F7567 – Struktura a kinematika galaxií – 2022/23 – příklady k procvičení
I. Potenciál a hustota galaxií, Poissonova rovnice, radiální síla, kruhová a úniková rychlost –
sférické modely a osově symetrické 2D modely.
Úlohy:
1. Najděte potenciál uvnitř a vně homogenní sféry o poloměru R:
a) integrací Poissonovy rovnice;
b) s využitím 1. a 2. Newtonova teorému.
Načrtněte radiální průběh tohoto potenciálu.
2. Spočítejte a načrtněte radiální průběh následujících veličin vně a uvnitř gravitačního pole
homogenní sféry:
a) radiální síla
b) kruhová rychlost
c) úhlová rychlost rotace po kruhové dráze
d) perioda rotace po kruhové dráze
e) úniková rychlost
3. Předpokládejte, že kruhová rychlost v dané galaxii je konstantní a galaxie je sféricky symetrická.
Ukažte, jak pro takovou galaxii vypadají následující veličiny:
a) potenciál
b) hustota
c) hmotnost uvnitř sféry o daném poloměru r.
d) perioda rotace po kruhové dráze.
4.
a) Vypočítejte a načrtněte radiální průběh kruhové rychlosti, kruhové frekvence a radiální síly pro tzv.
Plummerovu sféru. Tato sféra má hustotu ρ (r) = ρ
0
/ [1 + (R/b)2
]5/2
a potenciál
Φ = -GM / [r2
+ b2
]1/2
, kde M je hmotnost sféry, G gravitační konstanta, b je konstanta.
b) Srovnejte tyto průběhy s kruhovou a úhlovou rychlostí pro gravitační pole hmotného bodu
a homogenní sféry.
c) Pro jakou hodnotu r/b má maximum radiální síla a kruhová rychlost ?
5. Odvoďte radiální závislost plošné hustoty 2D disku s následujícím gravitačním potenciálem:
a) Φ = vc
2
. ln [(R2
+ z2
)1/2
+ |z|], kde vc je konstanta;
b) Φ = -GM / [R2
+ (a + |z])2
]1/2
, kde M je hmotnost disku, G je gravitační konstanta, a je konstanta.
6. Odvoďte radiální průběh kruhové rychlosti ve 2D discích z úlohy 5.
II. Pohyb částice ve sféricky symetrickém nebo osově symetrickém potenciálu.
Úhlová a epicyklická frekvence, velikost a tvar epicyklu
Označení:
Ω – úhlová rychlost rotace (úhlová frekvence) po kruhové dráze
κ - epicyklická frekvence
Úlohy:
1. Napište vztahy mezi:
a) potenciálem a úhlovou frekvencí
b) epicyklickou frekvencí a potenciálem
c) epicyklickou frekvencí a úhlovou frekvencí
(Pozn.: Předpokládejte blíže neurčený sféricky symetrický potenciál).
2. Spočítejte a načrtněte radiální profily κ, Ω a κ/Ω pro:
a) potenciál hmotného bodu;
b) potenciál homogenní sféry;
c) galaxii s plochou rotační křivkou.
3. Jaký je poměr poloos epicyklu pro
a) potenciál hmotného bodu;
b) potenciál homogenní sféry;
c) galaxii s plochou rotační křivkou ?
4. Napište a vyřešte pohybovou rovnici pro částici pohybující se uvnitř homogenní sféry.
5. Vypočítejte radiální průběh disperze rychlostí pro Plummerovu sféru.
6. Do jaké maximální výšky nad galaktickou rovinu se dostane hvězda v diskové galaxii, pokud je její
vertikální rychlost v okamžiku průchodu galaktickou rovinou 10 km/s a hustota hmoty v galaktické
rovině je 0.1 MSun / pc3
.
7. Jaká je malá a velká poloosa epicyklu hvězdy, obíhá-li ve vzdálenosti 10 kpc od středu diskové
galaxie a je-li její maximální radiální rychlost vůči středu galaxie 20 km/s. Předpokládejte plochou
rotační křivku s kruhovou rychlostí 200 km/s.
III.
Pohyb částice v poli galaktické příčky
Pohybová rovnice v rotující soustavě. Lindbladovy rezonance, korotace.
Označení:
Ω – úhlová rychlost rotace (úhlová frekvence) po kruhové dráze
κ - epicyklická frekvence
OLR – vnější Lindbladova rezonance
ILR – vnitřní Lindbladova rezonance
CR – korotace
Úlohy:
1. Napište pohybovou rovnici částice v souřadné soustavě rotující konstantní rychlostí.
Předpokládejte přitom, že částice se pohybuje v rovině, tj. napište tuto rovnici pro 2-dimenzionální
případ, a to jednak v polárních, jednak v kartézských souřadnicích.
2. Napište vztahy pro Lindbladovy rezonance a korotační rezonance v potenciálu slabé příčky.
3. Jaký je poměr poloměrů OLR a CR v galaxii s příčkou a plochou rotační křivkou?
4. Je pozorována galaxie, jejíž příčka má velkou poloosu 2 kpc. Za předpokladů, že příčka
končí na vlastní korotaci a že galaxie má plochou rotační křivku s kruhovou rychlostí 200
km/s, určete úhlovou rychlost pohybu příčky, její rotační periodu a polohu OLR.
5. Předpokládejte, že simulace galaxie vede ke vzniku příčky s úhlovou rychlostí 60 km/s/kpc. Za
předpokladu ploché rotační křivky (s kruhovou rychlostí 300 km/s) určete polohy CR a OLR.
IV. Jeansova nestabilita
1. Vypočítejte Jeansovu délku pro hvězdný disk naší Galaxie v okolí Slunce. Předpokládejte hustotu
disku 0.1 MSun / pc3
a disperzi rychlostí hvězd 30 km/s.