Počet pravděpodobnosti M1030 Matematika pro biology 27.9. a 4.10.2022 Základní pojmy Náhodný pokus Prostor výsledku Strom průběhu pokusu Náhodný jev Definice pravděpodobnosti jevu_ Závislost a nezávislost jevů_ Podmíněná pravděpodobnost Aplikace_ Základní pojmy Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí-avers, revers Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí - avers, revers, hrana, mince se ztratí Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí - avers, revers, hrana, mince se ztratí ■ Zplození dítěte - 9,Cf Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí - avers, revers, hrana, mince se ztratí ■ Zplození dítěte - 9,Cf ■ Hod kostkou - □, □, EL S EL E Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí - avers, revers, hrana, mince se ztratí ■ Zplození dítěte - 9,Cf ■ Hod kostkou - □, □, EU, E3, E ■ Tah loterie - vylosované číslo Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí - avers, revers, hrana, mince se ztratí ■ Zplození dítěte - Q,Cf ■ Hod kostkou - □, □, 0, S E3, E ■ Tah loterie - vylosované číslo ■ Zjišťování teploty varu vody - nějaká hodnota mezi 70°C a 105°C Náhodný pokus Jakákoliv akce, jejíž výsledek není znám před jejím provedením Příklady: ■ Hod mincí - avers, revers, hrana, mince se ztratí ■ Zplození dítěte - Q,Cf ■ Hod kostkou - □, □, E3, E3, El ■ Tah loterie - vylosované číslo ■ Zjišťování teploty varu vody - nějaká hodnota mezi 70°C a 105°C ■ Střelba do terče - bod na terči Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu 4/29 Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu neprázdná množina Q Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu neprázdná množina Q Příklady: ■ Hod mincí: {avers, revers} Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu neprázdná množina Q Příklady: ■ Hod mincí: {avers, revers} ■ Zplození dítěte: {9,ď} Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu neprázdná množina Q Příklady: ■ Hod mincí: {avers, revers} ■ Zplození dítěte: {9,ď} ■ Hod kostkou: {□, □, {š\, B E3, El} Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu neprázdná množina Q Příklady: ■ Hod mincí: {avers, revers} ■ Zplození dítěte: {9,ď} ■ Hod kostkou: {□, □, EL EL EL El} ■ Zjišťování teploty varu vody: (70,105) Prostor výsledků Základní prostor možných výsledků - všechny uvažované výsledky pokusu neprázdná množina Q Příklady: ■ Hod mincí: {avers, revers} ■ Zplození dítěte: {9,ď} ■ Hod kostkou: {□, □, {š\, B E3, El} ■ Zjišťování teploty varu vody: (70,105) ■ Střelba do terče: {(x,y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} Strom průběhu pokusu Strom průběhu a výsledků náhodného pokusu Strom průběhu pokusu Strom průběhu a výsledků náhodného pokusu Příklad: Zplození dvou dětí o 9 CT kořen větve zplození prvního dítěte 99 gcf ÖQ cfcf zplození druhého dítěte Náhodný jev Nějaká rozpoznatelná část (podmnožina) prostoru výsledků Q Náhodný jev Nějaká rozpoznatelná část (podmnožina) prostoru výsledků Q, A C Q Náhodný jev Nějaká rozpoznatelná část (podmnožina) prostoru výsledků Q, A C Q Příklady: Náhodný jev Nějaká rozpoznatelná část (podmnožina) prostoru výsledků íž, A C Q Příklady: 1. Pokus - střelba do terče, Q = {(x, í/) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} Jev - zásah do černého kolečka (o poloměru r) uprostřed, A={(x,y): Or-i)2 + (y-i)2 = 0, ^4 n L> = 0 Jevy opačné, komplementární- neslučitelné, jejich sjednocením je jev jistý Q, Příklady: 2. Pokus - hod kostkou, £1 {□, 0,0, E3, mi} Jev - padne pětka padne sudý počet ok padne lichý počet ok c = íl\B, buc = n Základní pojmy Definice pravděpodobnosti jevu Empirická pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Zobecněná klasická pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Obecná definice pravděpodobnosti Vlastnosti pravděpodobnosti Příklady závislost a nezávislost jevů_Definice pra vel e p o d o b n ost i jevu Podmíněná pravděpodobnost_ Empirická pravděpodobnost Náhodný pokus mnohokrát opakujeme, zaznamenáme počet výskytu jevu Empirická pravděpodobnost Náhodný pokus mnohokrát opakujeme, zaznamenáme počet výskytu jevu n - počet opakování pokusu, n > 0 f a - počet výskytu (absolutní frekvence) jevu A P (A) = fA i n tj. relativní frekvence jevu A Empirická pravděpodobnost Náhodný pokus mnohokrát opakujeme, zaznamenáme počet výskytu jevu n - počet opakování pokusu, n > 0 f a - počet výskytu (absolutní frekvence) jevu A P (A) = —, n tj. relativní frekvence jevu A Príklad: V roce 1970 se v ČSSR narodilo 228 531 dětí, v tom 111394 děvčat a zbytek chlapců. Empirická pravděpodobnost Náhodný pokus mnohokrát opakujeme, zaznamenáme počet výskytu jevu n - počet opakování pokusu, n > 0 f a - počet výskytu (absolutní frekvence) jevu A P (A) = —, n tj. relativní frekvence jevu A Príklad: V roce 1970 se v ČSSR narodilo 228 531 dětí, v tom 111394 děvčat a zbytek chlapců. Jevy: A - narození děvčete, B - narození chlapce. Jsou komplementární. n = 228 531, fA = 111 394, fB = 228 531 - 111 394 = 117137 P(A) 111394 228 531 0,4874, P(B) 117137 228 531 0,5126 8/29 Empirická pravděpodobnost Náhodný pokus mnohokrát opakujeme, zaznamenáme počet výskytu jevu n - počet opakování pokusu, n > 0 f a - počet výskytu (absolutní frekvence) jevu A P(A) ÍA n tj. relativní frekvence jevu A Vlastnosti empirické pravděpodobnosti: 0 < P (A) n P(íí) = - = 1 n AnB = 0 =>- P(AUB) = ÍA + ÍB n = P (A) + P (B) 8/29 Klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné 9/29 Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné Klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné P(A) = A Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že na kostce padne méně než tři oka? Klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné P(A) = A Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že na kostce padne méně než tři oka? íí = {□,□, Q 0, E3,0}: A = {□,□}, \A 2, 6. P (A) = -= 0,333 Klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné P(A) = A Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se třemi dětmi je holčička? Klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné P(A) = A Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se třemi dětmi je holčička? ^ = {999,cf99,9Cf9,99cr,9Cfcf,cr9cr,crcr9,cfcfcr}, |íí| = 8 A = {999,cf99,9Cf9,99cr,9crcr,cf9cr,crcr9}, \A\ = 7 P{A) =7-= 0,875 Klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, všechny výsledky jsou stejně možné P(A) = A Vlastnosti klasické pravděpodobnosti: 0 < P (A) P(íí) AnB = (D^P(AUB) = n — 1 A + B = P(A) + P(B) Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku 00 G £1 je přiřazena váha w(oo) > 0, w(u;) > 0 Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku 00 G £1 je přiřazena váha w(oo) > 0, w(u;) > 0 E P(A) = f^— Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku 00 G £1 je přiřazena váha w(oo) > 0, w(u;) > 0 E w(uj) E w\u) Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma nerozlišitelnými mincemi padnou obě na stejnou stranu? Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku 00 G £1 je přiřazena váha w(oo) > 0, w(u;) > 0 P (A) Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma nerozlišitelnými mincemi padnou obě na stejnou stranu? = {(avers, avers), (avers, revers), (revers, revers)}, leavers, avers) = w;(revers, revers) = 1, leavers, revers) = 2, A = {(avers, avers), (revers, revers)} 1 + 1 P(A) 1 + 2 + 1 2 i=0,5 10 / 29 Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku uu G Q je přiřazena váha w(lj) > 0, ^2 w(uS) > 0 P(A) = Příklady: Uvažujme velkou populaci, u níž sledujeme jeden dialelický gen. Předpokládejme, že dominantní alela je stejně častá jako recesivní. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný jedinec má recesivní fenotyp? Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku 00 G £1 je přiřazena váha w(uS) > 0, ^2 w(^) > 0 E w(uj) E ™M Příklady: Uvažujme velkou populaci, u níž sledujeme jeden dialelický gen. Předpokládejme, že dominantní alela je stejně častá jako recesivní. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný jedinec má recesivní fenotyp? $7 = {@,@,0}, u>(@) = w(0) = 1, w(@)=2, ^={0}, Zobecněná klasická pravděpodobnost Základní prostor je neprázdná konečná množina, každému prvku 00 G £1 je přiřazena váha w(oo) > 0, ^ w(u;) > 0 P (A) E w(uj) E w(uj) Vlastnosti zobecněné klasické pravděpodobnosti: 0 < P (A) P(0) = E E = 1 in5 = NP(iuJB) = E + E E = P(A) + P(B) 10 / 29 Geometrická pravděpodobnost Základní prostor je nějaký geometrický útvar, který má míru \i (délku, obsah, objem a podobně). Jev - část základního prostoru, který má míru „stejného druhu". Geometrická pravděpodobnost Základní prostor je nějaký geometrický útvar, který má míru \i (délku, obsah, objem a podobně). Jev - část základního prostoru, který má míru „stejného druhu". P(A) - á^L {) ~ Míl) Geometrická pravděpodobnost Základní prostor je nějaký geometrický útvar, který má míru \i (délku, obsah, objem a podobně). Jev - část základního prostoru, který má míru „stejného druhu". P(A) - á^L {) ~ Míl) Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že při střelbě do terče tvaru čtverce o straně 1 m zasáhneme střed, což je kolečko o průměru lem? Geometrická pravděpodobnost Základní prostor je nějaký geometrický útvar, který má míru \i (délku, obsah, objem a podobně). Jev - část základního prostoru, který má míru „stejného druhu". P(A) - á^L {) ~ Míl) Příklady: Jaká je pravděpodobnost, že při střelbě do terče tvaru čtverce o straně 1 m zasáhneme střed, což je kolečko o průměru lem? íí = {(x, y): 0 x + | nebo y < x — |} , = 5 • (!)2 + I • (I)2 = á + Ts = 0.3368, P(A) = 0,3368 y = x - 11 / 29 Geometrická pravděpodobnost Základní prostor je nějaký geometrický útvar, který má míru /i (délku, obsah, objem a podobně). Jev - část základního prostoru, který má míru „stejného druhu". P(A) - ^ Vlastnosti geometrické pravděpodobnosti: 0 < P (A) A n B = 0 P(A U B) = ^ + y(jB) = P(A) + P(B) 11 / 29 Obecná definice pravděpodobnosti fŽ ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A AgA Q\AeA A1,A2,A3,-'- e A => A1U A2U A3u - - - e A 12 / 29 Obecná definice pravděpodobnosti ÍŽ ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti íl e A A e A => Q\AeA A1,A2,A3,--- e A => AľU A2U A3U ■ • - e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, oo), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu. Obecná definice pravděpodobnosti Q ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A A e A => Q\AeA AuA2,A3l'" £ A => A1UA2UA3U-- - e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, co), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu. Přitom platí: P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 => P(AuB) = P (A) + P(£) Obecná definice pravděpodobnosti ÍŽ ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A A e A Q\AeA Ai,A2,A3,-> e A A1u A2u A3u ■ ■ ■ e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, oo), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu. Přitom platí: P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) Pro jevy platí: Obecná definice pravděpodobnosti ÍŽ ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A A e A Q\AeA Ai,A2,A3,-> e A A1u A2u A3u ■ ■ ■ e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, oo), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu. Přitom platí: P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) Pro jevy platí: ■ tteA Obecná definice pravděpodobnosti ÍŽ ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A A e A Q\AeA Ai,A2,A3,-> e A A1u A2u A3u ■ ■ ■ e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, oo), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu. Přitom platí: P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) Pro jevy platí: ■ tteA D.: 0 = tt\tt e A Obecná definice pravděpodobnosti ÍŽ ^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A A e A Q\AeA Ai,A2,A3,-> e A A1u A2u A3u ■ ■ ■ e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, oo), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu. Přitom platí: P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) Pro jevy platí: ■ tteA D.: 0 = tt\tt e A m A,B e A AnB e A Obecná definice pravděpodobnosti n 7^ 0 - základní prostor A - množina jevů, tj. množina podmnožin Q, která má vlastnosti ne A A e A n\AeA Ai,A2,A3,-> e A A1u A2u A3u ■ ■ ■ e A Pravděpodobnost: P : A —> (0, oo), tj. přiřazení nezáporného čísla jevu, Přitom platí: p(n) = i A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P (B) Pro jevy platí: ■ tteA D.: 0 = D.: A n B = A\ (A\ B) G A 12 / 29 Vlastnosti pravděpodobnosti P (Q) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P(£) Vlastnosti pravděpodobnosti P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(iU5) = P(A) + P(S) ■ P(0) = 0 Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.: = ^U0, ftn0 = 0 Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = p(n) = p(n) + P(0) = i + P(0) Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = P(íí) = P(fi) + P(0) = 1 + P(0) =>> P(0) = 0 Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = P(íí) = P(fi) + P(0) = 1 + P(0) =>> P(0) = 0 ■ P(íl\A) = l- P(A) Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = p(n) = p(n) + P(0) = i + P(0) =>> P(0) = o ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = p(n) = p(n) + P(0) = i + P(0) =>> P(0) = o ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) m p (A) < i Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = p(n) = p(n) + P(0) = i + P(0) =>> P(0) = o ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) m p (A) < i ■ ACB ^ P(B\ A) = P (B) - P (A) Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = P(íí) = P(fi) + P(0) = 1 + P(0) =>> P(0) = 0 ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) m p (A) < i ■ ACB P(B\ A) = P (B) - P (A) D.: B = A U {B \ A), A n {B \ A) = 0 => P(B) = P(A) + P(B \ A) Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P (A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = P(íí) = P(fi) + P(0) = 1 + P(0) =>> P(0) = 0 ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) m p (A) < i ■ ACB P(B\ A) = P (B) - P (A) D.: B = A U {B \ A), A n {B \ A) = 0 => P(B) = P(A) + P(B \ A) ■ P (A u B) = P (A) + P(£) - P(A n 5) Vlastnosti pravděpodobnosti P (íl) = 1 A, B e A, A n B = 0 P (A U B) = P (A) + p(£) ■ p(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = p(n) = p(n) + P(0) = i + P(0) =>> P(0) ■ p(íí\ A) = i - p(a) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P (A) + P(fi \ A) m p (A) < i ■ ACB ^ P(B\ A) = P (B) - P (A) D.: B = A U {B \ A), A n {B \ A) = 0 => P(B) = P(A) + P(B \ A) ■ P (A u B) = P (A) + p(£) - p(a H p) - princip inkluze a exkluze Vlastnosti pravděpodobnosti P(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P(A) + P(£) ■ P(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = P(íí) = P(fi) + P(0) = 1 + P(0) =>> P(0) = 0 ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) ■ P(A) < 1 ■ ÍC5 P(B\ A) = P(B) - P(A) D.: B = A U (B \ A), A n (B \ A) = 0 => P(B) = P(A) + P(B \ A) ■ P(A UB) = P(A) + P(£) - P(A n 5) - princip inkluze a exkluze D.: AU B = (A\ (Anfí)j U (A U B) U (B \ (A n B))f jevy vzájemně neslučitelné =>• P(A U B) = P(A \ (A n B)) + P(A UB) + P(fí\(An5)) = = P(A) - P(A Í15) + P(B) - P(A n B) = P(A) + P(B) - P(A U B) 13 / 29 Vlastnosti pravděpodobnosti p(íí) = 1 A, B e A, A n B = 0 P(AuB) = P(A) + p(£) ■ p(0) = 0 D.:ft = ^U0,ftn0 = 0^1 = P(íí) = P(fi) + P(0) = 1 + P(0) =>> P(0) = 0 ■ P(íl\A) = l- P(A) D.: 1 = P(fi) = P(A U (Q \ A)) = P(A) + P(fi \ A) ■ p(A) < 1 ■ ^ P(B\ A) = P(B) - P(A) D.\ B = AU (B \ A), AD (B\A) = @ => P(B) = P(A) + P(B \ A) ■ p(A UB) = P(A) + p(£) - p(A n £) - princip inkluze a exkluze D.: AU B = (A\ (A DB)) U (A U B) U (B \ (A n B))f jevy vzájemně neslučitelné =>• P(A U B) = P(A \ (A n B)) + P(A UB) + P(fí\(An5)) = = P(A) - P(A Íli5) + P(B) - P(A n B) = P(A) + P(B) - P(A U B) ■ p(^upuC) = P(A)w(B)w(C)-P(AnB)-P(AnC)-P(BnC)W(AnBnC) 13 / 29 Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? \/'h- ■ -A ■ PÍA\ C(90> 1Q) 90! 10!90! 90!90! ■ n oon. Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? \/'h- ■ -A ■ PÍA\ C(90> 1Q) 90! 10!90! 90!90! ■ n oon. Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v x , , p, v(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) ■ v (100,10) 80! 100! Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? \/'h- ■ -A ■ PÍA\ C(90> 1Q) 90! 10!90! 90!90! ■ n oon. Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/^ ■ v x , , p, v(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? \/'h- ■ -A ■ PÍA\ C(90> 1Q) 90! 10!90! 90!90! ■ n oon. Vyber je neuspořádaný: r (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v x , , p, v(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. b) budou nejvýše dva zmetky? Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v x , , p, ^(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. b) budou nejvýše dva zmetky? Jev Bi - ve výběru je právě i zmetků, i = 0,1, 2. Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? \/'h- ■ -A ■ PÍA\ C(90> 1Q) 90! 10!90! 90!90! ■ n oon. Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v x , , p, v(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. b) budou nejvýše dva zmetky? Jev Bi - ve výběru je právě i zmetků, i = 0,1, 2. Jevy jsou neslučitelné, tj. P(B) = P(B0) + P(£i) + P(B2) Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? \/'h- ■ -A ■ PÍA\ C(90> 1Q) 90! 10!90! 90!90! ■ n oon. Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v x , , p, v(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. b) budou nejvýše dva zmetky? Jev Bi - ve výběru je právě i zmetků, i = 0,1, 2. Jevy jsou neslučitelné, tj. P(B) = P(B0) + P(#i) + P(B2) B0 = A, P(Bl) = £M£Í^) = 0,4080, v J c(100,10) Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v' i , QfÁ, ^(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. b) budou nejvýše dva zmetky? Jev Bi - ve výběru je právě i zmetků, i = 0,1, 2. Jevy jsou neslučitelné, tj. P(B) = P(B0) + P(#i) + P(B2) B0 = A, P(Bl) = C(1°;1)C(9°'9) = 0,4080, P(E2) = = v ; c(100,10) V ; c(100,10) Příklady V sérii 100 výrobků je 10 zmetků. Náhodně vybereme 10 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi a) nebude žádný zmetek? Vyber je neuspořádaný: P (A) = —-- = —;—--— = —;-r = 0,3305 y J K y \ J c(100,10) 10180! 100! 80!100! \/-h- ■ v' i , QfÁ, ^(90,10) 90! 90! Výber je uspořádaný: r (A) - v (100,10) 80! 100! Nezáleží na tom, zda výběr chápeme jako uspořádaný nebo neuspořádaný. b) budou nejvýše dva zmetky? Jev Bi - ve výběru je právě i zmetků, i = 0,1, 2. Jevy jsou neslučitelné, tj. P(B) = P(B0) + P(£i) + P(B2) = 0,94 B0 = A, P(Bl) = C(1°;1)C(9°'9) = 0,4080, P(E2) = = v ; c(100,10) ' v J c(100,10) Příklady Na prázdnou šachovnici náhodně umístíme dvě věže různé barvy. Jaká je pravděpodobnost, že se vzájemně a) ohrožují? Příklady Na prázdnou šachovnici náhodně umístíme dvě věže různé barvy. Jaká je pravděpodobnost, že se vzájemně a) ohrožují? c(82,l)c(7 + 7,l)| _ 64- 14± _ ^ — c(g2 2) _ 64-63 — 9 — 0,222 Příklady Na prázdnou šachovnici náhodně umístíme dvě věže různé barvy. Jaká je pravděpodobnost, že se vzájemně a) ohrožují? c(82,l)c(7 + 7,l)! _ 64- 14± _ 2 ^ ( } " ^2) " M.63 - 9 - °>222 b) neohrožují? P(íí \ A) = 1 - | = l = 0,778 Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň |? Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň ^? n n Jev A-M padne: P(n\A) = = ^ P(^) = 1 - (|) Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň ^? Jev^-0padne:P(íí\^) = ^g| = g P(X) = 1 - (f) 1 2 n (I)" > I > (I) log ^ > n log | 5 6 n > —= 3,8 " log! n 14 / 29 Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedn< kostce bude šestka, byla aspoň ^? n Jev A - 0 padne: P(íí \A)= ^, = — PM) = 1 - (!)". " > 4 Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň ^? Jev^-0padne:P(íí\^) = ^g| = g P(^) = 1 - (§)", n > 4 2. Házíme n-krát dvojicí kostek. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň jednou padne součet ok rovný dvanácti, byla aspoň \l Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň ^? n Jev A-M padne: P(n\A) = ^^=5- P(^) = 1 - (§)", n > 4 2. Házíme n-krát dvojicí kostek. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň jednou padne součet ok rovný dvanácti, byla aspoň \l Jev B - padne (Him): n n Pí"\f?l V(V(6,2)-l,n) F(62-l,n) 35 _ 35, Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň ^? Jev A - M padne: P(íí \A)= ^ j = £ ^ P(A) = 1 - (§)n, n > 4 ]/(6, n) 6n 2. Házíme n-krát dvojicí kostek. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň jednou padne součet ok rovný dvanácti, byla aspoň \l Jev B - padne ([Olin P(Q\B) = V(V(6,2)-l,n) _ T/(62-l,n) _ 35 V(V(6,2),rc) ~ y(62,n) ~ 36 n n P(B) = i-(i) n n 1 2 36 n log f 35 n > > > > 1 2 n log 2 log 2 log 36 — log 35 24,6 14 / 29 Příklady Úlohy rytíře de Měre 1. Házíme n kostkami. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň na jedné kostce bude šestka, byla aspoň ^? n Jev A-M padne: P(n\A) = ^^=5- P(^) = 1 - (§)", n > 4 2. Házíme n-krát dvojicí kostek. Jaké musí být n, aby pravděpodobost, že aspoň jednou padne součet ok rovný dvanácti, byla aspoň \l n Jev B - padne (HEH): pro \ m - ^(^(6,2)-l,n) _ F(62-l,n) _ 35' _ ,35 n > 25 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. i-1-1-1 o x y i y t i--1 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 1. x < y („řez jedním nožem") 0 x y 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 1. x < y („řez jedním nožem") Má platit: x > 1 — x, tj. x > ^, 0 x y 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 1. x < y („řez jedním nožem") Má platit: x > 1 — x, tj. x > ^, nebo y — x > x + (1 — y), tj. y > x + \, 0 x y 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 1. x < y („řez jedním nožem") Má platit: x > 1 — x, tj. x > ^, nebo y — x > x + (1 — y), tj. y > x + |, nebo 1 - y > y, tj. y < \. 0 x y 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 0 x y 1. x < y („řez jedním nožem") Má platit: x > 1 — x, tj. x > ^, nebo y — x > x + (1 — y), tj. y > x + |, nebo 1 - y > y, tj. y < \. HA) = f 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 0 x y 1. x < y („řez jedním nožem") Má platit: x > 1 — x, tj. x > ^, nebo y — x > x + (1 — y), tj. y > x + |, nebo 1 - y > y, tj. y < \. HA) = f 1. bez předpokladu x < y („řez dvěma noži") 14 / 29 Příklady Dvěma náhodně vedenými řezy rozdělíme klobásu na tři části. Jaká je pravděpodobnost, že jedna z částí bude delší, než součet délek obou zbývajících částí? Délku klobásy považujeme za jednotkovou. Umístíme ji na osu tak, že jeden její konec je v bodě 0, druhý v bodě 1. Souřadnici prvního řezu označíme x, druhého řezu y. 0 x y 1. x < y („řez jedním nožem") Má platit: x > 1 — x, tj. x > ^, nebo y — x > x + (1 — y), tj. y > x + |, nebo 1 - y > y, tj. y < \. HA) = f 1. bez předpokladu x < y („řez dvěma noži") P{A) = | = f. 14 / 29 Základní pojmy Definice pravděpodobnosti jevu Závislost a nezávislost jevů Deterministická závislost a nezávislost Stochastická závislost Empirické vyšetřování závislosti jevů Příklady Podmíněná pravděpodobnost Aplikace_ Závislost a nezávislost jevů Deterministická závislost a nezávislost Jevy A a B jsou (deterministicky) závislé, pokud A C B, nebo BCi nebo A n B = 0 Deterministická závislost a nezávislost Jevy A a B jsou (deterministicky) závislé, pokud A C B, nebo B C A nebo A n P = 0 B C A - pokud nastane jev B, víme, že také nastane jev A 16 / 29 Deterministická závislost a nezávislost Jevy A a B jsou (deterministicky) závislé, pokud A C B, nebo B C A nebo A n B = 0 B C A - pokud nastane jev B, víme, že také nastane jev ^4 A n Iř> = 0 - pokud nastane jev ^4, víme, že určitě nenastane jev B 16 / 29 Stochastická závislost 17 / 29 Stochastická závislost Motivace: Házíme dvěma různými mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne líc? 17 / 29 Stochastická závislost Motivace: Házíme dvěma různými mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne líc? Hod jednou mincí: Pi = P(na první minci padne avers) = \, P2 = P(na druhé minci padne avers) = ^ Stochastická závislost Motivace: Házíme dvěma různými mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne líc? Hod jednou mincí: Pi — P(na první minci padne avers) = \, P2 = P(na druhé minci padne avers) = \ Hod oběma mincemi: Ví = {(avers, avers), (avers, revers), (revers, avers), (revers, revers)} P(avers, avers) = \ 17 / 29 Stochastická závislost Motivace: Házíme dvěma různými mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne líc? Hod jednou mincí: Pi — P(na první minci padne avers) = \, P2 = P(na druhé minci padne avers) = \ Hod oběma mincemi: Ví = {(avers, avers), (avers, revers), (revers, avers), (revers, revers)} P(avers, avers) = \= P1P2 17 / 29 Stochastická závislost Jevy A a B jsou (stochasticky) nezávislé, pokud P(AnB) = P(A)P(B) Stochastická závislost Jevy A a B jsou (stochasticky) nezávislé, pokud P(AnB) = P(A)P(B) Pokud nastane (nenastane) jev A, pravděpodobnost jevu B se nezmění Empirické vyšetřování závislosti jevů A Q\A B Pil P12 ni = pn +P12 n\B P21 P22 n2 =P2i +P22 m2 = P12 + P22 N = Tii + Ti2 = Vili + m2 Empirické vyšetřování závislosti jevů A Q\A B Pil P12 ni = pn +P12 n\B P21 P22 n2 =P2i +P22 m2 = P12 + P22 N = Tii + Ti2 = Vili + m2 P(A) = ^, P(S) = ^, P(in5)=Pn N N N Empirické vyšetřování závislosti jevů A Q\A B Pil P12 ni = pn +P12 n\B P21 P22 n2 =P2i +P22 m2 = P12 + P22 N = Tii + Ti2 = Vili + m2 P(A) mi P (B) ni N P(AnB) P11 N m\U\ pn Pokud se hodnoty a —— „příliš neliší", tj. pokud mini « Npn, Nz N pak považujeme jevy A a Iř> za stochasticky nezávislé. Empirické vyšetřování závislosti jevů Příklad: Ověřte, že při hodu dvěma mincemi je po dopadu strana první mince nezávislá na straně druhé mince. Empirické vyšetřování závislosti jevů Příklad: Ověřte, že při hodu dvěma mincemi je po dopadu strana první mince nezávislá na straně druhé mince. Dvanáctkrát hodíme dvojicí mincí - českou korunou a eurem. Výsledky jsou v tabulce EUR CZK avers revers avers 4 1 5 revers 4 3 7 8 4 12 Empirické vyšetřování závislosti jevů Příklad: Ověřte, že při hodu dvěma mincemi je po dopadu strana první mince nezávislá na straně druhé mince. Dvanáctkrát hodíme dvojicí mincí - českou korunou a eurem. Výsledky jsou v tabulce EUR CZK avers revers avers 4 1 5 revers 4 3 7 8 4 12 N = 12, mi = 8, m = 5, pii = 4 Empirické vyšetřování závislosti jevů Příklad: Ověřte, že při hodu dvěma mincemi je po dopadu strana první mince nezávislá na straně druhé mince. Dvanáctkrát hodíme dvojicí mincí - českou korunou a eurem. Výsledky jsou v tabulce EUR CZK avers revers avers 4 1 5 revers 4 3 7 8 4 12 N = 12, mi = 8, m = 5, pii = 4 rriirii = 40 48 = Npn Příklady ravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. 19 / 29 Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se čtyřmi dětmi je právě jeden syn? Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se čtyřmi dětmi je právě jeden syn? 0,48-0,48-0,48-0,52+ 0,48-0,48-0,52-0,48+ 0,48-0,52-0,48-0,48+ 0,52-0,48-0,48-0,48 Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se čtyřmi dětmi je právě jeden syn? 0,48-0,48-0,48-0,52 + 0,48-0,48-0,52-0,48 + 0,48-0,52-0,48-0,48 + 0,52-0,48-0,48-0,48 = 4-0,52-0,483 = 0,23 Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? i-pAp Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(A1)=p i i - Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(^i) P(^2) P (1 p)p i-pAp Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(A1)=p P(A2) = (l-p)p P(A3) = (l-p)(l- p)p = (1 - pfp i-pAp Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat fc-krát? P(A1)=P P(A2) = (l-p)p P(A3) = (1 - p)(l - p)p = (1 - pfp P(A4) = (l-pfp Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat fc-krát? P(A1)=P P(A2) = (l-p)p P(A3) = (1 - p)(l - p)p = (1 - pfp P{A±) = {\-pfp P(Ak) = (l-p)k-íp '-"Aa Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(Ak) = (l--p)k-1p Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(Ak) = (l-p)k-1p Jevy Ak jsou vzájemně neslučitelné. Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(Ak) = (l-p)k-1p Jevy Ak jsou vzájemně neslučitelné. Proto oo l = £(l-p)fc-1p k=l Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. a) Pokus opakujeme tak dlouho, až nastane úspěch. Jaká je pravděpodobnost jevu Ak, že pokus budeme opakovat /c-krát? P(Ak) = (l-p)k-1p Jevy Ak jsou vzájemně neslučitelné. Proto oo oo 1 l-(l-p) k=l k=0 v 1 J Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu B%, že úspěch nastane právě /c-krát? Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu b%, že úspěch nastane právě /c-krát? Počet možností výběru k pořadových čísel úspěšných pokusů mezi n provedenými: 19 / Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu Bk, že úspěch nastane právě /c-krát? Počet možností výběru k pořadových čísel úspěšných pokusů mezi n provedenými: n Pravděpodobnost k úspěchů a n — k neúspěchů: pk(l — p)n~k c(n, k) 19 / Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu Bk, že úspěch nastane právě /c-krát? Počet možností výběru k pořadových čísel úspěšných pokusů mezi n provedenými: n Pravděpodobnost k úspěchů a n — k neúspěchů: pk(l — p)n~k c(n, k) Celkem: P(Bk) = ( n ) pk(l-p)n-k Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu B%, že úspěch nastane právě /c-krát? P(B*) = (?V(l-p)"-fe Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu B%, že úspěch nastane právě /c-krát? P(B*) = (f\Pk(l-p)n-k Pro různé hodnoty k a pevně zvolenou hodnotu n jsou jevy B% neslučitelné, B% H^2 = 0 pro fci ^ fc2. Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu B*, že úspěch nastane právě /c-krát? P(Bj)=íj/(l-p)»-fc Pro různé hodnoty k a pevně zvolenou hodnotu n jsou jevy B\ neslučitelné, B^ n B*2 = 0 pro k1^k2. Proto k=0 ^ ' Příklady Pravděpodobnost úspěchu v nějakém pokusu je rovna p. b) Pokus zopakujeme n-krát. Jaká je pravděpodobnost jevu Bk, že úspěch nastane právě /c-krát? P(Bkn)= {í\pk(l-p)n-k Pro různé hodnoty k a pevně zvolenou hodnotu n jsou jevy Bk neslučitelné, Bkl n Bkn* = 0 pro k1^k2. Proto 1 = E (í) pk{l - v)n~k = (p+(i-p))n =in k=0 ^ ' Příklady ravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. 19 / 29 Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. V rodině jsou dvě děti, nejsou to dvojčata. Víme, že jedno z dětí je děvče. Jaká je pravděpodobnost, že starší dítě je chlapec? A jaká je pravděpodobnost že mladší dítě není děvče? 19 / 29 Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. V rodině jsou dvě děti, nejsou to dvojčata. Víme, že jedno z dětí je děvče. Jaká je pravděpodobnost, že starší dítě je chlapec? A jaká je pravděpodobnost že mladší dítě není děvče? „Víme, že jedno z dětí je děvče" interpretujeme: „pokud je prvorozený chlapec, pak pohlaví druhého dítěte není náhodné, ale je to jistě dívka." 19 / 29 Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. V rodině jsou dvě děti, nejsou to dvojčata. Víme, že jedno z dětí je děvče. Jaká je pravděpodobnost, že starší dítě je chlapec? A jaká je pravděpodobnost že mladší dítě není děvče? „Víme, že jedno z dětí je děvče" interpretujeme: „pokud je prvorozený chlapec, pak pohlaví druhého dítěte není náhodné, ale je to jistě dívka." o 19 / 29 Příklady Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. V rodině jsou dvě děti, nejsou to dvojčata. Víme, že jedno z dětí je děvče. Jaká je pravděpodobnost, že starší dítě je chlapec? A jaká je pravděpodobnost že mladší dítě není děvče? „Víme, že jedno z dětí je děvče" interpretujeme: „pokud je prvorozený chlapec, pak pohlaví druhého dítěte není náhodné, ale je to jistě dívka." P(Cf9) = 0,52 • 1 = 0,52, P(9ď) = 0,48 • 0,52 = 0,2496 o Základní pojmy Definice pravděpodobnosti jevu Závislost a nezávislost jevů Podmíněná pravděpodobnost Definice a vlastnosti Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek Celková pravděpodobnost Bayesův vzorec Princip maximální věrohodnosti Aplikace Podmíněná pravděpodobnost Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ 21 / 29 Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ P{A\H) Předpokládáme, že P(H) > 0. P(AnH) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ P{A\H) Předpokládáme, že P(H) > 0. Vlastnosti: P(AnH) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ v(A\m p(^ng) Předpokládáme, že P(H) > 0. Vlastnosti: 0 < P(A\H) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ Předpokládáme, že P(H) > 0. Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(Q\H) = P(H\H) = 1 Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H P(,,*> - ^ Předpokládáme, že P(H) > 0. Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(Q\H) = P(H\H) = 1 AnB = 0) => P(AuB\H) = _ p((AL)B)nff) _ p((AnH)U(BnH)) _ P(AnH) + P(BHH) — P(H) — P(H) ~ P(H) = P(A\H) + P(B\H) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ P{A\H) Předpokládáme, že P(H) > 0. P(AnH) Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(n\H) = P(H\H) = 1 AnB = (b => P(AuB\H) P(A\H) + P(B\H) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H: P{AlH) ~ P(H) Předpokládáme, že P(H) > 0. Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(n\H) = P(H\H) = 1 AnB = (!) => P(AUB\H) = P(A\H) + P(B\H) Tedy: Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost. 21 / 29 Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ P{A\H) Předpokládáme, že P(H) > 0. P(AnH) Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(n\H) = P(H\H) = 1 AnB = 0) => P(AuB\H) = P(A\H) + P(B\H) Tedy: Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost. P(AnB) = P(A)P(B) ^0 P(A\B) = P (A) P(B\A) = P(B) P(A\B) = P(B\A) = P(AnB) _ P(B) - P(BnA) _ P (A) ~ P(AnB) P(B) P(BnA) P(A) P(a) P(s) P(^)P(fi) . P(B) P(^)P(A) . P(A) P(in5) P(5ni) P(A) P(S) P(A)P(S) :P(S)P(A) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ P{A\H) Předpokládáme, že P(H) > 0. P(AnH) Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(n\H) = P(H\H) = 1 AnB = 0) => P(AuB\H) = P(A\H) + P(B\H) Tedy: Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost. P(AnB) = P(A)P(B) ^0 P(A\B) = P (A) P(B\A) = P(B) P(A\B) = P (A) P(B\A) = P(B) P(AnB) = P(A)P(B) P(B n A) = P(B)P(A) Definice a vlastnosti Pravděpodobnost jevu A za podmínky (předpokladu), že nastal jev H\ P{A\H) Předpokládáme, že P(H) > 0. P(AnH) Vlastnosti: 0 < P(A\H) P(n\H) = P(H\H) = 1 AnB = 0) => P(AuB\H) = P(A\H) + P(B\H) Tedy: Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost. P(AnB) = P(A)P(B) ^0 P(A\B) = P (A) P(B\A) = P(B) P(A\B) = P (A) P(B\A) = P(B) P(AnB) = P(A)P(B) P(B n A) = P(B)P(A) Tedy: Jevy A a B jsou nezávislé P(A\B) = P (A) a P(B\A) = P(B) Definice a vlastnosti Příklad: Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. Definice a vlastnosti Příklad: Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. Do rodiny děti přicházejí podle pravidla: Nejprve se zplodí dvě děti. Pokud mezi nimi není syn, zplodí se další dítě. Pokud ani mezi třemi dětmi není syn, zplodí se dítě čtvrté. Jaká je pravděpodobnost, že v takto vzniklé rodině se čtyřmi dětmi je právě jeden syn? 21 / Definice a vlastnosti Příklad: Pravděpodobnost narození děvčete je 0,48, pravděpodobnost narození chlapce je 0,52. Do rodiny děti přicházejí podle pravidla: Nejprve se zplodí dvě děti. Pokud mezi nimi není syn, zplodí se další dítě. Pokud ani mezi třemi dětmi není syn, zplodí se dítě čtvrté. Jaká je pravděpodobnost, že v takto vzniklé rodině se čtyřmi dětmi je právě jeden syn? H - v rodině jsou čtyři děti A - v rodině je syn P(v rodině jsou čtyři děti a právě jedno z nich je syn) = P(A n H) = 0,483 • 0,52 P(v rodině jsou čtyři děti) = P(H) = 0,483 P(A\H) = 0,52 Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) P(HnA) P(AnH)P(H) P(H) P(A) P(H)P(A) P(A) Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) = ^P(A\H) Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) = ^P(A\H) Příklad: Developerská firma chce postavit resort na pozemku poblíž pláže, ktarýje však již obsazený. Pokud by uměla vyvolat cunami, s velkou pravděpodobností to udělá, pozemek tak uvolní a začne stavět. K cunami došlo a brzy se na uvolněném pozemku skutečně začalo stavět. Jaká je pravděpodobnost, že příslušná firma cunami vyvolala? 22 / 29 Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) = ^P(A\H) Příklad: Developerská firma chce postavit resort na pozemku poblíž pláže, ktarýje však již obsazený. Pokud by uměla vyvolat cunami, s velkou pravděpodobností to udělá, pozemek tak uvolní a začne stavět. K cunami došlo a brzy se na uvolněném pozemku skutečně začalo stavět. Jaká je pravděpodobnost, že příslušná firma cunami vyvolala? A - k cunami došlo a firma začala stavět H - firma umí vyvolat cunami P(A\H) = 0,99 Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) = ^P(A\H) Příklad: Developerská firma chce postavit resort na pozemku poblíž pláže, ktarýje však již obsazený. Pokud by uměla vyvolat cunami, s velkou pravděpodobností to udělá, pozemek tak uvolní a začne stavět. K cunami došlo a brzy se na uvolněném pozemku skutečně začalo stavět. Jaká je pravděpodobnost, že příslušná firma cunami vyvolala? A - k cunami došlo a firma začala stavět, P(^4) = 1. H - firma umí vyvolat cunami, P(H) = 0,0001. P(A\H) = 0,99 Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) P(H) P(A\H) P(A) Příklad: Developerská firma chce postavit resort na pozemku poblíž pláže, ktarýje však již obsazený. Pokud by uměla vyvolat cunami, s velkou pravděpodobností to udělá, pozemek tak uvolní a začne stavět. K cunami došlo a brzy se na uvolněném pozemku skutečně začalo stavět. Jaká je pravděpodobnost, že příslušná firma cunami vyvolala? A - k cunami došlo a firma začala stavět, P(^4) = 1. H - firma umí vyvolat cunami, P(H) = 0,0001. P(A\H) = 0,99 P(H\A) P(H) P(A\H) = 0,0001 P(A) Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) = ^P(A\H) Příklad: Developerská firma chce postavit resort na pozemku poblíž pláže, ktarýje však již obsazený. Pokud by uměla vyvolat cunami, s velkou pravděpodobností to udělá, pozemek tak uvolní a začne stavět. K cunami došlo a brzy se na uvolněném pozemku skutečně začalo stavět. Jaká je pravděpodobnost, že příslušná firma cunami vyvolala? A - k cunami došlo a firma začala stavět, P(^4) = 1. H - firma umí vyvolat cunami, P(H) = 0,0001, P(íí \H)= 0,9999. P(A\H) = 0,99 P(A\Q \H)= 0,01 P(H\A) = t^lp(A\H) = 0,0001 P(íí \H\A)= P(" ^} P(A\H) = 0,0100 22 / 29 Inverzní pravděpodobnost a induktivní úsudek P(H\A) = ^P(A\H) Příklad: Developerská firma chce postavit resort na pozemku poblíž pláže, ktarýje však již obsazený. Pokud by uměla vyvolat cunami, s velkou pravděpodobností to udělá, pozemek tak uvolní a začne stavět. K cunami došlo a brzy se na uvolněném pozemku skutečně začalo stavět. Jaká je pravděpodobnost, že příslušná firma cunami vyvolala? A - k cunami došlo a firma začala stavět H - firma umí vyvolat cunami P(A\H) = 0,99 P(A\Q \H)= 0,01 P(H\A) = t^lp(A\H) = 0,0001 P(íí \H\A)= P(" ^} P(A\H) = 0,0100 Induktivní úsudek: Je-li P(H\A) > P(fŽ \ H\A), pak ze skutečnosti, že nastal jev A usuzujeme, že platí hypotéza H. 22 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P ((A n Hi) u (in H2)) = P (A n Hx) + p(A n #2) = P(Hi)P(A\Hi) + P(i72)P(A|i72) Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P(A) = P^P^líTi) + P(H2)P(A\H2) Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H Příklady: Celková pravděpodobnost Necht Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Srpkovou anémii má 20% obyvatel USA západoafrického původu. Mezi ostatními má tuto genetickou odchylku 1% obyvatel. USA má 35% obyvatel západoafrického původu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný občan USA má srpkovou anémii? Celková pravděpodobnost Necht Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Srpkovou anémii má 20% obyvatel USA západoafrického původu. Mezi ostatními má tuto genetickou odchylku 1% obyvatel. USA má 35% obyvatel západoafrického původu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný občan USA má srpkovou anémii? A - člověk má anémii, Hi - člověk je západoafrického původu, H2 - člověk je jiného původu. Celková pravděpodobnost Necht Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Srpkovou anémii má 20% obyvatel USA západoafrického původu. Mezi ostatními má tuto genetickou odchylku 1% obyvatel. USA má 35% obyvatel západoafrického původu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný občan USA má srpkovou anémii? A - člověk má anémii, P(A\Hi) = 0,2, P(A\H2) = 0,01, Hi - člověk je západoafrického původu, P(Hi) = 0,35, H2 - člověk je jiného původu, P(H2) = 1 — 0,35 = 0,65. Celková pravděpodobnost Necht Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Srpkovou anémii má 20% obyvatel USA západoafrického původu. Mezi ostatními má tuto genetickou odchylku 1% obyvatel. USA má 35% obyvatel západoafrického původu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný občan USA má srpkovou anémii? A - člověk má anémii, P(A\Hi) = 0,2, P(A\H2) = 0,01, Hi - člověk je západoafrického původu, P(Hi) = 0,35, H2 - člověk je jiného původu, P(H2) = 1 — 0,35 = 0,65. P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) = 0,35 • 0,2 + 0,65 • 0,01 = 0,0765 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P(A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. a) Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví? 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P(A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. a) Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví? A - zkoušený odpoví správně, Hi - vylosuje si otázku, na niž nezná odpověď, 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P(A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. a) Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví? A - zkoušený odpoví správně, P(A\Hi) = |, P(A\H2) = 1, Hi - vylosuje si otázku, na niž nezná odpověď, P(Hi) = 1Q19)~fe, P(H2) = t^, 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P (A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Příklady: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. a) Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví? A - zkoušený odpoví správně, P(A\H\) = |, P(A\H2) = 1, Hi - vylosuje si otázku, na niž nezná odpověď, P(H\) = 1Q19)~fe, P(H2) — k 100 A. 100 -kl k P (A) =--+- v } 100 4 100 100 + 3fc 400 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P(A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. a) Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví? = !00 + 3fc v J 400 b) Kolik musí zkoušený znát odpovědí, aby pravděpodobnost úspěchu byla větší než \1 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H2 jsou komplementární. Pak platí P(A) = P(Hi)P(A\Hi) + P(H2)P(A\H2) Príklady: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. a) Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví? P (A) 100 + 3fc 400 b) Kolik musí zkoušený znát odpovědí, aby pravděpodobnost úspěchu byla větší nez I? 100 + 3fc 1 4ÔÔ > 2 k > 100 k > 34 23 / 29 Celková pravděpodobnost Nechť Hi a H% jsou komplementární. Pak platí P{A) = PiHjPiAlHi) + P(H2)P(A\H2) Zobecnění: Nechť základní prostor Q je rozdělen na n po dvou neslučitelných jevů Hi, i^2,..., Hn. Pak pro každý jev A C Q platí n P(A) = YíP(Hi)P(A\Hi). Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí P(H) Vzorec pro inverzní pravděpodobnost: P(Hi\Á) = J, 'P(A\Hi), i = 1,2 P(A) Vzorec pro celkovou pravděpodobnost: P (A) = P(fři)P(A|íři) + P(H2)P(A\H2) Bayesův vzorec: P^A) - P(#i)P(^i) PíířOPÍAlířO + P^PÍAlířa)' P(ií2|z4) = P(^)P^I^) p(íri)p(i4|íri) + p(ír2)P(i4|ír2) 24 / 29 Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí P(ifi)P(i4|ifi) Bayesův vzorec: P(H\\Ä) P(íři)P(A|íři) + P(íř2)P(A|íř2) Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí Bayesův vzorec: P(H\\Á) P(ÍTi)P(A|iíi) P(H1)P(A\H1)^P(H2)P(A\H2) Příklad: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. c) Jaká je pravděpodobnost, že zkoušený odpověď pouze hádal, když odpověděl správně? 24 / 29 Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí Bayesův vzorec: P(H\\Á) P(ÍTi)P(A|iíi) P(H1)P(A\H1)^P(H2)P(A\H2) Příklad: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. c) Jaká je pravděpodobnost, že zkoušený odpověď pouze hádal, když odpověděl správně? A - zkoušený odpoví správně, P(A\H\) = |, P(A\H2) = 1, R\ - vylosuje si otázku, na niž nezná odpověď, P(iíi) = 1Q1QQfe, P(^2) : P(RX)P(A\RX) + P(H2)P(A\H2) = k 100 24 / 29 Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí Bayesův vzorec: P(H\\A) P(ÍTi)P(A|iíi) P{H1)P{A\H1)^P{H2)P{A\H2) Příklad: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. c) Jaká je pravděpodobnost, že zkoušený odpověď pouze hádal, když odpověděl správně? A - zkoušený odpoví správně, P{A\H\) = |, P(A\H2) = 1, R\ - vylosuje si otázku, na niž nezná odpověď, P(iíi) = 1Q1QQfe, P(^2) : P(RX)P{A\RX) + P(H2)P(A\H2) = k 100 P(H1\A) = 100-fe 1 100 ' 4 100+3fe 400 100 -k 100 + 3k 24 / 29 Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí Bayesův vzorec: P(H\\Á) P(ÍTi)P(A|iíi) P(H1)P(A\H1)^P(H2)P(A\H2) Příklad: Test obsahuje 100 otázek, zkoušený zná odpověď na k otázek. Vylosuje si jednu otázku. Pokud zná odpověď, odpoví správně, pokud odpověď nezná, náhodně zvolí jednu ze čtyř nabízených odpovědí. c) Jaká je pravděpodobnost, že zkoušený odpověď pouze hádal, když odpověděl správně? A - zkoušený odpoví správně, P(A\H\) = |, P(A\H2) = 1, R\ - vylosuje si otázku, na niž nezná odpověď, P(iíi) = 1Q1QQfe, P(^2) : P(RX)P(A\RX) + P(H2)P(A\H2) = k 100 P(H1\A) = 100-fe 1 100 ' 4 100+3fe 400 100 -k 100 + 3k Bayesův vzorec Nechť H\ a H2 jsou komplementární. Pak platí P(ifi)P(i4|ifi) Bayesův vzorec: P(H\\A) P(i?i)P(A|íři) + P(íř2)P(A|íř2) Zobecnění: Nechť základní prostor Q je rozdělen na n po dvou neslučitelných jevů Hi, H2, • • •, Hn. Pak platí P(HklA) = PWPMIft) PIA) £ Ptí/iJPtAl//,) Princip maximální věrohodnosti „Jest zcela nezpochybnitelným faktem, že nemůžeme-li poznat nej pravdivější soudy, musíme se řídit soudy nejpravděpodobnějšími." René Descartes, Rozprava o metodě 25 / 29 Základní pojmy_ Definice pravděpodobnosti jevu Závislost a nezávislost jevů Podmíněná pravděpodobnost Aplikace Odhad počtu jedinců volně žijící populace Diagnostické testy Růst populace Aplikace Odhad počtu jedinců volně žijící populace ncolnova-Petersonova metoda, mark-recatch Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = počet možností, jak z m označených jedinců vybrat k: c(m, k) = Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} n r počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = počet možností, jak z m označených jedinců vybrat k: c(m, k) počet možností, jak z n — m neoznačených jedinců vybrat r — k: c(n — m, r — k) m k n — m r — k Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = počet možností, jak z m označených jedinců vybrat k: c(m, k) = počet možností, jak z n — m neoznačených jedinců vybrat r — k: c(n — m, r — k) = A™rk . . . jev: populace je tvořena n jedinci, mezi nimi je m označených a při druhém odchytu mez r ulovenými jedinci bylo k označených Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} n r počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = počet možností, jak z m označených jedinců vybrat k: c(m, k) m k počet možností, jak z n — m neoznačených jedinců vybrat r — k: c(n — m, r — k) n — m r — k A™rk . . . jev: populace je tvořena n jedinci, mezi nimi je m označených a při druhém odchytu mezi r ulovenými jedinci bylo k označených m\ í n — m P(A7fc) ' n kí \ r — k r 27 / 29 Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = n počet možností, jak z m označených jedinců vybrat k: c(m, k) m k počet možností, jak z n — m neoznačených jedinců vybrat r — k: c(n — m, r — k) n — m r — k A mrk n jev: populace je tvořena n jedinci, mezi nimi je m označených a při druhém odchytu mezi r ulovenými jedinci bylo k označených P(A™rfc) m \ i n — m k I \r-k n r Hledáme takové n, aby při daných m,r,k byla hodnota P(A™rfc) maximální 27 / 29 Odhad počtu jedinců volně žijící populace Lincolnova-Petersonova metoda, mark-recatch • Odchytíme a označkujeme m jedinců. • Po dostatečném čase, ale ne příliš dlouhém, odchytíme dostatečné množství dalších jedinců a spočítáme počet označených mezi nimi. počet nově ulovených jedinců: r počet označených jedinců mezi nimi: k neznámý počet jedinců v populaci: n; určitě je n > max{m,r} n r počet možností, jak mezi n jedinci vybrat r: c(n, r) = počet možností, jak z m označených jedinců vybrat k: c(m, k) m k počet možností, jak z n — m neoznačených jedinců vybrat r — k: c(n — m, r — k) n — m r — k A™rk . . . jev: populace je tvořena n jedinci, mezi nimi je m označených a při druhém odchytu mezi r ulovenými jedinci bylo k označených m\ í n — m P(A™rfc) k j y r — k n r Hledáme takové n, aby při daných m,r,k byla hodnota P(AJ^rfc) maximální. jene D = (1 cr)x(ť) x(ť) Růst populace • Populace nestrukturovaná x = x(t) ... množství jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků jedince za jednotku času a ... P(jedinec přežije jednotku času) x(t + 1) = x(t) + množství narozených — množství uhynulých = x(t) + B — x(ť) + fx(t) (1 cr)x(ť) = (cr + f)x(t) B = fx(t) D D = (l cr)x(ť) x(ť) Označení: r — g + / Růst populace • Populace nestrukturovaná x = x(t) ... množství jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků jedince za jednotku času a ... P(jedinec přežije jednotku času) x(t + 1) = x(t) + množství narozených — množství uhynulých = x(t) + B — D — x(i) + fx(t) (1 cr)x(ť) = (cr + f)x(t) rx(ť) B = fx{t) D D=(l a)x(t) x(i) Označení: r — a + / Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ťj Růst populace Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ťj Populace strukturovaná na juvenilní a plodné 29 / 2 Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(t) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje) cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času) (j2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času) Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ť) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (J2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ť) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (J2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x (t + 1) = množství j u ven il nich, kteří přežili a nedospěli + množství nově narozených y (t + 1) = množství j u ven il nich, kteří přežili a dospěli + množství plodných, kteří přežili 29 / 29 Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(t) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (J2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x (t + 1) = množství j u ven il nich, kteří přežili a nedospěli + f y (ť) y (t + 1) = množství j u ven il nich, kteří přežili a dospěli + množství plodných, kteří přežili 29 / 29 Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ť) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (J2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x (t + 1) = množství j u ven il nich, kteří přežili a nedospěli + f y (ť) y(t-\-l) = množství j u ven il nich, kteří přežili a dospěli + oiyif) Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(t) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (J2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x(í + l) = t7i(l-7)x(í) + /í/(í) y(t-\-l) = množství j u ven il nich, kteří přežili a dospěli + oiyif) Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(t) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (J2 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x(í + l) = t7i(l-7)x(í) + /í/(í) y(t + 1) = ai7#(t) + č722/(t) Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ť) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 02 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x(t + l) = <7i(l-7)x(t)+ fy(t) y (t + 1) = 017 x(í) + 02 y (ť) Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(t) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 (72 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < (72 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x(t + l) = <7i(l-7)x(t)+ fy(t) y (t + 1) = (7i7 x (ť) + (72 2/(t) Označení:a;(í)=f:ESYR=fí7l(1-7) f) \y(t)J \ CT17 0-2/ Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(ť) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné x — x(t) ... množství j u ven il nich jedinců v čase t y = y (ť) ... množství plodných jedinců v čase t f ... očekávaný (průměrný) počet potomků plodného jedince za jednotku času 7 ... P(juvenilní jedinec během časové jednotky dospěje), 0 < 7 < 1 cti ... P(juvenilní jedinec přežije jednotku času), 0 < o\ < 1 02 ... P(plodný jedinec přežije jednotku času), 0 < 02 < 1 Předpokládáme, že rození a dospívání jsou nezávislé jevy x(t + l) = <7i(l-7)x(t)+ fy(t) y (t + 1) = 017 x(í) + 02 y (ť) Označení: x (t) = (XfJ) . R = H1 " l] f) x (í + 1) = Rx (í) 29 / 29 Růst populace • Populace nestrukturovaná: x(t + 1) = rx(t) • Populace strukturovaná na juvenilní a plodné: x(t + 1) = Rx(ťj