Základy fyziky hvězdných atmosfér Jiří Kubát Poslední úpra^^9. prosince 2022 Obsah 1 Úvod 7 1 Interakce hmoty se zářením 10 2 Popis záření 11 2.1 Specifická intenzita......................... 11 2.2 Rozdělovači funkce záření..................... 13 2.3 Střední intenzita........................... 15 2.4 Tok ........#. . .^1^. T.............. 15 2.5 Tenzor tlaku záření......................... 16 2.6 Momenty specifické intenzity.................... 17 2.7 Některé speciální případy popisu záření.............. 18 2.7.1 Planparalelní atmosféra................... 18 2.7.2 Sféricky symetrická atmosféra............... 21 2.7.3 Záření ze vzdálené hvězdy................. 22 2.8 Elektromagnetický popis záření .................. 24 2.8.1 Šíření rovinné monochromatické vlny, mikroskopická polarizace ........................... 25 2.8.2 Statistický popis, makroskopická polarizace........ 26 3 Přenos záření 29 3.1 Absorpce, emise a rozptyl záření hmotou.............. 29 3.1.1 Absorpční koeficient.................... 30 3.1.2 Emisní koeficient...................... 31 3.2 Rovnice přenosu záření....................... 31 3.2.1 Rovnice přenosu záření jako Boltzmannova rovnice . ... 33 3.2.2 Planparalelní přiblížení v rovinné geometrii........ 34 3.2.3 Sféricky symetrické přiblížení............... 34 3.3 Optická hloubka........................... 35 3.4 Vydatnost.............................. 36 1 OBSAH 3.5 Typické okrajové podmínky rovnice přenosu............ 37 3.6 Momenty rovnice přenosu záření.................. 39 3.6.1 Momentové rovnice pro jednorozměrnou časově nezávislou atmosféru........................ 40 3.7 Rovnice přenosu pro polarizované záření.............. 42 4 Termodynamická rovnováha 44 4.1 Excitační rovnováha ..............W . . . . . . . 44 4.2 Rovnovážné rozdělení rychlostí částic............... 46 4.3 Ionizační rovnováha......................... 47 4.3.1 Určení elektronové hustoty................. 50 4.4 Disociace molekul ......................... 51 4.5 Záření v termodynamické rovnováze . . .f. .W. . \........ 52 4.5.1 Rovnovážné rozdělení energie............... 54 4.5.2 Absorpce a emise v termodynamické rovnováze...... 54 4.6 Lokální termodynamická rovnováha................ 54 5 Opacita, emisivita a rozptyl 58 5.1 Základní absorpční a emisní koeficienty.............. 58 5.1.1 Einsteinovy koeficienty pro vázaně-vázané přechody ... 58 5.1.1.1 Střední doba života hladiny........... 60 5.1.1.2 Účinný průřez absorpce a síla oscilátoru .... 60 5.1.2 Milného vztahy pro kontinuum............... 61 5.1.2.1 Makro skopický koeficient spontánní rekombinace 62 5.1.2.2 Makroskopický koeficient ionizace....... 63 5.2 Struktura atomů........................... 63 5.2.1 Struktura a přechody vodíku a vodíkupodobných iontů . . 64 5.2.2 Jemná struktura hladin vodíku............... 65 5.2.3 Struktura mnohoelektronových atomů........... 69 5.2.4 LS vazba.......................... 70 5.2.4.1 Termy a hladiny v LS aproximaci........ 71 5.2.4.2 Rydbergova korekce............... 74 5.2.4.3 Dvouexcitované stavy.............. 74 5.2.4.4 Složitější struktura atomů............ 75 5.2.5 Výběrová pravidla..................... 75 5.2.6 Zakázané čáry v přírodě.................. 77 5.2.7 jj vazba........................... 78 5.2.8 Ostatní typy vazeb..................... 80 5.2.9 Vliv izotopů ........................ 81 5.2.10 Hladiny v magnetickém poli................ 82 5.3 Absorpce a emise ve spektrálních čarách.............. 83 2 OBSAH 5.3.1 Přirozené rozšíření spektrálních čar............ 83 5.3.2 Dopplerovské (tepelné) rozšíření spektrálních čar..... 84 5.3.2.1 Turbulentní rozšíření spektrálních čar...... 87 5.3.3 Srážkové rozšíření spektrálních čar ............ 87 5.4 Ionizace a rekombinace....................... 89 5.4.1 Fotoionizační účinný průřez.......• • 5.5 Volně-volné přechody........................ 93 5.6 Interakce záření s molekulami.........1 . . . A..... 94 5.7 Rozptyl v kontinuu................... .1. .^Ě. . 101 5.7.1 Rozptyl na volných elektronech.............. 101 5.7.2 Rozptyl na elektronech vázaných v atomu......... 102 5.8 Rozptyl ve spektrálních čarách................... 102 6 Formální řešení rovnice přenosu záření 108 6.1 Difúzni přiblížení..........^9. .^Wl^........ 110 6.2 A operátor.............................. 112 6.3 Numerické řešení rovnice přenosu záření.............. 115 6.3.1 Diskretizace rovnice přenosu záření............ 116 6.3.1.1 Prostorová diskretizace............. 116 6.3.1.2 Úhlová diskretizace............... 117 6.3.1.3 Frekvenční diskretizace............. 118 6.3.2 Dlouhé a krátké charakteristiky .............. 119 6.3.3 Integrální metody...................... 119 6.3.4 Metoda (nespojitých) konečných prvků.......... 120 6.3.5 Feautrierova metoda.................... 121 7 Přenos záření s obecnou vydatností 123 7.1 Vydatnost spektrální čáry...................... 123 7.2 Rovnice přenosu záření s rozptylem................ 124 7.2.1 Planparalelní rovnice přenosu záření s rozptylem..... 126 7.3 Termalizační délka......................... 128 7.4 Přímé metody řešení rovnice přenosu záření s rozptylem..... 129 7.5 Iterační metody řešení rovnice přenosu záření s rozptylem .... 130 7.5.1 A iterace .......................... 130 7.5.2 Metoda proměnných Eddintonových faktorů ....... 132 8 Přenos záření v pohybujícím se prostředí 134 8.1 Sobolevova aproximace....................... 135 9 Přenos záření metodou Monte Carlo 140 3 OBSAH 10 Srážkové procesy 142 10.1 Srážková excitace a deexcitace................V . 142 10.2 Srážková ionizace a rekombinace.................. 146 10.3 Další srážkové procesy....................... 147 10.4 Augerovy procesy.......................... 148 11 Obsazení energetických hladin atomů 150 11.1 Lokální termodynamická rovnováha................ 150 11.1.1 Podmínky pro lokální termodynamickou rovnováhu a jejich porušení vlivem záření................. 151 11.2 Rovnice kinetické rovnováhy...............y. ... 154 11.3 Četnost zářivých přechodů..................... 156 11.3.1 Vázaně-vázané přechody.......f. . \........ 156 11.3.2 Vázaně-volné přechody .................. 158 11.3.3 Celková četnost zářivých přechodů ............ 161 11.4 Četnost srážkových přechodů.................... 161 11.5 Soustava rovnic kinetické rovnováhy................ 163 11.5.1 Některé speciální případy ................. 165 12 Řešení NLTE problému ve hvězdných atmosférách 172 12.1 Dvouhladinový atom........................ 172 12.1.1 Termalizační hloubka ve spektrálních čarách ....... 173 12.1.2 Rovnice pro dvouhladinový atom............. 176 12.2 Iterační řešení dvouhladinového atomu............... 178 12.2.1 A iterace >jJ..................... 178 12.2.2 Urychlená A iterace .................... 179 12.3 Mnohohladinový atom....................... 180 12.3.1 Řešení mnohohladinového atomu metodou úplné linearizacel81 12.3.2 Řešení pomocí urychlené A-iterace ............ 183 12.4 Základní NLTE efekty v polonekonečné atmosféře ........ 184 12.4.1 NLTE efekty v čarách ................... 184 12.4.2 NLTE efekty pro kontinua................. 188 13 Polarizace atomárních hladin 191 13.1 Rovnice statistické rovnováhy pro polarizovaný dvouhladinový atom................................. 195 II Přílohy 197 A Speciální matematické funkce 198 4 OBSAH A.l Exponenciální integrální funkce .................. 198 A. 2 Gaussova funkce .......................... 199 A. 2.1 Některé integrály Gaussovy funkce ............ 199 B Doplňky k atomární fyzice 200 B. l Rydbergovy konstanty a jednotky energie............. 200 B.2 Klasický oscilátor.......................... 201 B.3 Fotoionizační příčný průřez..................... 202 B. 3.1 Vodíkupodobné ionty.................... 202 B.4 Interakce atomů s vnějším magnetickým polem.......... 203 B.5 Poznámky ke struktuře jednotlivých atomů........y. . . . 205 B.5.1 Hen............................. 205 B.5.2 Struktura alkalických atomů . . f. J. . \........ 205 B.5.3 Struktura kovů alkalických zemin............. 207 B.5.4 Struktura prvků s částečně zaplněnými p-slupkami .... 207 B.5.5 Struktura vzácných plynů ................. 218 B.5.6 Struktura prvků s nezaplněnými d a / slupkami...... 221 B.6 Poznámky ke struktuře molekul .................. 221 B.6.1 Energetické stavy molekul................. 222 B. 6.2 Přechody v molekulách................... 225 C Numerické řešení rovnice přenosu záření 228 Cl Diskretizace Feautrierova řešení rovnice přenosu záření...... 228 C. 1.1 Diferenční rovnice..................... 228 Cl.2 Matice koeficientů diferenční rovnice........... 230 Cl.3 Eliminační schéma..................... 231 Cl.4 Monochromatická rovnice přenosu záření s rozptylem . . 232 D Abundance chemických prvků a metalicita 233 E Linearizace 235 III Cvičení 236 F Cvičení 237 5 Předmluva ^^^k^l Tento učební text vznikal a stále ještě vzniká1 během mého přednášení předmětů F7600 „Fyzika hvězdných atmosfér" a F8601 „Modelováníhvězdných atmosfér" v Brně na Ústavu teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity. Protože ještě neexistuje jeho konečná verze, vyskytují se v některých částech textu pouze heslovité poznámky, které budou časem přepracovány do souvislého textu. Rovněž ve velké většině chybějí v textu obrázky. Text do značné míry vychází z druhého vydání dnes už klasické učebnice „ Stellar Atmospheres " Dimitriho Mihalase (1978) a z jejího třetího vydání (Hubeny and Mihalas, 2014), které vyšlo ve spolupráci s Ivanem Hubeným a pod novým názvem „ Theory of Stellar Atmospheres". Jsou využity i jiné základní učebnice, například „Radia-tive Processes in Astrophysics" (Rybicki and Lightman, 1979), „Atomic Phyics and Spectroscopy" (Pradhan and Nahar, 2011), „Polarization in Spectral Lines" (Landi DeglTnnocenti and Landolfi, 2004) a i další literatura. Základním cílem tohoto textu je poskytnout čtenářům úvod do studia vzájemného působení hmoty a záření a tím i vlivu záření na hmotu ve vesmíru. Text je rozdělen do dvou základních částí, první (Interakce hmoty se zářením) se zabývá přímou interakcí hmoty a záření a druhá (Modely hvězdných atmosfér) stavbou hvězdných atmosfér a hvězdných větrů. Zde je uvedena pouze první část textu. V první části je podrobně rozebrán vliv hmoty na záření, který je popsán rovnicí přenosu záření a jejím formálním řešením. Velká pozornost je věnována vlivu záření na mikroskopický stav hmoty a obsazení energetických hladin atomů, které nemusí odpovídat termodynamické rovnováze (tzv. NLTE fyzika). Druhá část se zabývá kromě základních zákonů stavby hvězdných atmosfér zejména vlivem záření na globální vlastnosti hmoty, konkrétně na teplotu (přenos energie) a dynamiku (přenos hybnosti) prostředí. 'Datum poslední aktualizace celého textuje šedě přetištěno přes jednotlivé stránky. 6 Kapitola 1 Uvod Světlo je i přes nedávnou detekci gravitačních vln prakticky jediným prostředkem ke studiu vzdálených astronomických objektů. Proto teorie přenosu záření v astronomii patří mezi její nej důležitější součásti. Swětlo vydházející z astronomických objektů je těmito objekty formováno a přenáší k nám informaci o těchto objektech. Na své cestě k nám je však mění při průchodu různými prostředími, která mu stojí v cestě, mezihvězdným, mezigalaktickým a nakonec i atmosférou naší Země. Kromě toho světlo ovlivňuje i hmotu, kterou prochází. Jeho absorpcí dochází k excitaci a ionizaci prostředí, jeho energie může způsobit ohřev prostředí a jeho hybnost je schopna urychlit hmotu. Studium všeho tohoto vzájemného působení je komplikováno faktómT^evasfflwiomii a astrofyzice jsme převážně odkázáni na pozorování. Možnost provádět experimenty je dost omezená, i když v poslední době dochází k rozvoji oboru zvaného laboratorní astrofyzika. Hvězdná atmosféra je oblast přechodu mezi hvězdou a mezihvězdným prostředím. Tato oblast omahuje ví srovnání se samotnou hvězdou jen zanedbatelnou část její hmoty (asi 1CT10), je to v podstatě pouze "horní okrajová podmínka" pro studium hvězdné struktury a vývoje. Je to však oblast, která je pro studium hvězd nesmírně důležitá. Veškeré záření, které z hvězd dopadá na Zemi, musí projít hvězdnou atmosférou. Jelikož záření s hmotou interaguje, je hvězdná atmosféra oblastí formování vystupujícího záření a tím i hvězdného spektra. Je to jediná část hvězdy, kterou na Zemi vidíme. Měření záření dopadajícího z hvězd je podstatou činnosti astronomických observatoří na Zemi íJBkolo ní. Měří se buď záření pro dané intervaly vlnových délek vymezené filtry v různých oborech záření (např. U, B, V, R, I, J, K, L,...) nebo podrobné profily spektrálních čar přes celé energetické spektrum. Tyto čáry jsou často rébusem skrývajícím řadu cenných informací. Právě pro rozluštění tohoto rébusu bylo nutné sáhnout po přesnějším fyzikálním popisu hvězdných atmosfér. Můžeme říci, že významným podnětem pro rozvoj teorie hvězdných atmosfér bylo vyvinutí nových detektorů a spektrografů s vysokou rozlišovací schopností. 7 1. ÚVOD Z vystupujícího záření pak zjišťujeme vlastnosti hvězd. Podrobná znalost fyziky hvězdných atmosfér je pro velikou část astronomických výzkumů významná. Například hvězdné nitro je skryto pod atmosférou. Proto veškeré znalosti, které o nitru a procesech v něm probíhajících získáme, závisejí do značné míry na tom, jak pochopíme vrstvy nad ním. Tam patří i hvězdná atmosféra. Vliv hvězdných atmosfér však sahá i mimo hvězdy. Z hvězdných atmosfér vychází záření, které ionizuje mezihvězdnou hmotu, proto znalost fyziky hvězdných atmosfér ovlivňuje i poznání mezihvězdné hmoty. Kromě ionizujícího záření uniká z hvězdných atmosfér i hmota. Tomuto produ hmoty se říká hvězdný vítr. Ten má přímý vliv na vývoj hvězdy i na složení mezihvězdnéhoyAtředí. Záření a ztráta hmoty prvních hvězd ve vesmíru (hvězd Populace III) je důležitá pro jejich vývoj a pro pochopení vývoje vesmíru v jeho počátcích, neboť tyto hvězdy byly významným zdrojem ionizujícího záření a konec jejich života výbuchem supernov obohatil mezihvězdné prostředí o prvky těžší než vodík a helium. Záření vystupující z galaxií je vlastně tvořeno zářením ohromného množství hvězd. Dominantní postavení mají hmotné horké hvězdy, které z celých galaxií září nejvíce. Naše schopnost předpovědět záření vystupující z hvězd přímo ovlivňuje předpovědi záření vystupujího z galaxií. Fyzika hvězdných atmosfér je také provázána s jinými fyzikálními disciplínami, využívá jejich metody a výsledky. Nej důležitější součástí fyziky hvězdných atmosfér je teorie přenosu záření, která kromě vlivu hmoty na záření zahrnuje i vliv záření na hmotu. Vzhledem k tomu, že záření je jednou z nej důležitějších součástí vesmíru, je pochopení procesů spojených s jeho přenosem fundamentální znalostí potřebnou v celé řadě astrofyzikálních oborů. Astrofyzikální přenos záření zahrnuje přenos záření pro energie prakticky z celého energetického spektra záření (7, rentgenovské, U V, viditelné, infračervei^ Äfcoyé). J Přenos záření ve hvězdných nitrech a v oblastech mezi hvězdnými nitry a povrchem hvězd může být popsán zjednodušenou formou pomocí difúze záření, což je aproximace platná pro velké hustoty hmoty s velmi krátkou střední volnou drahou fotonů. Naopak v mezihvězdném prostředí a v planetárních mlhovinách se jedná o přenos záření v průhledném (opticky tenkém) prostředí. Případ přenosu hybnosti mezi zářením a hmotou, který dává základ hvězdnému větru, nachází analogické použití pro toky hmoty v akrečních discích, aktivních galaktických jádrech a kvazarechA Další významnou fyzikální disciplínou popisu hvězdných atmosfér je hydrodynamika a její obecnější varianta zahrnující i makroskopické efekty elektromagnetického pole - magnetohydrodynamika. Vliv záření na hydrodynamické rovnice pak studuje zářivá hydrodynamika. Významné je i studium konvekce v obálkách chladných hvězd a vlivu hvězdné rotace na profily spektrálních čar. Pro strukturu hvězdné atmosféry a její tepelnou rovnováhu má význam termodynamika. 8 1. ÚVOD Atomy interagující se zářením a i vzájemné interakce částic studuje atomová fyzika, zejména teorie srážkových procesů z kvantové fyziky. Astrofyzikální prostředí poskytuje možnost studovat atomy v podmínkách, které na Zemi lze jen těžko vytvořit. Historickým příkladem je objev helia, které bylo dříve zjištěno ve slunečním spektru a až poté bylo nalezeno i na Zemi. Naopak podobný objev nebulia se nakonec ukázal jako nesprávný, pozorované čáry v planetárních mlhovinách se podařilo vysvětlit jako zakázané přechody již známých prvků. Hvězdné atmosféry představují ideální laboratoř pro studium profilů spektrálních čar, dopplerovské rozšíření můžeme studovat nejlépe v astrofyzikálním prostředí. Podobné je to u Stárkova rozšíření, kde vysoké hustoty \|^mosférách bílých trpaslíků vytvářejí podmínky na Zemi nerealizovatelné. Hvězdné atmosféry a i jiná prostředí jsou reprezentanty termodynamicky nerovnovážného rozdělení obsazení energetických hladin atomů. Projevují se wiidfi i efVkty parciální redis-tribuce záření při rozptylových procesech. V některých případech jsou pozorovány atomární přechody, které sice teorie atomů předpovídá, ale na Zemi nejsou experimentálně ověřitelné. Znalosti těchto fyzikálních disciplín usnadňují pochopení dějů ve hvězdných atmosférách. Cást U \ Interakce hmoty se zaremm 10 Kapitola 2 Popis záření V této kapitole zavedeme základní fyzikální veličiny popisující pole záření, což je fundamentální pojem nejen pro studium hvězdných atmosfér, ale i pro celou astrofyziku. Světlo je elektromagnetické vlnění. K jeho popisu můžeme použít několik způsobů. V astrofyzice se nejvíce používá fenomenologický makroskopický popis pomocí intenzity záření. Tento popis je přijatelný, pokud charakteristický rozměr systému je mnohem větší než vlnová délka záření (příkladem může sloužit světlo procházející klíčovou dírkou, Rybicki and Lightman, 1979). Kinetický popis využívá k popisu rozdělovači funkci fotonů. Popis pomocí vektorů elektrického nebo magnetického pole dovoluje brát v úvahu vlnové vlastnosti světla, což umožňuje studovat polarizované záření a případnou foton-fotonovou interakci. 2.1 Specifická intenzita Vyjádříme množství energie 58 přenášené zářením šířícím se ve směru n o frekvencích z intervahn^^ -b du) skrz orientovaný plošný element dS do prostorového úhlu dzu za čas dt (viz obr. 2.1). Množství energie je dáno vztahem 58 = I(r, n, u, t) (n ■ dS) dzu du dt. (2.1) Veličina I(r, n, u, ť) je specifická intenzita záření o frekvenci u v místě r a čase t šířícího se směremm do elementu prostorového úhlu dzu. Její rozměr je [I] = £rg ■ cm~2 • sr-1 • Hz-1 • s-1. Uhel mezi normálou k elementu plochy dS a směrem šíření záření n se obvykle značí 9. Platí n ■ dS = dS cos 9. •Specifická intenzita nezávisí na vzdálenosti od zdroje záření. Důkaz je patrný z obrázku 2.2. V místě r je procházející energie dána vztahem (2.1), v místě r' vztahem 58' = I'(r', n, v, ť) dS' cos 9' dzu' du dt. Vzdálenost mezi r' a r je d = \r — r'\. Místo r' je vidět z místa r pod úhlem dzu = (dS'/d2) cos 9', podobný 11 2. POPIS ZÁŘENÍ Obrázek 2.1: Zavedení specifické intenzity záření I(r, n, u, ť). Záření se šíří ve směru n do prostorového úhlu dzu skrz elementárnívorientovanou plošku dS, která svírá se směrem šíření úhel 9. vztah platí i pro r. místo r je vidět z místa r' pod úhlem d-ro' = ( dS/d2) cos 61. Z podmínky zachování energie 55' = 58 dostaneme rovnost 1 = 1'. Specifická intenzita záření (a i její momenty, které budeme zavádět dále v této kapitole) se někdy zavádí jako funkce vlnové délky A. Z porovnání odpovídající alternativní definice 58 = Ijfr/h, A, íJ^P* dS) dzu d\ dt s definicí (2.1) dostáváme Intenzity I{u) a J(A) se tedy liší o faktor du/d\. Odpovídajícím způsobem se liší i jejich rozměr. Císelá hustota fotonů Výrazem fa{r, n, v-, t) dro du vyjádříme počet fotonů v místě r o frekvenci (z/; u+ du) pohybujících se ve směru n do úhlu dzu, veličina fN(r, n, i/, ŕ) je číselná hustota fotonů. Přes plošku dS za čas dt projde fN(c dt) (n ■ dS) (dzu du) fotonů (pohybují se rychlostí světla c). Prošlou energii dostaneme vynásobením energií fotonu (hu), Odtud porovnáním s (2.1) dostaneme vztah mezi specifickou intenzitiou I a číselnou hustotou fotonů fN, I(r, n, A, t) dX = I(r, n, v, t) du (2.2) 08 = (hu)fN(cdt)(n- dS)(dzudu). (2.3) chvfa I. (2.4) 12 2. POPIS ZÁŘENÍ Obrázek 2.2: Ozařování elementů plochy dS a dS' pro důkaz neměnnosti specifické intenzity podél paprsku. Obrázek z Hubeny and Mihalas (2014, str. 64) (zkopírováno 2). Číselná hustota fotonů fN je definována v souřadnicovém prostoru. 2.2 Rozdělovači funkce záření Ve statistické mechanice můžeme zavést rozdělovači funkci fotonů ve fázovém prostoru. Vektorová hybnost jednotlivého fotonu je p = —n. (2.5) c Rozdělovači funkci fotonů ve fázovém prostoru označíme fa(r, p, ť). Potom fa(r,p,t) d3r d3p označuje počet fotonů daného spinu a v elementárním objemu fázového prostoru d3pd3r v čase t. Jelikož fotony patří mezi bosony, jejich spin je roven 1 a projekce spinu do směru šíření záření ms = —1, 0,1. Vzhledem k nulové klidové hmotnosti fotonů nemá hodnota ms = 0 fyzikální smysl, významné jsou jen projekce ve směru a proti směru šíření záření. Tyto dvě projekce odpovídají polarizaci fotonu, hodnota ms = — 1 pravotočivé, hodnota ms = 1 levotočivé (viz například Landi DeglTnnocenti and Landolfi, 2004, Appendix A3). Celkovou energii fotonů v elementu fázového prostoru můžeme vyjádřit po- 13 2. POPIS ZÁŘENÍ mocí rozdělovači funkce fotonů jako (viz také Shu, 1991, str. 5) 2 SS = hufa (r, p, t) d3r d3p. (2.6) a=l Paprsek fotonů letících ve směru n přes elementární plošku dS rychlostí c zaujímá elementární objem d3r = [n ■ dS)(cdŕ). S využitím (2.5) vyjádříme ještě objemový element impulsového prostoru d3p = p2 dpdvo = (/i3z/2/c3) dzudu a dosadíme za d3p d3r do (2.6), 2 1,4 3 5£ = V —%-Ur,p,t) (n ■ dS) dzudvicdt). (2.7) ^—' c6 a=l Porovnáním s definicí specifické intenzity (2.1) dostaneme vztah mezi rozdělovači funkcí fotonů fa fotonů a specifickou intenzitou záření J, I(r,n,u,t) = J2~^U(r,p,t). (2.8) a=l Hustotu fotonů se spinem a v jed^ťkove^Majemu fázového prostoru na dostaneme jako součin rozdělovači funkce fotonů ve fázovém prostoru fa a objemu elementární buňky fázového prostoru h3 (objem nejmenší buňky fázového prostoru vyplývá z relací neurčitosti, AxApx > h), na = h% (2.9) Získáme tak vztah mezi koncentrací fotonů ve fázovém prostoru a specifickou intenzitou záření i 2 ^3 I(r,n,u,t) = J2^Mr,P,t) (2.10) a=l Rozdělovači funkce záření\e fázovém prostoru fR bude součtem fa přes všechny spiny, 2 fR(r, p, t) d3r d3p = ^2fa(r,p, t) d3r d3p. (2.11) a=l Pro nepolarizované záření je fx = f2, proto fR(r,p,t)=2fa(r,p,t). (2.12) Roldělovací funkce záření fR je relativisticky invariantní veličina (viz například Hubeny and Mihalas, 2014, Appendix B). 14 2. POPIS ZÁŘENÍ 2.3 Střední intenzita Střední intenzitu záření J zavedeme jako průměrnou hodnotu specifické intenzity I přes všechny prostorové úhly J(r, u, t) = — <£ I(r, n, u, t) dzu (2.13) 4?r J Je to skalární veličina a její rozměr je [J] = erg • cm~2 • s_1 • Hz-1. Číselná hustota fotonů frekvence u v daném místě fN (viz 2.3) vynásobená energií fotonu hu integrovaná přes všechny směry šíření záření ^Mřuje monochromatickou hustotu zářivé energie ER(r,u,t) = hu fN(r,n, z/, ť)dw. (2.14) S využitím vztahu (2.4) dostaneme vztah mezi monochromatickou hustotou zářivé energie a střední intenzitou záření, 1 ľ mA^^ V ER(r,u,t) = ~ f I(r,n,u,t)dzu = — J(r,u,t). (2.15) Rozměr monochromatické hustoty zářivé energie je [ER] = erg • cm~3 • Hz-1. Integrací ER(r, u, ť) přes frekvence dostaneme celkovou hustotu zářivé energie 4tt ľ°° a < 4?r SR(r,t) = — J(r,u,t)du = — J(r,t) (2.16) s rozměrem [SR] = erg • cm 3. 2.4 Tok * Uvažujme fotony procházející procházející přes plošku dS v místě r (viz obrázek 2.1). Bude nás zajímat jejich čistý počet za jednotku času. Čistý počet znamená, že fotony letící proti sobě se odečtou. Nechť N(r, u, ť) je zde čistý počet fotonů o frekvenci u procházející přes plošku dS v místě r za jednotku času. Ten můžeme pomocí číselné hustoty fotonů fN napsat jako N (r, u, ť) = (J) fti(r,n, u,ť)cndzoSj ■ dS. (2.17) Každý z fotonů má energii hu. Veličina N hu pak vyjadřuje čistý tok zářivé energie o frekvenci u přes plošku dS, 'N (r, u,t) hu = (^chu j) fN (r,n,u,t) ndzu^j ■ dS = T {r,u,ť) - dS. (2.18) 15 2. POPIS ZÁŘENÍ Veličinu v závorce jsme označili T a nazveme ji monochromatickým zářivým tokem. Je to vektorová veličina. Skalární součin T ■ dS pak vyjadřuje čistý tok energie přes libovolně orientovanou plošku dS. S využitím vztahu (2.4) můžeme monochromatický zářivý tok vyjádřit pomocí specifické intenzity záření I jako T{r, u,t) = I(r, n, v, t)n dzu. ^(2.^) Rozměr toku je [J7] = erg • cm~2 • s_1 • Hz-1. Integrací přes všechny frekvence získáme celkový zářivý tok 3(r,t) = [ F(r,v,t) du. (2.20) Jo s rozměrem [$] = erg • cm~2 • s_1. 2.5 Tenzor tlaku záření Zavedeme druhý moment intenzity, tenzor tlaku záření, Pr(v, v,t) = - (j) I(r, n, z/j^m^i^^ (2.21) kde nn znamená dyadický součin vektorů1. Rozměr tenzoru tlaku záření je [PR] = erg • cm~3 • Hz-1. Je to symetrický tenzor (protože je dyadický, má 6 nezávislých složek) a platí PRij = Prjí. Jeho fyzikální význam zjistíme nejlépe tak, že vyjádříme počet fotonů frekvence v pohybujících se ve směru n,i a procházejících přes jednotkovou plošku za jednotku času. Tento počet je fa{v, n, v, ť)crii. Každý z fotonů má ve směru n j impuls hvrij/c. Potom veličina Mr,n,u,t)cnt)l—L d^, (2.22) je tok impulsu fotonů ve směru n j způsobený zářením o frekvenci v procházejícím přes jednotkovou plošku orientovanou kolmo k což odpovídá definici tlaku v libovolném mechanickém kontinuu. Kvůli této analogii s mechanikou kontinua se tenzor tlaku záření někdy nazývá také tenzorem napětí záření. Protože pro složky jednotkového vektoru n platí n2x + riy + n2z = 1, stopa tenzoru tlaku záření odpovídá monochromatické zářivé energii (2.15) TrPR = J2 ftn = \j I(r, n, v, t) dzu = ER(r, v, t), (2.23) 'Někdy se také používá názvu vnější nebo tenzorový součin a označení n n. 16 2. POPIS ZÁŘENÍ V případě izotropního záření je, tenzor PR diagonální s PR11 = PR22 = -pr33-Veličinu §TrPR (Tr značí stopu tenzoru) můžeme ztotožnit se skalárním tlakem záření, který označíme pR. Mezi skalárním tlakem záření a zářivou energií platí v izotropním prostředí vztah Pr = ^ER. Poměr tenzoru tlaku záření (2.21) a hustoty energie záření (2.15) c, i \ Pr(T,za t) f(r,v,t) = —-- (2.25) ER(r,v,t) nazveme Eddingtonovým tenzorem. Využijeme jej později při řešení momentových rovnic přenosu záření. 2.6 Momenty specifické intenzity Základní veličinou makroskopického popisu záření je specifická intenzita záření I (viz 2.1). Integrací této veličiny přes všechny směry jsme zavedli střední intenzitu záření J (2.13) úměrnou zářivé energii ER (2.15), integrací specifické intenzity vynásobené vektorem směru šíření záření n jsme zavedli tok T (2.19), integrací specifické intenzity vynásobené vnějším součinem dvou vektorů směru šíření záření nn jsme zavedli tenzor tlaku záření PR (2.21). Tímto postupem jsme zavedli momenty specifické intenzity záření/Střední intenzita je moment nultého řádu (říká se jí i nultý moment), tok je moment prvního řádu (první moemnt - vektor) a tenzor tlaku záření je moment druhého řádu (druhý moment). Je možné zavést i momenty vyšších řádů, avšak nepoužívají se příliš často. Pro veličiny energie, toku a tlaku záření vycházející z definice momentů specifické intenzity můžeme souhrnně psát 1 An n, v, t) dvo n, v, ť)n dvo .*) I(r, n, v, t)nn dzu (2.26) Momenty specifické intenzity záření jsou jednak propojeny s veličinami popisujícími zářivou energii, tlak a tok zářivé energie, také ovšem vstupují do momentových rovnic přenosu záření, které uvedeme později (v kapitole 3.6). 17 2. POPIS ZÁŘENÍ Obrázek 2.3: Schematický nákres planparalelní atmosféry. Obrázek z Kubát (2010, obrázek 1) (zkopírováno 4). 2.7 Některé speciální případy popisu záření Pro popis přenosu záření můžeme pochopitelně používat libolné souřadné soustavy. Bývá však výhodné využít takovou sou stavu, \giíž rosice nezískají příliš složitý tvar. Nejčastěji se používá kartézský souřadný systém, častý je i popis ve sférických souřadnicích, případně někdy i v cylindrických souřadnicích. 2.7.1 Planparalelní atmosféra Planparalelní aproximace znamená, že fyzikální veličiny závisejí pouze na jedné souřadnici kartézského systému. Bývá zvykem za tuto souřadnici zvolit z. Záření se ale uvažuje přicházející z celeho^^Rtoru. Směr šíření záření svírá s osou z úhel 9, který může nabývat b/dňot y^inteWalu (0; n). Jeho kosinus fi = cos 9 (2.27) se často používá k popisu směru šíření záření místo úhlu samotného. Díky symetrii dané závislostí pouze na jedné souřadnici je třeba uvažovat pouze různé směry podle úhlu 9. Záření nezávisí na azimutu 0, který se měří v rovině (x, y) a nabývá hodnot vmte^kkWQ; 2n). Závislost specifické intenzity a jejích momentů na poloze se změní následujícím způsobem: I(z,fi, v, t) J (r, i/, 1^ J (z, v, t) 7 (r, u, t) T {z, v, t) pr (r,u,t) —ř pr (z, v, t) (2.28) Fwíšeme si postupně vztahy pro výše uvedené momenty specifické intenzity rzáMní v planparalelním jednorozměrném přiblížení. Element prostorového úhlu je dán vztahem dzu = sin 9 d9 d0 = — d/i d(f). Ve vztahu pro střední intenzitu (2fl3) nahradíme integrál přes prostorový úhel § dzu integrály přes jednotlivé 18 2. POPIS ZARENI úhly, JQ27r d(f) f q dO, proměnnou 6 zaměníme za /x a vztah přepíšeme ^^^^k J(z,u,t) = — d I d/il(z,/i,u,t) = - J d/il(z,/i,u,ť) (2.29) J 0 t/ —1 t/ —1 Pro vyjádření vyšších momentů budeme potřebovat jednotkový vektor ve směru šíření záření n = (nx, ny, nz), jehož složky jsou y/l - y? cos 0 k(2.30a) ny = y/l — /i2 sin (f) (2.30b) nz = /i, (2.30c) Dosazením do rovnice (2.19) dostaneme pro složky vektoru toku v planparalelním přiblížení jr =jr=0 (2.31a) J7z(z,u,t)= / d(f) d/i/il(z, /i, u, t) = 2n / d/i/il(z,/i,u,t) Jo J-i J-i (2.31b) Vidíme, že jediná nenulová složka vektoru toku záření je ve směru osy z. Tato složka vektoru toku vydělená An se nazývá Eddingtonův tok a označuje se H, 1 1 ľ H(z,u,t) = —Tz{z,v,€) = - d/i/il(z,/i,u,t). (2.32) Pro složky tenzoru tlaku záření v planparalelní geometrii z definice (2.21) a s využitím (2.30) vyplývá ^^M(z,u,t) 0 0 PR(z,v,t) = — 0 K(z,u,t) 0 \ \ 0 0 K(z,u,t)/ '3K(z,v,t) - J(z,v,t) 0 0N 0 3K(z,u,t) - J(z,u,t) 0|, (2.33) 0 0 0, 2tt c kde střední intenzita záření J(^, z/, t) je dána vztahem (2.29), K(z, u, t) se někdy nazývá K-integrál a je dán vztahem /*2"7t /»1 1 K (z, u,ť) = — / d(f) d/i/i21(z, /i, u, t) = - / d/i/i21(z, /i, u, t). (2.34) 4tt Jo J-i 2 J_x 19 2. POPIS ZÁŘENÍ Zavedeme-li (srovnej s 2.23) 47t pR(z, u, t) = —K(z, u, t), ^(2.35)1 c můžeme s využitím definice hustoty zářivé energie ER (2.15) psát fpR(z,u,t) 0 0 PR(z,v,t) = 0 Pr(z,u,í) 0 V 0 0 pR(z,u,t)y 1 /3pR(z, u, t) - ER(z, u, t) 0 CP 0 3pR(z,u,t)^R(z,u,t) f) | . (2.36) 0 0 0, Divergence tenzoru tlaku PR má jedinou nenulovou složku ve směru osy z, dz Pokud je záření izotropní, nezávisí specifická intenzita záření J na směru (tedy na /x) a ze vztahů (2.29) a (2.34) dostaneme K(z, u, t) = ^Í^S . ^^7^ (2.38) čímž se tenzor (2.33) zjednoduší na diagonální, 47t 'K(z,v,t) 0 0 0 0 K(z,u,t) 14tt 3~č~ 'J [z,v,ť) 0 0 0 J{z,v,t) 0 | . (2.39) 0 0 J{z,v,t) Tenzor tlaku můžeme v tomto případě nahradit jedinou veličinou, skalárním tlakem záření pR(z, u, t), zavedeném vztahem (2.35). Opačným extrémem je maximální anizotropie zářenípopsaná vztahem I(z,(j,,v,t) = I(z,v,t)5((j,-l), (2.40) což popisuje záření šířící se pouze jedním směrem. Potom jsou si všechny momenty rovny a ze vztahů (2.29) a (2.34) dostaneme J(z,u,t) = K(z,u,t). (2.41) 20 2. POPIS ZÁŘENÍ Tenzor tlaku (2.33) přejde na jednoduchý tvar '0 0 0 \ . /O 0 0 00 0 =—00 0 0 0 K(z,u,t)J c \0 0 J(z,v,t) Pr(z, v, ť) = — I 0 0 0 |=— (0 0 0/1. (2.42) c Takovéto silně anizotropní záření je například záření od vzdálené hvězdy, kdy tuto hvězdu můžeme považovat za bodový zdroj. ^ Eddingtonův faktor Pro planparalelní případ můžeme místo Eddingtonova tenzoru (2.25) použít skalární veličinu J(z,u,t) kterou nazveme Eddingtonův činitel (faktor). Pro izotropní záření je 1 ~ 3' pro extrémně anizotropní záření (J^^je Eddingtonův činitel se č^^^oužíváA iteračních metodách řešení rovnice přenosu záření. Protože se během iteračního procesu mění, označujeme ho často jako proměnný Eddingtonův činitel. S praktickým použitím proměnného Eddingtonova činitele se setkáme později (v kapitole 7.5.2). 2.7.2 Sféricky symetrická atmosféra Jako sférických souřadnic se využívá radiální vzdálenosti r, polárního úhlu 9 a azimutu (f). Sféricky symetrická aproximace využívá k popisu prostorové závislosti fyzikálních veličin souřadnici r, což je vzdálenost od středu symetrie. Na ostatních dvou souřadnicích (9 a 0) fyzikální veličiny nezávisejí. Ve sférické symetrické atmosféře úhel 9 popisuje úhel mezi směrem šíření záření a radiálním směrem. Podobně jako v planparalelní atmosféře se často používá jeho kosinus, fi = cos 9. Vztahy pro střední intenzitu záření J (2.29), tok T = (J^, J7^, J>) (2.31) a tenzor tlaku záření PR (2.33, souřadnici r odpovídá poslední řádek a poslední sloupec) jsou stejné jako v planparalelním případě. 21 2. POPIS ZÁŘENÍ r~Rsin ů zum Beobachfer Obrázek 2.4: Záření z hvězdy. Z Unsôld (1955, str. 2), R v obrázku je i?* v textu {zkopírováno 6). Pro radiální složku divergence libovolného tenzoru T ve sférických souřadnicích platí (např. Mihalas and Weibel-Mihalas, 1984, rovnice A3.91a) (T7 "H 1 9{r2Trr)( 1 d(SmdTre) < 1 9Tr0 1 (v • i jr — -j----1--—----1--^7^7---u 00 + í^) Divergence tenzoru tlaku ve směru r má ve sférické geometrii při sférické symetrii tvar (V • PR) ^|É^r' ^ ŕ) + 3pR(r, ž/,t) - £R(r, u,t) ^ ^ r dr r Ostatní vztahy uvedené v předcházející kapitole platí i pro sféricky symetrický případ po záměně z —> r. 2.7.3 Záření ze vzdálené hvězdy Význam toku pro pozorování hvězd. Spočtěme nyní celkovou intenzitu záření vycházející z hvězdy směrem ke vzdálenému pozorovateli. Přidržíme se postupu uvedeného v knize Unsôld (1955, str. 2). Vzdálený pozorovatel vidí kulovou hvězdu o poloměru i?* jako disk. Záření vychází z hvězdy směrem k pozorovateli pod úhly 6 závisejícími na vzdálenosti od středu disku. Z obrázku 2.4 vyplývá, 22 2. POPIS ZÁŘENÍ že vzdálenost r od středu poloměr pozorovaného disku můžeme svázat s hvězdným poloměrem vztahem r = i?* sin 9. Element plochy pozorovaného h^zdnéhoj disku můžeme vyjádřit jako dS = r dr d0 = R2 sin 9 cos 9 d9 d0, V^^^L5) kde (f) E (0;27r) a 9 E (0; 7r/2). Z povrchu hvězdy odchází záření o specifické intenzitě /(i?*, z/, 9, 0). Zavedeme střední specifickou intenzitu přicházející z hvězdného disku k pozorovateli. Integrací odcházející specifické intenzity na povrchu hvězdy přes celý pozorovaný disk dostaneme r2^ ň uR2J(R^v)= / I(R,, v, 9,(j))Rl sin 6>j^d#d0. (2.46) Jo Jo Porovnáním s definičním vztahem pro tok (2.19) zjistíme, že vztah (2.46) je stejný jako vztah pro část toku záření Jr+, který získáme integrací pouze přes paprsky směřující k pozorovateli, = / / I(r, n, v) sin 9 cos 9 d9 d27r /-O /*z7t />u T~ = i i I(r, nj£f>$'m9(^ĚĚrf{9 d(f) JO J-^r nulový a integraci přes újm^v ravmei (2.46) můžeme formálně rozšířit na celý interval (—f; f). Dostaneme I(R*,v) = - / I(R*, v, 0,) cos OsinOdOdý (2.47) Výraz na p^Bfckan^Wvnice je definiční vztah pro tok. Záření přicházející ze vzdálené hvězdy (z bodového zdroje záření) lze vyjádřit veličinou F(R*, v) = Čí^l = /(i^, v). (2.48) 7T Pokud hvězdu vidíme jako bodový zdroj (což je případ vzdálených objektů), pozorované záření je popsáno radiální složkou toku na povrchu hvězdy vyděleného lÄVeličma F = -J= (2.49) 7T se nazývá astrofyzikální tok. 23 2. POPIS ZÁŘENÍ 2.8 Elektromagnetický popis záření V elektromagnetickém popisu záření se využívá vektor intenzity elektrického pole E. Z Maxwellových rovnic eketromagnetického pole lze odvodit vlnovou rovnici pro E (viz Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 3.27), 1 d2 E - V2E = 0. (2.50) c2 dt2 Stejnou rovnici můžeme napsat i pro vektor intenzity magnetického pole H, ale pro elektromagnetický popis záření se většinou používá E. Vektorj^p a H jsou navzájem kolmé a oba jsou kolmé i ke směru šíření záření n. Řešení rovnice (2.50) ve tvaru monochromatické rovinné vlny šířící se v místě r rychlostí c můžeme napsat jako E(r,t) = E0cos (k ■ r - uť), (2.51) kde E0 je amplituda vektoru eletrického pole, k = (2n/X) n je vlnový vektor a u = 2nu je kruhová frekvence. Vztah k makroskopickému popisu Pro časovou střední hodnotu hustoty energie elektromagnetického pole (pem) monochromatické vlny platí (viz Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 3.40) <£em> = ]~ (E20co£g^^í, (2.52) kde Eq = \E0\. Specifickou intenzitu rovinné monochromatické vlny můžeme zapsat jako I{u) = I{uQ)5 [v - u0) ô (n - n0). (2.53) Dosazením do (2.15) dostaneme monochromatickou energii této rovinné vlny Er^SI^- (2-54) c Z rovnosti energií (2.52) a (2.54) plyne vztah mezi specifickou intenzitou záření a amplitudou intenzity elektromagnetického pole I = ^El (2.55) Tento vztah dává do souvislosti popis záření pomocí elektromagnetického pole s makroskopickým popisem. 24 2. POPIS ZÁŘENÍ 2.8.1 Síření rovinné monochromatické vlny, mikroskopická polarizace Zvolíme-li směr šíření ve směru osy z, budou složky vektoru E = (Ex, Ey,0) a řešení můžeme zapsat ve tvaru Ex(z,t) = Ex cos (kz - iút + 0i) (2.5b) Ey(z, t) = E2 cos (kz — Ldt + 02) kde Ei a E2 tvoří složky vektoru .E0, E0 = (Ei cos 0i, E2 cos 02, 0). Zafixujeme-li rovinu kmitů elektrického vektoru (například z = 0), rovnice (2.56) přejde na tvar Ex(t) = Ei cos (ut - Pq + Pv + Pu- (2-64) Speciální případ PQ = PV = PV = 0 znamená, že obě složky vektoru E mají stejnou střední hodnotu amplitudy (Pq = 0) a náhodný fázový posun (Pjj = Py = 0). Jinými slovy jsou kmity vektoru E 1 7 (2.62) <£í£i> + (82*82) <£í£i> - (82*82) (8*82) + (82*8ľ) = i((8*82)-(82*81)) 26 2. POPIS ZÁŘENÍ reference direction Obrázek 2.5: Schematická reprezentace Stokesových parametrů Q, U, V. Obrázek z Landi DeglTnnocenti and Landolfi (2004, obr. 1.8) (zkopírováno 8). podél os x a y stejné a nekorelované. Takové záření nazýváme nepolarizovaným. Veličina P =--s- (2.65) se nazývá stupeň polarizace. Pro nepolarizované záření je p = 0. Pokud ve vztahu (2.64) platí rovnost, je p = la záření je úplně polarizované. Pro 0 < p < 1 je záření částečně polarizované. S využitím (2.55) zavedeme veličiny popisující makroskopickou polarizaci záření J = JfcPj Q Ä/q Q (2.66) U = kPv V = kP, v kde k = c/(87r). Veličiny J, Q, ČT, jsou Stokesovy parametry, které používáme k makroskopickému popisu polarizovaného záření. Veličiny pro popis polarizovaného záření zavedl Stokes (1852), avšak označil je A, B, C, D. Značení I, Q, U, V bylo zavedeno později, používá ho Chandrasekhar (1947, 1950) i Walker (1954). Používala se i jiná značení, například P, Q, R, S (Walker, 1904) nebo I, M, C, S (Pbrrin, 1942). 27 2. POPIS ZÁŘENÍ Veličina I ve vztahu (2.66) je specifická intenzita záření, která byla zavedena v kapitole 2.1. Zavedeme ideální polarizační filtry vybírající pouze lineárně polarizované záření nebo kruhově polarizované záření (pravotočivé nebo levo točivé). Použijeme označení I0o pro záření lineárně polarizované ve směru osy y, Jg0o ve směru osy x J45o a Ji35o pro záření lineárně polarizované v navzájem kolmých diagonálních směrech mezi osami x ay, I(J pro kladně kruhově polarizoané záření a Iq pro záporně kruhově polarizované záření. Pak můžeme veličiny I, Q, U, V ze vztahu (2.66) interpretovat s jejich pomocí (viz obrázek 2.5), (2.67) Veličina I udává součet intenzit v navzájem kolmých směrech lineární polarizace nebo součet intenzit opačných kruhových polarizací, měří nepolarizované záření. Veličina Q udává rozdíl intenzit ve směrech x ay, měří lineární polarizaci. Veličina U udává rozdíl intenzit v diagonálních směrech, rovněž měří lineární polarizaci. Veličina V udává rozdíl intenzit získaných ideálními kruhově polarizačními filtry, měří tedy kruhovou polarizaci. I = Io° + - ho° = h5° ~ f Ii35° — Iq + Io Q = Iqo — u = J45o - v = 28 Kapitola 3 Přenos záření V kapitole 2.1 jsme zmínili neměnnost specifické intenzity podél směru šíření záření. Přenos záření ve vakuu znamená tedy zachování záření, žádné fotony nevznikají ani nemizí. Jiná situace nastane, pokud záření cestou potká hmotu. Při vzájemném působení hmoty a záření dochází k přeměně zářivé energie na vnitřní nebo kinetickou energii a naopak, k přeměně vnitřní a kinetické energie na zářivou energii. V této kapitole rozebereme základní typy interakcí a zformulujeme rovnici přenosu záření. 3.1 Absorpce, emise a rozptyl záření hmotou Interakci záření s hmotou můžeme popsat pomocí srážek fotonů s atomy nebo molekulami. Během těchto interakcí může dojít k absorpci fotonu, emisi fotonu nebo k jeho rozptylu. Kvantově mechanický popis těchto tří základních procesů se poněkud liší od toho, co pod těmito procesy rozumíme v astrofyzice (viz Mihalas, 1978, section2.1). Ve fyzice chápeme absorpci fotonu jako kvantově mechanický proces prvního řádu, který způsobí jeden ze tří atomárních přechodů: (i) přeskok elektronu na vyšší energetickou hladinu atomu, (ii) oddělení elektronu od atomu do kontinua, kde má elektron konečnou kinetickou energii, (iii) zvýšení kinetické energie volného elektronu pohybujícího se v poli atomu. Podobně emise fotonu je kvantově mechanický proces prvního řádu, který je způsoben jedním ze tří atomárních přechodů: (i) spontánním přechodem elektronu do stavu atomu s nižší energií, (ii) rekombinací elektronu z kontinua do vázaného stavu, (iii) převodem části kinetické energie volného elektronu v poli atomu do záření. Rozptyl fotonu je potom kvantově mechanický proces vyššího řádu s definovaným centrem rozptylu. Naopak v astrofyzice je pojem pravé absorpce (trne absorption) fotonu chápán jako přeměnu jeho energie na tepelnou energii. Toto nastává, když (i) foton 29 3. PŘENOS ZÁŘENÍ Zde chybí obrázek Obrázek 3.1: Ilustrace absorpce, emise a rozptylu ve spektrálních čarách ionizuje atom, (ii) foton je absorbován elektronem pohybujícím se v poli atomu (volně-volná absorpce), (iii) atom je fotoexcitován bez následné emise (foton je srážkově zničen - termalizován). Tento proces pravé absorpce se liší od od rozptylu, kdy je atom místo srážkové deexcitace deexcitován zářivě. Tomuto procesu se pak říká rozptyl záření v čáře (line scattering), i když to není rozptyl v kvantově mechanickém smyslu. Podobným rozptylovým procesem (absorpce záření následovaná emisí) je rozptyl na vázaných elektronech (Rayleighův nebo Rama-nův). Dalším rozptylovým procesem je například rozptyl na volných elektronech (Thomsonův nebo Comptonův). Tento rozptyl je rozptylem i v kvantověmecha-nickém smyslu. K absorpčním procesům existují opačné procesy, kdy se foton uvolňuje (emisní procesy), (i) foton vzniká při rekombinaci elektronu, (ii) foton je vyzářen elektronem pohybujícím se v poli atomu (volně-volná emise známá též jako brzdné záření), (iii) foton je vyzářen na úkorjfcLiálni^kŕgie prostředí (tepelná emise). Při tomto (astrofyzikálním) popisu vzniká řada nejasně klasifikovatelných procesů, například v mnohohladinovém atomu, kdy je absorpce fotonu následována kombinací několika emisních procesů, z nichž některé mohou být srážkové a jiné zářivé. Tyto procesy pak popisujeme soustavou rovnic kinetické (statistické) rovnováhy. Kromě uvedených procesů může docházet i k jiným procesům, při nichž je vyzařováno nebo pohlcováno záření, například urychlování nabitých částic v cou-lombickém poli jiné nabité částice (nejen elektronu), k záření pohybujících se nabitých částic buď nerelativisticky (cyklotronové záření) nebo relativisticky (syn-chrotronové) záření (více viz Rybicki and Lightman, 1979). V popisu přenosu záření pomocí jeho intenzity charakterizujeme interakci záření s hmofu porÄcí makroskopických veličin. 3.1.1 Absorpční koeficient Pro popis procesů, kdy je během interakce záření s hmotou záření pohlceno, zavedeme makroskopický absorpční koeficient x(r, n, v, t). Pro tuto veličinu se někdy (často) používají i jiné názvy, jako například extinkční koeficient, extinkce nebo opacita. Záření o intenzitě I(r, n, v, ť) ve frekvenčním intervalu du se šíří podél paprsku ve směru n do prostorového úhlu dzu. Dopadá kolmo na plošku dS objemového elementu délky ds. Při průchodu tímto elementem je za čas dt 30 3. PŘENOS ZÁŘENÍ pohlcena energie óE, která je daná vztahem SE = x(r, ni vi t)I(r> ni vi ~£) diSds dzu du dt. (3.1)1 V tomto koeficientu jsou formálně zahrnuty všechny možné absorpční i rozptylové procesy. Podrobněji se jimi budeme zabývat v kapitole 5. Rozměr absorpčního koeficientu [x] = cm-1. Převrácenená hodnota absorpčního koeficientu (1/x) je střední volná dráha fotonu. Ve statickém prostředí můžeme často považovat absorpční koeficient za izotropní. Často se používá i hmotnostní absorpční koeficient (mass absorption coefficient), který zde označíme x, x(r,n,u,t) = Xy ' ' ' }, (3.2) PÍT) což je v podstatě účinný průřez na jednotku hmotnosti. Jeho rozměr je [x] = cm2g_1. Často se mu říká opacita, což je vzhledem k definici opacity (3.1) matoucí i vzhledem k tomu, že značení není vždy jednotné (používají se symboly k, x i k). Jeho výhodou je fakt, že nezávisí na hustotě prostředí. Proto i v prostředí, kde se hustota mění řádově (například hvězdná atmosféra), se x(r, n, u, ť) jako funkce r mění jen málo. 3.1.2 Emisní koeficient Pro popis emise zavedeme makroskopický emisní koeficient r/(r, n, u, ť). Pro tuto veličinu se také používá název emisivita. Z objemového elementu ohraničeného ploškou dS a délkou ds vychází během doby dŕ záření ve frekvenčním intervalu du, které se šŕrí podéJ^^prsku fe směru n do prostorového úhlu dzu. Vyzářená energie je dána vztahem SE = i](r, n, v, t) dSds dzu du dt (3.3) V tomto koeficientu jsou formálně zahrnuty všechny možné emisní procesy, jak termální, tak i rozptylové. Podrobněji se jimi budeme zabývat v kapitole 5. Rozměr emisního koeficientu je [rj\ = erg • cm~3 • sr_1 • s_1 • Hz-1. 3.2 Rovnice přenosu záření Rovnici přenosu záření lze bez nadsázky považovat za jednu z nejdůležitějších astronomických rovnic. Odvodíme ji na základě úvah o energetické rovnováze v objemovém elementu ds dS. Nechť na plošku dS dopadá za čas dŕ kolmo zářivá energie z frekvenčního intervalu du ve směru n z prostorového úhlu dzu (viz 31 3. PŘENOS ZÁŘENÍ_f \ Obrázek 3.2: Odvození rovnice přenosu záření. Z (Mihalas, 1978, obr. 2-1, str. 31) (zkopírováno 10). obrázek 3.2). Tato energie je dána vztahem (2/1), 5£ =yJ(ř, n, u, t) dS dzu du dt. Po průchodu elementární vzdáleností ds se tato energie změní na 58' = I(r + Ar,n,u,t + At) dS dzu du dt. Na elementární vzdálenosti ds je absorbována energie daná vztahem (3.1), ó£3l = x(r, n, v, t)I(ri n-> v-> ^) ds dzu dudt a emitována energie daná vztahem (3.3), óSe = rj(r, n, v, ť) dS ds dzu du dt. Pro tyto energie platí 5£' -ô£ = -ô£sl + ô£J (3.4) Po dosazení do tohoto vztahu dostaneme [I (r + Ar, n,u,t + At) - I(r, n, v, t)] dS dzu du dt = = [i](r, n, u, t) — x(r, ni vi t)I(r> ni vi t)] dS dzu du dt. (3.5) Rovnice (3.5) vyjadřuje, že rozdíl mezi množstvím energie v místě r + Ar a čase t+At a v místě r a čase t (levá strana) je stejný jako množství energie absorbované a emitované hmotou mezi místy r a r + Ar. Ozna/H^^Ar =\As/c, kde As je vzdálenost, kterou urazí paprsek za čas At z místa r, kde byl v čase t. Pro intenzitu záření v místě r + Ar a čase t + At můžeme pomocí derivace ve směru psát I (r + Ar, n,u,t + At) = J(r, n, u, t) Dosazením z (3.6) do (3.5) dostaneme 1 dl dl c dt ds ds. (3.6) ld_ d_ c dt ds J(r, n, u, t) = r](r, n, u, t) - x(r, n, u, t)I(r, n, u, t), (3.7) 32 3. PRENOS ZARENI což můžeme vyjádřit pomocí směru paprsku n a operátoru V jako 1 «9 1 ^ A cot J Často se používá rovnice přenosu záření pro časově nezávislý problém 0.1(7* Tt ij ti n-V/(r, n, v, t) =-' — = i](r,n,u,t) — x(r,n,u,t)I(r,n,u,t) (3.9) ds I když rovnice přenosu záření obsahuje explicitně pouze časové a pi^^orové derivace, je to ve své podstatě integrodiferenciální rovnice, protože opacita x a emi-sivita r] obecně závisejí na střední intenzitě záření, jak uvidíme v kapitole 11.2. 3.2.1 Rovnice přenosu záření jako Boltzmannova rovnice Boltzmannova rovnice Nechť f (r, p, t) je rozdělovači funkce libovolných částic vyjadřující jejich číselnou hustotu v elementu fázového prostoru (r, r + dr), (p,p + dp). Sledujeme vývoj f za čas^f^fc^kterem se r změní na r + vp dt a p na p + fext dt, fext je vnější síla působící na částice. Pro funkci f pak platí Boltzmannova kinetická rovnice § + («P • v) f + (/-y^f^ígí) , (3.io) coll kde (Df/Dr)coll je tzv. srážkový člen. Boltzmannova rovnice pro fotony Pro fotonový plyn bez obecně relativistických efektů je /ext = 0, foton se v inerciálním systému pohybuje po přímce s rychlostí vp = cn, přičemž frekvence zůstává konstantní. Distribuční funkce fotonů fR je se specifickou intenzitou svázána vztahem fR = c2/(h4u3)I, číselná hustota fotonů vztahem (2.4), fN = I/{chv). Dosadíme do (3.10) f = fR. Srážkový člen bude vyjadřovat rozdíl počtu absorbovaných a emitovaných fotonů, dostaneme ho jako rozdíl emitované a absorbované energie poděleného energií fotonu hu. Dostáváme (Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 11.27) chv dt c(n-V)I v-x? hu (3.11) Rovnice přenosu záření je Boltzmannova rovnice relativistického plynu neintera-gujícího s vnějšími silami, ale silně interagujícího s hmotou. 33 3. PŘENOS ZÁŘENÍ 3.2.2 Plaiiparalelní přiblížení v rovinné geometrii V případě jednorozměrné planparalelní atmosféry zmíněné v kapitole 2.7.1 jsou derivace podle souřadnic x ay nulové, d d Ir- = ^ = 0 (3.12) dx dy a pro složku jednotkového vektoru ve směru osy z platí nz = — = cos# = //. (3.13) ds Z rovnice (3.8) tak dostaneme 1 d_ d_ c dt ^ dz I(z, fi, v, t) = r](z, fi, v, t) - x(z, fi, v, t)I(z, fi, v, t), (3.14) pro případ časově nezávislé (d/dt = 0) atmosféry dl(z,fi, v) \i-—-= y{z, n, v) - xjz, V^I^Uim (3-15) 3.2.3 Sféricky symetrické přiblížení V daném bodě sféricky symetrické atmosféry označuje 9 úhel mezi radiálním směrem a směrem šíření záření n. Lokální azimut označíme 0. Vzhledem ke sférické symetrii platí h=0- /-^yv7 0.16) Z obrázku 3.3 vidíme, že pro element délky platí ds = drr0 + r d90o, přičemž dr = cos 9 ds, r d9 = — sin 9 ds (pro V ds platí d9 < 0), r0 a 0O jsou jednotkové vektory v odpovídajících směrech. Derivace ve směru ds přejde na tvar d dr d ^ d9 d ^ d sinč? d d ^ 1 — jŕ d ^ ds iTds dr^í ds 09 dr r 09 ^ dr r dfi Z rovnice (3.7) dostaneme 1 d d 1-fi2 d - — + //— c dt dr r dfi pro časově nezávislý případ (d/dt = 0) je I(r,fi, v,ť) = ri(r,n, v,t)-x(r,n, u,t)I(r, fi, u,t), (3.18) + 1-^dI^ = V(r,v) - X(r,„)/(r,v). (3.19) dr r Ofj, 34 3. PŘENOS ZÁŘENÍ O ± dQ O Obrázek 3.3: Geometrické vztahy mezi souřadnicemi v lokální sférické geometrii (obrázek Mihalas, 1978, Fig.2-2, (zkopírováno 12)). 3.3 Optická hloubka Veličinu popisující schopnost hmoty absorbovat záření o frekvenci v v místě r na elementární vzdálenosti ds zavedeme diferenciálním vztahem kde rs je optická hloubka podél paprsku s. Integrací této rovnice získáme optickou vzdálenost z místa sx do místa s2, která je různá pro různá místa si as2, tím i pro různé paprsky, podél nichž se šíří světlo. Protože převrácená hodnota opacity (1/x) odpovídá střední volné dráze fotonu, udává optická hloubka (3.23) počet volných drah fotonu mezi místy sx a s2. Jinými slovy optická hloubka měří vzdálenost mezi dvěma místy v jednotkách střední volné dráhy fotonu. Prostředí, jehož optická hloubka je velká, t(u) 3> 1, je prakticky neprůhledné, říkáme mu opticky tlusté. Naopak pokud platí, že t(u) 1. Tímto modelem bývají popisovány hvězdné atmosféry. V případě osamocené hvězdy na ni nedopadá žádné záření, případně můžeme dopadající záření zanedbat. V tom případě můžeme horní okrajovou podmínku vyjádřit vztahem (3.31a) s I = 0, l[rv = rmin,A^0 (-1 v) I{rv = rmax(z/),/i, v) = I+(ji,u) = S(/2,u) H--—-— (0 < // < 1) árv (3.33b) které vyplývá z difúzního přiblížení (kapitola 6.1). Alternativně můžeme spodní okrajovou podmínku nahradit analytickým výrazem (viz Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 11.84) vyjadřujícím omezenost specifické intenzity, lim I{rv^,v)e-Tvtií = 0, (3.33c) který je vhodný pro analytické výpočty. 38 3. PŘENOS ZÁŘENÍ 3.6 Momenty rovnice přenosu záření Momentové rovnice přenosu záření dostaneme vynásobením rovnice přenosu pro specifickou intenzitu (3.8) mocninami vektoru směru šíření záření n a následnou integrací přes všechny směry (podobně jako v kapitole 2.6). Použití momentů v rovnici přenosu záření odstraní explicitní úhlovou závislost této rovnice. Integrací rovnice (3.8) přes zu (všechny směry) dostaneme s využitím definic (2.13) a (2.19) momentovou rovnici přenosu záření nultého řádu 47t QJv ľ ~~gf + V • ^ = * [r]v{n) - Xv{n)Iv{n)} dzu. Pro zjednodušení zápisu neuvádíme explicitně závislo^^i r a ŕ. S využitím definice (2.15) dostaneme rovnici pro monochromatickou zářivou energii dERu dt +V • Tv = j [rjv(n) - Xu{n)Iu{n)\ dzu. (3.34a) Vynásobením rovnice (3.8) n/c a poté její integrací přes zu dostaneme momentovou rovnici přenosu záření prvního řádu, což je v podstatě rovnice monochromatické hybnosti záření, 1 v , . PRu = - l^h^^^Jn)Iv(n)\ áw. (3.34b) cz ot C J í V momentových rovnicích přenosu záření, podobně jako hydrodynamických momentových rovnicích, vystupují najednou momenty různých řádů. Rovnice nultého řádu svazuje momenty nultého a prvního řádu, rovnice prvního řádu svazuje momenty prvního a druhého řádu. Pokud budeme chtít řešit problém přenosu záření pomocí momentů, budeme mít vždy o jednu neznámou více než rovnic. Proto je nutné systém momentových rovnic doplnit nějakou další rovnicí svazující použité momenty. Při řešení problému přenosu záření pomocí momentových rovnic nultého a prvního řádu se používá vztah (2.25), kterým jsme zavedli Eddingtonův tenzor, za předpokladu, že hodnotu Eddingtonova tenzoru známe. Integrací rovnice (3.34a) přes všechny frekvence dostaneme rovnici pro celkovou zářivou energii, kterou označíme cG° (stejně jako Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 11.49), d E ľ°° ľ -JL + V-W=J áu j[nv(n)-xÁn)IÁn)}ázu = -cG°, (3.35a) kde cG° označuje celkovou míru přenosu energie mezi hmotou a zářením (net rate ofradiative energy deposition). Podobně integrací rovnice (3.34b) přes frekvence dostaneme rovnici celkové hybnosti záření /l dT c2 dt PR = ^ J dv (j) n \r)v(n) - Xv{n)Iv{n)] dzu = -G. (3.35b) 39 3. PŘENOS ZÁŘENÍ Veličina G v rovnici (3.35b) je hustota čisté zářivé síly. Obě veličiny, cG° a G, se využívají v zářivé hydrodynamice. Často se využívají zjednodušené tvary momentových rovnic pro různé speciální případy. Ve statickém prostředí je opacita Xu(n) izotropní. Pokud budeme navíc předpokládat, že všechny rozptylové procesy jsou izotropní, bude i emisivita riv(n) izotropní. V tomto případě můžeme rovnice (3.34) zjednodušit + V • Tv = 47t (Vv - XuJu), w (3.36a) 1 Q /U 1 - + V • PR, = — Xv Tv. (3.36b) cA dt c Integrací rovnic (3.36) přes frekvence od 0 do oo dostaneme analogii vztahů (3.35) pro izotropní opacitu a emisivitu, dER V . T = 4?r / (r\v- XvJv) Jo (3.37a) dt 1 1 V-PR = — / Xv^váv\ (3.37b) oo C2 dt V časově nezávislém prostředí platí vztahy (3.36) a (3.37) bez časových derivací. 3.6.1 Momentové rovnice pro jednorozměrnou časově nezávislou atmosféru Dalšího zjednodušení můžeme dosáhnout pro případ prostředí, jehož vlastnosti závisejí jen na jedné prostorové souřadnici. Nadále předpokládáme statické časově nezávislé prostředí. Planparalelní atmosféra V případě planparalelního časově nezávislého prostředí (kapitola 2.7.1) přejdou rovnice (3.36) na tvar (podle 2.31 je divergence toku (V • J-)z = dTzjdz = AndH/dz, divergence tenzoru tlaku je vyjádřena vztahem 2.37) dH (z) vK ) =Vv(z)-Xv(z)Jv(z) (3.38a) ČlZ dKv{z) -Z(z)Hu(z) (3.38b) dz kde jsme využili definice (2.32) a rovnice (2.35). K uzavření systému momentových rovnic použijeme rovnici definující Eddingtonův faktor (2.43), ale bez časové závislosti, fK,„\ _ KÁZ) '"<*> = W <339) 40 3. PŘENOS ZÁŘENÍ Pomocí této rovnice můžeme rovnice (3.38a) a (3.38b) sloučit do jedné rovnice druhého řádu d2 (f?(z)Jv(z)) Jv{z)-Sv{z). (3.40) dr2(^) Rovnici doplníme o vhodné okrajové podmínky na obou okrajích. Sféricky symetrická atmosféra V případě sféricky symetrické atmosféry (ka pitola 2.7.2) dostaneme (divergence toku je (V • J-)r = (l/r2) d (r2Jr)/dr, di vergence tenzoru tlaku je vyjádřena vztahem 2.44) 1 d [r2Hv(r r2 dr dKv{r) , 3Kv(r)-Jv(r) dr vAr) ~ Xv(j)T{rY (3.41a) -XÁr)H/m- (3.41b) Soustavu momentových rovnic uzavřeme podobně jako v planparalelním případě. Zavedeme-li kromě Eddingtonova faktoru f„(r) ještě i funkci sfetičnosti qv(r) vztahem (viz Auer, 1971) -i dr qv{r) r můžeme rovnici (3.41b) přepsat jako 1 d[qv(r)Kv(r)] qv(r) dr Xu(r)Hu(r) (3.43) Odtud po zavedení proměnné Xv vztahem dXv(r) = _^O^íiLJ. ^r dostaneme Derivaci podle r nahradíme derivací podle Xv i v rovnici (3.41a), d{r2Hv{r)) r 4 dXv(r) qv(r) [Ur)-Sv(r)]. (3.44b) J^wniceÍT3.44) zkombinujeme a tím můžeme soustavu rovnic (3.41) přepsat jako jednu rovnici druhého řádu (viz Auer, 1971) d2 [LKqAr)JÁr)} _ r4 dX2(r) qv(r) 41 [Jv{r)-Sv{r)\. (3.45) 3. PŘENOS ZÁŘENÍ Uzavření systému momentových rovnic dosáhneme pomocí Eddingtonova faktoru (3.39). Je-li fy(r) dané, je systém rovnic uzavřen a lze jej snadnaLvyřešit! Jednoduchou uzavírací approximací je tzv. Eddingtonova aproximace, kdy pokládáme f„(r) = 1/3. Přesnějších výsledků však dosáhneme iterativním určením Eddingtonova faktoru f„ (r), kterým se budeme zabývat v kapitole 7.5.2. 3.7 Rovnice přenosu pro polarizované záření rovnice pro Stokesovy parametry, r] z kvantovky fxi Xq Xu Xv \ u\ d q Xq Xi Pv -Pv q ds u Xu -Pv Xi PQ u \ flu \y) \Xv Pu -PQ Xifl \y) formálně (3.46) as propagační matice K = — (3.47) d ds /A q u f o Xq Xu \Xv ÍXi 0 o o Xi o o Xq 0 o o Xu 0 i° o Xv\ /o o o/ o lXi o q u o o XiJ í° o o /A q u o o -pv Pu 0 Pv 0 o \ -Pu PQ -PQ 0 ) q u na pravé straně rovnice (3.48) zleva: (Vi\ Vq Vu XnvJ (3.48) absorpční matice absorpce (zeslabení) záření - zobecnění absorpčního koeficientu pro polarizované záření dichroická matice diferenciální absorpce různých polarizačních stavů; absorpční vlastnosti závisejí na směru elektrického pole (polarizaci) (Xq» Xu, Xv) 42 3. PŘENOS ZÁŘENÍ disperzní matice rozfázování složek vektoru elektrického pole anomální disperze (Pq» Pu, Pv) příklad: pv způsobuje rotaci směru lineární polarizace 43 Kapitola 4 Termodynamická rovnováha V této kapitole shrneme základní výsledky statistické mechaniky klasických (rozlišitelných) částic, které budeme v dalších částech potřebovat (Boltzmannova statistika). Z Boltzmannova zákona S = k ln W svazujícího entropii ideálního plynu S s termodynamickou pravděpodobností makro stavu W (která je úměrná počtu mikrostavů) dostaneme (viz například Kvasnica 1983, kapitola III.2 nebo Hubeny and Mihalas 2014, Section 4.2) pro rovnovážné rozdělení stavů w* = n*/J\í (kde w* je pravděpodobnost nalezA částíce^^^tavuTř, n* je počet částic ve stavu i a J\í je celkový počet částic) vztah1 kde U = ^íQí exp (—/?£«) je kanonická partiční funkce, g,i je statistická váha stavu i, (5 je termodynamický parametr, který je roven \/{kT), T je teplota a je energie stavu i. Tomuto rozdělení se říká Gibbsovo nebo také Boltzmannovo rozdělení. Rovnovážné rozdělení vnitřních stupňů volnosti dostaneme z Gibbsova rozdělení. Pro systémy v rovnováze platí rozdělovači funkce, kterou zde budeme nazývat Boltzmannovou.pomocí rovnice (4.1) můžeme vyjádřit rozdělení excitačních stavů i pro daný libovolný iont j, exp (-/5ej) (4.1) 4.1 Excitační rovnováha (4.2) Hvězdičkou v horním indexu (n*) budeme označovat rovnovážné hodnoty obsazení stavů (koncentrací). 44 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA Zde Si j je excitační energie stavu i iontu j, je statistická váha tohoto stavu, n*j je jeho rovnovážná koncentrace, N* označuje rovnovážnou koncentraci V>ntů j S U j (T) = Y^9ij exp Í-^Ů C "^kj) je partiční funkce iontu j. Pro poměr n* (rovnovážná koncentrace stavu i) k rig (rovnovážná koncentrace základního stavu) můžeme při vynechání indexu iontu j psát n* 9i f £A (A A, kde g0 a g,i jsou odpovídající statistické váhy a Si je excitační energie stavu i. Vztah (4.4) můžeme snadno zobecnit pro poměr obsazení libovolných stavů / a m, ^ = - exp = 9~ exp (-^) , (4.5) ní 9i V kT J W ^^fcT y kde z/;m je frekvence přechoáPmezistl^^a m. Rovnice (4.4) nebo (4.5) nazýváme Boltzmannovou excitační rovnicí, případně Boltzmannovým rozdělením excitačních stavů. Definice partiční funkce (4.3) je přímočará, součet se provádí přes všechny energetické stavy atomu či iontu. Součet ve vztahu (4.3) diverguje, ale to platí pouze pro izolovaný atom nebo iont (ve vakuu). V reálném prostředí je atom či ion obklopen jinými částicemi, které svým působením způsobují snížení ionizační energie. Tím se staneÄene všafchny vázané stavy existují. Pro snížení ionizační energie iontu j můžeme přibližně psát (viz Mihalas, 1978, rovnice 9-106) Ze2 M;j^\V (4-6) kde (Zj je náboj iontu j) a D kT \ne + £\ Zjrij je Debyeova délka (viz Mihalas 1978, rovnice 9-99; Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 8.79)2. Vztah (4.6) znamená, že ionizační energie se sníží u všech částic 2Ve fyzice plazmatu se Debyeova délka často značí Xd- Toto označení si ponecháme pro Do-pplerovskou pološířku spektrálních čar (5.51) vyjádřenou ve vlnových délkách. 45 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA daného druhu stejně. Fyzikálně přesnější je však statistické zahrnutí snížení ionizační energie pomocí pravděpodobností obsazení energetických hladin Wi (Däp-pen et al., 1987; Hummer and Mihalas, 1988), neboť lze těžko předpokládat, že vliv okolních částic bude na každou částici zcela identický. Partiční funkci pak vyjádříme ve tvaru Uj(T) = exp Í-^Ů ^^y^^*/8) Pravděpodobnosti obsazení energetických stavů w,i nabývají hodnot z intervalu (0,1). 4.2 Rovnovážné rozdělení rychlostí částic Rychlosti pohybu všech částic mají v rovnovážném stavu hodnoty odpovídající Maxwellovu rozdělení. Objemový element fázového prostoru částic můžeme vyjádřit jako dpx dpy dpz dV = m3 dvx dvy dvz dV = Anm3v2 dv dV, (4.9) kde m je hmotnost uvažovanýcn čjktic. P^fc^tavů v elementu fázového prostoru (statistickou váhu) dostaneme podělením objemového elementu (4.9) objemem elementární buňky fázového prostoru (h3) Airrrrv2 dv dV 9 trans = -^3^^^ (4.10) Do rovnice (4.1) dosadíme za energii kinetickou energii částic \,mv2 a statistickou váhu z rovnice (4.10). Pro pravděpodobnost dwe nalezení částice v objemovém elementu (4.9) dostaneme d6n*(x,v) Anm3 1 mv d"6 = "^ŇT" = ^^6XP {-2kř)V dvdV (4-U) Partiční funkce translačních pohybů ř7trans je (McQuarrie, 1976, rovnice 5-5 nebo 5-8) í2nmkT\^ Utians= í —j^—J V (4.12) Integrací (4.11) přes prostor (dV) a dosazením za ř/trans z (4-12) dostaneme prav-"děmdobnost dw(v), že rychlost částice leží v intervalu (v, v + dv), , . d3n* (v) „. , / m \ f / mv2 \ 9 dw(v) = —^ = f (v) dv = (—J exp ( -^v2 dv, (4.13) 46 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA což je Maxwellovo rozdelení rychlostí. Nejpravděpodobnější rychlost částice je Í2kŤ v \ vůl = \ - ^4.14)1 V m která se často nazývá termální nebo tepelná rychlost daného druhu částic. Kromě toho můžeme zavést střední kvadratickou rychlost a/ (v2) = a/ (3kT) j m (v termodynamické rovnováze mají všechny částice stejnou kinetickou energii ^m(v2) = \kT) a pro střední kvadratickou rychlost ve směru pohledu (line-of-sight) můžeme psát a/(v2) = a/(kT) jm. Částice s translační i vnitřní energií. Pohybující se atomy nebo ionty jsou příkladem takových částic. Jejich partiční funkce musí zohledňovat obě energetická rozdělení, V případě řídkých plynů jsou jednotlivé partiční funkce nezávislé a můžeme vztah zjednodušit. Partiční funkci můžeme rozdělit na součin jednotlivých partičních funkcí, i t Tuto příjemnou vlastnost použijeme v dalším odvozování. 4.3 Ionizační rovnováha Vztah pro ionizační rovnováhu dostaneme stejně jako Mihalas (1978, kapitola 5-1) aplikací Boltzmannovy excitační rovnice na proces ionizace ze základního stavu neutrálního atomu n0,o do základního stavu iontu n0,i. Symbolem n0ji(v) označíme počet iontů v základním stavu, kolem kterých je volný elektron s rychlostí v intervalu (v, v + dv). Statistická váha základní hladiny neutrálního atomu je g0)0, statistická váha stavu "volný elektron + iont v základním stavu" v souladu ^ (4.16) je g (v) = g^iSfeiectron, kde g0,i je statistická váha základní hladiny iontu a Electron je statistická váha volného elektronu. Použitím (4.5) na výše uvedené stavy dostaneme no,i(v) = 9ÍT)_ ex ( £io + \mev2\ no,o 9o,o V kT J 47 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA 90,l9electTon f £/0 + \m 1) všech prvků, prvků je celkem K, každý prvek k má Jk kladně nabitých iontů) k jk k j/ k jk ne = J-^!^^ÄV?5^ j/jfc(rie,T) = NN^2ak^2jfjk(ne,T) k=l j=l fc=íl j=l k=l j=l k jfe = (N-ne)J2^kJ2jfi^e,T) (4.33) k=i j=i Pokud jsou elektronová hustota ne a teplota T známé, celkovou hustotu N a ionizační podíly fjk spočteme snadno. Pokud však budeme řešit úlohu určení elektronové hustoty ne pro zadanou teplotu T a celkovou koncentraci N, musíme řešit nelineární rovnici. Numerické řešenítakovéto rovnice snadno získáme metodou linearizace (New-ípnovou-Raphsonovou metodou). Označíme k jk F(ne) = ^äk^jfjkinvT) (4.34) fc=i j=i 3Abundance se často vyjadřuje i vzhledem k vodíku (viz Příloha D). 50 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA a rovnici (4.33) přepíšeme ne = (N- ne)F(ne) případně jako 1 N - ne * \4.35a)i F(ne) 0. (4.35b) Tuto rovnici budeme řešit linearizací. Předpokládejme, že máme nějaký odhad řešení této rovnice, který je však nepřesný. Řešením bude hodnota opravená n (old) o nějaký člen ône. Nahradíme ne —> n(°lď) + ô n 1 N in. (old) ône) F (n. (old) ônP 0 (4.36) Zlomek na pravé straně rozvineme do prvního řádu, 1 1 1 OF -ônP F(n(eold) + óne) F(nfd)) F2 dne dosadíme do (4.36), zanedbáme členy s (óne)2, vyjádříme N - niold) I 1 ônP 1 F 1 1 - ^ (old) OF (4.37) p2 9í« a spočteme novou hodnotu elektronové hustoty r?4new) = n(°ld^ + 5ne. Pokud óne není "dostatečně malé", řešíme znovu rovnici (4.36) s n (old) = n(new)_ Iterační proces končíme, když je óne "dostatečně malé". Otázkou samozřejmě zůstává, kolik je "dostatečně malé". V praxi bývají hodnoty řádu 1CT3 uspokojivé, pro vyšší přesnost výpočtu je ale vhodnější volit řádově menší hodnoty (například io-7). 4.4 Disociace molekul Pro jednoduchost budeme uvažovat obecnou dvouatomovou molekulu AB s diso-ciační energií D0, která se bude disociovat na jednotlivé atomy A a B. Na disociaci molekul lze použít postup užitý při odvození Sahovy ionizační rovnice (viz také Schadee, 1964; Tatum, 1966). Analogicky rovnici (4.17) můžeme psát (NX,X = 51 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA A, B, AB značí počet částic A, B, AB v nějakém objemu V, podobně Ux jsou odpovídající celkové partiční funkce) ŇAŇB UAUB ( D0\ n exP "Př • (438) NAB UAB \ kTJ Celkové partiční funkce lze podle rovnice (4.16) rozdělit na translační a vnitřní část (například Uab = ( Uab) trans (Uab)^), translační část je dána vztahem (4.12), vnitřní část popisuje excitaci, rotaci a vibraci molekul. Po dosazení za translační partiční funkce dostaneme disociační rovnici NANB f2nmiedkT\%{UAUB\ ( J2&\ ÍA,Q, Nab V & J V UAB J int " \ kT kde Na, Nb a Nab jsou koncentrace částic, mred = mArriB/(rriA + ms) je redukovaná hmotnost a indexem int označujeme vnitřní partiční funkce. Vnitřní partiční funkci molekul lze přibližně rozdělit I (Uab)íiú, = (£^AB)exc(£^AB)rot(£^4b)vib (4.40) kde (uab)exc značí excitační (elektronickou) partiční funkci, (Uab)rot je rotační partiční funkce a (Uab)^ je_ vibrační partiční funkce. 4.5 Záření v termodynamické rovnováze Pro specifickou intenzitu můžeme s využitím vztahu mezi specifickou intenzitou záření a koncentrací fotonů ve fázovém prostoru (2.10) a rovnosti rozdělovačích funkcí fotonů pro nepolarizované záření (2.12) psát rf ^ hf^. 2h4u3c 2hu3 J(z/) =^H«^^^ = —T^- (4.41) Jelikož fotony patří mezi bosony, pro rovnovážnou hodnotu číselné hustoty na použijeme ze statistické fyziky vztah Boseho-Einsteinova rozdělení 1 ■. (4.42) a -p(^)-ť Pro specifický případ fotonů platí, že energie e = hu, chemický potenciál /i = 0 a s využitím vztahu (4.41) dostaneme pro rovnovážné rozdělení fotonů při teplotě T vztah 2hu3 1 BV(T) = —--77^—, (4-43) c exp(||)-l 52 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA což je Planckova funkce4. Uvedeme i její limitní případy. Pro vysoké energie záření (hu/{kT) 3> 1) můžeme psát zjednodušený vztah BAT)*—ew (-—J, ^4) který se nazývá Wienův rozdělovači zákon nebo také Wienova limita5. Naopak pro nízké energie záření (hu/{kT) 3 což je Stefanův zákon7, který vyjadřuje, že hustota energie záření černého tělesa je úměrná čtvrté mocnině teploty. Konstanta úlmemos^5^= Ana^/c se nazývá zářívá konstanta (radiation constant), někdy také Stefanova konstanta, aR = 7.56 • l(T15ergcm-3K-4. 4.5.2 Absorpce a emise v termodynamické rovnováze Z termodynamiky víme, že pro systém v tepelné rovnováze je záření izotropní, intenzita záření je závislá jen na frekvenci a teplotě a systém je v ustáleném stavu. To znamená, že množství pohlcené energie a množství vyzářené energie musí být stejné. Tuto vlastnost vyjadřuje Kirchhoffův zákon (viz např. Unsôld 1955, str. 5, Hubeny and Mihalas 2014, kapitola 4.3), V(u) = k(u)J*(u), (4.52) kde J*(v) je rovnovážná hodnota střední intenzity záření. Tato rovnice udává vztah mezi opacitou a emisivitou v případě termodynamické rovnováhy. Rovnovážnou hodnotu střední intenzity záření popisuje Planckova funkce B (v) (4.43). 4.6 Lokální termodynamická rovnováha V termodynamické rovnováze jsou všechny procesy v rovnováze se svými inverzními procesy (například excitace je v rovnováze s deexcitací). Této důležité vlastnosti se říká detailní rovnováha. 7Stefanův zákon byl nejdříve odvozen na základě empirických dat (Stefan, 1879), poté Bol-tzmann (1884) přidal jeho teoretické vysvětlení na základě termodynamických úvah (Planckův zákon 4.43 nebyl v té době ještě znám). Termodynamické odvození Stefanova zákona je uvedeno i v knize Chandrasekhar (1958, kapitola 11.11.). 54 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA V termodynamické rovnováze mají jednotlivá rozdělení fyzikálních veličin rovnovážná rodělení. Pole záření má Planckovo rozdělení, které jsme shrnuli v kapitole 4.5. Rovnovážné rozdělení excitačních stavů je popsáno Boltzmannovým rozdělením uvedeným v kapitole 4.1. Rovnovážné rozdělení ionizačních stavů je dáno Sáhovým rozdělením popsaným v kapitole 4.3. Rychlosti částic mají Ma-xwellovo rozdělení popsané v kapitole 4.2. Ve všech rovnovážných rozděleních vystupuje stejná termodynamiclká teplota. Z pozorování je patrné, že záření, které dopadá na Zemi z hvězd, rovnovážné rozdělelní nemá. Už samotný fakt, že vidíme hvězdy, znamená, že hvězdné záření není izotropní a tudíž ani rovnovážné. Silnější argument získáme pohledem na hvězdné spektrum. Ve spektru můžeme vidět ostré ionizační hrany m úzké spektrální čáry, ani rozdělení energie ve spektru neodpovídá rovnovážnému (Plane -kovu) rozdělení. Je tedy třeba najít nějaký vhodný jednoduchý model, který by byl schopen popsat pozorované rozdělení hvězdného záření. Tomuto modelu se říká lokální termodynamická rovnováha (local thermo-dynamic equililbrium, zkráceně LTE). Předpokládejme, že rovnovážná rozdělení kromě rozdělení záření platí pro každý bod prostředí, ale dovolme, aby se jednotlivá místa od sebe lišila. Pro každé rrnstclp^^flé polomovým vektorem r budeme mít obecně jiné hodnoty termodynamické teploty T{r) a koncentrace elektronů ne{r). Teplota T{r) bude parametrem jednotlivých rozdělení, Maxwellovského pro rychlosti (rovnice 4.13), Sahova pro ionizační rovnováhu (4.21) a Boltzman-nova pro rovnováhu excitačních stavů (4.5). Lokálně také bude platit rovnováha mezi pohlceným a vyzářeným zářením, kterou známe pod názvem Kirchhoffův zákon (4.52). Tento zákon říká, že poměr emisivity k opacitě je v termodynamické rovnováze roven Planckově funkci. Poměr emisivity a opacity je ale vydatnost (3.25), v aproximaci lokální termodynamické rovnováhy ji položíme rovnu Planckově funkci. Nerovnovážné pole záření pak určíme řešením rovnice přenosu záření (s je vzdálenost měřená podél směru šíření záření n) T^h,v) - B(r,n,u). (4.53) Řešením této rovnice přenosu záření s vydatností Sv = Bv dostaneme specifickou intenzitu záření pro prostředí v lokální termodynamické rovnováze. Tomuto rozdělení záření říkáme tepelné záření (thermal radiation), které se liší od záření černého tělesa (Iv =JE>v). Mikroskopické procesy V termodynamické rovnováze platí detailní rovnováha zmíněná na začátku kapitoly 4.6. V lokální termodynamické rovnováze bude detailní rovnováha platit lokálně. Podívejme se nyní podrobněji na rovnováhu mikroskopických procesů, které jsou zodpovědné za zachování rovnovážných rozdělení. 55 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA Při pružných srážkách se zachovává celková kinetická energie srážejících se částic. Zjednodušeně řečeno, pružné srážky mezi částicemi přerozdělují hybnosti mezi částicemi. Podrobný rozbor problematiky lze nalézt například v Spitzer (1956, Chapter 5). Pružné srážky vedou k rovnovážnému rozdělení rychlostí srážejících se částic. Při nepružných srážkách se přeměňuje kinetická energie srážejících se částic na jejich vnitřní energii a také naopak. Příkladem nepružných srážek jsou srážkové excitace a ionizace (a jejich inverzní procesy srážkové deexcitace a rekombinace). Tyto srážky narušují rovnovážné rozdělení rychlostí srážejících se částic. Naopak pokud je rozdělení rychlostí rovnovážné, nepružnými srážkami se excitační a ionizační rovnováha. Při zářivých procesech (interakci hmoty se zářením) se přeměňuje zářivá energie na vnitřní nebo kinetickou energii částic. Mezifty^proaesy řadíme zářivou ecitaci a deexcitaci, fotoionizaci a fotorekombinaci. Pokud není pole záření rovnovážné, zářivé procesy nejsou v detailní rovnováze. V tom případě narušují ionizační a excitační rovnováhu. Zvláštní místo mezi zářivými procesy má fotore-kombinace. K tomu, aby k procesu došlo, je třeba, aby se k iontu přiblížil elektron, takže se prakticky jedná i o srážkový proces, který ustavuje ionizační rovnováhu. Podmínky pro LTE a jejich porušení Aby bylo rozdělení rychlostí rovnovážné, je třeba aby ustavující interakce (pružné srážky) byly častější než narušující interakce (nepružné srážky). Označíme-li čas mezi pružnými srážkami íeiastic a čas mezi nepružnými srážkami ín0neiastic> Pro zachování rovnovážného rozdělení je třeba, aby platilo fc^elaSř <^*~ ^nonelastic K pružným srážkám musí docházet podstatně častěji než ke srážkám nepružným. Pokud je to splněno (což například v prostředí hvězdných atmosfér je), tak nepružné srážky mají tendenci ustavovat rovnovážné rozdělení excitačních a ionizačních stavů. Kromě toho pro rovnovážné rozdělení rychlostí jsou i nepružné srážky v detailní rovnováze. Nerovnovážné rozdělení záření, které může vzniknout řešením rovnice (4.53), naopak způsobuje, že zářivé přechody už nemusejí být v detailní rovnováze. Označíme íradiative člS^^gúinterakcemi záření s hmotou, pro splnění podmínek LTE musí platit ^nonelastic <^*~ ^radiative pro každý proces. Všechny procesy musejí být v detailní rovnováze. Nerovnovážné rozdělení záření však porušuje podmínku detailní rovnováhy pro zářivé přechody. Pro zachování LTE je tedy nutné, aby zářivé přechody byly méně četné než přechody srážkové. Pokud by však záření mělo rovnovážné rozdělení, splnění podmínky detailní rovnováhy zářivých přechodů by nezničilo. 56 4. TERMODYNAMICKÁ ROVNOVÁHA Užití LTE Přiblížení lokální termodynamické rovnováhy v rovnici přenosu záření (rovnici 4.53) použil již Milne (1921). S pomoci tohoto přiblížení se podařilo sestrojit poměrně zdařilé modely hvězdných atmosfér a předpovědět hvězdná spektra, pro řešení rovnice přenosu záření stačí znát opacitu, emisivita je dána pomocí Planckovy funkce. Problematika LTE modelování hvězdných atmosfér je pěkně shrnuta v knize Unsôld (1955). Jak jsme již uvedli, přiblížení LTE systematicky zanedbává vliv záření na obsazení energetických hladin, čímž je vnitřně nekonzistentní. PokvM je vfc skutečnosti vliv záření na ionizační a excitační rovnováhu nezanedbatelný, LTE přiblížení selhává a vede k chybným výsledkům. Více se k této problematice vrátíme v kapitole 11.1. 57 Kapitola 5 ^^^k^l Opacita, emisivita a rozptyl \m 5.1 Základní absorpční a emisní koeficienty V této části zavedeme základní koeficienty procesů absorpce a emise záření, odvodíme vztahy mezi koeficienty procesů absorpce a emise záření pro excitační a deexcitační procesy, kterým se říká vázaně-vázané přechody (přechody mezi vázanými stavy, bound-bound transitions), a pro ionizační a rekombinační procesy, kterým se říká vázaně-volné přechody (přechody mezi vázanými a volnými stavy, bound-free transitions), případně volně-vázanépřechody (free-bound transitions), podle toho, kterým směrem přechod probíhá. Vztahy odvodíme za předpokladu detailní rovnováhy, i 5.1.1 Einsteinovy koeficienty pro vázaně-vázané přechody Koeficienty A pro vyzařování (Ausstrahlung) a B pro ozařování (Einstrahlung) molekul navrhl Einstein (1916a,b) a poukázal na jejich souvislost s Planckovou funkcí při využití Boltzmannova rozdělovacího zákona excitačních stavů. Zde se přidržíme výkladu z učebnice Hubeny and Mihalas (2014), který odpovídá úvahám v práci Einstein (1916b). Pro atom v termodynamické rovnováze s polem záření budeme uvažovat přechody mezi vázanými stavy atomu (hladinami) / a u, přičemž hladina / má nižší energii než hladina u. Einsteinovy koeficienty jsou používány pro popis zářivých přechodů mezi vázanými hladinami. Koeficient B[u označuje absorpci (přechod —> u),mo opačný přechod (u —ř l) označují koeficient Aui spontánní emisi a koeficient Bui stimulovanou emisi. Pomocí Einsteinova koeficientu pro absorpci můžeme četnost (počet za jednotku času) absorpcí fotonů ze svazku záření o frek-veAi z intervalu (u, u + du) putujícího ve směru n do jednotkového prostoro- 58 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL vého úhlu dzu/{Au) zapsat jako dzu dzu riu(n, u) du—— = niBiuI(n, u) au——, (5.1)1 47T 47T kde rii je koncentrace částic ve stavu /. Četnost stimulované emise do svazku záření lze vyjádřit analogicky vztahem rT(n, v) = nuBulI{n, u) du^, 47T 47T kde nu je koncentrace částic ve stavu u. Četnost spontánní emise do svazku záření je ]f snont/ \ ďľÄ7 dzu rj {n,u)du—— = nuAuidu——. (5.3) 47T 47T V rovnici (5.3) nevystupuje intenzita záření, protože spontánní emise na poli záření nezávisí. Vztah mezi Einsteinovými koeficienty Aui, Bui a B[u určíme pro případ termodynamické rovnováhy. V termodynamické rovnováze musí být procesy přechodu mezi stavy / a u v detailní rovnováze. Z^Pfck (j^^5.2) a (5.3) dostaneme pro počet přechodů / —> u (levá strana) a u —> l (pravá strana) riu(n, u) = u můžeme zapsat pomocí četnosti ze vztahu (5.1) yvnásobenímlnergií daného přechodu hviu. 5£ = riíB^Im^b^^^^ = m (^Biu^^j I(n, vlu) dzu. (5.10) Veličina aiu^Biu^m (5.11) 47T vyjadřuje celkový účinný průřez ctiu přechodu mezi hladinami l a u. Rozměr Einsteinova koeficientu [B] = cm2erg_1s_1. Další důležitou veličinu zavedeme pomocí analogie s klasickým harmonickým oscilátorem. Uvažujeme-li, že oscilátor v elektromagnetickém poli má hmotnost me, můžeme v této aproximaci pro celkový účinný průřez ad dipólového přechodu mezi dvěma blíže nespecifikovanými hladinami psát (viz Příloha B.2) 7T£2 (Td =-• (5.12) mPc 60 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Zavedeme často používanou bezrozměrnou veličinu fiu zvanou síla oscilátoru, která vyjádří celkový účinný průřez (5.11) v jednotkách účinného průřezu klasického harmonického oscilátoru vztahem Tře2 hulu OLlu = JZ«Ocl = Jlu- = —j-Biu- P.IJ) mec 47T Pro označení účinného průřezu se někdy místo aiu použív^^.* 5.1.2 Milného vztahy pro kontinuum Nechť pv du je pravděpodobnost fotoionizace fotonemz intervalu (z/, v + dv). Označíme (jako Milné, 1924) F (v) pravděpodobnost spontánního zachycení elektronu a G (v) pravděpodobnost vynuceného zachycení elektronu. Dále označíme n0 číslenou hustotu atomů v základním stavu, rii číselnou hustotu iontů v základním stavu a ne(v) dv číslenou hustotu elektronj s rychlostmi v intervalu (v, v + dv). Rozměr n0, n\ i ne(v) dv je cm-3. Četnost (počet za jednotku času) fotoionizací můžeme vyjádřit (index bf označuje bound-free přechod, tj. z vázaného stavu do volného) rbi(n, v) = n0p„I(n, vjdv.± (5.14) Četnost rekombinací r^in, v) je dána součtem stimulovaných rekombinací „stim 'fb (n, v) a spontánních rekombfnacýjj^v), r{h(n, v) = r£°^^h r^n, v). (5.15) Počet elektronů letících kolem iontu je úměrný v dt, četnost zachycení je tedy úměrná rychosti elektronů v, vztahy pro četnosti spontánních a stimulovaných rekombinací budou rfb°n/f^^^^ nJ^t(v)F(v)v dv, (5.16a) Im,, v) ^nine(v)G(v)I(n,u)vdv. (5.16b) stim fb V termodynamické rovnováze platí Iv = Bv, n0 = n*Q, rii = n\ a detailní rovnováha ?~bf (n, v) ^Wfb(n, v). Při fotoionizaci se část energie fotonu použije na ^onizaci a část na kinetickou energii vyraženého elektronu, hu = Ej + -mev2. Diferenciací dostaneme hdu = mevdv. Potom z rovnic (5.15) a (5.16) získáme vztah n*0pvBv = n\nl{v) [F(v) + G(v)Bv] —. (5.17) rrip 61 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Odtud dostaneme Milného vztahy mezi koeficienty vázaně-volných přechodů, li/5.18a) 2hv3 G(v) n*0 í Vv exp * * í \ V hv VŤ (5.18b) S využitím vztahu ne(v) = nef(v), kde f (v) je dáno vztahem pro Maxwellovo rozdělení (4.13), a s pomocí Sahovy ionizační formule můžeme odvodit vztahy 2h v3 cz 8irm2ev2 9l Vv = —Ta--G{v). h2 g0 (5.19a) (5.19b) Vztahy (5.18) jsou analogií vztahů mezi Einsteinovými koeficienty (5.8) a podobně závisejí pouze na struktuře atomu. Platímedy i bet předpokladu termodynamické rovnováhy. 5.1.2.1 Makroskopický koeficient spontánní rekombinace Pomocí vztahů (5.18) můžeme odvodit vztah pro makroskopický koeficient spontánní emise při rekombinaci. Emitovaná energie je dána četností (5.16a) vynásobenou energií fotonu hv, dv = [riine(v)F(v)v dv] hv , w n0 V fmf riine(v) riinjM) J \ h h 2hv3 e hT pjyhv dv 'o '2hv3 ío^H^LÍ/-~ j exP n*0cM(v) 1 — exp hv VŤ dv hv VŤ BV(T) dv (5.20) kde jsme zavedli fotoionizační účinný průřez «bf = hvpv a pomocí n*0 = nxn^v) n0 nine(v) (5.21) jsme označili ĽTE obsazení hladiny "0"spočítané z aktuálních (obecně nerovnovážných) hodnot koncentrace elektronů ne(v) a obsazení rii. Pro maxwellovské rozdělení rychlostí elektronů je ne(v) = n*(v). Obsazení rii rovnovážné být nemusí. Vztah (5.21) je ekvivalentní vztahu (4.22). 62 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL 5.1.2.2 Makroskopický koeficient ionizace Makroskopický koeficient opacity pro ionizaci ze základní hladiny (znasené in-' dexem 0) s odečtením stimulované emise získáme pomocí četností (5.14) a (5.16b) po vynásobení energií hu, Kbf/(n, u) du = nopjyl^n, u) duhu — nine(v)G(y)I(n, u)vdv (5.22) Podobným postupem jako při odvozování rovnice (5.20) dostaneme s využitím vztahů (5.18b) a (5.21) Khí(u) n0 — n0 exp hu abf(^), (5.23) kde ahí (u) je účinný průřez daného přechodu a n*Q je rovnovážné obsazení hladiny 0 dané vztahem (5.21). V případě termodynamické rovnováhy (TE) se vztah zjednoduší (n0 Tin k* = n*0ahí(u) hu\ 6XP 1 -křJ (5.24) 5.2 Struktura atomů Pro každý čárový přechod, který chceme zahrnout do výpočtu opacity, potřebujeme znát jeho základní vlastnosti, což je účinný průřez včetně jeho frekvenční závislosti (profilu), jeho spodní a horní hladinu a jejich energie. Tím známe i frekvenci daného přechodu. Určení těchto základních parametrů je úkolem atomární fyziky. V analytickém tvaru je možné jen pro nejjednodušší ionty, neutrální vodík (Hl) a vodíkupodobné ionty (Hen, Lim, Beiv, atd.). Stacionární stavy těchto atomů získáme řešením Schrodingerovy rovnice pro vodíkupodobné ionty tí2 Ze2 --VV--ý = Exp (5.25) 2/x r V této rovnici je /i redukovaná hmota elektronu, = 1 /me + 1 /matom > která je různá pro každý atom i izotop. Hladiny (stavy) atomu vodíku nebo vodíkupodob-ného iontu s atomovým číslem Z jsou popsány kvantovými čísly, ^řešeni ve sférických souřadnicích ve tvaru i/j(r,u,- pro dané n energie stavů s různým / a stejným j stejné kvantová elektrodynamika —> rozdílné energie (pro hladinu 2si - Lambův posuv, experiment Lamb and Retherford 1947) výběrová pravidla pro dipólové přechody parita n popisuje symetrii stavu v prostorových souřadnicích. n = (-l)1 (5.32) 67 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL slupka term hladina K(n = 1) ls lsi L (n = 2) 2s 2si 2 2p 2pi 2 2ps 2 M (n = 3) 3s 3si 3p 3m 2 3)03 2 3d 3<Í3 2 3ťŽ5 2 N (n = 4) As 4si> 2 Ap 4)oi 2 4)03 2 Ad 4ds 2 Adä 4/ 4/' t. 2 4f7 J 2 Tabulka 5.1: Energetické hladiny a termy neutrálního vodíku pro první čtyři slupky. — 1 =>- lichá (odd), značí se indexem °, například 2p° (/ liché =>- parita lichá) + 1 =>- sudá (even), může se značit indexem e, ale neznačí se, například 2 d (/ sudé =>- parita sudá) výběrová pravidla: přechod mezi stavy nimi a n'Vm'l dovolen pro An jakékoli Att = ±1 AI = /'-/ = ±1 As = 0 * pro vodík splněno vždy, má jen 1 elektron = m J — mř = 0, ±1 pro přechody mezi složkami hladin (5.33a) jinak vyjádřeno A j = 0, ±1 kromě j = 0«/ = 0 (5.33b) 68 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL dvoufotonový proces - přechod 1sSi-h-2sSi- zakázaný • možný jako dvoufotonový (Dopita and Sutherland, 2005, kapitola 6.4)1 absorpce nebo emise dvou fotonů s v\ + z/2 = • pravděpodobnost vyzáření fotonu maximální uprostřed (pro v = u-La/2, což odpovídá 1550A) maximum emisivity není ve středu (protože je váhovaná frekvencí), ale na 2403Ä • integrací přes frekvence dostaneme Einsteinův koeficient y42sis = 8.2249s_1 možný i zakázaný magnetický dipólový přechod, pro něj je A2sis = 2.495 • 1CT6, méně pravděpodobný • dvoufotonový přechod významný v mezihvězdném prostředí (poprvé použili Spitzer and Greenstein, 1951) Hyperjemná struktura hladin vodíku • vzniká interakcí se spinem jádra atomu • základní hladina vodíku lsi 2 - spin atomového jádra i = | - f = j + i,2 Maffn^/^ 1 - u vodíku přechod mezi hladinami na vlnové délce 21.106 cm (1420.406MHz) - doba života excitovaného stavu ~ 107 let 5.2.3 Struktura mnohoelektronových atomů analytické řešení vícelelektronového systému není možné, třeba řešit numericky základní předpoklad - aproximace centrálního pole (viz například Sobelman, 1992, kapitola 2) cílem této části je seznámit se s často používaným označením elektronových energetických hladin a přechodů a také pochopit jeho základní smysl (podle Tatum 2020, viz také Tennyson 2005) a některé související zákonistosti 'Teorii dvoufotonových procesů rozvinuli Breit and Teller (1940). 69 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL elektronová konfigurace příklad: elektronová konfigurace základního stavu mědi Cu ls22s22p63s23p63d104s každý elektron má orbitální (l) a spinový (s) impulsmoment, ty spolu interagují existuje několik způsobů, jak vektory las jednotlivých elektronů sečíst a získat tak celkový impulsmoment LS vazba silnější vazba mezi všemi / elektronů; mezi všemi s elektronů nejdříve sečteme všechna / do L, všechna s do S jak zkombinujeme do J j j vazba silnější vazba mezi / a s V elektron, zkombinujeme do j, pak sečteme všechna j do J něco mezi intermediate coupling Grotrianovy diagramy - schémata energetických hladin atomů (Grotrian, 1928) 5.2.4 LS vazba (Rus sellova-S aundersova) • pro lehké prvky Z < 18 • v případě, že jsou všechny orbitální impulsmomenty silně navzájem vázány, tvoří potom celkový orbitální impulsmoment atomu L = J2l (5-34) velikost \L\ = y/L (L + l)h; L = 0,1, 2,3,... také všechny spinové momenty jsou spolu silně svázány, celkový spin atomu je (5.35) - velikost |S| = ^S(S+l)h; - pro sudý počet elektronů v obalu - 5 = 0,1,2,3,... - pro lichý počet elektronů v obalu - S = |, |, |,... 70 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL • celkový elektronový impulsmoment atomu vznikne slabou vazbou orbitálního a spinového J = L + S (5.36) - velikost | J| = ^JJ(J+l)h; Je(\L- S\; \L + S\)* - celkem 2 min (L, S) + 1 nezáporných čísel (multiplicita), - pro sudý počet elektronů v obalu - celá čísla, ' - pro lichý počet elektronů v obalu - poločísla (|, |, ...) \ - z složka J je Mľi; M e (-J; J), celkem 2 J + 1 čísel 5.2.4.1 Termy a hladiny v LS aproximaci pravidla značení - zavedli Russell and Saunders (1925), použil a upravil Hund (1927), konečnou podobu včetně označení parity zformulovali (Russell et al., 1929) term podle hodnot L se term značí (J vynecháno, aby se nepletlo s J = L + S) L 01234567 označení S P D F G H I K hladina množina stavů se stejným L, S, J se nazývá hladina parita vyplývá ze symetrie vlnové funkce 7T = (-l)E*ř* (5.37) 7T = +1 =^ sudá (even) parita, n = — 1 =^ lichá (odd) parita pravidlo: je-li součet všech / v hladině sudý, je parita sudá zápis hladiny • zapíšeme písmeno odpovídající hodnotě L • hodnota 2 S + 1 se napíše do levého horního indexu • hodnota J se napíše do pravého dolního indexu A lichá parita se zapíše do pravého horního indexu jako °, sudá se nezapíše nikam • výsledek 25+1Lj nebo 2S+1Ľ} zápis termu 71 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL • jako zápis hladiny s vynecháním J • výsledek 25+1L nebo 25+1L° statistická váha hladiny g = 2J+ 1 = (2L + 1) (2S+1) stav (podhladina) - každá hladina má 2 J + 1 stavů o stejné energm, v rkagnetic-kém poli se rozštěpí na stavy s různou energií Tabulka 5.2: Hladiny neutrálního helia He I. singlety triplety konfigurace term hladina term hladiny ls2 XS 1So ls2s 1So 3S ls2p lpo lpo 3po 3po r0 3po 3po r2 ls3s 1So 3S 3S! ls3p lpo 3poP 3po r0 3po 3po r2 ls3d 3D 3D2 3D3 IsAs So IsAp lpo 3po 3po r0 3po 3po r2 IsAd XD XD2 3D 3D2 3D3 IsAf lpo 3 po 3F° 3F° 3F° Příklad - neutrální helium (He i) • nejjednod^šs^«m* více elektrony - dva elektrony • základní hladina ls2 1So (stejné / a n —> ekvivalentní elektrony) • excitované stavy - neekvivalentní elektrony (tabulka 5.2 a obrázek 5.4) Hundova pravidla ' pro energie termů a hladin (Pradhan and Nahar, 2011, kapitola 2.8) 1. S-pravidlo LS term s nejvyšší multiplicitou 25+1 má nejnižší energii příklady: základní konfigurace np3, atomy Ni, OII, Pl,S II, základní term je 4S°, termy 2P° a 2D° mají nižší energii 72 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL 2. L-pravidlo pro stavy se stejnou multiplicitou má stav s vyšším L nižší energiu příklady: v předchozím případě np3 2D° níže než 2P° 3. J-pravidlo pro podslupky zaplněné méně než z poloviny hladina s nejnižším J je nejníže pro podslupky zaplněné vice než z poloviny je to obráceně příklad: O lil základní term 2p2 3P, hladiny vzestupně 3P0, 3PX, 3P2 Ne lil základní term 2p4 3P, hladiny vzestupně 3P2,V)i, 3Po\ další příklad CI (Příloha B.5.4) 5.2.4.2 Rydbergova korekce například Pradhan and Nahar (2011, kapitola 2.9) • kvantový defekt (quantum defect) • modifikovaný vztah (5.26) pro energie (například Tennyson, 2005, rovnice 6.1, ale v ní je použita konstanta TZoo)2 Z2 Eni = —Tli---—ľ2 (5.38) (n -i^ij Zefi - efektivní náboj, pro sodík 1 (náboj ostatních elektronů se vyruší s nábojem jádra), pro jiné prvky může být jiný, záleží na struktuře atomu Hni - quantum defect, pro každé / jiné číslo, snižuje se pro rostoucí / příklad: sodík Na I - pro podslupku / a vyšší je /ini = 0, =>• vztah jako pro vodík • vztah (5.38) velmi dobře použitelný například pro spektra alkalických prvků (sodík, ...), kapitola B.5.2 5.2.4.3 Dvouexcitované stavy • mohou být excitovány dva i více elektronů • u všech atomů a iontů, které mají více elektronů v obalu než jeden příklad Ca i - Příloha B.5.3 a obrázek B.4 - základní hladina As2 1Sn 2Tento vztah poprvé formuloval Rydberg (1890). 74 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL - normální systém konfigurací Asns, Asnp, Asnd, atd. vytváří singletní a tripletní termy (obrázek B .2) - z hladin excitovaných termů As3d XD a As3d 3D můžeJ^fc^no ex-l citován nejen 3d elektron, ale i As elektron, vzniknou stavy 3d (2B)ns' 1B, 3d (2B)ns' 3D, 3d (2D)Ä^P°, 3d^m) np' atd. (obrázek B.3) některé z nich mají vyšší energii než je ionizační energie z hladiny 4s2 (ze základní hladiny) tyto stavy se ionizují do hladiny CaII 3d 2D (viz obr. B.5) systém stavů s jedním excitovaným elektronem značíme As (2S)n/ 1,3L • z dvou- a víceexcitovaných stavů s energií vyšší než nejnižší ionizační energie může dojít k autoionizaci 5.2.4.4 Složitější struktura atomů rod (parentage), rodič, prarodič příklad: Ví, 6D termy, L = 2, S = 5/2, multiplicita=5, hodnoty J = \, §, §, f, |, základní konfigurace V i: ls22s22p63s23p63d34s2, zkráceně 3d34s2 konfigurace 3d4 (5D) 4Äd3in^^3c^(5D) Ap, 3d3As (5P) Ap další příklad P iv ls22s22p^9^ ls22s22p63s (2S) a ls22s22p63p (2P°) ls22s22p63s (2S)3s1S ls22s22p63s (2S)3p3P° ls22s22p63s ^SJS/^P0 ls22s22p63a/%a3p ľBj ls22s22p63p(2P°)3p3P ls22s22p63s (2S)3d3D ls22j|^^|^3p1S ls22s22p63s(2S)3d1D poly ad termy mající stejné rodiče atomy s částečně zaplněnými d- a /-slupkami (Příloha B.5.6) velké množství hladin, speciální značení (a, b, c, x, z,...) jako zkratka dlouhých konfigurací znWení viz také Moore (1952). 5.2.5 Výběrová pravidla (zeemanovská) složka (čáry) je přechod mezi stavy 75 _5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL čára je přechod mezi hladinami, skládá se ze složek multiplet je přechod mezi termy, skládá se z čar výběrová pravidla (viz Tatum, 2020, kapitola 7.24) (viz také Martin and Wiese, 2006, Table 10.4) většina spektrálních čar - elektrické dipólové záření některé čáry nejsou dovolené pro dipólové záření (El) =>- jsou zakázané, ale mohou být dovolené pro elektrické kvadrupólové záření (E2) nebo pro záření magnetického dipólu (Ml) některé přechody jsou zakázané jen díky LS-vazbě a začínají být dovolené při odchylkách of LS vazby LS výběrová pravidla platí pro LS-vazbu, při porušení semizakázané/polozakázané přechody (interkombinační) • AS = 0 (tj. jsou zakázané přechody mezi systémy - singlety, triplety, atd.) • AL = 0,±1 (L = 0 -> L = 0 je zakázaný) tj. přechody Se - S°, Se — D°, Pe — F° jsou zakázané • přechody jen mezi hladinami vlastního rodu elektrické dipólové přechody - podmínky: 1. A J = 0, ±1 (J = 0 J = 0 je zakázaný) 2. pro Z&Imano^W^ložky AM = 0 ± 1 (kromě 0 o 0 pro A J = 0) 3. změna parity 4. pro slabou kongurační interakci: přeskok jednoho elektronu: AI = ±1, An libovolné 5. jen pro LS coupling AS = 0 AL = 0^1 kromě 0 o 0 magnetické dipólové přechody - přechody mezi termy stejné konfigurace 1. AJ = 0 ± 1, (J = 0 J = 0 je zakázaný) 2. pro Zeemanovské složky A M = 0 ± 1 (kromě 0 o 0 pro A J = 0) 3. není změna parity 76 _5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL_f \ 4. není změna elektronové konfigurace (AI = 0, An = 0) 5. navíc pro pro LS-vazbu: • AS = 0 • AL = 0 • A J = ±1 (Martin and Wiese, 2006, Table HMi elektrické kvadrupólové přechody - přechody mezi termy stejné konfigurace nebo mezi konfiguracemi, kde je AI = ±2, =>- beze změny parity 1. AJ = 0, ±1, ±2, ale 0 fí> 0, | ^ |, 0 f)- 1 jsou zakázané 2. pro Zeemanovské složky A M = 0, ±1, 2 3. není změna parity 4. navíc pro pro LS-vazbu: ' AS = 0 • AL = 0, ±1, ±2, ale 0 o 0, 0 o 1 jsou zakázané 5.2.6 Zakázané čáry v přírodě mají mnohem nižší pravděpodobnost přechodu =>- mají větší délku života (až sekundy i minuty); nutná metastabilní hladina * objeví se všude tam, Jrae^^fcéne^Erážek mezi atomy a elektrony (důležité jsou nepružné srážky) - je nutné nechat metastabilní hladiny žít • planetární mlhoviny - čáry [O li], [O lil], [N i], [N li], [N lil] yo^P] 5007 (Ml: 3P2 -1 D2) znáilčáry^Om] 4959 (Ml: 3Px -1 D2) [O m] 4363 (E2: XP2 -1 S0) struktura O lil stejná jako CI (obrázek B.8) - stejný počet elektronů „nd^ulium" - než se to pochopilo • sluneční koróna čára 5303 Ä [Fexiv] ^P0! -2 P|) 2 2 „coronium 77 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL i s Obrázek 5.5: Zakázané přechody OI. NIST: 2958 E2, 2972 Ml, 5577 E2, 6300 & 6363 Ml a slabší přechod E2, ověřit i jinde. • polární záře zelená čára [O i] 5577 (E2: % -1 D2) červené čáry [O i] 6300 (Ml: ^ -3 P2) [Ol] 6363 (Ml: ^2 -3 Px) diagramy O i: obrázky B.9^ • 2lem čára vodíku hyperjemná struktura - složení impulsmomentu elektronového obalu a jádra, vzniknou 2 stavy 5.2.7 jj vazba viz Pradhan and Nahar (2011, kapitola 2.7), Sobelman (1992, kapitola 2.3.2) • vazba mezi elektronem a jádrem silnější -> porušení LS vazby (Pradhan and Nahar, 2011) • elektrostatická interakce mezi elektrony slabší než spin-orbitální iterakce (Sobelman, 1992) • nutnost uvažovat impulsmoment jednotlivých elektronů jt = li + Si 78 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL celkem 2 J + 1 stavů značení jednotlivých elektronů (Sobelman, 1992): si, pi, j>3, <Í3, ds, f5. h,- 222222 značení: pro 2p-elektrony (ji,j2)j: (1/2,3/2)!, (li,3/2)1 příklad: p ad elektrony, ji = 1 ± |, j2 = 2 ± | H fl 5\ (3 3\ (3 5\ !/2,l V2' 2/3,2 V2' 2/3,2,1,0 V2' 2/4,3,2,1 '1 3^ v2' 2/ • to jsou neekvivalentní elektrony, pro jj vazbu zajímavější, protože elektrostatická interakce mezi ekvivalentními elektrony je vždy silná • pro ekvivalentní elektrony je vždy nutné vzít v úvahu Pauliho princip porovnání LS a jj vazby pro Oni 2p3d level (viz Sobelman, 1992, kapitoly 4.7.1 a 4.7.2) Příklad: Oni konfigurace ls22s22p3d LS vazba • 2p: li = 1 si • 3d: l2 = 1 si • L = h + l2 ~- • S = s^^^ • J = L + S 1,2,3 L = > 5 = 0,1 L S J 1 1 2 2 3 2 0 0 0 1 0 1 1 0,1,2 2 1.2.3 3 2.3.4 lpo M 1 3po 3po 3po r0 rl r2 u2 3D? 3D^ 3D§ 3 po 3 po 3 po 79 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL jj vazba • l1 = \,s1 = • k = 2, si = • J = 3l + 32 1 -i 2' JI i 7 2' J2 «1 h «2 Jl jl 1 3 2' 2 I 3 2' 2 Jl J2 J 1 2 3 2 1,2 3 2 3 2 0,1,2,3 1 2 5 2 2,3 3 2 5 2 1,2,3,4 Příklad: Oni konfigurace ls22s22p2 nebo ls22s22p3p (viz Sobelman, 1992, kapitola 4.10) • 2p nebo 3p: l2 = 1 si = \, pokud n = 2 pro oba: ekvivalentní elektrony L S J h + h-- Sl + «2 L + S L = 0,1,2 > 5 = 0,1 L S J hladiny 0 0 0 1So 0 1 0,1 3co 3co ^0 ne pro ekvivalentní elektrony 1 1 0 1 1 0,1,2 ipo 3po 3po 3po r0 rl r2 ne pro ekvivalentní elektrony 2 0 2 ^2 2 1 3D° 3D° 3D° ne pro ekvivalentní elektrony 5.2.8 Ostatní typy vazeb intermediate coupling - přehled různých značení hladin - Martin and Wiese (2006) přechod mezitS a jj vazbou (obrázek 5.6) LSJ coupling, (Pradhan and Nahar, 2011, kapitola 2.7), ale existuje více označení nejdříve sečteme všechna / a s pro všechny elektrony kromě valenčního do Ji, Ji = S^JÍ li + S^JÍ Si, pak přidáme valenční elektron: K = J\ + l, J = K + s 80 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Si J Gel SeM Sni I I I I_L_l_I I I I i I 1_I_I-1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.5 0 X »1« M Obrázek 5.6: Přechod mezi LS a jj vazbou pro konfiguraci p2. Obrázek ze Sobel-man (1992, obr. 5.1, str. 151), (zkopírováno 18) ji (Sobelman, 1992, kapitola 5.7.3), Jxl or JXL2 (Martin and Wiese, 2006) - optický elektron "daleko"od elektronů jádra jl vazba u vzácných plynů (Příloha B.5.5) (Sobelman, 1992, kapitola 5.7.3) Jj (Sobelman, 1992) Jtj nebo Jx32 (Martin and Wiese, 2006) LSX (Martin and Wiese, 2006) 5.2.9 Vliv izotopů • hmotový efekt ilustrační příklad - vodík —> deuterium změní se redukovaná hmota atomu V =-:- mat + me v rovnici (5.26) se změní IŽz (viz rovnice B.5) posunou se energetické hladiny 81 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL posunou se i spektrální čáry pro těžší prvky podobně, posun menší • objemový efekt - těžší atomy jsou „větší" změnu energie hladiny lze odvodit za předpokladu konečného rozměru jádra (Landi DeglTnnocenti, 2014, kapitola 9.8) (nepoužije se standardní předpoklad jádra jako bodu) také vede k posunu spektrálních čar 5.2.10 Hladiny v magnetickém poli Zeemanův efekt štěpení hladin ve slabém magnetickém poli EajM (a zahrnuje všechna explicitně neuvedená kvantová čísla) - energie rozštěpených hladin EaJM = EaJ + fiogBM (5.39) EaJ - energie nerozštěpené hladiny M - magnetické kvantové čí^>, M = —J,.. B - indukce magnetického pole i /i0 - Bohrův magneton, Anmec g - Landého faktor, pro LS vazbu viz (B.13) • rozštěpením hladin vzniká rozštěpení spektrálních čar • zpětně lze z poloh čar a s pomocí vztahu (5.39) určit magnetické pole, které způsobuje štěpení Paschenův-Backův efekt pokud neplatí slabost magnetického pole • magnetická injK-akce dominantní - úplný Paschenův-Backův efekt (spin-orbitální interakce je perturbací magnetické interakce) k» magnetická interakce srovnatelná se spin-orbitální interakcí (ostatní případy, které nejsou Zeemanův nebo úplný Paschenův-Backův efekt) - neúplný Paschenův-Backův efekt trochu více Příloha B.4 82 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL 5.3 Absorpce a emise ve spektrálních čarách V této kapitole si ukážeme, jak jsou absorpční i emisní účinné průřezy spektrální čáry (5.13) frekvenčně závislé. Jejich závislost na frekvenci můžeme formálně vyjádřit jako otiu{v) = aiu(f)iu(v) kde (f)iu(u) je profil spektrální čáry. V dalším textu nebudeme psát u 0 indexy hladin l au. Pro celkový účinný průřez čáry musí platit alu(v) dv = alu, profil spektrální čáry je proto normalizovaný ó(u) dv = 1 a jeho rozměr [0] = s. Pro frekvenčně závislý účinný průřez absorpce nebo emise ve spektrální čáře můžeme psát aiu{v) = —Blu(j>{v) =-fiu(v), (5.41) 47t mec kde jsme využili vztah (5.13). . 5.3.1 Přirozené rozšíření spektrálních čar Přirozené rozšíření spektrálních čar vyplývá z principu neurčitosti. Budeme uvažovat přechod mezi hladinami u (horní hladina) a / (spodní hladina) ve dvouhla-dinovém atomu. Střední doba života Atu atomu ve stavu u je dána vztahem (5.9) jako převrácená hodnota Einsteinova koeficientu, Atu = A~f. Z principu neurčitosti dostáváme rozšíření energií AEU horní hladiny, AEuAtu = AEuA~f ~ h, což způsobuje rozšíření frekvencí přechodu u —?■ I, Auul = AEu/h ~ Aui. Spontánně emitující systém lez považovat za rozpadající se systém (decaying) a lze jej popsat stejně jako tlumený systém (damped). Vztahy pro jeho kmity uvádí Příloha B^^^onstantu útlumu 7 (B.7) nahradíme konstantou útlumu T, která přímo souvisí se střední dobou života hladin l au. Pro celkový účinný průřez přechodu u —ř l můžeme použít vztah (B.8), z něhož pro závislost účinného průřezu na frekvenci vyplývá Lorentzův profil r lu m =--An /r x2> (5-42) {V - Vlu) 47t 83 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL kde konstanta útlumu (/ a u jsou indexy spodní a horní hladiny přechodu) rZu = ru + rz, rz = ^AZí, ru = ^Am. ^ (5.43)i kde Ají (j = l nebo u) je Einsteinův koeficient spontánní emise při přechodu z hladiny j do hladiny i (viz kapitola 5.1.1). Pro každou hladinu j je 1^ dáno jako součet všech koeficientů spontánní emise pro všechny přechody z dané hladiny. Tento standardní vztah platí přesně pro atom, který není vystaven žádnému záření. Pokud na atom dopadá záření o střední intenzitě J(vjí), je nutné zapoJÄt i další procesy, které způsobují přechod z hladiny j do nižších (stimulovaná emise) a vyšších (absorpce) hladin. Výpočet konstanty útlumu ľ\se pak změní, T3 = \ah + BjiJiuij)] + bj*JM- W \ (5-44) ij Členy s Einsteinovými koeficienty B mohou být významné pro silné přechody do hladiny nebo z hladiny j pro hu l) přes rozdělení rychlostí (5.47), iy) = [ l (v - —) f fa) dvf \f (5.48) Za profil 0l dosadíme z rovnice (5.42) a po úpravách dostaneme {x) dx = 1 vztah 1 (v) =---= exp (-x2) , (5.60a) který poměrně dobře popisuje profil v okolí středu čáry. Dopplerův profil vyjádřený ve frekvencích x (5.52) je 1 (f)(x) = —= exp ( —x2) . (5.60b) Pro Voigtův profil spektrálních čar uvádějí Hubeny and Mihalas (2014, rovnice |S.24) užitečné přibližné vyjádření exp (—x2) + a (5.61a) ^https://mathworld.wolfram.com/DawsonsIntegrál.html 86 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL První člen (Dopplerův profil - viz rovnice 5.60a) popisuje profil v okolí středu čáry, kde je dominantní dopplerovské rozšíření (a 1), kde je dominantní lorentzovské rozšíření. Jako funkce frekvence x (5.52) vztah (5.6ia) je Vztahy (5.61) budeme v dalších kapitolách používat k přibližnému analytickému vyjádření Voigtova profilu. 5.3.2.1 Turbulentní rozšíření spektrálních čar Dopplerovsky rozšířený profil někdy nepopisuje rozšíření spektrálních čar hvězdných atmosfér dostatečně přesně, rozšíření čar je větší. Je to způsobené tím, že kromě tepelných pohybů mají na šířku čáry vliv i netepelné pohyby na škálách menších než je střední volná dráha fotonu. Vliv těchto pohybů na šířku spektrální čáry bývá zvykem popsat druhou mocninou volného parametru wtUrb nazývaným turbulentní rychlost nebo mikroturbulentní rychlost. Tento efekt započteme tak, že do výrazu pro dopplerovskou pološířku (5.51) přidáme dodatečný člen obsahující tento volný parametr, Na rozdíl od tepelné rychloštl^^TktJá je různá pro atomy různé hmotnosti, je turbulentní rychlost pro všechny atomy stejná. Nedávné 3-D hydrodynamické výpočty sluneční atmosféry ukázaly, že při tak podrobném popisu již není třeba turbulentní rychlost zavádět jako přídavný volný parametr, protože turbulence je nedílnou součástí 3-D hydrodynamického popisu. 5.3.3 Srážkové rozšíření spektrálních čar vzniká v důsledku srážek s částicemi (atomy, ionty a elektrony) perturbace horní i dolní hladiny přechodu závisí na hustotě a teplotě (=>• tlak) proto zvané také tlakové rozšiřování přesné zahrnutí nesnadné vyšší hladiny snadněji perturbovány různé interakce s různými částicemi různý dosah interagujících sil (~ r~p) (5.61b) turb' (5.62) 87 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL nárazové (impaktní) přiblížení - Weisskopf (1932) - „klasická teorie" vyzařování atomu je přerušeno srážkou —> okamžitý posun fáze vlnového balíku (případně posun v čáře nebo posun na jinou hladinu) střední časový interval mezi srážkami - Atc, časově středované energetické spektrum srážkově rozšířené čáry přes čas Atc (pomocí Fourierovy transformace) E(u) =--At' 2 (5.63) k , ,9 / 1 \ At, zavedeme rcoi = 2/ Atc v nárazovém přiblížení stejný profil jako přirozené zářivé rozšíření rcoi E(u) =--m4n i|L , (5.64) 47t (proto r = rrad + rcoi) každý přechod je jiný a musí se započítat kvantově mechanicky započítává se statistiiky předpoklady Weisskopfova přiblížení: 1. narážející částice je klasická částice 2. pohybuje se konstatní rychlostí po přímce 3. narážející částice nezpůsobuje žádné přechody v atomu 4. způsobuje posun frekvence vyjádřitelný jako Au = Cpr~p, r je vzdálenost od středu atomu Cp se určí pomocí kvantově mechanických výpočtů | typy interakcí podle p p = 2 srážky nabitých částic s vodíkem nebo s vodíku podobným atomem (lineární Stárkův efekt) p = 3 srážky atomů se stejnými atomy (rezonanční rozšíření) 88 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL p = 4 srážky nabitých částic s jinými atomy než s vodíkem nebo s vodíku podobným atomem (kvadraticý Stárkův efekt) p = 6 srážky s neutrálními částicemi (převážně s neutrálním vodíkem, van der Waalsova interakce) nárazové rozšíření čar elektrony (electron impact broadening) - započtení rozšíření spodní i horní hladiny - vede k posunu spektrální čáry Starkovské rozšíření je významné pro hvězdy s vysokou hustotou (bílé trpaslíky) - spektrální čáry HI široké i několik desítek nm 5.4 Ionizace a rekombinace zářivá ionizace atomu X na iont X+ X + hu^X++e- \ (5.65) týká se elektronu z vnější slupky á zářivá ionizace může probíh^i do e^^fc^anýc^nladin iontu, má-li foton dostatečnou energii X + hv [X+jy^T (5.66) [X+]* značí excitovaný^Mt má-li foton ještě více energie, může být uvolněn elektron z nižší slupky (nižšího kvantového čísla n), tím vznikne iont s mnoha excitovanými elektrony (značíme ho [x+]***") X + hu^ [X+] + eMgh (5.67) vznikne vysokoenergetický elektron eMgh, který může způsobit další ionizaci může proběhnout řada dalších zářivých i srážkových procesů deexcitace i ionizace (Augerovy procesy, kapitola 10.4) autoionizace pro atomy/ionty, které jsou ve stavu se dvěma excitovanými elektrony, energie stavu je větší, než je ionizační energie X** -> X+ + e~ (5.68) 89 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL uvolnění elektronu a energie bez vyzáření fotonu, uvolněná energie se přemění na kinetickou energii elektronu zářivá excitace atomu z vázaného stavu do autoionizačního aKPWfc X* + huexc -> X** (5.69) následovaná autoionizací (5.68) způsobuje vyšší možnost ionizace pro frekvence odpovídající danému přechodu huexc —ř rezonance zářivá rekombinace - srážkový proces spontánní rekombinace X+ + e~ -> X + hu (5.70) nebo stimulovaná rekombinace s přispěním záření dielektronická rekombinace : nejdříve zachycení elektronu atomem se vznikem vázaného stavu se dvěma excitovanými elektrony X+ + e~^X**, (5.71a) následuje deexcitace dvakrát excitovaného stavu do jednou excitovaného stavu, jehož energie je nižší než ionizační energie x**^x* + hu\ (5.71b) je možný i srážkový přechod na nižší hladinu (srážková stabilizace, Bates and Dalgarno, 1962, section 2.2) X**^^(£i) -> X* + e-(E[) (5.72) neboJirrflk^acWS.óS), tím se dostaneme do původního stavu (ionizovaného) 5.4.1 Fotoionizační účinný průřez Vodík a vodíkupodobné ionty Závislost účinného průřezu na frekvenci odvodil semiklasicky pro vodík Kramers (1923), s korekcemi pro kvantovou mechaniku Gaunt (1930a,b). Účinný průřez je dán výrazem (Hubeny and Mihalas, 2014, rov-*i«7.91) 647r4mee10 4 1 ahí(n, v) = Z ^-^gbí (n, v), (5.73) 90 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Obrázek 5.7: Vázaně-volný účinný průřez atomu vodíku. Obrázek zkopírován z (Hubeny and Mihalas, 2014, str.192). což je součin semiklasického výrazu a Gauntova faktoru ghf (n, v). Výraz složený ze základních fyzikálních konstant má v soustavě CGS číselnou hodnotu 2.815 • 1029 cm2 s~3, jeho odvození naznačuje Příloha B.3.1. Vztah (5.73) vyjadřuje typickou závislost účinného průřezu vodíku na frekvenci (~ v~3, Mihalas, 1978, obr. 4-1). I když se jedná o vztah platný pro vodíkupodobné atomy, někdy se používá jako přibližné vyjádření i pro nevodíkové ionty, převážně v případech, kdy nejsou k dispozici lepší data. Kvantověmechanické odvození tohoto vztahu lze nalézt v Hubeny and Mihalas (2014, rovnice 7.85 - 7.91). Ostatní prvky 91 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Obrázek 5.8: Vázaně-vázaný a vázaně volný účinný průřez záporného iontu vodíku. Obrázek zkopírován z (Hubeny and Mihalas, 2014, str.207). • autoionizace (z hladin s více excitovanými elektrony) stačí dva elektrony, rezonance má už helium Fotoionizační účinný průřez těžších prvků je obecně složitější závislost na frekvenci, zejména kvůli přítomnosti rezonancí, které jsou způsobeny interakcí ionizačního přechodu s excitačním přechodem ve vyšším iontu. Důsledkem je vyšší účinný průřez a jeho velká proměnnost v okolí dané excitační energie. Jako příklad může sloužit fotoionizační průřez iontu CII (Hubeny and Mihalas, 2014, obrázek 7.4). ^rezonance v účinném průřezu - způsobená interakcí ionizačního přechodu spojeného s excitací vyššího iontu superpozice vlnových funkcí volných a vázaných stavů velká proměnnost v okolí kritické energie 92 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Obrázek 5.9: Fotoionizační účinný průřez A f stavů Hen (čárkovaná čára) a Af stavů C li (plná čára). Svislé čárkované čáry označují ionizační hrany do Clil 3P° (levá) a C lil 1P° (pravá). Obrázek zkopírován z Hubeny and Mihalas (2014, str.206). Originál v Yan and Seaton (1987). Významným zdrojem ionizační opacity je záporný iont vodíku (H~), který má dva elektrony. Důležitý je zejména pro hvězdy slunečního typu. Ostatní ionty vodíku • H~ - ve sluneční atmosféře dvě rezonance v UV oblasti, na sluneční atmosféru nemají vliv, protože UV tok je pro Slunce malý 5.5 Volně-volné přechody Volně-volné přechody jsou přechody mezi dvěma volnými stavy atomu X (z kontinua nad ionizační energií). Jsou to procesy typu e + X+ + hv^ X+ + e'. (5.74) 93 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL V těchto procesech dochází k přiblížení elektronu e k iontu X+ a foton je absorbován nebo emitován v soustavě iont+elektron. Po interakci se elektron opět oddělí od iontu, obecně bude mít jinou rychlost, což je naznačeno čárkou (e'). Při interakci může dojít i k ionizaci nebo rekombinaci, je to však dvouelektro-nový přechod, který je podstatně méně pravděpodobný. Procesy bez ionizace či rekombinace jsou častější. Vodík Pro volně-volný účinný průřez ionizovaného vodíku nebo vodíkupodob-ného iontu, který se potká s elektronem o rychlosti v, platí vztah (Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 7.99) as(U v) = An z2e69$(y,y) f*y (575) ' 3\/3C^me 1/3 v kde gs(u,v) je volně-volný Gauntův faktor. Většinou rychlosti v jednotlivých elektronů neznáme, užitečnější pro řadu případů bude střední hodnota pro statistický soubor elektronů. Vystředováním přeA_axv^povské rozdělení rychlostí elektronů dostaneme (Mihalas 1978, rovnice 4-122; Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 7.100) a"w-T) = vlMppt/ ("6) kde gš(u, T) je střední hodnota volně-volného Gauntova faktoru pro maxwellov-ské rozdělení rychlostí elektronů. Semiklasické odvození vztahu můžeme nalézt v Hubeny and Mihalas (2014, kapitola 5.6) nebo v Rybicki and Lightman (1979, kapitola 5). 5.6 Interakce záření s molekulami molekuly nacházíme u chladných hvězd (K, M, S, C, ...), do asi 8000K trochu i u hvězd slunečního typu v okolohvězdném prostředí v mezihvězdném prostředí (detekováno více jak 120 molekul, Tennyson, 20^, str. 124) polyatomické molekuly diatomické molekuly (ty v dalším textu) 94 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL odlišnosti od atomů • neexistuje střed, kolem kterého se elektrony v molekule pohybují • jednotlivé atomy v molekule se pohybují —> vibrační a rotační pohyby atomů v molekule Energetické stavy molekul Bornova-Oppenheimerova aproximace dovoluje • oddělení pohybů jádra a elektronů (protože elektrony jsou lehké a pohybují se výrazně rychleji) • vlnovou funkci molekuly lze zapsat jako součin vlnové funkce jádra molekuly a vlnové funkce elektronů • můžeme oddělit i rotační a vibrační pohyby rotační hladiny molekula se může otáčet • energie hladin Emt = J(J+l)B (5.77) J - rotační kvantové číslo, J = 0,1, 2, 3,... B - rotační konstanta molekuly M - kvantové číslo průmětu impulsmomentu do význačné osy (—J,... vibrační hladiny atomy v molekule mohou vibrovat • energie hladin Evih = (^v + 0 hwQ, v = 0,1,2,3,... v - vibrační kvantové číslo lu0 - přirozená vibrační frekvence • obrázek vibračních hladin s rotační jemnou strukturou (5.11) elektronické hladiny energetické hladiny podobné atomům, ale rozdíly • molekuly nejsou sféricky symetrické, • celkový elektronický impulsmoment L rotuje kolem mezijaderné osy (precese) 95 _5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL_f \ • složka orbitálního impulsmomentu ve směru osy molekuly , Ml E (l, l — 1,... ,0,..., —l) značí se A = \ML \ - je degenerované (g=2) A = 0,1,2, 3,4,..., značení E, JJ, A, $, ľ ... • celkový spin S, průmět do mezijaderné osy Mg = £, také, neplést s označením pro A = 0 značení: 25+1A • symetrie (analogie parity) vlnové funkce při záměně atomů; - nemění znaménko - sudá - g (gerade) - mění znaménko - lichá - u (ungerade) značení 25+1 Ag/U • značení elektronických hladin - používá se ad hoc systém: - X - označuje základní elektronický stav - A, B, C, ... označuje stavy stejné multiplicity jako základní stav. - a, b, c, ... označuje stavy jiné multiplicity než základní stav příklad H2: řazení podle energie hladin, ne vždy celková vnitřní energie molekul^ -Eint = Ee\ + Evih + ETOt (5.78) Přechody v molekulách • elektronické přechody ~eV —> optický, UV obor analogické atomárním dipólovým přechodům • vibrační přechody —> near-IR, mid-IR • rotační přechody —> far-IR, mm celková energie hladin se skládá podle (5.78) řádové odhady poměru energií (viz Rybicki and Lightman, 1979, kap. 11.1) : 1 M je hmotnost jádra molekuly f čistě rotační přechody 96 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL frequency of electromagnetic radiation (10 Hz) Obrázek 5.10: Rotační spektrum molekuly CO. Obrázek 7.1.1. z Hanson et al. (2021), licence CC BY-NC-SA 3.0. frekvence přechodů, z (5.77) Ej+i - Ej h základní výběrové pravidlo A J = ±1 nutný permanentní dipólový moment molekuly (d ^ 0) homoatomické dvouatomové molekuly: d = 0 jen kvadrupólové přechody (A J = ±2) příklad: kvadrupólové přechody H2 pozorovány v mezihvězdném prostředí příklad čistě rotačního spektra - obr. 5.10 vibračně-rotační přechody energie pro excitaci vibračních modů 3> energie pro excitaci rotačních modů =^ existence čistě vibračního spektra nepravděpodobná kombinovaná vibračně-rotační hladina v aproximaci pevného rotátoru a harmonického oscilátoru Ev v + - ) hu0 + J(J+l)B (5.79) 97 Obrázek 5.11: Rotační hladiny jednotlivých vibračních stavů. Z McQuarrie (2008, Figuře 6.3) (zkopírováno 20). P branch R branch —i-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1— 2400 2500 _ 2600 2700 v / cm Obrázek 5.12: Vibračně-rotační spektrum vibračního přechodu 0-1 HBr(g). Označeny jsou P a R branch. Z McQuarrie (2008, Figuře 6.4) (zkopírováno 22). 98 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL Obrázek 5.13: Emisní elektronicko-vibračně-rotační spektrum CO. Z Al-Tuwirqi et al. (2012, Fig. 5) (zkopírováno^). • výběrová pravidly Av = ±1, pro rozdíly ±2 atd. "vyšší harmonické" přechody • vibrační přechody mají jemnou strukturu způsobenou existencí rotačních hladin uplatňují se i výběrová pravidla pro rotační přechody může nastat rotační emise i absorpce systém jemné struktury čar pro A J = +1 (R branch) a A J = — 1 (P branch) ^-obrázeSwibračních hladin s rotační jemnou strukturou (5.11) • obrázek vibračně rotačního spektra (obr. 5.12) elektronicko-vibračně-rotační přechody • nutno započítat změny elektronických, rotačních i vibračních stavů • každý elektronický přechod je vlastně soustavou pásů (vibrační přechody) s jemnou strukturou (rotační přechody) • výběrová pravidla - elektronické hladiny 99 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL * AA = 0,±1 * AS* = O (zachování spinu) - vibrační hladiny * Av jakékoli kladné nebo záporné celé číslo | - rotační hladiny * A J = — 1,0,1, ale J = 0 —> J = 0 zakázaný * AJ = 0 je zakázaný pro E elektronické stavy • obrázek elektronicko vibračně rotačního spektra (obr. 5.13jM V astrofyzikálně významné molekuly nejvýše zastoupené molekuly nemusejí být nej významnější z hlediska přenosu záření (H2) - maximální opacita v UV, tam je ale málo záření pro atmosféry, kde H2 existuje některé nepříliš početné molekuly významné zdroje opacity (TiO, VO) - rozdíl ve hmotách jednotlivých prvků způsobuje silné vibrační přechody CO, CH4 (metan), N2, NH3 (čpavek), H20, H2 - dominantní pro chemickou rovnováhu na Slunci: CN, CH, C2, OH, MgH molekulární ionty - H^, možní molekulární původci difúzních mezihvězdných pásů (DIB) • fulereny (C60, C70) • polycyklické aromatické uhlovodíky (PAH) Ramanovská spektra molekul viz (Rau, 2002, Ch.6, 3.3) nepružný rozptyl záření na molekulách přechodné dipóry^fcnklad: H2 - častá molekula, nemá stálý dipólový moment srážkou s jinou H2, He - dočasný dipólový moment podmínka: nízké teploty a vysoká hustota 100 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL molekulární satelity vodíkových čar u bílých trpaslíků interakce H + p -> H+ 2 (5.80) H + H -> H2 vytvoří přechodné molekuly "quasi-molecular satellites" - přechody mezi elektronickými stavy těchto molekul satelity jsou daleko od Lya na 1400A a 1600A 5.7 Rozptyl v kontinuu 5.7.1 Rozptyl na volných elektronech Při interakci fotonu s volným elektronem se dopadající foton rozptýlí obecně do jiného směru, případně se může během interakce změnit jeho energie. Jedná se o skutečný rozptylový proces s centren^fcctyT^Brrozdíl od rozptylu v rezonančních čarách). Při interakci fotonu a elektronu se obecně projevují i vlnové vlastnosti elektronu, které ale nejsou pro vlnové délky záření mnohem větší než de Broglieova vlnová délka elektronu (AdB = h/[mev]) podstatné. Pro účinný průřez rozptylu záření o nízkých ene^ÉyTjTz' |e) —> \ f), E;t < Ee, Ef < Eey (i - initial, / - finál, e - excited) probíhá takto: 1. okamžitý přechod i —> e 2. okamžitý přechod mezi podhladinami e (způsoben pružnými srážkami) 3. okamžitý přechod e —> f (i = f - rezonanční rozptyl, i ^ f - rezonanční Ramanův rozptyl) nutné podmínky pro semiklasický popis • slabá pole záření (spontánní emise převažuje nad stimulovanou) • izolovanost čar a hladin (rozšířené hladiny se nepřekrývají) přirozené rozšíření hladiny (důsledek relace neurčitosti AEAt > h) označíme (srovnej s profilem přirozeného rozšíření čáry 5.42) L[X^^M) (5'86) L(x, 7) - pravděpodobnost, že atom v dané hladině je ve stavu x X = (E — E^U^^^b^jŕenergie podhladiny od energie n-té hladiny 7n = rn/(47r) - pološířka odpovídající době života hladiny n v dalším £, £' - frekvence v souřadné soustavě atomu, profil čáry mezi hladinami i a e atom excitován z podhladiny x% do podhladiny x'e = C ~ 6e + X% - energie absorbovaného fotonu Šie = {Ee — Ei)/h- energie mezi hladinami 104 5. OPACITA, EMISIVITA A ROZPTYL oo L(Xi, li)L(ť ~ 6e + Xh 7e) dXi = L(£' - £ie, yt + 7e) konvoluce dvou lorentzovských profilů (5.86) dá lorentzovský profil s polo-šířkou rovnou součtu pološířek \ redistribuční funkce • popisuje korelaci mezi pohlceným a vyzářeným fotonem ve spektrální čáře • r(£', to';£, to) - společná pravděpodobnost z^Tf^ +V^')' d-ro' a to' do • nerelativistický případ: r(£', to'; £, to) = r(£', ^)g(n', to) limitní případy: úplně korelovaný rozptyl - chybí krolTz^ C/r(ť,0= / L(xi,ii)L(xe,le)L(xf,lf)dXi — oo oo L(Xí, ~ 6e + Xí, le)L{£! -£-&/ + Xí, 7/) &Xí (5.87) po integraci docela složitý vztah - (viz Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 10.18) zcela nekorelovaný rozptyl - úplná redistribuce záření po excitaci do podhladiny x'e atom přejde náhodnými srážkami do podhla-diny Xe CT^> 0 = / UMŮ, le)L(Xe, le)L(Xf, 7/) &X[ dXe J — oo =1^- £ie, 7, + le)L(í ~ £/e, If + le) = &e(£')£) = limnr(i ,corr íeí 5(x - £)L{x^^^^mx - 0 dx = l(? - 6e,7e)^(ť - o = Mem' - o (5.90b) III. nekorelovaná redistribuce (úplná redistribuce, viz 5.88) rm(£',0 = - Zie,He)L(Z - 6e,7,e) = 0), má rovnice přenosu tvar ^dŕ=^z^) (6-2a) \jew řešením v intervalu (0; z) je I{z,n)= I(0,i2)+ v(z',v)- (6.2b) Jo V 108 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ Toto řešení je velmi blízké řešení rovnice přenosu záření v opticky tenkém prostředí (t 0) a nulová emisivita (rj = 0), dostaneme s využitím definice optické hloubky (3.22) vztah p^± = I(r,p) \) V (6.3a) jehož řešením je 1(0,(j) = J(r,/i)exp (^--0 . (6.3b) což popisuje zeslabení záření při průchodu od místa s optickou hloubkou r do místa s optickou hloubkou 0. Typickým příkladem použití je zeslabování záření při průchodu zemskou atmosférou. V případě, že jsou opacita i emisivita nenulové, řešíme v planparalelním prostředí rovnici (3.15), ^c^x) dr Řešení této rovnice najdeme nejjednodušeji jejím vynásobením integračním faktorem exp (—t//x). Po úpravě dostaneme d I(r, p) exp S(r,p) t exp-- dr p \ p Rovnici zintegrujeme od většího t2 k menšímu t\ Kr-j,M = I(t%u) exp f - —-— J + f S(t,p) exp (--—— J — (6.4) První člen na pravé straně popisuje zředění záření vycházejícího z místa r2 absorpcí mezi místy r2 a ti, druhý člen popisuje záření vzniklé mezi místy r2 a ti snížené o tu část, která se při jeho cestě do t\ absorbuje. Limitním případem, který lze použít pro popis hvězdné atmosféry, je pří-Mi! = 0, t2 —> oo. Říkáme mu polonekonečná atmosféra (semi-infinite at-'mMphere). V tomto případě přejde rovnice (6.4) na tvar ľ°° í t\ dt 1(0, p)= / S(t,p)exp[— —. (6.5) Jo V /V V 109 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ Tato rovnice vyjadřuje specifickou intenzitu záření, které vychází ve směru // z povrchu polonekonečné atmosféry. Zajímavý výsledek dostaneme, pokud můžeme aproximovat vydatnost pomocí lineárního vztahu S (r) = a + br.Předpokládáme, že S nezávisí na směru. Dosazením do (6.5) dostaneme jednoduchý vztah 1(0, Lt) = a + bfi = S(r = Lt) (Eddingtonova-Barbierova relace), (6.6) z něhož například vyplývá, že intenzita vystupujícího zření v^)lmé«i směru (/i = 1) z planparalelní atmosféry je rovna vydatnosti v jednotkové oritid^hloubce (r = 1). Eddingtonova-Barbierova relace nabízí pro řadu případů vhodnou aproximaci intenzity vystupujícího záření. Posledním zjednodušeným případem, který v této části zmíníme, je záření vycházející z konečné homogenní vrstvy. V celé takové vrstvě můžeme psát S = const. Potom pro t2 = T (T < oo je celková optická tloušťka vrstvy) a rx = 0 dostaneme z rovnice (6.4) pro záření vystupující ve směru /i = 1 Pro opticky tenkou vrstvu (T 1) je 1(0,1) = S, intenzita se saturuje na hodnotě S, protože prakticky všechny fotony vyzářené na optických hloubkách větších než 1 jsou absorbovány a ven se dostanou jen ty, vyzářené na optických hloubkách menších než 1. 6.1 Difúzni přiblížení Ve velkých hloubkách hvězdné atmosféry je opacita velmi velká a pravděpodobnost absorpce záření má hodnotu blízkou jedné. Pole záření je téměř izotropní. Prostředí je blízko termodynamické rovnováze, takže můžeme uvažovat vydatnost odpovídající termálnímu záření, Sv —?■ Bv. Pro zjednodušení budeme hledat řešení pro planparalelní atmosféru, což je pro uvedené fyzikální podmínky vhodné přiblížení. Budeme hledat řešení v místě o optické hloubce rv. Napíšeme Taylorův rozvoj Sv pro tv>rv, který dosadíme do formálního řešení (6.4) pro rx = rv a r2 = oo. Pro specifickou intenzitu záření tak dostaneme (6.7) (6.8) oo ánB dB, 2d2B, n drn Bv(rv) +ji dr,_ v dr2 v + (6.9a) n=0 v 110 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ Řešení ve formě rozvoje pro momenty intenzity záření dostaneme dosazením (6.9a) do vztahů (2.29), (2.32) a (2.34), j ^ 1 d2nB 1 d25„ _.- , ____„ 3 dr2 n=0 v v (6.9b) oo 2n + 3 dr,2"+1 3 dr^ 5 dr,3 n=0 2n + 3 čv~2n 3""v^ ■ 5 d 2 ^ = E ÔTTä^3T = ä^(r,) + --f + .... (6.9d) n=0 Ve velkých hloubkách ve hvězdné atmosféře stačí, když v rozvojích ponecháme jenom členy nejnižších řádů, dB F(ru, ji) Bv(tv) + ji—-^ (6.10a) dr„ J„ ^ Bv(tv) (6.10b) « ~ (6.10c) 3 dr^ ^ ~ \bv(tv) (6.10d) Z rovnic (6.10) vyplývá, že se střední intenzita Jv blíží rovnovážné hodnotě zářivé energie Bv a že pole záření je téměř izotropní, neboť Eddingtonův faktor (2.43) f?*l- /*^^>^ (6-U) Pro Eddingtonův tok (2.32) můžeme podle rovnice (6.10c) psát H = ldB^ = _ l^dB^ = _ ílJ_dBA dT v 3 dru 3xv dz \3Xv dT J dz Rovnice (6.12) má formálně tvar rovnice pro vedení (konduktivitu), v tomto případě se jedná o vedení záření. Clen na pravé straně v závorce lze považovat za koeficient zářivé vodivosti (zářivou konduktivitu). Integrací rovnice (6.12) přes frekvence dostaneme pro celkový Eddingtonův tok v difúzním přiblížení ±H=ď°H,±, = - ľ 11.^*,=-I™ f-^d,. (6.13) 0 JO 3 Xv dT dz 3 dz J0 Xv dT Zavedeme Rosselandovu střední opacitu xr vztahem l dB ľ°° 1 dB Xr dT J0 Xv dT du (6.14) 111 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ a dosazením do (6.13) dostaneme H - (l 1 áB\ dT (6 15^ \3xRdTJ dz Protože vidíme hvězdu, záření směřuje k nám a tok H > 0. Ze vztahu (6.15) musí být dT'/dz < 0, vzhledem k orientaci osy z musí teplota směrem dovnitř hvězdy růst. Rosselandova střední opacita určuje v difúzni aproximaci teplotní strukturu hvězdné atmosféry. Vztahem dfR = -XRdz (6.16) definujeme Rosselandovu optickou hloubku, která se hojně využívá jako nezávislá proměnná v modelování hvězdných atmosfér. I 6.2 A operátor V případě planparalelního prostředí, kde je jedna okrajová podmínka vyjádřena pro optickou hloubku r —> oo (polonekonečná atmosféra, viz kapitola 3.5), můžeme řešení rovnice přenosu záření v bodě rv podél paprsku definovaného směrovým kosinem p vyjádřit pro oba proti sobě jdoucí směry ±p ve tvaru ľ°° „ / x f t-Tv\ dt I„(T„,p) = / bv(t) exp I--1 — pro p>0 ľ" „ / x / í-r^ dř K I„(T„,p)= / £,,(£) exp--- pro /i < 0. Jo 1 \ -V J -V Dosazením (6.17) do definičního vztahu pro střední intenzitu záření v rovinné geometrii (2.29) (tj. integrací přes všechny směry p) dostaneme Schwarzschildovu rovnici odvozenou Karlem Schwarzschildem (viz Mihalas 1978, rovnice 2.57; Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 11.108) i jf Sv{ť)Ei{\t-Tv\)dt (6.18) Funkce E1(x) =^^fe x/>ldp/p je speciální případ rt-té exponenciální integrální funkce {exponential integral, viz Příloha A.l, rovnice A.l)1 oo xti—n E^[x) = e-xtrndt, n = 1,2,3,... ■V původní německé práci Schwarzschild (1914) označuje exponenciální integrální funkci Kn a nazývá ji Integrallogarithmus. Pozdější překlad této práce do angličtiny od Rudolfa Loesera (Schwarzschild, 1966) používá současné značení En a název exponential integral. Ill 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ pro n = 1 a substituci t = l//x.Rovnici (6.18) můžeme formálně zapsat jako kde Jv{rv) = KTv[Sv{t)l ^ (6.19)' Ar„ [/(*)] = \J™ EÁ\t - rv\)f(t) dt. ^^k^^6?» Tento operátor zavedli Kourganoff and Busbridge (1952, rovnice lL.12#nazývá se A operátor a převádí zdrojovou funkci (vydatnost) na střední intenzitu záření. To je základní zavedení A-operátoru, kde rv v indexu značí přechod od funkce proměnné t k funkci proměnné rv. Tento původní význam indexu, který Kourganoff and Busbridge zavedli, se však vytratil a v současné době se píše v indexu u operátoru A frekvence z/, která spíše vyjadřuje monochromatičnost A operátoru, směrový kosinus /i označující směr šíření záření, případně se nepíše index žádný. Někdy se používají i jiné formy, které převádějí vydatnost na specifickou intenzitu, případně na intenzitu (specifickou nebo střední) integrovanou přes nějaký frekvenční interval, nejčastěji přes spektrální čáru. Operátor AVfJi pro přenos záření ve směru /i odpovídající rovnici (6.17) (převod vydatnosti na specifickou intenzitu záření) zavedeme rovnicí F(ru,fi) = Ivpu = A^[£Utu)\^ (6.21) Integrací tohoto operátoru přes úhly dostaneme operátor Au, který byl zaveden rovnicí (6.20), K[f{T)] = \j\v,[f{T)]d^. (6.22) Zde jsme použili výše diskutované a častěji používané označení Kv = ATu. Střední intenzita integrovaná přes profil spektrální čáry je oo J= / (j)v Jv du = A [S], (6.23) kde je zaveden frekvenčně středovaný A operátor ľOO Ä [/] = / <\>VAV [f] du. (6.24) o Zjednodušeně řečeno, za A-operátor lze považovat každý operátor, který nám převede vydatnost na střední nebo specifickou intenzitu záření. 113 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ Ostatní operátory Podobně jako A-operátor převádí vydatnost na střední intenzitu, můžeme definovat operátory, které budou z vydatnosti vytvářet tok nebo tlak záření (A-integrál). Nejdříve vyjádříme závislost Fv (2.49) na vydatnosti jako Fv(tv) = 2 / Sv{t)E2{t -rv)át-2 / Sv{t)E2{rv - t) át (6.25) Jtv Jo (viz Milné, 1930, část c, rovnice 163)2. Podobně závislost Kv (2.34) na vydatnosti lze vyjádřit jako Kv(rv) = - / Su(t)E3 (\t - rv\) át. (6.26) * Jo Funkce E2 a E% jsou také exponenciální integrální funkce (viz Příloha A.l). Rovnicím (6.25) a (6.26) se říká Milného rovnice. Můžeme definovat operátory $Ti/ a /co pr f(t)E2(t - rv) dt-2 f(t)E2(rv - t) át (6.27) 1 oo Xrv [fit)} = -J f(t)E3fi^\)*r (6-28) Operátory A, $ a A jsou podrobně rozebírány v knize Kourganoff and Busbridge (1952, kapitola II) a převádějí vydatnost na astrofyzikální tok Fv(tv) = $Ti/ [SM)\ (6.29) nebo na tlak záření (K-integrál) Kv{rv)=XTv[Sv{t)}. (6.30) Hubeny and Mihalas (2014) používají místo označení X označení H. Pravděpodobnostní interpretace Schwarzschildovy rovnice (6.18). Na rozdíl od makroskopického popisu založeného na využití statistické střední veličiny J, která popisuje chování souboru fotonů, je pravděpodobnostní popis využívá popisu toho, co se děje s jedním fotonem, s jakou pravděpodobností je absorbován, lÄitován a rozptylován. předpokládejme, že v místě s optickou hloubkou r = 0 má specifická intenzita hodnotu 7(0). Budeme-li dále předpokládat prostředí, které pouze absorbuje, 2viz také Milné (1966) 114 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ je specifická intenzita v místě r dána vztahem (6.3a) I(r) = 1(0)e T. Potom pravděpodobnost, že foton není absorbován mezi 0 a r, je p(r) = e-T. (6.31) Pravděpodobnost, že foton je absorbován mezi 0 a r, je podobně 1 pa(r) = 1 - e~T. (6.32) Pro velmi malé optické vzdálenosti ór <^ 1 můžeme použít Taylorův rozvoj rovnice (6.32). Pro pravděpodobnost, že foton je absorbován,\ostaneVe přesností do 1.řádu Pa(ôr) = ôt. (6.33) Vynásobením pravděpodobností ze vztahů (6.31) af(6^$) dWáváme vztah pro pravděpodobnost, že foton proletí optickou vzdálenost r a potom je mezi místy r a r + dr pohlcen vztah p(r)pa( dr) = p{r) dr = e~T dr. (6.34) Je-li v planparalelní atmosféře foton vyzářen v r = 0 do směru /i, pak pravděpodobnost, že je absorbován v oblasti (r, r + dr), je / r\ dr p(T) dr = exp--—. ä (6.35) Integrací vztahu (6.35) přes všechny směry /i dostáváme f1 ( r\ dr p(r) dr = exp^^^T — mi = Ei(r) dr, (6.36) Jo ^^^Ä kde p(r) dr vyjadřuje celkovou pravděpodobnost, že foton šířící se libovolným směrem 0 < /i < 1 je pohlcen v intervalu (r, r + dr). E\(x) je první exponenciální integrální funkce (rovnice A.l). Tato funkce tedy v rovnici (6.18) udává pravděpodobnost, že vyzářený foton (jejich počet je úměrný vydatností S - viz rovnice 3.29) letí mezi ŕ a r a je potom v (r, r + dr) pohlcen. 6.3 Numerické řešení rovnice přenosu záření V řadě případů, zejména pokud chceme řešením rovnice přenosu záření získat íeoretické spektrum, které chceme porovnat s pozorovaným, nevystačíme s analytickým řešením rovnice přenosu záření. Jako příklad si vezměme rovnici přenosu záření v planparalelní geometrii (3.27). Přenos záření mezi body r2 a r\ lze v planparalelní geometrii vyjádřit pomocí rovnice (6.4). Tato rovnice se řeší často numericky. V dalším se budeme zabývat numerickým řešením rovnice přenosu záření. 115 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ 6.3.1 Diskretizace rovnice přenosu záření Při numerickém řešení rovnice přenosu záření je diskretizace nevyhnutelná. Dis-kretizaci používáme hlavně pro vyjádření diferenciálů i integrálů. Jedním ze základních výpočtů při různých částech řešení rovnice přenosu záření je výpočet určitého integrálu nějaké funkce f{x) v mezích od a do b, který se numericky řeší jako součet funkčních hodnot ve vybraných bodech Xi (a < Xi < b,i = 1,..., I) vynásobených kvadraturními vahami Wi, J f(x)áx-ř^Wif(xi). (6.37) Ja i=i Jak kvadraturní váhy, tak i výběr bodů x;t jsou pro vf^Ěbst výpočtu klíčové. Je třeba je zvolit tak, aby výsledný součet co nejpřesněji odpovídal hodnotě integrálu. Pro zpřesnění výpočtu je kvadraturní váhy vhodné normalizovat. Dosáhneme toho dosazením funkce f{x) = 1 do (6.37). Spočteme Sj^^Wí (6.38) i=l Pokud Si ^ b — a, podělíme všechny hvadraturní váhy hodnotou Sj, id ' wt^^. (6.39) z>i Problematika přesných numerických výpočtů integrálů je podrobně studována v monografiích o numerické matematice. Při řešení rovnice přenosu v diferenciálním tvaru používáme diskretizaci pro výpočet derivací. Jako příklad si uvedeme nejjednodušší diferenční vyjádření první derivace funkce f{x) v bodě x i, df(x) dx -+ f' Ar] j)[r). (6.40) Existuje řada přesnějších formulí, které lze nalézt v monografiích věnovaných numerické matematice. 6.3.1.1 Prostorová diskretizace Prostorová diskretizace pro numerické výpočty se provádí s ohledem na to, jak se mění vlastnosti prostředí v prostoru. ^V jednorozměrném případě (planparalelním nebo sféricky symetrickém) se jedná o hloubkovou diskretizaci nezávislé proměnné z. Prostředí (hvězdná atmosféra, mlhovina) je reprezentováno pomocí D hloubkových bodů vhodně rozdě-lelných tak, aby co nejlépe popisovaly dané prostředí. Pro stabilní řešení rovnice 116 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ přenosu záření v atmosféře, která je v hydrostatické rovnováze, je vhodné volit diskretizaci ekvidistantní v ln r, ale pro každou frekvenci. Obecně je pro každou frekvenci jiná škála optických hloubek (3.22), protože opacita je v každé frekvenci jiná. Ideální by tedy bylo použít pro každou frekvenci jinou hloubkovou diskretizaci. To ovšem narazí na jiný problém. Kdybychom v takovém případě chtěli spočítat integrál intenzity záření přes nějaký frekvenční interva^_ylanÄ|cubce, rm-příklad v integrovaných momentových rovnicích (3.35) nebo přes profil spektrální čáry, neobešli bychom se bez prostorových interpolací téměř pro každou frekvenci. Abychom se této situaci vyhnuli, volíme diskretizaci pro nějakou „střední" optickou hloubku a tu pak použijeme pro všechny frekvence. Často se používá Rosselandova optická hloubka fR (6.16), v některých případech i optická hloubka kontinua pro vlnovou délku A = 500 nm, případně i pro jinou vlnovou délku. Maticová reprezentace A-operátoru Pokud vyjádříme střední intenzitu pro diskrétní hloubkové body, můžeme působení A-operátoru (viz kapitola 6.2) vyjádřit pomocí maticové rovnice (D je počet hloubkových bodů) í Ji\ VdJ /Ai,i A2,i Al,2 A2,2 Ai,d\ A 2,d \Ad,i Ad,2. So (6.41) Ad,d/ \SDJ A-operátor můžeme zjednodušit na tzv. přibližný A-operátor, o němž se zmíníme později (kapitola 12.2.2). 6.3.1.2 Úhlová diskfktizace 1 Vzhledem k tomu, že rovnici přenosu záření vždy řešíme podél omezeného počtu paprsků definovaných směrovým vektorem n, je při výpočtu střední intenzity (2.13), toku (2.19) a tenzoru tlaku (2.21) nutné integrovat specifickou intenzitu přes úhly. V případě planparalelní geometrie řešíme numericky integrál přes /i (2.27). Podle (6.37) dostáváme „1 M / d/ity^wmI(/im). (6.42) J 1 m=l kde M je počet směrů, pro něž známe specifickou intenzitu záření. Musí platit normalizační podmínka, kterou získáme z rovnice (6.42) pro = 1, M SM = ^2wm = l. (6.43) m=l 117 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ Pokud tato podmínka splněna není a výsledkem součtu (6.43) je číslo S m Ý 1 Je nutné všechny kvadraturní váhy wm nahradit váhami wm/ Sm- Síť M paprsků může být vybrána různými způsoby. Pokud je oněch M paprsků vybráno tak, aby hodnoty kosinů /i byly kořeny Legendreových polynomů řádu M (Gaussova-Legendreova kvadratura, viz například Hildebrand, 1974, kapitola 8.5) výsledná integrace je alespoň dvakrát přesnější než v případě M libovolných směrů. Nevýhodou může být pevné zadání směrů, v nichž se rovnice přenosu záření řeší. V případě, že není možné využít Gaussovu-Legendreovu kvadraturu, je možné použít libovolné směry a integrovat lichoběžníkovou metodou. Nevýhodou je nižší přesnost, ale směry můžeme volit podle potřeby. 6.3.1.3 Frekvenční diskretizace Podobně jako v případě úhlové diskretizace je vhodné zavést frekvenční diskreti-zaci (tj. zvolit frekvenční body un, n = 1,..., F) tak, aby co nejlépe vystihla optické vlastnosti protředí. Základní rysy frekvenčního spektra, které je třeba vhodnou diskretizací popsat, jsou dány závislostí opacity x a emisivity r] na frekvenci u. Tato závislost pak určuje i závislost intenzity záření I na frekvenci. Přechody v kontinuu (rozptyl na elektronech, volně-volné přechody) se s frekvencí mění poměrně pomalu (malé dx/du) a rovnoměrně (d2x/du2 ~ 0). Tím jsou malé i změny intenzity záření I s frekvencí u (malé dl/du). Ionizace a rekombinace mají pro většinu frekvencí rovněž malé a rovnoměrné změny (malé dx/du a malé d2x/du2), ale v případě ionizačních hran se opacita (a tím i intezita záření) mění skokem. Čárové přechody se vyznačují velkou změnou opacity (velké dx/du) v úzké čáře. Často lze jp^fc^pěšňě^yužít fakt, že spektrální čáry bývají symetrické vzhledem ke své centrální frekvenci a řešit rovnici přenosu jen v půlce spektrální čáry. Závislost derivace dx/du na frekvenci u určuje vhodné rozdělení frekvenčních bodů. Pokjj^ktopacita mění rovnoměrně [d2x/du2 0), můžeme frekvenční body volit prakticky ekvidistantně. S ohledem na skutečnost, že | d2x/du2 | > 0, je vhodná diskretizace ekvidistantní v ln u. Pokud však je \d2x/du2\ 3> 0, musíme volbu frekvenčních bodů přizpůsobit funkci x{u) tak, aby případné integrování přes frekvence mělo co nejmenší chybu. Pro integraci přes frekvence je nejvhodnější lichoběžníková metoda, protože minimalizuje počet nutných frekvenčních bodů. Umožňuje nám je rozmístit jen tam, kde je jich třeba. integrace přes profil čáry j J(u)du^ J(u)du« ^2wnJ(vn). (6.44) J 0 JVmin n=l 118 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ normalizace profilu čáry f sf = wn = i. n=l pro Sf ý 1: —> wti/Sf 6.3.2 Dlouhé a krátké charakteristiky Dlouhé charakteristiky V metodě dlouhých charakteristik se řeší rovnice přenosu záření podél paprsků procházejících celým prostředím (od okraje k okraji). V případě planparalelní geometrie je pro daný paprsek úhel 9 mezi směrem šíření záření n a polohovým vektorem r = (0, 0, z) konstantní. Pro sféricky symetrickou geometrii má každý paprsek jistou vzdálenost p od středu symetrie. Tato vzdálenost se nazývá impact parameter (Hummer and Rybicki, 1971). Rovnici přenosu záření pak řešíme podél jednotlivých Baprsků hrůzným p, přičemž úhel 9 mezi směrem šíření záření n a polohovým vektorem r se mění podél paprsku. Krátké charakteristiky Použití metody dlouhých charakteristik ve vícerozměrných případech, bývá často nevýhodné. Pokud jsou hodnoty základních proměnných atmosféry definovány numericky pomocí sítě, dlouhá charakteristika vycházející z uzlového bodu často "mine" většinu dalších uzlových bodů, takže pro pokračování integrace podél paprsku musíme velmi často interpolovat. Podobně musíme interpolovat, chceme-li zjistit hodnoty intenzity v uzlových bodech. Pomocí krátkých charakteristik, které jsou celé obsaženy jen v jedné buňce ohraničené uzlovými body, můžeme množství interpolací významně snížit. Užití krátkých charakteristik znamená použití použití rovnice (6.4) na "krátkých" intervalech. 6.3.3 Integrální metody Pomocí rovnice (6.18) vyjádříme řešení rovnice přenosu záření pro střední intenzitu Jv a zavedeme diskretizaci (viz kapitola 6.3.1) podle optických hloubek rd, d = 1,..., D (D je celkový počet hloubkových bodů). Vztah pro střední intenzitu získá tvar^ Jd(rd) = \ í £i(|t - rd\)S(t) dt. (6.46) * Jo Vydatnost S(ť) mezi diskrétními body je třeba interpolovat. Můžeme použít lineární interpolaci (mezi body a rd+i) S(t) = SdTd+1~t +Sd+1 l~Tá , rd u) ~ 1 (-F ^)] (6.55b) Sečtením (3.15) pro +/i a — /i dostaneme s využitím (6.55) ^d/^ = _ ^ (6.56a) dj ďr, V-TT1 = h»n (6.56b) Derivováním rovnice (6.56b) podle rv a následným dosazením z (6.56a) dostaneme rovnici druhého řádu pro proměnnou j, 3Proměnné se někdy značí u a v. Proměnným se běžně říká Feautrierovy proměnné, i když je Schuster zavedl o hodně let dříve (1905). Feautrier (1964) je použil k formulaci numerické metody řešení rovnice přenosu záření. Oba autoři je značili odlišně od značení použitého zde, Schuster použil označení A a B a Feautrier J a F. 121 6. FORMÁLNÍ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ kterou budeme nazývat Schusterovou rovnicí přenosu záření druhého řádu (viz Hubeny and Mihalas, 2014, kapitola 11.6). Okrajové podmínky Rovnici (6.57) řešíme mezi optickými hloubkami rmin (nej-nižší hodnota) a rmax (nejvyšší hodnota). Horní okrajovou podmínku rovnice (3.15), /(-/x, z/, rmin) = ľu/1, 0 < fi < 1, (6.58a) která většinou definuje záření dopadající na hvězdnou atmosféru z vnějšku, a dolní okrajovou podmínku téže rovnice, I(+fi, v, rv = rmax) = 1^, 0 < fi < 1, (6.58b) která popisuje záření přicházející do atmosféry z nitra hvězdy, přepíšeme pomocí vztahů I v) = jvlí + hvpu a I (—//, v) = jLu — /i^Akteré vyplývají z definice proměnných (6.55). Dostaneme tak vztahy pro horní okrajovou podmínku dj^ dr, a pro dolní okrajovou podmínku jv^r^)-Fv (6.59a) C-J»] (6.59b) drv Pro hvězdné atmosféry se často uvažuje nulové dopadající záření, = 0, ěT (6.60) a difúzní přiblížení na spodním okraji, Ku = ^(Tmax) +H dr„ (6.61) Pro případ symetrické vrstvy můžeme stanovit hraniční podmínku ve středu symetrie, kde je hv^{r) = 0. Položíme-li r = rmax, máme okrajovou podmínku drr/ (6.62) Dále se problém diskretizuje a řeší numericky (viz Příloha Cl). 122 Kapitola 7 ^^^^ Přenos záření s obecnou vydatností V této části se začneme zabývat zobecněním rovnice přenosu pro případy, kdy při řešení rovnice přenosu neznáme vydatnost (opacitu a emisivitu), protože nějakým způsobem závisí na poli záření. V této kapitole se podíváme na vliv rozptylu na pohyb fotonu v prostředí a na to, jak započtení rozptylu ovlivní rovnici přenosu záření a jaké máme možnosti řešení rovnice přenosu záření s rozptylem. Později (v kapitole 11) se budeme zabývat složitější závislostí vydatnosti na poli záření přes ronice kinetické rovnováhy. 7.1 Vydatnost spektrální čáry Odvodíme si nyní vztah pro vydatnost (zdrojovou funkci) spektrální čáry. Opacitu můžeme se zahrnutím stimulované emise jako záporné absorpce zapsat jako X(") = ^ (stim(v)nuBul) (7.1) kde (j){y) je absorpční profil a ipstim(i/) je profil stimulované emise. Obecně mohou být tyto profily rozdílné. Emisivitu v čáře můžeme zapsat jako viJmj^^MnuAui, (V.2) 47t kde ■ipspont(v) je profil spontánní emise, který se obecně opět může lišit od absorpčního profilu i ofl profilu stimulované emise. Vydatnost v čáře Sl dostaneme jako podíl emisivity a opacity S (u) = ^- = ^poií\v)nuAul V případě nepříliš intenzivního pole záření (což je případ běžných hvězdných atmosfér) jsou emisní profily pro spontánní a stimulovanou emisi stejné (Cooper 123 7. PŘENOS ZÁŘENÍ S OBECNOU VYDATNOSTÍ et al., 1983), ipspont(u) = ^stim(z/) = Pokud navíc dochází k úplné redis- tribuci záření ve spektrální čáře (5.90c), jsou stejné i absorpční a emisní profily, (j,(u) = ý (v), pak nvAvi 2hu? 1 SL = = -. (7.4) niBiu - nuBui & mgu nugi Tento vztah přejde na Planckovu funkci (rovnovážný stav), pokud platí nu 9u ( hulu\ — = —exp -—- . (7.5) ni gi \ kT J Tento vztah je splněn nejen v případě termodynamické rovnováhy, kdy obsazení hladin ni a nu mají rovnovážné hodnoty n\ a n*u, ale může být splněn i pro obecně nerovnovážné hodnoty ni a nu. V tom případě někdy říkáme, že hladiny / a u jsou vůči sobě v (lokální) termodynamické rovnováze. Typickým příkladem jsou hladiny, jejichž excitační energie mají vzájemně blízké hodnoty, nebo hladiny s excitačními energiemi blízkými ionizační energii. 7.2 Rovnice přenosu záření s rozptylem Zahrnutí rozptylu vnáší do rovnice přenosu záření člen, který je přímo závislý na intenzitě záření. Při rozptylu nedochází ke zničení fotonu jako například při pravé absorpci, ale může se jeho měnit frekvence v i směr n. • celková opacita x = K + °" k - absorpční opacita (bez rozptylu) - můžeme rozdělit Ř(rí, v'; n, v) = a(r, v')g(rí, n)R(i/; v) WWX) a(r, u') - opacita rozptylu g(n',n) - úhlová redistribuční funkce R(u';u) - frekvenční redistribuční funkce Úhlová redistribuce záření podrobně v knize Chandrasekhar (1950) pro zjednodušení předpokládáme frekvenčně koherentní rozptyl R(n', v'; n, v) = a(r, u')g(n', n)8^u — v') rozptylová emisivita /j / I(r,n',u)g(n',n)- (7.9) rovnice přenosu záření (z (ifjd)^ n ■ V/(r, n, u) = — [n(r, n, u) + a(r, u)] I(r, n, u) — i]th(r, n, u) I(r,n',u)g(n',n)-^- (7.10) v případě izotropního rozptylu (g(n', n) = 1) n -fí[(r, ro^) = — [n(r, n, v) + a(r, v)] I(r, n, v) — i]th(r, n, v) -a(r,u)J(r,u) (7.11) čistě rozptylující prostředí n ■ V/(r, n, v) = —"7\ (7.18) Podíl termální opacity k celkové opacitě Su = —^— \ ) <7-19) udává pravděpodobnost, že bude foton pohlcen („zničen"). Tento podíl se nazývá parametr tepelné vazby (thermal coupling parameter) nebo také pravdépodob-nost zničení fotonu (photon destruction probability). S tímto parametrem získá výraz pro vydatnost tvar Sv = evBv + {\-ev)Jv ^ \ (7.20) Z tohoto vztahu vyplývá, že v případě, když převládá tepelná opacita a opacita rozptylu je malá, je pravděpodobnost zničení fotonu velká (ev —> 1) a vydatnost se blíží své rovnovážné hodnotě. Pokud převládá opacita rozptylu, je pravděpodobnost zničení fotonu malá a vydatnost se blíží vztahu (7.17) Formálně zobecníme tento výsledek i pro případ rozptylu ve spektrální čáře (kapitola 5.8) na pozadí kontinua, které se formuje v LTE. Opacitu \v v tomto případě můžeme vyjádřit jako Xv = Xc + Xi4>u, (7.21) kde Xc je opacita kontinua (ionizací, volně volných přechodů a rozptylu na elektronech), xi Je opacita ve středu čáry (nezávisí na frekvenci) a <\>v je profil této čáry. Opacita kontinua Xc je pro frekvence v čáře prakticky konstantní, protože spektrální čáry jsou většinou velmi úzké. Pro emisivitu v této čáře platí, že část e pochází z termálních procesů a část 1 — e z rozptylu v čáře. Předpokládáme úplnou redistribuci záření při rozptylu v čáře. Pro celkovou emisivitu můžeme psát f]v = XcBv + Xľfiv eBv + {l-e) \ u/Ju/ di/, (7.23) Jo kde r = xdxi^ív = (r + ed/x (7.43b) Jo Numerické řešení rovnice (3.40) s okrajovými podmínkami (7.42) se provádí jako řešení rovnice přenosu pro Feautrierovu proměnnou (viz také Příloha Cl). Nyní můžeme zformulovat iterační postup pro řešení celé úlohy. Nejdříve určíme vydatnost Sv, kterou buď vezmeme z předcházejícího iteračního kroku nebo (pokud začínáme výpočet) ji položíme rovnu například Planckově funkci. V prvním iteračním kroku pro tuto zadanou vydatnost Sv řešíme rovnici (6.57) a určíme Feautrierovu intenzitu jVíl. V dalším kroku ze známé intenzity spočteme Ed-dintonovy faktory a s využitím vztahů (7.40) a (7.41). Následuje řešení momentové rovnice přenosu (3.40) s okrajovými podmínkami (7.42) pro zadané Eddintonovy faktory, řešením je střední intenzita záření Jv. V závěrečném kroku určíme relativní rozdíl Jv mezi dvěma posledními iteracemi. Pokud je tento relativní rozdíl větší než hodnota, kterou jsme vybrali jako kritérium konvergence (například 1CT4), uiwne novou vydatnost podle rovnice (7.20) a vracíme se zpět na první krok iteračního postupu, kdy řešíme rovnici (6.57) pro jvtí se zadanou vydatností. Pokud je kritérium konvergence splněno, končíme výpočet. 133 Přenos záření v pohybujícím se prostředí Opustíme nyní předpoklad statického prostředí a zjednodušení planparalelní atmosféry a budeme předpokládat, že se studovaná hmota pohybuje rychlostí v[r) vzhledem k pozorovateli. Foton, který ^^■j^e^^reru n a jehož frekvence ve vztažné soustavě pozorovatele je v, bude mít ve vztažné soustavě spojené s pohybující se hmotou frekvenci v'', která je dopplerovsky posunutá. Za předpokladu í) Eiu pc^id po excitaci nemá dost energie k úniku, zůstane vázaný v atomu/iontu, který bude ve dvoj excitovaném stavu poté dojde k autoionizaci (5.68) (výsledek je excitovaný stav) nebo k die-lektronické rekombinaci (5.71b) (výsledek je iont s nižším nábojem - není to excitace, ale rekombinace) 142 10. SRÁŽKOVÉ PROCESY_ \ Obrázek 10.1: Unified picture of dominant atomic processes in plasmas: electron impact excitation (EIE), photoionzation (PI), autoionization (AI), dielectronic recombination (DR) and radiative recombination (RR). Note the often important role of resonance states in the centre, mediating atomic processes. Z (Pradhan and Nahar, 2011, obr. 3.5, str. 49) (zkopírováno 28). 143 10. SRÁŽKOVÉ PROCESY (Pradhan and Nahar, 2011, kapitola 5.1) • pro srážkovou excitaci neexistují výběrová pravidla • účinný průřez (značení podle Pradhan and Nahar, 2011, rovnice 5.1) a(E) počet interagujících částic počet částic dopadajících na jednotkovou plochu úhlově závislý, úhel rozptylu 9 elektrony rozptylovány do prostorového úhlu zu (kolem směru určeného rozptylovým úhlem 9, dzu = sin 9 d9 d0) • diferenciální účinný průřez da f (9) - amplituda rozptylu (scattering amplitude) celkový účinný průřez pro danou energii E - integrál přes všechny směry srážková síla (collision strength) f2řu, zavedl Menzel, pojmenoval Seaton (píší Pradhan and Nahar, 2011), bezrozměrná veličina gi - statistická váha dolní hladiny, E = kf - energie dopadajícího elektronu v Rydberzích (viz kapitola B.l) na2, pa 8.797 • lCT17cm2, a0 je Bohrův poloměr íliu je na energii do^Baajícího elektronu E jen slabě závislá (díky podělení energií dopadajícího elektronu) přítomnost rezonancí v závislosti na energii elektronu (pro vyšší energie elektronu) rozdílná forma pro neutrální atomy a pro ionty oiu = 0 pro E < Eiu da(E,9) \f(0)\2 dzu (10.2) 144 10. SRÁŽKOVÉ PROCESY kladné ionty coulombická síla (daleký dosah) nenulový účinný průřez i pro energie trochu nižší než excitační energie (vliv přitažlivé coulombické síly, která elektron urychluje) rezonance Rydbergova typu (hodně „ostrých" rezonancí) neutrální atomy účinný průřez pro E = Eiu nulový rezonance v blízkosti hraničních energií (shape resonances) - vlivem sil krátkého dosahu složitější elektron-elektronové korelace (díky absenci coulombické síly) obtížné i měření - nedá se fokusovat (zaostřit) elektronový paprsek coulom-bickou silou nicméně pro nízké hladiny je poměrně dobrá shoda s teorií efektivní srážková síla T(T) (Pradhan andfrsíahar, 2V11, rovnice 5.31) íl(E) vystředovaná přes maxwellovské rozdělení rychlostí elektronů Jo Vfti / užitečná tam, kde nepotřebujeme explicitní závislost účinného průřezu na energii dopadajícího elektronu škálování srážkové síly x = EjEui pro přechod / —> u pro hladiny s LS vazbou přibližně platí (viz Pradhan and Nahar, 2011, kapi- a) Q(l,u) ~ konst. pro zakázané přechody (electrické kvadrupólové), AL Ý 1, AS = 0 b) fž(Z, u) ~ x~2 pro přechody se změnou spinu AS ^ 0 c) fž(Z, uf^a, ln(4rr), dovolené přechody, AL = 0, ±1, AS* = 0 měření srážkové síly nesnadné, většinou souhlasí s teoretickými výpočty na 10 — 20% měření rezonancí je závislé na rozlišení paprsku dopadajících elektronů (10.3) tola5.5) a ~ fiu 145 _10. SRÁŽKOVÉ PROCESY_f \ data pro srážkovou excitaci v literatuře, existují „hodnocené kompilace" (evaluated compilations), které kriticky hodnotí publikovaná data a doporučují nej-lepší hodnoty (například Pradhan and Gallagher, 1992) srážková deexcitace je inverzní proces ke srážkové excitaci v termodynamické rovnováze platí detailní rovnováha 10.2 Srážková ionizace a rekombinace (Pradhan and Nahar, 2011, kapitoly 3.2.6 a 5.8) (Dopita and Sutherland, 2005, kapitola 5.1) přímá ionizace iontu X+n na iont X+n+1 rozdílný mechanismus od excitace - problém tří těles (po interakci) e-(E1)+X+n -+ e-(E[) + e~(^+xjfl (10.4) platí zákon zachování E\ = E[ + E2 + Eíon Ei - energie elektronu před ionizací; E[ - energie ionizujícího elektronu po ionizaci; E2 - energie elektronu uvolněného ionizací; Eion - ionizační energie elektrony po ionizaci korelované pro nízké energie (posrážková interakce) ovlivňuje účinný průřez pro energie dopadajícího elektronu blízké excitační energii blízko ioniz^iÄjjany oy~ Ea (Wannierova relace), kde a = 1.127 pro ionizaci neutrálních atomů přímá ionizace do vyšších hladin pro vyšší energie elektronů zvyšuje účinný průřez alternativní autoionizační kanál (excitation-autoionization) excitace do dvakrát excitovaného stavu s následnou autoionizací (5.68) e-^+W"1 -> e-(E[)+ [X+nY -> e-(E[) + e-(E'2) + X+n+1 (10.5) dvojitá autoionizace (resonant excitation double autionization - REDA) v případě, že výsledný stav po excitaci-autoionizaci je znovu dvakrát excitovaný, po autoionizaci [X+n+1] * -> e" (E3) + X+n+2 (10.6) 146 10. SRÁŽKOVÉ PROCESY účinný průřez teoretický popis složitější než u excitace (problém tří těles), měření snadnější než pro excitaci (pouze jeden vázaný stav) semiempirické vztahy (například Seaton, 1964; Lotz, 1967a,b, další v Pradhan and Nahar 2011), také kapitola 11.4 srážková rekombinace je inverzní proces ke srážkové ionizaci v termodynamické rovnováze platí detailní rovnováha v mezihvězdném prostředí je zanedbatelná 10.3 Další srážkové procesy Výměna náboje chargé transfer (Pradhan and Nahar, 2011, kapitola 3.2.7), je to výměna elektronu mezi ionty, viz také Dopita and Sutherland (2005, kapitola 5.4) nejčastější proces je reakce s neutrálním vodíkem X+n + Hl^X+n-1+p+ + A£ (10.7) a v mezihvězdném prostředí i s neutrálním heliem X+n + Hel^X+n"1^*íell^™< (10.8) AE je přebytek energie, který přejde do kinetické energie částic zpětná reakce je možná jen v případě, že srážející se ionty mají dostatečně velkou kinetickou energii důležitý příklad - rezonanční výměna náboje mezi O a H - přibližně stejná ionizační energie OI a HI (rezonanční výměna náboje - resonant chargé exchange) častý proces v oblasti nad ozonovou vrstvou Země On + HmOi + p+ (10.9) nerezonanční výměny náboje méně časté výměna náboje i při srážkách s molekulami, například C0+ + HmC0+p+ (10.10) účinné průřezy výměny náboje v Dopita and Sutherland (2005, kapitola 5.4) 147 10. SRAZKOVE PROCESY Srážky s protony výrazně menší účinný průřez • proton je 1836 x těžší než elektron, takže 43 x pomalejší • je odpuzován kladnými ionty pro některé případy za vhodných teplot (vysokých - kTp 3> Eexc, Tp je teplota protonů a Eexc je excitační energie daného přechodu) četnost může být značná Srážky atomů a iontů s atomy nebo ionty například excitace hladin jemné struktury neutrálních atomů srážkami s neutrálním vodíkem srážky s protony, atomy, ionty a výměna náboje se považují za molekulární procesy 10.4 Augerovy procesy (Pradhan and Nahar, 2011, kapitola 5.9) • ionizace elektronu z vnitřní slupky (K) (srážkou nebo vysokoenergetickým zářením) —> výsledkem vysoce excitovaný iont s „dírou" v K slupce =>- téměř všechny elektrony excitovány pak může následovat • autoionizace (uvolnění elektronu spojené s vyzářením energie, viz kapitola 5.4) • zářivý rozpad • fluorescence (postupná deexcitace, přechod jednotlivých elektronů do nižších energetických stavů) 148 10. SRAZKOVE PROCESY zářivý rozpad: foton emitovaný při přechodu elektronu do nižší slupky může způsobit další ionizaci existuje mnoho cest k opět stabilnímu atomu příklad: po ionizaci z K slupky následuje přechod L —ř K, irotornmfckna-' stat: • vyražení dalšího elektronu ze slupky L energie vyraženého elektronu (Pradhan and Nahar, 2011, rovnice 5.46) AEe = hu(L — K) — Ejp(L) rozdíl mezi energií přechodu L —> K a ionizační energii ze slupky L zdroj elektronů s nízkou energií • L —ř L (přechod uvnitř slupky), další ionizace M (přechod uvnitř jedné slupky vyrazí elektron z jiné slupky - Costerův-Kronigův proces) • N —ř N (přechod uvnitř slupky), další ionizace N (přechod uvnitř jedné slupky vyrazí elektron z téže slupky - super-Costerův-Kronigův proces) může vzniknout ionizační kaskáda spojeno s postupnou deexcitací (fluorescence) pomocí zářivých i autoionizačních přechodů 149 Obsazení energetických hladin atomů Pro určení schopnosti hmoty absorbovat záření je nutná znalost dvou základních informací. Je třeba znát interakční vlastnosti hmoty se zářením pro jednotlivé druhy interakcí a množství interagující j^^^^fi^HK jednotlivých částic hmota obsahujje. Interakční vlastnosti hmoty jsme probrali v kapitole 5, zde se budeme zabývat určením množství absorbujících částic. To je dáno hustotou hmoty, jejím chemickým složením a její ionizační a excitační rovnováhou. První dvěj^eličmk^hustotu p a chemické složení (abundance), budeme v této kapitole považovat za dané. Zabývat se budeme rozdělením mezi jednotlivé ionty a jejich energetické hladiny (stavy). Pro zadané chemické složení a celkovou hustotu a pro známé absorpční vlastnosti částic určuje toto rozdělení opacitu a je pro formování vystupujícího záření rozhodující. Můžeme je určit za předpokladu termodynamické rovnováhy nebo bez tohoto předpokladu. V termodynamické rovnováze platí kromě Maxwellova rozdělení rychlostí, Bolt-zmannova rafcj^en/excitačních stavů a Sahova rozdělení ionizačních stavů také Planckovo rozdělení pro pole záření (4.43). Z pozorování hvězdných spekter ale víme, že jejich záření není popsáno rovnovážným Planckovým rozdělením a že obsahuje ionizační hrany a velké množství spektrálních čar. Proto rovnovážnou aproximaci pro pole záření můžeme těžko přijmout. Lze však předpokládat platnost termodynamické rovnováhy pro hodnotu teploty T a elektronové hustoty ne v daném místě (lokálně), přičemž se obě veličiny mohou místo od místa měnit. Lokálně platí i rovnovážné rozdělení rychlostí částic, exitačních stavů a ionizační rovnováhy. Lokálně platí i rovnováha mezi vyzářenou a pohlcenou zářivou ener- 11.1 Lokální termodynamická rovnováha 150 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ gií (Kirchhoffův zákon, rovnice 4.52). Přenos energie mezi vzájemně vzdálenými místy atmosféry probíhá zářením a intenzitu záření určíme řešením rovwce přel nosu záření pro vydatnost vyplývající z Kirchoffova zákona, tj. rovnou Planckově funkci (Sv = By). V lokální termodynamické rovnováze (LTE) je tedy obsazení energetických stavů atomů určeno v termodynamické rovnováze, pole záření však musíme určit řešením rovnice přenosu záření. 11.1.1 Podmínky pro lokální termodynamickou rovnováhu a jejich porušení vlivem záření V termodynamické rovnováze je četnost, kterou probíhá libovolný proces, stejná jako četnost, kterou probíhá proces k němu opačný. Této vlastnosti se říká detailní rovnováha. V termodynamické rovnováze musí platit detailní rovnováha jak pro srážkové, tak i pro zářivé procesy. Zda hmota bude splňovat podmínky termo/yňámicke rovnováhy či nikoli, závisí na četnostech jednotlivých interakcí vzájemně mezi částicemi a na četnostech interakcí mezi částicemi a zářením. Pružné srážky mezi částicemi ustavují rovnovážné rozdělení rychlostí. Celková kinetická energie srážejících se částic se při pružných srážkách zachovává a dochází pouze k přerozdělení hybnosti mezi nimi. Pružné srážky vedou k ustavení rovnovážného rozdělení rychlostí. Při nepružných srážkách mezi částicemi je část kinetické energie přeměněna na vnitřní energii částic (excitace) nebo naopak, vnitřní energie částic je přeměněna na kinetickou (deexcitace). Při nepružných srážkách může také dojít k vyražení elektronu z iontu (ionizace) nebo k jeho zachycení (rekombinace). Při všech těchto procesech může dojít k porušení rovnovážného rozdělení rychlostí. Ve většině astronomických aplikací je frekvence pružných srážek vyšší než frekvence nepružných srážek, což zaručuje zachování rovnovážného rozdělení rychlostí. Proto můžeme považovat rozdělení rychlostí částic za rovnovážné. Pro rovnovážné rozdělení rychlostí vedou nepružné srážky k ustavení rovnovážného rozdělení i pro vnitřní energii částic. Rozdělení do excitačních a ionizačních stavů je tedy vlivem nepružných srážek také rovnovážné. Jednotlivé excitační a ionizační procesy jsou v detailní rovnováze. Pokud pole záření není rovnovážné, což je případ hvězdných atmosfér i jiných vesmírných objektů, interakce mezi hmotou a zářením (těmto interakcím říkáme často zkráceně zářivé procesy) obecně v detailní rovnováze nejsou. Tyto procesy mají tendenci narušovat ionizační a excitační rovnováhu. Naopak srážkové excitace, deexcitace, ionizace a rekombinace (zkráceně často srážkové procesy) mají tendenci ionizační a excitační rovnováhu ustavovat. Mezi srážkové procesy počítáme i zářivou rekombinaci (jde o interakci fotonu, iontu a elektronu, poslední dvě částice se "srazí") a volně-volné přechody (jde vlastně o srážku iontu a elektronu). 151 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Lokální a nelokální pole záření V případě, že pole záření má rovnovážné rozdělení, jsou i zářivé procesy v detailní rovnováze. V hlubokých vrstvách hvězdných atmosfér, kde pro šíření záření můžeme použít difúzni přiblížení (viz kapitola 6.1), je odchylka pole záření od rovnovážného stavu poměrně malá. Proto v této oblasti zářivé procesy nenarušují příliš lokální termodynamickou rovnováhu a tato je pro popis této oblasti poměrně vhodná. Pokud však difúzni přiblížení neplatí, získáme pole záření řešením rovnice přenosu záření. Takové záření již není rovnovážné a tím i přiblížení lokální termodynamické rovnováhy není vhodné. Další vlastností takového záření (nejen ve hvězdných atmosférách) je jeho nelokálnost. Díky nezanedbatelnél^Kiní volné dráze fotonu nelze záření považovat za lokální veličinu. Zářením mohou být propojena místa od sebe velmi vzdálená. Tím se může snadno stát, že teplota záření v daném místě (daná teplotou vystupující v Planckově funkci 4.43) může být dosti různá od lokální elektronové teploty (dané Maxwellovým rozdělením rychlostí 4.13). Záření může způsobovat ohřev nebo ochlazování. Anizotropie záření ve hvězdných atmosférách Záření vycházející z hvězd a z jiných vesmírných objektů musí být vně těchto objektů anizotropní. Tuto anizot-ropii můžeme charakterizovat geometrickou veličinou nazývanou faktor zředění (dilution factor) a označovanou W. Z každého bodu vně hvězdy je hvězda vidět pod prostorovým úhlem < An. Tento úhel použijeme pro definici faktoru zředění, W = —. (11.1) 47t Je-li r* je poloměr zářícího povrchu hvězdy a r je vzdálenost k pozorovateli od středu hvězdy, můžeme vyjádřit prostorový úhel jako zu* = JQ27r d0 f0 sin 9' d9' = Obrázek 11.1: Schéma pro výpočet faktoru zředění (r* je poloměr hvězdy, r je vzdálenost od středu hvězdy) 152 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ 2n (1 — cos#), přičemž s'm9 = r*/r (viz obrázek 11.1). Odtud dostaneme pro faktor zředění vztah (11.2) Na povrchu hvězdy (r = r*) je faktor zředění W = ^. Faktor zředění můžeme použít pro přibližné vyjádření střední intenzity záření i ve hvězdných atmosférách, protože v nich platí, že r > r*. V nich je vždy W < |, s rostoucí vzdáleností od povrchu hvězdy W klesá. V planetárnícl j^movinách ozařovaných centrální hvězdou je W m (5.41) a ni je koncentrace částic ve stavu /. Protože nás zajímá celkový efekt způsobený zářením dopadajícím ze všech směrů, zintegrujeme výraz přes úhly a pro monochromatickou absorbovanou energii dostaneme rnAixonm(u)Jv du. Počet přechodů dostaneme podělením energií fotonu. Celkový počet přechodů / —> m pak získáme integrací přes frekvence kde jsme zavedli veličinu Rim jako četnost zářivého přechodu (radiation transition rate) l —ř m. Vztahy pro inverzní procesy m —> l se budou lišit v závislosti na tom, jestli se jedná o přechod do vázaného nebo do volného stavu, proto obě možnosti probereme odděleně. 11.3.1 Vázaně-vázané přechody Absorpční přechody Četnost absorpcí v čáře při přechodu z hladiny / do hladiny u označíme R*. Počet přechodů v jednotkovém objemu riiRiu je dán vzta-Jiem (11.9) a dostaneme ho také z rovnice (5.1) integrací přes dzu a du a s využitím (5.13), 11.3 Četnost zářivých přechodů (11.9) niRiu = niBiu I Jo oo 4>VJV du = riiAn I Jo ■oo hu Jv du. (11.10) 156 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ kde (j)v je profil čáry (viz kapitola 5.3). Pomocí integrované střední intenzity v čáře (srovnej s 6.23) "OO Jlu 'o můžeme celkovou četnost absorpcí v čáře vyjádřit také jako niRtu = niBiuJiu V (11.12) Integrál absorpčního průřezu přes frekvence označíme S využitím faktu, že plná šířka v polovině maxima absorpčního profilu je mnohem menší než frekvence přechodu, můžeme nahradit frekvenci v integrálu přes profil její hodnotou pro střed čáry hi/[u, čímž dostaneme aiu = Í alu{v)dv = í ^Blu(j){v)áv k.^-B1u. (11.13) Jo Jo 4tt 4tt Pak můžeme vyjádřit celkovou četnost absorpcí v jednotkovém objemu přibližně také jako (viz Mihalas, 1978, rovnice 5-53), niRlu « nz47raZu-^-. (11.14) hviu Vztahy (11.10), (11.12) a (11.14) jsou jen různými vyjádřeními pro četnost zářivých excitací v jednotkovém objemu. Emisní přechody Pro určení četnosti emisí musíme uvážit dvě formy emise, spontánní emisi a stimulovanou emisi. Celkovou četnost stimulovaných emisí získáme s využitím (5.8b) podobně jako vztah (11.10) OO 'Jo ^^riu—Biu f (f)vJvdv = nu—Air [ <^—^-Jvdv (11.15) 9u Jo 9u Jo hu nebo pomocí (11.11) také jako nuI$t = nuBulJlu = nu^-BluJlu, (11.16) 9u případně pomocí (11.13) získáme přibližný vztah nuRtr ~ nu^^aluJlu. (11.17) 157 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Podobně dostaneme i celkovou četnost spontánních emisí ospont _ A__2hvfu g t 2hvfu ni ,m c2 gu c2 Výraz (2hvfu)/c2 můžeme vsunout pod integrál profilu <\>v přes frekvence (který je roven 1) a opět s využitím faktu, že plná šířka čáry v polovině maxima profilu je mnohem menší než její frekvence, můžeme provést záměnu viu —ř v. Po úpravách dostaneme o Jo 00 Oř,,,3 nuRuPi°nt = nuAui / <\)v dv nuBul I dv g, ľ°° 2hv3 i , gi iF7L(A) 2hv3 —Biu —^-<\>vdv = nu—4?r / —--— 9u Jo c2 gu j\L huĚ c2 případně pomocí (11.13) také přibližně j ako 1 - n.^-^^.. (11.20) Celkovou četnost emisí dostfReme jakofc^čer stimulovaných emisí (11.16) a spontánních emisí (11.20) nuRui = nu{Aui + Buduj. (11-21) případně pomocí (11.15) a (11.19) jako 9i IP L 9u Jo hv V °2 nuRui ~ nu—4tt / ( —— + Ju ) dv (11.22) Mihalas (1978) dává přednost využití Boltzmannovy excitační rovnice (4.5), s jejíž pomocí lze vztah (11.22) přepsat J /IV [°° aiu(v) (2hv3 \ ( hv\ nuRui ~ nu í 4tt J í —— + Jv\ exp í -—j dv. (11.23) Jak uvidíme dále, tato forma je stejná jako vztah pro četnost rekombinací (11.32). 11.3.2 Vázaně-volné přechody V této části se budeme zabývat přechody mezi vázanými stavy / a volnými stavy k daného atomu. 158 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Fotoionizace Pro fotoionizaci atomu z vázaného stavu / do volného stavu k ze vztahu (11.9) dostáváme niRlk = nz47r / ahf ^ Jv du, 1^4) Jo hu kde ahílk(u) je odpovídající fotoionizační absorpční účinný průřez, který můžeme pro frekvence menší než ionizační hrana u0lk položit rovný 0. Fotorekombinace Pro odvození vztahu pro četnost fotorekombinačních přechodů využijeme výsledky z kapitoly 5.1.2. Při rekombinaci dochází k zachycení elektronu iontem, jedná se tedy v podstatě o srážkový proces. Napíšeme nejdříve četnost fotorekombinačních přechodů pro priora teVmodynamické rovnováhy. V tomto případě je střední intenzita záření rovna Planckově funkci (Jv = By) a kvůli platnosti detailní rovnováhy je celkový počet fotoionizaci stejný jako celkový počet rekombinaci. (nkRkl)* = (mR, Ik) ni Au QbfZfc(^) hu Bvdu (11.25) (hvězdička označuje rovnovážné hodnoty). Pravou stranu můžeme přepsat odečtením a přičtením členu obsahujrcnkgcp \^iu / (kT)], (nkR, kli ntAn QbfZfc(^) ImtAn B„ 1 — exp QbfZfc(^) hu hu\ kf) Bv exp du w)d" (1L26) První člen na pravé straně odpovídá spontánní rekombinaci (srovnej s rovnicí 5.20, která je psaná pro energii), druhý stimulované rekombinaci. Četnost spontánních rekombinaci v termodynamické rovnováze získáme z rovnice (5.20) zobecněné pro libovolnou hladinu /, jejím vydělením energií fotonu hu a integrací přes frekvence (nkR. kl, spont nľ47r hu hu 6XP 1 ~kŤ du, (11.27) což je přesně první člen na pravé straně rovnice (11.26). Pomocí Planckovy funkce (4.43) můžeme upravit (nkR. kl. spont nľ47r ahílk(u) 2hu3 —I--~ exP hu cz kT J (11.28) 159 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Jelikož rekombinace je srážkový proces zahrnující elektrony a ionty, je jeho četnost úměrná součinu nenk. Pro danou teplotu T (a tím i rozdělení rychlostí) vztah platí po vydělení n*k pro jeden iont bez ohledu na předpoklad termodynamické rovnováhy. Proto pro získání počtu spontánních rekombinací v obecném případě stačí vynásobit rovnici (11.28) podílem nk/n*k. ( d a fni\A r^M2^3 ( hv\A m™ (nfcÄw)^t = nfcUJ i. ^^^expC^dYW59) Stimulovaná rekombinace v termodynamické rovnováze je dána druhým členem na pravé straně rovnice (11.26), K^)Itim = n;47T jT ^f^exp (-^j du. (11.30) Počet stimulovaných rekombinací v obecném případě dostaneme opět vynásobením rovnice (11.30) podílem nk/n*k a nahrazením rovnovážné hodnoty intenzity záření (Planckovy funkce) aktuální hodnotou střední intezity záření Jv, (Ä,,-.(|)4,f ^^exp(-^)d, (1131) Výslednou četnost rekombinačních přechodů dostaneme sečtením rovnic (11.29) a (11.31), nkRki = nk {Rki ,spont + Rkl ,stim ) ~l^{— + J»)eXP{-kŤ)dU (102) Podíl n{ jn\ = neQik(T) (viz rovnice 4.22), rekombinace tedy závisejí na elektronové hustotě ne, na hustotě iontů nk a na koeficientu závisejícím na teplotě, který označíme aR(T) a nazveme rekombinační koeficient, nkRki = nkneaR(T). (11.33) Rekombinační koeficient se často používá při formulaci rovnic kinetické rovnováhy pro prostředí mlhovin. Kromě výše zmíněných ionizací a rekombinací mohou hrát důležitou úlohu v ionizační rovnováze složitější procesy autoionizace a dielektronové rekombinace (viz kapitola 5.4), jejichž započtení do četností zářivých procesů zde však nebudeme rozebírat. 160 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ 11.3.3 Celková četnost zářivých přechodů Ze vztahů (11.10) a (11.24) dostáváme pro počet absorpcí (přechodů z nižšího (/) do vyššího (u) energetického stavu) v jednotkovém objemu výraz niRiu, kde četnost Rm=^ í ^^-Jváu. ^11.3I) Jo hu Podobně ze vztahů (11.23) a (11.32) dostaneme pro počet emisí (přechodů z vyššího (u) do nižšího (/) energetického stavu) v jednotkovém objemu výraz nu(^^j Rui kde četnost ul =An I hŕ \1F + V 6XP í ~kŤ) (H.34b) 11.4 Četnost srážkových přechodů Atomy mohou přecházet mezi svými jednotlivými energetickými stavy také vlivem srážek s jinými částicemi. Srážky s těžšími částicemi jsou méně časté. Kromě toho je i poměr tepelné rychlosti elektronů k tepelné rychlosti iontů i>th,eA'th,i ~ 43\/Ä Proto se můžeme v dalších úvahách omezit pouze na nepružné srážky s elektrony. Pro četnost excitačního nebo ionizačního srážkového přechodu (přechodu ze stavu o nižší energii do stavu o vyšší energii) můžeme psát (abychom předešli používání stejných písmen pro různé veličiny, budeme v této podkapitole horní hladinu přechodu mísIpwznÄk niCim = nine alm(v)f(v)vdv = nlneqlm(T), (11.35) J VO kde aim(v) je účinný průřez srážkového přechodu / —> m (je funkcí rychlosti elektronu) a f (v) je rozdělení rychlostí elektronů. Veličinu gzmU^alm(v)f(v)vdv (11.36) J v0 je koeficient srážkové četnosti (collisional rate coefficient, Pradhan and Nahar, 2011, kapitola 8.1.1), který dostaneme integrací účinného průřezu přes rovnovážné (Maxwellovo) rozdělení rychlostí elektronů. Pro četnost srážkového deexcitačního a rekombinačního přechodu v případe termodynamické rovnováhy platí podmínka detailní rovnováhy (n*, n*m značí rovnovážné hodnoty koncentrací) n*mCmi = n*Cim, (11.37) 161 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ z níž dostaneme pro četnost srážkového deexcitačního a rekombinačního přechodu vztah nmCmi = n-m ( ) C/m = nm í —^- \ neqim(T). (11.38) \nmJ \nmJ Problémem ve výpočtu srážkových četností je určení účinného průřezu aim. V zásadě existují dva způsoby určení, buď experimentálně nebo s použitím kvantově mechanických výpočtů. Ve většině astronomických aplikací nás zajímá spíše hodnota středovaná přes maxwellovské rozdělení (qim(T)) než aim(v) jako funkce rychlosti elektronů. Určení koeficientu srážkové četnosti Srážkový účinný průřez závisí na energii Iq dopadajícího fotonu a často se vyjadřuje jako funkce na2, (a0 je Bohrův poloměr) ve tvaru aim = na^Qim. Veličina Qim je často tabelována jako funkce kinetické energie dopadající částice E = |mu2:. Někdy se místo Q používá veličina f2 (rovnice 10.2), kde se pro vyjádření energie používají Rydbergy. Dosadíme za rychlost do (11.36) a za f (v) použijeme maxwellovské rozdělení rychlostí (4.13). Po úpravách dostaneme vztah qlm(T) = C0VT (11.39) J lín kde u = E/(kT), C0 = na2oX/8kT/ (nm) = 5.5 • KT11 a u0 = Elm/(kT) odpovídá energii přechodu / -h- m. Zavedeme-li x = u — u0, můžeme převést rovnici (11.39) na tvar qim(T) = C0\/^p J^Sf) VUT) (11-40) kde rZm(T)= / Qlm(E0 + xkT)(x + u0)e-xdx (11.41) Jo je pomalu se měnící funkce T. Koeficient srážkové četnosti lze také vyjádřit pomocí efektivní srážkové síly (10.3), která využívá vyjádření energií v Rydberzích (viz Pradhan and Nahar 2011, rovnice 5.32 a Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 9.57), ^ 8.63 x IQ'6 / Elm\ qim(T) = ^ exp {-W)?(T). (11.42) Hodnoty T jsou často tabelovány, jejich použití je pak jednoduché. Pro některé ionty (například Hl, Hel, Hen) jsou dostupná měření. V těchto případech je možné na základě měřených dat zformulovat přibližné analytické závislosti. 162 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Přibližné vztahy pro excitace a ionizace Pro dovolené vázaně vázané srážkové přechody lze použít přibližný výraz (van Regemorter 1962, viz také Mihalas 19781 rovnice 5.75 a Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 9.58) qim = C0VT 14.5/zm kde JH je ionizační energie vodíku T(uq) = max «oe"°r(«o), (11.43) (11.44) Ei je exponeciální integrální funkce (viz Příloha A.f) a/ g =0.7 =0.2 nl —> nl' nl —> n'ľ. (11.45) Pro ionizační srážkové přechody lze použít přibližný výraz nazývaný Seatonův, který je založen na Seatonově aproximaci účinného průřezu Qik (Seaton, 1962, rovnice (147)) a který je uveden i s odvozením v Jefferies (1968, rovnice 6.39) a bez odvození v Mihalas (1978, rovnice 5-79) a Hubeny and Mihalas (2014, rovnice 9.60), kde qik 9i 1.55 • 10 13 gi^bí^o)- Uq (11.46) 0.1 0.2 0.3 pro Z = 1 Z = 2 Z > 2 (11.47) Další vztahy pro srážkové excitace ionizace a odkazy na ně lze najít v učebnici Hubeny and Mihalas (2014, kapitola 9.3) a především v Pradhan and Nahar (2011, kapitola 5). IL1.5 ^Soustava rovnic kinetické rovnováhy Pro každý energetický stav (hladinu i, i = 1,..., L) můžeme napsat rovnici Ui fôim + Cim) — ^2Um (Rmí + C mi) = 0. (11.48) 163 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Sečtením přes všech L hladin dostaneme 0 = 0, jedná se tedy o lineárně závislé rovnice. Abychom mohli z těchto rovnic určit obsazení energetických hladin, musíme soustavu doplnit další nezávislou rovnicí. Rovnice (11.48) nám určují, kolik částic přejde z jednoho stavu do jiného, ale neurčují, kolik hmoty je k dispozici. To nám určí jedna z doplňujících rovnic. Můžeme použít rovnici elektrické neutrality k j nebo rovnici pro celkový počet částic k j Pokud řešíme rovnice kinetické (statistické) rovnováhy najednou pro více prvků (každý prvek tvoří vlastní soustavu rovnic), doplníme rovnice abundančnírovnicí k( 11.49a) (11.49b) j j která svazuje hustotu atomů řešeného prvku s nějakým referenčním prvkem (často s vodíkem). V rovnicích (11.49) j probíhá přes všechny ionty a k přes všechny atomy. Soustavu L rovnic (11.48) doplněnou o některou z rovnic (11.49) můžeme formálně zapsat v maticovém tvaru jako An = B i (11.50) kde vektor n = (ni, n2,..., ul)t obsahuje koncentrace jednotlivých energetických hladin, matice ^4. je tvořena četnostmi přechodů (viz rovnice 11.48). Tato matice má rozměr L x L a nazveme ji maticí četností (rate matrix). Můžeme se setkat i s poločeským názvem rate (čti rejt) matice. Vektor pravých stran B je nenulový pouze pro doplňující rovnice (11.49). Pokud matice A a vektor pravé strany B nezávisejí na obsazeních energetických stavů n, je (1 LoO) snadno řešitelnou soustavou lineárních rovnic. V případě, kdy neplatí termodynamická rovnována ani lokální termodynamická rovnováha, matice A závisí na poli záření, protože na poli záření závisejí četnosti zářivých přechodů Rim. Pro určení pole záření musíme řešit rovnici přenosu záření (viz kapitola 3.2), což znamená, že musíme znát opacitu a emisivitu, které závisejí krJmě jiných veličin i na obsazení energetických stavů n. Soustava (11.50) tedy představuje soustavu nelineárních rovnic. Zahrnutím rovnic kinetické (statistické) 164 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ rovnováhy se obsazení energetických hladin stávají funkcí nejen teploty T a elektronové hustoty ne (viz kapitoly 4.1 a 4.3), ale i pole záření Jv, rii = rii(ne,T, Jv). (11.51) Započtení pole záření do určení obsazení energetických hladin znamená hodně nových proměnných, pro které je třeba současně řešit soustavu rovnic kinetické rovnováhy a rovnic přenosu záření pro všechny potřebné frekvence. Způsoby řešení této soustavy se budeme zabývat v kapitole 12. 11.5.1 Některé speciální případy Pro pochopení důsledků rovnic kinetické rovnováhy je užitečné se podívat na některé speciální zjednodušené případy rovnic kinetické (statistické) rovnováhy a jejich řešení. Rosselandův teorém cyklických přechodů Uvažujme atom, který má 3 stavy (označíme je 1,2,3), mezi kterými existují jen zářivé přechody. Symboly i?i^3^2^i a -Ri^2^3^i označíme četnosti postupných zářivých přechodů do hladin uvedených v indexu. Určíme poměr R\^3^2^i/ Ri^2^3^\. V dalších úvahách zanedbáme indukovanou emisi. Počet excitací z hladiny 1 do hladiny 3 je n\B>i3WB(ui3), počet deexcitací z hladiny 3 do fúaS^^. je A32/(A3i + A32) počet deexcitací z hladiny 2 do hladiny 1 je Jfoi]*\A2i -^W23WB(u23)]. Pro četnost přechodů ve směru 1—^3—^2—^1 dostaneme Analogickým postupem dostáváme pro četnost ve směru 1—^2—^3—^1 dostáváme d ^^^ti/d/ \ B23WB(v23) A31 Pro podíl (11.53) a (11.52) platí Ri^s^i B12WB(u12)B23WB(u23)A31 W<1 (11.54) Ri^s^i B13WB(v13)A21A32 kde jsme využili vztahu pro B (v) platného pro Wienovu limitu (hu/kT 3> 1) j f^-S)*- <1L55) Cykly mají různou pravděpodobnost. 165 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Jednohladinový atom s kontinuem se skládá jen z jedné vázané hladiny a jedné hladiny iontu (kontinua). Tento případ je podobněji popsán v knihách Miha-las (1978, kapitola 5.5) a Hubeny and Mihalas (2014, kapitola 9.5). V tomto případě jsou rovnice kinetické rovnováhy reprezentovány pouze dvěma rovnicemi, jednou pro hladinu / = 1 a druhou pro hladinu iontu k. Tyto rovnice jsou však stejné, rn(Rlk + Cifc) = nk(Rkl + Ckl). ^T?6) Do této rovnice dosadíme za riiRik ze vztahu (11.24), za n^Clk a ri]kjk^A vztahu (11.38) a za nkRkl z (11.32). V posledně jmenovaném vztahu zanedbáme stimulovanou emisi a použijeme přiblížení exp (|^) 3> 1. Dále využijeme fakt, že pro jednohladinový atom s kontinuem je nk = n*k, protože k odpovídá nej vyššímu iontu atomu. Rovnice kinetické rovnováhy přejde na tvar (viz Mihalas 1978, rovnice 5.94 nebo Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 9:lfi) f°° ahílk(v)Bv A 47t /---áu + neqlk ni = Jvo hu_ 4?r / -Z-dv + neqlk Jv0 hv (11.57) V případě vysokých elektronových koncentrací (vysokých hustot) jsou dominantní srážkové přechody a podíl ni/n\ —?■ 1 bez ohledu na hodnotu střední intenzity záření Jv. Obsazení hladiny je te^v rov^kážpé a podmínky LTE jsou splněny. Pokud se pole záření blíží rovnovážnému, Jv —ř Bv (například ve velkých hloubkách atmosféry), je také n\jn\ —ř 1. Pro rovnovážné pole záření tak rovněž dostáváme splnění podmínek pro LTE. Naopak v případě nízkých hustot je člen neqlk malý a v rovnici (11.57) dominují zářivé členy. Můžwae psát J 4. r^iM^du J- . (11.58) n\ 4n ahílk(u)Jv áu Juo\ hV Pokud je četnost ionizací větší než četnost rekombinací, hladina 1 má nižší obsazení než v LTE, pokud jsou naopak četnější rekombinace, hladina 1 má vyšší obsazení než v LTE. Abychom získali alespoň přibližné odhady efektů, použijeme velmi zjednodušující předpoklad, který využívá faktu, že fotoionizační příčný průřez je nejvyšší na ionizační hraně a pro rostoucí frekvence je úměrný z/~3. Nahradíme integrály přes celé frekvenční spektrum hodnotou na ionizační hraně (y = u0). Rovnice (11.58) se zjednoduší na tvar ^^2. (11-59) 166 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ Hladina má pro Bvo < Jvo nižší obsazení než v případě termodynamické rovnováhy. Ionizace v koróně je variantou předcházejícího případu. Teplota v koróně je velmi vysoká (T\ocai ~ 106K) a je mnohem vyšší než teplota sluneční fotosféry (Tr ~ 6000K). Četnost srážkových ionizací závisí na lokální teplotě, četnost zářivých ionizací závisí na fotosférické teplotě. Srážkové ionizace budou tedy výrazně převažovat (C\k 3> Rik)- Četnosti srážkových i zářivých rekombinací závisejí na lokální teplotě, proto bude platit nerovnost Cki - - vodík převážně v základním stavu - předpokládáme rezonanční čáry neprůhledné =>- jsou v detailní zářivé rovnováze - foraH^iace z vyšších hladin zanedbány fotoionizace jen ze základní hladiny rekombiiface probíhají do všech hladin - zářivé excitace zanedbány (přechody z vyšších hladin průhledné) - pouze spontánní deexcitace z vyšších hladin úměrné Aui • nízká hustota prostředí - srážky zcela zanedbány 167 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ rovnice kinetické rovnováhy pro ionizovaný vodík (hladina k) l nk ^2 Rki = niRik fcQl-62)l i=i s pomocí rekombinačního koeficientu (11.33), položíme nk = np (koncentrace protonů), pro čistě vodíkový plyn np = ne, l l nxRlk = npne aRkl(T) = nl^2aRkl(T) A(11.63) i=i i=i rovnice kinetické rovnováhy pro hladinu j rij^Rjz = nkRkj + ^ nzRzj (11.64) z=l z=j+l zavedeme branching ratio Aul aui = ———— (11.65) cascade probabilities pui Pi+i,i — ai+i,i u-l Pul = O-ul + ^ Puí'&í'l i'=l+l (11.66) rovnice kinetické rovnováhy pro hladinu j s pomocí rekombinačního koeficientu l OiRkj(T) + ^ PzjaRkz(T) i-1 l 2 ^2Ajz = nlaRkj(T) + ^2 nzAz z=l A z=j+l z=j+l (11.67) můžeme určit poměry populací emisivita pro přechod u —ř l hv V = —nuAul 47t užití - přibližné určení relativní intenzity Balmerovských čar (Balmer decrement) I(Hi) niAi2hvi2 168 (11.68) 11. OBSAZENI ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMU Jemná struktura hladin v mezihvězdném prostředí - formulace rovnic (Ba-hcall and Wolf, 1968) extrémně nízká hustota i teplota =>- atomy a ionty převážně v základním stavu základní stav (term) má více hladin zajímají nás absorpční čáry ze základního stavu tyto čáry jsou multiplety, jejich vzájemná intenzita bude záviset na obsazení hladin základního termu (stavu) základní stav doublet (J = ± a J = f) - C n, N m (^^s22p 2P° 3); AI i, Si n, 2'2 S IV (všechny 3s23p2Pl a) označíme hladiny indexy 1,2 podle jejich rostoucí energie přechod mezi hladinami 1 a 2 je magnetický dipólový (v mezihvězdném prostředí slabé záření —> zanedbáme členy s intezi- tou záření) mC12 = n2%1g^% (11.69) poměr obsazení hladin n2 a 12 ni A21 + C21 doplněno rovnicí (11.70) n1 + n2 = ni (11-71) nj je celková koncentrace iontu • pro A21 C21 - LTE obsazení, jinak ne • pro klesající hustotu klesá C12 i C21 => klesá n2/ni • změněné síly složek absorbčního doubletu (ze základního termu) • možnost určení mezihvězdné elektronové hustoty na základě poměru intenzit složek absorpčního doubletu základní stav triplet (J = 0, J = 1, J = 2) - C1, N110 m (všechny 2s22p2 3P0,i,2), Si i, S m (oba 3s23p2 3P0,i,2), OI (2s22p4 3P2,i,0), S I (3s23p4 3P2,li0) dva přechody magnetické dipólové (mezi hladinami 3P03Pia3Px 3 P2), jeden elektrický kvadrupólový (mezi hladinami 3P0 3P2) 169 11. OBSAZENÍ ENERGETICKÝCH HLADIN ATOMŮ označíme hladiny podle jejich rostoucí energie čísly 1,2,3; uvažujme jen přechody 1-2 a 2-3, A31 zanedbáme (elektrický kvadrupólový přechod méně pravděpodobný než magnetický dipólový); C si také zanedbáme MC12 + C13) =n2(A21 + C21) i (TT72) n2(A21 + C2i + C23) = «1^12 + ns(As2\ C32)\ poměry obsazení n2 C12 + Cis ni A2i + C2i n3 Cis(A2i + C21 + C23) + Ci^ts (11.73) ni (A2i + C2i)(As2 + Cs2) doplněno rovnicí ni + n2 + ns = nI (11.74) pro Aij Aui =>- e' > 1 =>- e -+ 1 =>- SL -+ B(uiu, T) většinou je ale e Jv> du', (12.14) (12.15) (12.16) (12.17) (12.18) (7.23) kde£„ = (r + e(j>u)/(r + „) 177 12. RESENINLTE PROBLÉMU \ rovnice přenosu záření + vydatnost dvouhladinového atomu současně se řeší rovnice přenosu záření bez kontinua (t - optická hloubka v čáře, dr = — kíu ds) s vydatností (přepsaná rovnice (12.15) s explictní závislotí na r a integrací přes profil čáry) ľOO Sl(t) = [1 - e(r)] / 0(r, u)J(r, v) áu + e(r)B(r) (12.20) Jo podobně i pro dvouhladinový atom s opacitou kontinua v pozadí vlastnosti řešení dvouhladinového atomu bez kontinua (i) povrchová hodnota S(0) = JlB (12.21) (ii) pro r pa l/s je S(r) —ř B (velké hloubky) ekvivalentní dvouhladinový atom pro ionty s dominantním rezonančním přechodem, zájemci vizte Hubeny and Mihalas (2014, kapitola 14.4) 12.2 Iterační řešení dvouhladinového atomu 12.2.1 A iterace Pro případ koherentního rozptylu jsme si A-iteraci uvedli v kapitole 7.5.1. Tuto jednoduchou iterační metodu můžeme zformulovat i pro případ rozptylu ve spektrální čáře dvouhladinového atomu. Rovnici (7.24) přepíšeme pro případ dvouhladinového atomu (závislost na hloubkové proměnné r nebudeme uvádět), J = A [SL] = Ä [(1 - e) J] + Ä [sB]. (12.22) Zde Ä je frekvenčně středovaný A-operátor (6.24) pro čáru, J je integrovaná střední intenzita přes profil spektrální čáry (6.23) a B je střední hodnota Planc-kovy funkce v čáře. Podobně jako v kapitole 7.5.1 budeme v iteračním postupu 178 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU střídavě určovat střední intenzitu J a vydatnost Sl, která je vyjádřena pomocí vztahu (12.15). Jako úvodní iterační hodnotu pro pole záření vezmeme Planckovu funkci J(°) = B. Iterační určení střední intenzity zapíšeme J(n+1) = Ä S' (n) A[(l-e)J{n)] +A[eB]. (12.23a) (12.23b) Tato iterační metoda má stejné vlastnosti jako v případě koherentního rozptylu. Konverguje pouze pro e —> 1 a pokud e C 1, spíše se stabilizuje a pro praktické řešení problému je nepoužitelná. 12.2.2 Urychlená A iterace Pomalost A-iterace je možné odstranit, pokud z iteračnflio procesu odstraníme část informace, která se šíří pomalu. To lze udělat, pokud vhodným způsobem modifikujeme v rovnici (12.22) operátor Ä. Základní myšlenku (Cannon, 1973b,a) můžeme formálně objasnit následujícím způsobem. K operátoru Ä přičteme a odečteme jiný operátor, který oznSíme A*.^ Ä = A* + (Ä-A*). (12.24) Operátor (12.24) dosadíme do (12.22) J = Ä [SL] = A* [SL] + (A - A*) [SL]. (12.25) S pomocí této rovnice můžeme definovat iterační schéma J(n+1) = A* S' (n+1) + (A - A*) S' (n) (12.26) V limitě n —> oo je tato rovnice splněna přesně. Rozdíl oproti A-iteraci spočívá v tom, operátor A* působí i na novou hodnotu S'^n+1'>, kterou chceme v odpovída- jícím iteračním kroku určit. Do členu A* S (n+l) tak můžeme nějakým vhodným zjednodušeným způsobem zahrnout rozptylový člen. Abychom lépe ocenili kon-vergenční vlastnosti metody, z rovnice (12.26) dosadíme do (12.15), S (n+l) (1 -e) A* S (n+l) + (1 - e) (A - A*) Odsud vyjádříme vydatnost SL (n+l) S (n+l) [1 - (1 -^AT1 í(l-e) (A-A*) S 5' (n) (n) eB (12.27) eB (12.28) 179 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU Pro konvergenci metody a její rychlost je rozhodující největší vlastní číslo zesilovací matice (amplification matrix) A = [1 - (1 - e) A*]'1 [(1 - e) (Ä - A*)] , (12.29) které označíme Amax. Pro A* = 0 dostaneme A-iteraci, pro kterou je Amax ~ 1, což znamená velmi pomalou konvergenci. Nejvhodnější volbou A*-operátoru dávající rozumně malé hodnoty Amax zaručující rychlou konvergenci je diagonála Ä-operátoru (Olson et al., 1986). Spočítat ho lze jednoduše podobně jako Rybicki and Hummer (1991) jako součást numerického formálního řešení. Iterační proces lze ještě více urychlit (někdy za cenu stability) nějakou numerickou extrapolací (např. Ng, 1974). Další iterační metody • successive overrelaxation method (SOR) - Trujillo Bueno and Fabiáni Ben-dicho (1995) • FBILI - A Forth-and-Back Implicit A-Iteration (Atanackovič-Vukmanovič et al., 1997) 12.3 Mnohohladinový atom • pro zjednodušení - planparalalelní geometrie • soustava rovnic kinetické rovnováhy - celkem L rovnic An = B (11.50) hledáme obsazení L explicitních hladin, n = (ni),l = 1,... L — 1 rovnice pro každý atom kvůli lineární závislosti rovnic +1 uzavírací rovnice pro referenční atom svazující všechny uvažované atomy (rovnice pro počet částic nebvo rovnice elektrické neutrality) + ŕinfcáľiK^rovnicv pro ka/cly dulsí ;ilom koeficienty rate matice A závisejí na střední intenzitě záření Jv • rovnice přenosu záření pro střední intenzitu dr,2 J v - Sv (3.40) opacita (vydatnost) v rovnici přenosu záření závisí na obsazení energetických hladin atomů n, ty získáme řešením (11.50) 180 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU - Eddingtonovy faktory fff určíme řešením rovnice přenosu se Schuste-rovými proměnnými (6.57) - popsáno v kapitole 7.5.2 • použijeme diskretizaci F frekvenčních bodů (viz kapitola 6.3.1.3),/ = ' D hloubkových bodů (viz kapitola 6.3.1.1) v případě jednorozměrného prostředí, d = 1,...,D celkem F hloubkově diskretizovaných rovnic pro F frekvenčních bodů v (11.50) integrály přes frekvence lichoběžníkovou metodou • iterační postup (Jf) —ř (ni) —ř (Jf) —ř (ni) —ř J(f) —ř ... je v podstatě A-iterace =>- nepoužitelný • soustavu rovnic (3.40) a (11.50) je třeba řešit současně pro ni, l = 1,..., L a Jv\/u v celém prostředí (například v atmosféře) 12.3.1 Řešení mnohohladinového atomu metodou úplné linea-rizace Řešení soustavy tvořené rovnicemi (3.40) a (11.50) hledáme v nějaké diskrétní reprezentaci hloubkových bodů, rreln^^ía směrů šíření záření. Tuto soustavu je možné řešit podobně jako v kapitole 4.3.1 linearizací • L rovnic kinetické rovnováhy a F rovnic přenosu záření • formálně zavedeme vektor ip = (rii,Jf) • hledáme řešení ip • formálně zapíšeme soustavu řešených rovnic /O) = 0 (12.30) • nechť máme nepřesné řešení této soustavy rovnic označíme ho ip^ = [n(l\ J^^j • hledáme přesnější řešení ve tvaru ?//n+1*) = ifi^ + ôif> , jinak zapsáno (ri(l+1\ jj.n+1') j = (rSf* + ôrii, + 6Jf aby z(Vn+1)) = /(v(n) + ^) = o 181 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU použijeme první řád Taylorova rozvoje (=>• linearizace) of (Vn)N / (Vn) dtp ôip = 0 ^^31)1 rozepíšeme všechny veličiny závislé na linearizovaných proměnných, například opacita xf'^ = X/^ + kde L gx(n) F (n) podobně pro další veličiny (emisivita, vydatnost, ...) nakonec vyjádříme z (12.31) 5ý dfU dtp f (V(n) (12.32) 9/(V(n)) , ... je matice (kažfla^M&a vektoru / í ?/rnJ j se derivuje podle každé nezávislé proměnné z ip) (12.31) je soustava lineárních rovnic pro (5rii, 5Jf), řešíme ji iterativně: 1. známe řešmí ?/>(-n*'^Beré není přesné 2. řešíme soustavu lineárních rovnic (12.31) pro óip = (5rii, 5Jf), řešení je \ \jÉ(^ené v < 12.32) 3. provedeme korekce ní-n+1-> = + ôrii, jjn+1-> = + 6Jf 4. určíme nejvyšší relativní změnu iterovaných veličin e = max max (n+l) (n) n) — n) ' n (n) max j(n+l) _ j(n) J (n) 5. pokud e > £max (požadovaná přesnost), pokračujeme bodem 1, v opačném případě máme výsledek pokud je počáteční hodnota ifi^ dostatečně blízko řešení, postup konverguje kvadraticky; relativní chyba e (fractional error) se kvadraticky zmenšuje (e,e2,e4,...) 182 12. RESENINLTE PROBLÉMU \ • při problémech s konvergencí může pomoci - v kroku 3 iteračního postupu provést korekci jen pro Jf, ní-n+1') určit řešením rovnic kinetické rovnováhy (11.50) pro zadané pole záření - provést navíc několik lambda iterací mezi iteračními cykly linearizace • mezi jednotlivými iteračními cykly vždy provedeme formální řešení rovnice přenosu záření autoři této metody pro modelování hvězdných atmosfér: Auer and Mihalas (1969) 12.3.2 Řešení pomocí urychlené A-itera^ použijeme monochromatický A- operátor (pro úplnou frekvenční redistribuci můžeme) • iterační schéma pro určení střední intenzity = A: ^^%Ľ^S^] • (12-33) • ve vztazích pro četnosti zářivých přechodů (11.34) v rovnicích kinetické rovnováhy dosadíme za střední intenzitu záření z rovnice (12.33) R,u = 4* |°° (A; [S(»+D] + AJM) áv. «* ~ * + & ^ + - (-£) *>' (12.34) nazýváme korekční člen rovnice kinetické rovnováhy (11.50) budou nelineární v rii, linearizujeme je (n) d A \ d B A+—ón)-(n + ón)=B + —ón (12.35) on J on rovnici přenosu záření nelinearizujeme, záření je zahrnuto pomocí přibližného operátoru A* přesná hodnota se dopočítá z korekčního členu použitého na minulou iteraci 183 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU postupujeme iterativně: 1. známe řešení (ri(^ j, které není přesné (n) 2. pro n\ provedeme formální řešení rovnice přenosu záření a spočteme korekční členy v rovnici (12.33): Ajj)n) = (A - A*) SÍn), pro počáteční odhad položíme SÍ°^ = Bv 3. řešíme linearizované rovnice kinetické rovnováhy pro 5rii 4. provedeme korekci ní-n+1') = + ôrii 5. určíme nej vyšší relativní změnu iterovaných veličin e = max (n+l) (n) n) — n) (n) 6. pokud e > £max (požadovaná přesnost), pokračujeme bodem 1, v opačném případě máme výsledek užití urychlené lambda iterace (ALI) - snižuje velikost invertovaných matic z rozměru [L + F) x (L + F) na L x L, =^ snižuje čas potřebný na jednu iteraci - zvyšuje potřebný počet iterací - výsledek - urychlení výpočtu lze použít další urychlovací metody (například Ng, 1974) 12.4 Základní NLTE efekty v polonekonečné atmo-sfere V této části se podrobněji podíváme na některé důsledky NĽTE přístupu na obsazení energetických hladin v polonekonečném prostředí, kde ve velkých optických hloubkách je popis pomocí LTE aproximace správný, ale ve vnějších vrstvách nikoli (podle Hubeny and Mihalas, 2014, kapitola 14.6). 12.4.1 NLTE efekty v čarách 184 Obrázek 12.2: Příklad možné závislosti 6-faktorů dvouhladinového atomu na optické hloubce čáry (/ - spodní hladina, u - horní hladina). Dvouhladinový atom Vydatnost pro dvouhladiový atom podle (7.4), s využitím ^-faktorů (11.8) a Boltzmannovy excitační rovnice (4.5) je i _ ( hviu 2hv3 II h 1 exp I c2 k (hulu \ bx bu ( hulu — exp ——- 1—1 1 — — exp bu \ kT J bi \ kT kde / označuje spodní hladinu, u označuje horní hladinu a B(uiu, T) je Planckova funkce (4.43). Můžeme-li zanedbat stimulovanou emisi (pro exp (— rij,j = 2,3), opacita (a tedy i optická hloubka) přechodů ze základní hladiny je vyšší než pro přechod 2 o 3 (r23 < t12, t23 < t13). Postupujeme-li k menším hloubkám, optická hloubka r23 klesne pod termalizační hodnotu nejdříve. Podobně jako pro dvou-hladinový atom to způsobí snížení obsazení n3 vzhledem k rovnovážné hodnotě (63 < 1) a zvýšení obsazení rii a n2 vzhledem k jejich rovnovážným hodnotám (61 > 1, b2 > 1). Pro ještě menší hloubky klesne i optická hloubka r13 pod svou fctermalizaění hodnotu a efekt snížení 63 a zvýšení bi a b2 ještě zesílí (přechod mezi hladinami 1 a 2 je stále ještě v detailní rovnováze). Pro ještě nižší hloubky klesne i t12 pod termalizační hodnotu, což způsobí další zvýšení bi a současně snížení b2 (vil obr. 12.3). V kombinaci se zvýšením b2 díky přechodu 2 o 3 to může v závislosti na atomárních parametrech vést jak k hodnotám b2 < 1, tak i k hodnotám 187 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU b2 > 1. Na obrázku 12.3 je znázorněna pouze druhá z těchto možností, j Mnohohladinový atom Pro atom s mnoha energetickým stavy lze celkový vliv nerovnovážného rozdělení obsazení energetických hladin (NLTE *ekt) zi^Äjako \ výsledek „soutěže" srážkových a zářivých procesů všech přechodů. Základní efekty byly popsány v předcházející části této kapitoly. Přenos záření v čarách s malou pravděpodobností zničení (C 1) a snížení obsazení horní hladiny přechodu vzhledem k rovnovážné hodnotě (b < 1). SrážkovépraÄsy mezi hladinami s blízkými energiemi způsobují boltzmannovskou rovnováhu mezi nimi. Takovými hladinami jsou kromě hladin multipletů i hladiny s vysokým hlavním kvantovým číslem n. 12.4.2 NLTE efekty pro kontinua Přechody z vázaných stavů do volných (ionizace) a z volných do vázaných nazýváme často přechody do a z kontinua. Můžeme je rozdělit podle opacity na přechody s velkou opacitou, které jsou i silným zdrojem záření (aktivní kontinua), a na přechody s malou opacitou, které jsou poměrně slabým zdrojem záření a spíše jsou zářením pouze ovlivňovány (pasivníkontinua). Aktivní kontinua jsou ionizační přechody vysoce zastoupených prvků, pro případ atmosfér hvězd hlavní posloupnosti jsou to nejčastěji přechody vodíku a helia. Účinný průřez všech ionizačních přechodů je nulový pro frekvence nižší než je ionizační hrana a úměrný z/~3 pro vyšší frekvence. Velmi přibližně lze na tyto přechody pohlížet jako na široké spektrální čáry s poněkud podivným profilem. Protože výsledné vztahy pro vydatnost (12.37) a 6-faktory (12.38) dvouhladino-vého atomu nezA^ejí na profilu čáry, můžeme je použít i pro aktivní kontinua. Obsazení základní hladiny atomu bude vyšší než v rovnovážném případě (bi > 1) a obsazení vyššího ionizačního stupně bude mít nižší obsazení než v rovnovážném případě. Pokud se přidržíme definice LTE populací vzhledem k základní hladině vyššího iontu (označíme ji k), bude bk = 1 a hodnota bi se ještě zvýší (viz obr. 12.4). Opacita v kontinuu je nižší než opacita spektrálních čar. Pro případ hvězdných atmosfér to znamená, že kontinua se formují níže než spektrální čáry. Obsazení základní hladiny bude vykazovat nerovnovážné hodnoty b\ > 1 už v oblasti formování kontinua, což je oblast, kde je optická hloubka v kontinuu přibližně rovna jedné. 188 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU 1 í v log t log t Obrázek 12.4: Příklad možné závislosti 6-faktorů základní hladiny (1 - modrá čára) na optické hloubce vlivem ionizace. Faktor pro základní hladinu vyššího iontu (k) je roven 1. Horní obrázek: aktivní kontinua, dolní obrázek: pasivní kontinua. 189 12. ŘEŠENÍ NLTE PROBLÉMU Pasivní kontinua jsou ionizační přechody méně zastoupených prvků. Je to většina přechodů v kontinuu. Jsou typické poměrně malým příspěvkem lacelkovl opacitě, ale mají podstatný vliv na excitační a ionizační rovnováhu svých prvků. Přibližnou ionizační rovnováhu pro základní hladinu můžeme vyjádřit pomocí jednohladinového atomu s kontinuem (kapitola 11.5.1). Při zanedbání stimulované emise můžeme ionizační rovnováhu vyjádřit vztahem (11.57). Pro zanedbatelné četnosti srážkových přechodů dostaneme zjednodušený vztah (11.58). Aproximací celkového fotoionizačního účinného průřezu jeho hodnotou na ionizační hraně dostaneme pro odchylku obsazení základní hladiny od rovnovážného stavu bi vztah (11.59), který můžeme přibližně zapsat jako hl = ^^B^TK B^ x (12 40) V tomto vztahu jsme vyjádřili intenzitu záření na povrchu atmosféry pomocí faktoru zředění W (11.1) a Planckovy funkce o teplotě Tr, což je teplota v hloubce, z níž záření vychází. Odhadneme tuto hloubku i faktor zředění pomocí Eddingtonovy-Barbierovy relace (6.6). Na povrchu hvězdné atmosféry lze střední intenzitu vystupujícího záření (předpokládáme nulové záření ve směru dovnitř atmosféry) přibližně vyjádřit jako (vq je frekvence ionizační hrany) j(u0,rU0 ^0)^ Ib/W*t^J[, (12.41) kde jsme navíc aproximovali vydatnost pomocí Planckovy funkce. Odtud dostáváme W = \, Tr = T[tvo = §). Ve Wienově limitě (pro vysoké frekvence, rovnice 4.44) je Planckova funkce závislá na teplotě exponenciálně a s klesající teplotou rychle klesá. Teplota pro t(z/0) —> 0 (na povrchu hvězdy) je nižší než teplota pro r(u0) = \ (místo, kde se formuje kontinuum), platí tedy i %,%^0)) « \b (u0,T u0 = \))= \b(uq,tr). Ze vztahu (12.4^fcdos(táváme bi 0) {\uk)} _ ortogonální báze jednotkových vektorů Hilbertova prostoru vektorů \tl>^] pmn - maticové elementy operátoru hustoty (Um\p\un) = pmn = ^Pa {Um\lp(a)) (^a)\un) (13.2) a vlastnosti operátoru a matice hustoty hermitovský p = p\pmn = p*nm pozitivně definitní pnn > 0 Tr p nezávisí na bázi Tr p = ^ Pnn = ^2Pa (13.3) pro normalizované pravděpodobnosti pa je Tr p = 1 \Pnm\ < PnnPmm -'Schwarzova nerovnost prasystémy v čistém stavu platí rovnost časový vývoj operátoru hustoty 1 ±^ = =^\ÍI ~" dt ih L ' . podrobněji v Landi DeglTnnocenti and Landolfi (2004, kapitola 3.6) 191 (13.4) 13. POLARIZACE ATOMÁRNÍCH HLADIN Polarizace atomu • každá hladina má statistickou váhu g = 2J+1, J je kvantové čí^^riomentu hybnosti hladiny • M - vlastní číslo projekce celkového momentu hybnosti atomu J do vybraného směru • koncentrace jednotlivých podhladin rij,j = l,...,2J+l odpovídají diagonálním elementům matice hustoty pj(M,M) = (JM\p\JM) • obecná matice hustoty pj(M, M') = (JM\ p | A má i nediagonální prvky - koherence stav hladiny popsán pomocí (2 J + l)2 veličin • pokud matice hustoty není diagonální - polarizovaný atom vznik polarizace atomu • srážkou s kolimovaným paprskem částic • anizotropním ozařováním vnějším zdrojem dále cesty k polarizaci atomu přes anizotropní ozařování ilustrační příklady (podle Landi DeglTnnocenti, 2002): dopadá nepolarizované záření z jednoho směru; osa kvantování ve směru šíření záření (pro zjednodušení předpokládáme) vektor elektrického pole kolmý ke směru šíření záření (to je vždy) =>- excitační přechody jen do hladin AM = ±1 (výběrové pravidlo), deexcitace (spontánní emise) podle výběrového pravidla AM = 0, ±1 polarizace při přechodu Ju —ř Ji (6 úhel mezi směrem kvantování a libovolným směrem) (13.5) I Asin2 6 + B {l + cos2 6) kde (sčítá se přes všechny možné přechody) (13.6a) AM=0 192 13. POLARIZACE ATOMÁRNÍCH HLADIN a) Ju=l J, = 0 V v b) Ju=l J,=l c) J =2 Jl = 1~ 2 • • • d) • • • -©- Ju=l J, = l v v v Obrázek 13.1: Příklady polarizace atomu podle Landi DeglTnnocenti (2002). Obrázek z Landi DeglTnnocenti (2002, obr. 16) (zkopírováno 30). B = \ - hladina Mu = 0 nepopulována, Mu = ±1 ano 193 13. POLARIZACE ATOMÁRNÍCH HLADIN emitované záření polarizované, polarizace (z 13.5) 7 " l + cos2č /-^^^ pokud je dopadající záření (i) polarizované kruhově =>- populovány buď jen AM = 1 nebo AM = — lv závislosti na směru polarizace (ii) nepolarizované (nekoherentní superpozice kruhově polarizovaných paprsků opačné polarizace) =>- populovány oba, AM = 1 i AM = — 1, bez fázové závislosti (iii) lineárně polarizované (koherentní superpozice kruhově polarizovaných paprsků opačné polarizace) =>- koherence se přenáší do matice hustoty horní hladiny, která má pak nediagonální prvky (b) spodní hladina J; = 1, horní hladina Ju = 1 S = \ pro všechny přechody (kromě zakázaného Mu = 0 —> Mi = 0) =>- hladina Mu = 0 má dvakrát tak velkou populaci než každá z hladin Mu = ±l polarizace emitovaného záření (z 13.5) Q sin2 0 J 5 + cos2 9 (13.9) (c) spodní hladina Jř = |, horní hladina Ju = | ...... i 4' c f3 n = 3 c n n = i 2/ 4'^V2'2/ 2'^V2' 2/ 4 C (_1 1\ = I C f_l _n = I C (_1 _3\ ^ \ 2' 2/ 4' \ 2' 2/ 2' \ 2' 2/ 4' 3 . _ - . _ _ . _ 4' hladiny Mu = ±| mají třikrát tak velkou populaci než hladiny Mu = ±| polarizace emitovaného záření (z 13.5) Q ^3 sin2 9 I 7 + 3 cos2 0 (13.10) (d) případ (b) pro polarizovanou spodní hladinu podle (a) =>- pouze hladina M&= 0 populována molarizace emitovaného záření (z 13.5) Q _ sin2 0 7 ~ 1 + cos2 9 194 (13.11) 13. POLARIZACE ATOMÁRNÍCH HLADIN pro popis obsazení hladin se zahrnutím koherencí můžeme zavést sférické statistické tenzory (spherical statistical tensors) - ireducibilní tenzory matice hustoty (zvané také multipole moments ofthe density matrix) pQ{j) = Y.^-iyj'm"/wtl{jm -m> o%) mm' ^ ^ kde K a Q splňují 0 < K < 2 J a -K < Q < K Pg( J) je úměrný celkové populaci hladiny s kvantovým číslem J n j je celková koncentrace hladiny s kvantovým číslem J 13.1 Rovnice statistické rovnováhy pro polarizovaný dvouhladinový atomu zapíšeme jinak, viz Landi Degľlnnocenti (2002, kapitola 17): přechody do a z hladiny j, T jsou přechody do hladiny j, i? jsou přechody z hladiny j c\n ■ —L = TA(i j)m + TE(k -+ j)nk + Ts(k -+ j)nk át - RA(j i)rtj - RE(j i)rij - Rs(j k)rij (13.14) kde (A - absorpce, E - spontánní emise, S - stimulovaná emise) = BijJ{uji) = Akj Ts(k^j) = BkjJ(ľkj ^kBjkJ (uj k = Aji Rs(j -mJ = BjíJÍUjí) (13.15) formulace s polarizací pomocí ireducibilních tenzorů Y,TA{i\K'Q' -+j;KQ)p$l(Ji] dt K'Q' + TE(k; K'Q' -> j; KQ)p%,(Jk)+ Ts(k; K'Q' -> j; KQ)p%(Jk K'Q' K'Q' 195 13. POLARIZACE ATOMÁRNÍCH HLADIN Ra(J] KQ- K'Q' -> k)p$,(Jk)- Re(Ť, KQ; K'Q' -> i)p%{Ji. k'q' k'q' Rsti; KQ; K'Q' -> ^)p#W^-16) k>q> 196 Cast II Přílohy 197 Příloha A ^^^k^l Speciální matematické funkce \X A.l Exponenciální integrální funkce V kapitole 6.2 jsme použili funkce Ei(x), E2(x) a E%(x). Tato funkce se nazývá n-tá exponenciální integrální funkce (n-th exponential integral) En[x) a je pro n > 1 definována jako En(x) = / rne~todt =iL e~?^^ r. (A.l) A Jo ^ Mezi jednotlivými exponenciálními integrálními funkcemi platí rekurentní vztah (pro n > 1) nEn+i(x) = e~|^a!51fc) (A.2) Derivace lze jednoduše vyjádřit jako K+l(*) = -^n(l) (A.3) Ei(rr) = — (A.4) x Pro n > 1 platí užitečný vztah • N Z"1 dŕ 1 J\ £~0) = l^ = —i (A-5) Více o exponenciálních integrálních funkcích je možno nalézt v Appendixu I v Chandrasekhar (1950). 198 A. SPECIÁLNÍ MATEMATICKÉ FUNKCE A.2 Gaussova funkce f(x) = exp (-x2) ' (A.6)l A.2.1 Některé integrály Gaussovy funkce /oo exp (—x2) = \pŘ , (A.7) o exp (-x ) = — 199 Příloha B ^N^^ Doplňky k atomární fyzice \j B.l Rydbergovy konstanty a jednotky energie V literatuře lze nalézt sousloví „Rydbergova konstanta" (Rydberg constanť) v různých spojeních a souvislostech a navíc k jejímu číselnému vyjádření se používají různé jednotky, což může vést k nejasnostem, pokud se snažíme pomocí Rydbergovy konstanty něco spočítat a nejsme zběhlí v atomové fyzice. Rydbergova konstanta pro atom nekonečné hmotnosti IZoo souvisí s ostatními základními fyzikálními konstantami vztahem (v soustavě CGS, viz například So-belman, 1992, List of Symbols) kde me je hmotnost elektronu, e je elementární náboj, c je rychlost světla ve vakuu, h = h/(2n) a h je Planckova konstanta. Hodnota Rydbergovy konstanty (2018) podle CODATA1M109^^^68160±0.000021 nr1, což je 109737.31568160± 0.00000021 cm^^ustavě CGS. Zavádí se i Rydbergova konstanta pro vodík TZu nahrazením hmotnosti elektronu me jeho redukovanou hmotností /iHľ = m^1 + m~1 (mp je hmotnost protonem která s konstantou IZ^ souvisí vztahem Til nn = —^^oo (B.2) me + rrip Tuto konstantu pak můžeme použít ve známém vztahu pro energii En hladiny atomu vodíku s hlavním kvantovým číslem n, En = -^f (B.3) http://www.codata.org 200 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE s tím, že výsledná energie bude vyjádřena v Rydberzích (Ry = hcJZ^, IRy = 2.1798723611035 • KT18 erg). Pokud chceme energii vyjádřit v jednotkách CGS (v erzích), musíme Rydbergovu konstantu vynásobit hc, K = -^ = -% (B.4) Konstanta TŽu = hcJZu se také nazývá Rydbergovou konstantou, je to Rydber-gova konstanta pro vodík vyjádřená v jenotkách energie. ' Můžeme zavést Rydbergovu konstantu pro libovolný atom TZz vyjádřenou v jednotkách energie, nz = hc mz (B.5) m z + me kde mz je hmotnost atomu s atomovým číslem Z. Tuto konstantu pak použijeme v pozměněném vztahu (B.4) pro energii vodíkupodobných iontů. En = -Z^. (B.6) B.2 Klasický oscilátor • Hubeny and Mihalas (2014, str. 146) • klasický oscilátor o hmotnosti m v elektromagnetickém poli • pohybová rovnice tohoto oscilátoru (Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 6.10) m (x + cOqx) = eE0 (co) — rrvyx ma reseni x =--; E0(u)e iu)t m (uj2 — Uq) + Í7^ kde 7 Aite2vl 3mec3 je klasická konstanta útlumu. výkon do všech směrů (Hubeny and Mihalas, 2014, rovnice 6.4) 2e2x2 P{t) e2'x2 47TC3 2tt d0 -i p2) dp 3c3 (B.7) 201 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE střední výkon e4u4 E2 použijeme (2.55: Jo = cEq/(8ti)), ze vztahu (P(u))t_e= ^^u)Iq dtzn (t(u)cEq j(87r) dostaneme účinný průřez 87re4cj4 1 3m2c4 (tf -ulý + 72w2 aproximace (co2 — u^) = (co — u0) (co + u0) ~ 2u0 (u — u0), protože 7 (red) AM = +1 složka ab (blue) ŕ^^^^k 1 elipticky polarizované záření, kruhově polarizované ve směru magnetického pole, lineárně polarizované ve směru kolmém k magnetickému poli AM = 0 složka n lineární polarizace ve směru magnetického pole podrobněji Sobelman (1992, Chapter 8.1); Landi DeglTnnocenti and Landolfi (2004, Chapter 3.1) Paschenův-Backův efekt (Sobelman 1992, Chapter 8.2; Landi DeglTnnocenti 2014, Chapter 9.7; Landi DeglTnnocenti and Landolfi 2004, Chapter 3.4) • pro AEB alespoň srovnatelné s AEj (mezi jednotlivými hladinami) parametr £ charakterizuje spin-orbitální interakci, závisí na kvantových číslech hladiny (Landi DeglTnnocenti and Landolfi, 2004, rovnice 3.59) 1. 7< 1- režim Zeemanova efektu 2. 7 ~ 1 neúplný Paschenův-Backův režim 3. 7 3> 1 úplný Paschenův-Backův režim pro 3. je spin-orbitální interakce perturbací magnetické interakce změna energie rozštěpených hladin AEM = i20B(ML + 2Ms) (B.15) Ml, Ms průměty L a S do směru magnetického pole přechody mezi složkami splňují výběrová pravidla AMg = 0, AMl = ±1,0 204 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE B.5 Poznámky ke struktuře jednotlivých atomů B.5.1 He n • čáry objeveny ve spektru £ Pup (Pickering, 1896) • nový prvek, označen „proto-vodík" (Lockyer, 1899)^ • Bohr (1913) - čáry přiřazeny ionizovanému heliu B.5.2 Struktura alkalických atomů například Tennyson (2005, kapitola 6), Sobelman (1992, kapitola 3.2), • Li, Na, K, Rb, Fr • jeden valenční elektron • příklad sodík Na I konfigurace základní hladiny ls22s22p63s1 2Si • známé čáry sodíku: přecWod^3s 2^^ (5896 Ä), 3s 2S i o 3p 2P°á (5890 Ä) • spektrum alkalických kovů - původ označení spdf, série čar analogické Bal-merově sérii vodíku, název podle toho, jak vypadaly čáry: principál (z p stavů do základního stavu), sharp (z s stavů), diffuse (z d stavů), fundamen-tal (z / stavů) historie v JeÄprW^07)J • příklad Nal, obr. B.l • podobná spektra jiných prvků K^^^(o3r.B.5) Na i : Mg n Li i :Civ 205 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 45x|03._ns2S np 2P° nd 2D nf *F° Obrázek B.l: Grotrianův diagram Na I. Zkopírováno z Bashkin and Stoner (1975). 206 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE konfigurace term hladina 3s 3p 2Si 2 2po 2po 4s 3d 4p 5s 4d 4f 5p 2Ds 2D5 2 2 2po 2po 2po Tabulka B.l: Nejnižší hladiny neutrálního sodíku Nal vzestupně podle excitační energie. B.5.3 Struktura kovů alkalických zemin například Tennyson (2005, kapitola 7.3), Sobelman (1992, kapitola 3.3.2) • Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra • 2 valenční elektrony ns2, jako He • podobné spektrum • rozdíly: - pravděpodobnější interkombinační čáry - dvouexcitované stavy (obr. B.4) zmíněno v kapitole 5.2.4.3 - více ionizačních hran B.5.4 Struktura prvků s částečně zaplněnými jg-slupkami Sobelman (1992, kapitola 3.4) 207 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE Obrázek B.2: Schematický Grotrianův diagram termů Cal konfigurace Asnl s nižší energií. Přechody do hladin sn = 4 jsou vyznačeny modře, oranžově jsou interkombinační přechody mezi singlety a triplety. Ionizační hladina je vyznačena tečkované. 208 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 60000 50000 40000 o 30000 20000 10000 -4f -5p -5s -4p Ca -5d "5d_4f _4f-5d -4d _4d-5p -5p^4d -3d -5s —4d —3d I (3d nľ) —4d 1S lpo lp 1D0 1D lpo lp 1G0 1G 3S 3pO 3p 3D0 3D 3pO 3p 3q0 3q Obrázek B.3: Neúplný schematický Grotrianův diagram termů Cal konfigurace 3dnl s nižší energií. Přechody do některých hladin s n = 4 jsou vyznačeny modře, oranžově jsou interkombinační přechody mezi singlety a triplety. Ionizační hla-•diny je vyznačena tečkované, horní čára odpovídá ionizaci do hladiny 3d ionizovaného vápníku. Hladiny 4s v tomto obroku jsou hladiny 3d v obrázku B.2. B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE a 4s6s 4s5s 4s6p 4s5p —L- 4s4p 4s5d 4s4d 4s3d / / / / / 3d6s 3d5s \ -\ 3d^ 3d6p -1- 3d4p 3d4s 4sz Obrázek B.4: Zjednodušený diagram dvouexcitováných hladin Cal. Zkopírováno z Tennyson (2005, obr. 7.9). p1 (B, AI, Ga, In, TI) • ls22s22p2Pi 3 2 ' 2 resonanční přechod do ls 3s S i spodní hladina doublet, horní ne —> čára doublet excitované konfigurace také 2s2p2 (4P, 2D, 2P) příklad B I, obr. B.6 p2 (C, Si, Ge, Sn, Pb) • np2 3P0il,2, ^2, • resonanční přechod do 2s22p3s (XP° 3Pg 1 2) • excitované konfigurace také 2s2p3 (3S°, 3D°, 5S°) /• příklad Sil, obr. B.7 210 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 211 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 212 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 213 B. DOPLNKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 15 1pO 1p 1pO 1p 1pO 1pO 3g 3gO 3pO 3p 3pO 3p 3pO 3pO 5gO 5p 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 t-1-1-1-1-r t-1-1-1-1-r —5s — 4d —4d—4 -2s2p3 15 1pO 1p 1pO 1p 1pO 1pO 3g 3gO 3pO 3p 3pO 3p 3pO 3pO 5gO 5p Obrázek B.8: Schematický Grotrianuv diagram termů CI do n = 4 včetně. Zobrazeny jsou dovolené přechody mezi hladinami sn = 2an = 3. Dovolené přechody z hladin s n > 3 zobrazeny nejsou. 214 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE_f \ Tabulka B.2: Nejnižší hladiny neutrálního uhlíku CI. singlety triplety kvinte týV konfigurace term hladina term hladiny term hladiny 2s2 2p2 2s2 2p2 2s2 2p2 XD XS íDl So 3p 3Po 3Pi 3P2 2s 2p3 2s 2p3 3Do 3D° 3D° 3D° 5S° 5s°2 2s2 2p3s 2s2 2p3s lpo lpo 3po 3po 3po 3po r0 rl r2 2s2 2p3p 2s2 2p3p 2s2 2p3p 2s2 2p3p 2s2 2p3p 2s2 2p3p XP XS XPl 1So 3D 3S 3p 3Dx 3D2 3D3 3Sx 3Po 3Pi ^ 2s 2p3 3po 3po 3po 3po r0 rl r2 příklad pro dva p elektrony (p2): CI obrázek B.8 a tabulky B.2 a B.3, termy: XS (singlet-S), 3P (triplet-P), XD (singlet-D) hladiny: %, 3P0, 3Pi, 3P2^D2 p3 (N, P, As, Sb, Bi) • 2p34S03,2P'í 3 2D°5 3 2 2 ' 2 ■ 2 ' 2 • resonanční přechod do 2p23s 4Pi 3 5, 2Pi 3, 2D3 5 *r 2' 2'2 2'2 2' 2 • existuje i intermediate coupling / stavů {j 11) • obrázky moc složité p4 (O, S, Se, Te, Po) • V^o/D^So • resonanční přechod do 2p43s 3Si, 5S2, • existuje i 2s2p5 3P° více systémů s různými ionizačními energiemi r • příklad Ol, obr. B.9 215 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE_¥_ \ Tabulka B.3: Možné kombinace kvantových čísel pro dva p elektrony (p2). Podle Tatum (2020, kapitola 7.14). L 5 J M Hladina 1 0 0 0 0 xs 1So 2 1 1 0 0 3p 3Po 3 1 1 1 -1 3P1 4 1 1 1 0 5 1 1 1 1 6 1 1 2 -r 3P2 7 1 1 2 -i 8 1 ' 2 0 9 1 1 2 i 10 1 1 2 2 11 2 0 2 -2 12 2 0 2 -1 13 2 0 2 0 ^4 2 0 2 1 15 /2 0 2 2 216 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE_¥_ Obrázek B.9: Grotrianův diagram Ol. Zkopírováno z Moore and Merrill (1968, str. 32). 217 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE p5 (F, Cl, Br, I, At) • npb 2P| i, 2 ' 2 • resonanční přechod (u F i) do 2p , existuje i 2p >43s 4P 5 3 1 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 • více systémů s různými ionizačními energiemi • příklad: diagram Ar II (Cl-like), obr. B.10 B.5.5 Struktura vzácných plynů Sobelman (1992, kapitola 3.4.6) • Ne, Ar, Kr, Xe, Rn • zaplněná p- slupka, konfigurace npe, základm sta^^^1So • silná vazba, ZeS = 5 (viz rovnice 5.38) pro p elektrony => nejvyšší ionizační energie • přechody ze základní hladiny v UV • přechody mezi vyššími hladinami viditené a infračervené • excitované stavy n's, nj/pyrd vazbová energie těchto stavů mnohem menší než vazbová energie elektronů np5 (silná spin=orbitální inetrakce) • „jádro" (bez valenčního elektronu) charakterizováno kvantovými čísly L, S aj • hladiny s K = j; + / • spin-orbitální interakce posledního elektronu: J = K ± \ • notace 2S+1Ljnl[K] j • příklad, konfigurace np5n's jl coupling příklad Nel, obr. B.ll ostatní typy vazeb zmíněny v kapitole 5.2.8 218 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE 219 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE Obrázek B. 11: Grotrianův diagram Ne I. Zkopírováno z Moore and Merrill (1968, str. 38). 220 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE B.5.6 Struktura prvků s nezaplněnými da f slupkami Sobelman (1992, kapitola 3.5), odkaz z kapitoly 5.2.4.4 d slupky • skupina železa (Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni) • skupina paladia (Y, Zr, Nb, Mo, Tc, Ru, Rh, Pd) • skupina platiny (Lu, Hf, Ta, W, Re, Os, Ir, Pt) • „soutěž" mezi hladinami s a d (například 4s a 3d) • d elektrony - velké množství termů a hladin | příklad: konfigurace 3cř34s: 16 termů, 38 hladin =>- vysoké množství čar absence velmi silných čar • rezonanční čáry —> spíše více čar S příklad Fe I, konfigurace základního stavu 3cř64s2 rezonanční přechod 3d<%2 ^4^5|^jř4s[6D]4p5D termy s J = 4 mají nejnižší energii o 4,3,2,1,0' • příklad Fe I, obr. B. 12 / / slupky • lanthanoidy (Ce, Pr, Nd, Pm. Srn, Eu, Gd, Th, Dy, Ho, Er, Tm, Yb) • aktinoidyjP^rh, Pa, U, Np, Pu, Am, Cm, Bk, Cf) • /-konfigurace - extrémně vysoké množství termů a hladin B.6 Poznámky ke struktuře molekul polyatomické molekuly diatomické molekuly (ty v dalším textu) 221 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE_f \ Obrázek B. 12: Grotrianův diagram Fe I. Zkopírováno z Moore and Merrill (1968, str. 62). odlišnosti od atomů • neexistuje střed, kolem kterého se elektrony v molekule pohybují • jednotlivé atomy v molekule se pohybují —> vibrační a rotační pohyby atomů v molekule g B.6.1 Energetické stavy molekul Bornova-Oppenheimerova aproximace (Born and Oppenheimer, 1927) • oddělení pohybů jádra a elektronů (protože elektrony jsou lehké a pohybují se výrazně rychleji) • vlnovou funkci molekuly lze zapsat jako součin vlnové funkce jádra mole-kuly a vlnové funkce elektronů m» můžeme oddělit i rotační a vibrační pohyby rotační hladiny molekula se může otáčet, 222 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE moment setrvačnosti molekuly: I = fiR^ (model pevného rotátoru) (i?o je rovnovážná vzdálenost mezi jádry, /i = MAMB/(M\\- MBi je redukovaná hmota molekuly) energetické hladiny (vlastní hodnoty energie, Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 7.163; Rybicki and Lightman 1979, rovnice 11.22; Tennyson 2005, rovnice 9.15; Herzberg 1950, rovni|^|^7j^ h2 h2 ETOt = J(J + 1)— = J(J + 1)-—2 \f{J + \B K (B.16) 21 y ' 2pR\ pro rychlou rotaci (velké j) nutno započítat vliv odstředivé síly, hodnoty ETOt se trochu změní (McQuarrie, 2008, kapitola 6.5) J nezáporné číslo (rotační kvantové číslo), J = 0,1, 2,... (J = 0 EIot = 0) B rotační konstanta molekuly (Hubeny and Mihalas 2014, rovnice 7.163; Tennyson 2005, rovnice 9.16) S = S» 0, důsledA relacerÄrči- 1 tosti • realistický vibrační potenciál zahrnuje možnost disociace molekuly (Tennyson, 2005, obrázek 9.4) ve vztahu pro E^b nutno použít vyšší mocniny (v + |) (vyšší členy rozvoje) elektronické hladiny energetické hladiny podobné atomům, ale rozdíly • molekuly nejsou sféricky symetrické, aproximace centrálního pole nejde použít • orbitální impulsmoment jednotlivých elektronů se nezachovává • celkový elektronický impulsmoment L rotuje kolem mezijaderné osy (precese) • zachovává se pouze složka orbitálního impulsmomentu ve směru osy molekuly • MLE(L,L-1,...,0,...,-L) • hML - průmět do význačné osy (mezijaderné osy) • používáme kvantové číslo A = \ML \ - je degenerované (g=2) • A = 0,1,2, 3,4,..., značení E, n, A, $, V ... • celkový spin S, průmět do mezijaderné osy Mg = S, také, neplést s označením pro A = 0 • značení: 25+1A • symetrie (analogie parity) - Tennyson (2005, kapitola 9.2.2), McQuarrie (2008, kapitola 10.2) pro homonukleární molekuly (například H2) se označuje symetrie vlnové funkce při záměně atomů; pokud vlnová funkce nemění znaménko, j^sudá a označuje se g (gerade), pokud znaménko mění, je lichá a označuje se u (ungerade) ) značení 25+1 Ag nebo 25+1 Au • (McQuarrie, 2008, kapitola 10.5): pro E stavy: zrcadlení vlnové funkce pro zrcadlo procházející jádrem, nemění znaménko: +, mění znaménko: značení: 2S+1A+//~, například 2E+, 3Eg , 1£+ 224 _B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE_f \ • značení elektronických hladin - analogie s atomy (před označení termu dát kvantové číslo n valenčního elektronu) by nebyla jednoznačná, používá se ad hoc systém: - X - označuje základní elektronický stav - A, B, C, ... označuje stavy stejné multiplicity jako základní stav - a, b, c, ... označuje stavy jiné multiplicity než základní stav řazení podle energie hladin, ale jsou výjimky příklad H2: základní hladina: XXE+, vyšší hladina: BXE+ ještě vyšší hladina: C1!^; ale hladina b3E+ má nižší energii než hladina a3E+ (Tennysoi^m)05, kapitola 9.2.3) • složka celkového impulsmomentu ve směru mezijaderné osy: f2 = |A + E|, skládá se algebraicky (Hubeny and Mihalas, 2014, str. 218); není jednoznačný systém jak skládání probíhá, liší se pro různé molekuly a někdy i pro různé hladiny jedné molekuly (Tennyson, 2005, kapitola 10.4) celková vnitřní energie molekul -Eint = Ee + Evih + ETOt (B.19) B.6.2 Přechody v molekulách řádové odhady poměru energií (viz Rybicki and Lightman, 1979, kap. 11.1) M je hmotnost jádra molekuly • elektronické přechody ~eV —> optický, UV obor • vibrační přechody —> near-IR, mid-IR • rotační přechody —> far-IR, mm elektrické dipólové přechody analogické atomárním dipólovým přechodům čistě rotační přechody nutný permanentní dipólový moment molekuly (d ^ 0) • výběrová pravidla: - A J = +1 (absorpce) nebo A J = — 1 (emise) 225 B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE - Am = O (McQuarrie 2008, kapitola 6.7; Hubeny and Mihalas 2014, str.221) použita aproximace pevného rotátoru • d ý 0 => homoatomické dvouatomové molekuly nemají čistě rotační spektrum v dipólovém přiblížení (jejich d = 0) • frekvence přechodů • příklad čistě rotačního spektra - obr. 5.10 • závislost na /i =>- izotopy mají posunuté rotační spektrum • rotační spektrum H2 - elektrický kvadrupólový přechod (viz Tenny-son, 2005, kapitola 10.1.3) - výběrové pravidlo A J = ±2 I - přechody pozorovány v mezihvězdném prostředí vibračně-rotační přechody (viz McQuarrie, 2008, kapitoly 6.3 a 6.4) energie pro excitaci vibračních modů 3> energie pro excitaci rotačních modů, proto existence čistě vibračního spektra nepravděpodobná • další výběrové pmvid^jj Av = ±1, pro rozc^yzt:2Ttd. "vyšší harmonické" přechody kombinovaná vibračně-rotační hladina v aproximaci pevného rotátoru a harmonického oscilátoru Ev,j =(v + ^j hu0 + J(J + l)B (B.21) • jemná struktura způsobena rotačními přechody při absorpci (Av = +1): - A J = 0, ±1, je možná rotační emise i absorpce, protože Evih 3> ETOt - A J = +1: Rbranch, - A J = -1: Pbranch, - A J = 0: Q branch (pokud je dovolen, pro A / 0) (Rybicki and Lightman 1979 má P a R obráceně) 226 _B. DOPLŇKY K ATOMÁRNÍ FYZICE_¥_ \ započtení rotačně vibrační interakce způsobí posun hodnot energetických hladin daných rovnicí (B.21) obrázek vibračně rotačního spektra (obr. 5.12) elektronicko-vibračně-rotační přechody nutno započítat změny elektronických, rotačních i vibračních stavů • každý elektronický přechod je vlastně soustavou pásů (vibrační přechody) s jemnou strukturou (rotační přechody)\ • výběrová pravidla - elektronické hladiny * AA = 0,±1 * AS = 0 (zachování spinu) - vibrační hladiny * Av jakékoli kladné nebo záporné celé číslo - rotační hladiny * A J = — 1,0,1, ale J = 0 —> J = 0 zakázaný * A J = 0 j^akázarrjkroE grektronické stavy - dělení jemné struktury: * AJ = +1: Rbranch, * A J = — 1: P branch, * AJ = 0: Q branch • příklad značení pro H2: - XXE+ (základní stav) —> BXE+ (první excitovaný stav) - Lyman band (~ 1010Ä) -^-^^to^druhý excitovaný stav) - Werner band (~ 1100A) - přechody jsou označované jako pásy, mají hustou strukturu • rotační konstanta B se pro vyšší hladiny mění, protože se mění vzdálenost mezi jádry (většinou se zvětšuje) obrázek elektronicko vibračně rotačního spektra (obr. 5.13) 227 Příloha C J Numerické řešení rovnice přenosu záření Cl Diskretizace Feautrierova řešení rovnice přenosu zareni V této části popíšeme diskretizaci řešení rovnice přenosu záření druhého řádu, kterou jsme zavedli v kapitole 6.3.5 a poté použili i v kapitole 7.4. C.l.l Diferenční rovnice Zapíšeme si diferenční rovnici pro danou frekvenci v a směr šíření záření /i. Pro jednodušší zápis zavereme o^kčeni j = jVfJi a r = ru//im. Schusterovu rovnici přenosu záření (6.57) pak zapíšeme zjednodušeně jako d27 ^=i-s (CD dj dr a podobně i okrajové podmínky (6.59) H1 =I+-j(rm!a) (C.2) LI / T"max nebo symetrickou podmínku (6.62), 0. (C.3) dr A^chom mohli přistoupit k numerickému řešení problému, prostředí nyní diskre-tizujeme (viz kapitola 6.3.1.1) na D hloubkových bodů, d = !,...,£>. Derivace 228 C NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ j podle optické hloubky r vyjádříme pomocí diferenčních vztahů. Pro první derivaci vyjádřenou v hloubkových bodech á +1 (mezi body dad + 1) ad -V| (mezi body d — 1 ad) máme = Ajd+ d4 dj dr Ar, Jd+l — 3d (C.4a) dj dr d-i Ardi J d ~ Jd-i T~d - Td-1 (C.4b) Analogicky pro druhou derivaci vyjádřenou v bodě d pomocí prvních derivací (C.4) můžeme psát dfj dr2 dj dj dr d+\ dr d-\ iÍAr^- hAr, i^l 2 V UŤ2 "~2 j (C5) Zavedeme označení a rovnici (C.5) přepíšeme (C6) dfj dr2 |?d+i - Jl Jd~ Jd-i Ard (C7) Nahrazením druhé derivace v (Cl) vztahem (C.7) doplněním indexu d na pravO straně téže rovnice dostaneme diskretizovanou rovnici přenosu záření pro Schuste-rovy proměnné pro d = 2,..., D — 1, Jd+i - J d _ J d - Jd-i Ard \ A%. Ard i j d - sd. (C.8) Kromě samotné rovnice přenosu je třeba diskretizovat i okrajové podmínky (C.2). Diskretizovaná horní okrajová podmínka přesná do 1. řádu je 32-3i Ars 2 3i-I-. 229 C NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ Diskretizovaná rovnice přenosu (C.8) je však přesná do 2. řádu. Okrajovou podmínku přesnou rovněž do 2. řádu získáme z Taylorova rozvoje v bodě ji, j2 = ji + AT| — 2 dr 1 a 2 d'j -Ar2 —- 2 § dr2 odkud s využitím (Cl) a (C.2) dostaneme ^7—^ = Jl " I~ + "ATS (ji - S-i) . Ars j 2 2 u ; (C9) Podobným postupem dostaneme i vztah pro spodní okrajovou podmínku přesnou do 2. řádu, JD - j D-l T+ ■ 1 a ( ■ a \ (CIO) C.1.2 Matice koeficientů diferenční rovnice Diskretizované rovnice (C.8), (C.9) a (CIO) tvoří systém, který můžeme formálně zapsat jako (d = !,...,£>) —Adjd-i + _Bdjd — Cdjd^í kde jednotlivé koeficienty -4, 1 Ard_i_Ard c, Ard+iArd Bd = l + Ad + Cd Ax = 0, Ars Ar?' Ci 5D = 1 Ar2' 2 2 Ar D- At 2 ' d = 2, d = 2, d = 2, D-l, D-l, D-l, (Cil) (C.12a) (C.12b) (C.12c) (C.12d) (C.12e) (C12f) (C12g) (C.12h) 230 C NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ROVNICE PŘENOSU ZÁŘENÍ CD = O, (C. 12i) Ld = Sd d = 2,...,D-l, \(C12j)| 2 = SD + /+. fcíC.ll) Systém (C. 11) s koeficienty (C. 12) tvoří třídiagonální matici koeficientů (prvky matice mimo hlavní diagonálu a sousední diagonály jsou nulové) ^Äisobenou vektorem intenzit j. Na pravé straně rovnice je vektor pravých stran L. Pro názornost maticovou diferenční rovnici zapíšeme, í Bi -A2 0 V o -Ci B2 0 0 o -c2 o o -Ad B, 0 0 to o 0 \ o -cd o o rAD_i Bd_i —Cd-i 0 -AD BD j2 Ld Ld-i \LD J (C.13) Uvedené koeficienty zajišťují přesnost diferenční rovnice do druhého řádu. Existuje i formulace diferenčních rovnic pomocí Hermitovských diferencí, které jsou přesné do 4. řádu (Auer, 1976), ale řešení je pak méně stabilní. C.1.3 Eliminační schéma iSpustaviyovnic (C.ll) řešíme Gaussovou eliminací, která probíhá ve dvou krocích. V prvním kroku provádíme dopřednou eliminaci {forward elimination), kdy 231 _C. NUMERICKÉ RESENI ROVNICE PRENOSU ZARENI_ \ D1 = B^d Dd = (Bd - AdDd-^Cd d = 2,..., D Zi = B^Li Zd = {Bd - AdDd^)-\Ld + AdZd^) d = 2,..., D. V následujícím kroku získáme zpětnou substitucí (backwam substmition^ těchto dvou veličin řešení rovnice přenosu pro Schusterovu proměnnou j,\ jD = ZD (C.15) jd = Ddjd+1 + Zd d = D — 1,... A- Toto numerické schéma poskytuje rychlé a stabilní řešení planparalelní rovnice přenosu záření. Vylepšená varianta eliminačního schématm(Rybicll[ and Hummer, 1991, Ap-pendix A), odstraňuje některé numerické nepřesnosti plynoucí z odčítání velkých čísel, která vzniknou jako převrácené hodnoty velmi malých optických hloubek. C.1.4 Monochromatická rovnice přenosu záření s rozptylem Diferencujeme rovnice stejně jako v Cl. Jediná změna je, že vydatnost S d v rovnici (C.8) je nyní vyjádřena součtem M Sd=[l- {Sv)d} ^ Wmjdm + {tv)dBd (C.16) Mm=l kde wm jsou kvadraturní váhy (6.43) pro integraci v intervalu (0; 1). Zavedeme vektor (jd) = (j^^m^, jdu) a napíšeme maticovou analogii rovnice (C.ll), -AjR-i -^^Jd^- = Ld, (C.17) kde Ad, Bd a Q jsou matice. Tuto rovnici řešíme eleminačním schématem (C.14) a (C.15), v němž jsou Dd matice a Zd vektory. Podrobné vztahy lze najít v Hubeny and Mihalas (2014,^5pitola 12.2). 232 Příloha D Abundance chemických prvků a metalicita typické značení proměnných a obsah pojmů abundance a metalicita se liší mezi různými astronomickými podobory výčet a odkazy na literaturu jsou zatím neúplné abundance relativní abundance (zastoupení) ák prvku k vzhledem k celkovému počtu atomů a iontů iVN podle počtu částic &k = -~^ (D.l) vyjádřená vzhledem k vodíku (ku i Yk = ^r (D.2) abundance podle hmotnosti (mass fraction) ^fckm&y Nutriu iVNm l^k Nkrrik častý zápis abundancí v astronomii (viz například Asplund et al., 2009) příklad: abundance prvku X (logaritmická abundance) logěx = log(^ +12 (D.4) alogěH = 12 používá již Russell (1929, Tabulka 16) 233 D. ABUNDANCE CHEMICKÝCH PRVKU A METALICITA abundance se často udávají vzhledem ke sluneční abundanci (referenční chemické složení) metalicita X - abundance vodíku, Y - abundance helia, Z - abundance všeho ostatního (metalicita) zjednodušené souhrnné vyjádření chemického složení vyjadřuje se často vzhledem ke sluneční metalicitě (ZQ = 1)1 234 Příloha E Linearizace Newtonova-Raphsonova metoda, metoda tečen iterační metoda řešení nelineárních rovnic jednorozměrný případ hledáme řešení rovnice f{x) = 0 1. máme odhad řešení rovnice x^1^, který ale nepsplňuje rovnici přesně 2. hledáme řešení x, které^jo^vnicrÄtóitije přesně, řešení zapíšeme ve tvaru x = rr(old) + ôx 3. dosadíme: /(x(ol^^=^ 4. rozvineme f(x) = f(xM) + ^-(x^)óx + p-(x(^))(ôxf + ... dx dxz členy s vyššími mocninami zanedbáme hledáme óx, řešíme rovnici /(:r(old)) + ^-(x^)óx = 0 dx pro óx 5. upravíme řešení :r(new) = x^01^ + óx, řešení opět nepřesné 6. je-li óx „malé", máme výsledek; není-li „malé", vracíme se s novým odhadem řešení na začátek (položíme x^01^ = x^11^) „malost" určujeme například pomocí podmínky lóx/x^01^ \ < e, e je malé a závisí na problému, který řešíme 235 Část III Cvičení 236 Příloha F Cvičení _F. CVIČENÍ_¥_ \ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (1) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Ukažte (pomocí obrázku 2.2), že specifická intenzita je podél paprsku konstantní. (kapitola 2.1) 2. Spočítejte složky vektoru toku, tenzoru tlaku záření a divergence tenzoru tlaku záření v rovinné a sférické geometrii. (kapitola 2.7.1) 3. Ukažte, že tok popisuje celkové záření vystupující ze vzdálené hvězdy, kterou můžeme považovat za bodový zdroj. (kapitola 2^3 K 238 F. CVIČENÍ 4. Ze základního obecného tvaru rovnice přenosu záření (3.8) 1 9 , ^ I(r, n, u, t) = r/(r, n, u, t) - x(r, n, u, t)I(r, n, u, t). odvoďte rovnici přenosu záření ve sférických souřadnicích. Jako pomůcku můžete použít obrázek znázorňující element dráhy ve sférických souřadnicích. e + do (kapitola 3.2.3) 239 F. CVIČENÍ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (2) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Odvoďte časově nezávislé momentové rovnice přenosu záření pro planpa-ralelní a sféricky symetrickou aproximaci. Pro oba případy zformulujte momentové rovnice přenosu druhého řádu pro střední intezitu záření s použitím Eddingtonova faktoru. (kapitola 3.6.1) 2. Spočtěte integrál Planckovy funkce přes frekvence. (kapitola 4.5) 3. Určete hodnotu celkové hustoty zářivé energie při rovnovážném rozdělení záření. (kapitola 4.5) 240 F. CVIČENÍ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (3) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Odvoďte Sahovu ionizační formuli ve tvaru svazujícím koncentrace základních hladin neutrálního atomu a jednou ionizovaného iontu (4.20), její zobecnění pro dva po sobě jdoucí ionty (rovnice 4.21) a ve tvaru svazujícím celkové koncentrace dvou po sobě jdoucích iontů (rovnice 4.24). (kapitola 4.3) 2. Vyjádřete ionizační podíl iontu j atomu k (4.26) fjk(ne,T) = ^. (4.26) \ pomocí Sahových-Boltzmannových činitelů $ zavedených v (4.24) N* ľl-(T) 3^?^ ~ 3 -7ie 3 , .CiTlII^ 3^.(T). (4.24) N*+1 *U3+1{T) (kapitola 4.3) 3. Pro případ zadané terrfotyA^icelrové konentrace N odvoďte z rovnice elektrické neutrality (4.33) k jk ne = (N - ne)^2äk^2jfjk(ne,T) (4.33) k=i j=i vztahy pro korekce óne numerického iteračního určení elektronové hustoty linearizací (Newtonovou-Raphsonovou metodou). (kapitola 4.3.1) 4. Zapište rolÄkielektrické neutrality (4.33) pro plyn, který se skládá pouze z vodíku a helia a který je v termodynamické rovnováze. Započtěte i záporný vodíkový iont. (kapitola 4.3.1) 241 F. CVIČENI \ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (4) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Odvoďte Milného vztahy mezi koeficienty vázaně-volných přechodů, (kapitola 5.1.2) 242 F. CVIČENÍ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (5) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Najděte formální řešení rovnice přenosu záření ^dT^x) = /(^^ _ ^ A . (3.15) mezi body r2 a ti. (začátek kapitoly 6) 2. Předpokládejte, že vydatnost (zdrojová funkce) je lineární funkcí optické hloubky. Řešením rovnice přenosu záření ^T^/x) dr odvodte výraz pro určení specifické intenzity 1(0, /i) vystupující z polo-nekonečné atmosféry. Jinými slovy: odvoďte Eddingtonovu-Barbierovu relaci. (začátek kapitoly 6) 3. Vydatnost má tvar S (r) = ar + b. Spočtěte J (r), H (r) a K (r) pro případ planparalelní atmosféry. Zvolte vhodné okrajové podmínky. (využijte vztah 6.6 a dosaďte do vhodných rovnic v kapitole 2.7.1) 243 F. CVIČENÍ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (6) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Odvoďte řešení planparalelní rovnice přenosu záření v difúzním přiblížení. (kapitola 6.1) 2. Z řešení planparalelní statické rovnice přenosu zářen? pro směry +// a — // v bodě ru polonekonečné atmosféry bez z vnějšku dopadajícího záření odvoďte výraz pro střední intenzitu záření v tomto bodě (Schwarzschildovu rovnici). (kapitola 6.2) 3. Zavedením Schusterových proměnných dr I(r,fj) - S(t) (3.15) 1 ^ (0 < /i < 1) (0 < /i < 1) (6.55) převeďte rovnici přenosu záření d/J/r^J d0 I(r,fj) - S(t) (3.15) na rovnici druhého řádu a zformulujte vhodné okrajové podmínky. (kapitola 6.3.5) 244 F. CVIČENÍ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (7) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. S využitím pravděpodobnosti zničení fotonu eu = (7.19) napište pro případ tepelné absorpce a emise za předpokladu lokální termodynamické rovnováhy v kombinaci s koherentním rozptylem vztah pro určení vydatnosti Sv. Za předpokladu, že pro interakci v kontinuu můžeme předpokládat lokální termodynamickou rovnováhu (LTE), napište vztah pro vydatnost pro případ rozptylu ve spektrální čáře s kontinuem v pozadí. Využijte pravděpodobnost zničení fotonu ev a předpokládejte, že podíl opacity v kontinuu k opacitě ve spektrální čáře je r = Xc/xi- (kapitola 7.2.1) 2. Odvoďte vztah pro termalizační optickou hloubku koherentního rozptylu a vyjádřete ji pomocí pravděpodobnosti zničení fotonu (7.19). (kapitola 7.3) 3. Ukažte, že konvergence A-iterace je pro e <^ 1 pomalá. (kapitola 7.5.1) 4. Pro kombinovanou momentovou rovnici druhého řádu s Eddingtonovým faktorem pro střední intezitu záření odvoďte okrajové podmínky. Využijte okrajové podmínky pro Feautrierovo řešení (6.59) a povrchový Eddingtonův faktor (7.41). (kapitola 7.5.2) 245 F. CVIČENÍ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (8) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Za předpokladů pro Sobolevovu aproximaci vyjděte z rovnice (8.9) "o , „ | dl(n,y) — \n-Vv-n\ —--= Xl [&l - I{n, y)\ c dy vyjadřující závislost specifické intenzity záření I na proměnné y zavedené jako oo y = du (j)(u ) pro n ■ Ví) • n > 0 J v y = I du'(f)(u') pro i \r'' * v ■ n < 0 a odvoďte vztah pro specifickou intenzitu záření v Sobolevově aproximaci. Integrací rovnice odvoďte nejdříve vztah pro I(n, y) a pak výsledný vztah zintegrujte přes profil spektrální čáry. Využijte vztah definující Sobolevovu optickou hloubku r (n) (8.10), t (n) Vq \n ■ V v ■ n\ (kapitola 8.1) 246 _F. CVIČENÍ_¥_ \ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (9) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Faktor zředění W je definován prostorovým úhlem zu, pod kterým pozorovatel vidí zdánlivý hvězdný disk, jako W = zu/(47r). Vyjádřete W pomocí poloměru hvězdy a vzdálenosti pozorovatele od hvěKy. (kapitola 11.1.1) 2. Pro dvě hladiny z přiloženého zjednodušeného Grotrianova diagramu ionizovaného vápníku (Ca li) napište rovnice kinetické (statistické) rovnováhy a vysvětlete je. CONTINUUM (kapitola 11.5, obrázek z Linsky and Avrett (1970)). 247 _F. CVIČENÍ_¥_ \ Příklady k procvičení Fyziky hvězdných atmosfér (10) Není-li uvedeno jinak, odkazy se vztahují k učebnímu textu „Základy fyziky hvězdných atmosfér" (verze 19. prosince 2022) uloženému v IS. 1. Pro tříhladinový atom (hladiny 1, 2, 3) porovnejte četnosti přechodů v posloupnosti 1—^2—> 3 —)• 1 av posloupnosti 1—^3—^2—^1. Zanedbejte stimulovanou emisi a srážkové přechody. Nerovnovážné záření vyjádřete zjednodušeně pomocí faktoru zředění a Planckovy funkce, použijte Wie-novu limitu Planckovy funkce. (kapitola 11.5.1) 2. Pro jednohladinový atom s možností ionizace (jednohladinový atom s kon-tinurem) odvoďte 6-faktory vázané hladiny pro případ dominantních srážkových přechodů a pro případ dominantních zářivých přechodů. (kapitola 11.5.1) 3. Zformulujte soustavu rovnic statistické rovnováhy pro excitační rovnováhu hladin J = | a J = | základního termu 2s22p2P° ionizovaného uhlíku (C li) v mezihvězdném prostředí. Zanedbatelné četnosti přechodů zanedbejte a zanedbání zdůvodněte. Úlohu zopakujte pro hlôaiíry J =^fl, 2 základního termu 2s22p2 3P neutrálního uhlíku (C i). (kapitola 11.5.1) 4. Za předpokladu hloubkově nezávislé pravděpodobnosti zničení fotonu a zanedbání stimulované emise určete pro dvouhladinový atom termalizační délku proTJo^fcterův a Voigtův profil. (kapitola 12.1.1) 5. Pro dvouhladinový atom bez kontinua odvoďte vztah pro vydatnost s využitím pravděpodobnosti zničení fotonu e. (kapitola 12.1.2) 248 Literatura ^^^k^l Al-Tuwirqi, R., Al-Suliman, N., Khalil, A. A. I., and Gondal, M. A.: 2012, Molecular Physics 110(23), 2951 Asplund, M., Grevesse, N., Sauval, A. J., and Scott, R: 2009, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 47, 481 Atanackovic-Vukmanovic, O., Crivellari, L., and Simonneau, E.: 1997, Astrophys. J. 487, 735 Auer, L.: 1976, /. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 16, 931 Auer, L. H.: 1971, /. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 11, 573 Auer, L. H. and Mihalas, D.: 1969, Astrophys. J. 158, 641 Auer, L. H. and Mihalas, D.: 1970, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 149, 65 Avrett, E. H. and Loeser, R.: 2003, in N. Piskunov, W. W. Weiss, and D. F. Gray (eds.), Modelling of Stellar Atmospheres, Vol. 210 of IAU Symposium, p. A21, Astronomical Society of the Pacific Bahcall, J. N. and Wolf, R. A.: 1968, Astrophys. J. 152, 701 Bashkin, S. and Stoner, J. O.: 1975, Atomic energy levels and Grotrian Diagrams - Vol.1: Hydrogen ^^Pm^iorW XV, North-Holland Publishing Company, Amsterdam Bates, D. R. (ed.): 1962, Atomic and Molecular Processes, Vol. 13 of Pure And Applied Physics, Academic Press Bates, D. R. and Dalgarno, A.: 1962, in Bates (1962), p. 245 Belluzzi, L. and Trujillo Bueno, J.: 2011, Astrophys. J. 743, 3 Bohr, N.: 1913, Phil. Mag. Ser. 6 26(151), 1 Boltzmann, L.: 1884, Ann. Phys. 258(6), 291 Born, M. and Oppenheimer, R.: 1927, Ann. Phys. 389(20), 457 Breit, G. and Teller, E.: 1940, Astrophys. J. 91, 215 Cannon, C. J.: 1973a, /. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 13, 627 Cannon, C. J.: 1973b, Astrophys. J. 185, 621 Castor, J. I.: 2004, Radiation Hydrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge Chandrasekhar, S.: 1947, Astrophys. J. 105, 424 Chandrasekhar, S.: 1950, Radiative transfer, Clarendon Press, Oxford 249 LITERATURA Chandrasekhar, S.: 1958, An introduction to the study of stellar structure., Dover Publications, New York Chandrasekhar, S.: 1960, Radiative transfer, Dover Publications, New York Chevallier, L.: 2001, in F. Combes, D. Barret, and F Thevenin (eds.), SF2A-2001: Semaine de VAstrophysique Francoise, p. 181, EDP Sciences ' Cooper, J., Ballagh, R. J., Burnett, K., and Hummer, D. G.: 1982, Astrophys. J. 260, 299 Cooper, J., Hubeny, I., and Oxenius, J.: 1983, Astron. Astrophys. 127, 224 Däppen, W., Anderson, L., and Mihalas, D.: 1987, Astrophys. J. 319, 195 Dopita, M. A. and Sutherland, R. S.: 2005, Astrophysics of the diffuse universe, Springer-Verlag, Berlin, 3rd printing edition Drake, G. W. F. (ed.): 2006, Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics, Springer Verlag Berlin Einstein, A.: 1916a, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 18,318 Einstein, A.: 1916b, Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18, 47 Feautrier, P: 1964, C. R. Acad. Sei. Paris 258, 3189 Gaunt, J. A.: 1930a, Proc. Roy. Soc. London A 126, 654 Gaunt, J. A.: 1930b, Phil. Trans. RoyfLc^Lom^tA 229, 163 Gorham, G.: 1991, Studies in History and Philosophy of Science 22(3), 471 Grotrian, W.: 1928, Graphische Darstellung der Spektren von Atomen und ionen mit ein, zwei und drei Valenzelektronen. Zweiter Teil, Vol. 7 of Struktur der Materie in Einzeldarstellungen, Verlag von Julius Springer, Berlin Hanson, D. M., Harvey, E., Sweeney, R., and Zielinski, T. J.: 2021, Quantum States of Atoms and Molecules, https://chem.libretexts.Org/@go/page/4467 Heinzel, P: 1981, /. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 25, 483 Herzberg, G.: 1950, Molecular spectra and molecular structure. Vol.1: Spectra of diatomic molecules, D. Van Nostrad Company, Princeton, 2nd edition Hildebrand, FB.: 1974, Introduction to numerical analysis, 2nd ed., McGraw-Hill Hubený, I.: 1976, Ph.D. thesis, Astronomický ústav ČSAV, kandidátská disertační práce / Hubeny, I.: 1997, in J. P. De Greve, R. Blomme, and H. Hensberge (eds.), Stellar Atmospheres: Theory and Observations, Vol. 497 of Lecture Notes in Physics, Berlin Springer Verlag, p. 1, Springer Verlag, Berlin Hubeny, I., Hummer, D. G., and Lanz, T.: 1994, Astron. Astrophys. 282, 151 Hubeny, I. and Mihalas, D.: 2014, Theory of Stellar Atmospheres, Princeton University Press, Princeton Hummer, D. G.: 1962, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 125, 21 Hummer, D. G. and Mihalas, D.: 1988, Astrophys. J. 331, 794 Hummer, D. G. and Rybicki, G. B.: 1971, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 152, 1 250 LITERATURA Hund, F.: 1927, Linienspektren und periodisches System der Elemente, Vol. 4 of Struktur der Materie in Einzeldarstellungen, Verlag von Julius Springer, Berlin Jeans, J. H.: 1905, Proc. Roy. Soc. London A 76(513), 545 Jefferies, J. T.: 1968, Spectral line formation, Blaisdell Publ. Comp., Waltham Jensen, W. B.: 2007, Journal of Chemical Education 84(5), 757 " Korčáková, D.: 2003, Ph.D. thesis, Přírodovědecká fakulta Masarykovy Univerzity, Brno Kourganoff, V. and Busbridge, I. W.: 1952, Basic methods in transfer problems, Dover Publications, New York Kramers, H. A.: 1923, Phil. Mag. Ser. 6 46(275), 836 Kubát, J.: 2010, in R. Monier, B. Smalley, G. Wahlgren, and P. SteF(eds.), EAS Publications Series, Vol. 43 of EAS Publications Series, pp 1-18 Kvasnica, J.: 1983, Statistická fyzika, Academia, Prtha^ Lamb, W. E. and Retherford, R. C: 1947, Phys. Rev. 72(3), 241 Landi DeglTnnocenti, E.: 2002, in J. Trujillo-Bueno, F. Moreno-Insertis, and F. Sanchez (eds.), Astrophysical Spectropolarimetry, pp 1-53, Cambridge University Press Landi DeglTnnocenti, E.: 2014, Atomi^^^Lmscopy and Radiative Processes, UNITEXT for Physics, Springer, Milan Landi DeglTnnocenti, E. and Landolfi, M.: 2004, Polarization in Spectral Lines, Vol. 307 of Astrophysics and Space Science Library, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Linsky, J. L. and Avrett, E. yC^^^PuW. Astron. Soc. Pacific 82(485), 169 Lockyer, N: 1899, Proc. Roy. Soc. London A 65, 186 Lötz, W.: 1967a, Astrophys. J. Suppl. Ser. 14, 207 Lötz, W.: 1967b, Z. Phys. 206, 205 Martin, W. C. and Wiese, W. L.: 2006, in Drake (2006), p. 175 McCaughan, J. B. T: 1980, Physics Education 15(4), 255 McQuarrie, D. A.: 1976, Statistical Mechanics, Harper & Row Publ., New York McQuarrie, D. A.: 2008, Quantum Chemistry, University Science Books, Mill Valley, California, 2nd edition Menzel, CT^kl931 Astrophys. J. 85, 330 Menzel, D. H. (ed.): 1966, Selected papers on the transfer of radiation, Dover Publications, New York Menzel, D. H. and plkeris, C. L.: 1935, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 96, 77 Mihalas, D.: 1978, Stellar Atmospheres, W. H. Freeman & Co., San Francisco, 2nd edition Mihalas, D. and Weibel-Mihalas, B.: 1984, Foundations of radiation hydrodynamics, Oxford University Press, New York M/ne, E. A.: 1921, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 81, 361 Milne, E. A.: 1924, Phil. Mag. Ser. 6 47, 209 251 LITERATURA Milne, E. A.: 1930, Thermodynamics of the Stars, Vol. 3 of Handbuch der Astrophysik, pp 65-255, Julius Springer, Berlin Milne, E. A.: 1966, in Menzel (1966), pp 77-269, reprinted Moore, C. E.: 1952, Atomic energy levels. As Derived From the Analyses of Optical Spectra. Volume II., Vol. 467 of Circular of the National Bureau of Standards, National Bureau of Standards Moore, C. E. and Merrill, P. W.: 1968, Partial Grotrian Diagrams of Astrophysical Interest, Vol. 23 of National Standard Reference Data Series, National Bureau of Standards, NSRDS-NBS 23 Ng, K. C: 1974, /. Chem. Phys. 61, 2680 Olson, G. L., Auer, L. H., and Buchler, J. R.: 1986, /. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 35, 431 Osterbrock, D. E.: 1962, Astrophys. J. 135, 195 Perrin, F.: 1942, /. Chem. Phys. 10, 415 Pickering, E. C: 1896, Harvard College Observatory Circular 12, 1 Planck, M.: 1900a, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2(13), 202 Planck, M.: 1900b, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2(17), 237 Planck, M.: 1901, Ann. Phys. 309(3), 553 Pradhan, A. K. and Gallagher, J. W.: 1992, At. Data Nucl. Data Tables 52, 227 Pradhan, A. K. and Nahar, S. N.: 2011, Atomic Astrophysics and Spectroscopy, Cambridge University Press, Cambridge Rau, A. R. P.: 2002, Astronomy-inspired Atomic and Molecular Physics, Vol. 271 of Astrophysics and Space Science Library, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht Rayleigh, L.: 1900, Phil. Mag. Ser. 5 49, 539 Russell, H. N.: 1929, Astrophys. J. 70, 11 Russell, H. N. and Saunders, F. A.: 1925, Astrophys. J. 61, 38 Russell, H. N., Shenstone, A. G, and Turner, L. A.: 1929, Phys. Rev. 33, 900 Rybicki, G. B.: 1971, /. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 11, 589 Rybicki, G. B. and Hummer, D. G.: 1991, Astron. Astrophys. 245, 171 Rybicki, G. B. and Lightman, A. P.: 1979, Radiative processes in astrophysics, John Wiley & Sons Inc., New York Rydberg, J. R.: 1890, Phil. Mag. Ser. 5 29(179), 331 Schadee, A.: 1964, Bull. Astron. Inst. Netherlands 17, 311 Schmid, H. M.: 1989, Astron. Astrophys. 211, L31 Schuster, A.: 1905, Astrophys. J. 21, 1 Schwarzschild, K.: 1914, in Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, pp 1183-1200, Verlag der Königlichen Akademie der Wissenschaften, Berlin Schwarzschild, K.: 1966, in Menzel (1966), pp 35-51, translated by Rudolf 252 _LITERATURA_f \ Loeser Scudder, J. D.: 1992, Astrophys. J. 398, 319 Scudder, J. D.: 1994, Astrophys. J. 427, 446 Seaton, M. J.: 1959, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 119, 81 Seaton, M. J.: 1962, in D. R. Bates (ed.), Atomic and Molecular Processes, Vol. 13 of Pure and Applied Physics, pp 374-420, Academic Press, New York and London Seaton, M. J.: 1964, Planet. Space Sei. 12, 55 Shoub, E. C: 1977a, Astrophys. J. Suppl. Ser. 34, 259 Shoub, E. C: 1977b, Astrophys. J. Suppl. Ser. 34, 277 Shu, F. H.: 1991, The Physics of Astrophysics, Volume I Radiation^ University Science Books, Mill Valley Sobelman, 1.1.: 1992, Atomic spectra and radiative transitions, 2nd ed., Springer Berlin Sobolev, V. V: 1947, Dvizuscijesja obolocki zjem, Izda^Stvo LGU, Leningrad Spitzer, Lyman, J. and Greenstein, J. L.: 1951, Astrophys. J. 114, 407 Spitzer, L.: 1956, Physics of Fully Ionized Gases, Interscience Publishers, New York Stefan, M. J.: 1879, Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften 79, 391 Stokes, G. G.: 1852, Trans. Cambridge Phil. Soc. 9, 399 Tatum, J.: 2020, Stellar Atmospheres, Libretexts, University of Victoria (http : / /orca. phys . uvic . ca / - tatum/ stellatm. html), https : / / phys . libretexts . or^^^go/page/6642 Tatum, J. B.: 1966, Publ. DAO Victoria 13, 1 Tennyson, J.: 2005, Astronomical Spectroscopy: An Introduction to the Atomic and Molecular Mhymäsof Altronomical Spectra, Vol. 2 of Imperial College Press Advanced Physics Texts, Imperial College Press, London Thomas, R. N.: 1957, Astrophys. J. 125, 260 Trujillo Bueno, J. and Fabiani Bendicho, P.: 1995, Astrophys. J. 455, 646 Unsold, A.: 1955, Physik der Sternatmosphären, Springer Verlag, Berlin van Regemorter, H.: 1962, Astrophys. J. 136, 906 Walker, J.: 1904, The Analytical Theory of Light, Cambridge University Press Walker, M. J.: 1954, Amer. J. Phys. 22, 170 Weisskopf, V: 1932^. Phys. 75, 287 ^hitnejUB. A.: 2011, Bull. Astron. Soc. India 39, 101 »n, W1893, Annalen der Physik 285(8), 633 Wien, W.: 1896, Ann. Phys. 294(8), 662 Wiese, W. L., Smith, M. W., and Glennon, B. M.: 1966, Atomic transition probabilities. Vol. I Hydrogen Through Neon. A critical data compilation, NSRDS-NBS-4, US Department of Commerce, National Buereau of Standards, Wa- 253 LITERATURA shington, D.C. Yan, Y. and Seaton, M. J.: 1987, Journal of Physics B 20(23), 6409 "3d" 254