Elektronová optika a mikroskopie
Paraxiální aproximace
Tomáš Radlička
26. 10. 2020
Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i.
Obsah
1. Rovnice trajektorie
2. Paraxiální rovnice trajektorie pro osově symetrické systémy
1
Rovnice trajektorie
Rovnice trajektorie jako extramála optické dráhy
Index lomu je tvaru
n =
ϕ∗
ϕ0∗
1
2
1 + x 2 + y 2 − −
q
2mϕ∗
0
Az + Ax x + Ay y (1)
trajektorie dostaneme jako extremály funkcionálu optické dráhy
δ
zi
zo
n(q(z), q (z), z)dz = 0 (2)
0 =
zi
zo
δn(q, q , z)dz =
zi
zo
n(q + δq, q + δq , z) − n(q, q , z) dz = (3)
=
zi
zo
∂n
∂q
δq +
∂n
∂q
δq dz =
zi
zo
∂n
∂q
−
d
dz
∂n
∂q
δqdz +
∂n
∂q
δq
zi
zo
Rovnice trajektorie jsou Euler - Lagrangeovy rovnice
∂n
∂q
−
d
dz
∂n
∂q
= 0 (4)
2
Rovnice trajektorie z pohybové rovnice
dg
dt
= −e(E(r, t) + v × B(r, t)) (5)
Přejdeme na parametrizaci delkou oblouku trajektorie r(s) = (x(s), y(s), z(s)),
ds = |dr| = vdt, d
dt
= v d
ds
dg
ds
= −
e
v
E(r, s) − e
dr
ds
× B (6)
dále použijeme
ϕ∗
= (ϕ(1 + eϕ/2mc2
)) = ϕ(1 + eϕ/mc2
) = γ ϕ = −γE (7)
g =
√
2em ϕ∗ 1
2 =
1
2
√
2em
ϕ∗
ϕ∗ 1
2
= me
ϕ∗
g
=
e
γv
ϕ∗
(8)
Čímž dostaneme:
d
ds
(g
dr
ds
) = g − e
dr
ds
× B (9)
3
Rovnice trajektorie z pohybové rovnice
Přejdeme na parametrizaci polohou podel opticke osy r(z) = (x(z), y(z), z),
ρ = |r| = 1 + x 2 + y 2, d
ds
= 1
ρ
d
dz
1
ρ
d
dz
g
ρ
dr
dz
= g −
e
ρ
r × B (10)
třetí rovnice :
1
ρ
d
dz
g
ρ
=
∂g
∂z
−
e
ρ
ez (r × B) (11)
je závislá na prvních dvou rovnicích, ale lze ji použít pro zjednodušení rovnice
trajektorie
g
ρ2
r = g − r
∂g
∂z
−
e
ρ
(r × B − (ez (r × B))r ) (12)
po několika triviálních úpravách dostaneme:
x =
ρ2
g
∂g
∂x
− x
∂g
∂z
−
eρ2
g
(y Bt − ρBy ) (13)
y =
ρ2
g
∂g
∂y
− y
∂g
∂z
−
eρ2
g
(−x Bt + ρBx ) (14)
kde Bt = (Bz + x Bx + y By )/ρ
4
Rovnice trajektorie z pohybové rovnice
Nebo pomoci relativisticky korigovaného potenciálu
x =
ρ2
2ϕ∗
∂ϕ∗
∂x
− x
∂ϕ∗
∂z
−
ηρ2
√
ϕ∗
(ρBy − y Bt) (15)
y =
ρ2
2ϕ∗
∂ϕ∗
∂y
− y
∂ϕ∗
∂z
−
ηρ2
√
ϕ∗
(−ρBx + x Bt) (16)
5
Paraxiální rovnice trajektorie pro
osově symetrické systémy
Paraxiální aproximace osově symetrických systémů a index lomu
• Paraxiální aproximace je linární aproximace rovnice trajektorie
• Přibližně platí v blízkosti optické osy (musí být i malé směrnice trajektorií...)
• Abychom dostali z Eulerových Lagrangeových rovnic lineární rovnici trajektorie
stačí nám polynom do druhého řádu v souřadnicích x, y, x , y
V minulé přednáše jsme odvodili elektromagnetické pole ve tvaru
ϕ = Φ(z) −
1
4
Φ (z)r2
+
1
64
Φ(4)
(z)r4
+ · · · (17)
Ax = −
1
2
B(z)y +
1
16
B (z)y(x2
+ y2
) + · · · (18)
Ay =
1
2
B(z)x −
1
16
B (z)x(x2
+ y2
) + · · · (19)
Po dosazení do vztahu pro index lomu dostaneme:
n =
Φ∗
Φ∗
0
1
2
+
1
2
Φ∗
Φ∗
0
1
2
(x 2
+ y 2
) −
γΦ
8Φ∗ 1
2 Φ
∗ 1
2
o
(x2
+ y2
) −
ηB
2Φ
∗ 1
2
o
(xy − x y)
(20)
6
Paraxialni rovnice trajektorie
Po dosazení do Eulerových Lagrangeových rovnic dostaneme:
x +
γΦ
2Φ∗
x +
γΦ
4Φ∗
x +
ηB
√
Φ∗
y +
ηB
2
√
Φ∗
y = 0 (21)
y +
γΦ
2Φ∗
y +
γΦ
4Φ∗
y −
ηB
√
Φ∗
x −
ηB
2
√
Φ∗
x = 0 (22)
Jedná se lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Koeficienty jsou funkcí nezávislé
proměnné, rovnice nejsou separované. Pro další úpravy je vhodné přejít do
komplexních souřadnic w = x + iy:
w +
γΦ
2Φ∗
w +
γΦ
4Φ∗
w − i
ηB
√
Φ∗
w − i
ηB
2
√
Φ∗
w = 0 (23)
Lze ukázat, že po transformaci w = eiθ(z)u, kde θ = ηB/2Φ∗ 1
2 dostaneme rovnice v
separovaném tvaru - Larmor rotating frame.
u +
γΦ
2Φ∗
u +
γΦ + η2B2
4Φ∗
u = 0 (24)
7