Reálné funkce M1030 Matematika pro biology 25.10. a 1.11.2022 Definice a základní vlastnosti Reálná čísla Pojem funkce Jednoduché vlastnosti funkcí Operace s funkcemi Elementární funkce_ Další funkce Definice a základní vlastnosti Reálná čísla Množina M, aritmetické operace +, relace < Reálná čísla Množina M, aritmetické operace +, relace < (x + y) + z = x + (y + z) x + y = y + z (30) (yx) x + 0 = x (Vx)(3 —x) x + (—x) = 0 IR s operací + je abelovská grupa (xy)z = x(yz) xy = y z (31 / 0)(Vx) lx = x (Vx / 0)(3x-1) x-1^ = 1 IR \ {0} s operací • je abelovská grupa x(y -\- z) = xy + xz distributivita x < y a y < z => x < z x < y nebo y < x nebo x = y lineární uspořádání x < y =>x-\-z xz < yz operace + a • jsou slučitelné s uspořádáním množina IR tvoří kontinuum, „nejsou v ní díry", jedno-jednoznačným obrazem IR je přímka Podmnožiny IR: • N = {1, 2, 3,... } přirozená čísla • Z = {... — 2, —1, 0,1, 2,... } celá čísla • Q = { § • P £ £ N| racionální čísla • I = IR \ O iracionální čísla N C Z C O C IR 3/19 Reálná čísla Množina M, aritmetické operace +, relace < Rozšírená množina reálných čísel: R* =RU {—oo, oo}; (Vx GM)-oo 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+p e D(f) a f{x+p) = f (x) Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x g D(f)) f(x) 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+p g D(f) a f{x+p) = f (x) Platí: Je-li / p-periodická a k g N, pak je / také /cp-periodická Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x g D(f)) f(x) 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+p g D(f) a f{x+p) = f (x) Platí: Je-li / p-periodická a k g N, pak je / také /cp-periodická x e D(f) D(f) =>■ x + 2p = (x + p) + p e D(f) =>■ • • • /(x + 2p) = /((# +p) +p) = /(a; + p) = f (x),. .. Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x G D(f)) f(x) 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+p G D(f) a f{x+p) = f (x) Parita: / je lichá, pokud x G D(f) -x G a /(-x) = - f (x) f je si/c/a, pokud x G =>• — x G a f (—x) = /(x) Jednoduché vlastnosti funkcí Ohraničenost: / je ohraničená shora, pokud (3h)(\/x G D(f)) f(x) 0 (je p-periodická, má periodu p), pokud xeD(f) x+p G D(f) a f{x+p) = f (x) Parita: / je lichá, pokud x G D(f) -x G a /(-x) = - f (x) f je si/c/a, pokud x G =>• — x G a f (—x) = /(x) Monotónnost: /je rostoucí, pokud (Vxi,x2 G D(f)) x1 < x2 < /(#2) /je klesající, pokud (Vxi,x2 G D(f))x\ < x2 =>• > /(#2) /je nerostoucí, pokud (Vxi,x2 G D(f))x\ < x2 f(%i) > f{x2) /je neklesající, pokud (V#i,#2 £ D(f))x\ < x2 f(xi) < f(x2) Jednoduché vlastnosti funkcí Monotónnost: /je rostoucí na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ J)x\ f{%2) f je nerostoucí na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J) x\ < x2 f(%i) > f{x2) f je neklesající na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J)x\ < x2 f(%i) < f(x2) Jednoduché vlastnosti funkcí Monotónnost: /je rostoucí na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ J)x\ f{%2) f je nerostoucí na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J) x\ < x2 f(%i) > f{x2) f je neklesající na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J)x\ < x2 f(%i) < f(x2) f je rostoucí v bodě xq G D(f), pokud (3e > O)f(x) < f(xo) pro x0 — £ < x < x0 a f (x o) < f (x) pro x0 < x < x0 + £ f je klesající v bodě x0 G D(f), pokud (3e > O)f(x) > f(xo) pro x0 — £ < x < x0 a f (x o) < f (x) pro x0 < x < x0 + £ Jednoduché vlastnosti funkcí Monotónnost: /je rostoucí na intervalu J, pokud (V#i,#2 £ J)x\ f{%2) /je nerostoucí na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J) x\ < x2 f(%i) > f{x2) /je neklesající na intervalu J, pokud (Vxi,x2 G J)x\ < x2 f(%i) < f(x2) f je rostoucí v bodě xq G D(f), pokud (3e > O)f(x) < f(xo) pro x0 — £ < x < x0 a f (x o) < f (x) pro x0 < x < x0 + £ f je klesající v bodě x0 G D(f), pokud (3e > O)f(x) > f(xo) pro x0 — £ < x < x0 a f (x o) < f (x) pro x0 < x < x0 + £ Platí: Funkce / je rostoucí (klesající) v každém bodě intervalu J právě tehdy, když je rostoucí (klesající) na intervalu J. Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) n D(g) ^ 0 Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, g(x) = 2-x, D(f) = D(g) = (-00 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) n D(g) ^ 0 (f + g)(x) = f(x)+g(x) D(f + g) = D(f)nD(g) Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, #0) = 2 - x, D(f) = D(g) = (-oo, oo (/ + g)(x) = x2 - 3x + 5 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) n D(g) ^ 0 (/ + 9){x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g{x) D(f-g) = D(f + g) = D(f)nD(g) Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, #0) = 2 - x, £>(/) = = (-co, co) (/ — 9){x) = x2 — x -\-1 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) n D(g) ^ 0 (/ + 9){x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g{x) (f'9)(x) = f{x)g{x) D(f • (?) = D(f -g) = D(f + g) = D(f) n Příklad: /(z) = x2 - 2x + 3, #0) = 2 - z, £>(/) = L>(#) = (-co, co) (/ • 9)(x) = -x3 +4.x2 -7x + 6 Operace s funkcemi Aritmetické operace: /, g funkce takové, že D(f) D D (g) ^ 0 (/ + 9) (x) = f (x) + g (x) (f - g) (x) = f (x) - g{x) {f-g){x) = f{x)g{x) (f/g)(x) = M D(f ■ g) = D(f -g) = D(f + g) = D(f) H D (g), D(f/g) = D(f) H D(g) \ {x e D (g) : g (x) = 0} Príklad: f (x) = x2 - 2x + 3, g (x) = 2-x, D(f) = D (g) = (-oo, oo) 3 (f/g) (x) = -—- - x, z — x £>(//s) = (-oo,2)U(2,oo) Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) 9 f „ f°g(x) = f(g(x)), D(f o g) = {x : g(x) € D(f)} /°0 J po g" Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) 9 f „ fog(x) = f(g(x)), D(fog) = {x: g(x)£D(f)} f°9 J po g" Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, #(x) = 2-x, H(g) = (-00, 00) = D(f) (f 0 #)0*0 = (2 - z)2 - 2(2 - x) + 3 = x2 - 2x + 3 Operace s funkcemi Skládání funkcí: /, g funkce takové, že H(g) C D(f) 9 f „ fog(x) = f(g(x)), D(fog) = {x: g(x)£D(f)} f°9 J po g" Příklad: f(x) = x2 - 2x + 3, #(x) = 2-x, H(f) = (2, co) C (-co, co) = D(g) (9 ° f)(x) = 2 - (x2 - 2x + 3) = = -x2 + 2x - 1 = -(# - l)2 Operace s funkcemi Terminologická poznámka: Funkce / je prostá, pokud libovolným dvěma různým hodnotám nezávisle proměnné odpovídají různé funkční hodnoty, tj. (\/xux2 e D(f)) xi ^ x2 => f(xi) ^ f{x2). Operace s funkcemi Terminologická poznámka: Funkce / je prostá, pokud libovolným dvěma různým hodnotám nezávisle proměnné odpovídají různé funkční hodnoty, tj. (\/xux2 e D(f)) xi ^ x2 => f(xi) ^ f{x2). Funkce / je prostá na intervalu J, pokud (Vxi,x2 e J) xi ^ x2 /Oi) ^ f(x2). Operace s funkcemi Terminologická poznámka: Funkce / je prostá, pokud libovolným dvěma různým hodnotám nezávisle proměnné odpovídají různé funkční hodnoty, tj. (\/xux2 e D(f)) xi ^ x2 => f(xi) ^ f{x2). Funkce / je prostá na intervalu J, pokud (Vxi,x2 e J) xi ^ x2 /Oi) ^ f(x2). Platí: Je-li funkce / rostocí (resp. klesající) na intervalu J, pak je na tomto intervalu prostá. Obrácené tvrzení neplatí. Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / x y r1' y = f (x) „vyresem rovnice x = rHv) D(f-1) = H(f), H(f-í)=D(f) -1 Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / x y r1' y = f (x) „vyresem rovnice x = rHv) D(f-1) = H(f), H(f-í)=D(f) -1 Příklad: Najděte funkci inverzní k funkci / definované na intervalu (—00,1) předpisem f (x) = x2-2x + 3. x Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / x y r1' y = f (x) „vyresem rovnice x = rHy) D(f-1) = H(f), H(f-í)=D(f) -1 Příklad: Najděte funkci inverzní k funkci / definované na intervalu (—00,1) předpisem f (x) = x2-2x + 3. ry x — 2.x + 3 = i/, xi,2 — 2 ± ^4 - 4(3 - y) Pro x = 0 je y = /(O) = 3, vyhovuje pouze znaménko Tedy r\y) = l-^/^^2 6/19 Operace s funkcemi Inverzní funkce: / prostá funkce / x y r1' y = f (x) „vyresem rovnice x = rHy) D(f-1) = H(f), H(f-í)=D(f) -1 Příklad: Najděte funkci inverzní k funkci / definované na intervalu (—00,1) předpisem f (x) = x2 -2x + 3. x — 2.x + 3 = i/, £1,2 — 2 ± ^4 - 4(3 - ») = i± Vy^l Pro a; = 0 je y = /(O) = 3, vyhovuje pouze znaménko —. Tedy r\y) = l-^/^^2 Obvykle se nezávisle proměnná označuje symbolem x, r1 (x) i - Vx - 2. / / /' / /' / / / / /' / / 6/19 Definice a základní vlastnosti Elementární funkce Polynomy Lomené funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce Obecná mocnina Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Shrnutí Elementární funkce Další funkce Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + o>\x + a0, kde an ^ 0 Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P (x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag, kde a„ £>(P) = R H (P) = R nebo H(P) = (-00, a;) nebo #(P) = (a, 00) nebo #(P) Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\x + a0, kde an ^ 0 D(P) = R Speciální případy: Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\x + ag, kde an 7^ 0 £>(P) = M Speciální případy: • n = 0: y = Po O) = & ~ konstantní funkce H(P0) = {a} ohraničená, periodická s libovolnou periodou, sudá, nerostoucí, neklesající o x Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\x + ag, kde an 7^ 0 L>(P) = M Speciální případy: • n = 1: y = Pi(x) = + 6 - lineární funkce íf(Pi) = (-00,00) b = 0 =/- lichá; a > 0 => rostoucí, a < 0 => klesající V b 0 re a > 0, b > 0 2/ ■ \ 6 \ a 0 a < 0, 6 > 0 8/19 Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\x + a0, kde an ^ 0 L>(P) = M Speciální případy: • n = 2: ?/ = P2(^) = ^2 + fac + c - kvadratická funkce b = c = 0 sudá Polynomy Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P(x) = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\x + ag, kde an 7^ 0 L>(P) = M Speciální případy: • n = 2: 1/ = P 0 4ac- 62 \..... / b \ , I b i7(P2) = (-, 00 , klesající na —00, —— }, rostoucí na 4a 1 1 J V 2a/' \ 2a a < 0 00 H(P2) = ( — 00, ——^—rostouc^ na (~ 00,— klesající na (~^~^°° Polynom stupně n je funkce daná předpisem y = P{x) = anxn + an_ixn_1 H----+ a\x + a0, kde an ^ O D(P) = IR /cořer? polynomu: takové číslo xq, že P(xq) = 0. Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P (x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P (x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Platí: Je-li funkce R neryze lomená, pak ji lze vyjádřit jako součet polynomu a funkce ryze lomené. Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = R \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Platí: Je-li funkce R neryze lomená, pak ji lze vyjádřit jako součet polynomu a funkce ryze lomené. x3 + x2 — 1 Příklad: #0 = -~0-:- xÁ — 1 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Platí: Je-li funkce R neryze lomená, pak ji lze vyjádřit jako součet polynomu a funkce ryze lomené. x3 + x2 — 1 Příklad: ižřz) = —^- — 1 x3 + x2 — 1 x3 — x + x + x2 — 1 (x2 — l)(x + 1) + x x = x + 1 + x2 — 1 x2 — 1 x2 — 1 x2 — 1 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. • Lineární lomená funkce y — r(x) — ax a ^ q ^ c cx + d d(r) = ^-co,-^ U (-^°°)' H(R) =R\{^} Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. • Lineární lomená funkce y — r(x) — ax a ^ q ^ c cx + d d(r) = (-00,-^j U (-^°°)' H(R) =R\{^} + 6 a^+7-7+7 a a;-; a bc-ad _ CL _ C C CL _ _ j _ _tt_C_ _ _ j cx -\- d c x + - c x + - c c x + - c c(cx + d) c c c v 7 Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem y = R(x) P(x) Q{x) kde P a Q jsou polynomy D(R) = M \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Lineární lomená funkce y = R(x) = aX ~^ \ — - + —a / 0 / c, bc — ad ^ 0 cx + a c c(cx + a) a, b, c > 0, eZ < 0 bc < ad ad < bc Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy D(R) = M \ {£ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. • Lineární lomená funkce y = R(x) = aX ~^ \ — - + —a / 0 / c, bc — ad ^ 0 cx + a c c(cx + a) D(R) = (^-oo,-^ U (-^°°)- H(R) =R\{^} bc < ad =^> klesající na intervalu ^—oo,—a na intervalu ^—-,oo bc > ad =^> rostoucí na intervalu f—oo,—-j a na intervalu í — -,oo Lomené funkce Lomená funkce je funkce daná předpisem P(x) y = R(x) = ———, kde P a Q jsou polynomy (qJ{x) D(R) = M \ : £ je kořenem polynomu Q} Je-li stupeň polynomu Q větší než stupeň polynomu P, funkce se nazývá ryze lomená. Polynomy a lomené funkce se nazývají racionální funkce Polynom - racionální funkce celistvá Lomená funkce - racionální funkce lomená Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem Přitom a > 0, a ^ 1. f(x) = ax Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a • • • a = 1 • a • a • • • a n—krát n—krát Platí: qnqm = a • a • • • a • a ■ a • • • a = an+m, (an)m = an • a7^- • • n—krát m—krát m—krát Exponenciální funkce .X Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ď Přitom a > 0, a ^ 1. x = n G N: an = a • a — • a = 1 • a • a — • a n—krát n—krát Platí: qnqm = a ■ a ■ ■ ■ a - a ■ a ■ ■ ■ g = qn+m, (qn)m = gn ■ a „ r>. „0 _ i n—krát m—krát m—krát Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. x = nEN:gn = g- g- -- g= l- g- g- -- g n—krát n—krát Platí: anam = g • g - • • a • g • g- • • g = gn+m, (gn)m = c n —krát m —krát x = 0: g° = 1 n n g • g • • • m —krát x = -n, n G N: 1 = g° = gn+(~n) = gn . a~n a n Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem Přitom a > 0, a ^ 1. f(x) = ax x = n G N: an = a- a- -- a = l- a- a- -- a n—krát n—krát Platí: anam = a • a • • • g-g • a • • • a = gn+m, (an)m = gn • g7*-• • an^ = amn n—krát m—krát m—krát x = 0: g° = 1 x = -n, n G N: 1 = g° = gn+( n) = an • a n => a n = a n x = —, n G N: a = a1 = an'™ = f a i ) . Tedy n V / i . g := an je resenim rovnice a = x n Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \f2 = 2i — x, 2 = x3 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ď. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 — 2^ — x, 2 = x3 x=l: l3 = 1< 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x=l: l3 = 1< 2 x = 2: 23 = 8 > 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x=l: l3 = 1< 2 x = 2: 23 = 8 > 2 x=|: (|)3 = f >2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: 13 = 1 < 2 X — 2: 23 = 8 > 2 X — 3 . 2 ■ (I)3 _ 27 8 X — 5 . 4 ■ (I)3 _ 125 — 64 > 2 < 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 x=l: l3 = 1< 2 x = 2: 23 = 8 > 2 x=|: (|)3 = f >2 T. _ 5 . /5\3 _ 125 ^ o ^ — 4 ■ ~~ 64 ^ Z ^ — n ■ cii^ — 1221 -> 9 X— 8" V 8 / — 512 ^ ^ Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: i3 = X — 2: 23 = X — 3 . 2 ■ X — 5 . 4 ■ (Í)3: X — 11 . 8 ■ (^)3 X — 21 . 16 ■ (i)3 27 - 8 ' 125 64 1 221 512 9 261 4 096 < 2 > 2 > 2 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: i3 = 1 < 2 X — 2: 23 = 8 > 2 X — 3 . 2 ■ (I)3 = f >2 X — 5 . 4 ■ = W<2 X — 11 . 8 ■ m 5 1221 ^ o — 512 > Z X — 21 . 16 ■ 5 _ 9261 ^ r> 4 096 ^ X — 41 . 32 ■ (M 5 _ 68 921 ^ o 32 768 ^ Z Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Nalezení 2i „postupným přiblížením": \/2 = 2i = x, 2 = x3 X — 1: l3 = 1< 2 X — 2: 23 = 8 > 2 X — 3 . 2 ■ (§)3 = ¥ >2 X — 5 . 4 ■ (5\3 125 ^ 9 ~~ 64 ^ Z X — 11 . 8 ■ / 11\3 1221 ^ o ^ 8 J — 512 > Z X — 21 . 16 ■ / 21 \3 _ 9 261 ^9 V 16 / 4 096 ^ X — 41 . 32 ■ (AI\3 _ 68921 ^ o V 32/ 32 768 ^ Tedy 1,25 = § < 2š < § = 1,28125 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem Přitom a > 0, a ^ 1. f(x) = ax Nalezení 23 „postupným přiblížením": \/2 = 2s — x, 2 = x3 x — 1: x = 2: x — 2 . T - — - 4 ■ X — -g- X = 16 X — 32 l3 = 1< 2 23 = 8 > 2 (§)3 = ¥ >2 /5\3 _ 125 ^ 9 U J — 64 ^ Z (n)3= 1^221 >2 512 /21\3 _ 9 261 V 16 / — 4 096 /41\3 _ 68921 v 32 / — 32 768 > 2 > 2 Je ^2 = 1,2599. Tedy 1,25 = f < 2s < § = 1,28125 10 / 19 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem Přitom a > 0, a ^ 1. f(x) = ax x = n G N: an = a- a- -- a = l- a- a- -- a n—krát n—krát m—krát r ian. a a — a • a^ • • (i • a • a^ • • ci — a , ya ) = a • a • • • a = a n—krát m—krát x = 0; a° = 1 x = -n, n G N: 1 = a° = an+^n) = an • a~n => a~n = mn a n x = —, n G N: a = a1 = an'™ = f a i ) . Tedy n V / i . a := an je resenim rovnice a = x n x = -, p G Z, g G N: a« = ( a<* ) = f \yčr <7 10 / 19 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem Přitom a > 0, a ^ 1. f(x) = ax x = n E N: an = a- a- -- a = l- a- a- -- a n—krát n—krát m—krát r ian. a a — cl • • • ci • cl • • • cl — cl , ) = cl • a • • • a = o n—krát m—krát x = 0; a° = 1 x = -n, n e N: 1 = a° = an+^n) = an • a~n => a~n = mn a n x = —, n G N: a = a1 = an'™ = f a i ) . Tedy n V / i . a := an je resenim rovnice a t) v ± x = -, p e Z, q e N: a« = (aí J* = (^a)P iGl: iracionární číslo lze libovolně přesně aproximovat číslem racionálním Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. Příklad: aproximace čísla 7r: 3,14< 7T <3,15 3,141< 7T < 3,142 3,1415 < 7T < 3,1416 3,141592 < 7T < 3,141593 3,1415926 < 7T < 3,1415927 3,14159265 < tt < 3,14159266 3,141592653 < tt < 3,141592654 Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), H(f) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+x\ (aXlf2 = aXlX2. Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), H(f) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+x\ (aXlf2 = aXlX2. a > 1 rostoucí, a < 1 klesající Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), ÍT(/) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+X2, (aXl)X2 = aXlX2. a > 1 rostoucí, a < 1 klesající Přirozená exponenciální funkce exp(x) = ex, e = 2,718281828 - Eulerovo číslo Exponenciální funkce Exponenciální funkce se základem a je funkce daná předpisem f(x) = ax. Přitom a > 0, a ^ 1. D(f) = R= (-00,00), ÍT(/) = (0,oo), aXlaX2 = aXl+X2, (aXl)X2 = aXlX2. a > 1 rostoucí, a < 1 klesající Přirozená exponenciální funkce exp(x) = ex, e = 2,718281828 - Eulerovo číslo Směrnice tečny ke grafu funkce v bodě je rovna funkční hodnotě e Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = \oga x & ay = x. D(f) = (0, co), H(f) = (-co, co), a > 1 rostoucí, a < 1 => klesající. Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—co, oo), a > 1 rostoucí, a < 1 klesající. loga 1 = 0, loga(xiX2) = loga x1 + loga x2, log^zi)*2 = x2 log Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—co, oo), a > 1 rostoucí, a < 1 klesající. loga 1 = 0, loga(xiX2) = loga x1 + loga x2, log^xif2 = x2 loga Xi Přirozená logaritmická funkce: logex = lnx(= lgx = \ogx) Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—co, oo), a > 1 rostoucí, a < 1 klesající. loga 1 = 0, loga(xiX2) = loga x1 + loga x2, log^zi)*2 = x2 log y ay y log6 a logax x logbx log^r log6a Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—co, oo), a > 1 rostoucí, a < 1 klesající. loga 1 = 0, loga(xiX2) = loga x1 + loga x2, log^xif2 = x2 log y ay y log6 a logax X logbx log^r log6a logax log6 x \nx \ogb a ln a Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = loga x <^> ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—co, oo), a > 1 rostoucí, a < 1 =>• klesající. loga 1 = °> l0ga (^1^2) = loSa #1 + loSa ^2, loga(xif2 = x2 log log z x ln x 10ga x : a \ogb a ln a ji y = x lny = a ln x y = ealnx Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a ^ 1 je inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = \oga x o ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—co, oo), a > 1 rostoucí, a < 1 =^> klesající. loga 1 = 0, loga(xiX2) = loga xx + loga x2, loga(xi)X2 = x2 log logi, x ln x log6 a m a y = xa \ny = a ln x 2/ = ealnx a Logaritmická funkce Logaritmická funkce se základem a > 0, a^lje inverzní funkcí k funkci exponenciální, f(x) = y = logtt x <^> ay = x. D(f) = (0, oo), H(f) = (—00, 00), a > 1 rostoucí, a < 1 ^> klesající. loga 1 = °> loga(^1^2) = loga xl + loga ^2, log^i)*2 = x2 log logft x ln x loga x =--=-- log6 a m a _ „a ln x Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f(x) =xa = ealnx. Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f{x) =xa = ealnx. D(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f{x) =xa = ealnx. £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak y t 1 1 x Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f(x)=xa = ealnx. £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a = 0 y 1 X Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a G M definována vztahem f{x) =xa = ealnx. £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f(x) = x a „alnx £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a > 1 Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f(x) = x a „alnx £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a > 1 Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f{x) =xa = ealnx. £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak Obecná mocnina Obecná mocninná funkce („a-tá mocnina") je pro a E IR. definována vztahem f{x) =xa = ealnx. £>(/) = (0,oo),ií(/) {1}, a = 0. (0,oo), jinak a < 0 klesající, a > 0 rostoucí. Goniometrické funkce 13 / Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] x > 0: oblouk kružnice /c od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x 13 / 19 Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] x > 0: oblouk kružnice /c od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x x < 0: oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] x > 0: oblouk kružnice /c od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x x < 0: oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku Goniometrické funkce sinus a cosinus jsou „definovány": sinx = 2. souřadnice bodu A Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] x > 0: oblouk kružnice /c od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x x < 0: oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce sinus a cosinus jsou „definovány" sinx = 2. souřadnice bodu ^4 y 1 N, Goniometrické funkce Uvažujme jednotkovou kružnici k, tj. křivku, která má v ortonormální souřadné soustavě (souřadnice značíme £, rf) rovnici £2 + rf1 = 1. Nechť xGl Bod A leží na kružnici k tak, že x = 0: A = [1,0] x > 0: oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v kladném smyslu má délku x x < 0: oblouk kružnice k od bodu [1,0] k bodu A braný v záporném smyslu má délku — x Goniometrické funkce sinus a cosinus jsou „definovány": sinx = 2. souřadnice bodu A. cosx = 1. souřadnice bodu A. y 5 / Goniometrické funkce D(sin) = R, H(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt 13 / 19 Goniometrické funkce D(sin) = R, H(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, iiř(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2tt 13 / 19 Goniometrické funkce D(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, iiř(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2ti Goniometrické funkce tangens a cotangens jsou definovány: sinx tgx =- cosx Goniometrické funkce D(sin) = R, H (sin) = (-1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt £>(cos) = K, iř(sin) = (-1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2tt Goniometrické funkce tangens a cotangens jsou definovány: sinx tg.x = - cosx y \- / j / X £>(tg) = M \ { \ (2k - 1)tt : fc E Z} , (tg) = R, lichá, periodická - základní perioda tt Goniometrické funkce D(sin) = R, ií(sin) = (—1,1), ohraničená, lichá, periodická - základní perioda 2tt D(cos) = R, iiř(sin) = (—1,1), ohraničená, sudá, periodická - základní perioda 2ti Goniometrické funkce tangens a cotangens jsou definovány: sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x L>(tg) = R \ {\{2k — 1)tt : fc G Z} , (tg) = R, lichá, periodická - základní perioda tt D(cotg) = R \ {/c7ľ : £ Z} , iiř(cotg) = R, lichá, periodická - základní perioda tt Goniometrické funkce Základní vzorce: (sinx)2 + (cosx)2 = 1, sin(x + ^7r) = cosx, cos(x — ^tt) = sin x Součtové vzorce: sm(a zb (3) = sin a cos /3 ± cos a sin /3, cos(a =b f3) = cos a cos /3 =p sin a sin Vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument: sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = (cos a)2 — (sin a)2 2 2 (sin^a) =7^(1 — cos a), (cos ^a) =^(l + cosa) Cyklometrické funkce Funkce inverzní ke goniometrickým Cyklometrické funkce Funkce inverzní ke goniometrickým na zúženém definičním oboru: goniometrická funkce definiční obor cyklometrická funkce sin (—^7t, -^71") arcsin cos (0,7r) arccos tg (-|tt, ^tt) arctg cotg (0,7r) arccotg Cyklometrické funkce Funkce inverzní ke goniometrickým D(arcsin) = (—1,1), if(arcsin) = ( — ^7r, ^7r) ohraničená, rostoucí, lichá D(arccos) = ( — 1,1), iif(arccos) ohraničená, klesající (O.tt) 1 x D(arctg) = R, H(arctg) = (-^tt, |tt) ohraničená, rostoucí, lichá D(arccotg) = M, iif(arccotg) = (0,7r) ohraničená, klesající 14 / 19 Cyklometrické funkce Vztahy mezi goniometrickými a cyklometrickými funkcemi: cos arcsm x = sin arccos x = v i — x x sin arct g x = cos arccotg x = , , cos arctg x = sin arccotg Shrnutí Elementární funkce jsou ■ Polynomy, přirozená exponenciála, funkce sinus ■ Funkce, které z nich vzniknou pomocí aritmetických operací, operace skládání funkcí a operace tvoření inverzní funkce v konečném počtu Na každém intervalu, který je částí definičního oboru, lze graf elementární funkce nakreslit plynulým pohybem bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou. Definice a základní vlastnosti Elementární funkce Další funkce Absolutní hodnota Funkce signum Funkce celá část Další funkce Absolutní hodnota X. x>0. X D(\ • |) =M, H(\ • |) = (0,oc), sudá y Absolutní hodnota X X. x>0. D(\ • |) =M, H(\ • |) = (0,oc), sudá Graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, ale nelze ho nakreslit plynulým pohybem. 17 / 19 Funkce signum sgn x = x x x^O, O, x = 0, £>(sgn) = M, #(sgn) = {-1,0,1}, lichá y li- ■4-1 18 / 19 Funkce signum sgn x = x x x^O, O, x = 0, £>(sgn) = M, #(sgn) = {-1,0,1}, lichá y li- X ■4-1 Graf nelze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou. Funkce celá část £>([•]) =R, H(\ • |) X max{z e Z : z < x}. y 4-1 X 19 / 19