Podklady ke 3. přednášce - rovice trajektorie a paraxialni aproximace

načtení balíčku, které se budou používat pri výpočtech

Magnetická čočka

Magneticka čočka je zakladní prvek elekronových mikroskopů. Obrazek ukazuje typickou čočku - návrh v programu EOD.

Pro vyukové účely lze ale použít jednoduchý analytický model pole v magnetické čočce například: $$ B(z) = \frac 12\left[\mathrm{erf}\left(\frac{z+L/2}{\sigma}\right)-\mathrm{erf}\left(\frac{z-L/2}{\sigma}\right)\right]$$

Elektrostaticka cocka

Elens.png

pro vyukove učely mužeme take pouzit obdobny analyticky podel jako v pripade magneticke cocky

Rovnice trajektorie

\begin{align} x^{\prime\prime} &= \frac{\rho^2}{2\varphi^*}\left(\frac{\partial \varphi^*}{\partial x}-x\frac{\partial\varphi^*}{\partial z}\right)-\frac{\eta\rho^2}{\sqrt{\varphi^*}}(\rho B_y-y^{\prime}B_t)\\ y^{\prime\prime} &= \frac{\rho^2}{2\varphi^*}\left(\frac{\partial \varphi^*}{\partial y}-y\frac{\partial\varphi^*}{\partial z}\right)-\frac{\eta\rho^2}{\sqrt{\varphi^*}}(-\rho B_x+x^{\prime}B_t) \end{align}

Paraxiální rovnice trajektorie

Paraxiální rovnice trajektorie je lineární aproximace rovnice trajektorie. Lzeji ji odvodit buď z Lagrange-Eulerových rovnic pro index lomu (bereme pouze rozvoj indexu lomu do druhého řádu), nebo přímo z rovnice trajektorie. Pro osově symetrické systémy má tvar: \begin{align} &x^{\prime\prime}+\frac{\gamma\Phi^{\prime}}{2\Phi^{*}}x^{\prime}+\frac{\gamma\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}x+\frac{\eta B}{\sqrt{\Phi^*}}y^{\prime}+\frac{\eta B^{\prime}}{2\sqrt{\Phi^*}}y=0\\ &y^{\prime\prime}+\frac{\gamma\Phi^{\prime}}{2\Phi^{*}}y^{\prime}+\frac{\gamma\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}y-\frac{\eta B}{\sqrt{\Phi^*}}x^{\prime}-\frac{\eta B^{\prime}}{2\sqrt{\Phi^*}}x=0 \end{align} Pro přepsáni do kodu je nutné přejít do soustavy 4 diferencialnich rovnic 1. radu \begin{align} x^{\prime} &= dx\\ y^{\prime} &= dy\\ dx^{\prime} &= -\frac{\gamma\Phi^{\prime}}{2\Phi^{*}}dx-\frac{\gamma\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}x-\frac{\eta B}{\sqrt{\Phi^*}}dy-\frac{\eta B^{\prime}}{2\sqrt{\Phi^*}}y\\ dy^{\prime}&=-\frac{\gamma\Phi^{\prime}}{2\Phi^{*}}dy-\frac{\gamma\Phi^{\prime\prime}}{4\Phi^*}y+\frac{\eta B}{\sqrt{\Phi^*}}dx+\frac{\eta B^{\prime}}{2\sqrt{\Phi^*}}x \end{align}

zobrazime nekolik paprsku a) pomoci primeho vypoctu (Vypocet paraxialni rovnice pro kazdou pocatecni podminku zvlast)

b) pomoci linearni kombinace reseni. Vsechny řešení lineární diferenciální rovnice tvoří vektorový prostor. Jako bazi zvolíme řešení: \begin{align} \vec q_x: \vec q_x(z_o) = [1,0],\, \vec g_x^{\prime}(z_o) = [0,0]\\ \vec q_y: \vec q_y(z_o) = [0,1],\, \vec g_y^{\prime}(z_o) = [0,0]\\ \vec h_x: \vec q_x(z_o) = [0,0],\, \vec h_x^{\prime}(z_o) = [1,0]\\ \vec h_y: \vec h_y(z_o) = [0,0],\, \vec h_y^{\prime}(z_o) = [0,1] \end{align}

Je vyhodné přejít do komplexních souřadnic $w = x+\mathrm{i}y$, $\bar w = x-\mathrm{i}y$

Rotace svazku v laboratornich souradnicich $$\theta(z) = \int\limits_{z_o}^z\frac{\eta^2B(z)}{2\Phi^{*\frac12}}\mathrm{d} z$$

Prechod do rotacnich soradnic

Paraxialni aproximace v rotačních souřadnicích - magnetická čočka

\begin{align} u^{\prime\prime} + \frac{\gamma\Phi^{\prime}}{2\Phi^*}u^{\prime}+\frac{\gamma\Phi^{\prime\prime}+\eta^2B^2}{4\Phi^*}u=0 \end{align}

V pripadě čistě magnetické čočky dostaneme \begin{align} u^{\prime\prime} +\frac{\eta^2B^2}{4\Phi^*}u=0 \end{align}

Vykreslení několika trajektorií

Pozice obrazu je daná podmínkou $h(z_i) =0$, proč?

(Příčné zvetšení) je pak $M = g(z_i)$, a úhlové zvětšení $M_a=dh(z_i)$

Použití trajektorií $g$ a $h$ je analog přechodových matic, jak je znáte za základního kurzu optiky. Přechodová matice udává zobrazení mezi $z_1$ a $z$, pokud je $z_1=z_o$ je přechodová matice rovna $$\begin{pmatrix}x(z)\\x^{\prime}(z)\end{pmatrix}=\hat M(z_o,z)\begin{pmatrix}x_o\\x_o^{\prime}\end{pmatrix}$$ $$ \hat M(z_o,z) = \begin{pmatrix}g(z)&h(z)\\g^{\prime}(z)&h^{\prime}(z)\end{pmatrix}$$ v případě zobrazení mezi předmětem a obrazem pak je přechodová matice $$\hat M(z_o,z_i) = \begin{pmatrix} M&0\\g^{\prime}(z_i)&M_a\end{pmatrix}$$

Můžeme také nalézt základní charakteristiky čočky, jako jou polohy ohnisek a hlavní roviny. Pro tyto účely je vhodné zavést tzv. principiální trajektorie: $u_{\pi}$, která jde z mínus nekonečna s nulovou s měrnicí s osou systému a $u_{\bar\pi}$, která jde z nekonečna s nulovou směrnicí s osou $z$, tj. \begin{align} u_{\pi}(-\infty)&=1,& u_{\pi}^{\prime}(-\infty)&=0\\ u_{\bar\pi}(\infty)&=1,& u_{\pi}^{\bar\prime}(\infty)&=0 \end{align} (Jelikož v našem případě je pole v předmětu zanedbatelné, je dánaprůsečíkem $g(z)$ s osou.) Obrazové ohnisko je dané průsečíkem $u_{\pi}$ s osou a předmětové ohnisko průsečíkem $u_{\bar\pi}$ s osou. Ohniskové dálky jsou pak dané směrnicí těchto paprsků: $\frac 1{f_i} =- u^{\prime}_{\pi}(\infty)$, $\frac 1{f_o} = u^{\prime}_{\bar \pi}(-\infty)$ (vzdálenost od ohniska k rovině, kde se asymptoticky potka prodlouženy paprsek z ohniska s prodlouženym paprskem z nekonečna - pozice hlavni roviny)

V optice se často používají i jiné báze v prostoru řešení paraxiální rovnice. Význačná je totiž pozice finální apertury $z_a$ - nekdy je vhodné definovat svazek pomoci jeho pozice v předmětu a apertuře. Zavedou se trajektorie $s: s(z_o)=1, s(z_a)=0$, $t: t(z_o)=0, t(z_a)=1$ a libovolný paprsek je pak dostaneme pomoci jeho pozice v předmětu a apertuře ve tvaru: $$ u(z) = s(z) u_o + t(z) u_a$$ $$ u^{\prime}(z) = s^{\prime}(z) u_o + t^{\prime}(z) u_a$$ $$ u^{\prime}(z_o) = s^{\prime}(z_o) u_o + t^{\prime}(z_o) u_a$$ Trajektorie $s$ a $t$ můžeme lehce spočítat z trajektorií $g$ a $h$. Víme totiž, že $s$ i $t$ jsou lineární kombinace $g$ a $h$: \begin{align} s(z) &= ag(z) + bh(z)\\ t(z) &= cg(z) + dh(z) \end{align} Pro trajektorii $s$ pak dostaneme:

$1 = s(z_o) = ag(z_o) + bh(z_o) = a$, $0=s(z_a) = g(z_a)+bh(z_a)\Rightarrow b = -\frac{g(z_a)}{h(z_a)}$

a v případě trajektorie $t$:

$0 = t(z_o) = cg(z_o) + dh(z_o) = c$, $1=t(z_a) = dh(z_a)\Rightarrow d = \frac{1}{h(z_a)}$

tedy: \begin{align} s(z) &= g(z)-\frac{g(z_a)}{h(z_a)}h(z)\\ t(z) &= \frac{h(z)}{h(z_a)} \end{align}

Ted vykreslime nekolik svazku pomovi této parametrizace ...

Pozice v aperture neni zrovna ideální parametr, v elektronové optice je lepší používat úhly. Proto se často místo trajektorie $t$ používá přímo trajektorie $h$, tj. $$ u(z) = s(z) u_o + h(z) \alpha_o$$ Jaký je význam úhlu $\alpha_o$? $$ u^{\prime}(z) = s^{\prime}(z) u_o + h^{\prime}(z) \alpha_o$$ $$ u^{\prime}(z_o) = s^{\prime}(z_o) u_o + \alpha_o$$ $s(z)u_o$ je paprsek, ktery má v předmětu polohu $u_o$ a protíná osu v rovině apertury. $s^{\prime}(z_o)u_o$ je pak jeho směrnice v předmětu. $\alpha_o$ tedy udává úhlovou odchylku v předmětu dané trajektorie od trajektorie parsku $s(z)u_o$.

Také se často používají trajktorie spojené s rovinou obrazu: $u_{\alpha}: u_{\alpha}(z_i)=0,\, u^{\prime}_{\alpha}(z_i) = 1$ a $u_{\gamma}: u_{\gamma}(z_i) = 1, u_{\gamma}(z_a) = 0$, pak: $$u(z) = \gamma u_{\gamma}(z) + \alpha u_{\alpha}(z)$$ jaký je význam $\gamma$ a $\alpha$? Jak získáme $u_{\gamma}(z)$ a $u_{\alpha}(z)$ z trajektorií $s(z)$ a $h(z)$?

Obecné vlastnosti paraxiálního aproximace

Wroskian

I bez numerických výpočtů můžeme říct některé základní vlatnosti paraxiální aproximace. Vyjdem z obecné rovnice pro osově symetrický systém v rotačních souřadnicích. \begin{align} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} u^{\prime\prime} + \frac{\gamma\Phi^{\prime}}{2\Phi^*}u^{\prime}+\frac{\gamma\Phi^{\prime\prime}+\eta^2B^2}{4\Phi^*}u=0 \end{align} Tu lze přepsat do tvaru \begin{align} \Phi^{*\frac 12}\frac{\dd}{\dd z}(\Phi^{*\frac 12} u^{\prime})+\left(\frac{\gamma_0}4\Phi^{\prime\prime}+\frac{e}{8m_e}B^2\right)u = 0 \end{align} Mějme dvě nezávislá řešení $u_1$ a $u_2$, která tvoří bazi vektorového prostoru všech řešení. Můžeme pro ně psát \begin{align} \Phi^{*\frac 12}\frac{\dd}{\dd z}(\Phi^{*\frac 12} u_1^{\prime})+\left(\frac{\gamma_0}4\Phi^{\prime\prime}+\frac{e}{8m_e}B^2\right)u_1 =0\\ \Phi^{*\frac 12}\frac{\dd}{\dd z}(\Phi^{*\frac 12} u_2^{\prime})+\left(\frac{\gamma_0}4\Phi^{\prime\prime}+\frac{e}{8m_e}B^2\right)u_2 =0 \end{align} Pokud první rovnici vynásobíme $u_2$, druhou rovnici vynásobíme $u_1$ a sečteme, po krátké úpravě dostaneme rovnici \begin{align} \Phi^{*\frac 12}\frac{\dd}{\dd z}\left(\Phi^{*\frac 12}(u_1u_2^{\prime}-u_2u_1^{\prime})\right)=0 \end{align} která po integraci vede k zákonu zachování Wronskiánu \begin{align} W = \Phi^{*\frac12}(u_1u_2^{\prime}-u_2u_1^{\prime}) = \rm{const} \end{align}

Lagrange-Helmholtz Relations

V případě báze $g(z)$ a $h(z)$ dostaneme: \begin{align} W = \Phi^{*\frac12}(gh^{\prime}-hg^{\prime}) = \Phi^{*\frac12}(z_o)(g(z_o)h^{\prime}(z_o)-h(z_o)g^{\prime}(z_o)) = \Phi^{*\frac12 }(z_i) (g(z_i)h^{\prime}(z_i)-h(z_i)g^{\prime}(z_i)) \end{align} Což nám určuje vztah mezi úhlovým a příčným zvětšením: $$\Phi^{*\frac12}(z_o)=\Phi^{*\frac12 }(z_i) MM_a$$ Užitím zákonu zachování Wronskiánu na principiální paprsky a roviny $z=-\infty$, $z=\infty$ dostaneme: \begin{align} \Phi_{-\infty}^{*\frac12}\left(u_{\pi}(-\infty)u_{\bar{\pi}}^{\prime}(-\infty)-u_{\bar\pi}(-\infty)u^{\prime}_{\bar\pi}(-\infty)\right)= \Phi_{\infty}^{*\frac12}\left(u_{\pi}(\infty)u_{\bar{\pi}}^{\prime}(\infty)-u_{\bar\pi}(\infty)u^{\prime}_{\bar\pi}(\infty)\right) \end{align} což se využitím definice principiálních trajektoriíredukuje na: \begin{align} \Phi_{-\infty}^{*\frac12}u_{\bar{\pi}}^{\prime}(-\infty)=-\Phi_{\infty}^{*\frac12}u_{\pi}^{\prime}(\infty) \end{align} Pak dostaneme vztah mezi předmětovou a obrazovou ohniskovou vzdáleností \begin{align} \frac{\bar f}f=\sqrt{\frac{\Phi^*_{-\infty}}{\Phi^*_{\infty}}} \end{align} V případě námi vypočtené magnetické čočky:

Longitudiální zvětšení

Při změně předmětové roviny $z_o \rightarrow z_o+\dd z_o$ se také posune rovina obrazu $z_i\rightarrow z_i+\dd z_i$, pokud je tato změna dostatečně malá, je změna obrazové roviny přímo úměrná změně roviny předmětu, kde konstantu úměrnosti nazýváme longitudiálním zvětšením. Pokud tedy posuneme rovinu předmětu změní se i trajektorie $h \rightarrow \tilde h$. Jelikož se také jedná o řešení paraxiální rovnice trajektorie lze ji psát jako lineární kombinaci původních charakteristických trajektorií \begin{align} \tilde h(z) = ah(z)+bg(z) \end{align} víme, že trajektorie $\tilde h(z)$ v $z_o+dz_o$ splňuje: \begin{align} 0&=\tilde h(z_o+dz_o) = ah(z_o+dz_o)+bg(zo+dz_o) =adz_o+b\\ 1&=\tilde h^{\prime}(z_o+dz_o) = ah^{\prime}(z_o+dz_o)+bg^{\prime}(z_o+dz_o)=a(h^{\prime}(z_o)+h^{\prime\prime}(z_o)dz_o)+b(g^{\prime}(z_o) + g^{\prime\prime}(z_o)dz_o) = a(1+h^{\prime\prime}(z_o)dz_o)+b(g^{\prime\prime}(z_o)dz_o) \end{align} Pokud uvažujeme, že $z_o$ je mimo pole, tak druhé derivace jsou nulové a z druhe rovnice dostaneme $a=1$. Následně pak z první $b=-dz_o$. Trajektorie pak má tvar $$\tilde h(z) = h(z)-dz_og(z)$$

Pokud vyjádříme tuto trajektorii v novém fokusu \begin{align} 0=\tilde h(z_i+\dd z_i)=h(z_i+\dd z_i)+\dd z_o g(z_i+\dd z_i) \end{align} po rozvoji do mocnin v $\dd z_i$ a zanedbání kvadratických členů v $\dd z_i$ a $\dd z_o$ dostaneme \begin{align} \dd z_i = \dd z_o M^2\sqrt{\frac{\Phi_i^*}{\Phi_o^*}} \end{align} V případě námi počítané magnetické čočky:

Aproximace tenkou čočkou

V tomto případě zhomogenizovanou rovnici ještě dále upravíme pomoci Pichtovy transformace \begin{align} u(z) = \Phi^{*-\frac 14} v(z) \end{align} na tvar \begin{align} v^{\prime\prime}+G(z)v=0 \end{align} kde koeficient \begin{align} G(z) = \frac 3{16}\frac{\Phi^{\prime 2}}{\Phi^{*2}}\left(1+\frac 43\epsilon\Phi^*\right)+\frac{eB^2}{8m_e\Phi^*}+\frac{\Phi_1\bar\Phi_1}{8\Phi} \end{align} je vždy kladný. Předpokládejme, že čočka je tenká, můžeme v ní tedy zanedbat změnu souřadnice $v$, změní se pouze její směrnice \begin{align} v^{\prime} = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) v(z) \dd z \approx -v_0\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z \end{align} pokud tento vztah aplikujeme na principiální paprsky $v_{\pi}$, $v_{\bar\pi}$, použijeme vztah $u = v\Phi^{\ast -1/4}$ a uvážíme že v nekonečnech je osový potenciál konstantní, tj $u_{\pi}^\prime(\infty) = \Phi^{*-1/4}_{\infty}v^\prime_{\pi}(\infty)$, $u_{\bar\pi}^\prime(-\infty) = \Phi^{*-1/4}_{-\infty}v^\prime_{\bar\pi}(-\infty)$ můžeme psát \begin{align} v_{\pi}^{\prime}(\infty) = u_{\pi}^{\prime}(\infty) \Phi^{*1/4}_{\infty}= -v_{\pi}(-\infty)\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z = -\Phi^{*1/4}_{-\infty} u_{\pi}(-\infty)\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z\\ v_{\bar\pi}^{\prime}(-\infty) = u_{\bar\pi}^{\prime}(-\infty) \Phi^{*1/4}_{-\infty}= v_{\bar\pi}(\infty)\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z = \Phi^{*1/4}_{\infty} u_{\bar\pi}(\infty)\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z \end{align} Pro ohniskové dálky pak můžeme psát: \begin{align} \frac 1f=\frac{\Phi^{*1/4}_{-\infty}}{\Phi^{*1/4}_{\infty}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z, \qquad \frac 1{\bar f}=\frac{\Phi^{*1/4}_{\infty}}{\Phi^{*1/4}_{-\infty}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(z) \dd z, \end{align} tedy: \begin{align} \frac f{\bar f} = \frac{\Phi^{*1/2}_{\infty}}{\Phi^{*1/2}_{-\infty}} \end{align}

Pro naši magnetickou čočku vychází: