Limita a spojitost M1030 Matematika pro biology 8. a 15.11.2022 Posloupnosti Pojem posloupnosti Příklady posloupností Diference a její význam Limita Vlastnosti limity Příklady Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity Příklady - nevlastní limity Spojité funkce_ Posloupnosti Limita funkce Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo NU {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo NU {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU {0}: {an}^L0 Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D (a), a (n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem N U {0}: {an}^L0 Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D (a), a (n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem N U {0}: {an}^L0 Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo N U {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D (a), a (n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem N U {0}: {an}^L0 Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem • rekurentně Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem N, nebo NU {0}, nebo Z. Označení: a posloupnost, n G D(a). a(n) = an - n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti s definičním oborem NU {0}: {an}^L0 Vlastnosti: • ohraničenost • monotónnost • periodicita (s přirozenou periodou) Operace: aritmetické Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem • rekurentně Rekurentní zápis posloupnosti: předpis pro výpočet n-tého členu posloupnosti pomocí jednoho (nebo několika předchozích) současně se zadáním počátečního členu (nebo několika počátečních členů) Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen a poznámka Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference, an — ^{an-l + an+l) Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference, an — 2 (an-l + an+l) d > 0 neohraničená rostoucí d < 0 neohraničená klesající, d = 0 ohraničená stacionární Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference, an — 2 (an-l + an+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — y/an_1anjt_1 Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference, an — 2 (an-l + an+l) geometrická an^r\ — qan qn ag q — kvocient, an — y/an_1anjt_1 q > 1, ao / 0 neohraničená, ao > 0 rostoucí, ao < 0 klesající q = 1 ohraničená (stacionární) 0 < g < 1, ao / 0 ohraničená, ao > 0 klesající, ao < 0 rostoucí g = 0, ao / 0 ohraničená, ao > 0 nerostoucí, ao < 0 neklesající — 1 < g < 0, ao / 0 ohraničená, „tlumené oscilace" g = —1, ao / 0 ohraničená, periodická s periodou 2 g < —1, ao / 0 neohraničená, „netlumené oscilace" Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen a1 poznámka aritmetická an+l — an + d ag + nd d - diference, an — ^{an-l + an+l) geometrická an + l —Qan qna0 q — kvocient, an — y/an_1anjt_1 Fibonacciho an + 2 — an + l + an, a0 = 1, ax = 1 (1 + V5)n+1 - (1 - V5)n + 1 2n+1VE Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen a1 poznámka aritmetická an+l — an + d ag + nd d - diference, an — ^{an-l + an+l) geometrická an + l —Qan qna0 q — kvocient, an — y/an_1anjt_1 Fibonacciho an + 2 — an + l + an, a0 = 1, ax = 1 (1 + VE)n+1 - (1 - VE)n + 1 2n+1VE pro „velká" n „se chová" jako geometrická s kvocientem ^(i + VE) a počátečním členem ^(5 + VE) Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference, an — 2 (an-l + an+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — y/an_1anjt_1 Fibonacciho an+2 = o-n + l +%. (i _|_ v^)n+1 - (1 - ^)n + 1 «0 = 1, al = 1 -——■=- ( r — 1 an \ logistická anjri — ran í 1 —--J r - růstový koeficient, r K K - kapacita (úživnost) Príklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an_i_i — an + d ag + nd d — diference, an — 2 (an-l + an+l) geometrická an^r\ — qan Qna0 Q ~ kvocient, an — y/an_1anjt_1 Fibonacciho «n,+2 = o-n + l +%. (1 + v^5)n+1 - (1 - V5)n + 1 «0 = 1, al = 1 -——■=- ( r — 1 an \ logistická anjri — ran í 1 —--J r - růstový koeficient, r K K - kapacita (úživnost) r = 2, K = \, cin = 2(1 - an): an = \ (l - (1 - 2ao)2") r = 4, K = |, an = 4(1 - an): an = [sin (2n arcsin yäô)]2 Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an (Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí, (Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající (Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající (Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an (Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí, (Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající (Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající (Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí Aan lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci lze chápat jako posloupnost. ian}n=0 =>" iAan}n=0 Diference a její význam První diference vpřeď. Aan = an+i — an (Vn)Aan > O posloupnost je rostoucí, (Vn)Aan < 0 posloupnost je klesající (Vn)Aan > 0 posloupnost je neklesající (Vn)Aan < 0 posloupnost je nerostoucí Aan lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci lze chápat jako posloupnost. ian}n=0 =>" iAan}n=0 Rekurentní formuli lze přepsat pomocí diference: Příklad: a 2 (r-l) n CLn+l — CLn = T Cl n K Limita lim an = a n—)-oo Limita lim a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Limita lim a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a Vzdálenost mezi čísly an a a\ \an — a Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Proces: zvětšování indexu n Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; an — a < e. Proces: zvětšování indexu n Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; Proces: zvětšování indexu n an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a. Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; Proces: zvětšování indexu n an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a. (Ve > 0)(3n0 G N) \an - a\ < e Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; Proces: zvětšování indexu n an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí. (Ve > 0)(3n0 G N) \an - a\ < e Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; Proces: zvětšování indexu n an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí. (Ve > 0)(3n0 G N)(Vn > n0) an — a < e Limita lim an = a n—)-oo Členy posloupnosti se přibližují k číslu a an — a Vzdálenost mezi čísly an a a: „an je blízko k a": a\ \an — a\ je menší než „měřítko malosti", a; Proces: zvětšování indexu n an — a < e. Když zvětšujeme index n tak dojde k tomu, že členy posloupnosti jsou blízko k číslu a Ať zvolíme „měřítko malosti" £ jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti „blízko" čísla a a při dalším zvětšení indexu n se již od a nevzdálí. (Ve > 0)(3n0 G N)(Vn > n0) an — a < e Vlastnosti limity 7/ Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^n se nazývá konvergentn n—)-oo Vlastnosti limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. oo n=0 Konvergentní posloupnost je ohraničená Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn n—T-oo Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^n se nazývá konvergentní. n—)-oo • Konvergentní posloupnost je ohraničená • (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c n—)-oo Vlastnosti limity • Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^n se nazývá konvergentní. n—)-oo • Konvergentní posloupnost je ohraničená • (Vn)an = c (posloupnost je stacionárni) =^> lim an = c n—)-oo • (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo Vlastnosti limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. oo n=0 Konvergentní posloupnost je ohraničená Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn n—T-oo (Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c n—)-oo (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo (Vn)an < bn < cn, lim an = lim cn = a => lim bn = a n—)-oo n—)-oo n—)-oo Vlastnosti limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. oo n=0 Konvergentní posloupnost je ohraničená Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn n—T-oo (Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c n—)-oo (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo (Vn)an < bn < cn, lim an = lim cn = a => lim bn = a n—)-oo n—)-oo n—)-oo lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená lim an6n = 0 n—)-oo n—)-oo Vlastnosti limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. oo n=0 Konvergentní posloupnost je ohraničená Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentn n—T-oo (Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c n—)-oo (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo (Vn)an < bn < cn, lim an = lim cn = a => lim bn = a n—)-oo n—)-oo n—)-oo lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená lim an6n = 0 t—)-oo n—)-oo lim (an db 6n) = lim an db lim 6? n—)-oo ' ' n—)-oo n—)-oo Vlastnosti limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. oo n=0 Konvergentní posloupnost je ohraničená Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentní. n—T-oo (Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c n—)-oo (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo (Vn)an < bn < cn, lim an = lim cn = a => lim bn = a n—)-oo n—)-oo n—)-oo lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená lim an6n = 0 t—)-oo n—)-oo lim (an db 6n) = lim an db lim 6? n—)-oo ' ' n—)-oo n—)-oo lim anbn = lim an • lim bn n—)-oo n—)-oo n—)-oo Vlastnosti limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. oo n=0 Konvergentní posloupnost je ohraničená Pokud existuje lim an, posloupnost {an}^L0 se nazývá konvergentní. n—T-oo (Vn)an = c (posloupnost je stacionární) =^> lim an = c n—)-oo (Vn)an < bn =^> lim an < lim bn n—)-oo n—)-oo (Vn)an < bn < cn, lim an = lim cn = a => lim bn = a n—)-oo n—)-oo n—)-oo lim an = 0, {6n}^Lo Je ohraničená lim an6n = 0 t—)-oo n—)-oo lim (an db 6n) = lim an db lim 6? n—)-oo ' ' n—)-oo n—)-oo lim anbn = lim an • lim bn n—)-oo n—)-oo n—)-oo lim —^ = n 00 —, pokud lim bn 7^ 0 n^oo 6n lim Dn n^oo n—)-oo Příklady lim n—)-oo Ti k O, k e N, lim q n—)-oo n O pro \q\ < 1 Příklady lim n—)-oo Ti k O, k e N, lim q n—)-oo n O pro \q\ < 1 r n + 1 lim - n—)-oo 71 Příklady lim —- = O, ke N, lim qn n—)-oo TI n—)-oo n 4- 1 / 1 \ 1 lim = lim 1 + - = 1 + lim - = 1 + 0 n—)-oo fi n—)-oo V TI J n—)-oo TI Příklady lim n—)-oo Ti k O, k e N, lim q n—)-oo n O pro \q\ < 1 lim 2n + 1 Příklady lim —- = O, k G N, lim qn = O pro \q < n—)-oo TI n—)-oo n2 — 2n + l (n — l)2 n —1 lim--- = lim--—-- = lim - = lim n^oo n2 — 1 n^oo (n + l)(n — 1) n^oo n + 1 n^oo Příklady l lim —- = O, ke N, lim qn = O pro q < n—)-oo Ti n—)-oo r n2-2n + l (n-1)2 n-1 lim--- = lim--—7-— = lim-- = lim n^oo TI — 1 n^oo (n + 1) (n — 1) n^oo n + 1 n^oc = lim -" : " = 1 nÁ Příklady lim n—)-oo Ti k O, k e N, lim q n—)-oo n O pro \q\ < 1 n _g lim ——-— n^oo 2n+1 - 3n+1 Příklady lim —- = O, k e N, lim qn = O pro \q\ < 1 n—)-oo TI n—)-oo 2^_2n lim ——-— = lim n—)-oo 2n+1 — 3n+ n—)-oo 2^+1 — 3n+l = lim 2n+l 1 n^o V2-3(f)n 2(|)n-3 2 \n = 0- 0-3 3 8/24 Příklady lim n—)-oo Ti k O, k e N, lim q n—)-oo n O pro \q\ < 1 lim n—)-oo 2 n Příklady lim n—)-oo Ti k O, k e N, lim q n—)-oo n O pro \q\ < 1 lim n—)-oo 2 n n2 n2 0 < — = --- 2n (1 + 1) n 1 + n + + 1 8/24 Příklady lim -r = O, ke N, n—)-oo TI n—)-oo lim gn = 0 pro \q\ < 1 lim n—)-oo 2 n n2 n2 0 < — =--- 2n (1 + 1) n ň"- < - 1+n+l2 + 3 + 1 1+n+ 2 + 3 TV 6?r i . . n(n— 1) . n(n— l)(n—2) l + n+^-^ + ^-^-± 6 + 6n + 3n(n — 1) + n(n — l)(n — 2) 6rr 6 6 + 5n + n3 -4- + - + n Příklady lim n—)-oo 2 n lim —- = O, fcGN, lim gn = O pro \q\ < 1 n—)-oo 72 n—)-oo 0 < — = (i + i) n ň"- < - 1+n+l2 + 3 + 1 1+n+ 2 + 3 TV 6?r i . . n(n— 1) . n(n— l)(n—2) 6 + 6n + 3n(n — 1) + n(n — l)(n — 2) 6rr 6 6 + 5n + n3 -4- + - + n lim -7:-^- n^oo —i- —|— — —|— TI w n = 0 8/24 Příklady lim —- = O, k e N, lim qn = O pro \q\ < 1 n—)-oo Ti n—)-oo lim — = 0 n—)-oo 2n 0 < — = (i + i) n ň"- < - 1+n+l2 + 3 + 1 1+n+ 2 + 3 TV 6?r i . . n(n— 1) . n(n— l)(n—2) 6 + 6n + 3n(n — 1) + n(n — l)(n — 2) 6rr 6 6 + 5n + n3 -4- + - + n lim -7:-^- n^oo —i- —|— — —|— Tl w n = 0 8/24 Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo Cleny posloupnosti neomezeně rostou. Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo Cleny posloupnosti neomezeně rostou. Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo Cleny posloupnosti neomezeně rostou. Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze Ať zvolíme „hranici velikosti" H jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti větší než hranice H a při dalším zvětšování indexu již tuto hranici neklesnou. (W e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an > H Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo Cleny posloupnosti neomezeně rostou. Když zvětšujeme index n tak členy posloupnosti rostou nade všechny meze Ať zvolíme „hranici velikosti" H jakkoliv, tak po dostatečném zvětšení indexu n budou členy posloupnosti větší než hranice H a při dalším zvětšování indexu již tuto hranici neklesnou. (W G R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^L0 diverguje do nekonečna. Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna. Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna. lim an = —oo n—)-oo Nevlastní limita lim an = oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an> H Posloupnost {an}^=0 diverguje do nekonečna. lim an = —oo n—)-oo (yH e R)(3n0 e N)(Vn > n0) an < H Posloupnost {an}^=0 diverguje do minus nekonečna. Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. Vlastnosti nevlastní limity evlastní limita není limita Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. Divergentní posloupnost je neohraničená. lim an = oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± bn) n—>oo n—>-oo lim an = — oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± 6n) n—?-oo n—>oo Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^=0 je ohraničená => lim (an ± bn) = oo n—>oo n—>-oo lim an = —oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± 6n) = —oo n—T-oo n—>oo • lim an = ±00, 6n > S > O =^> lim anbn = ±00 n—?-oo n—?-oo lim an = ±00, bn < S < O => lim an6n = =foo n—?-oo n—>-oo Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^=0 je ohraničená => lim (an ± bn) = oo n—T-oo n—>oo lim an = —oo, {6n}^Lo Je ohraničená lim (an ± bn) = —oo n—?-oo n—)-oo • lim an = ±00, bn > S > O =^> lim an6n = ±00 n—T-oo n—?-oo lim an = ±00, bn < S < O => lim an6n = =poo n—?-oo n—>-oo an — n, lim an — 00, bn — lim anbn — 1 n—>oo 71 n—>-oo 2 1 an = n , lim an — 00, bn — —, lim an6n — lim n — 00 n—>-oo 71 n—>-oo n—>-oo 1 .1 an = n, lim an — 00, 6n = —, lim anfrn — lim — = O n—>-oo 77/ n—>-oo n—>-oo 77 Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = co, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± bn) = oo n—T-oo n—?-oo lim an = —oo, {bn}^=0 je ohraničená lim (an ± bn) = —oo n—T-oo n—?-oo • lim an = zboo, 6n > ô > 0 lim anbn = ±00 lim a n ±00, 6n < č < 0 ^> lim an6 ^00 • lim an = ±00, {bn}^=0 je ohraničená lim n = 0 n Vlastnosti nevlastní limity Nevlastní limita není limita • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim an = oo, {bn}^={) je ohraničená => lim (an =b bn) = oo n—>oo n—>oo lim an = —oo, {6n}^L0 je ohraničená lim (an ± bn) = —oo lim an = ±00, 6n > ô > 0 =^> lim anbn = ±00 n—?-oo n—?-oo lim an = ±00, 6n < ô < 0 =^> lim anbn = ^oo n—>-oo n—>oo bn lim an = ±00, {6n}^0 je ohraničená lim — = 0 1 lim an = 0, an > 0 => lim — = 00 n—)-oo n—)-oo Q,n 1 lim an = 0, an < 0 => lim — = —00 n—>-oo n—)-oo Q,n Vlastnosti nevlastní limity Operace na M* = RU {—00,00} (rozšířené množině reálných čísel) Vlastnosti nevlastní limity Operace na M* = M U {—00,00} (rozšírené množině reálných čísel) • c + 00 = 00, c — 00 = — 00 • c > 0 =^> c00 = 00, c(—00) = —00 c < 0 ^> c00 = —00, c(—00) = 00 c c • — = -= 0 00 —00 1 • - = 00 0 • 00 + 00 = 00 • 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = Vlastnosti nevlastní limity Operace na R* = M U {—oo, 00} (rozšířené množině reálných čísel) • c + 00 = 00, c — 00 = — OO • c > 0 ^> c 00 = 00, c(—00) = —00 c < 0 ^> c00 = —00, c(—00) = 00 = 0 —00 00 00 1 Ô 00 + 00 = 00 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00 m - 0 00 n Neurčite výrazy: -, —, U • oo, 00 — 00 0 00 Vlastnosti nevlastní limity Operace na M* = M U {—00,00} (rozšířené množině reálných čísel) c + 00 = 00, c — 00 •00 c > 0 => c00 = 00, c(—00) = -c < 0 => c00 = —00, c(—00) = •00 00 c c = 0 —00 00 00 1 Ô 00 + 00 = 00 00 • 00 = 00, 00 • (—00) = (—00) • 00 = —00, (—00) • (—00) = 00 Neurčite výrazy: - _p_ 0 Voo " I o „ „10 11 0-0 o = -, 0.00=0.- = -, 00-00=--- = — = - Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—>oo -- O = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 11 / 24 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—>oo -- O = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 lim (4 - 3n + 2n2 - n3) Příklady - nevlastní limity lim n n—>oo k oo, /c G N, lim q { n—too = i = OO k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro g < — 1 lim (4 - 3n + 2n2 - n3) = lim (4, - £ + £ - l) n 3 _ oo n—>-oo n—>-co Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—>oo -- O = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 lim n2 + 2n + 1 1 — n2 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn ^ n—)-oo = 0 = 1 = oo ^ neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < — 1 .. n2 + 2n + l lim--— = lim 1 — n2 (n + 1)2 n + 1 um--—-- = lim - = lim n^oo (1 + n)(l — n) n^oo 1 — n n^oo 1 — n - 1 Príklady - nevlastní limity lim nk = oo, k e N, n—>-oo lim q \ n—>-oo = i = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro q > 1 pro g < — 1 n2 + 2n + l (n + 1)2 n +1 hm--— = hm —-—-r = lim-- = lim n^oo 1 — n1 n^oo (1 -+- ľl)[l — TI) n^oo 1 — n n^oo y 1 — n = Bm i+Í±Í = 1±£±0 =-1 n^oo -4y — 1 0 — 1 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—>oo -- O = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 lim 2n4 - 3ns + 5 n->>oo 3n5 + 4n + 1 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—>-oo lim gn < n—)-oo = 0 = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro g < — 1 lim 2n4 - 3n3 + 5 = lim 1-^ + ^ _ o-o + o ihSj 3n5 + 4n + 1 »^ 3+4.+ 1 3 + o + 0 = 0 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—>oo -- O = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 lim 2n4 - 3ns + 5 n->>oo 3n3 + 4n + 1 Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—>oo -- O = 1 = oo k neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < —1 lim 2n4-3n3 + 5 2n - 3 + ^ = lim n^oo 3n3 + 4n + 1 n^oo 3 -f -1. -f -L = OO Příklady - nevlastní limity lim nk = oo, k G N, n—)-oo lim gn < n—)-oo = 0 = 1 = oo ^ neexistuje pro \q\ < 1 pro q = 1 pro g > 1 pro q < — 1 afcnfc + ak-inh 1 + 'sgn(^)oo. I™ 7 7 17 n^oo bmrím + 6m_inm 1 H-----h 60 = < 6, 0. k > m k = m k < m 11 / 2 Posloupnosti Spojité funkce Spojitost Spojitost v bodě Exkurs: výroky s kvantifikátory Operace se spojitými funkcemi Spojitost na intervalu Funkce spojité na uzavřeném intervalu Limita funkce Spojité funkce Spojitost Funkce je spojitá, pokud Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, 13 / 24 Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, tj. její graf je souvislá křivka; 13 / 24 Spojitost Funkce je spojitá, pokud • její graf lze nakreslit bez přerušení kontaktu psacího nástroje s podložkou, tj. její graf je souvislá křivka; • malá změna nezávisle proměnné vyvolá malou změnu závisle proměnné. 14 / 24 14 / 24 14 / 24 Spojitost v bodě Spojitost v bodě Spojitost v bodě Funkce spojitá v bodě xq Funkce nespojité v bodě xq 14 / 24 Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f) • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo) Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" 6, tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. Spojitost v bodě 2f. ô \ ô Xq \ X Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" 6, tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. x g D(f) \x-x0\ 0) x g D(f) \x-x0\ 0)(3S > 0) xeD(f) \x - x0\ < ô \f(x)-f(x0)\ 0)(3Ô > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e 14 / Spojitost v bodě 2f. ô \ ô Xq \ X Funkce f je spojitá v bodě xq\ • Funkce / je v bodě xq definována, xq g D(f). • Je-li x „blízko" xq pak je f{x) „blízko" f(xo). • Zvolíme-li „měřítko blízkosti" e závisle proměnné e, lze k němu najít „měřítko blízkosti" ô nezávisle proměnné takové, že když je x „blízko" k xq „podle měřítka" 6, tak je f(x) „blízko" f(x0) „podle měřítka" e. • Ke každému kladnému číslu e existuje kladné číslo ô, že pro jakékoliv x g D(f) z č-blízkosti x k xq nutně vyplyne e-blízkost f{x) k f(xo). (Ve > 0)(3Ô > 0)(Vx g D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e 14 / Spojitost v bodě Funkce f je spojitá v bodě xq\ f(xo)' 2f 5 \ 5 Xq \ X (Ve > 0)(3S > 0)(Vr G D(f)) \x - x0\ < 5 \f(x) - f(x0)\ < e 14 / 24 Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq e D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(x0) * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(x0). Spojitost v bodě y ....Y-.............i Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k xq, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k x0 „daleko" od funkční hodnoty f(x0) x - x0\ < ô |/0) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě y Funkce f je nespojitá v bodě xq\ / \ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud Xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" s (3s > 0) x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ > e Spojitost v bodě y Funkce f je nespojitá v bodě xq\ / \ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D(f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f(x) je od f(x0) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô (3£>0)(VČ>0) x - x0\ < ô |/0) - f(x0)\ > s 14 / Spojitost v bodě y-f M e / _____.............á xq \ x Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D {f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f (x) je od f (x o) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô lze najít hodnoty x nezávisle proměnné (3e > 0)(V5 > 0)(3x e D(f)) \x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ > e 14 / Spojitost v bodě y-f M e / _____.............á Funkce f je nespojitá v bodě xq\ * Funkce není v x0 definována; x0 0 D {f). * Pokud xq g D(f), pak • Přestože x „je blízko" k x0, tak f (x) je od f (x o) „daleko". • Při nějakém „měřítku dalekosti" jsou funkční hodnoty nějakých nezávisle proměnných libovolně „blízkých" k xq „daleko" od funkční hodnoty f(xo). • Existuje takové „měřítko dalekosti" e, že pro libovolné „měřítko blízkosti" ô lze najít hodnoty x nezávisle proměnné „č-blízké k #0"» jejichž příslušné funkční hodnoty jsou „e-vzdálené" od funkční hodnoty f(xo). (3e > 0)(V5 > 0)(3x e D(f)) \x - x0\ < ô k \f(x) - f(x0)\ > s 14 / Spojitost v bodě Funkce f je nespojitá v bodě xq g D(f) V' £ / _____.............á xq \ x (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < 5 & \f(x) - f(x0)\ > e 14 / 24 Exkurs: výroky s kvantifikátory (ye > 0)(3S > 0)(Vz g D(f)) \x-x0\ 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < 5 \ f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < ó & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f).) Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < 5 \ f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < ó & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < S \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vr g £>(/)) |x - x0| > ô k \f(x) - f(x0)\ < e Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < 5 \ f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vr g £>(/)) |x - x0| > S & \f(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je ohraničená. Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < 5 \ f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < S & \f(x) - f(x0)\ > 5 Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3s > 0)(V5 > 0)(Vr g £>(/)) |x - x0| > S & \f(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je ohraničená. (Ve > 0)(V5 > 0)(Vr g £>(/)) |x - x0\ > S & \f(x) - f(x0)\ < 5 Exkurs: výroky s kvantifikátory (Ve > 0)(3S > 0)(Vr g D(f)) \x - x0\ < ô \ f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je spojitá v x0 g D(f). (3e > 0)(V5 > 0)(3x g D(f)) \x - x0\ < ô k \f(x) - f(x0)\ > e Funkce / je nespojitá v xq g D(f). (Funkce / není spojitá v xq g D(f). Není pravda, že funkce / je spojitá v xq g D(f).) (3e > 0)(V5 > 0)(Vr g £>(/)) |x - x0| > ô k \f(x) - f(x0)\ < 5 Funkce / je ohraničená. (Ve > 0)(V5 > 0)(Vr g £>(/)) |x - x0\ > ô & \f(x) - f(x0)\ < e Funkce / je konstantní. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq G D(f) n D(g). Pak také funkce f + 9, f-9, Í9 jsou spojité v bodě x0. Pokud navíc g(x0) ^ 0, pak je také funkce 9 spojitá v bodě xq. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq G D(f) n D(g). Pak také funkce f + 9, f-9, Í9 jsou spojité v bodě x0. Pokud navíc g(x0) ^ 0, pak je také funkce 9 spojitá v bodě xq. Nechť funkce g je spojitá v bodě xq a g(xo) G D(f). Je-li funkce / spojitá v bodě g(xo), pak je složená funkce / o g spojitá v bodě xq. Operace se spojitými funkcemi Nechť funkce / a g jsou spojité v bodě xq G D(f) D Pak také funkce f + 9, f-9, Í9 jsou spojité v bodě xq. Pokud navíc g(xo) / 0, pak je také funkce g spojitá v bodě xq. Nechť funkce g je spojitá v bodě xo a g(xo) G D(f). Je-li funkce / spojitá v bodě #(#0). Pak je složená funkce / o g spojitá v bodě xq. Nechť funkce / je spojitá v bodě xq. Pokud existuje inverzní funkce pak je tato funkce spojitá v bodě f(xo). Spojitost na intervalu Funkce / je spojitá na intervalu J C D(f), pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. (Vr0 e J)(Ve > 0)(3Ô > 0)(Vr G J) |x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e Spojitost na intervalu Funkce / je spojitá na intervalu J C D(f), pokud je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. (Vx0 e J)(Ve > 0)(3Ô > 0)(Vr G J) |x - x0\ < ô \f(x) - f(x0)\ < e Každá elementární funkce je spojitá na každém intervalu, který je částí jejího definičního oboru. Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, 6). (3fc GM)(Vx G (a, 6)) |/(x)| < k Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, b). (3k gm)(Vx g (a,6)) |/0)| < k • Funkce / nabývá na intervalu (a, 6) své nejmenší a největší hodnoty. (3c,dG(a,b))(Vx G (a,6)) /(c) < f(x) < f(d) Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Funkce / je ohraničená na intervalu (a, b). (3k gm)(Vx g (a,6)) |/0)| < k Funkce / nabývá na intervalu (a, b) své nejmenší a největší hodnoty. (3c,d € (a,b))(Vx G (a,b)) /(c) < f(x) < f(d) Karl Theodor Wilhelm Weierstraß 1815-1897 Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. /(<*)/(&)< 0 (3c € (a, b)) f(c) = 0 Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. /(<*)/(&)< 0 (3c G (a, b)) f(c) = 0 • Funkce / nabývá na intervalu (a, b) všech hodnot mezi svou nej větší a nejmenší hodnotou. (3c, d G (a, b))(Vx G (a, 6» /(c) < /(x) < f(d) k (Vy G (/(c),/(d)»(3£ G (a, 6)) /(O = 2/ 18 / Funkce spojité na uzavřeném intervalu Nechť funkce / je spojitá na intervalu (a, b) C D(f). Pak platí: • Pokud mají funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (a, b) opačná znaménka, pak uvnitř tohoto intervalu existuje kořen rovnice f{x) = 0. /(<*)/(&)< 0 (3c G (a, b)) f(c) = 0 • Funkce / nabývá na intervalu (a, b) všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. (3c, d € (a, 6» (Var G (a, 6)) /(c) < /(x) < f (d) & (Vy G (/)) lim n—)-oo lim /(#n) = a n—)-oo 20 / 24 Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). 20 / 24 Představa a pojem limity lim f{x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). Pokud funkce / není spojitá v xq, tak a je taková hodnota, že dodefinování nebo změna funkční hodnoty v xq splňující rovnost f(xo) = a, změní funkci / na funkci spojitou v Xq- Představa a pojem limity lim f(x) X^řXQ a Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: a w Xq \ X a w Xq \ X a w » \ Xq \ X Pokud je funkce / spojitá v x0, tak a se rovná funkční hodnotě f(x0). Pokud funkce / není spojitá v xq, tak a je taková hodnota, že dodefinování nebo změna funkční hodnoty v xq splňující rovnost f(xo) = a, změní funkci / na funkci spojitou V Xq. (Ve > 0)(3S > 0)(Vr G D(f)) 0 < \x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: (Ve > 0)(3S > 0)(Vr G D(f)) 0 < |x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e (V{xn}^=0 C D(f)) lim xn x0 n—)-oo lim /(#n) = a n—)-oo 20 / 24 Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXo Funkce / má v bodě xq G M limitu a G M: (Ve > 0)(35 > 0)(Vr G £>(/)) 0 < \x - z0| < (5 => \f(x) - a\ < e (V{xn}n=o ^ D(f)) lim xn = x0 lim /(an) = a n—)-oo n—)-oo Předpokládáme, že definiční obor funkce / je takový, že posloupnost iXn}n=0 ^ D(f)> lim Xn = x0 n—>oo existuje, tj. že v každém ryzím okolí bodu xq jsou hodnoty z definičního oboru funkce /. Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: (Ve > 0)(3S > 0)(Vr G D(f)) 0 < |x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e (V{xn}™=o Q D(f)) lim xn xo n—)-oo lim f(xn) = a n—)-oo Předpokládáme, že definiční obor funkce / je takový, že posloupnost ixn}™=o C D(f), lim xn = x0 n—)-oo existuje, tj. že v každém ryzím okolí bodu xq jsou hodnoty z definičního oboru funkce /. xq je hromadný bod definičního oboru. 20 / 24 Představa a pojem limity lim f(x) = a X^řXQ Funkce / má v bodě xq G M. limitu a G M: (Ve > 0)(3S > 0)(Vr G D(f)) 0 < |x - x0\ < S => \f(x) - a\ < e {V{xn}™=o Q D(f)) lim xn x0 lim f(xn) = a xq je hromadný bod definičního oboru. 20 / 24 Nevlastní limita xq g R lim f (x) = oo: (Vi?" g R)(3S > 0)(Vr g D(f)) 0 < \x - x0\ < ô f (x) > H (V{^n}£°=0 S D(f)) lim = ^0 lim f(xn) = OO n—)-oo n—)-oo lim f (x) = -oo: (Vŕŕ g > 0)(Vr g D(f)) 0 < |x - x0\ < ô f (x) < H X^-Xq (y{Xn}n=0 ^ D(f)) lim = ^0 Hm f(xn) = -OO n—)-oo n—)-oo y • aľ0 --► x y • 21 / 24 Limita v nevlastním bodě Vlastní limita v nevlastním bodě: lim f(x) = a: (Ve > 0)(3h G R)(Vx G D(f)) x > h \f(x) - a\ < e (v{^n}^°=0 S D(f)) lim %n = oo => lim f(xn) = a x—)-00 n—)-oo n—)-oo lim f(x) = a: (Ve > 0)(3h G M)(Vr G £>(/)) x < h => \f(x) - a\ < e (V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim Xn = ~OQ Hm f(xn) = a n—)-oo n—)-oo Limita v nevlastním bodě Nevlastní limita v nevlastním bodě: lim f (x) = oo: (Vi?" G R)(3h G R) (V x G D(f)) x>h (V{^n}^°=0 C £>(/)) lim xn = oo x—)-oo n—)-oo /(x) > H lim /(xn) n—)-oo lim /(x) = -oo: (Vi?" G R)(3h G M)(Vr G £>(/)) x>h^ f (x) < H (V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim = OO lim /(tfn) x—)-00 n—)-oo n—)-oo lim /(x) = oo: (Vi? G M)(3/i G R) (V x G £>(/)) x H (V{Xn}n=0 ^ ^(/)) lim = -OO lim /(zn) x—)- — oo n—)-oo n—)-oo lim /(x) x—)- — oo •oo: (Vi? G M) (3/i G M)(Vr G D(f)) x(/)) lim = -OO lim /(tfn) n—)-oo n—)-oo Výpočet limit lim f (x), Xq G M Výpočet limit lim f (x), Xo G M • / spojitá v xq G M —> lim /(x) = /(#o) X^-Xq Výpočet limit lim f (x), Xo G M • / spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq G M Výpočet limit lim f (x), Xq e M* x—VXq • / spojitá v xq e R —lim f (x) = f (x o) X^-Xq • f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^-Xq Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* • / spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] /(x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X ÍC-)>1 #2 — 1 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v xq G M —> lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < rj f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim /(x) #(x0) Příklad: lim ——^X x 7^ 1 : cc->-l xz — 1 x2 — 2x + 1 (x — l)2 x — 1 x2 — 1 (# — !)(# +1) x + 1 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < 77 f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X íc-)>i ar — 1 . x2 — 2x + 1 (x — l)2 x —1 / N x —1 . x / 1 :--- =--—-- = -, q (x) = - je spojitá v x n = 1 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) Příklad: lim ——^X = 0 íc-)>1 #2 — 1 . x2 — 2x + 1 (x — l)2 x —1 / N x —1 . x / 1 :--- =--—-- = -, q (x) = - je spojitá v x n = 1 ^ x2-l (x -l)(x + l) x + ľ yy ' x + lJ KJ 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^-Xq (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))k(g spojitá v x0) lim /(x) #(x0) Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* • / spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] /(x) = g(x))&(g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* • / spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ • / nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r/)(3g)(\/x G D(f) í) D (g)) (O < \x - x0\ < r\ /(x) = g(x))h{g spojitá v x0) => lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x lim — = 0, lim sin rm = 0 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — x^q x lim — = 0, lim sin rm = 0 2 lim --— = 0, sin\(2n + 1)tt = (-1) n^oo (2n+ 1)tt ' 2 v 7 v j n 23 / Výpočet limit lim f (x), x0 G M* f spojitá v x0 G R 4 lim f (x) = f (x o) X^řXQ f nespojitá v xq G M: najdeme funkci g, která má na nějakém ryzím okolí bodu xq stejné funkční hodnoty jako funkce / —>> lim f (x) = g (x o) X^řXQ (3r])(3g)(\/x G D(f) n D (g)) (O < \x - x0\ < r] f (x) = g(x))&(g spojitá v x0) lim f (x) g(x0) • Využití ekvivalence limity funkce a limity posloupnosti Příklad: lim sin — neexistuje x^q x lim — = 0, lim sin rm = 0 2 lim --— = 0, sin\(2n + 1)tt = (-1) n^oo (2n+ 1)tt ' 2 v 7 v ; n 23 / Výpočet limit lim f (x), Xo G M „Standardní limity:" Výpočet limit lim f (x), x0 e M* „Standardní limity:" • lim (anxn — an-\xn~x + • • • + a\x + ao) = sgn(an)oo X^-OO lim (anxn — an-\xn~x + • • • + a\x + ao) = sgn(an)(—1) X^r — OO Výpočet limit lim f (x), Xq G m. Standardní limity:" 1 lim (anxn — an-\xn~x + X^rOO lim (( x—)- — oo Qjfi x n - an-\xn 1+ + a\x + ao) • + aix + ao) anxn-an_ixn XH-----haix + a0 lim -—- x^oo brnxrn — bm-ixrn 1 + • • • + &ix + 6q lim anxn — an_ixn 1 + • • • + a\x + ao x^-oo brnxrn 'm- lXm-l _|-----h 6lX + 60 sgn(an)oo = sgn(an)(-l)noo '0, a n < "m sgn a n 'm OO. m > n m = n m < n 0. a n = < 'm sgn a n 'm (-i) n+m OO. m > n m = n m < n 23 / 24 Výpočet limit ^Standardní limity: lim ax = < X^-OO lim f (x), Xq G m. 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 < a < 1, 0 lim ax = < x—)- — oo OO a > 1 a = 1 0 < a < 1 Výpočet limit lim f (x), Xq G m. ^Standardní limity: lim ax = < X^řOO 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 < a < 1, 0 lim ax = < x—)- — oo OO a > 1 a = 1 0 < a < 1 , oo, a>l hm log x x—)-00 —oo, 0 < a < 1 Výpočet limit lim f (x), Xq G m. ^Standardní limity: lim ax = < x^-oo 00, a > 1 1, a = 1 0, 0 < a < 1, 0 lim ax = < x—)- — oo OO a > 1 a = 1 0 < a < 1 , oo, a>l hm log x x—)-oo —oo, 0 < a < 1 lim xa x—)-oo OO. 0. a > 0 a = 0 a < 0 Výpočet limit lim f (x), Xo G M „Standardní limity:" ex — 1 • lim- = 1 x^O X Výpočet limit .Standardní limity: ex — 1 lim x^O x = 1 . smx hm- = 1 x^O X lim f (x), Xq G m. X^-Xq V ■ y = ex — 1 . x /y = x 23 / 24 Příklady lim 6 — 2.x — 2x' 3x2 + 4x - 3 Příklady 6 — 2x — 2x lim um —-- 3x2 + 4x - 3 Funkce je spojitá v bodě xq Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4 lim —-- = - 3x2 + Ax - 3 12-8 Funkce je spojitá v bodě xq = Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4 lim —-- = - 3x2 + 4x - 3 12-8 Funkce je spojitá v bodě xq = 3x2 + 2x - 1 lim —-- x^-i 2x2 + 3x + 1 Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3a:-1 -4 lim - = lim -= lim - = — x^-i 2x2 + 3x + 1 x-*-i (2x + 1)0 + 1) x^-i2x + l -1 Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3x-l -4 , lim —--= lim--—-- = lim--- = —- = 4 -i2x2 + 3x + l x^-i (2x + l)(x +1) x^-i2x + l -1 x lim--— x^l (x — I)' Příklady x 6-2x-2x2 6 + 4-8 hm —-- = -= 2 -2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-1)0 + 1) 3a:-1 -4 , lim —-- = lim--—-- = lim - = —- = 4 x^-i 2x2 + 3x + 1 x->-i (2x + 1)0 + 1) 2x + 1 -1 lim -—]-— = oo Příklady 6-2x-2x2 6 + 4-8 lim —--=-= 2 3x2 + 4x - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-l)(x + l) 3z-l -4 , lim —-- = lim--—-— = lim--- = —- = 4 s->-i 2x2 + 3x + 1 x^-i (2x + l)(x + 1) ^-i2x + l -1 x-h [x - l)2 lim 1 £c—>1 XZ — 1 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + Ax - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x- l)(x + l) 3a:-1 -4 A lim - = lim - = lim - = — = 4 2x2 + 3x + 1 (2x +1)0 + 1) ^-i2x + l -1 lim -—]-— = oo íc-^I (# — 1)^ lim —- neexistuje x^l xá — 1 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim 3x2 + Ax - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-1)0 + 1) 3a:-1 lim - = lim - = lim - x^-i 2x2 + 3x + 1 (2x + l)(x + 1) 2x + 1 -4 = 4 lim--—- x^i (x — \y = oo lim —-- x^l xz — 1 neexistuje lim 2x3 - 3x + 2 x^oo 7 — 4x3 24 / 24 Příklady 6 - 2x - 2x2 6 + 4-8 lim —-- = -= 2 3x2 + Ax - 3 12-8-3 Funkce je spojitá v bodě xq = —2 3x2 + 2x-l (3x-1)0 + 1) 3x lim - = lim - = lim — -i2x2 + 3x + l x^-i (2x + 1)0 + 1) 2x lim -—]-— = oo lim —- neexistuje x^l xá — 1 2x3--3x + 2 r 2-^ + ^ 2-0 + 0 lim--— = lim -=^-— = - x^oo 7 — 4x x^oo _L _ 4 0 — 4 xó Příklady 3^2 2x lim x^oo lxA + 4 Příklady lim 3^2 2x lim x^-oc 2x2 + 4 Příklady .. 3^2 - 2x lim--- = lim cc—)-oo 2x -\- 4 )-oo 2^—2_3íC_i_i lim ——-— x^oo 2X -\- 3X Příklady 3x2 2x ^ x lim--- = lim —--7— x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -%■ x"2 2,-2_3a;+l (|) lim —-— = lim x—)-oo 2X -\- 3X x—)-oo ^2^ x- x Příklady 3x2 2x ^ x lim--- = lim —--7— x^oo 2x2 + 4 x^oo 2 + -%■ lim---- = lim x- J--L-L-L-L -L-L-L-L-L cc—)-oo 2X H~ 3X~ x^oo ^2^ lim x—t—oo qx -\- e x Příklady 3^2 2x ^ x lim--- = lim —--7— = 0 x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ 2*-2 _ 3.+1 (I)""2 - 33 lim---- = lim —-= —9 íe^oo 2X~l + 3^ íe^oo +3 ex _ e-x e2x _ y (exÝ — 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—00 qx -\- e x x^t—oo e -\- 1 00 (ex) H- 1 Příklady 3^2 2x ^ x lim--- = lim —--7— = 0 x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ 2*-2 _ 3.+1 (I)""2 - 33 lim---- = lim —-= —9 x^oo 2x~l + 3X x^oo +3 ex _ e-x e2x _ y (exÝ — 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—00 qx -\- e x x^t—oo e -\- 1 x—00 (ex) H- 1 .. \/x2 -\- x lim - x-> — oo x Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^toc 2x2 + 4 x^oo 2 + -4- xz o >x-2 - 3*+1 lim ——-— = lim x—)-oo 2X -\- 3X x—)-oo (!) x-2 (!) x-2 = -9 + 3 vx x ,2x lim - x——oo qx -\- q x = lim 2x + 1 = lim x——oo (ex) + 1 = -1 .. Vx2 + x lim - = lim v^2 (i + = lim x——oo x—— oo X x——oo X = lim sgn(x) x——oo ^ x = -1 Příklady lim 3^2 2x lim 2 x x^toc 2x2 + 4 x^oo 2 + -4- xz o >x-2 - 3*+1 lim ——-— = lim x—)-oo 2X -\- 3X x—)-oo (!) x-2 (I)X"2 + 3 = -9 vx x lim - x—t—oo ex -|- e x ,2x = lim 0 - = lim -9 zx -|- 1 x—oo (ex) + 1 = -1 .. y/x2 + x lim - = lim x——oo V^2 (i + s) = lim x ^ x x—— oo X x——oo X = lim sgn(x) x——oo ^ x = -1 lim x cos - x—)•() ^ 24 / 24 Příklady 3x2 2x ^ x lim--- = lim —--7— = (J x^oo 2xl + 4 x^oo 2 + -%■ 2*-2 _ 3.+1 (I)""2 - 33 lim---- = lim —-= —9 x^oo 2x~l + 3X x^oo +3 ex _ e-x e2x _ y (exÝ — 1 lim -— = lim —- = lim -~-= — 1 x^—00 qx -\- e x x^t—oo e -\- 1 x—00 (ex) H- 1 .. Vx2 + x lim - = lim V^2 (1 + s) íe——oo = lim x íe——oo X = lim sgn(x) = "I lim x cos - = 0 x—)•() x 24 / 24 Příklady lim x Příklady * 3 cc lim x lim 3 x^-q 3x 3 lim- x^o 3x Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x . cosx lim —- Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x cosx 1 sin(f - x) lim —- = lim ——--= 1 rf,_V 2L — _ T rf,_v — _ T Příklady lim- = lim 3- = 3 lim- x^O x x^o 3x x^o 3x cosx n. sin(| - x) lim - = lim —^-= 1 7T J£ 2 2 r_v 2L — _ rV o-_V — — _ T* lim- x->o tg 5x Příklady e3x _ X lim x->0 x g3x _ lim 3- x^o 3x ,3x = 3 lim x- •o 3x cosx lim —- lim sin(:| — x) = 1 x bxcosbx hx cos5x lim- = lim- = lim-- x^o tg bx x^o 5 sin 5x x-^o sin 5x 5 1 5 Příklady q3x _ lim- q3x _ ^ lim 3- x->o 3x e3x _ ^ 3 lim- x->o 3x = 3 cosx lim oo y 2 2 7t lim sin^ — x) oo y ^ ^ = i x bxcosbx bx cos 5a; - = lim- = lim-- ^otg5x x^o 5 sin 5a; x^o sin 5a; o lim x 1 5 lim [\/x + 1 — v^) 24 / 24 Příklady q3x _ ^ lim- x^O x e3x _ ^ lim 3- x->o 3x Q3x _ 2 3 lim- x^o 3x lim cosx = lim sin(:| — x) x bxcosbx 5x cosbx 1 lim- = lim- = lim ——----— = ^ x^o tg hx x^o 5 sin bx x^o sin ox 5 lim (y/x + 1 — = lim x—>-oo x—>-o< X + 1 — x lim + 1 + \[x x^-oo -y/J + 1 + yjx 0