - c--► r«l'-->■ a1 - U A J 1 ->■ O stí H—' w Obrázek 8.3: Besselova metoda měření ohniskové vzdálenosti. Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké čočky z příčného zvětšení Podle obr. 8.2 pro příčné zvětšení platí y_ y a a Rovnici (8.4) přepíšeme do tvaru a/3 (8.5) (8.6) 1-/3 1-/3 Zvětšení /3 určíme tak, že na stínítku změříme určitou část osvětleného milimetrového měřítka. K změřenému /3 přiřadíme odpovídající vzdálenost a nebo a'. Z rovnice (8.6) vypočítame ohniskovou vzdálenost. Z hlediska dosažení maximální přesnosti je vhodné volit vzdálenost a co největší, na druhé straně bereme zřetel na to, aby obraz byl dostatečně velký, aby zvětšení bylo dobře měřitelné. Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké spojky Besselovou metodou Uvažujeme uspořádání podle obr. 8.3. Vzdálenost d předmětu od stínítka ponecháme pevnou. Dá se ukázat, že pro d > 4/ existují dvě polohy spojky, ve kterých se na stínítku vytvoří ostrý obraz. Vzhledem k tomu, že polohy předmětu a obrazu mohou být vzájemně vyměněny, di = — a2, ci2 = —di (8-7) a dále platí (viz.obr. 8.3) d = \a± \ + \a'i\ = |d21 + \a2 i2\ yo.o; A = ja'jj — \a'2\ = | «21 — \ai\- (8-9) Pak ze vztahů (8.7)-(8.9) lze odvodit, že d2 - A2 = 4aiaí = 4a2a2. (8.10) Dosadíme-li do vztahu (8.4) za čitatele aa' ze vztahu (8.10) a za jmenovatele d ze vztahu (8.8), dostaneme vztah pro určení ohniskové vzdálenosti d2 - A2 8. Měření parametru zobrazovacích soustav 57 Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky Rozptylky vytvářejí vždy neskutečný obraz skutečného předmětu nebo naopak skutečný obraz neskutečného předmětu. Proto je v tomto případě nutno postupovat tak, že k měřené rozptylce se přidá spojka tak, aby obraz vytvořený spojkou mohl být neskutečným předmětem pro rozptylku. Podle obr. 8.4 umístíme na optickou lavici předmět ys, a spojkou S vytvoříme reálný obraz y's, v bodě A. Mezi tento obraz a spojku umístíme rozptylku i? a na stínítku zase nalezneme ostrý obraz y'r v bodě A'. Obraz y's je vlastně předmětem yr pro rozptylku. Známe-li polohu rozptylky R, polohu obrazu spojky A a polohu obrazu roztylky A', můžeme vypočítat a = A-R a' = A'-R (8.12) a pro výpočet ohniskové vzdálenosti rozptylky použít vztah (8.4). Určení indexu lomu čoček z ohniskové vzdálenosti a měření křivosti Index lomu určíme ze vztahu [3] 1 N / 1 1 \ d(n — l)2 , -= n-1---+^-'-, 8.13 /' \n r2J n ri r2 kde /' je ohnisková vzdálenost, r\, r2 poloměry kulových ploch, n index lomu a d tloušťka čočky. Na obr. 8.5 jsou vyznačeny tyto parametry pro různé polohy čočky. Vztah (8.13) předpokládá použití znaménkové konvence, která je popsaná v předchozí části. Obrázek 8.5 představuje tlustou spojnou čočku s jednou stranou vypuklou a druhou vydutou, která se často používá v brýlové optice. Na obr. 8.5 jsou uvedeny dvě polohy stejné čočky, kdy r\ > 0 a r2 > 0 (schéma (a)) a r\ < 0 a r2 < 0 (schéma (b)). V obecném případě se můžeme setkat s čočkami s oběma stranami vypuklými či oběma vydutými, případně s jednou stranou ploskou. V každém případě se však držíme znaménkové konvence, ve které je znaménko poloměru křivosti bylo záporné je-li střed křivosti plochy nalevo od vrcholu čočky a kladné v opačném případě. Pro rozptylku s oběma stranami vydutými je r\ < 0 a r2 > 0, pro spojku s oběma stranami vypuklými r\ > 0 a r2 < 0. V našem případě se omezíme případ tenké čočky (d oo nebo r2 —> oo). Potom se vztah (8.13) značně zjednodušší eliminací posledního členu 1 (n~ V (---)■ (8-14) 8. Měření parametru zobrazovacích soustav 58 Obrázek 8.5: Základní parametry tlusté čočky. Index lomu pak můžeme vypočíst přímo jako Obrázek 8.6: Sférometr. Obrázek 8.7: Určení poloměru křivosti kulové plochy Měření křivosti lámavých ploch sférometrem Poloměry křivosti lámavých ploch r\ a r2 určíme sférometrem. Schéma mechanického sférometru je nakresleno na obr. 8.6. Hodinkový indikátor s přesností čtení rozdílu výšek ±0,01 mm je upevněn v držáku s kruhovou základnou, jehož středem prochází dotykové čidlo. Nulovou polohu sférometru určíme tak, že jej umístíme na rovinné sklo. Pak postavíme sférometr na měřenou kulovou plochu s poloměrem křivosti r. Z obr. 8.7 je zřejmé, že kruhová základna sférometru s poloměrem z vytne na povrchu měřené plochy kulovou úseč s výškou h. Rozdíl údajů sférometru na čočce a na 8. Měření parametru zobrazovacích soustav 59 rovinném skle právě udává tento parametr. Změříme-li průměr sférometru 2z posuvným měřítkem, pak zřejmě z2 + h2 r=i±í_. (8.16, Úkoly 1. Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou metodou. 2. Změřte ohniskovou vzdálenost téže spojky ze zvětšení. 3. Změřte ohniskovou vzdálenost téže spojky Besselovou metodou. 4. Změřte ohniskovou vzdálenost rozptylky přímou metodou. 5. Porovnejte výsledky měření v bodech 1, 2 a 3 mezi sebou. 6. Změřte posuvným měřítkem vnitřní i vnější poloměr sférometru z\,Z2- Sférometrem pak změřte výšku kulové úseče h pro každou stranu všech čoček z předchozí části úlohy. Měření opakujte 5 až 10-krát a statisticky zpracujte. 7. Vypočítejte index lomu měřených čoček podle vztahu (8.15). Určete nejistotu indexu započtením nejistoty ohniskové vzdálenosti /', výšky kulové úseče h a poloměru úseče z1. Pozn.: Soubor náhodných hodnot ohniskových vzdálenosti dostaneme tak, že pro každé měření nastavíme jinou polohu čočky v úkolech 1, 2 a 4 « jinou hodnotu vzdálenosti mezi zdrojem a stínítkem v úkolu 3. Pro každou metodu opakujte měření 5 až 10-krát. Literatura: [1] J. Brož a kol.: Základy fyzikálních měření I. SPN Praha, 1983. [2] A. Kučírková, K. Navrátil: Fyzikální měření I. SPN Praha, 1986. [3] P. Malý: Optika, Karolinum, Praha, 2008. 1 Uveďte do protokolu k hodnotě indexu lomu spojky, jaká byla použita hodnota ohniskové vzdálenosti. evropský SOCiální g^n^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 délce Měření závislosti indexu lomu skla na vlnové délce metodou minimální deviace Úvod Metodu minimální deviace lze použít ke stanovení indexu lomu vzorků (sklo, plasty, atd.), které mají tvar hranolu. Při experimentu dvě sousední stěny hranolu, kterými vstupuje a vystupuje paprsek, spolu svírají lámavý uhel cj (viz obr. 9.1), jenž spolu s indexem lomu tvoří parametry hranolu. Paprsek vystupující z hranolu je od vstupujícího paprsku odchýlen o úhel ô, nazývaný deviace, který závisí na úhlu dopadu a\. Po analýze této závislosti zjistíme, že pro určitý úhel dopadu vykazuje deviace minimum, <5m. v Obrázek 9.1: Průchod paprsku světla hranolem. Nyní odvoďme závislost úhlové odchylky 5 vystupujícího paprsku na úhlu dopadu a\ = a, lámavém úhlu w a na indexu lomu skla n a uvažme její průběh. Zákon lomu na prvním rozhraní je no sin a = n sin 0i, (9-1) kde no je index lomu prostředí obklopující hranol, a na druhém rozhraní n sin /?2 = no sin a2 (9-2) Deviace 5 je vnější úhel v trojúhelníků ABD při vrcholu D a tedy můžeme napsat 5 = (a - /3i) + (a2 - fa). (9.3) 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce 61 Lámavý úhel to je vnějším úhlem při vrcholu C v trojúhelníku ABC, neboť strana AC je kolmá k prvnímu rozhraní AV a strana BC je kolmá k druhému rozhraní BV, tedy: Deviace ô je pak podle (9.3) a (9.4) rovna S = a + a.2 — to. (9.4) (9.5) Vyjádříme-li a2 ze vztahů (9.1), (9.2), (9.4) a (9.5), obdržíme závislost deviace na úhlu dopadu a ve tvaru S = f (a, to, n, no) = a — to + arcsin sm lo\ n n0 sm a — cos to sin a (9.6) Tato závislost má pro realistické případy indexu lomu skla n a vrcholových úhlů to jedno minimum (jj=60 deg 40 60 a (deg) Obrázek 9.2: Závislost deviace paprsku na úhlu dopadu na stěnu hranolu pro indexy lomu hranolu n\ = 1.5 (modrá čára) a n2 = 1.9 (červená čára) vykreslená pro realizovatelné úhly dopadu. Závislost je vynesena pro vrcholový úhel to = 60°. Přerušované čáry vyznačují polohy příslušných minim deviace paprsku. (viz obr. 9.2). Odvození podmínky pro minimum deviace z (9.6) je poněkud zdlouhavé. Elegantněji dojdeme k výsledku s použitím vztahu (9.5)[3], jehož derivace podle a musí být v minimu nutně rovna 0, tedy ^ = 1 + ^=0. (9.7) da da Diferencováním Snellova zákona pro první a druhou lámavou plochu, tj. rovnicí (9.1) resp. (9.2), obdržíme riQ cos a da = n cos 0i d/?i no cos a2 da2 = n cos (32 d(32. Podělením těchto dvou rovnic a s použitím diferencované formy vztahu (9.4), d/?i = -váme da2 cos a ■ cos j32 da cos a2 ■ cos 0i Po dosazení do podmínky pro minimum (9.7) a s využitím Snellova zákona obdržíme d(32, dostá-(9.8) 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce 62 Úhel dopadu a, pro který je tato rovnost splněna tedy vede k nutné podmínce minima deviace S, ^ = 0. Protože je ^ > 0, z rovnice (9.9) vyplývá, že úhel dopadu na hranol se rovná úhlu výstupu a = q!2 a tedy j3\ = fo- To znamená, že paprsek, pro který je deviace minimální, prochází hranolem symetricky vzhledem k rovině půlící vrcholový úhel hranolu (tj. úhel cj při vrcholu V na obr. 9.1). Po dosazení do (9.5) a (9.4) obdržíme a = s™+w resp. fii = ^ a pod dosazení do Snellova zákona (9.1) pří aproximaci no ~ 1 pro vzduch dostáváme vztah svazující index lomu materiálu hranolu s vrcholovým úhlem a minimální deviací óm n=SÍn([^ + "]/2). (9.10) sin(cj/2) v 1 Vrcholový úhel hranolu a minimální deviace jsou experimentálně relativně lehko měřitelné veličiny a nyní vidíme, že z nich můžeme určit i index lomu, aniž bychom potřebovali určovat navíc úhel dopadu a. Index lomu látek je závislý na vlnové délce světla. Tomuto jevu se říká disperze a je způsobená závislostí rychlosti šíření monochromatické elektromagnetické vlny v látce na její frekvenci. Disperze je příčinou existence tzv. rozkladu světla hranolem, o kterém se můžeme přesvědčit osvětlíme-li hranol paprskem bílého světla, nebo světlem z výbojky. Pozorujeme, že největší deviaci mají paprsky s barvou fialovou a nejmenší s barvou červenou. Tedy s rostoucí vlnovou délkou deviace klesá, a protože podle (9.10) nebo (9.6) většímu indexu lomu odpovídá větší deviace, klesá index lomu s rostoucí vlnovou délkou. Tato závislost se nazývá normální disperze látky a její znalost je významná z hlediska použití dané látky pro optické účely. Naším úkolem bude zjistit tuto závislost pro sklo, ze kterého je vyroben hranol, tj. určit disperzní křivku hranolu. Teoreticky disperzi můžeme popsat pomocí Cauchyho vztahu: n(X) = A + ^ + ^. (9.11) V aplikacích je třeba přihlížet k celé řadě fyzikálních parametrů skel optických elementů (např. čoček nebo hranolů) charakterizujících jejich optické a mechanické vlastnosti. Dvěma hlavními optickými parametry uváděnými v technických specifikacích komerčně dostupných skel jsou index lomu skla n O KS (U tí FK PK PSK BK BaK SK K LaK SSK BaLF KF LaSF LaF BaF BaSF LLF LF F SF ZK KzSF fluorite crown phosphate crown dense phosphate crown borosilicate crown barium crown dense crown crown lanthanum crown very dense crown barium light flint crown/flint lanthanum dense flint lanthanum flint barium flint barium dense flint very light flint light flint flint dense flint 60 50 40 Abbe number V Obrázek 9.3: Abbeův diagram zobrazující Abbeovo číslo (zde V) oproti indexu lomu žluté spektrální čáry rid pro sérii různých typů skel (číslované tečky). Skla jsou klasifikována podle Schottova kódu, který odráží jejich složení (písmenná část kódu) a polohu v diagramu (číselná část kódu). Zdroj [4]. úhlů na stupnici je popsáno v návodu na obsluhu tohoto goniometru. Před měřením je třeba provést justování hranolu, které spočívá v nastavení lámavých ploch kolmo na optickou osu dalekohledu. Provádí se nakláněním stolečku regulačními šrouby. Kolmost se kontroluje autokolimační metodou: nitkový kříž osvětlený žárovkou v okuláru se po odrazu od justované lámavé plochy hranolu zobrazí zpět do ohniskové roviny okuláru dalekohledu. Při ztotožnění nitkového kříže se svým obrazem je lámavá plocha kolmá k optické ose dalekohledu. Postup opakujeme několikrát. Měření lámavého úhlu cj hranolu provádíme tak, že změříme úhel, který spolu svírají paprsky kolmé k lámavým plochám. Je-li úhel mezi kolmicemi ip\ — ip2, je lámavý úhel cj = 180 - (V>i - V2). (9-13) Uhlové polohy dalekohledu & ip2, kdy je optická osa dalekohledu kolmá na první resp. druhou lámavou plochu hranolu, nastavíme užitím autokolimační metody. Uhly Vi a V>2 pak odečítáme na stupnici spojené s jednou z os rotace stolečku pozorované přes mikroskop umístěný na spodní části dalekohledu. Při měření otáčíme dalekohledem z polohy V>i do polohy V>25 aniž bychom otáčeli stolečkem s hranolem (viz obr. 9.5). Pro zvýšení přesnosti určení cj a určení nejistoty provádíme měření několika dvojic úhlů ipi, V>2- Obrázek 9.4: Upravená fotografie spektra rtuťové výbojky. Očíslovány jsou čáry, jejichž vlnové délky jsou uvedeny v tabulce 9.1. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce 64 Tabulka 9.1: Vlnové délky vybraných čar spektra rtuťové výbojky. Vlnová délka (um) barva poznámka označení v obrázku 9.4 404,7 fialová silnější 1 407,8 fialová slabší 2 435,8 modrá silná 3 491,6 modrozelená jasná 4 546,1 zelená silná 5 576,9 žlutá silná 6 579,1 žlutá silná 7 585,9 oranžová slabá 607,3 červená slabá 623,4 červená silná 8 690,7 červená slabá Obrázek 9.5: Měření lámavého úhlu hranolu. Měření úhlu minimální deviace <5m provádíme pro každou spektrální čáru rtuti v bodě obratu paprsku. Minimální deviaci najdeme tak, že měníme úhel dopadu světla z výbojky na hranol otáčením stolečku s hranolem a pozorujeme pohyb dané spektrální čáry. Zatímco stolečkem otáčíme stále v určitém zvoleném směru, směr pohybu spektrální čáry vystupující z hranolu se v bodě minimální deviace obrátí (tj. deviace se nejdříve zmenšuje a pak zvětšuje). Bod obratu pohybu spektrální čáry nejlépe přibližně nalezneme prostým okem a až poté zpřesníme určení jeho polohy při pozorování dalekohledem. Nicméně, nemůžeme změřit úhlovou polohu paprsku vstupujícího do hranolu (museli bychom sejmout hranol), a tedy nelze určit minimální deviaci z rozdílu úhlu mezi vstupujícím a vystupujícím paprskem. Proto postupujeme tak, že změříme úhlovou polohu 01 vystupujícího paprsku v bodě minimální deviace při jeho vstupu do hranolu první lámavou plochou, pak otočíme stolek s hranolem tak, aby paprsek vstupoval do hranolu druhou lámavou plochou a změříme polohu vystupujícího paprsku 02 v bodě minimální deviace při obráceném směru průchodu paprsku hranolem (viz obr. 9.6). Stolkem s hranolem přitom otáčíme v ose, která není spojená s rotací úhlové stupnice, abychom mohli určit rozdíl úhlů. Rozdíl těchto úhlů je dvojnásobek minimální deviace [1]: Sm = (4>i - 02)/2 (9.14) Při měření postupujeme tak, že nejdříve změříme pro všechny zvolené spektrální čáry polohy 0i, pak hranol otočíme a měříme polohy 02 u stejných spektrálních čar. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce 65 Obrázek 9.6: Měření úhlu minimální deviace z rozdíl úhlů (f>i a 02, pod kterými pozorujeme paprsky vystupující z hranolu při vstupu přes první resp. druhou lámavou stěnu (poloha hranolu 1 resp. 2). Index lomu pro každou spektrální čáru vypočítáme ze vztahu (9.10). Příslušnou vlnovou délku najdeme v tabulce 9.1 nebo přímo v tabulkách [2]. Úkoly 1. Měřený hranol postavte na stoleček goniometru tak, aby jeho lámavé plochy byly zhruba proti stavěči m šroubům. 2. Proveďte justování hranolu metodou zrcadlení nitkového kříže. 3. Změřte několikrát lámavý úhel hranolu a výsledky statisticky zpracujte. 4. Změřte úhly minimální deviace alespoň pro pět spektrálních čar rtuti v obou polohách hranolu. 5. Vypočítejte index lomu ze vztahu (9.10) pro každou spektrální čáru a pomocí tabulky 9.1 nebo [2] jí přiřaďte vlnovou délku A. 6. Vyneste do grafu závislost indexu lomu na vlnové délce světla a proložte ji Cauchyho vztahem (9.11) omezeným do kvadratického členu rozvoje n(X) = A + ^.1 (9.15) Hodnoty koeficientů A a B Cauchyho rozvoje explicitně uveďte včetně jednotek a nejistot. 7. Na základě obdrženého Cauchyho vztahu pak určete indexy lomu pro vlnové délky Fraunho-ferových čar F, d a C a z nich pak určete Abbeovo číslo skla měřeného hranolu. Výsledky porovnejte s parametry udávanými výrobcem pro měřené sklo. 1Z výpočetního hlediska je nej výhodnější provést proložení po provedení substituce x = l/A2, čímž se úloha převede na lineární regresi n = A + Bx. Pro optické vlnové délky je vhodné používat jako jednotky x [jivoT2], neboť pak dostáváme na x-ové ose číselné hodnoty v řádu jednotek až desítek. Vykreslením závislosti indexu lomu n na nově zavedené proměnné x spolu s lineárním fitem pak můžeme rychle ověřit, zda je lineární model vhodný a zda se některé určené hodnoty n výrazně neodchylují od modelové přímky, což by naznačovalo chybu měření nebo ve výpočtu u daného měřícího bodu. Na druhou stranu, výrazná systematická odchylka experimentálně určené závislost n(x) od přímky může naznačovat nutnost fitovat polynomem druhého řádu v x, tedy aplikovat i člen C/A4 v Cauchyho vztahu (9.11). 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce 66 Literatura: [1] A. Kučírková a K. Navrátil: Fyzikální měření 1, SPN Praha 1986. [2] J. Brož, V. Roskovec, M. Valouch: Fyzikální a matematické tabulky, str. 137, SNTL Praha 1980. [3] E. Hecht: Optics, Addison Wesley, San Francisco, 2002. [4] https://en.wikipedia.org/wiki/Abbe_number, graf vytvořil Eric Bajart, distribuováno na základě CC-BY 2.0 licence. evropský SOCiální g^n^^g MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 olarizace svetla Úkoly k měření • Příprava roztoku sacharózy. • Určení koncentrace roztoku měřením indexu lomu dvouhranolovým refraktometrem. • Měření optické stáčivosti roztoku sacharózy. • Malusův zákon, měření polarizační schopnosti reálného polaroidů. Měření indexu lomu a optické stáčivosti roztoku sacharózy Látky rozpuštěné v roztoku ovlivňují mimo jiné jeho optické vlastnosti. Optická měření bývají rychlá, proto se často používají v analýzách roztoků. V této úloze budeme měřit koncentrační závislost indexu lomu a optické stáčivosti roztoku sacharózy. Závislost indexu lomu roztoku sacharózy na jeho koncentraci 1.43 1.42 1.41 1.4 E 1.39 o X 1.38 N\. Dále je vyznačen mezní úhel j3m a žlutě oblast, do níž světlo může procházet. Žádné světlo se neláme do šedě vyznačené oblasti. 10. Polarizace světla 69 hranol H2 má naopak zmatovanou stěnu ED. Měřený objekt se umisťuje na plochu AC měřícího hranolu. Je-li měřen index lomu kapaliny, jsou oba hranoly k sobě přiklopeny a mezi ně se vpraví malé množství kapaliny. Chceme-li měřit index lomu pevné látky, musí mít vzorek alespoň jednu plochu rovinnou a dobře vyleštěnou. Vzorek přiložíme touto plochou na stěnu AC, na kterou je třeba před měřením nanést malé množství kapaliny s indexem lomu vyšším než má měřená látka (obvykle 1-bromnaftalem, n = 1,658). 1 F_D Obrázek 10.3: Optický princip dvoj hranolového refraktometru. Při lomu z měřeného matriálu umístěného mezi hranoly na stěně AC hranolu H\ se veškeré světlo láme do žlutě vyznačené výseče, šedá výseč je temná. Směr mezního paprsku 2', který oděluje světlou a temnou oblast, je dán indexem lomu měřeného materiálu umístěného mezi hranoly podle vztahu (10.5). být menší než index lomu hranolu H\, aby se světlo lámalo ke kolmici. Při měření na průchod vstupuje světlo plochou EF do osvětlovacího hranolu, na ploše ED se rozptýlí a vchází do měřené látky. Po lomu vychází stěnou BC. Tato plocha je pozorována dalekohledem. Při měření v monochromatickém světle je mezi oběma částmi zorného pole ostré rozhraní. Při měření na odraz vstupuje světlo plochou AB do hranolu H\ a po odrazu opět vychází plochou BC. Je-li měření prováděno v bílém světle, je rozhraní v zorném poli dalekohledu zbarveno. Aby se tato obtíž odstranila, je dvojhranolový refraktometr vybaven kompenzátorem, což jsou dva Amiciovy hranoly, činnost kompenzátoru spočívá v tom, že se do optické soustavy přístroje zařadí nový hranol, jehož disperze je až na znaménko rovna disperzi měřící soustavy. S měřícím hranolem je pevně spojena stupnice kalibrovaná v hodnotách indexu lomu. Odečítá se na ní pomocí lupy umístěné vedle okuláru dalekohledu. Měření na tomto přístroji lze provádět buď v monochromatickém světle sodíkové výbojky (vlnová délka 589,3 nm) nebo ve světle bílém. Refraktometr má rovněž vedle stupnice indexu lomu dodatečnou stupnici pro měření koncentrace roztoku sacharózy. Postup měření: 1. Na měřící hranol nanést malé množství měřené kapaliny a přiklopit osvětlovací hranol. 2. Šroubem na pravé straně přístroje otáčet hranolem tak dlouho, až se v zorném poli dalekohledu objeví rozhraní světlo-tma. Toto rozhraní otáčením šroubu nastavit do průsečíku nitkového kříže v zorném poli dalekohledu. 3. Na stupnici vpravo lupou odečíst hodnotu indexu lomu měřené kapaliny a koncentraci roztoku sacharózy. Polarizace světla Světlo je příčné vlnění elekromagnetického pole. Pro popis světelných jevů plně postačí se zaměřit na chování periodicky proměnného vektoru elektrického pole E. Tento vektor je vždy kolmý ke 10. Polarizace světla 70 y a Obrázek 10.4: Polarizace denního světla. směru šíření paprsku. Je-li směr vektoru Ě ve všech bodech paprsku v čase stálý, hovoříme o lineárně polarizovaném světle a rovina, v níž se kmity dějí, se nazývá kmitová rovina nebo rovina polarizace. Lineárně polarizované světlo můžeme dostat lomem nebo odrazem. Je vhodné rozložit vektor elektrického pole E do dvou navzájem kolmých směrů a vyjádřit ho ve složkách Ex a Ey (obr. 10.4, přičemž se světelný paprsek šíří kolmo k rovině obrázku). Je-li fázový posuv ô mezi těmito složkami stálý a je-li zároveň roven nule, dostávame lineárně polarizované světlo. V případě, že ô = tt/2 a navíc platí Ex = Ey opisuje koncový bod vektoru E kružnici a dostáváme kruhově polarizované světlo; v obecném případě, kdy 0 < ô < tt/2 jde o elipticky polarizované vlnění. Optická aktivita látek Látky jsou opticky aktivní, mají-li schopnost stáčet rovinu lineárně polarizovaného světla. Tuto vlastnost mají jak některé látky pevné tak i některé roztoky obsahující v molekule např. asymetricky umístěný uhlík (vodný roztok sacharózy). Podle směru stočení kmitové roviny se opticky aktivní látky dělí na pravo- a levotočivé vzhledem k pozorovateli hledícímu proti směru šíření světla. Biot stanovil empirický vztah pro úhel stočení kmitové roviny po průchodu aktivní látkou, a = [a]d (10.6) kde [a] je specifická stáčivost zkoumané látky a d je tloušťka této látky. Veličina [a] závisí na teplotě a vlnové délce světla. Jde-li o roztoky, pak a = [a]cd (10.7) kde c označuje koncentraci opticky aktivní látky. Specifickou stáčivost roztoku lze stanovit ze vztahu (10.7) polarimetrem: r i 100a [a] = —, (10.8) kde q je počet gramů látky ve 100 cm3 roztoku. Tabulka 10.1: Specifická stáčivost vybraných látek. látka specifická stáčivost (°cm3/g.dm) Sacharóza Fruktóza Dextróza (D-glukóza) +66,53 -93,78 +52,74 Polarimetr Polarimetr slouží k měření úhlu stočení roviny polarizace studovanou látkou (kapalnou, pevnou či plynnou). Polarimetr je znázorněn na obr. 10.5. Světlo z monochromatického zdroje (Z) je 10. Polarizace světla 71 Z O K V A b D 1 1 *" Obrázek 10.5: Polarimetr. kolimátorem (K) zpracováno na rovnoběžný svazek paprsků. Průchodem přes polarizátor (P) se vlnění lineárně polarizuje a buď prochází přes měřený vzorek (V) nebo jde přímo na analyzátor (A), kterým lze otáčet kolem optické osy přístroje. Výsledná intenzita prošlého světla se pozoruje dalekohledem (D). Polarizátor a analyzátor jsou zpravidla realizovány pomocí speciálních hranolů z opticky anizotropních krystalů. Zkřížime-li kmitové roviny polarizátoru a analyzátoru, bude intenzita osvětlení zorného pole minimální. Naše oči pozorují minimum osvětlení dosti nepřesně a nespolehlivě, naopak jsou citlivé na kontrast v osvětlení dvou sousedních ploch. Tohoto poznatku se využívá při konstrukci tzv. polostínového zařízení analyzátoru [1, 2], kde se snažíme dosáhnout otáčením analyzátoru takového stavu, při kterém jsou obě poloviny zorného pole osvětleny stejně (málo). Uhel stočení analyzátoru vůči polarizátoru se měří na stupnici (S). Měření Připravíme asi 25 cm3 15% roztoku sacharózy a nalijeme do kyvety. Zbytek roztoku zředíme tak, abychom získali 10% roztok sacharózy a znovu odlejeme do druhé kyvety. Postup ještě jednou zopakujeme tak, aby ve třetí kyvetě byl 5% roztok sacharózy Zapneme výbojku před polarimetrem. Otáčením analyzátoru nastavíme polostín a odečteme na stupnici nulovou polohu (pozor na správnou stupnici). Kyvetu s roztokem vložíme do přístroje a opět najdeme polostín a na stupnici odečteme úhel stočení. Ze vztahu (10.8) určíme specifickou stáčivost, měření opakujeme alespoň 5x. Úkoly 1. Připravte tři roztoky sacharózy o různé koncetraci (15%, 10%, 5%). 2. Na dvouhranolovém refraktometru určete index lomu každého z roztoků sacharózy a také čisté vody. 3. Odečtěte odpovídající koncentraci sacharózy odečtením v refraktometru nebo ji určete podle vztahu (10.4), grafu 10.1 nebo z tabulek [4]. 4. Určete polarimetrem úhel stočení kmitové roviny připravených roztoků. Měření všech kyvet opakujte 5 x, vždy ve schématu: nulová poloha - první kyveta - druhá kyveta - třetí kyveta. 5. Vypočítejte specifickou stáčivost sacharózy a porovnejte ji s tabelovanou hodnotou, kterou najdete např. v [2], str. 571 nebo v tabulce 10.1. Malusův zákon, měření polarizační schopnosti reálných polaroidů Úvod Zdroje světla si lze představit jako soubor velkého množství vzájemně nezávislých zdrojů elektromagnetického záření (atomymolekuly). Světlo vyzařované např. jedním atomem je lineárně polarizované tzn. že vektor intenzity elektrického pole E se v čase mění v přesně definované rovině - rovině kmitové. V daném okamžiku se ale ve směru šířícího se paprsku světla šíří energie vyzařovaná mnoha elementárními zdroji. V tomto případě jsou v postupující vlně zastoupeny všechny možné kmitové roviny, hovoříme o přirozeném světle. 10. Polarizace světla 72 Z přirozeného světla můžeme dostat lineárně polarizovanou vlnu pomocí polarizačních přístrojů-polarizátorů. Při odrazu světla na dielektrickém rozhraní závisí odrazivost různě polarizovaných složek na úhlu dopadu podle Fresnelových vztahů. Tento jev je studován v úloze 7. Plně polarizované světlo lze získat při odrazu pod Brewsterovým úhlem. Také světlo po lomu na rozhraní je částečně polarizováno. Klasické polarizátory (Nikolův hranol) využívají dvojlomu v některých krystalech, kdy index lomu závisí na polarizaci. Různě polarizované složky se pak šíří pod různými směry a jednu z nich lze eliminovat při totálním odrazu na jiné stěně hranolu. V současné době se nejvíce používají polarizační fólie (polaroidy) tvořené uspořádanými polymerními vlákny. Propustnost folie je závislá na polarizaci světla. Při vhodné volbě materiálu a tloušťky lze připravit polarizační folie s vysokou účinností. Malusův zákon Na obrázku 10.6 označuje P polarizátor, A analyzátor, Iq je intenzita přirozeného světla dopadajícího na polarizátor, I'Q je intenzita světla po průchodu polarizátorem. Dále je / intenzita svazku, který prošel analyzátorem A a a je úhel mezi kmitovými rovinami vektoru E před a po průchodu analyzátorem. Označíme-li amplitudu vektoru E před průchodem analyzátorem ao a po průchodu a, pak podle předchozího obrázku platí a = ao cos a. (10.9) Intenzita světla je úměrná druhé mocnině amplitudy, tedy intenzita prošlého světla analyzátorem je dána vztahem I = l'0cos2a, (10.10) což je matematický zápis Malusova zákona. V případě nedokonalých polarizátorů bude část světla pronikat i při zkřížených polarizátorech. Malusův zákon pak můžeme upravit (10.11) / i E(A) 'E(P) Obrázek 10.6: Schéma Malusova pokusu. Ověření platnosti Malusova zákona Využijeme uspořádání podle obr. 10.7 se dvěma polarizátory (Nikolovým hranolem a polarizační fólií) a světelný zdroj umístíme tak, aby světlo procházelo oběma polarizátory. Platnost Malusova zákona ověříme tak, že jeden z polarizátorů necháme v libovolné, ale stále stejné poloze a druhým budeme otáčet s pevným krokem v rozsahu 0° až 360°. Závislost fotoproudu na úhlu stočení obou polarizátorů by měla odpovídat závislosti dle vztahu (10.11). Tuto závislost můžeme ještě dále využít ke stanovení stupně polarizace světla, částečně polarizované světlo si lze představit složeno z části polarizované (intenzita Ip) a části nepolarizované (In)- Stupeň polarizace V částečně polarizovaného světla je dán vztahem (10.12) 10. Polarizace světla 73 Zdroj a i Detektor Obrázek 10.7: Uspořádání pro ověření Malusova zákona. 1 - první polarizátor, 2 - druhý polari-zátor, 3 - fokusační čočka, 4 - detektor. Mějme dva polarizátory z nichž první je nedokonalý (s nízkým stupněm polarizace) a druhý téměř dokonalý. Předpokládejme, že propustnost druhého polarizátoru pro světlo polarizované v polarizační rovině polarizátoru je rovna 1 a pro světlo polarizované kolmo k jeho polarizační rovině rovna 0. Testujeme stupeň polarizace prvního polarizátoru. Po průchodu polarizátorem č. 1 jsou intenzity polarizovaného světla 1^ a In \ Jsou-li kmitové roviny obou polarizátoru rovnoběžné, dostaneme po průchodu světla oběma polarizátory intenzitu r(l) W = /í1) + ^-, (10.13) protože linárně polarizovaná složka projde i druhým polarizátorem, ale z nepolarizované složky jen jedna polovina. Naopak, jsou-li kmitové roviny navzájem kolmé, pak projde přes druhý polarizátor pouze polovina z nepolarizované složky 7(i) Vin = \- (10-14) Dosadíme-li 1^ a In^ do vztahu (10.12), dostaneme pro stupeň polarizace vztah v= W-/min (1Q15) W + ^min Stupeň polarizace tedy určíme ze závislosti fotoproudu na úhlu stočení polarizátoru. Úkoly 1. Měření provádějte v monochromatickém světle s vybraným barevným filtrem. 2. Jeden z polarizátoru nechejte v pevné poloze, druhým otáčejte. 3. Zaznamenávejte hodnoty fotoproudu na měřidle odpovídající nastaveným úhlům. 4. Vyneste závislost fotoproudu na úhlu otočení polarizátoru. 5. Ze vztahu (10.15) určete stupeň polarizace druhého polarizátoru. Užití v praxi: Stáčení roviny polarizace je prakticky využitelné právě v relativně velmi přesné metodě měření koncentrace látek v roztoku (pokud jsou opticky aktivní). Aplikace polarizátoru jsou ovšem mnohem širší - od polarizačních brýlí (včetně těch používaných při stereoskopických 3D projekcích) přes zobrazování pomocí LCD (opticky aktivní krystaly v elektrickém poli mezi dvěma zkříženými polarizátory) až po defektoskopii (opět zkoumání stáčení polarizace tentokrát vlivem pnutí v průhledném materiálu). Přímé užití Malusova zákona lze nalézt ve spojitě ztmavovatelných brýlích, nebo u rychlých elektricky ovládaných optických závěrek (podobně jako u tekutých krystalů se i zde řídí stáčení polarizace pomocí elektrického pole). Laboratorní zkoumání změn polarizace při odrazu na materiálech pak umožňuje určovat dielektrické funkce (i vícevrstevných vzorků) technikou zvanou elipsometrie. 10. Polarizace světla Literatura: [1] A.Kučírková a K. Navrátil: Fyzikální měření I, SPN Praha 1986. [2] Z. Horák: Praktická fyzika, SNTL Praha 1958. [3] CRC, Handbook of Chemisty and Physics, editor D.R. Lide, str. 8-81, the 84th edition, CRC Press, 2003-2004. [4] http://www.refractometer.pl/refraction-datasheet- sucrose evropský SOCiální j^g^^^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 nterterence a ditrakce svet Cíle praktika 1. Seznámit se s principy optické interferometrie. 2. Naučit se používat Michelsonův interferometr a použít ho za účelem • určení tloušťky tenké vrstvy, • určení indexu lomu vzduchu. 3. Seznámit se s principy difrakce a využít difrakci k určení hustoty vrypů optické mřížky. Interference světla Teoretický úvod Index lomu Ve vakuu se světlo pohybuje rychlostí c0 = 2,99792458 • 108 m/s. (11.1) Pokud se světlo šíří dielektrickým prostředím (plyn, tekutina, sklo nebo jiná průhledná pevná látka), jeho rychlost se sníží na c = ^, (11.2) n kde n je index lomu. Index lomu je důležitou charakteristikou prostředí, která navíc závisí na barvě, tj. vlnové délce A světla, stejně jako na teplotě a tlaku. Poslední jmenovaná závislost je nejvíce výrazná pro plyny. Typické hodnoty jsou n = 1,33 pro vodu, n = 1,4 až 2,0 pro různé typy skel, zatímco pro plyny (včetně vzduchu) je odchylka indexu lomu od jedničky n — 1 řádově 10~4. Rovinné monochromatické vlny Světlo je (v rámci vlnového pojetí světla) elektromagnetická vlna, která je charakterizována elektrickým polem E(r, t), nazývaným optické pole, které závisí na čase t a polohovém vektoru v prostoru r. Světlo vyzařované laserem lze v dobrém přiblížení popsat jako rovinnou monochromatickou vlnu. Uvažujeme-li takovou vlnu, která se šíří podél osy x, časová a prostorová závislost optického pole je dána vztahem E(x, t) = Eq cos {kx — Lot + (f>o), (11-3) 11. Interference a difrakce světla 76 kde cj je úhlová frekvence, k je úhlové vlnové číslo a 0o je počáteční fáze (fázová konstanta). Uhlová frekvence a úhlové vlnové číslo jsou svázány vztahem k = — = n— = nko, c c0 kde je (úhlové) vlnové číslo ve vakuu a k0 lú 2-kv 2tv c0 c0 A0 A o co v (11.4) (11.5) (11.6) je vlnová délka ve vakuu a v je frekvence. Z tohoto výrazu je patrné, že se vlnová délka světla změní na A = —, (11.7) n pokud se šíří prostředím s indexem lomu n / 1, zatímco frekvence v světla se nezmění. Reprezentace a šíření vlny Uvažme rovinnou vlnu v čase t = 0 šířící se ve směru osy x E (x) = Eq cos (kx), (11.8) kde <ř = kx se nazývá prostorová fáze vlny. Tato vlna může být graficky reprezentována funkcí E (x) (viz obr. 11.1a)) nebo vlnoplochami, což jsou roviny kolmé na vlnový vektor k (obr. 11.1b)), jehož velikost je rovna úhlovému vlnovému číslu. b) 1 1 k ! X 1 1 ; ; ; ! x Obrázek 11.1: Grafické reprezentace elektromagnetické rovinné monochromatické vlny šířící se podél osy x pomocí a) funkce intenzity elektrického pole E (x) a b) pomocí vlnoploch, které jsou rovinami kolmými k vlnovému vektoru k a vzájemně vzdálené o vlnovou délku A. Vlnoplochy prochází body prostoru, ve kterých optické pole E(x) nabývá určité hodnoty. V našem případě jsme je reprezentovali spojitými čarami v bodech, kde E(x) dosahuje svého maxima Eq a přerušovanými čarami v bodech, kde funkce dosahuje minima —Eq. Sousední vlnoplochy odpovídající stejné hodnotě E(x) (tj. zde maximům či minimům) jsou vzájemně vzdáleny o vlnovou délku A. Šíření vlny prostorem by odpovídal pohyb obou reprezentací vlny na obr. 11.1 rychlostí c podél osy x. V bodě x + Ax, je prostorová fáze vlny (tj. argument funkce cos v (11.8)) $ = k (x + Ax) = kx + kAx = kx + A<1> a mluvíme o přírůstku fáze vlny vůči bodu x o A<1> = kAx = nk0Ax (11.9) (11.10) na dráze Ax. Zatímco Ax nazýváme geometrickou dráhou, nAx se nazývá dráhou optickou. 11. Interference a difrakce světla 77 Intenzita rovinné vlny Intenzita (též plošná hustota zářivého toku) / rovinné vlny (11.3) je přímo úměrná časově průmě-rovanému kvadrátu intenzity elektrického pole [6] I = 60c(E(x,t)2)t = £-^El (11.11) Jednotkou intenzity jsou W/m2. Intenzita rovinné vlny je úměrná kvadrátu amplitudy Eq vlnového pole, ale je nezávislá na veličinách k, u, x a t. Michelsonův interferometr V této úloze bude využito Michelsonova interferometru (viz schéma na obr. 11.2). Svazek světla z laseru (ZS)1 dopadá na dělič svazku (DS) a elektromagnetická vlna je rozdělena do dvou větví interferometru vedoucím k zrcátku Zl (příp. vzorku V), resp. k zrcátku 2 (Z2). Dělič svazku je polopropustné zrcátko připravené a instalované ideálně tak, že je intenzita prošlého svazku rovna intenzitě svazku odraženého. Každá ze dvou vzniklých vln se šíří k jednomu ze zrcátek, které vlnu odráží ve směru proti vlně dopadající případně s malou úhlovou odchylkou. Kvůli lepší vizualizaci jsou na obr. 11.2 vlny dopadající a na zrcátku odražená stranově mírně posunuty. Po odrazu na zrcátkách Zl/V, resp. Z2 vlny postupují zpět směrem na dělič svazku, který opět propustí polovinu intenzity svazku a druhou polovinu odrazí. Pro zjednodušení jsou však na obrázku zobrazeny pouze pro nás relevantní části svazku postupující dále k projekčnímu stínítku (PS). a) b) Obrázek 11.2: a) Schéma Michelsonova interferometru s vyznačenými trajektoriemi vln. b) Realizace Michelsonova interferometru v praktiku, části interferometru: zdroj světla (laser, ZS), pomocné zrcátko (ZO), dělič svazku (polopropustné zrcátko, DS), zrcátko č. 1 nebo vzorek (Zl/V), zrcátko č. 2 (Z2), spojná čočka zvětšující svazek (Č) a projekční stínítko (PS). Dále jsou ve schématu a) vyznačeny geometrické dráhy v první a druhé větvi interferometru (Li, resp. L2) a ve společné větvi mezi děličem svazku a stínítkem (L). Fáze, kterou nabyde vlna procházející první větví interferometru na trajektorii od referenčního bodu R až ke stínítku PS (tj. trajektorii DS (reflexe v R) —> Zl —> DS (průchod) —> PS) je $i = fc(2Li+L) + $LS, (11.12) kde Í>LS je fáze nabytá při odrazu na DS a průchodu DS. Podobně část vlny, která prochází druhou větví interferometru od R k PS (tj. po trajektorii DS (průchod v R) —> Z2 —> DS (odraz) —> PS), nabyde fázi $2 = fc(2L2+L) + $LS. (11.13) 1V praktiku použitý laserový svazek můžeme ve velice dobrém přiblížení chápat jako prostorově omezenou rovinnou vlnu. 11. Interference a difrakce světla 78 Protože každá z vln se jednou odráží a jednou prochází DS, je člen 3>ls pro obě vlny (tedy v obou vztazích (11.12) a (11.13)) identický. Pokud je amplituda vlny dopadající na DS z ZS v referenčním bodě R Eq, jsou optická pole diskutovaných dvou vln na stínítku PS dané Lot) ,resp. E2 = — cos(<í>2 ut) (11.14) kde jsme započetli fakt, že každý odraz na DS, příp. průchod přes DS, zmenší amplitudu svazku o faktor a/2. Celková intenzita výsledného vlnového pole na PS je e0c (\Ei + E2 (11.15) kde ()t opět značí průměrování přes čas. Po krátkém výpočtu dostáváme výsledný vztah pro intenzitu 'tot .k ' 2 .k ' 2 -k ' 2 [1 + cos (! [1 + cos (2k (Li 1 + cos ( 47T $9 Li - nvzL2 (11.16a) (11.16b) (11.16c) kde nvz je index lomu vzduchu. Tyto rovnice ukazují, že interferenční obraz na PS závisí pouze na rozdílu fází A<ř = <ři — $2 vln přicházejících ze dvou větví interferometru nebo, ekvivalentně, na rozdílu příslušných dvou optických drah. Vidíme, že pokud budeme měnit rozdíl optických drah, můžeme měnit intenzitu světla zaznamenávanou na PS mezi Itot = 0 a Itot = Iq- Na tomto principu budou založena měření využívající interferenci v tomto praktiku. Princip měření fáze Pokud se dvě interferující vlny šíří přesně ve stejném směru, uvidíme na stínítku jedinou skvrnu homogenní intenzity. Intenzita se bude měnit periodicky podle rovnice (11.16c), pokud budeme měnit relativní fázi, tedy rozdíl geometrických drah, těchto dvou vln. Pokud změníme rozdíl fází Aí> = $1 — $2 právě o 2tt, budeme pozorovat opět stejnou intenzitu skvrny (např. přejdeme od maxima k maximu intenzity). Nicméně, pokud se budou dvě vlny dopadající na stínítko šířit vzájemně v poněkud odlišném směru, budeme pozorovat střídavě několik světlých a tmavých proužků, nazývaných interferenční proužky. Na obr. 11.3 jsou vyobrazena schémata optických polí dvou různoběžných rovinných vln a výsledných interferenčních obrazců pro dva různé úhly mezi interferujícími rovinnými vlnami. Optická pole jsou vyobrazena v určitý okamžik, kdy je maximum optického pole č. 2 právě totožné s povrchem stínítka. Maxima intenzity vznikají v bodech stínítka, kde jsou fáze obou vln na stínítku stejné, tedy v zobrazeném případě tam, kde optická pole vykazují maxima. Ta jsou v momentce ve schématech vyznačena opět plnou čarou. Ve skutečnosti se vlny pohybují rychlostí světla, ale body na stínítku, kde mají vlny stejnou fázi, se nepohybují a tím pádem zůstává interferenční obraz statický. Pokud na druhou stranu změníme fázi jedné z vln (např. posuneme zrcátko Zl na obr. 11.2 směrem ke stínítku), interferenční obraz se posune. Situace na obr. 11.3 odpovídá případu, kdy jsou zrcátko Z2 a stínítko PS na obr. 11.2 orientovány normálami podél dopadajícího svazku procházejícího větví č. 2 Michelsonova interferometru, zatímco normála k Zl je otočena kolem horizontální osy. Z analýzy schématu interferujících vlnových polí v blízkosti stínítka na obr. 11.4 získáme vztah mezi úhlem, který svírají interferující vlny a vzdáleností sousedních interferenčních proužků. Konkrétně se zaměřme na pravoúhlý trojúhelník, jehož vrcholy A a B leží v bodech sousedních interferenčních maxim a vrchol C je kolmou projekcí bodu A na sousední vlnoplochu, odpovídající následujícímu maximu vlny 2. Odvěsna AC tohoto trojúhlelníku má délku rovnou vlnové délce světla A, délka přepony AB je vzdálenost maxim xi, a úhel protilehlý k odvěsně AC je roven úhlu 11. Interference a difrakce světla 79 Obrázek 11.3: Boční pohledy na interferující optická pole dvou různoběžných rovinných vln šířících se v různých směrech a čelní pohledy na výsledné interferenční proužky na stínítku (fotografie). Schémata optických polí a interferenční obrazce jsou vyobrazeny pro a) menší a b) větší úhel mezi směry šíření rovinných vln. Směry šíření jsou dány směry vlnových vektorů k\ a k2. Intenzivní interferenční proužky vznikají v bodech, kde mají vlny na stínítku stejnou fázi, což jsou ve vyobrazeném případě průsečíky maxim optických polí vyznačených plnými čarami. mezi směry šíření vln 1 a 2, označenému 26.2 Odtud dostáváme pro vzdálenost mezi difrakčními maximy 11 = ^W) (11-17) Na tomto místě poznamenejme, že úhly mezi směry šíření vln 1 a 2 na obr. 11.3 a 11.4 byly oproti experimentu v praktiku značně zveličeny. Uhly jsou v obrázku přizpůsobeny tomu, aby bylo možné zároveň viditelně zobrazit vzdálenosti vlnoploch A (řádově stovky nm pro viditelné světlo) a vzdálenosti interferenčních maxim x, které jsou řádu jednotek mm. Dosadíme-li do vztahu (11.17) např. vzdálenost proužků 4 mm a vlnovou délku zeleného světla A = 530 nm, dostáváme pro úhel mezi směry šíření vln 26 ~ 8 • 10~3° ~ 0,5'. Uhly 26 mezi směry šíření rovinných vln vycházejících z větví 1 a 2 Michelsonova interferometru v praktiku budou tedy řádově desetiny až jednotky úhlové minuty. Měření tloušťky tenké vrstvy pomocí interference Princip měření Měření bude provedeno pomocí Michelsonova interferometru (viz obr. 11.5 a 11.2a). Jako vzorek použijeme tenkou vrstvu hliníku (TV, viz obr. 11.5b)) nanesenou na skleněném podložním sklíčku (S). Vrstva byla při depozici rozdělena pomocí masky na řadu obdélníků oddělených mezerami. Navíc je přes tuto tenkou vrstvu a mezery podél délky vzorku nanesena krycí vrstva (KV) z hliníku (příp. z Au), u které předpokládáme stejnou tloušťku v oblastech TV i na skle (obr. 11.5c)). Účelem použití KV je dosáhnout vysoké odrazivosti vzorku nad TV i mezerami, což je potřebné k obdržení intenzivního a kontrastního interferenčního obrazce. Zatímco sklo má pro viditelné světlo při kolmém dopadu odrazivost řádově jednotek procent, odrazivost kovů je ve vyšších desítkách procent (pro AI více jak 90 %). 2V teorii rozptylu se konvenčně označuje úhel mezi dvěma interferujícími nebo difraktujícími vlnami 20. 11. Interference a difrakce světla 80 PS B ■ Obrázek 11.4: Schématické zobrazení interferujících vlnových polí z obr. 11.3a) v blízkosti stínítka (PS) v boční projekci. Pro přehlednost jsou zobrazeny pouze vlnoplochy odpovídající maximům optických polí vln 1 a 2 (fialové, resp. modré plné čáry). Na obrázku byla opět znázorněna situace v momentě, kdy je maximum pole 2 právě totožné s povrchem stínítka. Uhel mezi směry šíření vlnových polí je 29, vzdálenost interferenčních proužků na stínítku je x\. b) KV TV Obrázek 11.5: a) Celkový pohled na aparaturu Michelsonova interferometru v praktiku. Šrouby Šl až Š3 slouží k posuvu vzorku v horizontálním směru napříč, resp. podél dopadajícího svazku a ve vertikálním směru. Šrouby Š4 a Š5 slouží k náklonu referenčního zrcátka (Z2) okolo horizontální, resp. vertikální osy. Dále je označen držák (D) kyvety, který bude využit při měření indexu lomu vzduchu, b) Vzorek s tenkou vrstvou (TV) hliníku nanesenou na sklo (S) a s páskem krycí hliníkové vrstvy (KV), překrývající ostrůvky TV i sklo. c) Schéma řezu vzorkem. 11. Interference a difrakce světla 81 V experimentu bude vzorek umístěn v první větvi interferometru (obr. 11.2b)) tak, aby svazek dopadal na KV částečně nad TV (KV-TV) a částečně v oblasti mezery na KV na skle (KV-S), kde je krycí vrstva přímo na skle, (viz obr. 11.6a)). Vlna odražená v oblasti KV-S musí urazit geometrickou dráhou o dvojnásobek tloušťky vrstvy t větší oproti vlně odražené na KV-TV (Li) s~ L\, tv = 2í) (viz obr. 11.6c)). Obě vlny interferují s optickým polem vlny odražené na referenčním zrcátku Z2. Přitom vlny odražené na vzorku svírají s vlnou od Z2 nenulový (v experimentu malý, 29 < 10') úhel ve vertikální rovině. Díky odlišné geometrické dráze s = 2t části vlny po odrazu na KV-TV a KV-S ke stínítku budou interferenční obrazce od těchto dvou vln vertikálně posunuty (obr. 11.6b)). Vztah mezi tloušťkou vrstvy t a vertikálním posunem interferenčních obrazců x2 dostaneme z analýzy schématu optických polí v blízkosti stínítka na obr. 11.7. Jak plyne ze schématu, pro jednoznačné určení tloušťky vrstvy t musí být rozdíl optických drah vln ze vzorku menší než vlnová délka světla, tedy t = s/2 < A/2. Z podobnosti trojúhelníků ABC a AED dostáváme pro tloušťku vrstvy í = f$ (11.18) b) boční pohled PS - čelní pohled a) vzorek - čelní pohled KV-TV KV-S c) řez podél kv kolmý na hrany vrypů - vlna odražená na vzorku KV-TV KV-S KV-TV PS Obrázek 11.6: a) Čelní pohled na vzorek, na nějž dopadá laserový svazek do oblasti s krycí vrstvou (KV) částečně nad tenkou vrstvou (AI obdélníky, KV-TV) a částečně nad mezerou (KV-S). Přerušovaná čára R označuje průsečík povrchu vzorku s rovinou řezu v c). b) Schéma bočního pohledu na interferující optická pole a čelního pohledu na odpovídající interferenční obrazec na stínítku (PS). Vlnoplochy vlny odražené na vzorku v oblasti mezery (zelené čáry, odraz na KV-S) jsou posunuty vůči vlnoplochám vlny odražené v oblasti KV-TV (fialové čáry). Tyto vlny interferují s vlnou odraženou na referenčním zrcátku (modré vlnoplochy). Červená přerušovaná čára R označuje průsečík PS s rovinou řezu na obr. c). c) Schéma vlnových polí odražených na vzorku v řezu kolmém k vlnoplochám a hranám tenké vrstvy. 11. Interference a difrakce světla 82 kde x\ je opět vzdálenost nejbližších interferenčních maxim od vlny odražené na KV-TV. Vzhledem k tomu, že relativní nejistota měření vzdálenosti interferenčních proužků v experimentu bude o řád či více větší než odchylka indexu lomu vzduchu od jedničky, můžeme v (11.18) aproximovat vlnovou délku světla laseru ve vzduchu vakuovou vlnovou délkou A Aq. Obrázek 11.7: Schéma interference optických polí odražených na KV-TV (fialové vlnoplochy) a KV-S (zelená) s vlnou odraženou na referenčním zrcátku Z2 (modrá) v blízkosti stínítka. Body A a E odpovídají vertikálním polohám interferenčních maxim od vlny odražené na KV-TV. Bod B odpovídá maximu od vlny odražené na KV-S. Body C a D jsou kolmými projekcemi bodu A na vlnoplochy vln jdoucích od KV-S a KV-TV. Vzdálenost S je rovna rozdílu optických drah dvou vln odražených na vrstvě a v mezeře 2nvzt. Postup měření Zapněte laser (zelený laser vlnové délky A = 531,2 nm). Umístěte vzorek do držáku vzorků v první větvi Michelsonova interferometru (obr. 11.2b)) a vycentrujte vzorek tak, aby stopa laseru dopadala na krycí vrstvu (KV) v oblasti mezery mezi obdélníky TV (obr. 11.7a). Jemný posuv vzorku můžete provést pomocí šroubů SI a Š3 (obr. 11.5a)). Pomocí šroubů náklonu referenčního zrcátka S4 a Š5 optimalizujte interferenční obrazec na PS tak, aby byly interferenční proužky přibližně horizontálně orientované a bylo zobrazeno pět až deset proužků. Interferenční obrazec pak nafoťte mobilním telefonem příp. pomocí kamery v praktiku. Proveďte pro několik míst na vzorku i pro různé počty zobrazených interferenčních proužků na jednom místě vzorku. Fotografie pak můžete zpracovat např v grafickém program s možností měření vzdáleností. Úkoly 1. Nastavit v zorném poli 5-10 interferenčních proužků. 2. Proměřit interferenční obrazec. 3. Nastavit jiný počet interferenčních proužků a opakovat bod 2. 4. Body 1 až 3 opakovat na jiném místě vzorku. 5. Z jednotlivých měření určit tloušťku vrstvy. 6. Zhodnotit rovnoměrnost tloušťky vrstvy s přihlédnutím k chybě měření. 11. Interference a difrakce světla 83 Určení indexu lomu vzduchu Princip měření K určení indexu lomu využijeme opět Michelsonova interferometru (obr. 11.2a)). Pokud vložíme do druhého ramene interferometru kyvetu o délce d, z níž odčerpáme vzduch, změní se optická dráha v tomto rameni o hodnotu 2dn\ — 2dnv (11.19) kde nvz je index lomu vzduchu při aktuálním atmosférickém tlaku pvz a n\ je index lomu po odčerpání kyvety na tlak p\. Faktor 2 je dán dvojím průchodem světla přes kyvetu. Při dostatečně pomalém čerpání je možné sledovat posun interferenčních proužků. Nabytá fáze po průchodu vlny z bodu R přes Z2 na PS na obr. 11.2a) se změní z (11.13) na $9 2tt [nvz(2L2 + L) + 2(ni - nvz)d] + $LS + $o, (11.20) kde <í>o je změna fáze vlny po průchodu vstupním a výstupním okénkem kyvety. V průběhu posunu obrazce, každý následující průchod interferenčního proužku sledovaným bodem stínítka odpovídá změně fáze of 2tt (viz (11.16a)), a tedy změně optické dráhy (11.19) o jednu vlnovou délku Ao-Celkem se během odčerpávání vzduchu z kyvety posune interferenční obrazec o ./V proužků a bude platit 2d(nvz - m) = NX0. (11-21) Závislost indexu lomu na tlaku p a teplotě T vzduchu obdržíme, pokud uvážíme, že rozdíl indexu lomu od jedničky je v dobrém přiblížení úměrný hustotě vzduchu (n — l) oc g (Gladstoneův-Daleův vztah [6]). Dále uvážíme vzduch jako ideální plyn a s použitím stavové rovnice ideálního plynu pV = nmoiRT, (11.22) kde nmo\ je molární množství vzduchu v objemu V a R je univerzální plynová konstanta, a vztahu mezi molárním množstvím a hustotou vzduchu P nmo\Mn V kde Mm je střední molární hmotnost molekuly vzduchu, dostáváme P n = 1 + konst. —. T (11.23) (11.24) Dále budeme předpokládat, že se teplota vzduchu T v kyvetě v průběhu odčerpávání vzduchu nemění. S využitím (11.24) pak můžeme přepsat (11.21) jako 2d 1 Pvz NXn (11.25) Odtud vidíme, že index lomu vzduchu nvz za aktuálního atmosferického tlaku pvz můžeme zjistit z počtu interferenčních proužků N, o nějž se posune interferenční obrazec při snížení tlaku ve vývěvě o Ap = pvz — pi, ze vztahu 1 + NAp pvz 2d Ap' (11.26) Pro porovnání experimentálně zjištěných hodnot s tabelovanými je třeba přepočíst tabulkovou hodnotu indexu lomu podle aktuálních atmosférických podmínek s použitím (11.24). Podle práce [4] je tabulková hodnota indexu lomu suchého vzduchu pro zelené světlo o vlnové délce 532 nm rovna 1,000278 při tlaku 101,3kPa a teplotě 15°C (standardní atmosféra). S uvážením přesnosti našeho měření můžeme závislost indexu lomu na vlhkosti vzduchu zanedbat. Při teplotách do 25 °C se index lomu mění méně než o 10~6 v celém rozsahu relativní vlhkosti mezi 0 a 100 % [4, 5, 7]. 11. Interference a difrakce světla 84 Úkoly 1. Umístěte do interferometru kyvetu. Spočtěte počet interferenčních proužků, o které se posune obrazec během vyčerpání nebo zavzdušnění kyvety. Odečtěte konečný tlak v kyvetě p\ a vypočtěte index lomu vzduchu. Proveďte toto měření několikrát kvůli zjištění nejistot. 2. Porovnejte zjištěnou hodnotu nvz s tabulkovou hodnotou přepočtenou podle aktuálních podmínek. Teploměr a barometr se nachází v praktiku. Difrakce světla Difrakční mřížka na průchod je planparalelní skleněná destička s velkým počtem tenkých, navzájem rovnoběžných a stejně vzdálených vrypů. Mezerami mezi vrypy prochází světlo beze změny směru, na vrypech je difraktováno. Osvětlíme-li takovou mřížku (obr. 11.8) rovnoběžným svazkem paprsků s vlnovou délkou A, stávají se vrypy podle Huygensova principu zdrojem elementárních rozruchů a šíří se do všech směrů. Interferencí se však zesilují pouze v určitém směru. Pozorujeme-li světlo prošlé mřížkou dalekohledem zaostřeným na nekonečno, protnou se paprsky vystupující ze všech štěrbin pod týmž úhlem a v ohniskové rovině objektivu. Obrázek 11.8: Schéma měření s difrakční mřížkou na průchod. Z obr. 11.8 je zřejmé, že se tyto paprsky nesetkávají se stejnou fází. Označíme-li Sk, Sk+i středy dvou sousedních štěrbin, pak jejich vzdálenost d se nazývá mřížková konstanta a jejich střední paprsky mají dráhový rozdíl dsina. Splňuje-li dráhový rozdíl 5 podmínku 5 = ci sin a = m X , (11.27) zesilují se střední paprsky vycházející ze všech štěrbin. Parametr m je řád maxima. Monochromatické světlo vytvoří tedy ve směrech daných úhly ai, 012,... maxima. Pro tyto úhly platí sin a.\ = X/d, sin a2 = 2X/d, ..., sin ar = mX/d. (11.28) Na základě vztahů (11.28) lze velmi přesně určit vlnovou délku světla. V našem experimentu bude zdrojem monochromatického světla He-Ne laser (vlnová délka 632,8nm), jehož světelný svazek je úzký a téměř nerozbíhavý. To umožňuje velmi jednoduché uspořádání: zdroj - mřížka - stínítko a místo měření úhlů am goniometrem určíme sin am měřením délky stran v příslušném pravoúhlém trojúhelníku. Uspořádání experimetu Na optické lavici je umístěn He-Ne laser, optická mřížka a pozorovací stínítko s milimetrovým papírem, viz obr. 11.9. Mezi laser a mřížku vkládáme stínítko s malým otvorem pro světelný svazek, 11. Interference a difrakce svetla 85 stinilko mrizka laser X Obrázek 11.9: Schéma měření s difrakční mřížkou na průchod. které zachytí paprsky vzniklé difrakcí při odrazu od mřížky a tím zamezíme nekontrolovanému pohybu laserového paprsku po laboratoři. Schéma uspořádání experimentu při pohledu shora je na obrázku. Při experimentu pozor - záření laseru je nebezpečné pro oko! Vzdálenost x mezi mřížkou a stínítkem lze měnit a měřit ji pomocí stupnice na optické lavici. Protože vrypy na optické mřížce jsou orientovány svisle, budou difraktované svazky odchýleny vodorovně vlevo a vpravo od přímého (primárního) svazku. Označíme-li obecně vzdálenost místa dopadu přímého a difraktovaného paprsku jako y, bude sin am= Vm m = 1,2,... (11.29) V V m + x Při měření nastavujeme různé vzdálenosti x a pro každou hodnotu pak odečítáme na milimetrovém papíře stínítka polohy maxim prvního a druhého řádu vpravo y[, y'2 a vlevo y'{, y2' od primárního svazku. Odchylku paprsků na stínítku určíme jako průměr y'i + v" y'2 + y'2 a 1 Qíy> yi = —2— a m = —_—' (11-30) Dosazením (11.29) do (11.27) můžeme určit buď vlnovou délku světla A, pokud známe vzdálenosti vrypů mřížky d, nebo vzdálenost vrypů d, resp. jejich hustotu N, pokud budeme znát vlnovou délku A. Úkoly 1. Pozorujte difrakční jev na stínítku a vzdálenost x nastavte tak, aby bylo možno pozorovat dvě difrakční maxima po obou stranách stopy primárního svazku. Změřte polohu všech maxim a měření opakujte pro různé hodnoty x. 2. Určete vzdálenost vrypů d mřížky a jejich hustotu N. Zjištěnou hodnotu porovnejte s hodnotou uvedenou výrobcem mřížky. Vlnovou délku He-Ne laseru můžete nalézt též v tabulkách [3]. Užití v praxi: Interferenčního zesílení či zeslabení světla se ve velkém měřítku užívá v různých optických filtrech, kam lze zařadit i antireflexní vrstvy optických prvků. Interferenční obrazce exponované ve fotografické emulzi představují základ hologramu, který při osvětlení světlem o stejné vlnové délce, jakou 11. Interference a difrakce svetla 86 byl exponován, rekonstruuje prostorový obraz daného předmětu. Interferenční techniky pak nacházejí široké uplatnění v astronomii, zejména té radiové, kdy současným měřením signálu ze dvou vzdálených míst lze dosáhnout úhlového rozlišení tisícin úhlové vteřiny. Difrakční mřížky (na rozdíl od praktika sledovány v odraženém světle) jsou základem naprosté většiny současných spektrometrů. Difrakční jevy pak lze pozorovat i na strukturách s řádově menší periodou, jako jsou atomové roviny nebo krystaly makromolekul. Literatura: [1] H.E. Bennett a J.M. Bennett: Physics of Thin Films, Vol. 4, Academic New York, 1967. [2] J. Kuběna: Úvod do optiky. Skripta MU Brno, 1994. [3] J. Brož, V. Roskovec, M. Valouch: Fyzikální a matematické tabulky. SNTL Praha, 1980. [4] P. E. Ciddor, Refractive index of air: 3. The roles of CO2, H2O, and refractivity virials: erratum, Appl. Opt. 41, 7036-7036 (2002). [5] B. Edlén, The refractive index of air, Metrológia 2, 71-80 (1966). [6] E. Hecht: Optics, Addison Wesley, San Francisco, 2002. [7] On-line kalkulátor indexu lomu vzduchu: https: //emtoolbox. nist.gov/Wavelength/ciddor. asp evropský SOCiální a^ia^i^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2_ Cíle praktika 1. Měření propustnosti skla, určení spektrální závislosti indexu lomu z měřené propustnosti. 2. Určení tloušťky tenké vrstvy z měření propustnosti. 3. Lambertův-Beerův zákon, měření absorpčního koeficientu. Měření spektrální propustnosti skla Dopadá-li světelná vlna na rozhraní dvou různých optických prostředí, část energie se odráží (zákon odrazu), zbývající část energie prochází do druhého prostředí (zákon lomu). Při průchodu světelné vlny v tomto druhém prostředí se část energie může absorbovat. Není-li tloušťka druhého prostředí příliš velká, případně toto prostředí neabsorbuje, pak zbývající část světelné energie po odrazu na druhém rozhraní vystupuje ze zkoumané látky, viz obr. 12.1. V optice se zavádí intenzitní veličiny odrazivost R, propustnost T a absorpce A, které při kolmém dopadu světla charakterizují z optického hlediska danou látku [1]: R = Ir I In i ' °' (12.1) V souhlasu se zákonem zachování energie platí R + T + A =1. (12.2) Spektrální průběh propustnosti, tj. závislost propustnosti na vlnové délce světla, je obecně užitečnou veličinou, ze které lze v některých případech usuzovat na procesy, které probíhají při interakci světelné vlny s látkou. Stanovení indexu lomu neabsorbuj ící látky Řešení problému ukážeme na příkladu měření propustnosti tlusté neabsorbující vrstvy (destička zkoumané látky). Tlustou vrstvou se rozumí taková tloušťka materiálu d, že platí tí > A, kde A je vlnová délka dopadajícího světla. Vzhledem k tomu, že jde o neabsorbující látku, platí A = 0. Na obr. 12.2 je znázorněno odvození vztahu pro propustnost neabsorbující tlusté vrstvy. Na destičku s rovinnými, planparalelními rozhraními charakterizovanými koeficienty odrazi-vosti p a propustnosti r (oba koeficienty jsou dle Fresnelových zákonů stejné jak pro vstupní, tak pro výstupní rozhraní) dopadá monochromatické světlo o intenzitě In. Index lomu zkoumané látky označíme n, index lomu okolního prostředí (vzduch) uq = 1. 12. Spektroskopické metody 88 Obrázek 12.1: Iq - intenzita dopadajícího světla, Ir - intenzita odraženého světla, It - intenzita světla prošlého danou látkou. h h Obrázek 12.2: Odvození vztahu pro propustnost neabsorbující tlusté vrstvy. Na výstupní straně intenzita prošlého světla I\ je součtem naznačených příspěvků paprsků se sudým počtem odrazů, na vstupní straně intenzita odraženého světla I2 vychází z paprsků s lichým počtem odrazů. Poznámka: Ve skutečnosti dopadá světelný svazek na zkoumaný objekt kolmo; pro přehlednost je na obr. 12.2 zakreslen šikmý dopad, což do úhlu dopadu 20° není na újmu obecnosti (rozdíl v propustnosti jednoho rozhraní oproti kolmému dopadu je menší než 1 %). Protože se jedná o tlustou vrstvu, neuplatňuje se v ní interference světla1 a intenzitu propuštěného světla I\ (resp. světla odraženého I2) dostaneme skládáním intenzit při vícenásobném odrazu světelné vlny na rozhraních vrstvy. Z obr. 12.2 je zřejmé, že pro intenzitu prošlého světla platí h = IQ (r2 + ry + T2p4 + r2p6 + _} _ (123) 1 Interference by nastávala, pokud by obě rozhraní byla přesně rovnoběžná (s přesností na zlomek vlnové délky použitého světla) a jednalo by se o dostatečně homogenní materiál - to lze zajistit jen u tenké vrstvy do tloušťky max. desítek /im. Navíc hustota interferenčním minim a maxim při tloušťce v řádu mm by výrazně převyšovala spektrální rozlišení použitých spektrometrů. 12. Spektroskopické metody 89 což po úpravě dává Poměr intenzit I\/Iq jsme definovali jako propustnost dané látky, vztah (12.3) lze tedy psát T = r2+rV+rV+rV + ... (12.4) Jednoduše se lze přesvědčit, že pravá strana uvedeného vztahu je nekonečná geometrická řada s kvocientem q < 1, jejíž součet je T = -^-2. (12.5) 1 — pz Vzhledem k tomu, že se jedná o neabsorbující látku, platí podle (12.2) r = 1 — p. Vztah (12.5) lze přepsat pomocí koeficientů odrazivosti na tvar 1 — pz T = ^—^ . (12.7) 1+P Pro odrazivost rozhraní vzduch-neabsorbující látka, která je charakterizována indexem lomu n, dostáváme z Fresnelových koeficientů (1 + n)z Dosazením vztahu (12.8) do vztahu (12.7) dostáváme T = ^7> (12-9) nz + 1 odkud lze již snadno stanovit hledaný index lomu n neabsorbující látky. Poznámka: Při řešení rovnice (12.9) je třeba vyloučit kořen, který nemá fyzikální smysl. Postup měření K dispozici máte 2 spektrometry - klasický přístroj s monochromátorem Specord 40 a sestavu pro vláknový spektrometr AvaSpec EDU. V obou případech se používá stejný typ zdroje světla: kombinace halogenové žárovky (poskytující hladké spektrum černého tělesa) a deuteriové výbojky (umožňující rozšířit měření do blízké UV oblasti). U vláknového spektrometru je světlo z externího zdroje vedeno optickým vláknem k držáku vzorku, na jehož druhé straně prošlé světlo vstupuje do dalšího vlákna vedoucího ke spektrometru (viz obr. 12.3). Zde je světlo odrazem na mřížce rozděleno podle vln. délek a zrcadlem zaostřeno na jednotlivé pixely CCD detektoru (daný přístroj jich má zhruba 2000). V druhém případě (u přístroje Specord) je vše skryto uvnitř těla spektrometru: mřížka je zde ale ještě před vzorkovým prostorem a po odrazu na ní prochází světlo štěrbinou, která vybere světlo dané vlnové délky; během měření se mřížka natáčí a postupně vzorkem projde monochromatické světlo o všech vln. délkách ve zvoleném rozsahu. Měření zde tedy trvá podstatně déle, spektrální rozlišení může být ale vyšší (je určeno šířkou vstupní a výstupní štěrbiny) a detektor může být větší a citlivější. Měření povinné části úlohy tedy provádějte raději na tomto spektrometru, volitelné měření pak na vláknovém spektrometru. Při měření propustnosti nebo odrazivosti je třeba vždy na začátku před vložením vzorku provést referenční měření (kalibrace): u měření na průchod se nechá obvykle světlo procházet prázdným vzorkovým prostorem (případně s vloženou stejnou clonou, jakou pak budeme používat pro vzorek), při měření odrazu světla musíme použít referenční vzorek se známou reflektivitou (křemík, hliník). Měříme pak relativní propustnost či odrazivost vůči vzduchu nebo referenčnímu povrchu. Tímto způsobem se zbavíme vlivu rozdílné intenzity zdroje, propustnosti vláken (či vzduchu) i citlivosti detektoru (CCD čipu) pro různé vlnové délky. U přístrojů s monochromátorem, 12. Spektroskopické metody 90 Obrázek 12.3: Schéma měřící aparatury s vláknovým spektrometrem kde se různé části spektra měří postupně, může výsledek ovlivnit i nestabilita zdroje (či detektoru, zvláště je-li chlazený). Pokročilejší přístroje jsou proto často navrženy jako dvoukanálové, kdy světlo střídavě prochází kanálem se vzorkem a bez něj. U našeho přístroje tomu tak není, doporučuje se tedy mu po zapnutí nechat jistý čas na stabilizaci. Výsledek měření budete mít uložen v textovém formátu. Vyjma měření tenké vrstvy bude počet naměřených bodů ve spektru řádově převyšovat vaši potřebu. Pro potlačení šumu v měření je vhodné, abyste pro výpočet vzali vždy průměr z několika (cca desítky) bodů v okolí zvolené vln. délky. Je možné použít též program pro vyhlazení spektra klouzavým průměrem (konvolucí), který je k dispozici na počítači připojeném k vláknovému spektrometru - sníží se tak míra šumu, ale samozřejmě také spektrální rozlišení vašeho měření. Úkoly 1. Stanovte spektrální závislost propustnosti skleněné destičky v zadaném intervalu vlnových délek. 2. Z naměřené propustnosti stanovte pro všechny vlnové délky index lomu. 3. Vyneste graficky závislost indexu lomu na vlnové délce. 4. Proložte tuto závislost Cauchyovým vztahem omezeným na kvadratický člen rozvoje n(\) = A + -g pro interval vlnových délek 380 nm až 800 nm. 5. Změřte spektrální závislost propustnosti daného filtru v zadaném intervalu vlnových délek. 6. Vyneste tuto závislost do grafu. Určení tloušťky tenké vrstvy z měření propustnosti Jedním z důležitých parametrů v optice tenkých vrstev je index lomu vrstvy n\, která je nanesena na podložku s indexem lomu n. V této úloze se budeme zabývat případem neabsorbující vrstvy na neabsorbující podložce. Dopadá-li na takový systém rovinná monochromatická vlna (obr. 12.4), pak se intenzita odraženého resp. prošlého světla v závislosti na vlnové délce dopadajícího světla A vlivem interference ve vrstvě periodicky mění mezi limitními hodnotami. 12. Spektroskopické metody 91 Obrázek 12.4: Průchod světla tenkou vrstvou. Pro propustnost Tf systému podložka-vrstva lze odvodit vztah [1] T =__ rl2i(T] f n\{n + l)2 -{n2 -n\){n\-\) sin2 (z/2) ' 1 ' ' kde zje fázový posun paprsků ve vrstvě. Při kolmém dopadu světlaje dráhový rozdíl interferujících paprsků s = 2n\d, a pro jejich fázový posun x platí 2tv 2tt x = —s nebo x = —2riid. (12.11) A A Z výrazů (12.10) a (12.11) je zřejmé, že propustnost Tf se mění při změně vlnové délky A dopadajícího světla. Pro jisté vlnové délky při dané tloušťce vrstvy obdržíme maxima nebo minima propustnosti. Pro naše vzorky platí případ n\ > n. Tedy interferující paprsek 2 se odráží dvakrát od prostředí s menším indexem lomu a proto má stejnou fázi jako paprsek 1 (při jednom takovémto odrazu se mění fáze o ir). Úvaha platí i pro další interferující paprsky. Navíc ze vztahu (12.10) vidíme, že pro n\ > n bude mít T f maximum pro sin — = 0, tj. x = 2 tt , 47r, ... ,2kiv, (12.12a) x minimum pro sin — = ±1, tj. x = tv , 3tt , ... , (2k — 1) tt , (12.12b) kde k je celé číslo. Ze vztahu pro fázový posun (12.11) dostaneme maximum a minimum propustnosti pro dráhový rozdíl maximum pro 2n\d = A , 2A , ... ,k\, (12.13a) A 3A (2k - 1) A minimum pro 2n\d = — , — , ... ,---. (12.13b) Tr = . (12"14a) Potom ze vztahu (12.10) dostaneme maximum a minimum propustnosti 4ra (nTl r"m = Ä' (12'14b) Jestliže známe index lomu podložky n, pak vztah (12.14b) nám dává možnost stanovit index lomu vrstvy ri\ z rovnice niJTfán ~ 2ni Vň + nJTfin = 0 , (12.15) 12. Spektroskopické metody 92 T, fs Re 'sklo sklo / vrstva Obrázek 12.5: Průchod světla podložkou a podložkou s vrstvou. tedy 1 ± ni i _ T^min 1 ±f fmin n. (12.16) Postup měření V kyvetovém prostoru spektrofotometru je podložka bez vrstvy a podložka s vrstvou, viz obr. 12.5. Abychom mohli stanovit propustnost systému vrstva-podložka, zavedeme tzv. měřenou propustnost Tm = Tfs/Tss , (12.17) kde Tss je propustnost samotné destičky, Tfs propustnost destičky s vrstvou. Hledanou veličinu Tf vypočteme ze vztahu [3] l-Rs kde T f — Tm R.i 1 + RS(1-T„ (n - l)2 (n + 1) (12.18) (12.19) Měření se redukuje na stanovení spektrální závislosti relativní propustnosti Tm = /(A) v intervalu vlnových délek A G (400, 900) nm. Z grafu této závislosti stanovíme minima Tm a pomocí rovnice (12.18) vypočítáme odpovídající hodnotu Tf. Pro vlnovou délku A, pro kterou nastal tento extrém, stanovíme hledanou hodnotu indexu lomu n\ vrstvy z rovnice (12.16). Pro stanovení tloušťky tenké vrstvy doporučujeme následující proceduru. Z rovnic (12.13a) i (12.13b) vyplývá, že pro dvě sousední maxima i dvě sousední minima ve spektrální závislosti propustnosti, naměřená pro dvě vlnové délky A a A' < A, po vyloučení parametru k platí 2n^cZ 2n\d Odtud dostáváme vztah pro tloušťku vrstvy A A' + 1. 2{p!x X-m A') (12.20) (12.21) 12. Spektroskopické metody 93 Úkoly 1. Naměřte spektrální závislost propustnosti daného vzorku. 2. Určete hodnoty indexu lomu vrstvy ze všech extrémů spektrální závislosti propustnosti, které mají lichý interferenční řád (výraz (12.12b)). 3. Vyneste graficky závislost indexu lomu vrstvy na vlnové délce. 4. Určete hodnotu tloušťky vrstvy. Lambertův—Beerův zákon, měření absorpčního koeficientu Uvažujme o průchodu monochromatické světelné vlny homogenní vrstvou látky o tloušťce d. Za předpokladu zanedbatelné odrazivosti vedoucích k reflexním ztrátám je propustnost je dána Lambertovým-Beerovým zákonem kde a je koeficient absorpce světla, který obecně závisí na vlnové délce (frekvenci) dopadajícího záření. Lambertův-Beerův zákon (12.22) lze demonstrovat např. tak, že budeme měřit spektrální propustnost T(A) ve vhodném intervalu vlnových délek na planparalelních destičkách téže látky s různými tloušťkami.2 Vyneseme-li závislost ln T na tloušťce d vzorků dané látky pro určitou vln. délku, musíme v případě platnosti (12.22) dostat lineární závislost, z jejíž směrnice lze určit koeficient absorpce a. 1. Naměřte spektrální závislost propustnosti sérií destiček přiložených na sebe pro několik různých počtů destiček (1-4) umístěných ve vzorkovém prostoru spektrometru. Tloušťku destiček považujte za identickou: změřte tloušťku několika destiček, za výsledek vezměte průměrnou hodnotu. 2. Pomocí vztahu (12.22) ve zlogaritmované podobě ukažte, zda data splňují Lambertův-Beerův zákon a určete absorpční koeficient dané látky za předpokladu, že nebereme v úvahu odrazy na rozhraních. Proveďte alespoň pro tři vlnové délky. Závislosti logaritmu propustnosti na tloušťce materiálu vyneste do grafu spolu výsledkem lineární regrese.3 3. Vyneste do grafu propustnost všech měřených vzorků v závislosti na vlnové délce. Určete absorpční koeficient nezávisle pro každé spektrum propustnosti a vyneste všechny získané závislosti absorpčních koeficientů na vlnové délce do jednoho grafu. Diskutujte, jak souvisí vnímaná barva daného materiálu se získanou spektrální závislostí absorpčního koeficientu. Užití v praxi: Spektroskopické metody jsou v průmyslové praxi velmi často využívané. Ve viditelné a blízké infračervené oblasti se často používají k určování tlouštěk tenkých vrstev deponovaných nebo rostených během výroby elektronických součástek planární technologií. Omezíme-li se pouze na tento obor 2Při použití vztahu (12.22) zanedbáváme reflexe světla na rozhraních destička-vzduch. Tuto aproximaci můžeme vzhledem k nízké reflektivitě materiálů planparalelních destiček použitých v praktiku (R < 0,05) v dobrém přiblížení učinit. 3Pozn.: Pokud vámi použitý program nebo výpočet neurčuje také nejistotu koeficientů lineární regrese, můžete jako odhad „kvality" proložení vypočíst hodnotu koeficientu a pro např. první tři a poslední tři měření a nejistotu řádově stanovit jako polovinu rozdílu dvou vypočtených hodnot. (12.22) Úkoly 12. Spektroskopické metody 94 průmyslové praxe, měřením spektrální závislosti odrazivosti se určují tloušťky např. neabsorbujících oxidů nebo vrstev polykrystalického křemíku na monokrystalickém křemíkovém substrátu. V infračervené oblasti se odrazivosti využívá k měření tloušťky slabě legovaných epitaxních vrstev na silně legovaném substrátu. Měření spektrální závislosti propustnosti v infračervené oblasti se využívá k určování obsahu intersticiálního kyslíku a substitučního uhlíku v slabě legovaných křemíkových deskách, které mají v této oblasti pouze lokalizované absorpční pásy. Z poklesu intenzity světla během průchodu (pro konkrétní vlnovou délku) a tloušťky desky lze určit koncentraci těchto příměsí. Literatura: [1] A. Vašíček: Optika tenkých vrstev. NČSAV Praha, 1956. [2] J. Kuběna: Úvod do optiky. Skripta MU Brno, 1994. [3] H.E. Bennett, J.M. Bennett: Physics of Thin Films, Vol. 4. Academic New York, 1967. evropský SOCiální ■ MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 tatisticke zpracovaní mereni Návody pro statistické zpracování měření byly podrobně probrány v předmětu F2180 Fyzikální praktikum 1. Zde se proto omezíme pouze na připomenutí základních vztahů. Statistický odhad přímo měřené fyzikální veličiny Předpokládejme, že naměříme sadu ./V hodnot {x±,X2, ■ ■ ■, xjy}, pak odhadem střední hodnoty je aritmetický průměr x 1 N -T (A.l) i=l Směrodatná odchylka s se vypočte podle vztahu N N 1 N -Z i=l Xi-X) (A.2) Odhad nejistoty na hladině spolehlivosti P je A = tpjv-i—t=, VN (A.3) kde íp,iv-i je Studentův koeficient pro hladinu spolehlivosti P a počet stupňů volnosti v = N — 1. Intervalový odhad, ve kterém leží měřená hodnota s pravděpodobností P, je (x±A) X ±tpN- (A.4) Statistické odhady nepřímo měřené veličiny Hodnota nepřímo měřené fyzikální veličiny y je dána funkcí jedné či několika přímo měřených veličin; obecně pro funkci n veličin platí y — f(xi, x2, ■ ■ ■, xn ). Mějme pro i-tou veličinu odhad střední hodnoty x i a nejistoty Aj, pak odhad veličiny y je dán vztahem y = f(x1,x2, ...,xn) a odhad její nejistoty Aj, podle zákona přenosu nejistot (A.5) A, \ \ dxi dxo A1 + -..+ df x2< dXr A2 (A.6) A. Statistické zpracování měření 96 Tabulka A.l: Tabulka Studentových koeficientů tpy Počet stupňů volnosti v Hladina spolehlivosti P 0,50 0,6827 0,90 0,9545 0,98 0,99 0,9973 1 1,000 1,838 6,314 13,968 31,821 63,657 235,784 2 0,816 1,321 2,920 4,527 6,965 9,925 19,206 3 0,765 1,197 2,353 3,307 4,541 5,841 9,219 4 0,741 1,142 2,132 2,869 3,747 4,604 6,620 5 0,727 1,111 2,015 2,649 3,365 4,032 5,507 6 0,718 1,091 1,943 2,517 3,143 3,707 4,904 7 0,711 1,077 1,895 2,429 2,998 3,500 4,530 8 0,706 1,067 1,860 2,366 2,896 3,355 4,277 9 0,703 1,059 1,833 2,320 2,821 3,250 4,094 10 0,700 1,053 1,812 2,284 2,764 3,169 3,957 11 0,697 1,048 1,796 2,255 2,718 3,106 3,850 12 0,696 1,043 1,782 2,231 2,681 3,055 3,764 13 0,694 1,040 1,771 2,212 2,650 3,012 3,694 14 0,692 1,037 1,761 2,195 2,625 2,977 3,636 15 0,691 1,034 1,753 2,181 2,603 2,947 3,586 16 0,690 1,032 1,746 2,169 2,584 2,921 3,544 17 0,689 1,030 1,740 2,158 2,567 2,898 3,507 18 0,688 1,029 1,734 2,149 2,552 2,878 3,475 19 0,688 1,027 1,729 2,141 2,540 2,861 3,447 20 0,687 1,026 1,725 2,133 2,528 2,845 3,422 25 0,684 1,020 1,708 2,105 2,485 2,787 3,330 30 0,683 1,017 1,697 2,087 2,457 2,750 3,270 40 0,681 1,013 1,684 2,064 2,423 2,704 3,199 50 0,679 1,010 1,676 2,051 2,403 2,678 3,157 100 0,677 1,005 1,660 2,025 2,364 2,626 3,077 oo 0,675 1,000 1,645 2,000 2,326 2,576 3,000 Poznámka Předchozí vztahy jsou odvozeny za mnoha předpokladů; mezi jinými jsou to předpoklady, že náhodné odchylky naměřených hodnot splňují Gaussovo rozdělení, jednotlivé naměřené hodnoty jsou statisticky nezávislé a podobně. Také v těchto vztazích nejsou zahrnuty další možné vlivy, jako odchylky měřicích přístrojů, či nevhodné metody zpracování. Tento návod je třeba brát pouze jako pomocný seznam několika potřebných vztahů. Pro detailnější rozbor odkazujeme na literaturu, která je dostupná v hojném počtu i v českém jazyce. Literatura: [1] P. Pánek: Úvod do fyzikálních měření, MU Brno 2001. [2] J. Humlíček: Statistické zpracování výsledků měření, UJEP Brno 1984. [3] M. Milan a J. Militký: Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha 1994. [4] A. Kučírková a K. Navrátil: Fyzikální měření - I., Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1986. evropský SOCiální j^g^^^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVf, OP Vzděláváni fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy INVESTICE DO ROZVOJE VZDÉUWÁNÍ Ustav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 2 Úvod V mnoha úlohách Fyzikálního praktika 2 i jinde se používá osciloskop k měření časově závislých signálů. Osciloskopy jsou analogové nebo digitální; klasický analogový osciloskop pracuje s CRT obrazovkou, kdy se elektronový svazek vychyluje přivedeným napětím, zatímco digitální osciloskop převádí analogový vstupní signál do digitální podoby a s ním pak dále pracuje. Jiné dělení je možné podle počtu vstupních signálů (kanálů), které je možné současně měřit. Nejběžnější jsou jednokanálové a dvoukanálové osciloskopy, vyrábí se však i vícekanálové. V tomto návodu popíšeme základy práce na analogovém dvoukanálovém osciloskopu. Základní funkce a ovládání jiných typů osciloskopů jsou prakticky stejné; digitální osciloskopy umožňují komplexnější práci s naměřenými daty, případně jejich uložení na externí datové medium. Tento návod obsahuje popis nejdůležitějších funkcí a základního ovládání běžných osciloskopů, kompletní popis všech funkcí poskytuje manuál výrobce toho kterého přístroje. Základní ovládací prvky osciloskopu Dva typické analogové dvoukanálové osciloskopy jsou zobrazeny na obrázcích B.l a B.2. Tyto Obrázek B.l: Osciloskop MCP CQ5640. Čísla označují umístění ovládacích prvků zmíněných v textu. obrázky představují příklady umístění ovládacích prvků, skutečné umístění a přesné označení ovládacích prvků různých osciloskopů se může mírně lišit od označení zmíněných v textu. Naprostá většina dvoukanálových osciloskopů umožňuje funkce a má ovládací prvky zmíněné v tomto obecném návodu. B. Návod k použití osciloskopu 98 Základní ovládací prvky jsou hlavní vypínač (1), ostření stopy (obvyklé značení FOCUS) a nastavení intensity světelné stopy (2 - INTENSITY). Tato nastavení není obvykle třeba upravovat, špatné zaostření se projeví rozmazáním měřených křivek. Intensitu nastavujeme tak, aby byly měřené křivky dostatečně jasné, ale aby naopak nedocházelo ke zbytečnému „vypalování" obrazovky. Přivedení signálu Obvyklým vstupem osciloskopu je BNC konektor pro připojení koaxiálního kabelu (11). Pro měření nízkofrekvenčních signálů můžeme na BNC konektor připojit redukci na banánky jako na obrázku B.l. Jeden ze vstupních kontaktů obou konektorů bývá uzemněn (vnější kontakt BNC konektoru) a pokud je některý z kontaktů v obvodu také uzemněn, je třeba propojit uzemněné kontakty navzájem. Zejména je třeba mít tento fakt na paměti při měření dvou různých signálů z jednoho obvodu a připojit společný kontakt k zemněným kontaktům. Nepropojíme-li správně zemněné kontakty, můžeme v obvodu způsobit zkrat. Ovládání časové základny Základním prvkem je přepínač rozsahu časové osy (3 - TIME/DIV). Nastavený čas pak odpovídá jednomu dílku na obrazovce osciloskopu (obvykle odpovídá 1 cm). Časovou základnu je také možné spojitě měnit knoflíkem (4 - VARIABLE), chceme-li odečítat absolutní časovou hodnotu je nutno tento knoflík otočit do kalibrované polohy označené CAL. nebo CALIB. - obvykle krajní poloha vpravo. Další je otočný knoflík pro posun křivky vlevo či vpravo (5 - ^POSITION). Ovládání napěťové základny Každý z kanálů má vlastní ovládací prvky zřetelně oddělené, ale identické. Základem je opět přepínač rozsahů (6 - VOLTS/DIV), a spojitý měnič rozsahů (8 - VARIABLE). Podobně jako u časové základny pak napětí uvedené na přepínači odpovídá jednomu dílku na obrazovce osciloskopu, pouze pokud je knoflík spojité změny rozsahu v kalibrované poloze (obvykle krajní poloha vpravo). Posun křivky nahoru a dolů nezávisle pro každý kanál je možno knoflíkem (7 -^POSITION). Druhý kanál má obvykle k dispozici tlačítko pro zobrazení převráceného signálu (10 - INVERT nebo CH2 INV). Pro vybírání zobrazeného signálu slouží přepínač (9), který umožňuje vybrat zobrazení signálu z prvního nebo druhého kanálu, či obou současně nebo součtu signálů z obou vstupů. Pro zobrazení jejich rozdílu se použije zobrazení součtu vstupu prvního kanálu a invertovaného vstupu na druhém kanálu. Při sčítání nebo odečítání signálů je třeba dbát na nastavení stejného rozsahu na obou vstupech. Většina osciloskopů dále obsahuje přepínač, kterým můžeme odstranit stejnosměrnou složku, pokud pro nás není zajímavá. Tento přepínač bývá označen DC/AC/GROUND. V poloze AC Obrázek B.2: Osciloskop Hung chang 3502C. Čísla označují umístění ovládacích prvků zmíněných v textu. Knoflíky 4 a 8 jsou umístěny ve středu přepínačů 3 a 6. B. Návod k použití osciloskopu 99 Obrázek B.3: Odečítání z obrazovky osciloskopu v X-Y režimu. Oba kanály jsou přepnuty na rozsah 20mV/dílek. Vodorovná vzdálenost odpovídá 20 mV, svislá 46 mV. (alternating current - střídavý proud) je ke vstupu připojen kondenzátor, který odfiltruje stejnosměrnou složku. V poloze DC (direct current - stejnosměrný proud) je vstup přímo zobrazován včetně stejnosměrné složky. Pro odečítání absolutní hodnoty stejnosměrné složky je třeba porovnat s nulovou hladinou, pro tento účel můžeme použít polohu GROUND, kdy je vstup osciloskopu uzemněn. Zobrazení v X-Y režimu Gasto se používá také zobrazení napětí na druhém vstupu jako funkce napětí na prvním vstupu, tzv. X-Y režim. Používá se například pro zobrazení volt-ampérových charakteristik nelineárních prvků, kdy jako veličinu úměrnou proudu přivádíme napětí na sériově připojeném rezistoru, nebo hysterezní smyčky v úloze 5. Pro přepnutí do X-Y režimu slouží buď zvláštní přepínač, nebo se často objevuje jako krajní poloha přepínače časové škály (3), jako v případě obou zobrazených osciloskopů. Škálu na vodorovné ose pak ovládáme ovladači pro první kanál (6, 7, 8), ovladače časové základny (4, 5) nemají na zobrazení žádný vliv. Odečítání z osciloskopu Před zahájením odečítání na osciloskopu musíme nejprve nastavit ovladače napěťových a časových rozsahů do kalibrované polohy (ovladače 4 a 8). Opomeneme-li nastavit kalibrované polohy, odečítáme pak naprosto nesmyslné hodnoty! Další postup je pak už přímočarý - pro snazší odečítání si můžeme posunout křivky nahoru, dolů či do stran tak, aby se nám snadno odečítaly vzdálenosti pomocí zobrazené sítě. Jednomu dílku zobrazené sítě odpovídá nastavený rozsah přepínačem (přepínač časové základny 3, či napěťového rozsahu 6). Jeden dílek odpovídá obvykle 1 cm, proto můžeme alternativně použít k odečítání pravítko. Měříme-li v X-Y režimu, pak se rozsah i na vodorovné ose přepíná napěťovým přepínačem prvního kanálu (6). Příklad odečítání z obrazovky v X-Y režimu je na obrázku B.3. Některé osciloskopy (převážně digitální) umožňují odečítání pomocí pohyblivých kurzorů, použití kurzoru je pak intuitivní, nastavíme si kurzory vzdálenost, kterou chceme měřit, a odečteme odpovídající číselnou hodnotu časového intervalu nebo napětí na obrazovce. Synchronizace Další funkce osciloskopů je nastavení synchronizace nebo také spouštěcího signálu (12 - TRIG-GER). Při zobrazení periodického signálu je vhodné, aby se opakovaný průběh zobrazoval stále do stejného místa. Jinak je pozorování stále se měnících křivek velmi nepohodlné a při vyšších frekvencích nemožné. K tomu slouží mechanismus synchronizace, který začne zobrazovat křivku B. Návod k použití osciloskopu 100 v krajní levé poloze obrazovky vždy ve stejném nastaveném bodě. Toto nastavení vychází z předpokladu, že měřené napětí periodicky klesá a stoupá. V nastavení synchronizace je možné vybrat, zdali má zobrazení začít ve stoupající či klesající části průběhu a dále pak nastavit při dosažení jakého napětí má zobrazení začít. Dále je možné vybrat, který vstupní kanál se má pro sychronizaci použít, případně je možně k synchronizaci využít externí signál, pro který bývá vyveden zvláštní konektor (13). K sychronizaci je třeba použít signál, který má dostatečnou amplitudu vzhledem k šumu v obvodu. Pokud má přiváděný signál příliš malou napěťovou amplitudu (srovnatelnou se šumem), bývá dosažení správné synchronizace velmi obtížné.